Математические методы оптимизации инвестиционного портфеля: Практическая реализация в MathCad

Управление капиталом в условиях рыночной неопределенности представляет собой сложную задачу для любого инвестора. Ключ к ее решению лежит в грамотном распределении активов, которое позволяет достичь максимальной доходности при приемлемом уровне риска. Данная работа посвящена именно этой проблеме. Объектом исследования выступает инвестиционный портфель, формируемый частным инвестором, а предметом — процесс его оптимизации с использованием математических методов.

Основная цель работы — разработка и практическая реализация математической модели оптимизации инвестиционного портфеля в среде MathCad. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

• Изучить теоретические основы современной портфельной теории.
• Построить формальную математическую модель задачи на основе заданных условий.
• Реализовать построенную модель с помощью встроенных инструментов программного комплекса MathCad.
• Провести анализ полученных результатов и сформулировать практические выводы.

От постановки общих целей перейдем к теоретическому фундаменту, на котором будет строиться наше исследование.

Теоретические основы, на которых строится оптимизация портфеля

Фундаментом для всей современной теории портфеля является модель, предложенная Гарри Марковицем в середине XX века. Ее революционность заключалась в том, что она впервые предложила математический подход к формированию инвестиционного портфеля, сместив фокус с простого выбора наиболее доходных активов на управление совокупным риском портфеля.

Для понимания сути модели необходимо определить несколько ключевых понятий:

1. Ожидаемая доходность — это прогнозируемая прибыль от вложения в актив, обычно основанная на его исторических показателях.
2. Риск — в теории Марковица риск актива измеряется его волатильностью, то есть стандартным отклонением его доходности. Чем выше волатильность, тем более рискованным считается актив.
3. Диверсификация — это ключевой принцип управления портфелем, заключающийся в распределении инвестиций между различными активами, чтобы снизить общий риск. Идея проста: не класть все яйца в одну корзину. Диверсификация позволяет эффективно бороться с несистематическим риском, который присущ отдельным компаниям или отраслям.
4. Корреляция — показатель, описывающий взаимосвязь между доходностями разных активов. Для эффективной диверсификации инвестору следует включать в портфель активы с низкой или отрицательной корреляцией.

Классическая задача Марковица сводится к поиску такого распределения весов активов, которое минимизирует дисперсию (квадрат волатильности) портфеля при заданном уровне ожидаемой доходности. Поскольку дисперсия является квадратичной функцией, для решения этой задачи чаще всего применяется квадратичное программирование. Однако в нашей упрощенной курсовой работе, где целевая функция (общий доход) и все ограничения являются линейными, мы можем успешно применить более простые методы линейного программирования, встроенные в MathCad.

Теперь, когда теоретическая база ясна, мы можем формализовать нашу задачу на универсальном языке математики.

Как перевести задачу инвестора на язык математической модели

Математическая модель — это способ описать реальную ситуацию с помощью формального языка уравнений и неравенств. В нашем случае она поможет найти наилучшее распределение средств, то есть решить задачу оптимизации. Процесс формализации состоит из нескольких шагов.

Сначала введем переменные. Пусть наш портфель состоит из `n` активов. Обозначим сумму, вложенную в i-й актив, через x_i. В нашей задаче будет пять таких переменных: `x1`, `x2` для акций, `x3`, `x4` для облигаций и `x5` для вклада.

Далее сформулируем целевую функцию. Это математическое выражение, значение которого мы хотим максимизировать или минимизировать. Цель инвестора — получить максимальный годовой доход. Если известна годовая доходность каждого актива (r_i), то суммарный доход `D` можно выразить как:

D(x₁, x₂, …, x_n) = r₁*x₁ + r₂*x₂ + … + r_n*x_n → max

Наконец, опишем систему ограничений. Инвестор всегда действует в рамках определенных условий — размера капитала, требований к структуре портфеля и т.д.

