Радиотехнические цепи и сигналы: анализ, фильтрация, моделирование

В мире, где объём передаваемой информации удваивается каждые несколько лет, а требования к скорости, надёжности и помехоустойчивости растут экспоненциально, радиотехнические цепи и сигналы остаются краеугольным камнем технологического прогресса. От мобильной связи 5G до спутниковых систем навигации, от медицинских диагностических приборов до систем безопасности – везде ключевую роль играет способность эффективно формировать, передавать, принимать и обрабатывать сигналы, минимизируя влияние шумов и помех. Именно поэтому глубокое понимание принципов работы радиотехнических цепей, методов анализа сигналов и современных подходов к их цифровой обработке является не просто академическим требованием, но и неотъемлемым условием для любого специалиста, стремящегося внести свой вклад в развитие высокотехнологичных отраслей.

Представленная курсовая работа нацелена на всестороннее исследование этой сложной и многогранной предметной области. Основная цель – разработать и представить комплексный анализ радиотехнических цепей и сигналов, охватывающий как фундаментальные теоретические аспекты, так и практические методы их моделирования и оптимизации для повышения помехоустойчивости систем передачи информации.

Для достижения этой цели были сформулированы следующие задачи:

Исследовать и систематизировать математические модели детерминированных и случайных радиотехнических сигналов, включая их энергетические и спектральные характеристики.
Проанализировать принципы функционирования линейных радиотехнических цепей, изучить их временные и частотные характеристики, а также основные методы анализа переходных процессов.
Детально рассмотреть спектральный анализ сигналов и принципы их прохождения через различные типы фильтров, включая сравнительный анализ активных и пассивных решений.
Изучить теорию оптимальной согласованной фильтрации, её теоретические основы и практическое применение для максимизации отношения сигнал/шум.
Исследовать основы дискретной и цифровой обработки сигналов, классификацию, методы синтеза и аппаратную реализацию цифровых фильтров (КИХ и БИХ).
Освоить и продемонстрировать применение специализированных программных комплексов, таких как MathCad, MATLAB и Multisim, для моделирования и верификации теоретических расчетов.
Проанализировать ключевые факторы, влияющие на выбор параметров радиотехнических цепей и сигналов, с акцентом на обеспечение помехоустойчивости и современные метрики качества связи.

Структура работы построена таким образом, чтобы последовательно раскрыть каждый из вышеуказанных аспектов, начиная с базовых определений и математических моделей, переходя к анализу цепей и фильтров, затем к оптимальным методам обработки и, наконец, к практическому моделированию и влияющим факторам. Каждый раздел содержит теоретические положения, математические выкладки, примеры и графические иллюстрации, что обеспечивает глубокое и всестороннее понимание материала, необходимое для успешного выполнения курсовой работы и дальнейшего профессионального роста в области радиотехники.

Математические модели и анализ радиотехнических сигналов

В основе любой радиотехнической системы лежит сигнал — носитель информации. Глубокий анализ этих систем невозможен без точного математического описания сигналов, понимания их природы и характеристик. Этот раздел посвящен фундаментальным аспектам математического моделирования сигналов, разделяя их на детерминированные и случайные, а также рассматривая ключевые энергетические и спектральные параметры.

Детерминированные сигналы: Определение, математические модели и их комплексное представление

В мире радиотехники сигналы можно разделить на две большие категории: те, поведение которых предсказуемо, и те, которые подчиняются законам случайности. Детерминированные сигналы – это образцы предсказуемости. Их характеристики (амплитуда, частота, фаза) могут быть точно определены в любой момент времени с абсолютной уверенностью. В математическом контексте детерминированный сигнал — это функция времени, которая может быть обозначена как s(t), u(t) или f(t).

К наиболее распространенным математическим моделям детерминированных сигналов относятся:

Гармоническое колебание: Классический пример, описываемый функцией вида Acos(ωt + φ), где A — амплитуда, ω — угловая частота, t — время, а φ — начальная фаза. Это фундаментальная модель, поскольку любой периодический сигнал может быть разложен в сумму гармонических составляющих.
Пример: Гармонический сигнал с амплитудой 5 В, частотой 100 Гц (ω = 2π · 100 рад/с) и нулевой начальной фазой будет выглядеть как u(t) = 5cos(200πt).
Экспоненциальный импульс: Часто встречается в переходных процессах и описывается функциями вида A·e^-αt для t ≥ 0, где α — постоянная затухания.
Гауссов импульс: Модель, широко используемая в радиолокации и связи, благодаря своим оптимальным спектральным свойствам. Его форма описывается функцией A·e^-k(t-t₀)², где t₀ — момент максимума, k — коэффициент, определяющий ширину импульса.

Детерминированные сигналы также удобно представлять в комплексной форме, используя формулу Эйлера: e^jφ = cos(φ) + jsin(φ). Гармонический сигнал Acos(ωt + φ) можно записать как действительную часть комплексной экспоненты: Re[A·e^j(ωt+φ)] = Re[A·e^jφ·e^jωt]. Здесь A·e^jφ представляет собой комплексную амплитуду, содержащую информацию об амплитуде и фазе. Комплексное представление значительно упрощает математический аппарат при анализе прохождения сигналов через линейные цепи.

Например, для гармонического сигнала u(t) = 5cos(200πt), комплексная форма будет U(t) = 5·e^j200πt.

