Транспортная Задача в Сетевой Постановке: Теория, Алгоритмы и Двойственный Анализ для Оптимального Управления Логистикой

Введение: От Истории Задачи до Современной Модели

Транспортная проблема является краеугольным камнем логистики и исследования операций. В условиях глобализации и усложнения цепей поставок, минимизация логистических издержек становится критическим фактором конкурентоспособности. Экономико-математическое моделирование предлагает мощный инструментарий для решения этой задачи, среди которых центральное место занимает транспортная задача (ТЗ).

Своими корнями эта проблема уходит в XVIII век, когда французский математик Гаспар Монж в 1781 году сформулировал задачу о переносе грунта, стремясь минимизировать работу, необходимую для перемещения материала из одного места в другое. Однако современное, строгое решение и формулировка в контексте линейного программирования стали возможны благодаря работам советского экономиста и математика Леонида Канторовича в 1940-х годах, который разработал метод двойственности и применил его для оптимизации плановых распределений. Отсюда и происходит исторически корректное название — задача Монжа—Канторовича.

Транспортная задача — это частный случай задачи линейного программирования (ЛП), направленный на определение такого плана перевозок однородного продукта от источников (поставщиков) к стокам (потребителям), который бы полностью удовлетворял спрос при минимальных суммарных транспортных затратах.

Цель данной академической работы — провести исчерпывающий анализ теоретических основ, математической постановки, специфики сетевого представления и практических алгоритмов нахождения оптимального решения транспортной задачи, особое внимание уделив ее аналитическому потенциалу через призму теории двойственности.

Теоретические Основы и Формальная Экономико-Математическая Постановка

Историко-Математический Контекст: Задачи Монжа—Канторовича

Эволюция транспортной задачи отражает развитие математического моделирования в экономике. Изначально, в формулировке Монжа, проблема касалась физической работы и геометрии. Переход к концепции линейного программирования, осуществленный Канторовичем, позволил унифицировать этот класс задач, рассматривая их как задачи оптимизации с линейными ограничениями и целевой функцией. С точки зрения математики, ТЗ обладает уникальной структурой, которая позволяет использовать специализированные алгоритмы, более эффективные, чем общий симплекс-метод. Современная постановка ТЗ, в том числе и ее сетевая версия, является фундаментальной основой для изучения задач о потоках и разрезах в графах.

Сетевая Постановка: Графы, Узлы и Дуги

Транспортная задача, представленная в сетевой постановке, рассматривается как задача о потоках в ориентированном графе $G = \{I, U\}$, где $I$ — множество узлов (вершин), а $U$ — множество дуг (участков пути).

Эта постановка более гибкая и реалистичная, поскольку позволяет моделировать не только прямые маршруты от поставщика к потребителю (как в классической матричной модели), но и многоступенчатые перевозки через промежуточные (транзитные) пункты. Таким образом, мы получаем возможность решать более сложные задачи логистики, включающие перевалочные пункты, складские комплексы и мультимодальные перевозки.

В сетевой модели узлы разделяются по их интенсивности $a_i$:

1. Источники (Поставщики): Узлы, где продукт производится или хранится. Интенсивность $a_i > 0$.
2. Стоки (Потребители): Узлы, где продукт потребляется. Интенсивность $a_i < 0$ (отрицательный запас, то есть потребность).
3. Транзитные (Промежуточные) узлы: Узлы, через которые продукт только проходит, не задерживаясь. Интенсивность $a_i = 0$.

Формальная Модель Линейного Программирования и Условие Баланса

Формальная экономико-математическая модель транспортной задачи в виде задачи линейного программирования имеет следующую структуру.

