Оптимизация в исследовании операций: Комплексный подход к курсовой работе по математическим моделям и методам

В условиях современного бизнеса, где каждый ресурс ограничен, а каждое решение влечет за собой каскад последствий, оптимизация перестает быть просто математическим термином. Она становится краеугольным камнем эффективного управления, позволяя предприятиям и организациям не просто выживать, но и процветать. От логистики до производства, от финансовых рынков до здравоохранения — методы исследования операций, и в частности математическое программирование, предлагают мощный инструментарий для нахождения наилучших решений в самых разнообразных задачах.

Эта курсовая работа представляет собой системное исследование мира оптимизации. Мы начнем с фундаментальных теоретических основ, погрузимся в историю становления ключевых моделей, а затем перейдем к подробному разбору ручных методов решения. Особое внимание будет уделено практическому применению современных программных средств, таких как надстройка «Поиск решения» в Microsoft Excel, а также детальному анализу полученных результатов, включая их экономическую интерпретацию и оценку чувствительности. Наша цель — не просто освоить технику, но и научиться видеть за цифрами реальные управленческие вызовы и возможности. Изучение этих аспектов позволяет не просто применять готовые алгоритмы, но и глубоко понимать их экономический смысл, что критически важно для принятия обоснованных решений.

Введение в математическое программирование и оптимизацию

В центре любой успешной деятельности лежит стремление к совершенству, к достижению наилучшего результата при заданных условиях. Именно это стремление формализовано в области, известной как математическое программирование и оптимизация. Эта дисциплина предлагает строгие, логически выверенные методы для принятия решений в сложных системах.

Понятие оптимизации и математического программирования

Что же такое оптимизация? В широком смысле это процесс нахождения наилучшего решения из множества возможных, которое максимизирует или минимизирует определенный показатель (целевую функцию) при соблюдении ряда условий (ограничений). Например, компания может стремиться к максимизации прибыли при ограниченных ресурсах или к минимизации затрат на логистику.

Математическое программирование — это раздел математики, который занимается разработкой теории и методов решения таких оптимизационных задач. Его ключевыми элементами являются:

• Целевая функция: математическое выражение, которое подлежит оптимизации. Это может быть прибыль, затраты, время, производительность и т.д. Например, f(x) = 5x1 + 3x2.
• Переменные решения: неизвестные величины, значения которых необходимо определить для достижения оптимума. Они представляют собой те управляемые параметры, на которые мы можем влиять. В примере выше это x1 и x2.
• Ограничения: система равенств или неравенств, описывающих условия, которым должны удовлетворять переменные решения. Они могут быть связаны с доступностью ресурсов, производственными мощностями, рыночным спросом и т.д. Например, 2x1 + x2 ≤ 10.
• Допустимое решение (план): набор значений переменных решения, который удовлетворяет всем заданным ограничениям.
• Оптимальное решение: допустимое решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального (максимального или минимального) значения.

Общая задача линейного программирования (ОЗЛП)

Общая задача линейного программирования (ОЗЛП) является краеугольным камнем всей дисциплины. Это математическая модель, в которой как целевая функция, так и все ограничения представлены линейными уравнениями или неравенствами, а переменные решения являются неотрицательными.

Математическая постановка ОЗЛП выглядит следующим образом:
Найти экстремум (минимум или максимум) линейной целевой функции:
f(x) = Σj=1n cjxj → extr
При соблюдении линейных ограничений:
Σj=1n aijxj ≤ bi (или ≥, или =) для i = 1, ..., m
И условий неотрицательности переменных:
xj ≥ 0 для j = 1, ..., n

Где:

• xj — переменные решения;
• cj — коэффициенты целевой функции (например, цена за единицу продукции, затраты на единицу ресурса);
• aij — коэффициенты при переменных в ограничениях (например, количество ресурса i, необходимое для производства единицы продукции j);
• bi — правые части ограничений (например, общий объем ресурса i).

Существуют различные формы записи задач линейного программирования, каждая из которых имеет свои особенности и удобства для определенных методов решения:

• Общая форма: наиболее гибкая, позволяет использовать как равенства, так и неравенства любого типа (≤, ≥) в ограничениях.
• Симметричная (стандартная) форма: характеризуется тем, что все ограничения представлены в виде неравенств одного типа (например, «меньше или равно» для задач максимизации, или «больше или равно» для задач минимизации), а все переменные неотрицательны. Пример: максимизировать прибыль при ограниченных ресурсах.
• Каноническая форма: все ограничения задачи представлены в виде равенств, и все переменные также являются неотрицательными. Эта форма особенно удобна для применения симплекс-метода, так как позволяет легко определить начальный базисный план. Для приведения к канонической форме неравенства преобразуются в равенства путём добавления или вычитания балансовых (фиктивных) переменных.

Исторический экскурс в развитие линейного программирования

История линейного программирования неразрывно связана с потребностями реального мира и блестящими умами математиков и экономистов.

Одним из пионеров в этой области стал французский математик Гаспар Монж. Ещё в 1781 году он формализовал одну из первых задач, которую сегодня мы бы отнесли к транспортным — задачу «déblais et remblais», или проблему оптимального перемещения земляных масс. Эта работа, хотя и не содержала формального аппарата линейного программирования в современном смысле, заложила основы для последующих исследований в области оптимального распределения.

Однако истинный прорыв произошёл в XX веке благодаря советскому математику и экономисту Леониду Витальевичу Канторовичу. В 1939 году, работая над проблемой рационального раскроя фанеры, Канторович разработал первый метод решения транспортной задачи. В 1942 году он опубликовал абстрактную версию задачи о перемещении масс, которая стала одним из краеугольных камней линейного программирования. Его труды, к сожалению, долгое время оставались недооцененными на родине, но получили мировое признание. В 1975 году Леонид Канторович был удостоен Нобелевской премии по экономике «за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов», разделив её с американским экономистом Тьяллингом Купмансом. Этот факт подчеркивает не только научную значимость его работы, но и её огромную практическую ценность для экономики и управления.

Параллельно с Канторовичем и независимо от него в США Джордж Данциг в конце 1940-х годов разработал знаменитый симплекс-метод, который стал универсальным инструментом для решения задач линейного программирования и до сих пор широко используется как вручную, так и в программных комплексах.

Классические модели оптимизации: Транспортная задача и Задача о назначениях

Среди многообразия оптимизационных моделей, транспортная задача и задача о назначениях занимают особое место благодаря своей широкой применимости и изяществу математической формулировки. Они являются специализированными случаями линейного программирования, разработанными для решения конкретных, но весьма распространенных управленческих проблем.

Транспортная задача (задача Монжа-Канторовича)

Транспортная задача, или задача Монжа-Канторовича, — это классический вид задачи линейного программирования, целью которой является минимизация общих затрат на перевозку однородного груза от нескольких поставщиков к нескольким потребителям. При этом учитываются ограниченные запасы у поставщиков и фиксированные потребности у потребителей.