Случайные сигналы: Определение, вероятностное описание и концепция реализации случайного процесса

В отличие от детерминированных, случайные сигналы – это своего рода «непредсказуемые гости» в радиотехнике. Их мгновенные значения в любой момент времени невозможно точно предсказать; можно лишь оценить их с некоторой вероятностью. К ним относятся шумы, помехи, а также многие информационные сигналы, такие как речь или музыка. Что это означает для инженера? Это требует применения статистических методов анализа, поскольку традиционные детерминированные модели здесь неприменимы, и приходится работать с вероятностными распределениями, а не с точными значениями.

Математическим описанием случайного сигнала является случайная функция времени, или случайный процесс. Это означает, что для каждого момента времени t значение X(t) является случайной величиной, которая может принимать различные значения с определенной вероятностью.

Важнейшая концепция, связанная со случайными сигналами, – это реализация случайного процесса. Поскольку мы не можем заранее знать точный вид случайной функции, мы можем наблюдать только одну из ее возможных «траекторий» или «образцов». Каждая конкретная зарегистрированная кривая, например, запись шума в течение определенного времени, представляет собой отдельную реализацию случайного процесса. Множество таких реализаций формирует ансамбль случайного процесса, и только при анализе этого ансамбля (или достаточно длинной реализации эргодического процесса) можно получить статистически достоверные характеристики.

Энергетические и корреляционные характеристики сигналов

Чтобы количественно описывать и сравнивать сигналы, особенно случайные, используются их энергетические и корреляционные характеристики.

Энергия сигнала – это мера его способности совершать работу. Для непрерывного сигнала s(t), существующего на интервале времени [t₁, t₂], энергия, выделяемая на единичном активном сопротивлении (1 Ом), определяется как:

E = ∫_t₁^t₂ |s(t)|² dt

Полная энергия сигнала (или просто энергия сигнала) – это энергия, выделяемая на единичном активном сопротивлении при воздействии на него сигнала неограниченное время. Если сигнал существует на интервале от -∞ до +∞, то:

E_полн = ∫_-∞^∞ |s(t)|² dt

Для многих случайных процессов, особенно стационарных и эргодических, полная энергия реализаций стремится к бесконечности. В таких случаях более информативной характеристикой является мощность сигнала (средняя мощность). Для стационарных эргодических центрированных случайных процессов (то есть с нулевым математическим ожиданием) мощность P конечна и равна их дисперсии:

P = E[X²(t)] = σ²_X

Это выражение означает, что мощность флуктуационной составляющей случайного процесса напрямую определяется его дисперсией, которая показывает, насколько значения сигнала отклоняются от среднего. Практическое следствие этого состоит в том, что для анализа шумов достаточно измерить их дисперсию, чтобы получить представление об их энергетическом вкладе.

Корреляционные функции позволяют оценить статистическую взаимосвязь между значениями сигнала в разные моменты времени или между двумя различными сигналами.

Автокорреляционная функция (АКФ), обозначаемая как R_x(τ) или B(τ), описывает степень статистической зависимости между значениями одного и того же случайного сигнала X(t), взятыми в два различных момента времени, разделенных интервалом τ (сдвиг по времени).
Для стационарного случайного процесса X(t) АКФ определяется как математическое ожидание произведения значений сигнала:

R_x(τ) = E[X(t)X(t+τ)]

АКФ обладает рядом фундаментальных свойств:

Симметричность: R_x(τ) = R_x(−τ). Это означает, что корреляция не зависит от направления сдвига.
Максимальное значение при τ=0: R_x(0) равно дисперсии σ²_X стационарного случайного процесса. Это логично, поскольку при нулевом сдвиге сигнал максимально коррелирован сам с собой.
АКФ используется для анализа сложных колебаний, например, для поиска скрытых периодичностей в зашумленных сигналах или определения несущей частоты.

Пример расчета АКФ:
Рассмотрим дискретный сигнал x = [1, 2, 3, 2, 1].
АКФ для дискретного сигнала определяется как:

R(k) = Σ_n=0^N-1-k x[n]x[n+k]
где N — длина сигнала, k — сдвиг.

Для k = 0: R(0) = 1·1 + 2·2 + 3·3 + 2·2 + 1·1 = 1 + 4 + 9 + 4 + 1 = 19
Для k = 1: R(1) = 1·2 + 2·3 + 3·2 + 2·1 = 2 + 6 + 6 + 2 = 16
Для k = 2: R(2) = 1·3 + 2·2 + 3·1 = 3 + 4 + 3 = 10
Для k = 3: R(3) = 1·2 + 2·1 = 2 + 2 = 4
Для k = 4: R(4) = 1·1 = 1
Для отрицательных сдвигов R(k) = R(−k).

Графически АКФ обычно представляет собой функцию, которая убывает по мере увеличения |τ|, демонстрируя уменьшение статистической связи между удаленными во времени отсчетами. Если в сигнале есть периодическая составляющая, АКФ также будет иметь периодический характер.

Взаимная корреляционная функция (ВКФ), R_xy(τ), измеряет статистическую связь между двумя различными случайными сигналами X(t) и Y(t), сдвинутыми друг относительно друга на τ:

R_xy(τ) = E[X(t)Y(t+τ)]

ВКФ используется для оценки степени схожести двух сигналов или для определения задержки одного сигнала относительно другого. Если сигналы статистически независимы, их ВКФ равна нулю. В отличие от АКФ, ВКФ не обязательно симметрична, и её максимум может быть смещен от точки τ=0, указывая на временную задержку между сигналами.