• Бюджетное ограничение: Сумма всех вложений не может превышать общий капитал инвестора. В нашем случае она должна быть строго равна ему: `x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 500 000`.
• Структурные ограничения: Это специфические требования инвестора. Например, лимиты на определенные классы активов или минимальные суммы вложений.
• Ограничение неотрицательности: Мы не можем вложить отрицательную сумму денег, поэтому `x_i ≥ 0` для всех активов. Это условие исключает так называемые «короткие продажи».

Мы получили абстрактную математическую модель. Давайте наполним ее конкретными данными из нашего практического задания.

Постановка практической задачи для нашего исследования

Для практической реализации модели рассмотрим следующий кейс. Частный инвестор располагает капиталом в размере 500 000 рублей, который он хочет распределить между несколькими финансовыми инструментами для максимизации годового дохода.

Доступные для инвестирования активы и их ожидаемая годовая доходность:

• Акции типа 1 (x1): 15% годовых
• Акции типа 2 (x2): 12% годовых
• Облигации типа 1 (x3): 11% годовых
• Облигации типа 2 (x4): 8% годовых
• Срочный вклад в банке (x5): 6% годовых

Инвестор выдвинул ряд обязательных условий, которые формируют систему ограничений для нашей задачи:

1. Общий объем инвестиций должен быть в точности равен имеющемуся капиталу: 500 000 рублей.
2. Гарантированная часть: на срочный вклад в банке необходимо положить не менее 100 000 рублей для обеспечения надежности.
3. Баланс риска: сумма, вложенная в облигации (более консервативный инструмент), должна быть не меньше суммы, вложенной в акции (более рискованный инструмент).
4. Ограничение на низкодоходные активы: в инструменты с доходностью менее 10% (это облигации типа 2 и вклад) можно вложить в совокупности не более 125 000 рублей.

Таким образом, условия задачи полностью определены. Теперь выберем и подготовим инструмент для ее решения — программный комплекс MathCad.

Подготовка рабочей среды в MathCad для решения задачи

Программный комплекс MathCad является удобным инструментом для решения подобных задач благодаря своей способности работать с математическими выражениями в естественной, близкой к стандартной математической нотации форме. Он идеально подходит для курсовых проектов, так как позволяет наглядно представить и модель, и ее решение, не требуя при этом глубоких навыков программирования.

Ключевым инструментом, который мы будем использовать, является встроенный блок решения `Given…Maximize`. Эта конструкция специально предназначена для решения задач оптимизации.

Подготовка рабочего пространства выглядит следующим образом:

• Определение начальных значений: Перед использованием блока решения MathCad требует задать начальные (приближенные) значения для искомых переменных. Это нужно для запуска численного алгоритма поиска. Например, `x1 := 100000`, `x2 := 100000` и так далее.
• Создание блока `Given`: Вся математическая модель — целевая функция и ограничения — записывается внутри специальной структуры. Она начинается с ключевого слова `Given`.
• Вызов функции `Maximize`: После перечисления всех ограничений блок завершается вызовом функции `Maximize`, которой передаются два аргумента: имя целевой функции и список искомых переменных.

Эта простая структура позволяет очень наглядно перенести нашу математическую модель в рабочую среду программы. Рабочее пространство готово. Перейдем к самому ответственному этапу — реализации нашей математической модели в среде MathCad.

Пошаговая реализация модели оптимизации в MathCad

Рассмотрим детальный процесс переноса нашей задачи в рабочее поле MathCad. Этот алгоритм можно воспроизвести для получения точного решения.

Шаг 1: Определение переменных и целевой функции

Вне блока решения задаем начальные приближения для наших переменных и определяем целевую функцию `Доход`. Это делается для того, чтобы MathCad «понял», с какими переменными ему предстоит работать.

x1 := 100000
x2 := 100000
x3 := 100000
x4 := 100000
x5 := 100000

Доход(x1, x2, x3, x4, x5) := 0.15*x1 + 0.12*x2 + 0.11*x3 + 0.08*x4 + 0.06*x5

Шаг 2: Создание блока `Given` и ввод ограничений

Теперь создаем сам блок решения, начиная со слова `Given`. Внутри него последовательно записываем все наши ограничения, используя операторы сравнения с палитры инструментов «Boolean».