1. Целевая функция (Минимизация общих затрат):

Необходимо минимизировать суммарные транспортные издержки $Z$, которые рассчитываются как произведение объема перевозимого груза $x_{ij}$ на тариф $c_{ij}$:

min Z = Σi=1m Σj=1n cij xij

Где:

• $m$ — число поставщиков (источников).
• $n$ — число потребителей (стоков).
• $c_{ij}$ — стоимость перевозки единицы груза из пункта $i$ в пункт $j$.
• $x_{ij}$ — искомый объем перевозки из пункта $i$ в пункт $j$.

2. Ограничения по запасам (Поставщикам):

Общий объем груза, отгруженного из каждого пункта $i$, должен быть равен или меньше его запаса $a_i$. В случае сбалансированной задачи используется равенство:

Σj=1n xij = ai для всех $i=1, \dots, m$

3. Ограничения по потребностям (Потребителям):

Общий объем груза, полученный каждым пунктом $j$, должен быть равен его потребности $b_j$:

Σi=1m xij = bj для всех $j=1, \dots, n$

4. Условие неотрицательности:

xij ≥ 0

Условие Баланса (Закрытая Задача):

Ключевым требованием для разрешимости стандартной транспортной задачи является выполнение условия баланса — равенства суммарного предложения и суммарного спроса:

Σi=1m ai = Σj=1n bj

Если это условие не выполняется (задача называется открытой), она должна быть преобразована в закрытую путем введения фиктивного поставщика (если спрос превышает предложение) или фиктивного потребителя (если предложение превышает спрос) с нулевыми тарифами $c_{ij}$. Важно понимать: несбалансированная задача не имеет допустимого решения, удовлетворяющего всем ограничениям одновременно, поэтому искусственное уравнивание спроса и предложения — это обязательный подготовительный шаг.

Специфические Особенности и Математическая Структура Сетевого Моделирования

Транспортная задача, несмотря на принадлежность к ЛП, обладает уникальными свойствами, которые делают ее решение более быстрым и менее подверженным ошибкам, чем решение общего случая ЛП.

Структура Матрицы Ограничений и Ранг Задачи

Специфика транспортной задачи кроется в структуре ее матрицы ограничений. Каждая переменная $x_{ij}$ (перевозка из $i$ в $j$) входит ровно в два уравнения: одно ограничение по запасу (поставщик $i$) и одно ограничение по потребности (потребитель $j$). Коэффициенты при этих переменных равны единице.

Если мы имеем $m$ поставщиков и $n$ потребителей, общее число ограничений равно $m + n$.

Математический факт: В сбалансированной транспортной задаче система $m + n$ уравнений является линейно зависимой. Это означает, что любое уравнение может быть выражено через остальные.

Например, сумма всех ограничений по запасам равна $\Sigma a_{i}$, а сумма всех ограничений по потребностям равна $\Sigma b_{j}$. Поскольку по условию баланса эти суммы равны, сумма $m$ уравнений поставщиков равна сумме $n$ уравнений потребителей. Следовательно, одно уравнение является избыточным. Таким образом, ранг матрицы ограничений сбалансированной транспортной задачи всегда равен:

r = m + n - 1

Из этого следует, что любой базисный (опорный) план должен содержать ровно $r$ базисных переменных, то есть $m + n — 1$ ненулевых перевозок.

Условия Ацикличности и Проблема Вырожденности Плана

Для сетевой постановки понятие опорного плана приобретает графическую интерпретацию: совокупность базисных дуг (ненулевых перевозок) должна образовывать ациклическую подсеть — то есть не должна содержать замкнутых контуров (циклов). Если в базисе присутствует цикл, то можно перераспределить потоки внутри этого цикла без изменения суммарных запасов и потребностей, что противоречит понятию базисного решения.

Проблема Вырожденности Опорного Плана

Серьезное математическое осложнение при решении транспортной задачи — вырожденный опорный план.

Определение: Опорный план называется вырожденным, если число положительных перевозок $k$ меньше, чем ранг матрицы ограничений: $k < m + n - 1$.

