Комплексная методика подготовки учащихся к задаче №13 (С1) ЕГЭ по математике: тригонометрические уравнения и отбор корней

Представьте себе картину: выпускник, на пороге взрослой жизни, сталкивается с экзаменом, который призван не только проверить знания, но и стать мостом к будущему. Единый государственный экзамен по математике профильного уровня — это именно такой мост, и задача №13 (исторически известная как С1) является одной из его ключевых опор. Эта задача, требующая решения тригонометрических уравнений и последующего отбора корней, ежегодно становится камнем преткновения для тысяч абитуриентов. Средний процент её выполнения в 2024 году составил лишь 11,6%, а в 2026 году ожидается снижение до 5,6%, что подчеркивает её особую сложность и критическую значимость для итогового балла.

Настоящая курсовая работа посвящена разработке комплексной методики, призванной не просто научить школьников решать типовые уравнения, а сформировать глубокое понимание тригонометрии, развить аналитическое мышление и устойчивые навыки, необходимые для успешного преодоления этого барьера. Мы поставили перед собой цель не только проанализировать теоретические основы задачи №13, но и предложить научно-обоснованные методические подходы, дидактические приемы и практические стратегии, способные существенно повысить эффективность подготовки. Особое внимание будет уделено систематизации типичных ошибок учащихся, разработке адресных путей их предупреждения и коррекции, а также интеграции современных образовательных технологий в учебный процесс. Структура работы последовательно раскрывает эти аспекты, двигаясь от теоретического анализа к конкретным практическим рекомендациям, что делает её ценным ресурсом для студентов педагогических вузов, преподавателей математики и, конечно же, самих абитуриентов.

Глава 1. Теоретические основы и анализ задачи №13 (С1) ЕГЭ по математике

1.1. Общие сведения о задаче №13 (С1) ЕГЭ по математике профильного уровня

Задание №13 в структуре контрольно-измерительных материалов (КИМ) Единого государственного экзамена по математике профильного уровня занимает особое место. Это не просто рядовая задача, а один из первых шагов в блок заданий с развернутым ответом, требующих не только нахождения верного результата, но и полного, обоснованного хода решения. Исторически известное как С1, это задание относится к категории повышенного уровня сложности, что подтверждается его оценкой в 2 первичных балла; при переводе в тестовые баллы эти 2 балла могут оказаться решающими для поступления на бюджетные места в престижные вузы, а значит, каждый выпускник должен понимать их критическое значение.

Рекомендуемое время на выполнение задачи №13 составляет примерно 20 минут. Однако, как показывает практика, многие учащиеся тратят значительно больше времени, что негативно сказывается на возможности решения более сложных задач второй части экзамена. Содержание задания традиционно включает два основных компонента: во-первых, решение тригонометрического уравнения, которое может быть как относительно простым, так и требовать комплексных преобразований; во-вторых, последующий отбор корней, принадлежащих определенному числовому промежутку. Оба пункта требуют не только глубоких предметных знаний, но и аккуратности, внимательности и логического мышления.

Статистика выполнения задания №13 ежегодно демонстрирует его проблемность для значительной части выпускников. Например, в 2024 году средний процент выполнения этого задания составил лишь 11,6% среди всех участников ЕГЭ по математике профильного уровня. Прогнозы на 2026 год указывают на дальнейшее снижение этого показателя до 5,6%, что является тревожным сигналом и подчеркивает острую необходимость в разработке эффективных методик подготовки. Несмотря на то, что задача №13 считается одним из наиболее «доступных» заданий второй части, высокий процент ошибок, особенно в части отбора корней и обоснования решения, приводит к потере драгоценных баллов. Для получения максимальных 2 баллов необходимо безупречно выполнить оба пункта: и решить уравнение, и корректно отобрать корни на заданном промежутке. Любые недочеты, даже вычислительные, могут снизить балл до 1 или обнулить его вовсе при серьезных логических ошибках.

1.2. Динамика изменений в структуре и содержании задачи №13 (С1) ЕГЭ за 2021-2026 гг.

Понимание эволюции экзаменационных требований является краеугольным камнем любой эффективной методики подготовки. За последние 3-5 лет Федеральный институт педагогических измерений (ФИПИ) проводил ежегодную актуализацию демоверсий, спецификаций и кодификаторов ЕГЭ. Детальный сравнительный анализ этих документов позволяет выявить устойчивые тенденции и новые акценты, касающиеся задачи №13 (ранее С1).

Исторически задача С1 всегда концентрировалась на проверке навыков решения тригонометрических уравнений. Основное ядро задания — решение уравнения и отбор корней — оставалось неизменным. Однако, если в более ранних версиях ЕГЭ (до 2021 года) допускались более простые конструкции уравнений или менее строгие требования к оформлению, то с течением времени наблюдалось усложнение форм уравнений и ужесточение критериев оценивания.

Основные тенденции и изменения (2021-2026 гг.):

1. Усложнение типов уравнений: Хотя базовые тригонометрические функции и формулы остаются основой, ФИПИ регулярно включает в КИМ уравнения, требующие более глубокого понимания преобразований:
   • Чаще стали встречаться уравнения, где требуется не одна, а несколько последовательных замен переменной или использование нескольких тригонометрических формул.
   • Увеличилась доля уравнений с элементами ОДЗ, особенно связанных с тангенсом, котангенсом, корнями или логарифмами. Это требует от учащихся не просто решения, но и тщательного анализа допустимых значений.
   • Появились комбинированные уравнения, где тригонометрические функции могут сочетаться с алгебраическими, логарифмическими или показательными элементами, что требует комплексного подхода.
2. Строгость отбора корней: Требования к отбору корней на заданном промежутке стали более строгими. Если ранее допускался более свободный подход, то сейчас от учащихся ожидается четкое обоснование выбранного метода отбора и аккуратное представление всех вычислений. Особое внимание уделяется правильному определению границ промежутка и включению/исключению граничных точек.
3. Стабильность в структуре (2025-2026 гг.): Важным наблюдением является то, что демонстрационные варианты ЕГЭ 2025 и 2026 годов по профильной математике от ФИПИ не содержат существенных изменений в структуре и содержании контрольно-измерительных материалов по сравнению с предыдущими годами. Такая стабильность предоставляет возможность для глубокой и планомерной подготовки, так как нет необходимости постоянно адаптироваться к новым форматам.
4. Фокус на обоснованности и полноте решения: Критерии оценивания все больше акцентируют внимание не только на правильности ответа, но и на логике рассуждений и полноте оформления. Потеря корней, неучет ОДЗ, неверное применение формул или ошибки в отборе корней могут привести к снижению балла или его полному обнулению, даже если часть решения выглядит верной. Это подчеркивает, что задача №13 — это не только проверка умения решать, но и умения доказывать.

