Расчет прохождения АМ-сигнала и случайного шума через резонансный усилитель: Методика курсовой работы

В современной радиотехнике и телекоммуникациях задача эффективного выделения полезного сигнала на фоне многочисленных помех остается одной из ключевых. Эфир переполнен как естественными, так и искусственными шумами, которые значительно ухудшают качество приема и обработки информации. В этом контексте резонансные усилители выступают в роли незаменимых элементов, обеспечивающих избирательность и подавление нежелательных частотных составляющих. Они позволяют сфокусироваться на узком диапазоне частот, где сосредоточен основной спектр полезного сигнала, игнорируя при этом широкую полосу шумовых помех. Именно поэтому глубокое понимание их работы является основой для проектирования надежных систем связи.

Целью данной курсовой работы является проведение комплексного спектрального и статистического анализа прохождения однотонального амплитудно-модулированного (АМ) сигнала и случайного узкополосного шума через параллельный резонансный усилитель. Мы представим пошаговый алгоритм расчета, начиная с математических моделей входных воздействий и заканчивая оценкой качества фильтрации, что позволит студенту или аспиранту получить глубокое понимание процессов, происходящих в таких системах, и применить теоретические знания на практике.

Цели и задачи исследования

Конечная цель нашего исследования — это количественная оценка отношения сигнал/шум на выходе резонансного усилителя и формулировка вывода о качестве его избирательности. Для достижения этой цели нам предстоит решить следующие задачи:

1. Разработать математические модели для описания АМ-сигнала и случайного шума на входе усилителя.
2. Определить частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) параллельного резонансного контура, лежащего в основе усилителя.
3. Произвести расчет спектра АМ-сигнала на выходе усилителя, анализируя возможные частотные искажения.
4. Выполнить статистический анализ шума на выходе, определив его дисперсию через эквивалентную шумовую полосу.
5. Синтезировать полученные результаты для оценки эффективности работы усилителя как фильтра помех.

Математические модели входных воздействий

Прежде чем анализировать взаимодействие сигнала и шума с избирательной системой, необходимо детально описать их математические модели, поскольку именно эти модели станут фундаментом для дальнейших расчетов и корректной интерпретации результатов.

Анализ однотонального АМ-сигнала

Однотональный амплитудно-модулированный (АМ) сигнал представляет собой несущую гармоническую составляющую, амплитуда которой изменяется по закону модулирующей функции. В нашем случае модуляция осуществляется одной гармонической частотой, что значительно упрощает анализ, но при этом сохраняет основные черты процесса.

Аналитическое выражение для однотонального АМ-сигнала, поступающего на вход резонансного усилителя, имеет вид:

uам(t) = A0 [1 + m cos(Ωt)] cos(ω0t)

где:

• A0 — амплитуда несущей гармоники;
• ω0 — круговая несущая частота;
• m — коэффициент модуляции, характеризующий глубину модуляции (0 < m ≤ 1);
• Ω — круговая модулирующая частота (как правило, Ω ≪ ω0).

Для анализа спектрального состава этого сигнала воспользуемся тригонометрическим тождеством произведения косинусов. Разложив выражение, получим:

uам(t) = A0cos(ω0t) + ½mA0cos[(ω0−Ω)t] + ½mA0cos[(ω0+Ω)t]

Эта формула наглядно демонстрирует, что спектр однотонального АМ-сигнала является дискретным (линейчатым) и состоит из трех основных частотных составляющих:

1. Несущая частота ω0 с амплитудой A0.
2. Нижняя боковая частота ωнб = ω0−Ω с амплитудой ½mA0.
3. Верхняя боковая частота ωвб = ω0+Ω с амплитудой ½mA0.

Ширина спектра АМ-сигнала, таким образом, определяется разницей между верхней и нижней боковыми частотами, что составляет 2Ω. Это вдвое превышает ширину спектра самой модулирующей функции, что критически важно при расчете необходимой полосы пропускания фильтра.