Последствия вырожденности:

1. Сложности в расчете потенциалов: При $k < m + n - 1$ невозможно однозначно определить потенциалы $u_i$ и $v_j$ для всех узлов, используя только $k$ базисных уравнений.
2. Риск зацикливания: В методе потенциалов вырожденность может привести к тому, что при переходе к новому опорному плану целевая функция $Z$ не уменьшается (нулевой шаг), и алгоритм может попасть в бесконечный цикл.

Метод устранения вырожденности:
Для восстановления базиса до необходимого размера $m + n — 1$ вводится искусственная перевозка ε (очень малое положительное число), которая добавляется к числу базисных переменных. Эта перевозка ставится в одну из свободных клеток, при условии, что ее добавление не создает замкнутого цикла с уже существующими базисными перевозками. На практике эта ε рассматривается как нулевая перевозка, но формально входит в базис.

Алгоритмы Поиска Оптимального Решения: Метод Потенциалов

Поскольку транспортная задача имеет специфическую структуру, для ее решения применяются специализированные методы, наиболее эффективным из которых является Метод потенциалов (или модифицированный метод распределения). Этот метод представляет собой специализированную версию симплекс-метода, адаптированную под матрицу ограничений ТЗ.

Построение Начального Опорного Плана

Перед началом итерационного процесса необходимо найти допустимый, но не обязательно оптимальный, начальный опорный план. Существует несколько методов:

1. Метод северо-западного угла: Простейший, но редко эффективный. Заполнение таблицы начинается с верхнего левого угла.
2. Метод минимальной стоимости (Наименьшего элемента): Этот метод является предпочтительным для академических и практических задач, поскольку он учитывает стоимость перевозок $c_{ij}$, тем самым обеспечивая начальный план, который, как правило, находится ближе к оптимальному решению.

Алгоритм минимальной стоимости:
На каждом шаге выбирается клетка $(i, j)$ с минимальным тарифом $c_{ij}$ среди всех незаполненных клеток. В эту клетку помещается максимально возможный объем груза $x_{ij} = \min(a_i, b_j)$. После этого поставщик $i$ или потребитель $j$ (или оба) считается удовлетворенным, и соответствующая строка или столбец исключается из дальнейшего рассмотрения. Процесс повторяется до полного распределения запасов.

Основные Этапы Метода Потенциалов

Метод потенциалов использует идею двойственности для оценки эффективности каждой возможной перевозки.

Этап 1: Проверка на базис и вырожденность.
Убедиться, что число базисных клеток (перевозок $x_{ij} > 0$) равно $m + n — 1$. При вырожденности ввести нулевые перевозки (ε).

Этап 2: Вычисление потенциалов.
Для всех узлов (поставщиков $i$ и потребителей $j$) вводятся двойственные переменные, называемые потенциалами: $u_i$ (для поставщиков) и $v_j$ (для потребителей).
Потенциалы определяются на основе равенства:

ui + vj = cij

Это равенство должно выполняться только для базисных клеток (где $x_{ij} > 0$). Поскольку число уравнений $m+n-1$ меньше числа неизвестных $m+n$, одну из переменных (например, $u_1$) можно произвольно приравнять к нулю. Далее, потенциалы всех остальных узлов вычисляются последовательно.

Этап 3: Вычисление оценок для небазисных дуг (Проверка оптимальности).
Для каждой небазисной клетки (где $x_{ij} = 0$) вычисляется оценка Δ_ij по формуле:

Δij = cij - (ui + vj)

Δ_ij показывает, насколько изменится целевая функция, если мы введем единицу груза в небазисный маршрут $(i, j)$.