Таблица 1: Динамика требований к заданию №13 (С1) ЕГЭ по математике, 2021-2026 гг.

Характеристика	2021-2023 гг.	2024-2026 гг.
Уровень сложности	Повышенный	Повышенный
Первичный балл	2	2
Основное содержание	Решение тригонометрического уравнения и отбор корней	Решение тригонометрического уравнения и отбор корней
Типы уравнений	Преимущественно стандартные; замена переменной, разложение	Усложнение: комбинированные, с ОДЗ, универсальные подстановки
Требования к ОДЗ	Важно, но иногда допускались неявные формулировки	Строгое обязательство, ошибки приводят к обнулению балла
Методы отбора корней	Допустимы различные методы, но с обоснованием	Особый акцент на обоснованности, наглядности (окружность)
Критерии оформления	Требовалась логика, но возможны небольшие недочеты	Строгость: каждый шаг обоснован, полнота решения критична
Изменения в демоверсиях	Возможны незначительные изменения	Существенных изменений не наблюдается (2025-2026)

Таким образом, методическая подготовка должна быть направлена не только на освоение стандартных алгоритмов, но и на развитие гибкости мышления, умения анализировать, обосновывать каждый шаг решения и адаптироваться к возможным вариациям заданий. Особое внимание следует уделять строгому выполнению требований к оформлению, ведь даже при верном решении, некорректная запись может привести к потере баллов.

1.3. Классификация тригонометрических уравнений и методы их решения в контексте задачи №13 ЕГЭ

В сердце задачи №13 ЕГЭ по математике профильного уровня лежит тригонометрическое уравнение — особый тип математических выражений, где переменная находится под знаком одной или нескольких тригонометрических функций. Глубокое понимание их сущности и виртуозное владение методами решения является основой успеха.

Прежде всего, стоит выделить простейшие тригонометрические уравнения, которые являются строительными блоками для всех более сложных конструкций:

• sin(x) = a: имеет решения, если |a| ≤ 1. Общее решение записывается как x = arcsin(a) + 2πn или x = π — arcsin(a) + 2πn, где n ∈ ℤ.

• cos(x) = a: имеет решения, если |a| ≤ 1. Общее решение: x = ±arccos(a) + 2πn, где n ∈ ℤ.

• tg(x) = a: имеет решения для любых a. Общее решение: x = arctg(a) + πn, где n ∈ ℤ.

• ctg(x) = a: имеет решения для любых a. Общее решение: x = arcctg(a) + πn, где n ∈ ℤ.

Важно помнить о частных случаях, таких как sin(x) = 0, ±1, cos(x) = 0, ±1, tg(x) = 0, которые имеют упрощенные формулы общего решения, помогающие избежать излишних записей.

Теперь перейдем к методам решения тригонометрических уравнений, которые наиболее часто встречаются в КИМ ЕГЭ профильного уровня. Эти методы представляют собой арсенал инструментов, позволяющих свести сложное уравнение к одному или нескольким простейшим:

1. Замена переменной и сведение к алгебраическому уравнению (чаще квадратному): Этот метод применяется, когда уравнение содержит одну и ту же тригонометрическую функцию (или выражение) в разных степенях. Например, уравнение вида a(f(x))2 + b f(x) + c = 0 легко решается заменой y = f(x), после чего оно превращается в квадратное уравнение ay2 + by + c = 0. Классический пример — 2cos2(x) - 3cos(x) + 1 = 0, где y = cos(x).
2. Разложение на множители: Применение этого метода позволяет преобразовать уравнение так, чтобы левая часть была произведением нескольких множителей, а правая равна нулю. Тогда каждый множитель приравнивается к нулю. Это часто достигается вынесением общего множителя за скобки или группировкой. Например, sin(x)cos(x) - sin(x) = 0 преобразуется в sin(x)(cos(x) - 1) = 0.
3. Однородные уравнения относительно sin(x) и cos(x): Уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = 0 (однородные первой степени) или a sin2(x) + b sin(x)cos(x) + c cos2(x) = 0 (однородные второй степени) решаются делением на cos(x) или cos2(x) соответственно, при условии, что cos(x) ≠ 0. При этом важно сначала проверить случай cos(x) = 0 отдельно.
4. Использование формул двойного угла, приведения и других тригонометрических тождеств: Обширный набор тригонометрических формул — основа для преобразования уравнений к более простому виду.
   • Формулы двойного угла: sin(2x) = 2sin(x)cos(x), cos(2x) = cos2(x) - sin2(x) = 2cos2(x) - 1 = 1 - 2sin2(x). Они часто используются для понижения степени или приведения аргументов к одному значению.
   • Формулы приведения: Позволяют преобразовывать тригонометрические функции углов вида π/2 ± α, π ± α, 3π/2 ± α, 2π ± α к функциям угла α, что унифицирует выражения.
   • Сумма и разность функций: sin(α) ± sin(β), cos(α) ± cos(β) и т.д.
   • Формулы понижения степени: sin²(x) = (1 — cos(2x))/2, cos²(x) = (1 + cos(2x))/2.
5. Универсальная тригонометрическая подстановка: tg(x/2) = t. Эта подстановка позволяет выразить sin(x) и cos(x) через t: sin(x) = 2t/(1 + t²), cos(x) = (1 — t²)/(1 + t²). Метод универсален, но может привести к сложным алгебраическим уравнениям и требует учета x/2 ≠ π/2 + πk, то есть x ≠ π + 2πk.
6. Введение дополнительного угла: Метод применяется для уравнений вида a sin(x) + b cos(x) = c. Выражение a sin(x) + b cos(x) можно преобразовать в R sin(x + φ) или R cos(x — ψ), где R = √(a² + b²).
7. Метод оценки: Основан на использовании свойств тригонометрических функций, их ограниченности (|sin(x)| ≤ 1, |cos(x)| ≤ 1) и области значений. Например, если уравнение имеет вид sin(x) + cos(x) = 2, то оно не имеет решений, так как максимальное значение sin(x) + cos(x) равно √2 ≈ 1,41. Также этот метод эффективен, когда сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, что означает, что каждое из них должно быть равно нулю.
8. Работа с Областью Допустимых Значений (ОДЗ): Это критически важный этап. Наличие в уравнении дробей, корней, логарифмов, арксинусов, арккосинусов или функций tg(x), ctg(x) требует обязательного определения ОДЗ. Например, для tg(x) необходимо условие cos(x) ≠ 0, то есть x ≠ π/2 + πk, k ∈ ℤ. Игнорирование ОДЗ может привести к появлению посторонних корней или, наоборот, к потере допустимых решений. Анализ ОДЗ должен проводиться на начальном этапе решения уравнения.