Моделирование узкополосного случайного шума

Параллельно с полезным сигналом на вход усилителя поступает случайный шум, который является нежелательной помехой. В контексте радиотехнических систем, особенно при анализе резонансных усилителей, часто имеет дело с узкополосным шумом.

Для статистического анализа в радиоприемной технике узкополосный шум n(t) принято моделировать как стационарный нормальный (гауссовский) случайный процесс со средним значением, равным нулю. Это предположение является весьма обоснованным, поскольку многие физические источники шума (например, тепловой шум) подчиняются гауссовскому распределению, а прохождение через линейные цепи сохраняет это свойство.

Спектральная плотность мощности (СПМ) входного шума Gвх(ω) в области частот вблизи ω0 часто аппроксимируется константой:

Gвх(ω) = G0 = N0/2

где N0 — односторонняя спектральная плотность мощности белого шума. Это означает, что в интересующей нас полосе частот шум имеет равномерное распределение энергии по спектру, что упрощает дальнейшие расчеты, позволяя сосредоточиться на фильтрующих свойствах контура, а не на сложной форме входной шумовой СПМ.

Визуализация спектральной плотности мощности шума на входе может быть представлена в виде таблицы:

Частота (ω)	Спектральная плотность мощности (Gвх(ω))	Описание
Вне полосы ω0 ± Δω	Пренебрежимо мало	Шум за пределами интересующего диапазона
В полосе ω0 ± Δω	N0/2	Равномерная СПМ "белого" шума вблизи несущей

Такое моделирование позволяет нам эффективно оценить, как резонансный контур взаимодействует с шумом, концентрирующимся в окрестности резонансной частоты, а также как меняется отношение сигнал/шум.

Частотные и избирательные характеристики резонансного усилителя

Резонансный усилитель обязан своими уникальными свойствами параллельному колебательному контуру, который действует как избирательный фильтр. Понимание его частотных характеристик — ключ к анализу прохождения сигнала и шума, ведь именно они определяют способность усилителя выделять полезный сигнал.

Параметры и резонансная частота контура

Параллельный колебательный контур состоит из индуктивности L, емкости C и сопротивления R (которое может включать как активное сопротивление катушки, так и сопротивление потерь в диэлектрике конденсатора, а также сопротивление нагрузки). Фундаментальным свойством такого контура является его резонансная частота ω0, на которой достигается резонанс токов (минимальная проводимость и максимальное входное сопротивление). Она определяется классической формулой Томсона:

ω0 = 1 / √(LC)

где ω0 выражается в радианах в секунду (рад/с). Соответствующая частота в Герцах (Гц) равна f0 = ω0/(2π).

Еще одной критически важной характеристикой контура является его добротность Q. Добротность — это безразмерный параметр, который количественно характеризует способность контура запасать энергию и определяет его избирательные свойства. Для параллельного резонансного контура с потерями в индуктивности (что является наиболее распространенным случаем) добротность может быть выражена как:

Q = ω0L / R = 1 / (ω0CR) = (1/R)√(L/C)

Высокая добротность Q свидетельствует о низких потерях в контуре и, как следствие, о его высокой избирательности (узкой полосе пропускания). Это означает, что усилитель будет более эффективно отсеивать нежелательные частоты, пропуская только сигнал в заданном диапазоне.

Амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики

Поведение резонансного усилителя при прохождении через него сигналов различных частот описывается его комплексным коэффициентом передачи (ККП) K(jω). В предположении узкополосности контура (то есть при условии Q ≫ 1), что характерно для большинства радиоприемных устройств, ККП вблизи резонанса удобно аппроксимировать с использованием концепции обобщенной расстройки ξ:

K(jω) = K0 ⋅ 1 / (1 + jξ)

где K0 — коэффициент передачи на резонансной частоте ω0.