Критерий Оптимальности и Итерационный Пересчет

Критерий оптимальности:
План перевозок является оптимальным, если оценки всех небазисных клеток неотрицательны:

Δij ≥ 0 для всех $x_{ij} = 0$

Итерационный пересчет (Улучшение плана):
Если в таблице обнаружена хотя бы одна отрицательная оценка Δ_kl < 0, это означает, что перевозка по маршруту $(k, l)$ уменьшит общие затраты. Этот маршрут вводится в базис. Почему отрицательная оценка сигнализирует о неоптимальности? Потому что она указывает на то, что фактическая стоимость перевозки $c_{kl}$ ниже, чем ее теневая стоимость $u_k + v_l$, что позволяет экономить, перераспределяя потоки.

Для этого строится замкнутый цикл пересчета (цикл в сетевой постановке), который соединяет вводимую небазисную клетку $(k, l)$ с существующими базисными клетками.

1. Начальная клетка $(k, l)$ получает знак «+».
2. Переход по базисным клеткам цикла чередует знаки «−» и «+».
3. Определяется $\theta$ — минимальный объем груза в клетках со знаком «−».
4. $\theta$ вычитается из клеток со знаком «−» и прибавляется к клеткам со знаком «+».
5. Клетка, из которой вынесен груз $\theta$ (ставшая нулевой), покидает базис, а клетка $(k, l)$ входит в базис с объемом $\theta$.

Процесс повторяется до тех пор, пока критерий оптимальности не будет выполнен.

Двойственность, Анализ Чувствительности и Экономическая Интерпретация

Теория Двойственности и Теневые Цены

Теория двойственности является одним из самых мощных инструментов анализа в линейном программировании. Она устанавливает фундаментальную связь между прямой (минимизация затрат) и двойственной (максимизация оценки ресурсов) задачами.

Основная теорема двойственности: Если прямая задача имеет оптимальное решение, то и двойственная задача имеет оптимальное решение, причем оптимальное значение целевой функции прямой задачи равно оптимальному значению целевой функции двойственной задачи ($Z_{min} = F_{max}$).

В транспортной задаче двойственными переменными являются потенциалы $u_i$ и $v_j$.

Экономическая Интерпретация (Теневые Цены):

Двойственные переменные в транспортной задаче называются теневыми ценами (или разрешающими оценками) ресурсов.

• $u_i$ — теневая цена ресурса (запаса) у поставщика $i$.
• $v_j$ — теневая цена ресурса (потребности) у потребителя $j$.

Теневая цена $u_i$ показывает, насколько изменится минимальное значение общих транспортных затрат $Z_{min}$, если запас $a_i$ у поставщика $i$ увеличится на одну единицу. Аналогично, $v_j$ показывает изменение $Z_{min}$ при изменении потребности $b_j$ на единицу. Это дает прямое экономическое обоснование для принятия решений об инвестициях или перераспределении ресурсов.

Важно: Потенциалы $u_i$ и $v_j$ имеют экономический смысл только при условии, что они соответствуют оптимальному плану и являются теневыми ценами на ресурсы.

Управленческая Интерпретация Оптимального Плана

Теневые цены $u_i$ и $v_j$ дают ключевую информацию для принятия стратегических управленческих решений. Например, если $u_i$ имеет большое отрицательное значение, это означает, что увеличение запаса в пункте $i$ существенно снизит общие затраты.

Знак Теневой Цены (Потенциала)	Экономический Смысл	Управленческое Решение
$u_i > 0$ (Поставщик)	Ресурс $a_i$ дефицитен. Его увеличение приведет к снижению $Z_{min}$.	Рассмотреть возможность увеличения производства или запаса у поставщика $i$.
$u_i = 0$ (Поставщик)	Ресурс $a_i$ не дефицитен. Увеличение запаса не повлияет на $Z_{min}$.	Нет необходимости в расширении производства в этом пункте.
Δij > 0 (Небазисная дуга)	Затраты на перевозку $c_{ij}$ выше, чем альтернативные издержки $u_i + v_j$.	Маршрут экономически невыгоден.
Δij = 0 (Небазисная дуга)	Существует альтернативный оптимальный маршрут.	Допускает вариативность в плане перевозок без изменения общих затрат.