Спектральная плотность мощности (СПМ)

Вместе с корреляционными функциями, математическим ожиданием и дисперсией, функция спектральной плотности (или спектр мощности) является одной из ключевых характеристик, позволяющих анализировать свойства стационарных случайных процессов.

Спектральная плотность мощности (СПМ), обозначаемая как S_x(ω), описывает, как мощность случайного процесса распределяется по частотному спектру. Она показывает, на каких частотах сосредоточена основная энергия сигнала.

Фундаментальное соотношение между СПМ и АКФ стационарного случайного процесса даётся теоремой Винера-Хинчина: СПМ S_x(ω) является преобразованием Фурье автокорреляционной функции R_x(τ):

S_x(ω) = ∫_-∞^∞ R_x(τ)e^-jωτdτ

Это означает, что анализ в частотной области (через СПМ) и анализ во временной области (через АКФ) взаимосвязаны и предоставляют комплементарную информацию о случайном процессе. Таким образом, инженер может выбрать наиболее удобный домен для решения конкретной задачи.

Свойства СПМ:

Действительность и чётность: СПМ всегда является действительной и чётной функцией частоты ω. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат.
Положительность: S_x(ω) ≥ 0 для всех ω.
Связь с мощностью: Интеграл от СПМ по всему частотному диапазону равен средней мощности случайного процесса:

P = ∫_-∞^∞ S_x(ω)dω

Пример: Для белого шума, который имеет нулевую корреляцию между любыми двумя отсчётами (R_x(τ) = N₀δ(τ), где N₀ — спектральная плотность мощности), преобразование Фурье дельта-функции даёт константу. Таким образом, СПМ белого шума равномерна по всему частотному диапазону, что означает одинаковое распределение мощности на всех частотах.

Графическое представление СПМ позволяет визуально оценить, какие частотные компоненты преобладают в случайном сигнале, что критически важно при разработке фильтров для выделения полезного сигнала из шума.

Анализ линейных радиотехнических цепей: частотные и переходные характеристики

Понимание поведения радиотехнических цепей является центральной задачей в радиотехнике. Этот раздел посвящен анализу линейных радиотехнических цепей, их фундаментальным свойствам и характеристикам, которые описывают реакцию цепи на внешние воздействия во временной и частотной областях. Умение предсказывать поведение цепи в ответ на различные воздействия – это ключ к её эффективному проектированию.

Основные свойства линейных цепей

Сердцевина анализа радиотехнических цепей — это их классификация по принципам поведения. Линейной радиотехнической цепью называется такая цепь, для которой справедлив принцип суперпозиции. Этот принцип гласит: реакция цепи на линейную комбинацию воздействий (например, суммы нескольких источников напряжения или тока) равна такой же линейной комбинации реакций цепи на каждое воздействие, приложенное по отдельности. Математически это означает, что если воздействие x₁(t) вызывает реакцию y₁(t), а x₂(t) — реакцию y₂(t), то воздействие a·x₁(t) + b·x₂(t) вызовет реакцию a·y₁(t) + b·y₂(t), где a и b — константы. Это свойство значительно упрощает анализ сложных цепей, позволяя разбить их на более простые составляющие.

Кроме принципа суперпозиции, для линейных цепей с постоянными параметрами, состоящих только из пассивных элементов (резисторов, конденсаторов, индуктивностей) и не содержащих управляемых источников, выполняется ещё одно важное свойство – принцип взаимности (или обратимости). Он гласит: если источник ЭДС (Электродвижущей силы) в одной ветви цепи вызывает ток в другой ветви, то такой же источник ЭДС, включённый во вторую ветвь, вызовет такой же ток в первой ветви. Этот принцип основан на симметрии матриц контурных сопротивлений или узловых проводимостей и применим только к пассивным цепям. Его нарушение указывает на наличие активных или нелинейных элементов. Например, в схеме с диодом или транзистором, или с управляемым источником, принцип взаимности не соблюдается.

При гармоническом воздействии в линейной цепи со временем всегда устанавливается стационарный режим, в котором все токи и напряжения изменяются по гармоническому закону с частотой, равной частоте воздействия. Изменяются только их амплитуды и фазы.

Временные характеристики цепей

Временные характеристики описывают реакцию цепи на различные входные сигналы в течение времени. Две наиболее важные временные характеристики:

Импульсная характеристика (ИХ), обозначаемая как h(t), представляет собой реакцию цепи на идеальный единичный импульс (δ-функцию Дирака) при нулевых начальных условиях. Это своего рода «отпечаток пальца» цепи, содержащий всю информацию о её динамических свойствах. Для линейной стационарной цепи, зная ИХ, можно найти реакцию на любой входной сигнал x(t) с помощью операции свертки:

y(t) = ∫_-∞^∞ x(τ)h(t-τ)dτ

Переходная характеристика (ПХ), обозначаемая как g(t), – это реакция цепи на единичный скачок напряжения или тока (единичную ступенчатую функцию) на её входе, также при нулевых начальных условиях. Она показывает, как цепь переходит из одного стационарного состояния в другое.

Между ПХ g(t) и ИХ h(t) существует прямая взаимосвязь: импульсная характеристика является производной от переходной характеристики цепи:

h(t) = dg(t)/dt

И наоборот, переходная характеристика является интегралом от импульсной характеристики:

g(t) = ∫_-∞^t h(τ)dτ

Пример: Для простейшего RC-фильтра нижних частот ИХ имеет вид h(t) = (1/τ)·e^-t/τ для t ≥ 0 (где τ = RC), а ПХ — g(t) = 1 − e^-t/τ для t ≥ 0.