Обобщенная расстройка ξ является безразмерной величиной и определяется как:

ξ = 2Qδ = 2Q ⋅ (ω − ω0) / ω0

Здесь δ = (ω − ω0) / ω0 — относительная расстройка. Эта формула показывает, что ξ зависит как от отклонения частоты от резонанса, так и от добротности контура. Чем выше Q, тем быстрее изменяется ξ при небольшом изменении частоты, что соответствует более "острому" резонансу.

Из комплексного коэффициента передачи можно вывести две важнейшие частотные характеристики:

1. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) A(ω) = |K(jω)|, которая показывает, как изменяется амплитуда сигнала при прохождении через контур в зависимости от частоты:

   A(ω) = K0 / √(1 + ξ2)

2. Фазово-частотная характеристика (ФЧХ) φ(ω) = arg[K(jω)], которая описывает фазовый сдвиг сигнала:

   φ(ω) = −arctan(ξ)

Эти характеристики играют ключевую роль в формировании выходного сигнала и оценке искажений. На резонансной частоте (ω = ω0, ξ = 0) АЧХ достигает максимума K0, а ФЧХ равна нулю. При удалении от резонанса амплитуда сигнала уменьшается, а фаза претерпевает сдвиг.

Важной количественной мерой избирательности контура является его полоса пропускания по уровню 0,707 (или по уровню 3 дБ). Эта полоса Δω0.7 определяется как интервал частот, на которых амплитуда выходного сигнала уменьшается в √2 раз (то есть до 0,707) от максимального значения на резонансной частоте. Связь полосы пропускания с добротностью Q и резонансной частотой ω0 выражается простым, но фундаментальным соотношением:

Δω0.7 = ω0 / Q

Эта формула демонстрирует, что высокая добротность Q обеспечивает узкую полосу пропускания, что является прямым доказательством высокой избирательности резонансного усилителя. Узкая полоса позволяет эффективно отфильтровывать внеполосные помехи и выделять нужный сигнал. А что произойдет, если добротность будет слишком низкой или слишком высокой для конкретной задачи?

В радиоприемных устройствах, например, в тракте промежуточной частоты (ПЧ) АМ-приемника, добротность Q выбирается исходя из требуемой полосы пропускания Δf0.7 (в Герцах). Для стандартного АМ-вещания (ширина канала 9-10 кГц) при ПЧ 465 кГц требуется эквивалентная добротность Q в диапазоне 45-52 для обеспечения неискаженной передачи модулирующего сигнала. Если бы добротность была значительно ниже, полоса пропускания стала бы слишком широкой, и усилитель пропускал бы больше шума. Если бы она была слишком высокой, полоса пропускания сузилась бы, что привело бы к обрезанию боковых полос АМ-сигнала и искажению его огибающей.

Спектральный анализ и искажения АМ-сигнала на выходе

После прохождения АМ-сигнала через резонансный усилитель его спектральный состав и временная форма претерпевают изменения, обусловленные фильтрующими свойствами контура. Наша задача — предсказать эти изменения, чтобы понять, насколько качественно передается полезная информация.

Алгоритм расчета выходного спектра

В линейных цепях, к которым относится резонансный усилитель, спектр выходного сигнала Sвых(ω) связан со спектром входного сигнала Sвх(ω) и комплексным коэффициентом передачи цепи K(jω) простым, но мощным соотношением:

Sвых(ω) = Sвх(ω) ⋅ K(jω)

Это означает, что для каждой гармонической составляющей входного сигнала ее амплитуда умножается на модуль ККП A(ω) на соответствующей частоте, а ее фаза смещается на угол φ(ω).

Поскольку однотональный АМ-сигнал на входе состоит из трех дискретных спектральных составляющих (несущая ω0, нижняя боковая ω0 − Ω, и верхняя боковая ω0 + Ω), расчет спектра на выходе сводится к применению этой формулы для каждой из них.

Обозначим амплитуды входных составляющих как A0 (для несущей) и ½mA0 (для боковых). Комплексный коэффициент передачи K(jω) для каждой частоты ωi будет иметь модуль A(ωi) и фазу φ(ωi), которые зависят от обобщенной расстройки ξi на этой частоте.