Математическая модель транспортной задачи формулируется следующим образом:
Минимизировать общие транспортные затраты:
Σi=1m Σj=1n cijxij → min
При следующих ограничениях:

1. По запасам (предложению): суммарный объем груза, отгруженного от каждого поставщика, не должен превышать его запаса.
   Σj=1n xij ≤ ai для i = 1, ..., m
2. По потребностям (спросу): суммарный объем груза, полученного каждым потребителем, должен удовлетворять его спросу.
   Σi=1m xij ≥ bj для j = 1, ..., n
3. Условия неотрицательности: объемы перевозок не могут быть отрицательными.
   xij ≥ 0 для всех i, j

Где:

• xij — объем груза, перевозимого от i-го поставщика к j-му потребителю;
• cij — стоимость перевозки единицы груза от i-го поставщика к j-му потребителю;
• ai — запас груза у i-го поставщика;
• bj — потребность в грузе у j-го потребителя;
• m — количество поставщиков;
• n — количество потребителей.

Важным аспектом транспортной задачи является её сбалансированность. Задача считается сбалансированной, если общий объем груза у всех поставщиков равен суммарному объему потребностей всех потребителей, то есть Σi=1m ai = Σj=1n bj. В этом случае все ограничения становятся равенствами. Если это условие не выполняется, задача называется несбалансированной. Для приведения её к сбалансированному виду вводятся фиктивные поставщики или фиктивные потребители с нулевыми тарифами на перевозку. Например, если суммарный запас превышает суммарную потребность, вводится фиктивный потребитель, который «потребляет» излишки с нулевыми затратами.

Как уже упоминалось, исторические корни транспортной задачи уходят в глубокое прошлое. Ещё в 1781 году французский математик и инженер Гаспар Монж впервые формализовал проблему оптимального перемещения земляных масс, пытаясь найти способ минимизировать усилия при строительстве крепостей. Его работа «Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais» стала предвестником современных методов оптимизации.

Однако именно советский математик и экономист Леонид Канторович в 1939 году дал этой задаче современное математическое обоснование и предложил первые методы её решения, что заложило основы для широкого применения линейного программирования в экономике. Его вклад был настолько значимым, что в 1975 году он, как уже было сказано, получил Нобелевскую премию, подтвердив глобальное значение своих исследований.

Задача о назначениях

Задача о назначениях является еще одной классической комбинаторной оптимизационной задачей, которая тесно связана с транспортной задачей. Её суть заключается в оптимальном распределении n работ между n исполнителями таким образом, чтобы каждая работа была выполнена только одним исполнителем и каждый исполнитель выполнял только одну работу, при этом достигался бы максимум эффективности или минимум затрат.

Математическая модель задачи о назначениях выглядит следующим образом:
Найти экстремум (минимум или максимум) целевой функции:
Σi=1n Σj=1n cijxij → extr
При следующих ограничениях:

1. Каждый исполнитель выполняет только одну работу:
   Σj=1n xij = 1 для каждого i = 1, ..., n
2. Каждая работа выполняется только одним исполнителем:
   Σi=1n xij = 1 для каждого j = 1, ..., n
3. Переменные решения являются двоичными:
   xij = 1, если i-ый исполнитель назначен на j-ую работу;
   xij = 0 в противном случае.

Где:

• cij — эффективность (или стоимость) назначения i-го исполнителя на j-ую работу.

Необходимым условием для прямого применения стандартных методов к задаче о назначениях является её «закрытый» тип, то есть равенство количества исполнителей и количества работ (n исполнителей на n работ). Если это условие нарушено (например, работ больше, чем исполнителей, или наоборот), задача называется несбалансированной. Как и в транспортной задаче, для её решения вводятся фиктивные исполнители или фиктивные работы с нулевыми затратами или эффективностью, чтобы привести матрицу затрат/эффективности к квадратному виду.

Примерами применения задачи о назначениях могут служить: распределение сотрудников по проектам, назначение самолетов на рейсы, распределение машин по маршрутам, сопоставление вакансий и кандидатов.

Методы ручного решения оптимизационных задач

Эпоха цифровых технологий значительно упростила процесс решения сложных оптимизационных задач. Однако глубокое понимание принципов работы алгоритмов, лежащих в основе этих решений, по-прежнему остается критически важным. Ручные методы не только формируют прочный фундамент для работы с программным обеспечением, но и развивают аналитическое мышление.

Графический метод решения задач линейного программирования

Графический метод — это интуитивно понятный и наглядный способ решения задач линейного программирования, но он ограничен задачами, содержащими только две переменные. Его главное преимущество заключается в визуализации процесса поиска оптимального решения.

Пошаговый алгоритм графического метода:

1. Построение координатной системы: Оси соответствуют переменным решения (например, x1 и x2).
2. Построение линий, соответствующих ограничениям: Каждое неравенство-ограничение преобразуется в равенство, которое является уравнением прямой. Например, ограничение 2x1 + x2 ≤ 10 становится прямой 2x1 + x2 = 10.
3. Определение полуплоскостей: Для каждого неравенства определяется полуплоскость, которая удовлетворяет этому ограничению. Например, для 2x1 + x2 ≤ 10 все точки, лежащие ниже или на прямой, удовлетворяют этому условию. Условия неотрицательности (x1 ≥ 0, x2 ≥ 0) ограничивают область решений первым квадрантом.
4. Построение области допустимых решений: Пересечение всех полуплоскостей, удовлетворяющих ограничениям, формирует выпуклый многогранник допустимых решений. Каждая точка внутри или на границе этого многогранника является допустимым планом.
5. Построение линии уровня целевой функции: Целевая функция f(x) = c1x1 + c2x2 строится для произвольного значения f(x) = Z0 (например, Z0 = 0). Это будет прямая линия.
6. Нахождение оптимальной точки:
   • Вектор градиента: Строится вектор с координатами (c1, c2), который указывает направление наибольшего возрастания целевой функции. Для минимизации используется антиградиент (-c1, -c2).
   • Перемещение линии уровня: Линия уровня целевой функции (семейство параллельных прямых) перемещается вдоль вектора градиента (для максимизации) или антиградиента (для минимизации) до тех пор, пока она не коснется самой крайней точки многогранника допустимых решений.
   • Оптимальное решение: Оптимальное решение всегда достигается в одной из вершин этого многогранника. Если линия уровня совпадает с одной из граней многогранника, то существует бесконечное множество оптимальных решений, лежащих на этой грани.

Симплекс-метод

Симплекс-метод — это универсальный и наиболее распространенный алгоритм для решения задач линейного программирования любой сложности и размерности. Разработанный Джорджем Данцигом в 1947 году, он основан на последовательном переборе вершин выпуклого многогранника допустимых решений, каждый раз улучшая значение целевой функции до достижения оптимума.