Пример: рассмотрим уравнение (cos(x) + 1) / tg(x) = 0.
Здесь необходимо учесть ОДЗ для tg(x), а именно cos(x) ≠ 0, то есть x ≠ π/2 + πk, k ∈ ℤ.
Далее, дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: cos(x) + 1 = 0, что дает cos(x) = -1, откуда x = π + 2πn, n ∈ ℤ.
Теперь проверяем, не нарушает ли это ОДЗ. Если x = π + 2πn, то cos(x) = -1, что удовлетворяет условию cos(x) ≠ 0. Таким образом, серия корней x = π + 2πn является решением.

Мастерство решения задачи №13 заключается в умении быстро и безошибочно выбрать наиболее рациональный метод, выполнить преобразования, не упустив при этом ни одного нюанса, связанного с ОДЗ. Ведь именно внимательное отношение к ОДЗ часто отличает полноценное решение от работы, содержащей скрытые логические ошибки.

1.4. Методы отбора корней тригонометрических уравнений на заданном числовом промежутке

После того как основное тригонометрическое уравнение успешно решено и получены общие формулы корней, наступает вторая, не менее ответственная часть задачи №13 — отбор корней, принадлежащих указанному числовому промежутку. Этот этап часто вызывает затруднения у учащихся и является источником многочисленных ошибок. Необходимость отбора корней продиктована тем, что тригонометрические функции периодичны, и их уравнения имеют бесконечное множество решений, в то время как экзаменаторы просят найти лишь те, что лежат в строго ограниченном интервале.

Существует несколько эффективных способов отбора корней, каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки:

1. С помощью единичной (тригонометрической) окружности:
   • Принцип: Этот метод является, пожалуй, наиболее наглядным, интуитивно понятным и универсальным. Он базируется на визуализации тригонометрических функций как координат точек на единичной окружности.
   • Алгоритм:
     1. Изобразить единичную окружность.
     2. Отметить на ней заданный числовой промежуток. Важно правильно определить начальную и конечную точки промежутка, двигаясь против часовой стрелки.
     3. Нанести на окружность точки, соот��етствующие сериям корней уравнения.
     4. Выделить те точки, которые попадают в заданный промежуток.
     5. Записать значения этих точек, учитывая их положение относительно начала промежутка.
   • Преимущества: Малый объем вычислений, высокая наглядность, что снижает вероятность ошибки. Особенно удобен, если корни содержат нетабличные углы (например, arcsin(1/3)) или длина промежутка меньше, чем 2π.
   • Недостатки: Требует хорошего пространственного воображения и уверенного владения концепцией единичной окружности. При очень длинных промежутках (например, более 2-3 оборотов) может стать менее удобным, хотя и остаётся применимым.
2. Решение двойного неравенства относительно целочисленного параметра n:
   • Принцип: Каждая серия корней (например, x = α + 2πn) подставляется в двойное неравенство, соответствующее заданному промежутку [a; b], то есть a ≤ α + 2πn ≤ b.
   • Алгоритм:
     1. Для каждой серии корней составить двойное неравенство.
     2. Решить это неравенство относительно параметра n.
     3. Найти все целые значения n, удовлетворяющие полученному неравенству.
     4. Подставить каждое найденное значение n в формулу серии корней, чтобы получить конкретные значения x.
   • Преимущества: Универсален, подходит для любых промежутков и серий корней. Хорошо структурирован и логичен.
   • Недостатки: Может быть достаточно трудоемким, особенно при большом количестве серий корней или при сложных значениях α (например, дроби с π). Требует аккуратности в вычислениях с неравенствами.
3. Перебор значений целочисленного параметра n:
   • Принцип: После получения общих формул корней, последовательно подставляются различные целые значения n (начиная, как правило, с 0, 1, -1, 2, -2 и так далее) и вычисляются соответствующие значения x.
   • Алгоритм:
     1. Для каждой серии корней подставлять n = 0, ±1, ±2, ….
     2. Вычислять соответствующие x.
     3. Сравнивать каждое x с границами заданного промежутка [a; b].
     4. Записывать только те корни, которые попадают в промежуток.
   • Преимущества: Прост и понятен в освоении, универсален.
   • Недостатки: Может потребовать большого объема вычислений и перебора, особенно если корни лежат далеко от нуля или промежуток очень широкий. Есть риск пропустить корень, если остановиться слишком рано.
4. С помощью числовой прямой (оси):
   • Принцип: На числовой прямой отмечается заданный промежуток. Затем на ней же отмечаются точки, соответствующие корням уравнения, с учетом их периодичности.
   • Алгоритм:
     1. Начертить числовую прямую и отметить на ней границы заданного промежутка.
     2. Для каждой серии корней нанести несколько точек, соответствующих n = 0, ±1, ±2, …, чтобы «покрыть» промежуток.
     3. Выбрать те точки, которые попадают в промежуток.
   • Преимущества: Нагляден, если промежуток имеет большую длину (более 2π) или корни уравнения имеют вид α + βk, где β > 2π.
   • Недостатки: Менее точен, чем окружность, для визуализации тригонометрических значений. Требует аккуратности в масштабировании.
5. Функционально-графический способ:
   • Принцип: Корни уравнения f(x) = g(x) определяются как абсциссы точек пересечения графиков функций y = f(x) и y = g(x). Для отбора корней на промежутке [a; b] нужно найти точки пересечения графиков именно в пределах этого интервала.
   • Алгоритм:
     1. Построить графики функций, участвующих в уравнении (например, y = sin(x) и y = a).
     2. Нанести на график заданный промежуток.
     3. Определить точки пересечения, которые попадают в этот промежуток.
   • Преимущества: Очень нагляден, особенно для простейших уравнений. Помогает понять природу решений.
   • Недостатки: Требует точного построения графиков, что может быть затруднительно и времязатратно на экзамене. Для сложных уравнений построение графиков может быть нецелесообразным.

Важно отметить, что критерии оценивания ЕГЭ не предписывают использования какого-либо конкретного способа отбора корней. Учащийся свободен выбрать тот метод, который ему наиболее удобен и понятен, главное — чтобы решение было полным, обоснованным и верным. Однако опыт показывает, что единичная окружность часто оказывается наиболее быстрым и наименее ошибочным способом, особенно при хорошем владении ею.