A(ωi) = K0 / √(1 + ξi2)

φ(ωi) = −arctan(ξi)

где ξi = 2Q ⋅ (ωi − ω0) / ω0.

Аналитическое выражение АМ-сигнала на выходе усилителя uвых(t) (при условии симметричности АЧХ относительно ω0, что характерно для одиночного резонансного контура) можно записать следующим образом:

uвых(t) = A0 A(ξ0) cos[ω0t + φ(ξ0)] + ½mA0 A(ξнб) cos[(ω0−Ω)t + φ(ξнб)] + ½mA0 A(ξвб) cos[(ω0+Ω)t + φ(ξвб)]

Здесь:

• ξ0 — обобщенная расстройка для несущей частоты ω0 (равна 0, так как ω0 − ω0 = 0).
• ξнб — обобщенная расстройка для нижней боковой частоты ω0−Ω.
• ξвб — обобщенная расстройка для верхней боковой частоты ω0+Ω.

Анализ частотных искажений огибающей

Особое внимание следует уделить условиям неискаженной передачи модулирующего сигнала. Идеальная передача АМ-сигнала означает, что форма его огибающей на выходе усилителя остается такой же, как и на входе. Это возможно, если амплитуды боковых полос сохраняют свое относительное значение по отношению к несущей, а их фазовые сдвиги не приводят к дополнительным искажениям.

Ключевым условием для неискаженной передачи огибающей является то, что все три спектральные составляющие АМ-сигнала (несущая и две боковые) должны находиться в пределах относительно плоского участка вершины АЧХ усилителя. Математически это выражается условием:

Ω ≪ Δω0.7/2

Или, если выразить через добротность: Ω ≪ ω0/(2Q).

При выполнении этого условия можно приближенно считать, что амплитуды коэффициентов передачи для боковых частот практически равны коэффициенту передачи на резонансной частоте: A(ξнб) ≈ A(ξвб) ≈ A(ξ0) = K0. Аналогично, фазовые сдвиги для боковых частот будут очень близки к фазовому сдвигу несущей, или, в случае симметричной характеристики, будут противоположны друг другу, компенсируясь, так что форма огибающей сохраняется. В этом идеальном случае:

uвых(t) ≈ K0 A0 [1 + m cos(Ωt)] cos(ω0t + φ0)

где φ0 = φ(ξ0) — фазовый сдвиг несущей.

Однако, если условие Ω ≪ Δω0.7/2 нарушается (например, при слишком узкой полосе пропускания Δω0.7 по сравнению с модулирующей частотой Ω, или при увеличении Ω), это приводит к частотным искажениям, также известным как искажения огибающей. Эти искажения обусловлены несколькими факторами:

1. Неравномерное ослабление боковых составляющих: Если боковые частоты попадают на склоны АЧХ, их амплитуды будут ослаблены в разной степени по сравнению с несущей (и друг с другом), что изменяет форму огибающей.
2. Нелинейный фазовый сдвиг: Различные фазовые сдвиги боковых составляющих относительно несущей также могут привести к искажению огибающей, даже если амплитуды сохраняются.

В результате частотных искажений огибающая выходного АМ-сигнала может стать несимметричной, деформированной или иметь нежелательные пики и провалы, что ухудшает качество передачи информации. Особенно это заметно при передаче широкополосных модулирующих сигналов (например, музыки или речи), где спектр модулирующей функции гораздо шире, чем для однотонального сигнала. Эти искажения являются критически важным параметром для оценки общей эффективности системы связи, задавая практические пределы применимости резонансных усилителей.

Статистический анализ случайного шума и оценка мощности

После анализа полезного сигнала, не менее важным является статистический анализ шума на выходе резонансного усилителя. Именно эта часть работы позволяет количественно оценить эффективность усилителя в подавлении помех.

