Теория портфеля Марковица: от фундаментальных основ до критического переосмысления и современного применения

В динамично меняющемся мире финансов, где каждый день инвесторы сталкиваются с бесчисленными возможностями и рисками, вопрос формирования оптимального инвестиционного портфеля остается краеугольным камнем успешной стратегии. Актуальность этой задачи неоспорима как для начинающих инвесторов, так и для опытных финансовых аналитиков. Понимание того, как сбалансировать потенциальную доходность с приемлемым уровнем риска, является ключом к сохранению и приумножению капитала. Именно этой фундаментальной проблеме посвящена курсовая работа, в центре которой лежит новаторская теория Гарри Марковица – американского экономиста, чьи идеи навсегда изменили представление о портфельном инвестировании и принесли ему Нобелевскую премию по экономике. Его модель, опубликованная в 1952 году, заложила основы современной портфельной теории, предоставив инвесторам математический инструмент для рационального выбора активов. Мы погрузимся в изучение теоретических основ, математической формулировки, практического применения, а также критического анализа и современных модификаций этой модели, чтобы дать исчерпывающее представление о ее роли в современном финансовом мире.

Исторический контекст и предпосылки возникновения теории Марковица

До появления работы Гарри Марковица «Выбор портфеля» (Portfolio Selection) в 1952 году, инвестиционные решения зачастую принимались на основе интуиции, эмпирического опыта или простых правил, таких как покупка «голубых фишек» или диверсификация по отраслям. Не существовало строгой, математически обоснованной методологии, которая бы связывала риск и доходность портфеля в единую систему. Инвесторы понимали важность диверсификации, но не имели инструмента для ее количественной оценки и оптимизации. Марковиц совершил революцию, предложив рассматривать портфель не как простую сумму отдельных активов, а как единое целое, характеристики риска и доходности которого зависят не только от индивидуальных параметров входящих в него ценных бумаг, но и от их взаимного влияния, измеряемого ковариацией. Это позволило перейти от качественных суждений к строгим количественным расчетам, открыв новую эру в финансовой теории и практике.

Теоретические основы и ключевые допущения модели Марковица

Сущность современной портфельной теории (MPT), разработанной Гарри Марковицем, заключается в идее, что инвестор стремится к созданию такого портфеля активов, который при заданном уровне риска обеспечивает максимальную ожидаемую доходность, или, наоборот, при заданной ожидаемой доходности минимизирует риск. Эта концепция стала отправной точкой для всего последующего развития финансовой экономики. Ключевые положения портфельной теории были сформулированы Марковицем еще в 1950–1951 годах, когда он работал над докторской диссертацией. Публикация его статьи «Portfolio Selection» в 1952 году в Journal of Finance ознаменовала рождение новой парадигмы в инвестиционном анализе. Марковиц предложил не просто способ выбора ценных бумаг, а целую математическую модель формирования оптимального портфеля, основываясь на строгих условиях и допущениях.

К основным условиям (допущениям) модели Марковица относятся:

1. Инвесторы оценивают инвестиционные качества портфелей, основываясь на сравнении их математических ожиданий (МО) и стандартных квадратических отклонений (СКО) доходностей за период владения. Это означает, что для инвестора важны только два параметра: ожидаемая доходность и риск.
2. Инвесторы при выборе между двумя портфелями предпочтут тот, который при прочих равных условиях обеспечивает наибольшее значение МО доходности (если риски одинаковы) или имеет наименьшее СКО доходности (если доходности одинаковы). Это отражает рациональное поведение инвестора, не предрасположенного к риску.
3. Инвестор может купить или продать любую часть акции, что подразумевает высокую делимость активов.
4. Существует безрисковая ставка, по которой инвестор может приобрести безрисковый актив (например, государственные облигации) и взять кредит по этой же ставке, что упрощает модель и позволяет включать безрисковый актив в портфель.

Основная заслуга Г. Марковица состоит в предложенной им теоретико-вероятностной формализации понятий «доходность» и «риск», что позволило перевести инвестиционные решения из области интуиции в область математического моделирования.

Концепция риска и доходности в модели Марковица

В центре модели Марковица лежат два ключевых понятия: ожидаемая доходность и риск.

Ожидаемая доходность – это средневзвешенное значение возможных доходностей актива или портфеля, где в качестве весов выступают вероятности получения этих доходностей. Она отражает потенциальный выигрыш, который инвестор рассчитывает получить от своих вложений.

Риск в модели Марковица формализован как стандартное квадратическое отклонение (СКО) доходности или ее дисперсия. Эти статистические меры характеризуют степень разброса фактических доходностей относительно их ожидаемого значения. Чем выше СКО, тем выше волатильность актива и, соответственно, его риск. Инвестор, согласно Марковицу, является «непредрасположенным к риску»: из двух портфелей с одинаковой ожидаемой доходностью он всегда выберет тот, у которого риск (СКО) ниже. Это допущение о рациональном поведении инвестора является фундаментальным, и его признание позволяет построить предсказуемые модели поведения на рынке.