Частотные характеристики цепей

Частотные характеристики описывают, как цепь влияет на амплитуду и фазу гармонического сигнала в зависимости от его частоты.

Передаточная функция цепи — это отношение комплексной амплитуды гармонического сигнала на выходе цепи к комплексной амплитуде гармонического сигнала на её входе. В операторной форме она обозначается как K(p) или K(s).

Комплексная частотная характеристика (КЧХ), K(jω), получается из передаточной функции заменой оператора p (или s) на jω, где j — мнимая единица, а ω — угловая частота. Она является комплексной функцией частоты.

КЧХ может быть представлена в виде модуля и аргумента:

K(jω) = |K(jω)| · e^{j·arg(K(jω))}

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), k(ω) = |K(jω)|, является модулем КЧХ. Она показывает, как амплитуда гармонического сигнала изменяется при прохождении через цепь в зависимости от его частоты. АЧХ является действительной, положительной функцией частоты.
Фазочастотная характеристика (ФЧХ), φ(ω) = arg(K(jω)), является аргументом КЧХ. Она показывает сдвиг по фазе между гармоническими колебаниями на выходе и входе цепи в зависимости от частоты. ФЧХ используется для оценки фазовых искажений формы сложного сигнала, вызванных неодинаковой задержкой во времени его отдельных гармонических составляющих.

Пример расчётов и графиков для RC-фильтра нижних частот 1-го порядка:
Для такой цепи передаточная функция:

K(p) = 1 / (1 + pRC)

Комплексная частотная характеристика:

K(jω) = 1 / (1 + jωRC)

АЧХ:

k(ω) = |K(jω)| = 1 / √(1 + (ωRC)²)

ФЧХ:

φ(ω) = arg(K(jω)) = -arctan(ωRC)

График АЧХ:
На низких частотах (ω → 0) k(ω) → 1, сигнал проходит без ослабления.
На высоких частотах (ω → ∞) k(ω) → 0, сигнал сильно ослабляется.
График показывает плавное уменьшение коэффициента передачи с ростом частоты.

График ФЧХ:
На низких частотах (ω → 0) φ(ω) → 0.
На высоких частотах (ω → ∞) φ(ω) → -π/2 (-90°).
График показывает увеличение фазового сдвига (запаздывания) с ростом частоты.

Аппроксимации АЧХ фильтров:
При проектировании фильтров, особенно сложных, используются различные аппроксимации идеальной АЧХ. Наиболее известные из них:

Аппроксимация Баттерворта: Обеспечивает максимально плоскую АЧХ в полосе пропускания, без пульсаций. Спад за пределами полосы пропускания является гладким, но не самым крутым.
Аппроксимация Чебышева: Позволяет получить более крутой спад АЧХ в полосе задерживания по сравнению с Баттервортом того же порядка. Однако это достигается за счёт наличия пульсаций (неравномерности) АЧХ в полосе пропускания (фильтры Чебышева I рода) или в полосе задерживания (фильтры Чебышева II рода).

Выбор аппроксимации зависит от конкретных требований к фильтру: если критична линейность фазы и отсутствие пульсаций – Баттерворт, если важна максимальная крутизна спада при допустимых пульсациях – Чебышев.

Методы анализа переходных процессов

Анализ переходных процессов – это исследование поведения цепи при изменении её состояния, например, при включении или выключении источника. Для линейных цепей существуют несколько основных методов:

Классический метод: Основан на составлении и решении дифференциальных уравнений, описывающих цепь. Интегрирование этих уравнений позволяет найти искомые токи и напряжения как функции времени. Метод трудоёмок для цепей высокого порядка.
Операторный метод (метод преобразования Лапласа): Позволяет преобразовать дифференциальные уравнения во временной области в алгебраические уравнения в операторной (комплексной) области. После решения алгебраических уравнений выполняется обратное преобразование Лапласа. Этот метод значительно упрощает расчёты для сложных цепей.
Частотный метод (на основе преобразования Фурье): Используется для анализа реакции цепи на негармонические, но детерминированные сигналы. Сигнал сначала разлагается в спектр (преобразование Фурье), затем каждая спектральная составляющая умножается на КЧХ цепи, а затем выполняется обратное преобразование Фурье.
Метод расчёта с помощью интеграла Дюамеля: Позволяет найти реакцию цепи на произвольное воздействие, зная её импульсную или переходную характеристику. Основан на свертке входного сигнала с ИХ или производной входного сигнала с ПХ.
Метод переменных состояния: Современный и мощный метод, основанный на представлении системы в виде совокупности дифференциальных уравнений первого порядка, описывающих состояние системы (например, напряжения на конденсаторах и токи через индуктивности). Удобен для компьютерного моделирования и анализа сложных систем.

Каждый метод имеет свои преимущества и недостатки, и выбор конкретного подхода зависит от сложности цепи, типа входного сигнала и требуемой точности анализа.

Спектральный анализ сигналов и прохождение через фильтры

Спектральный анализ — это мощный инструмент, позволяющий заглянуть внутрь сигнала и понять, из каких частотных составляющих он состоит. Эта информация критически важна при проектировании радиотехнических систем, особенно фильтров, которые целенаправленно изменяют спектральный состав сигналов.

Разложение сигналов в ряд и преобразование Фурье

История спектрального анализа неразрывно связана с именем Жозефа Фурье, который в начале XIX века показал, что практически любую периодическую функцию можно представить в виде суммы синусоидальных и косинусоидальных функций.