Расчет дисперсии выходного шума

Одной из ключевых статистических характеристик случайного процесса является его дисперсия, которая для шума эквивалентна его средней мощности. Дисперсия (средняя мощность) случайного процесса (шума) на выходе линейной цепи σ2вых определяется через интеграл от спектральной плотности мощности входного шума Gвх(ω) и квадрата модуля АЧХ |K(jω)|2:

σ2вых = (1 / (2π)) ∫-∞∞ Gвх(ω) |K(jω)|2 dω

Эта формула является фундаментальной в статистической радиотехнике и позволяет рассчитать мощность выходного шума для любой линейной цепи при известной СПМ входного шума и ее АЧХ. Интеграл берется по всему частотному диапазону, поскольку шум может присутствовать на всех частотах.

В случае, когда на цепь воздействует белый шум со спектральной плотностью Gвх(ω) = N0/2 (для двустороннего спектра), формула для дисперсии выходного шума значительно упрощается:

σ2вых = (N0/2) ⋅ ∫-∞∞ |K(jω)|2 (dω / (2π))

Для удобства и интуитивного понимания, этот интеграл часто выражают через так называемую эквивалентную шумовую полосу Πэ:

σ2вых = (N0/2) ⋅ Πэ ⋅ |K(jω0)|2

Однако, более корректно, при использовании общепринятого определения Πэ для одностороннего спектра, формула выглядит так:

σ2вых = N0 ⋅ Πэ

где Πэ — эквивалентная шумовая полоса (односторонняя, в Герцах), которая уже включает в себя нормировку на максимальный коэффициент усиления.
С учетом того, что Gвх(ω) = N0/2 для двустороннего спектра и мы интегрируем по всей частотной оси от −∞ до +∞, то при переходе к односторонней полосе и односторонней СПМ (Sвх(f)), интеграл будет выглядеть так:

σ2вых = ∫0∞ Sвх(f) |K(j2πf)|2 df = ∫0∞ N0 |K(j2πf)|2 df = N0 ⋅ (1 / |K(jω0)|2) ∫0∞ |K(j2πf)|2 df

Таким образом, дисперсия выходного шума σ2вых (которая и является средней мощностью шума на выходе) рассчитывается по формуле:

σ2вых = (N0 / (2π)) ∫0∞ |K(jω)|2 dω

(Здесь ω в рад/с, а интегрирование от 0 до ∞ учтено, что Gвх(ω) — двусторонний спектр, и |K(jω)|2 — четная функция).

Эквивалентная шумовая полоса Πэ

Концепция эквивалентной шумовой полосы Πэ (noise equivalent bandwidth) является удобным инструментом для упрощения расчетов мощности шума. Πэ представляет собой ширину идеального прямоугольного фильтра, который при прочих равных условиях пропускает ту же мощность шума, что и реальный фильтр.

Формально эквивалентная шумовая полоса Πэ (в Гц) определяется как:

Πэ = (1 / |K(jω0)|2) ∫0∞ |K(jω)|2 (dω / (2π)) = (1 / K02) ∫0∞ |K(j2πf)|2 df

(Для двусторонней АЧХ, интегрирование от 0 до ∞ по частоте f в Гц).
Здесь |K(jω0)| — максимальное значение АЧХ на резонансной частоте.

Для одиночного параллельного резонансного контура, что является нашим случаем, эквивалентная шумовая полоса Πэ (в Герцах) связана с полосой пропускания по уровню 0,707 (Δf0.7) простым соотношением:

Πэ = (π/2) ⋅ Δf0.7

Численное значение коэффициента π/2 составляет приблизительно 1,57. Таким образом, эквивалентная шумовая полоса Πэ одиночного резонансного контура примерно в 1,57 раза шире его полосы пропускания по уровню 3 дБ (Δf0.7). При этом Πэ и Δf0.7 должны быть выражены в одинаковых частотных единицах, например, в Герцах (Гц).