Цель модели, таким образом, состоит в составлении оптимального портфеля, то есть с минимальным риском при заданной доходности или максимальной доходностью при заданном риске. Инвектор должен выбирать портфель, основываясь исключительно на этих двух параметрах.

Принцип диверсификации и его роль в снижении риска

Одним из наиболее мощных идейных столбов теории Марковица является принцип диверсификации. Диверсификация – это процесс объединения множества различных активов в одном портфеле таким образом, что зависимость доходов инвестора от риска какого-либо одного вида актива была ограничена. Проще говоря, «не класть все яйца в одну корзину».

Эффективная диверсификация позволяет добиться значительного снижения общего риска финансового инвестиционного портфеля. Механизм этого снижения заключается в том, что разные активы реагируют на рыночные события по-разному. Когда один актив теряет в стоимости, другой может расти или оставаться относительно стабильным, тем самым компенсируя потери. Например, акции, как правило, более волатильны, чем облигации. Распределение части портфеля как в акции, так и в облигации позволяет потенциально компенсировать убытки от одного класса активов прибылью от другого, тем самым снижая общий риск портфеля. При этом важно, чтобы активы имели низкую или отрицательную корреляцию друг с другом.

Общий риск портфеля делится на две основные категории:

1. Систематический (недиверсифицируемый) риск: Этот риск определяется факторами, общими для экономики в целом, и не может быть уменьшен путем изменения структуры портфеля. Он присущ всему рынку и связан с макроэкономическими событиями. Примеры макроэкономических факторов, определяющих систематический риск, включают изменения процентных ставок, уровень инфляции, динамику роста ВВП, уровень безработицы, цены на энергоресурсы, геополитические события (войны, кризисы) и стабильность налогового законодательства. Инвестор не может избежать этого риска, даже максимально диверсифицируя свой портфель, что означает его неизбежность для любого участника рынка.
2. Несистематический (диверсифицируемый) риск: Этот риск специфичен для конкретной фирмы, отрасли или актива и может быть элиминирован или значительно снижен за счет диверсификации. Примеры несистематического риска включают забастовки на предприятии, отзыв продукции, изменение менеджмента, неудачный маркетинговый ход или новые конкурентные угрозы. Инвестор может эффективно управлять этим типом риска, включая в свой портфель достаточное количество активов из разных секторов, отраслей и регионов, которые не сильно коррелируют между собой.

Таким образом, модель Марковица учит, что инвестор может снизить риск своего портфеля до уровня систематического риска, который является минимально возможным для данного рынка.

Эффективная граница портфеля и оптимальный выбор инвестора

В контексте модели Марковица, эффективная граница портфеля представляет собой набор оптимальных портфелей. Каждый портфель на этой границе обладает уникальным свойством: он одновременно обеспечивает максимальную ожидаемую доходность при фиксированном уровне риска и минимальный риск при фиксированном уровне доходности. Это означает, что ни один другой портфель не может предложить лучшего соотношения риска и доходности.

Графически эффективная граница выглядит как кривая на плоскости «риск-доходность», где по оси абсцисс откладывается риск (стандартное отклонение), а по оси ординат – ожидаемая доходность. Все портфели, находящиеся на этой кривой, являются эффективными. Портфели, расположенные ниже и правее эффективной границы, являются неэффективными, поскольку существует другой портфель с такой же доходностью, но меньшим риском, или с таким же риском, но большей доходностью.

Выбор оптимального портфеля инвестором зависит от его индивидуальных предпочтений к риску. Инвестор, более склонный к риску, может выбрать портфель на эффективной границе с более высокой ожидаемой доходностью и, соответственно, более высоким риском. Инвестор, менее склонный к риску, выберет портфель с меньшей ожидаемой доходностью и меньшим риском. Точка касания кривой индивидуальной полезности инвестора с эффективной границей указывает на оптимальный портфель для данного инвестора.

Таблица 1: Свойства портфелей на эффективной границе

Характеристика	Портфели на эффективной границе
Доходность	Максимальная возможная при данном уровне риска
Риск	Минимальный возможный при данной ожидаемой доходности
Оптимальность	Невозможно улучшить ни доходность, ни риск, не ухудшив другую характеристику
Выбор инвестора	Зависит от индивидуальных предпочтений к риску

Математическая формулировка и методы оценки параметров модели Марковица

Модель Марковица – это не просто концепция, а строго математически формализованный подход к оптимизации инвестиционного портфеля. Ее эффективность базируется на точных расчетах ожидаемой доходности и риска, а также их взаимосвязи.

Расчет ожидаемой доходности портфеля

Ожидаемая доходность портфеля является одним из ключевых параметров, определяющих его привлекательность для инвестора. Она представляет собой средневзвешенное значение ожидаемых доходностей отдельных ценных бумаг, входящих в портфель. Формула для ее расчета выглядит следующим образом:

E(Rп) = Σni=1 wiE(Ri)

Где:

• E(R_п) — ожидаемая доходность портфеля;
• w_i — доля актива i в портфеле (вес актива);
• E(R_i) — ожидаемая доходность актива i;
• n — количество активов в портфеле.