Ряд Фурье позволяет представить любую периодическую функцию f(t), заданную на интервале и удовлетворяющую условиям Дирихле (ограниченное число экстремумов и разрывов, абсолютная интегрируемость), в двух основных формах:

Тригонометрическая форма:

f(t) = a₀/2 + Σ_n=1^∞ (a_ncos(nω₀t) + b_nsin(nω₀t))
где ω₀ = 2π/T — основная угловая частота, T — период, а a_n и b_n — коэффициенты Фурье, характеризующие амплитуды и фазы гармонических составляющих.

Комплексная экспоненциальная форма: Эта форма более удобна для математического анализа и имеет вид:

f(t) = Σ_n=-∞^∞ c_ne^jnω₀t
где c_n — комплексные коэффициенты Фурье, которые содержат информацию как об амплитуде, так и о фазе n-й гармоники. Эти коэффициенты рассчитываются по формуле:

c_n = (1/T) ∫₀^T f(t)e^-jnω₀tdt

Коэффициенты c_n формируют спектр периодического сигнала, показывая, какие частоты присутствуют в сигнале и с какой относительной мощностью.

Для непериодических сигналов, которые существуют на бесконечном интервале времени, используется преобразование Фурье. Оно позволяет получить непрерывный спектр сигнала S(ω):

S(ω) = ∫_-∞^∞ s(t)e^-jωtdt

Обратное преобразование Фурье позволяет восстановить исходный сигнал из его спектра:

s(t) = (1/2π) ∫_-∞^∞ S(ω)e^jωtdω

Спектральное представление сигнала даёт бесценную информацию о его частотном составе, что является отправной точкой для проектирования фильтров и других устройств обработки сигналов.

Прохождение сигналов через линейные цепи

Когда сигнал проходит через линейную цепь, его спектральный состав изменяется. Если на вход линейной цепи подаётся гармонический сигнал, то в установившемся режиме на выходе также будет гармонический сигнал той же частоты. Однако его амплитуда изменится в соответствии с АЧХ цепи, а фаза – в соответствии с ФЧХ цепи.

Для периодического входного сигнала, который можно представить в виде ряда Фурье (суммы гармоник), реакция линейной стационарной цепи будет также периодическим сигналом с тем же периодом. При этом форма сигнала, как правило, изменяется. Почему? Потому что каждая гармоническая составляющая входного сигнала проходит через цепь по-своему: её амплитуда умножается на значение АЧХ цепи на соответствующей частоте, а фаза смещается на значение ФЧХ на этой же частоте. Поскольку АЧХ и ФЧХ обычно нелинейны по частоте, различные гармоники будут ослабляться и смещаться по фазе по-разному, что приводит к изменению результирующей формы сигнала на выходе.

Классификация и особенности фильтров

Фильтры – это ключевые элементы радиотехнических систем, предназначенные для избирательного изменения спектрального состава сигнала. Они пропускают сигналы в определённом диапазоне частот (полоса пропускания) и подавляют сигналы вне этого диапазона (полоса задерживания).

По виду АЧХ фильтры подразделяются на:

Фильтры нижних частот (ФНЧ): Пропускают частоты ниже определённой граничной и подавляют более высокие.
Фильтры верхних частот (ФВЧ): Пропускают частоты выше граничной и подавляют более низкие.
Полосно-пропускающие фильтры (ППФ): Пропускают частоты в определённом диапазоне (полосе) и подавляют частоты за его пределами.
Полосно-заграждающие фильтры (ПЗФ): Подавляют частоты в определённом диапазоне и пропускают все остальные.

По типу используемых компонентов и принципу работы фильтры делятся на пассивные и активные.

Сравнительный анализ пассивных и активных фильтров:

Характеристика	Пассивные фильтры	Активные фильтры
Состав элементов	Только пассивные компоненты: резисторы (R), катушки индуктивности (L), конденсаторы (C). Примеры: RC-, RL-, LC-фильтры.	Содержат один или несколько активных компонентов: операционные усилители (ОУ), транзисторы. Часто используются RC-цепи в сочетании с ОУ.
Источник питания	Не требуют внешнего источника питания.	Требуют внешний источник питания для активных компонентов.
Усиление сигнала	Не могут усиливать сигнал. Максимальный коэффициент передачи ≤ 1. Могут только ослаблять сигнал.	Могут усиливать мощность сигнала, обеспечивая коэффициент передачи > 1. Это позволяет компенсировать потери и достигать более высокого уровня сигнала на выходе.
Крутизна спада АЧХ	Ограничены. Простые RC-фильтры 1-го порядка имеют крутизну 6 дБ/октаву. Для более крутого спада (12, 18 дБ/октаву) требуются многозвенные LC-фильтры более высоких порядков.	Обеспечивают значительно более крутой спад АЧХ (например, 12 дБ/октаву и выше для фильтров 2-го порядка) по сравнению с пассивными RC-фильтрами. Это достигается за счёт обратной связи и усиления, позволяя формировать более точные частотные характеристики.
Габариты и масса	Для низких частот (ниже 10 кГц) требуются крупные индуктивности и конденсаторы, что делает их громоздкими и тяжелыми.	Могут быть значительно компактнее, особенно на низких частотах, так как индуктивности часто заменяются активными элементами (имитация индуктивности на ОУ). Это критично для миниатюрных устройств.
Q-фактор (избирательность)	Обычно ниже, особенно для простых RC-фильтров. Может быть улучшен с помощью LC-фильтров, но с увеличением габаритов.	Обеспечивают более высокую избирательность (Q-фактор), что позволяет более качественно разделять полосы пропускания и затухания, то есть лучше выделять нужные частоты и подавлять ненужные.
Входной/выходной импеданс	Могут иметь неоптимальные входные и выходные импедансы, что усложняет их каскадирование и согласование с другими цепями.	Легко обеспечивают высокий входной и низкий выходной импедансы благодаря использованию операционных усилителей. Это упрощает каскадирование фильтров без взаимного влияния и согласование с источниками/нагрузками.
Частотный диапазон	Широкий, но на высоких частотах возникают проблемы с паразитными параметрами катушек.	Ограничен полосой пропускания используемых активных элементов (например, ОУ). На очень высоких частотах (МГц и выше) могут быть менее эффективны или требовать специализированных высокочастотных ОУ.
Стоимость	Обычно дешевле, особенно для низких порядков.	Могут быть дороже из-за активных компонентов, но экономия на габаритах и производительности часто оправдывает затраты.
Примеры схем	RC-цепи, LC-контуры.	Фильтры Саллена-Ки, Баттерворта, Чебышева на ОУ.