Алгоритм симплекс-метода:

1. Приведение задачи к каноническому виду: Все ограничения должны быть преобразованы в равенства путём добавления или вычитания базисных (слабых или искусственных) перем��нных. Целевая функция также переносится в левую часть уравнения, приравниваясь к нулю.
   Например, для максимизации f(x) = c1x1 + c2x2 → max при a11x1 + a12x2 ≤ b1, канонический вид будет:
   f(x) - c1x1 - c2x2 = 0
a11x1 + a12x2 + x3 = b1 (где x3 — базисная переменная)
   x1, x2, x3 ≥ 0.
2. Построение начальной симплекс-таблицы: Коэффициенты системы уравнений и целевой функции заносятся в таблицу. Определяются базисные переменные (те, которые имеют коэффициент 1 в одном уравнении и 0 во всех остальных).
3. Нахождение начального опорного (базисного) решения: Это решение, где все небазисные переменные равны нулю, а базисные переменные принимают значения, равные правым частям ограничений.
4. Проверка на оптимальность:
   • Для задачи максимизации: план оптимален, если все оценки свободных переменных (коэффициенты в строке целевой функции для небазисных переменных) неотрицательны.
   • Для задачи минимизации: план оптимален, если все оценки свободных переменных неположительны.
5. Итеративное улучшение плана (если не оптимален):
   • Выбор ведущего столбца: Для задачи максимизации выбирается столбец с наибольшим отрицательным коэффициентом в строке целевой функции. Для минимизации — с наибольшим положительным. Эта переменная будет вводиться в базис.
   • Выбор ведущей строки: Для каждой строки, кроме целевой, вычисляется отношение правого столбца к положительному элементу ведущего столбца. Выбирается строка с наименьшим неотрицательным отношением. Эта переменная будет выводиться из базиса.
   • Преобразование таблицы: Элемент на пересечении ведущей строки и ведущего столбца (ведущий элемент) приводится к единице, а все остальные элементы в ведущем столбце — к нулю, используя элементарные преобразования строк. Это соответствует переходу к соседней вершине многогранника решений.
6. Повторение шагов 4-5 до тех пор, пока не будет достигнут критерий оптимальности.

Метод потенциалов для транспортной задачи

Метод потенциалов — это специализированная, значительно более эффективная модификация симплекс-метода, разработанная специально для решения транспортной задачи. Он был предложен Л.В. Канторовичем в 1940 году, а затем независимо разработан Джорджем Б. Данцигом в 1951 году под названием модифицированного распределительного метода (MODI).

Алгоритм метода потенциалов состоит из двух основных этапов:

1. Построение начального опорного плана: Цель этого этапа — найти первое допустимое решение, которое удовлетворяет всем ограничениям. Существует несколько методов:
   • Метод северо-западного угла: Простой, но не всегда эффективный. Заполнение клеток начинается с верхнего левого угла матрицы перевозок. Объемы перевозок определяются исходя из наименьшего значения между запасом поставщика и потребностью потребителя.
   • Метод минимального элемента (наименьшей стоимости): Более эффективный, так как начинается с клетки с минимальной стоимостью перевозки cij. Это позволяет изначально стремиться к уменьшению затрат.
   • Метод Фогеля (метод штрафов): Наиболее трудоемкий, но обычно даёт начальный опорный план, который уже близок к оптимальному. Он основан на расчете «штрафов» для каждой строки и столбца (разницы между двумя наименьшими тарифами), выбирая клетку, которая обеспечивает наибольшую экономию.

   Важное условие: опорный план должен быть невырожденным. Это означает, что количество базисных (заполненных) клеток должно быть равно m + n - 1, где m — число поставщиков, n — число потребителей. Если базисных клеток меньше, план является вырожденным. Для устранения вырожденности в базис искусственно вводятся нулевые переменные, которым присваивается символическое бесконечно малое положительное значение (часто обозначаемое как ε), чтобы количество базисных переменных соответствовало условию m + n - 1. Это позволяет корректно применять дальнейшие шаги алгоритма.

2. Итеративное улучшение плана до оптимального:
   • Вычисление потенциалов: Для базисных клеток (тех, где xij > 0) вычисляются потенциалы ui для поставщиков и vj для потребителей, используя формулу cij = ui + vj. Обычно одному из потенциалов (например, u1) присваивается значение 0, а остальные вычисляются.
   • Вычисление оценок для небазисных клеток: Для всех небазисных (незаполненных) клеток вычисляются оценки Δij = cij - (ui + vj). Эти оценки показывают, насколько изменится целевая функция, если в соответствующую клетку будет переведена единица груза.
   • Проверка на оптимальность: План является оптимальным, если все оценки Δij ≥ 0 для задачи минимизации. Если есть хотя бы одна отрицательная оценка, план не оптимален и требует улучшения.
   • Построение замкнутого цикла перераспределения: Если найдены отрицательные оценки, выбирается клетка с наибольшей отрицательной оценкой. Из неё строится замкнутый цикл, проходящий только через базисные клетки, при этом углы цикла могут быть только в базисных клетках. В вершинах цикла проставляются знаки «+», «-«, «+», «-» поочередно. Из клеток со знаком «-» выбирается минимальное значение, которое затем перераспределяется по циклу: прибавляется к клеткам с «+» и вычитается из клеток с «-«. Это приводит к новому опорному плану с меньшими затратами.
   • Повторение шагов 2.1 – 2.4: Процесс повторяется до тех пор, пока все оценки для небазисных клеток не станут неотрицательными.

Венгерский метод для задачи о назначениях

Венгерский метод — это специализированный и высокоэффективный алгоритм, предназначенный для решения задачи о назначениях, когда количество исполнителей равно количеству работ (задача «закрытого» типа). Этот метод был разработан и опубликован Гарольдом Куном в 1955 году, который назвал его «венгерским» в честь более ранних работ венгерских математиков Денеша Кёнига и Эйгена Эгервари, чьи исследования в области теории графов и матриц легли в основу алгоритма.

Основная идея венгерского метода заключается в преобразовании исходной матрицы затрат в эквивалентную матрицу, содержащую n независимых нулей, которые и определяют оптимальные назначения. Эквивалентность означает, что оптимальное решение не меняется при определенных преобразованиях матрицы.

Алгоритм венгерского метода:

1. Приведение матрицы к «нулевому» виду:
   • Вычитание минимумов по строкам: Из каждого элемента каждой строки матрицы затрат вычитается минимальный элемент этой строки. В результате каждая строка будет содержать хотя бы один ноль.
   • Вычитание минимумов по столбцам: Из каждого элемента каждого столбца полученной матрицы вычитается минимальный элемент этого столбца. В результате каждая строка и каждый столбец будут содержать хотя бы один ноль.
2. Покрытие нулей минимальным числом линий: Провести минимальное количество горизонтальных и/или вертикальных линий (зачеркиваний), чтобы покрыть все нули в матрице.
3. Проверка условия оптимальности: Если количество проведенных линий равно порядку матрицы (n), то оптимальное решение найдено. Назначения производятся по нулям, находящимся на пересечении незачеркнутых строк и столбцов. Если количество линий меньше n, необходимо скорректировать матрицу.
4. Корректировка матрицы (если не оптимальна):
   • Найти наименьший элемент среди всех незачеркнутых элементов матрицы.
   • Вычесть этот элемент из всех незачеркнутых элементов.
   • Прибавить этот элемент ко всем элементам, находящимся на пересечении двух зачеркнутых линий.
   • Элементы, зачеркнутые одной линией, остаются без изменений.
   • Перейти к шагу 2.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет найдено n независимых нулей, позволяющих осуществить оптимальные назначения.