Интерпретация этой формулы проста: чем выше ожидаемая доходность отдельных активов и чем больше их доля в портфеле, тем выше будет ожидаемая доходность всего портфеля. Однако, как мы увидим далее, высокая доходность часто сопряжена с высоким риском, что требует внимательного балансирования.

Оценка риска портфеля: ковариация и дисперсия

Мерой риска инвестиционного портфеля выступает его дисперсия или стандартное отклонение (корень квадратный из дисперсии). В отличие от доходности, риск портфеля не является простой средневзвешенной суммой рисков отдельных активов. Здесь в игру вступают такие важные понятия, как ковариация и коэффициент корреляции.

Ковариация (Cov_ij) – это статистическая мера, показывающая, как доходности двух активов движутся относительно друг друга.

• Положительная ковариация означает, что доходности активов имеют тенденцию изменяться в одном направлении.
• Отрицательная ковариация – в разных направлениях.
• Ковариация, близкая к нулю, указывает на слабую или отсутствие линейной взаимосвязи.

Коэффициент корреляции (ρ_ij) является нормализованной версией ковариации, принимающей значения от -1 до +1. Он более наглядно показывает силу и направление линейной взаимосвязи между доходностями активов:

• ρ_ij = +1: идеальная положительная корреляция (доходности движутся абсолютно синхронно).
• ρ_ij = -1: идеальная отрицательная корреляция (доходности движутся в противоположных направлениях).
• ρ_ij = 0: отсутствие линейной корреляции.

Чем ниже коэффициент корреляции между активами в портфеле, тем сильнее эффект диверсификации, то есть тем больше снижается общий риск портфеля. Именно отрицательная корреляция между активами является наиболее желательной для снижения риска, поскольку она позволяет эффективно хеджировать возможные потери.

Формула дисперсии портфеля (σ²_п) учитывает не только дисперсии отдельных активов, но и ковариации между всеми парами активов в портфеле:

σ2п = Σni=1 Σnj=1 wiwj Covij

Где:

• σ²_п — дисперсия портфеля;
• w_i и w_j — доли i-го и j-го активов в портфеле;
• Cov_ij — ковариация доходностей i-го и j-го активов.

Эта формула подчеркивает, что для расчета риска портфеля необходима ковариационная матрица, которая содержит дисперсии всех активов на главной диагонали и ковариации между парами активов во внедиагональных элементах.

Задача оптимизации портфеля и ее ограничения

Оптимизация портфеля по Марковицу заключается в решении одной из двух взаимосвязанных задач:

1. Минимизация риска портфеля при заданном (минимально приемлемом) уровне ожидаемой доходности.
2. Максимизация ожидаемой доходности портфеля при фиксированном уровне риска.

Математически это представляет собой задачу квадратичного программирования с ограничениями. Основные ограничения в классической модели Марковица касаются долей активов:

• Доли активов должны быть положительны: w_i ≥ 0. Это означает, что инвестор может только покупать активы, но не может продавать их «в короткую» (отсутствие коротких позиций).
• Сумма долей активов должна равняться единице: Σw_i = 1. Это гарантирует, что весь инвестируемый капитал распределен между активами портфеля.

Эти ограничения определяют область допустимых решений, внутри которой ищется оптимальное распределение весов активов. Решение этой задачи позволяет найти те самые «эффективные» портфели, которые формируют эффективную границу.

Практическое применение модели Марковица: Инструменты, алгоритмы и кейсы

Теоретическая элегантность модели Марковица была бы бессмысленной без ее практического применения. С момента публикации, идеи Марковица нашли широкое применение в финансовой индустрии и даже за ее пределами, эволюционируя вместе с развитием вычислительных технологий.

Этапы формирования оптимального портфеля по Марковицу

Формирование оптимального инвестиционного портфеля по Марковицу – это последовательный процесс, который включает в себя несколько ключевых шагов:

1. Сбор исторических данных о ценах активов: Для начала необходимо собрать достаточное количество исторических данных по ценам каждого актива, который потенциально может войти в портфель. Обычно используются ежедневные, еженедельные или ежемесячные данные за достаточно длительный период (например, 3-5 лет), чтобы получить статистически значимые оценки.
2. Расчет относительных изменений курсов (доходностей): На основе исторических цен рассчитываются логарифмические или простые доходности для каждого актива. Логарифмические доходности часто предпочтительнее для финансовых моделей, так как они имеют более «хорошие» статистические свойства (например, симметричность).
3. Вычисление ожидаемой доходности активов: Ожидаемая доходность каждого актива оценивается как среднее значение его исторических доходностей за выбранный период.
4. Определение ковариационной матрицы доходностей активов: Этот шаг является одним из самых важных и трудоемких. Для каждой пары активов рассчитывается ковариация, а также дисперсия для каждого актива. Все эти значения формируют ковариационную матрицу, которая описывает взаимосвязь доходностей всех активов в портфеле.
5. Применение оптимизационных алгоритмов: Наконец, используя рассчитанные ожидаемые доходности и ковариационную матрицу, применяются оптимизационные алгоритмы. Эти алгоритмы решают задачу нахождения весов активов (w_i), которые максимизируют доходность при заданном уровне риска или минимизируют риск при заданной доходности, с учетом ограничений (Σw_i = 1, w_i ≥ 0). Результатом является набор оптимальных весов для каждого актива, формирующих эффективную границу.