Вывод: Выбор между пассивными и активными фильтрами определяется конкретными требованиями к системе. Пассивные фильтры предпочтительны для простых задач, где не требуется усиление и важна простота/отсутствие питания. Активные фильтры незаменимы там, где нужны высокая избирательность, крутой спад, компактность, усиление и удобство каскадирования, особенно в низкочастотных приложениях.

Оптимальная согласованная фильтрация сигналов на фоне помех

В реальных радиотехнических системах передача информации всегда сопряжена с влиянием шумов и помех. Эти нежелательные компоненты могут искажать полезный сигнал, затрудняя или делая невозможным его обнаружение, различение или измерение параметров. Именно поэтому задача оптимальной фильтрации сигнала в присутствии помех является одной из наиболее актуальных и фундаментальных проблем в радиотехнике. Её эффективное решение позволяет существенно повысить помехозащищённость приёмника.

Постановка задачи и критерии оптимальности

Задача оптимальной фильтрации заключается в отыскании такой частотной (или переходной) характеристики фильтра, которая обеспечит наилучшее выделение полезного сигнала из смеси сигнала и помехи в соответствии с заданным критерием качества. Существует множество таких критериев, но одним из наиболее распространённых и важных для систем связи и радиолокации является критерий максимума отношения сигнал/шум (ОСШ) на выходе фильтра.

Фильтр, который реализует этот критерий, называется оптимальным (согласованным) фильтром. Его основное предназначение – выделение сигналов известной формы на фоне шумов (обычно предполагается белый гауссов шум). Повышение помехоустойчивости согласованным фильтром достигается за счёт максимального увеличения отношения сигнал/шум на его выходе. Это происходит благодаря «взвешиванию» спектра сигнала таким образом, чтобы концентрация энергии полезного сигнала была максимальной при минимизации мощности шума. Фактически, согласованный фильтр интегрирует энергию сигнала за его известную длительность, оптимально используя всю доступную информацию о форме сигнала.

Теоретические основы оптимальной фильтрации

Теория оптимальных методов радиоприёма и, в частности, оптимальной фильтрации, имеет глубокие математические корни и получила своё развитие на основе выдающихся работ советского математика А.Н. Колмогорова и американского математика Н. Винера. Их вклад в теорию случайных процессов, статистическую теорию связи и фильтрации лёг в основу многих современных подходов к обработке сигналов. Работы Колмогорова и Винера позволили сформулировать строгие математические условия для синтеза фильтров, оптимальных по различным критериям.

Частотная и импульсная характеристики согласованного фильтра

Для того чтобы цепь могла выполнять функцию согласованного фильтра, её комплексная частотная характеристика K_согл(jω) должна быть определённым образом связана со спектром обнаруживаемого сигнала S(jω). Согласно теории, для сигнала s(t), проходящего через согласованный фильтр на фоне белого шума, комплексная частотная характеристика фильтра должна быть равна:

K_согл(jω) = G · S^*(jω) · e^-jωt₀

где:

G — произвольный действительный коэффициент усиления, не влияющий на ОСШ.
S^*(jω) — комплексно сопряжённый спектр обнаруживаемого сигнала.
t₀ — время, в которое достигается максимум выходного сигнала фильтра. Этот сдвиг необходим для физической реализуемости фильтра.

Если мы рассмотрим импульсную характеристику h_согл(t) согласованного фильтра, которая является обратным преобразованием Фурье от K_согл(jω), то окажется, что она представляет собой отражённую относительно нуля (зеркальную) копию входного сигнала, сдвинутую на длительность сигнала t₀:

h_согл(t) = G · s(t₀ - t)

Это ключевое свойство согласованного фильтра: его реакция на единичный импульс «настроена» на форму полезного сигнала.

Форма выходного сигнала и корреляционная обработка

Особенностью согласованного фильтра является форма сигнала на его выходе. Максимум выходного сигнала согласованного фильтра достигается в момент окончания входного сигнала (или в момент t₀). Затем, за время, равное продолжительности входного сигнала, выходной сигнал уменьшается до нуля.

Пример: Если входной сигнал представляет собой прямоугольный импульс длительностью T и амплитудой A, то сигнал на выходе согласованного фильтра будет иметь форму симметричного треугольного импульса. Его максимум приходится на момент t = t₀, а длительность по основанию равна 2T.