Применение Microsoft Excel «Поиск решения» для решения оптимизационных задач

В современном мире, где объемы данных исчисляются гигабайтами, а сложность задач растет экспоненциально, ручные методы решения оптимизационных проблем, хотя и важны для понимания, часто становятся непрактичными. На помощь приходят программные средства. Одним из наиболее доступных и широко используемых инструментов является надстройка «Поиск решения» (Solver) в Microsoft Excel.

Основы работы с «Поиском решения» (Solver)

Надстройка «Поиск решения» (Solver), впервые представленная в Microsoft Excel в 1991 году и разработанная компанией Frontline Systems, является мощным инструментом для решения оптимизационных задач, включая линейное, нелинейное и целочисленное программирование. Она позволяет находить оптимальные значения целевой функции путем изменения значений переменных, удовлетворяющих заданным ограничениям.

Процесс использования Solver включает следующие шаги:

1. Формулировка модели в Excel: Переменные решения, целевая функция и ограничения должны быть математически выражены и представлены в виде ячеек и формул на рабочем листе Excel.
   • Выделите ячейку для целевой функции. В ней должна быть формула, зависящая от изменяемых переменных.
   • Выделите диапазон ячеек для изменяемых переменных. Это те значения, которые Solver будет подбирать для оптимизации.
2. Запуск Solver: Активировать Solver можно через вкладку «Данные» → группа «Анализ» → «Поиск решения». Если надстройки нет, её нужно включить через «Файл» → «Параметры» → «Надстройки» → «Надстройки Excel» → «Перейти…» → установить флажок «Поиск решения».
3. Настройка параметров Solver в диалоговом окне:
   • «Установить целевую ячейку»: Указывается ячейка, содержащая формулу целевой функции.
   • «Равной»: Выбирается тип оптимизации: «Максимуму», «Минимуму» или «Значению» (для достижения конкретного значения целевой функции).
   • «Изменяя ячейки переменных»: Указывается диапазон ячеек, значения которых Solver будет изменять.
   • «В соответствии с ограничениями»: Добавляются ограничения. Для каждого ограничения указывается ячейка (или формула), тип сравнения (≤, =, ≥, int, bin, diff) и значение или другая ячейка. Ограничение «Сделать переменные без ограничений неотрицательными» обычно устанавливается по умолчанию для большинства задач ЛП.
4. Выбор метода решения: Для задач линейного программирования (где целевая функция и все ограничения линейны) обязательно выбирается «Симплекс-метод LP» (Simplex LP). Помимо него, Solver предлагает GRG Nonlinear для гладких нелинейных задач и Эволюционный метод для негладких или невыпуклых задач.
5. Запуск и получение результатов: Нажать кнопку «Найти решение». Solver проведет расчеты и предоставит оптимальное решение, а также предложит сгенерировать различные отчеты.

Особенности использования Solver для транспортной задачи и задачи о назначениях

Хотя транспортная задача и задача о назначениях являются специализированными случаями линейного программирования, их настройка в Solver имеет свои нюансы.

Для транспортной задачи в Excel:

1. Создается таблица, где строки соответствуют поставщикам, столбцы — потребителям. В одну часть таблицы заносятся тарифы cij.
2. Рядом создается аналогичная таблица для изменяемых переменных xij (объемов перевозок), которые изначально могут быть пустыми или нулевыми.
3. Целевая функция: В отдельной ячейке рассчитывается общая сумма затрат на перевозки, используя функцию СУММПРОИЗВ (SUMPRODUCT) для тарифов и объемов перевозок: =СУММПРОИЗВ(диапазон_тарифов; диапазон_перевозок). Это будет ячейка, которую необходимо минимизировать.
4. Ограничения:
   • По запасам: Для каждой строки (поставщика) сумма объемов перевозок (с использованием функции СУММ) должна быть меньше или равна соответствующему запасу.
   • По потребностям: Для каждого столбца (потребителя) сумма объемов перевозок (с использованием функции СУММ) должна быть равна или больше соответствующей потребности.
   • Неотрицательность: Убедиться, что условие «Сделать переменные без ограничений неотрицательными» включено.

Для задачи о назначениях в Excel:

1. Создается квадратная матрица затрат cij.
2. Рядом создается аналогичная матрица для изменяемых переменных xij.
3. Целевая функция: Аналогично транспортной задаче, рассчитывается общая сумма затрат/эффективности с помощью СУММПРОИЗВ.
4. Ограничения:
   • Бинарные переменные: Для всех изменяемых переменных xij добавляется ограничение «bin» (двоичные), что означает, что они могут принимать значения только 0 или 1. Это ключевое отличие.
   • Каждый исполнитель выполняет одну работу: Для каждой строки (исполнителя) сумма переменных xij должна быть равна 1.
   • Каждая работа выполняется одним исполнителем: Для каждого столбца (работы) сумма переменных xij должна быть равна 1.

Анализ отчетов Solver

После успешного выполнения Solver предоставляет возможность сгенерировать несколько отчетов, которые не просто показывают оптимальное решение, но и дают ценную информацию для его анализа и принятия дальнейших управленческих решений.

1. Отчет по результатам (Answer Report):
   • Содержит исходные и финальные значения целевой функции и изменяемых ячеек.
   • Предоставляет информацию о состоянии каждого ограничения: «связанное» (binding) или «несвязанное» (non-binding).
     • Связанное ограничение означает, что ресурс или условие полностью исчерпано в оптимальном решении, и его изменение повлияет на целевую функцию.
     • Несвязанное ограничение означает, что ресурс не использован полностью (есть «излишек» или slack), и его небольшое изменение не повлияет на оптимальную целевую функцию.
   • Этот отчет позволяет быстро оценить, насколько эффективно используются ресурсы и какие ограничения являются наиболее критичными.
2. Отчет по устойчивости (Sensitivity Report):
   • Допустимые изменения коэффициентов целевой функции (cj): Показывает, насколько могут измениться коэффициенты целевой функции (например, цены на продукцию или затраты), при которых оптимальный набор базисных переменных (структура решения) останется неизменным. Это позволяет оценить стабильность оптимального плана при колебаниях рыночных условий.
   • Допустимые изменения правых частей ограничений (bi): Указывает, в каких пределах могут изменяться объемы доступных ресурсов или другие ограничения, при которых оптимальный базис не изменится.
   • Теневые цены (двойственные оценки): Это, пожалуй, наиболее ценная информация для экономиста. Теневая цена ресурса показывает, насколько изменится оптимальное значение целевой функции (например, прибыль или затраты), если доступность данного ресурса увеличится или уменьшится на одну единицу.
     • Экономическая интерпретация: Если теневая цена ресурса положительна, это означает, что увеличение его доступности на единицу приведет к увеличению прибыли (для максимизации) или уменьшению затрат (для минимизации) на величину этой теневой цены. Это мощный инструмент для принятия решений о целесообразности инвестирования в дополнительные ресурсы или устранения «узких мест» в производственном процессе. Например, если теневая цена часа работы станка составляет 500 рублей, а его аренда стоит 400 рублей, то выгодно арендовать дополнительный час.
3. Отчет по пределам (Limits Report):
   • Показывает, как изменится значение целевой функции, если каждая из изменяемых переменных будет принимать свои предельные (верхние или нижние) значения, при сохранении неизменности остальных переменных и соблюдении всех ограничений. Этот отчет полезен для понимания диапазона, в котором каждая переменная может находиться, не нарушая ограничений.