Компьютерная реализация модели: от Excel до Python

Изначально расчеты по модели Марковица были весьма трудоемкими, но с развитием компьютерных технологий они стали доступнее.

Реализация в Excel: Компьютерная реализация модели Марковица может быть осуществлена с использованием электронных таблиц Excel. Для небольших портфелей (до 10-15 активов) Excel является достаточно мощным инструментом. В нем можно вручную рассчитать исторические доходности, ковариации и дисперсии, а затем использовать встроенную надстройку «Поиск решения» (Solver) для оптимизации портфеля. Это позволяет студентам и начинающим аналитикам наглядно понять механику модели, но для больших объемов данных и более сложных задач Excel становится неэффективным.

Реализация на Python: Современные аналитики и исследователи все чаще обращаются к более мощным и гибким инструментам. Для анализа и оптимизации портфеля на Python существует специализированная библиотека PyPortfolioOpt. Эта библиотека предоставляет широкий набор функций для:

• Загрузки исторических данных о ценах активов.
• Расчета относительных изменений курсов (доходностей).
• Определения средней доходности и ковариационной матрицы.
• Применения различных оптимизационных алгоритмов (не только Марковица, но и других, например, для максимизации коэффициента Шарпа или минимизации VaR).

Пример стандартной реализации на Python оптимизации инвестиционного портфеля по методу Марковица включает следующие ключевые шаги: сбор исторических данных о ценах активов с помощью библиотек типа yfinance, вычисление ожидаемой доходности активов (например, среднегодового значения) и ковариационной матрицы доходностей активов с использованием pandas и numpy, а затем применение оптимизационных алгоритмов из PyPortfolioOpt (например, EfficientFrontier для нахождения весов активов, которые максимизируют доходность при заданном уровне риска или минимизируют риск при заданной доходности). Это значительно ускоряет и упрощает процесс, делая его доступным для анализа больших портфелей.

Применение модели в традиционных и нетрадиционных инвестиционных сферах

Модель Марковица получила широкое распространение в финансовом мире. Она используется различными финансовыми организациями, такими как инвестиционные фонды, пенсионные фонды, страховые компании и банки, для формирования и управления инвестиционными портфелями. Она помогает им достигать баланса между риском и доходностью в соответствии с целями инвесторов и их риск-профилями. Портфельные менеджеры активно используют ее для распределения активов между различными классами (акции, облигации, недвижимость) и внутри классов (различные акции или облигации).

Однако идеи Марковица вышли далеко за рамки классических финансовых рынков:

• Медицина: Принципы Марковица могут использоваться для оптимизации инвестиций в различные стадии разработки новых лекарственных препаратов. Например, капитал может распределяться между проектами с разным уровнем риска (ранние стадии исследований более рискованны, поздние – менее) и потенциальной доходности (успешный препарат принесет огромную прибыль). Модель помогает оценить совокупный риск и доходность портфеля исследовательских проектов.
• Энергетика: В энергетике модель может применяться для формирования инвестиционных портфелей, включающих различные типы энергетических активов (например, возобновляемые источники энергии, такие как солнечные и ветряные электростанции, и традиционные электростанции, работающие на газе или угле). Эти активы имеют разные профили риска и доходности, а также различные корреляции (например, цена на газ и тарифы на солнечную энергию). Модель Марковица позволяет достичь оптимального соотношения риска и доходности для энергетического портфеля.

Влияние модели Марковица на развитие финансовых концепций и регулирования

Значение модели Марковица выходит за рамки непосредственного применения в оптимизации портфелей. Она стала катализатором для развития многих других важных финансовых концепций и оказала влияние на регуляторные стандарты.

Одним из ярких примеров является концепция Стоимости под риском (Value at Risk, VaR). VaR – это мера, используемая для количественной оценки финансового риска, показывающая максимальный ожидаемый убыток, который может понести портфель за определенный период времени с заданной вероятностью. Модель Марковица повлияла на развитие VaR, поскольку она предоставила основу для количественной оценки риска портфеля с использованием статистических методов, таких как дисперсия и стандартное отклонение. Понимание того, как ковариации между активами влияют на общий риск портфеля, легло в основу методологий расчета VaR.

Впоследствии концепция VaR была адаптирована и включена в Базельские соглашения (например, Базель II и Базель III) как ключевой инструмент для оценки рыночного риска и определения минимальных требований к капиталу банков. Эти соглашения обязывают финансовые учреждения держать достаточно капитала для покрытия потенциальных потерь, и VaR является одним из основных методов для расчета этих требований. Таким образом, идеи, заложенные Марковицем, стали неотъемлемой частью глобальной системы финансового регулирования.