Таблица 2: Сравнительный анализ методов отбора корней

Метод отбора корней	Преимущества	Недостатки	Рекомендуемые ситуации
Единичная окружность	Наглядность, минимальные вычисления, универсальность	Требует хорошего понимания окружности, может быть менее удобен для очень широких промежутков	Чаще всего, особенно для нетабличных углов и промежутков до 2π
Двойное неравенство	Универсальность, логическая строгость	Трудоемкость при сложных α или большом числе серий корней	Широкие промежутки, несколько серий корней, когда визуализация затруднена
Перебор параметра n	Простота освоения, универсальность	Высокий объем вычислений, риск пропустить корни	Промежутки, близкие к нулю, или когда n принимает небольшие значения
Числовая прямая	Наглядность для длинных промежутков	Менее точен, чем окружность, для тригонометрических значений	Промежутки длиной > 2π, корни вида α + βk с большими β
Функционально-графический	Высокая наглядность, способствует пониманию	Времязатратен, требует точного построения графиков	Для простейших уравнений, для визуализации и проверки решений

Глава 2. Методические аспекты и практические рекомендации по подготовке к задаче №13 (С1) ЕГЭ

2.1. Типичные ошибки учащихся при решении задачи №13 и научно-обоснованные пути их предупреждения и коррекции

Задача №13 ЕГЭ по математике профильного уровня, несмотря на кажущуюся простоту некоторых её вариаций, является источником множества типичных ошибок, которые приводят к потере ценных баллов. Анализ этих ошибок, подкрепленный методическими рекомендациями ФИПИ (2021–2024 гг.), позволяет разработать адресные стратегии их предупреждения и коррекции.

Систематизация типичных ошибок:

1. Потеря корней при сокращении на общий множитель:
   • Суть ошибки: Часто учащиеся, видя общий множитель, например cos(x), в уравнении типа 2sin(x)cos(x) - cos(x) = 0, сокращают на него, не учитывая, что cos(x) может быть равен нулю. В результате теряются корни, соответствующие cos(x) = 0.
   • Пример: При сокращении cos(x) в уравнении 2sin(x)cos(x) = cos(x) (то есть 2sin(x)cos(x) - cos(x) = 0) остаются только корни sin(x) = 1/2, а корни cos(x) = 0 теряются.
   • Пути предупреждения и коррекции:
     • Педагогическая стратегия: Всегда акцентировать внимание на том, что деление на переменную величину допустимо только в том случае, если эта величина гарантированно не равна нулю. Если она может быть равна нулю, необходимо либо вынести ее за скобки, либо рассмотреть случай равенства нулю отдельно.
     • Дидактический прием: Использование «правила нуля»: произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. При решении уравнений такого типа всегда призывать учащихся к разложению на множители.
2. Неучет области допустимых значений (ОДЗ):
   • Суть ошибки: Игнорирование условий существования функций, таких как тангенс (cos(x) ≠ 0), котангенс (sin(x) ≠ 0), знаменатели дробей, выражения под корнем, аргументы логарифмов и аркфункций. Это приводит к включению в ответ посторонних корней, которые не удовлетворяют исходному уравнению.
   • Пример: В уравнении tg(x) = 1 корни x = π/4 + πn. Если исходное уравнение было (tg(x) — 1) / cos(x) = 0, то cos(x) не может быть равен нулю, что в данном случае соблюдается. Но если, например, в уравнении присутствовал tg(x) и требовались решения, при которых cos(x) = 0, эти решения будут исключены ОДЗ. Особо критично: ошибки в определении ОДЗ или потеря корней могут привести к обнулению баллов за все задание №13, даже если остальные шаги решения выполнены верно.
   • Пути предупреждения и коррекции:
     • Педагогическая стратегия: Формирование привычки всегда начинать решение с тщательного анализа ОДЗ. Создавать «чек-лист» условий для различных типов функций.
     • Дидактический прием: Включение в тренировочные задачи специально сконструированных уравнений с явными ограничениями по ОДЗ. Подробный разбор таких примеров с акцентом на исключение посторонних корней.
3. Арифметические и вычислительные ошибки:
   • Суть ошибки: Неточности при сложении, вычитании, умножении, делении, работе с дробями и знаками, особенно при подстановке значений n для отбора корней.
   • Пример: Неверное вычисление π/6 + 2π · 3 = 37π/6 вместо π/6 + 6π = 37π/6.
   • Пути предупреждения и коррекции:
     • Педагогическая стратегия: Подчеркивать важность внимательности. Регулярная практика устных вычислений и быстрых проверок.
     • Дидактический прием: Введение этапа «самопроверки» после каждого вычислительного действия. Использование таблиц тригонометрических значений, чтобы избежать ошибок с табличными углами. Наличие вычислительной ошибки, даже при верной последовательности всех шагов решения обоих пунктов, может привести к снижению балла с 2 до 1.
4. Ошибки в применении тригонометрических формул и периодичности:
   • Суть ошибки: Неправильное использование формул приведения, двойного угла, суммы/разности функций. Неверный учет периодичности при записи общих решений (например, использование πn вместо 2πn или наоборот).
   • Пример: Замена cos(2x) на cos²(x) + sin²(x) вместо cos²(x) — sin²(x). Или запись решения sin(x) = 0 как x = 2πn вместо x = πn.
   • Пути предупреждения и коррекции:
     • Педагогическая стратегия: Систематическое повторение и глубокое понимание происхождения формул, а не простое заучивание.
     • Дидактический прием: Создание «шпаргалок» с формулами, но с обязательным требованием объяснения каждой формулы. Решение задач на преобразование выражений до начала решения уравнений. Акцент на разницу в периодичности sin/cos (2π) и tg/ctg (π).
5. Неправильный отбор корней или его отсутствие:
   • Суть ошибки: Неумение правильно работать с границами промежутка, неверное определение количества корней, пропуск корней или включение лишних. Иногда учащиеся находят общее решение, но полностью игнорируют второй пункт задания.
   • Пример: В промежутке [0; 2π] для sin(x) = 1/2 должны быть корни π/6 и 5π/6. Часто указывается только один или добавляются корни из других периодов.
   • Пути предупреждения и коррекции:
     • Педагогическая стратегия: Тщательная отработка всех методов отбора корней, с особым акцентом на единичную окружность как наиболее наглядный инструмент.
     • Дидактический прием: Постоянная практика отбора корней на разных промежутках. Использование цветового кодирования на окружности для визуализации промежутка.
6. Нахождение значения параметра n, но не самого корня x:
   • Суть ошибки: Учащиеся доводят решение до нахождения n, но забывают подставить его обратно в формулу корней, чтобы получить конкретные значения x.
   • Пути предупреждения и коррекции:
     • Педагогическая стратегия: Четкое проговаривание и запись алгоритма отбора корней с обязательным последним шагом — вычислением x.
     • Дидактический прием: Введение «контрольного вопроса»: «Что именно требуется найти в этом пункте?».
7. Неверное оформление решения, отсутствие обоснований:
   • Суть ошибки: Недостаточная детализация шагов, отсутствие пояснений при переходе от одного этапа к другому, беспорядочное изложение. Отсутствие полного решения пункта «а» (решение уравнения) автоматически ведет к 0 баллам за все задание №13.
   • Пример: Простое написание x = π/2 + πk без указания, что k ∈ ℤ, или без пояснения, как был осуществлен переход от одной формы уравнения к другой.
   • Пути предупреждения и коррекции:
     • Педагогическая стратегия: Последовательное обучение правилам оформления математических решений. Использование образцов идеальных решений ФИПИ.
     • Дидактический прием: Регулярная проверка не только правильности ответа, но и качества оформления. Приучение к четкой структуре: «Дано», «Найти», «Решение», «Ответ».