Это соотношение позволяет быстро оценить мощность выходного шума, зная только полосу пропускания контура, без необходимости сложного интегрирования. Таким образом, дисперсия шума на выходе (средняя мощность шума) может быть представлена как:

σ2вых = N0 ⋅ Πэ ⋅ K02 = N0 ⋅ (π/2) ⋅ Δf0.7 ⋅ K02

где K0 — коэффициент передачи на резонансной частоте. Это упрощение дает возможность оперативно оценить эффективность шумоподавления, не прибегая к сложным вычислениям.

Оценка качества фильтрации и вывод

Синтезировав результаты анализа сигнала и шума, мы можем перейти к количественной оценке эффективности резонансного усилителя как фильтра и сделать выводы о его избирательных свойствах.

Отношение сигнал/шум на выходе

Ключевым показателем качества работы любой радиотехнической системы является отношение сигнал/шум (ОСШ). На выходе усилителя ОСШ по мощности (S/N)вых количественно оценивается как отношение средней мощности полезного сигнала на выходе Pс.вых к средней мощности шума на выходе Pш.вых:

(S/N)вых = Pс.вых / Pш.вых

Мощность шума на выходе Pш.вых уже была рассчитана как дисперсия σ2вых.
Мощность АМ-сигнала на выходе Pс.вых рассчитывается как средняя мощность гармонического сигнала. Для сигнала uвых(t) его средняя мощность будет определяться квадратом его амплитуды, деленным на два (для синусоидального сигнала):

Pс.вых = (½) (K0 A0)2 (1 + m2/2)

(при условии неискаженной передачи огибающей, то есть когда A(ξнб) ≈ A(ξвб) ≈ K0 и фазовые искажения малы).

Таким образом, ОСШ на выходе может быть выражено как:

(S/N)вых = [(½) (K0 A0)2 (1 + m2/2)] / [N0 ⋅ (π/2) ⋅ Δf0.7 ⋅ K02]

После сокращений, получаем:

(S/N)вых = [A02 (1 + m2/2)] / [N0 ⋅ π ⋅ Δf0.7]

Аналогично, ОСШ на входе (S/N)вх определяется мощностью входного АМ-сигнала к мощности входного шума. Мощность входного сигнала:

Pс.вх = (½) A02 (1 + m2/2)

Мощность входного шума в полосе пропускания усилителя будет:

Pш.вх = N0 ⋅ Πэ ⋅ 12 = N0 ⋅ (π/2) ⋅ Δf0.7

Тогда:

(S/N)вх = [(½) A02 (1 + m2/2)] / [N0 ⋅ (π/2) ⋅ Δf0.7] = [A02 (1 + m2/2)] / [N0 ⋅ π ⋅ Δf0.7]

Как видно из выведенных формул, при условии идеальной передачи сигнала (то есть без искажений) и при использовании эквивалентной шумовой полосы для оценки входного шума, отношение сигнал/шум на входе и выходе получается одинаковым. Это является важным моментом, поскольку резонансный усилитель не должен ухудшать ОСШ, а в идеале — улучшать его за счет подавления шумов, находящихся вне полосы сигнала.

Коэффициент шума и эффективность фильтрации

Для более точной оценки того, насколько эффективно усилитель справляется с подавлением шума, используется коэффициент шума (фактор шума) F. Он показывает, во сколько раз ухудшается отношение сигнал/шум при прохождении через усилитель:

F = (S/N)вх / (S/N)вых

В идеальном случае, когда усилитель не вносит собственных шумов и полностью соответствует модели, F=1 (или NF = 0 дБ), что означает, что ОСШ не ухудшается. В реальных условиях любой усилитель вносит собственный шум, и F > 1. Однако, для резонансного усилителя, настроенного на несущую частоту, улучшение отношения сигнал/шум (то есть F может быть меньше 1, если шум на входе был широкополосным, а мы смотрим ОСШ в определенной полосе) достигается за счет отфильтровывания тех составляющих шума, которые лежат вне его узкой полосы пропускания. Полезный сигнал, сосредоточенный в узкой полосе вокруг ω0, проходит практически без потерь.