Критический анализ модели Марковица: Ограничения и вызовы современности

Несмотря на свою революционность и широкое применение, модель Марковица, как и любая теоретическая конструкция, имеет ряд существенных ограничений и подвергается критике, особенно в контексте современных, быстро меняющихся рыночных условий.

Вычислительная сложность для крупных портфелей

Одним из наиболее очевидных практических ограничений модели Марковица является ее вычислительная сложность, которая возрастает экспоненциально с увеличением количества активов в портфеле. Для портфеля из N активов необходимо рассчитать:

• N ожидаемых доходностей.
• N дисперсий (по одной для каждого актива).
• N * (N — 1) / 2 ковариаций между всеми уникальными парами активов.

Например, для портфеля из 10 активов потребуется расчет 45 ковариаций. Но если мы говорим о портфеле из 100 активов, то число ковариаций увеличивается до 4950. Для 1000 активов это уже почти полмиллиона ковариаций (499 500). Построение такой ковариационной матрицы и последующая оптимизация требуют значительных вычислительных мощностей и времени, что делает применение классической модели Марковица весьма затруднительным для очень больших инвестиционных портфелей, состоящих из тысяч активов, как это часто бывает у крупных институциональных инвесторов.

Зависимость от исторических данных и предположения о распределении доходностей

Модель Марковица в значительной степени полагается на исторические данные для оценки ожидаемых доходностей, дисперсий и ковариаций. Однако фундаментальное допущение о том, что «прошлое предсказывает будущее», часто оказывается несостоятельным на финансовых рынках. Рыночные условия постоянно меняются, и исторические тенденции могут не отражать будущую динамику активов. Шоки, кризисы, технологические прорывы или регуляторные изменения могут радикально изменить взаимосвязи и параметры доходностей, делая исторические оценки неактуальными. Можно ли действительно полагаться на исторические данные в условиях постоянно меняющегося рынка?

Кроме того, модель Марковица основана на нескольких статистических предположениях, главное из которых – нормальное распределение доходностей активов. Это допущение упрощает математические расчеты, но не всегда соответствует реальности. Фактические распределения доходностей финансовых активов часто демонстрируют «тяжелые хвосты» (большую вероятность экстремальных событий) и асимметрию, что означает, что модель может недооценивать вероятность больших потерь или переоценивать вероятность больших прибылей. Применение ковариационной матрицы для анализа доходностей активов, включаемых в портфель, не позволяет сделать вывод обо всех возможных итогах и, как следствие, не является оптимальным при существенных отклонениях от нормальности.

Проблемы при краткосрочном инвестировании и формировании микропортфелей

Применение модели Марковица сталкивается с особыми проблемами в двух специфических контекстах:

1. Краткосрочное инвестирование: Для краткосрочного инвестирования модель Марковица менее применима из-за ряда особенностей. Во-первых, она обладает высокой чувствительностью к изменениям входных данных (исторических доходностей и ковариаций), что приводит к нестабильности оптимальных портфелей – веса активов могут резко меняться при малейших колебаниях рынка. Во-вторых, трудности в прогнозировании будущих доходностей и рисков на коротких горизонтах значительно возрастают, так как краткосрочные движения рынка более хаотичны и менее предсказуемы. В-третьих, модель неспособна адекватно учитывать резкие рыночные шоки или ненормальное распределение доходностей, которое часто наблюдается именно в краткосрочной перспективе.
2. Формирование микропортфелей: При построении микропортфелей (с небольшим количеством активов) модель Марковица также сталкивается с рядом проблем. В частности, это высокая волатильность весов активов при незначительных изменениях входных данных, что делает портфель менее устойчивым и требует частой ребалансировки. Кроме того, сложно получить статистически значимые оценки ковариаций для малого числа активов, особенно при коротких исторических рядах, что приводит к неточности входных параметров. Наконец, возможное отсутствие достаточной диверсификации в микропортфелях ограничивает эффективность модели в снижении несистематического риска, так как просто не хватает активов для «размазывания» специфических рисков.

Допущение о стационарности «реального мира» и рациональности инвесторов

Модель Марковица предполагает стационарность модели «реального мира», то есть вероятности состояний экономики и сами состояния не меняются с течением времени. Это идеализированное допущение игнорирует цикличность экономики, структурные изменения, инновации и кризисы, которые постоянно трансформируют финансовую среду. В реальности параметры доходностей и рисков активов не являются постоянными; они изменяются в зависимости от фазы экономического цикла, процентных ставок, инфляции и многих других факторов.

Также модель подразумевает, что инвесторы являются полностью рациональными экономическими агентами, стремящимися исключительно к максимизации полезности на основе ожидаемой доходности и риска. Однако поведенческая экономика давно доказала, что реальные инвесторы подвержены психологическим искажениям, таким как склонность к стадному поведению, неприятие потерь, чрезмерная уверенность и эмоциональные реакции, которые могут приводить к иррациональным инвестиционным решениям. Эти аспекты не учитываются в классической модели Марковица, что снижает ее предсказательную силу в реальном мире.

Модификации модели Марковица и сравнение с альтернативными подходами

Несмотря на выявленные ограничения, теория Марковица заложила фундаментальные основы, которые стали отправной точкой для дальнейшего развития финансовой науки. Многие последующие модели стремились преодолеть ее недостатки, сохраняя при этом базовые идеи.