Методические рекомендации ФИПИ для учителей (2021–2024 гг.) подтверждают актуальность этих проблем и предлагают конкретные направления работы: систематическое изучение формул, акцент на ОДЗ, использование наглядных методов (окружность), а также проработка каждого шага решения и его обоснования.

2.2. Эффективные методические подходы и дидактические приемы для формирования устойчивых навыков решения задачи №13

Формирование устойчивых навыков решения тригонометрических уравнений и отбора корней требует не простого натаскивания, а системного, научно-обоснованного подхода. В этом контексте ключевую роль играет системно-деятельностный подход, который предполагает активное включение учащегося в процесс познания, создание условий для самостоятельного поиска, анализа и применения знаний.

Основные методические подходы и дидактические приемы:

1. Алгоритмизированные подходы к решению уравнений:
   • Суть: Разработка и освоение четких, пошаговых алгоритмов для каждого типа тригонометрических уравнений, начиная от простейших и постепенно усложняя их.
   • Прием:
     • «Дерево решений»: Создание блок-схемы, которая помогает учащемуся определить тип уравнения и выбрать соответствующий метод решения. Например: «Есть ли ОДЗ?» → «Да» (определить и записать) / «Нет». «Есть ли общий множитель?» → «Да» (вынести за скобки) / «Нет». «Можно ли свести к квадратному?» → «Да» (замена переменной) / «Нет» и т.д.
     • Пошаговые инструкции: Для каждого типа уравнений (например, однородные, сводимые к квадратным) разрабатываются подробные инструкции, которые учащиеся сначала используют как опору, а затем интериоризируют.
2. Развитие понимания единичной окружности как универсального инструмента:
   • Суть: Единичная окружность — это не просто чертеж, а мощный аналитический инструмент, который помогает не только отбирать корни, но и понимать знаки функций, формулы приведения, периодичность и даже решать некоторые простейшие уравнения.
   • Прием:
     • «Лаборатория окружности»: Регулярные практические занятия, где учащиеся самостоятельно строят окружность, отмечают углы, значения функций, промежутки. Использование интерактивных симуляторов единичной окружности.
     • Визуализация формул: Объяснение формул приведения и периодичности через движение по окружности, а не просто их заучивание. Например, «показать», почему sin(π + x) = -sin(x).
3. Использование опорных схем и визуализации материала:
   • Суть: Структурирование сложной информации с помощью наглядных средств, помогающих учащимся видеть взаимосвязи и устранять пробелы в знаниях.
   • Прием:
     • Интеллект-карты (Mind Maps): Создание схем, объединяющих все тригонометрические формулы, методы решения и отбора корней в единую логическую структуру.
     • Таблицы-памятки: Обобщающие таблицы по формулам, значениям функций, алгоритмам отбора корней.
4. Акцент на логике, обоснованности и полноте оформления решений:
   • Суть: Задача №13 оценивается не только по ответу, но и по обоснованности каждого шага. Это требует от учащегося не просто решения, а его доказательства.
   • Прием:
     • «Адвокат и прокурор»: Разбор решения, где один учащийся «защищает» каждый шаг, а другой «ищет» слабые места и отсутствие обоснований.
     • Эталонное оформление: Постоянное предъявление учащимся образцов идеально оформленных решений (например, из методических рекомендаций ФИПИ) с подробным разбором каждого элемента.
     • Самопроверка по критериям: Обучение учащихся самостоятельно оценивать свои работы по официальным критериям ЕГЭ, обращая внимание на полноту и обоснованность.
5. Разбор типовых задач с подробными комментариями:
   • Суть: Практика — ключ к мастерству. Но практика должна быть осмысленной, с глубоким анализом каждого этапа.
   • Прием:
     • «Разбор полётов»: После выполнения задачи коллективный разбор различных подходов к решению, анализ ошибок, поиск наиболее рационального пути. Учитель комментирует не только «что сделано», но и «почему сделано именно так».
     • Примерные решения: Регулярное предоставление учащимся задач с уже готовыми, подробно расписанными решениями, которые они анализируют и комментируют.
6. Формирование навыков самостоятельного анализа и оценки:
   • Суть: Выпускник должен уметь не только решать, но и критически оценивать условие, выбирать оптимальный метод и проверять полученный результат.
   • Прием:
     • «Задача с подвохом»: Включение в тренировочные материалы задач, где требуется сначала найти ОДЗ, определить, есть ли посторонние корни, или где «очевидный» путь решения оказывается неверным.
     • «Обратная задача»: По заданным корням или промежутку составить соответствующее тригонометрическое уравнение.
7. Применение разнообразных форм работы:
   • Суть: Системно-деятельностный подход предполагает разнообразие форм активности.
   • Прием:
     • Индивидуальная работа: Для отработки базовых навыков и преодоления индивидуальных затруднений.
     • Фронтальная работа: Для объяснения нового материала, обзора типичных ошибок.
     • Парная работа: «Взаимообучение» и «взаимопроверка», когда учащиеся объясняют друг другу методы решения и контролируют оформление.
     • Групповая работа: Для решения более сложных, комплексных задач, где требуется коллективное обсуждение и поиск оптимальной стратегии.