Использование этих отчетов позволяет не только найти «единственно верное» решение, но и провести глубокий анализ его устойчивости, оценить экономические последствия изменений внешних и внутренних факторов, а также принять более обоснованные и гибкие управленческие решения. Отчеты Solver являются ценным активом для любого аналитика, стремящегося к максимальной эффективности.

Теория массового обслуживания (ТМО): моделирование и оптимизация процессов

В современном мире, где очереди и ожидания стали неотъемлемой частью нашей жизни — будь то в банке, магазине, поликлинике или при обращении в колл-центр — возникает острая необходимость в эффективном управлении этими процессами. Здесь на помощь приходит Теория массового обслуживания (ТМО), раздел исследования операций, посвященный изучению систем, в которых заявки (клиенты) поступают в систему для обслуживания и, при необходимости, формируют очередь.

Введение в теорию массового обслуживания

Теория массового обслуживания (ТМО) — это математическая дисциплина, которая разрабатывает методы анализа и оптимизации процессов обслуживания потоков заявок. Её основная цель — найти баланс между стоимостью предоставления услуги и качеством обслуживания, минимизируя как затраты на ресурсы, так и время ожидания клиентов.

Основоположником теории массового обслуживания по праву считается датский математик, статистик и инженер Агнер Краруп Эрланг (1878-1929). Работая в Копенгагенской телефонной компании в начале XX века, Эрланг столкнулся с проблемой перегрузки телефонных станций. В период с 1908 по 1922 годы он проводил новаторские исследования телефонного трафика, применяя аппарат теории вероятностей для моделирования поступления звонков и продолжительности разговоров. В 1909 году он опубликовал свою фундаментальную работу «Теория вероятностей и телефонные разговоры», заложившую основы ТМО.

Основные элементы системы массового обслуживания (СМО) включают:

• Поток заявок: Характеризуется интенсивностью поступления заявок (λ, среднее число заявок в единицу времени) и законом их распределения. Заявками могут быть клиенты, звонки, задачи на обработку.
• Каналы обслуживания (серверы): Ресурсы, выполняющие обслуживание. Их может быть один или несколько (c). Каждый канал характеризуется интенсивностью обслуживания (μ, среднее число заявок, обслуживаемых одним каналом в единицу времени) и законом распределения времени обслуживания.
• Очередь: Место, где заявки ожидают обслуживания, если все каналы заняты. Характеризуется емкостью (конечной или бесконечной) и дисциплиной обслуживания (правилом выбора заявки из очереди).
• Дисциплина обслуживания: Правило, по которому выбирается следующая заявка из очереди для обслуживания (например, FCFS — First-Come, First-Served — «первым пришел, первым обслужен», LIFO — Last-In, First-Out — «последним пришел, первым обслужен», SIRO — Service in Random Order — «обслуживание в случайном порядке», PR — Priority — «приоритетное обслуживание»).

Ключевые показатели эффективности (КПЭ) СМО:

• Средняя длина очереди (Lq): Среднее число заявок, ожидающих в очереди.
• Среднее время ожидания в очереди (Wq): Среднее время, которое заявка проводит в очереди.
• Среднее число заявок в системе (Ls): Среднее число заявок, находящихся как в очереди, так и на обслуживании.
• Среднее время пребывания заявки в системе (Ws): Среднее время, которое заявка проводит в системе (ожидание + обслуживание).
• Коэффициент загрузки системы (ρ): Доля времени, в течение которой каналы обслуживания заняты. Для одного канала ρ = λ/μ.

Классификация систем массового обслуживания (нотация Кендалла)

Для унифицированного описания различных типов СМО используется нотация Кендалла, введенная Дэвидом Г. Кендаллом в 1953 году. Эта нотация представляет систему в виде шести параметров A/B/c/K/N/D, где каждый символ обозначает определенную характеристику:

• A: Тип входящего потока (распределение интервалов между заявками)
  • M (Марковский/Пуассоновский): Интервалы между поступлениями заявок подчиняются экспоненциальному распределению. Это означает, что вероятность поступления заявки не зависит от времени, прошедшего с момента предыдущей заявки (отсутствие «памяти»). Poisson-поток является наиболее распространенным в ТМО.
  • E_k (Эрланга k-го порядка): Интервалы между поступлениями заявок подчиняются распределению Эрланга k-го порядка.
  • G (общее): Интервалы между поступлениями заявок имеют произвольное распределение.
  • D (детерминированный): Интервалы между поступлениями заявок строго постоянны.
• B: Тип распределения времени обслуживания
  • M (экспоненциальный): Время обслуживания подчиняется экспоненциальному распределению.
  • E_k (Эрланга k-го порядка): Время обслуживания подчиняется распределению Эрланга k-го порядка.
  • G (общее): Время обслуживания имеет произвольное распределение.
  • D (детерминированный): Время обслуживания строго постоянно.
• c: Количество каналов обслуживания (серверов)
  • Целое положительное число, обозначающее количество параллельных каналов, способных одновременно обслуживать заявки.
• K: Емкость системы (максимальное количество заявок в системе)
  • Максимальное число заявок, которое может находиться в системе (включая обслуживаемые и ожидающие в очереди). По умолчанию (если не указано) K = ∞ (бесконечная емкость).
• N: Размер популяции источников заявок
  • Общее количество потенциальных источников заявок. По умолчанию (если не указано) N = ∞ (бесконечная популяция).
• D: Дисциплина обслуживания (правило выбора заявки из очереди)
  • FCFS (First-Come, First-Served): Первым пришел, первым обслужен. Наиболее распространенная.
  • LIFO (Last-In, First-Out): Последним пришел, первым обслужен.
  • SIRO (Service in Random Order): Обслуживание в случайном порядке.
  • PR (Priority): Приоритетное обслуживание (заявки с более высоким приоритетом обслуживаются раньше).

Основные модели ТМО (M/M/1 и M/M/c)

Среди множества моделей СМО, системы M/M/1 и M/M/c являются базовыми и наиболее часто изучаемыми, так как они хорошо описывают многие реальные процессы и имеют аналитические решения для своих КПЭ.