Модели, развивающие идеи Марковица: CAPM

Наиболее известным и влиятельным развитием теории Марковица стала Модель оценки капитальных активов (Capital Asset Pricing Model, CAPM), разработанная Уильямом Шарпом, Джоном Линтнером и Яном Моссином. CAPM берет за основу концепцию эффективной границы Марковица и добавляет к ней идею существования безрискового актива, что позволяет определить единую линию рынка капитала (Capital Market Line, CML) и линию безопасности ценных бумаг (Security Market Line, SML).

CAPM описывает взаимосвязь между ожидаемой доходностью актива и его систематическим риском, который измеряется коэффициентом бета (β). Коэффициент бета показывает чувствительность доходности актива к доходности рыночного портфеля (например, широкого рыночного индекса).

Формула CAPM: E(Ri) = Rf + βi (E(Rm) - Rf)

Где:

• E(R_i) — ожидаемая доходность актива i;
• R_f — безрисковая ставка доходности;
• β_i — бета-коэффициент актива i;
• E(R_m) — ожидаемая доходность рыночного портфеля;
• (E(R_m) — R_f) — премия за рыночный риск.

Модель утверждает, что ожидаемая доходность актива равна безрисковой ставке плюс премия за риск, пропорциональная бета-коэффициенту актива. Таким образом, CAPM упрощает задачу оптимизации портфеля, поскольку инвестору достаточно оценить только бета-коэффициент актива по отношению к рынку, а не все индивидуальные ковариации между активами.

Альтернативные подходы к портфельной оптимизации

Помимо CAPM, были разработаны и другие модели, стремящиеся учесть недостатки Марковица или предложить альтернативные подходы к оптимизации:

1. Модель Блэка-Литтермана (Black-Litterman Model): Эта модель является дальнейшим развитием и модификацией модели Марковица, направленной на преодоление ее чувствительности к ошибкам во входных данных (ожидаемых доходностях и ковариациях). Модель Блэка-Литтермана использует подход, при котором субъективные оценки инвесторов (или мнения экспертов, аналитиков) корректируют равновесные ожидаемые доходности активов, выведенные из рыночных цен. Таким образом, она сочетает в себе рыночные данные с индивидуальными взглядами инвестора, что делает ее более гибкой и устойчивой к погрешностям в прогнозировании.
2. Модель факторного анализа (Factor Analysis Model): Вместо того чтобы рассчитывать ковариации между всеми отдельными активами, факторный анализ основывается на идентификации нескольких макроэкономических или отраслевых факторов, которые влияют на доходность активов. Доходность каждого актива выражается как функция этих факторов.

В факторном анализе факторы, влияющие на доходность активов, могут быть:

• Макроэкономическими: инфляция, процентные ставки, рост ВВП, изменения в монетарной политике.
• Отраслевыми: цены на сырьевые товары для соответствующей отрасли, потребительские настроения в определенном секторе.
• Факторами стиля: стоимость (value), рост (growth), размер компании (size), импульс (momentum).

Используя факторные модели, можно значительно сократить количество входных параметров для расчета риска портфеля, поскольку ковариации оцениваются между факторами, а не между тысячами активов. Это упрощает расчеты и делает модель более применимой для больших портфелей.

Сравнительная оценка эффективности моделей на различных финансовых рынках

Сравнительная оценка эффективности модели Марковица с альтернативными подходами, такими как CAPM, APT, Блэка-Литтермана и факторный анализ, показывает, что каждая модель имеет свои сильные и слабые стороны, а их применимость может варьироваться в зависимости от конкретного финансового рынка и инвестиционного горизонта.

Модель Марковица:

• Преимущества: Фундаментальная, математически строгая основа для понимания риска и доходности. Эффективна для портфелей среднего размера и в условиях относительно стабильных рынков.
• Недостатки: Высокая вычислительная сложность для больших портфелей. Чувствительность к ошибкам во входных данных. Допущения о нормальном распределении и стационарности «реального мира» часто не соблюдаются. Проблемы при краткосрочном инвестировании и микропортфелях.
• На российском рынке: Применение затруднено из-за высокой волатильности, частых структурных изменений и менее развитых рынков капитала по сравнению с мировыми. Оценка ковариаций может быть нестабильной. Однако для обучения и понимания принципов диверсификации она остается незаменимой.
• На мировом рынке: Более применима на зрелых и стабильных рынках (например, США, Западная Европа) с большим объемом исторических данных и более предсказуемым поведением активов, но все еще сталкивается с проблемами масштабирования.

CAPM:

• Преимущества: Простота и интуитивность. Широко используется для оценки стоимости капитала (cost of equity) и принятия инвестиционных решений.
• Недостатки: Опирается на ряд сильных допущений, которые не всегда выполняются (например, рациональность инвесторов, отсутствие транзакционных издержек, возможность неограниченного заимствования/кредитования по безрисковой ставке). Сложность точной оценки рыночного портфеля и безрисковой ставки. Бета-коэффициент может быть нестабильным.
• На российском рынке: Применимость ограничена из-за нестабильности рынка, слабой ликвидности некоторых активов и трудностей в определении надежной безрисковой ставки и рыночного портфеля.
• На мировом рынке: Является стандартным инструментом, но ее предсказательная способность часто оспаривается эмпирическими исследованиями.