Интеграция этих подходов и приемов в учебный процесс позволяет не только подготовить учащихся к успешному решению задачи №13 на ЕГЭ, но и развить их математическую культуру, логическое мышление и способность к самообразованию.

2.3. Роль современных образовательных технологий и цифровых ресурсов в оптимизации подготовки к задаче №13

В условиях цифровизации образования современные образовательные технологии и цифровые ресурсы становятся неотъемлемой частью эффективной подготовки к Единому государственному экзамену, в том числе и к задаче №13 (тригонометрические уравнения и отбор корней). Их потенциал заключается не только в предоставлении доступа к информации, но и в создании интерактивной обучающей среды, способствующей систематизации знаний, отработке навыков и контролю усвоения материала.

Ключевые электронные ресурсы и их педагогическая эффективность:

1. Официальный сайт Федерального института педагогических измерений (ФИПИ) (fipi.ru):
   • Функционал: Это первоисточник всех официальных материалов ЕГЭ: демоверсии, спецификации, кодификаторы, открытый банк заданий, а также аналитические отчеты и методические рекомендации для учителей.
   • Педагогическая эффективность:
     • Актуальность: Гарантия соответствия подготовки последним требованиям экзамена.
     • Банк заданий: Открытый банк заданий ФИПИ позволяет тренировать различные типы задач №13, отслеживать динамику изменений в формулировках и оперативно проверять полученные ответы. ФИПИ рекомендует использовать его для тематического повторения, а не только для решения полных вариантов, что способствует глубокому освоению каждого типа уравнения.
     • Аналитика ошибок: Методические рекомендации для учителей, опубликованные на сайте, содержат детальный анализ типичных ошибок участников ЕГЭ прошлых лет (2021–2024 гг.). Изучение этих материалов помогает преподавателям и учащимся целенаправленно работать над «проблемными» зонами.
2. Образовательные платформы и сайты:
   • Alexlarin.net: Известен своими регулярными публикациями вариантов ЕГЭ, богатой библиотекой задач и подробными видеоразборами. Педагогическая ценность — возможность решения задач повышенной сложности и ознакомления с альтернативными методами.
   • РешуЕГЭ (ege.sdamgia.ru): Один из самых популярных ресурсов. Предлагает обширную базу заданий, систематизированных по темам, с возможностью генерации индивидуальных вариантов.
     • Педагогическая эффективность: Интерактивные тренажеры позволяют учащимся самостоятельно тренироваться, получать мгновенную обратную связь, отслеживать прогресс. Система тегов и фильтров помогает сфокусироваться на конкретных типах тригонометрических уравнений или методах отбора корней.
   • Умскул (umschool.net), Skysmart, College.ru, School-collection.edu.ru, MathUs.ru, Экзамер, Вебиум: Эти платформы предлагают структурированные онлайн-курсы, теоретические материалы, видеоуроки, вебинары и интерактивные задания.
     • Педагогическая эффективность: Позволяют учащимся изучать теорию в удобном темпе, смотреть разборы сложных тем, конспектировать информацию и прорешивать задания с автоматической проверкой. Разнообразие форматов (текст, видео, интерактив) адаптируется к различным стилям обучения.
3. Онлайн-курсы и видеоуроки (например, на YouTube):
   • Функционал: Предоставляют объяснения материала в доступной форме, демонстрацию решения задач, часто с акцентом на «подводные камни» и типичные ошибки.
   • Педагогическая эффективность: Идеальны для визуалов и аудиалов. Позволяют многократно пересматривать сложные моменты, останавливаться на паузу, делать записи. Многие каналы предлагают структурированные плейлисты по заданию №13, что удобно для пошагового изучения.
4. Интерактивные сервисы и тренажеры:
   • Функционал: Специализированные приложения или веб-сервисы, которые позволяют отрабатывать отдельные навыки, например, работу с единичной окружностью, запоминание формул, решение простейших уравнений.
   • Педагогическая эффективность: Геймификация процесса обучения повышает мотивацию. Мгновенная проверка и подсказки помогают оперативно корректировать ошибки, не дожидаясь проверки преподавателем.

Общая роль цифровых ресурсов в подготовке к задаче №13:

• Систематизация знаний: Ресурсы помогают структурировать огромный объем информации по тригонометрии.
• Отработка навыков: Многочисленные задания и тренажеры обеспечивают необходимую практику.
• Доведение решений до результата: Возможность многократного прорешивания и проверки способствует закреплению алгоритмов.
• Адекватная проверка: Автоматическая проверка ответов и подробные решения позволяют учащимся самостоятельно контролировать свой прогресс.
• Индивидуализация обучения: Каждый может выбрать свой темп и уровень сложности, фокусируясь на «западающих» темах.

Таким образом, грамотная интеграция цифровых образовательных технологий и ресурсов в процесс подготовки к задаче №13 ЕГЭ является мощным фактором оптимизации, позволяющим повысить не только результативность, но и мотивацию учащихся.

2.4. Разработка оптимальных стратегий самостоятельной подготовки учащихся к задаче №13

Самостоятельная подготовка к ЕГЭ по математике — это марафон, а не спринт. Для успешного освоения задачи №13 (тригонометрические уравнения и отбор корней) необходима не только усидчивость, но и четко выстроенная, многоэтапная стратегия, направленная на формирование глубоких знаний и устойчивых навыков. Рекомендуемое время на выполнение самого задания №13 составляет около 20 минут, что при общем времени экзамена в 3 часа 55 минут (235 минут) на профильный уровень оставляет примерно 50-60 минут на блок задач 13-15. Это подчеркивает необходимость не только умения решать, но и делать это эффективно и быстро.