Система M/M/1:

• Характеризуется:
  • Пуассоновским входящим потоком (M).
  • Экспоненциальным распределением времени обслуживания (M).
  • Одним каналом обслуживания (1).
  • Бесконечной емкостью очереди и бесконечной популяцией источников заявок (эти параметры часто опускаются в нотации, подразумевая их бесконечность).
• Коэффициент загрузки системы: ρ = λ/μ. Для стационарного режима работы системы необходимо, чтобы ρ < 1 (интенсивность поступления заявок меньше интенсивности обслуживания).
• Формулы для расчета КПЭ в стационарном режиме (ρ < 1):
  • Средняя длина очереди: Lq = ρ2 / (1 - ρ)
  • Среднее время ожидания в очереди: Wq = λ / (μ(μ - λ))
  • Среднее число заявок в системе: Ls = λ / (μ - λ)
  • Среднее время пребывания в системе: Ws = 1 / (μ - λ)

Система M/M/c:

• Отличается от M/M/1 наличием нескольких (c) параллельных каналов обслуживания. Все остальные характеристики (Пуассоновский поток, экспоненциальное время обслуживания) аналогичны.
• Эта модель подходит для описания систем с несколькими операторами, кассирами, окнами обслуживания.
• Коэффициент загрузки системы: ρ = λ / (cμ). Для стационарного режима также необходимо, чтобы ρ < 1.
• Формулы для расчета КПЭ для системы M/M/c значительно сложнее и часто включают в себя вероятность того, что система пуста (P0) и вероятность того, что все каналы заняты (Pk при k ≥ c). Эти формулы обычно изучаются в рамках более углубленных курсов ТМО или рассчитываются с помощью специализированного ПО. Однако общая логика та же: расчеты направлены на минимизацию времени ожидания и оптимизацию количества каналов.

Практическое применение ТМО

Теория массового обслуживания находит широкое применение в самых разнообразных отраслях, помогая компаниям и организациям повышать эффективность и качество обслуживания:

• Колл-центры: Определение оптимального количества операторов для минимизации времени ожидания клиентов и затрат на персонал, с учетом пиковых нагрузок.
• Розничная торговля: Оптимизация числа касс в супермаркетах для сокращения очередей, особенно в часы пик.
• Здравоохранение: Планирование ресурсов (числа врачей, медсестер, операционных) в больницах и поликлиниках для сокращения времени ожидания приема или процедур.
• Логистика и транспорт: Оптимизация количества погрузочно-разгрузочных доков, стоянок, полос движения на платных дорогах.
• Производство: Управление потоками материалов и полуфабрикатов между производственными участками, минимизация простоев оборудования и очередей на обработку.
• Информационные технологии: Оптимизация пропускной способности серверов, планирование ресурсов компьютерных сетей и центров обработки данных для обеспечения стабильной работы и быстрого отклика.

Применение ТМО позволяет не только решать текущие проблемы, но и прогнозировать поведение системы при изменении параметров, что делает её незаменимым инструментом стратегического планирования. Она обеспечивает не просто сокращение издержек, но и значительное повышение удовлетворённости клиентов, что в условиях конкурентного рынка является ключевым фактором успеха.

Анализ эффективности и чувствительности оптимальных решений

Получение оптимального решения, будь то ручным методом или с помощью программного обеспечения, — это лишь первый шаг. Истинная ценность оптимизационных моделей проявляется в способности анализировать это решение, оценивать его экономическую эффективность и понимать, насколько оно устойчиво к изменениям исходных данных.

Оценка экономической эффективности

Экономическая эффективность оптимальных решений оценивается путём сравнения достигнутого значения целевой функции (например, максимальной прибыли, минимальных затрат, кратчайшего времени) с альтернативными вариантами или с базовым сценарием. Цель — убедиться, что найденное решение действительно является лучшим с экономической точки зрения.

Критерии оптимальности напрямую зависят от поставленной задачи. Если это задача максимизации прибыли, то критерием будет максимальная прибыль; если минимизация издержек — минимальные издержки. Математические модели играют ключевую роль в улучшении ключевых показателей эффективности (KPI) управленческого аппарата при выработке решений. Среди таких KPI можно выделить:

• Повышение эффективности использования ресурсов: Модели помогают определить наилучшее распределение ограниченных ресурсов (сырья, оборудования, трудовых часов), что может привести к сокращению издержек на 15-20% при оптимизации логистических маршрутов или увеличению пропускной способности на 30% в производственных процессах.
• Снижение операционных затрат: Оптимизация производственных графиков, маршрутов доставки или распределения персонала напрямую ведет к сокращению издержек.
• Максимизация прибыли: Через оптимизацию объемов производства, ценовой политики и ассортимента продукции.
• Сокращение времени принятия решений: Наличие готовой модели позволяет быстро пересчитать решение при изменении условий.
• Повышение качества обслуживания клиентов: Например, в ТМО сокращение времени ожидания в очереди.

Анализ чувствительности параметров модели

Модели линейного программирования по своей сути являются статическими, представляя собой "моментальный снимок" ситуации с фиксированными параметрами. Однако в реальной жизни параметры (цены, запасы, потребности) постоянно меняются. Именно здесь на первый план выходит анализ чувствительности.

Анализ чувствительности — это исследование того, как изменения параметров исходной модели (коэффициентов целевой функции, правых частей ограничений) влияют на полученное оптимальное решение. Он позволяет оценить устойчивость решения к неопределенности и принять более гибкие управленческие решения.

1. Чувствительность к изменению коэффициентов целевой функции (cj):
   • Анализ позволяет определить допустимые пределы (диапазоны устойчивости или интервалы оптимальности) для каждого коэффициента cj. В этих пределах коэффициент может изменяться без изменения оптимального набора базисных переменных, то есть без изменения структуры оптимального решения. Значение целевой функции, конечно, при этом изменится, но комбинация производимых товаров или используемых маршрутов останется прежней.
   • Если коэффициент выходит за эти пределы, это означает, что оптимальное решение изменится, и потребуется пересчет модели.
   • Экономическая интерпретация: Например, для задачи максимизации прибыли это позволяет определить, насколько может упасть цена на продукт или вырасти его себестоимость, прежде чем производство этого продукта станет невыгодным и компания должна будет пересмотреть свой производственный план.
2. Чувствительность к изменению правых частей ограничений (bi):
   • Этот анализ помогает установить допустимые диапазоны изменений для правых частей ограничений (например, объемов доступных ресурсов), при которых оптимальный базис также остаётся неизменным.
   • Теневые цены (двойственные оценки): Отчет по устойчивости Solver предоставляет эти критически важные показатели. Теневая цена ресурса i показывает, насколько изменится оптимальное значение целевой функции, если правая часть ограничения bi (доступность ресурса) изменится на единицу, при условии, что это изменение находится в допустимых пределах.
     • Экономическое значение теневых цен: Они отражают внутреннюю ценность дополнительной единицы дефицитного ресурса. Если теневая цена ресурса выше его рыночной стоимости, то целесообразно приобрести дополнительный ресурс. Если теневая цена равна нулю, ресурс не является дефицитным (есть излишек), и его увеличение не повлияет на оптимальную целевую функцию. Теневые цены являются мощным инструментом для выявления "узких мест" в производственных процессах и принятия решений об инвестициях.
3. Графический анализ чувствительности: Для задач с двумя переменными анализ чувствительности можно наглядно провести с помощью графического метода. Изменение коэффициентов целевой функции приведет к изменению наклона линии уровня, а изменение правых частей ограничений — к смещению граничных линий многогранника допустимых решений.