Эта особенность тесно связана с корреляционной обработкой (или корреляционным приёмом). В классической литературе по статистической радиотехнике доказывается, что коррелятор и согласованный фильтр являются эквивалентными в смысле отношения сигнал/шум в момент принятия решения. Коррелятор вычисляет взаимную корреляцию между принятой смесью сигнала и шума и эталонной копией полезного сигнала. Выходной сигнал коррелятора также достигает максимума, когда принятый сигнал «совпадает» с эталонным, что аналогично принципу работы согласованного фильтра. Таким образом, эти два подхода являются различными реализациями одного и того же оптимального принципа обработки.

Применение оптимальной фильтрации

Оптимальная фильтрация находит широкое применение в различных радиотехнических системах, особенно там, где полезный сигнал имеет малую амплитуду и сильно зашумлён.

Радиолокация: В радиолокационных системах амплитуда отражённого сигнала часто соизмерима с эффективным напряжением шума на входе приёмника. Согласованный фильтр позволяет максимально увеличить ОСШ, что критически важно для надёжного обнаружения целей и точной оценки их параметров (дальности, скорости).
Радиоастрономия: Приём слабых сигналов от удалённых космических объектов требует чрезвычайно высокой чувствительности и помехоустойчивости, которые обеспечиваются с помощью методов оптимальной фильтрации.
Связь: В системах связи оптимальная фильтрация используется для выделения информационных символов на фоне шумов и помех, что повышает вероятность правильного приёма данных.
Задачи обнаружения, оценки параметров и различения сигналов: В этих задачах согласованный фильтр является центральным элементом, обеспечивающим наилучшие характеристики при заданных ограничениях по помехам.

В целом, оптимальная согласованная фильтрация является мощным инструментом для борьбы с шумами и помехами, позволяя «выжать» максимум информации из принятого сигнала даже в самых неблагоприятных условиях.

Дискретная и цифровая обработка сигналов и цифровые фильтры

Переход от аналогового мира к цифровому совершил революцию в радиотехнике, обеспечив беспрецедентные возможности для обработки сигналов. В этом разделе мы погрузимся в мир дискретной и цифровой обработки сигналов (ЦОС), рассмотрим её фундаментальные принципы и детально изучим цифровые фильтры – ключевые компоненты современных систем связи и управления.

Основы дискретизации, квантования и оцифровки

Чтобы аналоговый сигнал мог быть обработан цифровыми устройствами, он должен пройти через несколько этапов преобразования:

Дискретизация: Это процесс преобразования непрерывного (аналогового) сигнала во временной области в дискретный сигнал. Он заключается в измерении (взятии отсчётов) значений аналогового сигнала через равные промежутки времени T_s (период дискретизации). Согласно теореме Котельникова (Найквиста-Шеннона), для полного восстановления аналогового сигнала без потерь необходимо, чтобы частота дискретизации f_s = 1/T_s была по крайней мере в два раза выше максимальной частоты f_max в спектре исходного аналогового сигнала (f_s ≥ 2f_max).
Квантование: После дискретизации мы получаем последовательность отсчётов, значения которых всё ещё могут быть непрерывными. Квантование — это процесс преобразования этих непрерывных значений отсчётов в дискретные (квантованные) уровни. Диапазон значений сигнала разбивается на конечное число уровней, и каждый отсчёт округляется до ближайшего разрешённого уровня. Этот процесс неизбежно вносит ошибку квантования, которая проявляется как шум квантования.
Оцифровка: Завершающий этап, на котором квантованные отсчёты кодируются в двоичные числа. То есть, каждому квантованному уровню присваивается уникальный двоичный код. Таким образом, оцифровка — это преобразование аналогового сигнала в цифровой, где параметры сигнала описываются функцией дискретного времени и конечным множеством возможных значений.

Отсчёт сигнала — это значение сигнала, взятое в отдельный момент дискретного времени после дискретизации.

Преимущества цифровой обработки сигналов

Переход к цифровой обработке сигналов обусловлен рядом существенных преимуществ:

Миниатюрные размеры и пониженное энергопотребление: Цифровые микросхемы и процессоры обработки сигналов (ЦПОС) позволяют создавать компактные и энергоэффективные устройства.
Высокая надёжность и стабильность характеристик: Цифровые устройства менее подвержены влиянию внешних факторов (температура, влажность, старение компонентов) по сравнению с аналоговыми. Их характеристики не «плывут» со временем и не зависят от производственных допусков в такой степени, как в аналоговых схемах.
Гибкость и перепрограммируемость: Функциональность цифровых систем может быть легко изменена путём обновления программного обеспечения, что позволяет адаптировать одно и то же аппаратное решение под различные задачи без изменения физической схемы.
Удобство автоматизированного проектирования, наладки и диагностики: Цифровые системы легче моделировать, тестировать и отлаживать с использованием специализированного ПО.
Возможность реализации сложных алгоритмов: Цифровые устройства способны выполнять сложнейшие математические операции, которые практически нереализуемы аналоговыми средствами (например, быстрое преобразование Фурье, сложные адаптивные алгоритмы).

Цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры)

Цифровые фильтры – это алгоритмы или устройства, которые обрабатывают дискретные последовательности отсчётов сигнала для изменения его спектральных или временных характеристик. Они делятся на два основных типа: КИХ-фильтры и БИХ-фильтры.