Таким образом, двойственный анализ позволяет логисту или менеджеру не просто найти минимальные затраты, но и оценить «стоимость» каждого ограничения и определить, в каком звене логистической цепи экономически наиболее выгодно проводить инвестиции или изменения.

Анализ Чувствительности Параметров Задачи

Анализ чувствительности — это исследование устойчивости найденного оптимального плана к небольшим изменениям исходных параметров задачи: тарифов $c_{ij}$ или объемов $a_i, b_j$.

Чувствительность к тарифам $c_{ij}$:
Оптимальный базис остается неизменным до тех пор, пока оценки Δ_ij для всех небазисных маршрутов остаются неотрицательными. Если тариф $c_{kl}$ на неиспользуемом маршруте $(k, l)$ снизится настолько, что Δ_kl станет отрицательной, текущий план перестан��т быть оптимальным, и потребуется пересчет.

Чувствительность к объемам $a_i, b_j$:
Изменение объемов запасов или потребностей может привести к тому, что текущий базис станет недопустимым (например, при выходе одной из переменных за пределы неотрицательности). Анализ чувствительности позволяет определить диапазоны, в которых объемы $a_i$ и $b_j$ могут изменяться без нарушения оптимального базиса.

Практический Расчет: Числовой Пример Транспортной Задачи в Сетевой Постановке

Рассмотрим сбалансированную транспортную задачу с $m=3$ поставщиками (A, B, C) и $n=4$ потребителями (1, 2, 3, 4).

Поставщики	Запасы ($a_i$)
A	20
B	30
C	40
Σ	90

Потребители	Потребности ($b_j$)
1	15
2	25
3	35
4	15
Σ	90

Условие баланса выполнено: $\Sigma a_i = \Sigma b_j = 90$.

Тарифы $c_{ij}$ (затраты на единицу груза):

	1	2	3	4
A	4	7	6	8
B	5	3	2	4
C	6	5	1	3

Построение Модели и Начальный План

Используем Метод минимальной стоимости для построения начального опорного плана.

1. Минимальный тариф $c_{C3} = 1$. Заполняем клетку $(C, 3)$: $x_{C3} = \min(40, 35) = 35$. Столбец 3 закрыт. Остаток $a_C = 40 — 35 = 5$.
2. Следующий минимальный тариф $c_{B2} = 3$. Заполняем клетку $(B, 2)$: $x_{B2} = \min(30, 25) = 25$. Столбец 2 закрыт. Остаток $a_B = 30 — 25 = 5$.
3. Следующий минимальный тариф $c_{C4} = 3$. Заполняем клетку $(C, 4)$: $x_{C4} = \min(5, 15) = 5$. Строка C закрыта. Остаток $b_4 = 15 — 5 = 10$.
4. Следующий минимальный тариф $c_{B4} = 4$. Заполняем клетку $(B, 4)$: $x_{B4} = \min(5, 10) = 5$. Строка B закрыта. Остаток $b_4 = 10 — 5 = 5$.
5. Остаются незаполненными клетки $(A, 1)$ и $(A, 4)$ при $a_A = 20$, $b_1 = 15$, $b_4 = 5$.
   • $x_{A1} = 15$. Столбец 1 закрыт. $a_A = 20 — 15 = 5$.
   • $x_{A4} = 5$. Строка A и столбец 4 закрыты.

Начальный опорный план $X^{(0)}$:
$x_{A1}=15, x_{A4}=5, x_{B2}=25, x_{B4}=5, x_{C3}=35, x_{C4}=5$.
Число базисных перевозок: $k = 6$. Ранг матрицы: $r = m + n — 1 = 3 + 4 — 1 = 6$. План невырожденный.

Начальные затраты:
$Z^{(0)} = 15 \cdot 4 + 5 \cdot 8 + 25 \cdot 3 + 5 \cdot 4 + 35 \cdot 1 + 5 \cdot 3 = 60 + 40 + 75 + 20 + 35 + 15 = 245$.