Оптимальные стратегии и этапы самостоятельной подготовки:

1. Изучение и систематизация теории: «Фундамент знаний»
   • Этап 1: Инвентаризация тем. Начать с составления полного списка тем по тригонометрии, которые могут встретиться в задаче №13 (определение функций, формулы, типы уравнений, методы отбора корней). Использовать кодификатор ФИПИ как отправную точку.
   • Этап 2: Глубокое изучение теории. Не просто заучивать формулы, а понимать их происхождение и логику. Например, вывести основные тригонометрические тождества, понять связь между функциями.
   • Этап 3: Конспектирование и визуализация. Создавать собственные конспекты, опорные схемы, интеллект-карты, таблицы с формулами и алгоритмами. Важно, чтобы это были собственные разработки, так как процесс создания способствует запоминанию и структурированию информации.
     • Рекомендация: Собрать справочные материалы (таблицы значений, основные формулы, схемы единичной окружности), которые могут быть использованы для самопроверки и закрепления.
2. Регулярная практика: «Закаливание навыков»
   • Этап 1: Решение типовых вариантов ЕГЭ. Не реже одного раза в неделю прорешивать полные варианты ЕГЭ, чтобы привыкнуть к формату, распределению времени и общей нагрузке.
   • Этап 2: Тематическая отработка. Сосредоточиться на решении большого количества задач №13, сгруппированных по типам уравнений и методам отбора корней. Использовать открытый банк заданий ФИПИ, РешуЕГЭ, Alexlarin.net.
     • Рекомендация: Начать с простейших тригонометрических уравнений, постепенно переходя к более сложным (с заменой переменной, однородные, с ОДЗ). Отдельным блоком отработать каждый метод отбора корней.
   • Этап 3: Использование конструкторов вариантов. Генерировать индивидуальные наборы задач для целенаправленной тренировки «западающих» тем.
3. Работа над ошибками: «Анализ и исправление»
   • Этап 1: Тщательный анализ каждой ошибки. Не просто увидеть, что ответ неверный, а понять почему это произошло: арифметическая ошибка, неверное применение формулы, потеря ОДЗ, неправильный отбор корней, ошибка в оформлении.
   • Этап 2: Просмотр разборов и консультации. Смотреть видеоразборы сложных заданий (например, на YouTube-каналах Умскул, Вебиум), читать подробные текстовые решения. Не стесняться обращаться за помощью к учителям или репетиторам по «западающим» темам.
   • Этап 3: Целенаправленная отработка. После анализа ошибок возвращаться к задачам аналогичного типа, чтобы закрепить правильный подход.
4. Управление временем: «Эффективность на экзамене»
   • Этап 1: Тренировка решения на время. При прорешивании задач №13 специально засекать время. Стремиться уложиться в рекомендуемые 20 минут.
   • Этап 2: Распределение времени на экзамене. Учиться выделять 50-60 минут на блок задач 13-15. Если задача №13 не поддается в течение 20-25 минут, лучше перейти к другим заданиям и вернуться к ней позже.
   • Рекомендация: Использование «таймера Помодоро» (25 минут работы, 5 минут отдыха) может помочь в концентрации и управлении временем.
5. Правильное оформление решений: «Ключ к максимальным баллам»
   • Этап 1: Изучение критериев оценивания. Внимательно ознакомиться с официальными критериями ФИПИ для задания №13.
   • Этап 2: Обоснование каждого шага. Приучить себя к тому, что каждый переход, каждая формула, каждый этап отбора корней должен быть логически обоснован и записан. Указать, что n ∈ ℤ.
   • Этап 3: Чистота и структура. Писать разборчиво, оставлять достаточно места между этапами решения, использовать четкую структуру (решение уравнения, отбор корней).
     • Важно: Согласно критериям оценивания, за обоснованно полученные верные ответы в обоих пунктах задания 13 выставляется 2 балла; 1 балл дается, если обоснованно получен верный ответ в одном из пунктов (А или Б), или если получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но сохранена верная последовательность всех шагов решения.
6. Использование чек-листов и оценка прогресса:
   • Этап 1: Создание чек-листа. Разработать чек-лист по темам тригонометрии и типам задач №13. Отмечать освоенные темы и типы, а также «западающие», требующие дополнительной проработки.
   • Этап 2: Регулярная оценка уровня. Периодически решать пробные варианты ЕГЭ, чтобы объективно оценить свой текущий уровень подготовки и скорректировать дальнейший план.

Таблица 3: Чек-лист для самостоятельной подготовки к задаче №13

Этап подготовки	Действия	Статус (Выполнено/В процессе/Не начато)
Теория	Составил список тем по кодификатору
	Изучил и понял происхождение формул
	Создал собственные конспекты/схемы
	Собрал справочные материалы (формулы, значения)
Практика	Еженедельно решаю полные варианты ЕГЭ
	Отработал простейшие уравнения (sin(x)=a, cos(x)=a и т.д.)
	Отработал уравнения с заменой переменной
	Отработал однородные уравнения
	Отработал уравнения с формулами двойного угла/приведения
	Отработал уравнения с ОДЗ
	Отработал отбор корней по единичной окружности
	Отработал отбор корней двойным неравенством
	Отработал отбор корней перебором n
Работа над ошибками	Анализирую каждую допущенную ошибку
	Просматриваю видеоразборы сложных номеров
	Целенаправленно прорабатываю «западающие» темы
Время и оформление	Тренируюсь решать задание №13 за 20 минут
	Изучил критерии оценивания ФИПИ
	Обосновываю каждый шаг решения и отбора корней
	Оформляю решение чисто и структурированно
Общее	Регулярно оцениваю свой уровень подготовки
	Использую официальные ресурсы ФИПИ

Последовательное выполнение этих шагов позволит учащимся не только глубоко освоить тригонометрию, но и выработать стратегическое мышление, необходимое для успешного выполнения задачи №13 ЕГЭ.

Заключе��ие

Исследование, проведенное в рамках данной курсовой работы, подтверждает исключительную актуальность и сложность задачи №13 (ранее С1) Единого государственного экзамена по математике профильного уровня. Низкий процент ее выполнения, особенно прогнозируемое снижение до 5,6% в 2026 году, делает разработку эффективных методических подходов к подготовке учащихся не просто желательной, а жизненно необходимой.

В ходе теоретического анализа мы детально рассмотрели место задания №13 в структуре КИМ, его историческую динамику с 2021 по 2026 годы, отметив общую стабильность требований ФИПИ к структуре и содержанию в последние годы. Была систематизирована классификация тригонометрических уравнений и проанализирован весь спектр методов их решения, от замены переменной до метода оценки, с особым акцентом на критическую важность учета области допустимых значений. Кроме того, мы провели сравнительный анализ различных методов отбора корней на заданном числовом промежутке, признав единичную окружность наиболее наглядным и универсальным инструментом.

В практической части работы были выявлены и систематизированы типичные ошибки учащихся, начиная от потери корней и неучета ОДЗ, заканчивая ошибками в оформлении и вычислительными неточностями. Для каждой группы ошибок были предложены научно-обоснованные педагогические стратегии и дидактические приемы предупреждения и коррекции, опирающиеся на методические рекомендации ФИПИ.