Таким образом, анализ чувствительности позволяет придать статической модели динамичность, оценивая влияние возможных изменений исходных условий на оптимальное решение, что существенно повышает качество принимаемых управленческих решений. Это не просто математический инструмент, но и стратегический компас для бизнеса.

Преимущества, ограничения и области применения математических моделей оптимизации

Математические модели оптимизации — это мощный инструмент в арсенале современного менеджера и экономиста. Однако, как и любой инструмент, они имеют свои сильные стороны и ограничения, которые необходимо понимать для их эффективного применения.

Преимущества применения оптимизационных моделей

Использование математических моделей оптимизации предоставляет ряд неоспоримых преимуществ:

1. Принятие обоснованных решений: Модели позволяют принимать решения не на основе интуиции или опыта, а на строгом математическом расчете, учитывающем все доступные данные и ограничения. Это особенно важно в условиях ограниченных ресурсов и множества альтернатив.
2. Оптимизация использования ресурсов: Эти модели являются мощным инструментом для эффективного распределения и использования материальных, трудовых, финансовых и временных ресурсов. Это приводит к сокращению издержек, повышению производительности и минимизации потерь. Например, оптимизация логистических маршрутов может сократить транспортные затраты до 20%, а рациональное планирование производства увеличить пропускную способность до 30%.
3. Прогнозирование и планирование: Модели эффективны для краткосрочного и долгосрочного планирования производственных процессов, распределения продукции, инвестиций и других управленческих операций. Они позволяют предвидеть последствия различных решений.
4. Повышение эффективности деятельности: Системное применение оптимизационных моделей ведет к улучшению всех ключевых показателей эффективности (KPI) предприятия, начиная от операционных затрат и заканчивая качеством обслуживания клиентов.
5. Системный подход: Модели обеспечивают комплексный взгляд на проблему, учитывая взаимосвязи между различными факторами, переменными и ограничениями, что позволяет избегать суб-оптимизации (улучшения одной части системы в ущерб другой).
6. Сценарный анализ "что если": Одно из важнейших преимуществ. Модели позволяют быстро и эффективно тестировать различные сценарии, оценивая потенциальные последствия изменений во внешних условиях (например, колебания цен на сырье, изменение спроса) или управленчес��их решениях (например, увеличение производственных мощностей). Это дает менеджерам возможность принимать проактивные решения, а не реагировать на уже свершившиеся факты.

Ограничения математических моделей оптимизации

Несмотря на все достоинства, математические модели оптимизации не являются панацеей и обладают определенными ограничениями:

1. Требование линейности: Основное ограничение линейного программирования заключается в необходимости того, чтобы целевая функция и все ограничения были линейными. Это не всегда соответствует реальным процессам, где зависимости часто носят нелинейный характер (например, эффект масштаба, убывающая отдача).
2. Детерминированность: Большинство классических моделей предполагают, что все параметры (коэффициенты целевой функции, правые части ограничений) известны с абсолютной точностью. В реальной жизни это редко встречается, так как многие параметры являются случайными или неопределенными. Анализ чувствительности частично компенсирует это, но не устраняет проблему полностью.
3. Статический характер: Модели часто представляют собой "моментальный снимок" ситуации в определенный момент времени. Они плохо подходят для описания динамических процессов, которые меняются непрерывно. Для динамических задач требуются более сложные методы, такие как динамическое программирование.
4. Сложность при большой размерности: При значительном количестве переменных и ограничений ручное решение задач становится практически невозможным. Это требует использования специализированного программного обеспечения, которое не всегда доступно или легко осваивается.
5. Необходимость упрощений и допущений: Для построения адекватной модели часто приходится делать упрощения и допущения, которые могут снижать точность и адекватность модели реальной системе. Важно четко понимать, какие допущения были сделаны и как они влияют на достоверность результатов.
6. Проблема целочисленности: Часто в реальных задачах переменные решения должны быть целыми числами (например, количество произведенных автомобилей, число назначенных сотрудников). Классическое линейное программирование допускает дробные решения, что может быть нереалистично. Для решения таких задач используются более сложные методы целочисленного программирования:
   • Метод отсечений (например, метод Гомори): Добавляет новые линейные ограничения (отсечения) к исходной задаче, которые последовательно отсекают области с нецелочисленными решениями, пока не будет найдено оптимальное целочисленное решение.
   • Метод ветвей и границ: Рекурсивно разбивает пространство решений на подмножества, создавая "дерево решений". На каждом шаге решается задача линейного программирования без условия целочисленности. Если решение нецелочисленное, создаются две "ветви" с дополнительными ограничениями, которые исключают текущее нецелочисленное решение, пока не будет найдено оптимальное целочисленное.

Области применения в различных сферах

Несмотря на ограничения, математические модели оптимизации широко применяются в самых разнообразных отраслях народного хозяйства и управления:

• Экономика и управление: Оптимальное планирование производства (определение объемов выпуска продукции), распределение бюджета, составление инвестиционных портфелей, управление запасами, ценообразование.
• Промышленность: Планирование производственных мощностей, оптимизация расписаний работы оборудования, управление цепями поставок (supply chain management), рациональный раскрой материалов, контроль качества.
• Логистика и транспорт: Оптимизация транспортных маршрутов (задача коммивояжера), размещение складов, планирование графиков движения транспорта, управление загрузкой транспортных средств.
• Сфера услуг: С использованием теории массового обслуживания — оптимизация числа операторов в колл-центрах, кассиров в банках и магазинах, медицинского персонала в клиниках, планирование расписаний работы сотрудников, управление потоками клиентов.
• Сельское хозяйство: Оптимизация посевных площадей, составление рационов кормления животных, планирование орошения.
• Экология: Оптимизация распределения ресурсов для очистки окружающей среды, моделирование распространения загрязнений.

Таким образом, математические модели оптимизации являются мощным инструментом для повышения эффективности и принятия обоснованных решений в самых различных областях, требуя при этом глубокого понимания как их возможностей, так и ограничений.

Заключение

Проведенное исследование позволило нам погрузиться в многогранный мир оптимизации в исследовании операций. Мы проследили исторический путь становления этой важнейшей дисциплины, начиная от новаторских идей Гаспара Монжа и фундаментального вклада Леонида Канторовича, удостоенного Нобелевской премии, до современных алгоритмов и программных решений.

На примере общей задачи линейного программирования, транспортной задачи и задачи о назначениях мы детально изучили математические постановки, условия их применимости и методы решения. От графического метода, который дает наглядное представление о поиске оптимума, до универсального симплекс-метода и специализированных алгоритмов, таких как метод потенциалов и венгерский метод, мы увидели, как математика превращает сложные управленческие вызовы в строгие, разрешимые задачи.

Особое внимание было уделено практическому инструментарию — надстройке "Поиск решения" (Solver) в Microsoft Excel. Мы не только освоили механизм его использования для различных типов задач, но и подчеркнули критическую важность анализа отчетов Solver. Понимание "Отчета по устойчивости", "теневых цен" и допустимых диапазонов изменений параметров позволяет выходить за рамки простого нахождения чисел, переходя к глубокой экономической интерпретации и стратегическому управленческому анализу.