Вывод о качестве фильтрации:

Основная функция резонансного усилителя в контексте борьбы с шумом — это селективное пропускание. Благодаря своим избирательным свойствам (высокой добротности Q и, как следствие, узкой полосе пропускания Δf0.7), он эффективно подавляет шумовые составляющие, частоты которых значительно отличаются от резонансной частоты ω0.

• Если входной шум является широкополосным (например, белый шум, равномерно распределенный по всему спектру), то резонансный усилитель "вырезает" из него только ту часть, которая попадает в его полосу пропускания. В этом случае, несмотря на возможные собственные шумы усилителя, общее отношение сигнал/шум на выходе может значительно улучшиться по сравнению с широкополосным входным сигналом (где шум измерялся бы по всей полосе).
• Эффективность фильтрации напрямую коррелирует с добротностью контура. Чем выше добротность, тем уже полоса пропускания, и тем меньше шумовой мощности проходит через усилитель. Однако чрезмерное увеличение добротности может привести к искажениям полезного АМ-сигнала из-за обрезания его боковых полос, как было рассмотрено в разделе о частотных искажениях.
• Качество фильтрации определяется оптимальным компромиссом между подавлением шума и сохранением целостности полезного сигнала. Для стандартного АМ-вещания, как было указано, добротность выбирается таким образом, чтобы обеспечить требуемую полосу пропускания, которая позволяет неискаженно передавать модулирующий сигнал, при этом максимально подавляя внеполосные шумы.

Заключение

В рамках данной курсовой работы мы последовательно прошли все этапы комплексного анализа прохождения амплитудно-модулированного сигнала и случайного узкополосного шума через резонансный усилитель. Мы начали с математического описания входных воздействий, представив АМ-сигнал в виде суммы трех гармонических составляющих и смоделировав шум как стационарный гауссовский случайный процесс с равномерной спектральной плотностью мощности в полосе пропускания.

Далее был проведен детальный анализ частотных и избирательных характеристик параллельного резонансного контура. Мы определили резонансную частоту, добротность, а также вывели аналитические выражения для амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристик, используя концепцию обобщенной расстройки. Связь полосы пропускания с добротностью наглядно продемонстрировала способность контура к селекции.

Центральной частью работы стал спектральный анализ АМ-сигнала на выходе усилителя, где мы применили принцип умножения спектра входного сигнала на комплексный коэффициент передачи. Особое внимание было уделено условиям неискаженной передачи огибающей и анализу частотных искажений, возникающих при нарушении этих условий.

Затем мы перешли к статистическому анализу случайного шума, рассчитав его дисперсию на выходе усилителя с использованием эквивалентной шумовой полосы. Эта методика позволила количественно оценить среднюю мощность шума, прошедшего через фильтр.

Наконец, все полученные данные были синтезированы для оценки качества фильтрации. Мы рассчитали отношение сигнал/шум на выходе, а также определили коэффициент шума, который является мерой ухудшения (или сохранения) ОСШ.

Проведенные расчеты подтверждают, что резонансный усилитель, благодаря своим избирательным свойствам, эффективно улучшает отношение сигнал/шум за счет подавления внеполосных составляющих шума, при условии, что его полоса пропускания оптимально согласована со спектром полезного АМ-сигнала. Если, например, заданная добротность Q обеспечивает полосу пропускания Δf0.7, которая комфортно охватывает весь спектр АМ-сигнала (то есть Δf0.7 > 2fмод), то можно ожидать, что отношение сигнал/шум на выходе будет максимально возможным для данного усилителя, а искажения огибающей — минимальными. В противном случае, при недостаточной ширине полосы, хотя шум и будет подавлен более интенсивно, полезный сигнал также будет искажен, что негативно скажется на качестве приема.

Все цели, поставленные в начале курсовой работы, были достигнуты. Полученные результаты дают всестороннее представление о работе резонансного усилителя в условиях воздействия АМ-сигнала и случайного шума, а предложенная методика может служить основой для дальнейших практических расчетов и проектирования радиотехнических систем.