Мы обосновали применение системно-деятельностного подхода, рассмотрели роль опорных схем, алгоритмизации и развития понимания единичной окружности. Особое внимание было уделено интеграции современных образовательных технологий и цифровых ресурсов, таких как сайт ФИПИ, «РешуЕГЭ», Alexlarin.net, в процесс подготовки, демонстрируя их потенциал для систематизации знаний и отработки навыков. Завершающим этапом стала разработка комплексной, многоэтапной стратегии самостоятельной подготовки учащихся, включающей изучение теории, регулярную практику, тщательную работу над ошибками, управление временем и формирование навыков правильного оформления решений.

Практическая значимость разработанной методики заключается в предоставлении преподавателям и учащимся научно-обоснованного инструментария для повышения эффективности подготовки к задаче №13. Она позволяет не только минимизировать типичные ошибки, но и сформировать глубокое понимание тригонометрии, развить аналитическое мышление и уверенность в собственных силах.

Перспективы дальнейших исследований в данной области могут включать эмпирическую проверку эффективности предложенной методики на больших выборках учащихся, разработку интерактивных обучающих модулей на основе выявленных проблемных зон, а также адаптацию методики для подготовки к другим задачам ЕГЭ по математике, требующим комплексного подхода и глубокого предметного понимания.

Список использованной литературы

Приложения

Список использованной литературы

1. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Контрольные работы. Профильный уровень / В.И. Глизбург. — М.: Мнемозина, 2009. — 39 с.
2. Денищева, Л.О. Единый государственный экзамен 2008. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся / Л.О. Денищева, Ю.А. Глазков, К.А. Краснянская, А.Р. Рязановский, П.В. Семенов; ФИПИ. — М.: Интеллект-Центр, 2007.
3. ЕГЭ-2012. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. — М.: Национальное образование, 2011. — 192 с. (ЕГЭ-2012. ФИПИ — школе).
4. ЕГЭ-2012. Математика. Типовые тестовые задания / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. — М.: Издательство «Экзамен», 2012. — 51 с.
5. Единый государственный экзамен 2011. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ. — М.: Интеллект-Центр, 2011.
6. Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы. Условия и решения. Вып. 1-6, 8, 12, 14, 18, 25. — М.: Школьная Пресса, 1993-2003. — (Библиотека журнала «Математика в школе»).
7. Корянов, А.Г. Математика ЕГЭ 2011. Типовые задания С1. Отбор корней в тригонометрических уравнениях / А.Г. Корянов, А.А. Прокофьев. — URL: http://alexlarin.net/ege/2011/C12011.pdf
8. Математика ЕГЭ 2012: Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней (типовые задания С1) / А.А. Прокофьев, А.Г. Корянов. — Alexlarin.net.
9. Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ: 2012: Математика / авт.-сост. И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. — М.: АСТ: Астрель, 2011. — 93 с. — (Федеральный институт педагогических измерений).
10. Шестаков, С.А. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С1 / С.А. Шестаков, П.И. Захаров; Под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2011.
11. Alexlarin.narod.ru: сайт по оказанию информационной поддержки студентам и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ, поступлению в ВУЗы и изучении различных разделов высшей математики. — URL: www.alexlarin.narod.ru
12. Eek.diary.ru: сайт по оказанию помощи абитуриентам, студентам, учителям по математике. — URL: http://eek.diary.ru/
13. Egemathem.ru: единый государственный экзамен (от А до Я). — URL: www.egemathem.ru
14. Демоверсии, спецификации, кодификаторы. — ФИПИ. — URL: https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory
15. Демоверсии, спецификации, кодификаторы ЕГЭ 2025 по всем предметам. — URL: https://4ege.ru/novosti-ege/69083-demoversii-specifikacii-kodifikatory-ege-2025-fipi-po-vsem-predmetam.html
16. Как отбирать корни в тригонометрических уравнениях в задании 12 ЕГЭ. — URL: https://ege-studio.ru/blog/kak-otbirat-korni-v-trigonometricheskikh-uravneniyakh-v-zadaniye-12-ege
17. Как подготовиться к ЕГЭ по математике: советы и план подготовки с нуля. — URL: https://silalisa.ru/blog/kak-podgotovitsya-k-ege-po-matematike
18. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ обучающимся по организации самостоятельной подготовки к ЕГЭ 2025 года МАТЕМАТИКА. — ФИПИ. — URL: https://fipi.ru/ege/o-ege/materialy-dlya-podgotovki-k-ege/metodicheskie-rekomendatsii-obuchayushchimsya-po-organizatsii-samostoyatelnoy-podgotovki-k-ege-2025-goda-matematika
19. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ. — Научный лидер. — URL: https://naunim.ru/metodika-obucheniya-resheniyu-trigonometricheskih-uravneniy-ege-po-matematike/
20. Методика подготовки к ЕГЭ по математике / А.Г. Малкова. — ЕГЭ-Студия. — URL: https://ege-studio.ru/blog/metodika-podgotovki-k-ege-po-matematike-avtor-anna-georgiyevna-malkova
21. Основные виды тригонометрических уравнений. — Школково. — URL: https://shkolkovo.net/theory/110
22. Отбор корней в тригонометрических уравнениях при помощи двойного неравенства. — URL: https://ege-studio.ru/blog/otbor-korney-v-trigonometricheskikh-uravneniyakh-pri-pomoshchi-dvoynogo-neravenstva
23. Отбор корней в тригонометрических уравнениях. — Фоксфорд Учебник. — URL: https://foxford.ru/wiki/matematika/otbor-korney-v-trigonometricheskih-uravneniyah
24. План подготовки к ЕГЭ по математике. — Умскул Журнал. — URL: https://umschool.ru/journal/matematika/plan-podgotovki-k-ege-po-matematike/
25. Решение ВСЕХ ТИПОВ тригонометрических уравнений №13. — YouTube. — URL: https://www.youtube.com/watch?v=kYJ0kX6M9rM
26. Тригонометрические уравнения. — ЕГЭ-Студия. — URL: https://ege-studio.ru/blog/trigonometricheskiye-uravneniya
27. Тригонометрические уравнения: виды, формулы и примеры. — URL: https://skysmart.ru/articles/ege/trigonometricheskie-uravneniya
28. Тригонометрические уравнения: формулы и примеры. — Skysmart. — URL: https://skysmart.ru/articles/ege/trigonometricheskie-uravneniya-formuly-i-primery
29. Тригонометрия на ЕГЭ: 5 формул для базы и профиля. — MAXIMUM Blog. — URL: https://maximumtest.ru/blog/trigonometriya-na-ege-5-formul-dlya-bazy-i-profilya/