Теория массового обслуживания, с её основоположником Агнером Крарупом Эрлангом и нотацией Кендалла, продемонстрировала, как математические модели помогают справляться с хаосом очередей, оптимизируя ресурсы и повышая качество обслуживания в самых разных сферах — от колл-центров до логистики.

В конечном итоге, мы систематизировали преимущества и ограничения этих моделей, осознав, что, несмотря на их мощь в принятии обоснованных решений, оптимизации ресурсов и проведении сценарного анализа, они требуют тщательного подхода к допущениям, особенно в условиях нелинейности, неопределенности и целочисленности. Для будущих специалистов в области экономики, инженерии и IT глубокое понимание математических моделей оптимизации, методов их ручного и программного решения, а также умение анализировать полученные результаты является не просто академическим требованием, а жизненно важным навыком.

Эти знания позволяют не только решать текущие проблемы, но и формировать стратегическое видение, предвосхищать изменения и принимать решения, которые ведут к устойчивому развитию и повышению конкурентоспособности. Дальнейшее изучение может включать погружение в стохастическое программирование для учета неопределенности, нелинейное программирование для более сложных зависимостей и динамическое программирование для многошаговых процессов, что позволит еще глубже проникнуть в суть принятия оптимальных решений в условиях реального мира.

Список использованной литературы

1. Экономико-математические методы и модели для руководителя / под ред. Сергеева. М.: Экономика, 1984.
2. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холодов Н.И. Высшая математика: Математическое программирование. Минск: Вышэйшая школа, 1994. 350 с.
3. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965. 323 с.
4. Системный анализ и исследование операций: методические указания к курсовой работе для специальности 1-53.01.02.ПЗ — Автоматизированные системы обработки информации. Могилев: ММИ, 1996. 30 с.
5. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. М.: Финансы и статистика, 1998.
6. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. М., 1987.
7. Саати Т. Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения: пер. с англ. / под ред. И. Н. Коваленко, изд. 2. М., 1971.
8. Анализ чувствительности оптимального решения одноиндексных задач ЛП. URL: https://www.allmath.ru/theory/operations-research/linear-programming/sensitivity-analysis-of-optimal-solution-of-single-index-lp-problems.html (дата обращения: 07.11.2025).
9. Модели линейного программирования. URL: https://stud.osu.ru/assets/docs/posobie-po-chislennym-dlya-izdaniya.doc (дата обращения: 07.11.2025).
10. Алгоритм венгерского метода решения задачи о назначениях. URL: https://www.bsac.by/wp-content/uploads/matprog2ch_1.doc (дата обращения: 07.11.2025).
11. Графический метод решения задачи линейного программирования. URL: https://www.nsu.ru/education/mathematics/linear_programming/graphical_method/ (дата обращения: 07.11.2025).
12. Косоруков О. А., Фомин Г. П., Халиков М. А. Модели исследования операций: учебник. Москва: Русайнс, 2019. 190 с. ISBN 978-5-4365-3356-8. URL: https://book.ru/book/930101 (дата обращения: 07.11.2025).
13. Алгоритм симплексного метода. URL: https://studfile.net/preview/4405391/page:4/ (дата обращения: 07.11.2025).
14. Использование оптимизационных моделей в управлении предприятием. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/ispolzovanie-optimizatsionnyh-modeley-v-upravlenii-predpriyatiem (дата обращения: 07.11.2025).
15. Графический анализ чувствительности оптимальных решений задач линейного программирования. URL: https://vestnik-math.mgou.ru/jour/article/view/100/100 (дата обращения: 07.11.2025).
16. Математическая модель задачи о назначениях. URL: https://math-pr.ucoz.ru/index/0-23 (дата обращения: 07.11.2025).
17. Анализ чувствительности модели задачи линейного программирования. URL: https://uchebnik.online/ekonomicheskiy-analiz/analiz-chuvstvitelnosti-modeli-zadachi-lineynogo-programmirovaniya (дата обращения: 07.11.2025).
18. Основы анализа на чувствительность. URL: https://www.tspu.edu.ru/files/docs/science/publications/2012/matem_metodi_v_ekonomike.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
19. Графический метод решения задачи линейного программирования с использованием системы Mathcad. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/graficheskiy-metod-resheniya-zadachi-lineynogo-programmirovaniya-s-ispolzovaniem-sistemy-mathcad (дата обращения: 07.11.2025).
20. Формы записи задач линейного программирования. URL: https://www.bsac.by/wp-content/uploads/matprog2ch_1.doc (дата обращения: 07.11.2025).
21. Писарук Н. Н. Исследование операций. Минск: БГУ, 2015. 304 с. URL: https://www.bsu.by/upload/iblock/c38/c38b2d29e3c98889980e14a8069d273c.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
22. Хуторецкий А. Б., Горюшкин А. Б. Математические модели и методы исследования операций: учебное пособие для вузов. URL: https://www.litres.ru/a-b-hutoreckiy/matematicheskie-modeli-i-metody-issledovaniya-operaciy-uchebnoe-posobie-dlya-vuzov/ (дата обращения: 07.11.2025).
23. Метод потенциалов для решения транспортной задачи с ограничениями на пропускные способности. URL: https://www.tspu.edu.ru/files/docs/science/publications/2012/matem_metodi_v_ekonomike.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
24. Симплекс метод решения задач линейного программирования: типичный пример и алгоритм. URL: https://www.matburo.ru/tv_sub.php?p=alg_simplex (дата обращения: 07.11.2025).
25. Задача линейного программирования и различные формы ее записи. Приведение общей задачи ЛП к симметричной форме записи. URL: https://znanio.ru/media/zadacha-linejnogo-programmirovaniya-i-razlichnye-formy-ee-zapisi-privedenie-obschej-zadachi-lp-k-simmetrichnoj-forme-zapisi-2624419 (дата обращения: 07.11.2025).
26. Транспортная задача - решение методом потенциалов. URL: https://galyautdinov.ru/post/transportnaya-zadacha-metodom-potencialov (дата обращения: 07.11.2025).
27. Оптимизация - Системный анализ. URL: https://systems.wiki/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F (дата обращения: 07.11.2025).
28. Современные методы математического моделирования и оптимизации. URL: https://www.researchgate.net/publication/374823862_SOVREMENNYE_METODY_MATEMATICESKOGO_MODELIROVANIA_I_OPTIMIZACII (дата обращения: 07.11.2025).
29. Использование математического моделирования в управлении организациями. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/ispolzovanie-matematicheskogo-modelirovaniya-v-upravlenii-organizatsiyami (дата обращения: 07.11.2025).
30. Введение в математическое программирование. Лекция 3: Математическое программирование. Линейное программирование. Виды задач линейного программирования. Постановка задач линейного программирования и исследование их структуры. Решение задач линейного программирования симплекс-методом. URL: https://www.intuit.ru/studies/courses/3466/722/lecture/18790 (дата обращения: 07.11.2025).
31. Оптимизационные математические модели. URL: https://www.sistemati.ru/node/25 (дата обращения: 07.11.2025).