Модель Блэка-Литтермана:

• Преимущества: Устраняет чувствительность Марковица к входным данным, позволяя инкорпорировать субъективные мнения инвесторов. Создает более устойчивые и интуитивно понятные пор��фели.
• Недостатки: Требует формулирования субъективных взглядов, что может быть сложным.
• На российском и мировом рынках: Высоко ценится профессиональными управляющими фондами за свою гибкость и способность учитывать уникальные рыночные перспективы.

Факторный анализ:

• Преимущества: Значительно сокращает количество входных параметров, что упрощает расчеты для больших портфелей. Позволяет лучше понять движущие силы доходности и риска.
• Недостатки: Сложность в идентификации и измерении истинных факторов. Необходимость выбора подходящих факторов, которые могут меняться со временем.
• На российском и мировом рынках: Все более популярен, особенно для крупных институциональных инвесторов, управляющих сложными портфелями, так как он предоставляет более глубокое понимание структуры риска.

В целом, ни одна из моделей не является идеальной. Выбор оптимального подхода часто зависит от целей инвестора, доступности данных, горизонта инвестирования и специфики рынка. На практике часто используются гибридные подходы, сочетающие элементы различных моделей для более надежной и устойчивой оптимизации портфеля. Разработка более робастных моделей, способных адаптироваться к изменяющимся рыночным условиям и учитывать ненормальные распределения доходностей, является важной задачей для будущих исследований.

Заключение

Исследование теоретических основ и практического применения модели формирования оптимального инвестиционного портфеля, разработанной Гарри Марковицем, убедительно продемонстрировало ее фундаментальное значение для развития современной финансовой науки. Опубликованная в 1952 году, эта теория стала краеугольным камнем портфельного менеджмента, предложив математически строгий подход к балансировке риска и доходности. Марковиц не просто ввел понятия ожидаемой доходности и риска как главных критериев выбора, но и показал, как диверсификация, основанная на ковариации активов, может эффективно снижать несистематический риск, формируя «эффективную границу» – множество оптимальных портфелей.

Мы детально рассмотрели математическую формулировку модели, включая формулы для расчета ожидаемой доходности и дисперсии портфеля, а также значение ковариации и коэффициента корреляции. Были изучены этапы практического применения, от сбора исторических данных до использования современных компьютерных инструментов, таких как библиотека PyPortfolioOpt в Python, что подчеркивает адаптивность и актуальность модели в цифровую эпоху. Особое внимание было уделено расширенным сферам применения Марковица – от традиционных инвестиционных фондов до новаторских проектов в медицине и энергетике, а также ее влияние на формирование ключевых финансовых концепций, таких как VaR и регуляторные стандарты Базельских соглашений.

Однако критический анализ выявил и существенные ограничения модели. Вычислительная сложность для крупных портфелей, экспоненциально растущая потребность в расчете ковариаций, является серьезным вызовом. Зависимость от исторических данных и идеализированные допущения о нормальном распределении доходностей и стационарности «реального мира» часто расходятся с динамичной и непредсказуемой рыночной реальностью. Кроме того, были отмечены специфические проблемы при краткосрочном инвестировании и формировании микропортфелей, где модель проявляет нестабильность и чувствительность к малейшим изменениям.

Несмотря на эти ограничения, идеи Марковица стали мощным импульсом для дальнейших исследований. Появление таких моделей, как Capital Asset Pricing Model (CAPM), модель Блэка-Литтермана и факторный анализ, является прямым свидетельством развития идей, заложенных Марковицем. Каждая из этих моделей стремится преодолеть определенные недостатки предшественников, предлагая новые подходы к оценке риска и доходности, а также учитывая более сложные рыночные реалии и субъективные мнения инвесторов. Сравнительный анализ показал, что ни одна из моделей не является универсальной, и выбор оптимального подхода зависит от множества факторов, включая специфику рынка и инвестиционные цели.

В заключение, теория портфеля Марковица остается краеугольным камнем современного инвестиционного анализа. Ее фундаментальные принципы диверсификации и оптимизации по критериям «риск-доходность» продолжают быть актуальными. Перспективы дальнейших исследований лежат в разработке более робастных моделей, способных адаптироваться к изменяющимся рыночным условиям, учитывать ненормальные распределения доходностей и поведенческие аспекты инвесторов, а также эффективно обрабатывать огромные объемы данных с использованием методов машинного обучения и искусственного интеллекта. Понимание этой эволюции от классических основ до современных модификаций является ключом к успешному и эффективному управлению инвестиционными портфелями в XXI веке.