Итерационное Решение Методом Потенциалов

Итерация 1: Проверка оптимальности

1. Вычисление потенциалов ($u_i + v_j = c_{ij}$ для базисных):
Присвоим $u_A = 0$ (для простоты).

• (A, 1): $0 + v_1 = 4 \implies v_1 = 4$.
• (A, 4): $0 + v_4 = 8 \implies v_4 = 8$.
• (B, 4): $u_B + 8 = 4 \implies u_B = -4$.
• (C, 4): $u_C + 8 = 3 \implies u_C = -5$.
• (B, 2): $-4 + v_2 = 3 \implies v_2 = 7$.
• (C, 3): $-5 + v_3 = 1 \implies v_3 = 6$.

Потенциалы	$v_1=4$	$v_2=7$	$v_3=6$	$v_4=8$
$u_A=0$	4 (15)			8 (5)
$u_B=-4$		3 (25)		4 (5)
$u_C=-5$			1 (35)	3 (5)

2. Вычисление оценок Δ_ij = c_ij — (u_i + v_j) для небазисных клеток:

• Δ_A2 = $c_{A2} — (u_A + v_2) = 7 — (0 + 7) = 0$.
• Δ_A3 = $c_{A3} — (u_A + v_3) = 6 — (0 + 6) = 0$.
• Δ_B1 = $c_{B1} — (u_B + v_1) = 5 — (-4 + 4) = 5$.
• Δ_B3 = $c_{B3} — (u_B + v_3) = 2 — (-4 + 6) = 0$.
• Δ_C1 = $c_{C1} — (u_C + v_1) = 6 — (-5 + 4) = 7$.
• Δ_C2 = $c_{C2} — (u_C + v_2) = 5 — (-5 + 7) = 3$.

3. Вывод: Все оценки $\Delta_{ij} \ge 0$. План $X^{(0)}$ оптимален.

Оптимальный план:
$x_{A1}=15, x_{A4}=5, x_{B2}=25, x_{B4}=5, x_{C3}=35, x_{C4}=5$.
Минимальные затраты: $Z_{min} = 245$.

Экономический Анализ Найденного Оптимума

Оптимальный план $X^*$ обеспечивает минимальную стоимость перевозок в размере 245 денежных единиц. Полностью используются запасы всех поставщиков и удовлетворяются потребности всех потребителей.

Проведем анализ двойственных оценок (теневых цен):

Поставщик	Потенциал $u_i$	Экономическая Интерпретация
A	0	Недефицитный ресурс. Увеличение запаса $a_A$ не снизит общие затраты.
B	-4	Дефицитный ресурс. Увеличение запаса $a_B$ на 1 ед. снизит $Z_{min}$ на 4 ед.
C	-5	Дефицитный ресурс. Увеличение запаса $a_C$ на 1 ед. снизит $Z_{min}$ на 5 ед.

Управленческие выводы:

• Наибольшая экономическая выгода от расширения запаса достигается у поставщика C. Менеджменту следует рассмотреть возможность перераспределения производственных мощностей или заключения более выгодных контрактов именно с пунктом C, поскольку каждая дополнительная единица груза, которую он может предложить, экономит 5 единиц транспортных расходов.
• Поставщик A обладает избыточной мощностью (или его ресурс не является лимитирующим фактором).

Анализ небазисных маршрутов с нулевой оценкой:
Мы имеем $\Delta_{A2} = 0$, $\Delta_{A3} = 0$, $\Delta_{B3} = 0$.
Наличие нулевых оценок означает, что существуют альтернативные оптимальные планы. Например, ввод перевозки $x_{A2}$ или $x_{B3}$ в базис приведет к новому оптимальному плану с теми же минимальными затратами $Z_{min} = 245$. Это дает логистическому менеджеру гибкость в планировании перевозок, позволяя учитывать не только стоимость, но и другие факторы (например, скорость доставки или надежность маршрута). Разве не это является ключевым преимуществом двойственного анализа над обычным поиском минимума?