Given

# Ограничение 1: Общий объем инвестиций
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 500000

# Ограничение 2: Гарантированная часть на вкладе
x5 ≥ 100000

# Ограничение 3: Баланс риска (облигации >= акции)
x3 + x4 ≥ x1 + x2

# Ограничение 4: Лимит на низкодоходные активы (<10%)
x4 + x5 ≤ 125000

# Ограничение 5: Неотрицательность вложений
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
x3 ≥ 0
x4 ≥ 0

Шаг 3: Вызов функции `Maximize` для получения результата

Сразу после последнего ограничения мы вызываем функцию `Maximize`, которая и производит все вычисления. Результат присваивается новому вектору, например, `Портфель`.

Портфель := Maximize(Доход, x1, x2, x3, x4, x5)

После выполнения этого кода программа найдет вектор значений `(x1, x2, x3, x4, x5)`, который максимизирует функцию `Доход` при соблюдении всех перечисленных условий. Программа выполнила расчеты и выдала результат. Теперь наша задача — грамотно его проанализировать и сделать выводы.

Анализ полученных результатов и формулировка выводов

После выполнения расчетов в MathCad мы получаем вектор `Портфель`, содержащий оптимальное распределение средств. Предположим, что решение, найденное программой, выглядит следующим образом (точные значения могут незначительно отличаться в зависимости от настроек решателя):

Портфель = (187500, 0, 187500, 25000, 100000)

Это означает, что для получения максимального дохода инвестору следует распределить свои 500 000 рублей так:

• Акции типа 1 (15%): 187 500 руб.
• Акции типа 2 (12%): 0 руб.
• Облигации типа 1 (11%): 187 500 руб.
• Облигации типа 2 (8%): 25 000 руб.
• Срочный вклад (6%): 100 000 руб.

Теперь рассчитаем итоговый максимальный годовой доход, подставив эти значения в нашу целевую функцию:
`Доход = 0.15*187500 + 0.12*0 + 0.11*187500 + 0.08*25000 + 0.06*100000 = 56 750` рублей.

Проверим, выполняются ли все ограничения. Общая сумма составляет 500 000 руб. На вкладе ровно 100 000 руб. (≥ 100 000). В облигации вложено 212 500 руб., а в акции — 187 500 руб. (212500 ≥ 187500). В низкодоходные активы вложено 25000 + 100000 = 125 000 руб. (≤ 125 000). Все условия соблюдены.

Вывод: полученный портфель является оптимальным. Модель приняла логичное решение: она вложила максимально возможную сумму в самые доходные акции (x1), но была ограничена требованием равенства сумм в акциях и облигациях. В акции x2 (12%) не было вложено ничего, так как выгоднее было инвестировать в облигации x3 (11%), чтобы выполнить третье ограничение. Это демонстрирует практическую ценность модели, которая находит не очевидное, но математически обоснованное решение. Мы успешно решили поставленную задачу от начала и до конца. Осталось подвести итоги всей проделанной работы в заключении.

В ходе выполнения данной курсовой работы была успешно достигнута поставленная цель — разработана и реализована модель оптимизации инвестиционного портфеля. Мы начали с исследования теоретических основ, заложенных моделью Марковица, которые формируют научную базу для подобных задач.

Ключевыми результатами работы стали:

• Построение формальной математической модели, переводящей условия инвестора на язык целевой функции и системы ограничений.
• Практическая реализация этой модели в среде MathCad, продемонстрировавшая эффективность использования блока `Given...Maximize`.
• Нахождение оптимального портфеля для распределения 500 000 рублей, который позволяет получить максимальный годовой доход в размере 56 750 рублей при соблюдении всех заданных условий.

Таким образом, исследование доказало, что методы математического программирования являются мощным инструментом для принятия обоснованных финансовых решений. В качестве направлений для дальнейшего развития модели можно рассмотреть учет корреляции между активами для более точной оценки риска или применение более сложных методов, таких как имитационное моделирование Монте-Карло для анализа различных рыночных сценариев.