Список использованной литературы

1. Брэйли Р., Майерс С. Принципы корпоративных финансов. Пер. с англ. Москва: Олимп-бизнес, 1997.
2. Водянов А., Смирнов А. Паутина роста // Эксперт. 2000. №42 (254).
3. Егерев И. Определение размера надбавок за риск при кумулятивном построении ставки дисконта // Рынок ценных бумаг. 2000. № 1 (160).
4. Ефимова О. Дисконтированная стоимость: расчет и анализ // Бухгалтерский учет. 1998. №10.
5. Лутц Крушвиц. Инвестиционные расчеты. Санкт-Петербург, 2001.
6. Лимитовский М., Паламарчук В. Стоимость собственного капитала российской корпорации // Рынок ценных бумаг. 1999. № 18 (153).
7. Салун В. Как правильно выбрать ставку дисконта // Рынок ценных бумаг. 1999. № 4 (139).
8. Тихонов О. Концепция дохода // Рынок ценных бумаг. 1998. № 5 (116).
9. Беккер А., Федорин В. Россия: Минфин скупил долги на $2,5 млрд // Ведомости. 20.02.2002.
10. Формирование инвестиционного портфеля по модели Марковица [Электронный ресурс] // Cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/formirovanie-investitsionnogo-portfelya-po-modeli-markovitsa (дата обращения: 17.10.2025).
11. Модели оптимального портфельного инвестирования [Электронный ресурс] // Studfile.net. URL: https://studfile.net/html/2770/203/p1/images/html (дата обращения: 17.10.2025).
12. Построение и анализ портфеля Марковица [Электронный ресурс] // Elib.altstu.ru. URL: https://www.elib.altstu.ru/elib/books/Files/hv2009_15/pdf/165.pdf (дата обращения: 17.10.2025).
13. Инвестиции и инновации [Электронный ресурс] // Volpi.ru. URL: https://www.volpi.ru/files/journal-articles/2020/2020-2-12.pdf (дата обращения: 17.10.2025).
14. Семененко М.Г. Модель Марковица: математические аспекты и компьютерная реализация [Электронный ресурс] // Cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/model-markovitsa-matematicheskie-aspekty-i-kompyuternaya-realizatsiya (дата обращения: 17.10.2025).
15. Риски управления портфелем финансовых активов. Методические указания [Электронный ресурс] // Lib.susu.ru. URL: https://lib.susu.ru/ftd/pdf/93094.pdf (дата обращения: 17.10.2025).
16. Современная теория портфельных инвестиций [Электронный ресурс] // Elib.altstu.ru. URL: https://elib.altstu.ru/journals/files/j20150101_02/pdf/016.pdf (дата обращения: 17.10.2025).
17. Оценка риска и доходности портфеля. Эффект диверсификации [Электронный ресурс] // Ecsocman.hse.ru. URL: https://ecsocman.hse.ru/data/2010/05/20/1210870932/08_Kapustina_Lihacheva_2009.pdf (дата обращения: 17.10.2025).
18. Портфель Марковица [Электронный ресурс] // Dspace.ut.ee. URL: https://dspace.ut.ee/bitstream/handle/10062/16551/portfeli.pdf (дата обращения: 17.10.2025).
19. Оптимизации портфеля с помощью Python и PyPortfolioOpt [Электронный ресурс] // Habr.com. URL: https://habr.com/ru/articles/561088/ (дата обращения: 17.10.2025).
20. Оптимизация инвестиционного портфеля по методу Марковица [Электронный ресурс] // Habr.com. URL: https://habr.com/ru/articles/516424/ (дата обращения: 17.10.2025).
21. Портфельная теория Марковица: оценка риска и доходности инвестиционного портфеля [Электронный ресурс] // Tinkoff.ru. URL: https://www.tinkoff.ru/journal/glossary/teoriya-markovica/ (дата обращения: 17.10.2025).
22. Теория «большого взрыва» в финансах [Электронный ресурс] // Econs.online. URL: https://econs.online/articles/opinions/teoriya-bolshogo-vzryva-v-finansakh/ (дата обращения: 17.10.2025).
23. Эффективная диверсификация портфеля рискованных активов на финансовом рынке [Электронный ресурс] // Cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/effektivnaya-diversifikatsiya-portfelya-riskovannyh-aktivov-na-finansovom-rynke (дата обращения: 17.10.2025).
24. Финансы недостатки модели оптимального портфеля Г. Марковица в услов. [Электронный ресурс] // Vestnik.vsu.ru. URL: https://www.vestnik.vsu.ru/pdf/econ/2017/09/2017-09-02.pdf (дата обращения: 17.10.2025).
25. Недостатки модели оптимального портфеля Г. Марковица в условиях краткосрочных инвестиций [Электронный ресурс] // Cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/nedostatki-modeli-optimalnogo-portfelya-g-markovitsa-v-usloviyah-kratkosrochnyh-investitsiy (дата обращения: 17.10.2025).
26. Тема 6. Современная теория портфеля [Электронный ресурс] // Ekmair.ukma.edu.ua. URL: https://ekmair.ukma.edu.ua/bitstream/handle/123456789/22379/Chapter%206%20Modern%20portfolio%20theory.pdf (дата обращения: 17.10.2025).