Заключение

Транспортная задача в сетевой постановке представляет собой мощный инструмент математического программирования, адаптированный для решения сложных логистических проблем. Она не только обеспечивает строгий математический аппарат для минимизации затрат, но и, благодаря теории двойственности, предоставляет глубокий экономический анализ структуры логистической системы.

В рамках данной работы была представлена исчерпывающая модель задачи линейного программирования, проведен детальный анализ ее специфических математических свойств (ранга матрицы ограничений, условия ацикличности и проблемы вырожденности). Применение Метода потенциалов, адаптированного к этим особенностям, позволяет эффективно находить оптимальный план перевозок.

Наиболее значимый аналитический результат достигается через интерпретацию двойственных переменных. Потенциалы, выступая в роли теневых цен ресурсов, позволяют точно определить, в каком звене цепи поставок наиболее выгодно проводить инвестиции или изменения. В рассмотренном примере, информация о высокой теневой цене ресурса поставщика C ($u_C = -5$) является прямым сигналом для принятия стратегического управленческого решения о его приоритетном использовании или расширении.

Таким образом, транспортная задача в сетевой постановке выходит за рамки простого расчета, становясь основой для принятия эффективных, экономически обоснованных решений в области управления логистикой.

Список использованной литературы

1. Аксентьев В.А. Сборник задач по математическим методам в экономике : учебное пособие для студентов экономических специальностей. Тюмень: изд-во ТюмГУ, 2003. 264 с.
2. Аксентьев В.А., Пыткеев Е.Г., Хохлов А.Г. Математические методы в экономике и финансах : учебное пособие для студентов экономических специальностей дистанционной формы обучения. Тюмень: изд-во ТюмГУ, 2007. 600 с.
3. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. Минск: Высшая школа, 1986. 318 с.
4. Сборник задач по высшей математики для экономистов : учебное пособие / под ред. В.И. Ермакова. Москва: ИНФРА-М, 2001. 575 с.
5. Таха Хэмди А. Введение в исследование операций : 7-е издание. Москва: Вильямс, 2005. 902 с.
6. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении : учеб. пособие. 2-е изд., испр. Москва: Дело, 2002. 440 с.
7. Болотникова О.В., Тарасов Д.В., Тарасов Р.В. Линейное программирование: транспортные и сетевые модели : учеб. пособие. Пенза : Изд-во ПГУ, 2016. URL: https://dep_vpom.pnzgu.ru/files/dep_vpom.pnzgu.ru/uchebnye_posobiya/lineynoe_programmirovanie.pdf (дата обращения: 22.10.2025).
8. Транспортная задача в сетевой постановке // studfile.net (SPbGEU Methodological Guide). URL: https://studfile.net/preview/6256627/page:14/ (дата обращения: 22.10.2025).
9. Решение транспортной задачи в сетевой постановке // matburo.ru. URL: https://www.matburo.ru/ex_mp.php?p1=mptr (дата обращения: 22.10.2025).
10. Транспортная задача — решение методом потенциалов // galyautdinov.ru. URL: https://galyautdinov.ru/post/transportnaya-zadacha-reshenie-metodom-potencialov (дата обращения: 22.10.2025).
11. Метод потенциалов для решения транспортной задачи в сетевой постановке // studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/4155160/page:7/ (дата обращения: 22.10.2025).
12. Анализ чувствительности при изменении вектора ограничений. Физический смысл двойственных переменных // studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/7036720/page:17/ (дата обращения: 22.10.2025).
13. Оценка ресурсов с помощью двойственной задачи // semestr.ru. URL: https://www.semestr.ru/analiz-chuvstvitelnosti.php (дата обращения: 22.10.2025).