КИХ-фильтры (Finite Impulse Response — FIR) получили своё название из-за того, что их импульсная характеристика (реакция на дискретный единичный импульс Кронекера) имеет конечную длительность. Это означает, что выходной отсчёт фильтра зависит только от текущего и нескольких предыдущих входных отсчётов, но не от предыдущих выходных отсчётов.

Основные свойства КИХ-фильтров:

Всегда устойчивы: Поскольку они не используют обратную связь, КИХ-фильтры гарантированно устойчивы, что является огромным преимуществом.
Линейная фазочастотная характеристика (ФЧХ): При симметричной импульсной характеристике КИХ-фильтры могут обеспечить совершенно линейную фазочастотную характеристику, что означает постоянное групповое время запаздывания. Это критически важно для сохранения формы сигнала и предотвращения фазовых искажений (например, в системах передачи данных).

Синтез КИХ-фильтра сводится к определению числа отсчётов импульсной характеристики L (порядка фильтра) и расчёту коэффициентов c_l, которые являются отсчётами импульсной характеристики h(n). Выходной сигнал y[n] КИХ-фильтра рассчитывается как свёртка входного сигнала x[n] с импульсной характеристикой h[n]:

y[n] = Σ_k=0^L-1 h[k]x[n-k]

Методы синтеза КИХ-фильтров включают:

Метод взвешивания (метод «окна»): На основе желаемой идеальной АЧХ сначала находится идеальная импульсная характеристика (бесконечной длины), а затем она усекается до конечной длины L путём умножения на оконную функцию (например, окно Хэмминга, Блэкмана). Оконная функция уменьшает эффект Гиббса, снижая осцилляции в переходных областях спектра.
Метод частотной выборки: Целевая АЧХ задаётся в виде дискретных отсчётов на равномерно распределённых частотах. Затем эти отсчёты используются для определения коэффициентов импульсной характеристики через обратное дискретное преобразование Фурье.

Цифровые фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры)

БИХ-фильтры (Infinite Impulse Response — IIR) имеют бесконечную импульсную характеристику, поскольку их выходной отсчёт зависит как от текущих и предыдущих входных отсчётов, так и от предыдущих выходных отсчётов (используется обратная связь).

Выходной сигнал y[n] БИХ-фильтра описывается рекуррентным соотношением:

y[n] = Σ_k=0^M b_kx[n-k] - Σ_k=1^N a_ky[n-k]

где b_k и a_k — коэффициенты фильтра.

Особенности БИХ-фильтров:

Высокая эффективность: БИХ-фильтры могут обеспечить требуемую крутизну спада АЧХ с меньшим порядком (и, следовательно, меньшим числом коэффициентов и вычислительных операций) по сравнению с КИХ-фильтрами.
Нелинейная ФЧХ: В общем случае БИХ-фильтры имеют нелинейную ФЧХ, что может приводить к фазовым искажениям.
Возможность неустойчивости: Из-за наличия обратной связи БИХ-фильтры могут быть неустойчивыми, если их полюсы находятся вне единичного круга на z-плоскости.

Методы расчёта коэффициентов БИХ-фильтров:

Прямые методы расчёта в z-плоскости: Эти методы непосредственно синтезируют фильтр в дискретной области, используя свойства z-преобразования.
Оптимизационные методы: Применяют итеративные алгоритмы для минимизации ошибки между желаемой и реальной АЧХ/ФЧХ фильтра.
Методы преобразования аналоговых фильтров в цифровые: Наиболее распространённая группа методов, использующая известные аналоговые прототипы (Баттерворта, Чебышева и т.д.) и преобразующая их в цифровую форму:
- Билинейное преобразование: Заменяет оператор Лапласа s на 2/T_s · (1-z^-1)/(1+z^-1). Позволяет отобразить всю ось jω аналоговой области на единичный круг z-плоскости, сохраняя форму АЧХ, но вызывая нелинейное сжатие частотной шкалы (частотное «навёртывание»).
- Инвариантность импульсной характеристики: Цифровая ИХ фильтра является дискретными отсчётами аналоговой ИХ.
- Согласованное z-преобразование: Преобразует полюсы и нули аналоговой передаточной функции в z-плоскость.

Адаптивные БИХ-фильтры: Хотя БИХ-фильтры обычно имеют фиксированные коэффициенты, существуют адаптивные БИХ-фильтры. Их коэффициенты динамически перестраиваются в процессе работы в соответствии с алгоритмами адаптации (например, LMS-алгоритм) для подстройки под изменяющиеся условия сигнала или шума. Это делает их применимыми в задачах, где характеристики сигнала или помехи неизвестны или меняются со временем, например, в системах связи для выделения узкополосных сигналов на фоне широкополосного шума или в системах эхоподавления.

Аппаратная реализация цифровых фильтров

Эффективная реализация цифровых фильтров требует специализированных аппаратных средств. Наиболее употребимы:

Программируемые логические интегральные схемы (ПЛИС) (FPGA): Обеспечивают высокую производительность и гибкость. ПЛИС позволяют реализовать параллельные вычисления, что критически важно для высокоскоростной обработки сигналов. Преимущества ПЛИС включают высокую тактовую частоту, большое число аппаратных интерфейсов и гибкость при разводке платы. Они идеальны для прототипирования и систем, где требуется высокая пропускная способность.
Цифровые процессоры обработки сигналов (ЦПОС/DSP): Специализированные микропроцессоры, оптимизированные для выполнения операций умножения-накопления, которые являются основой алгоритмов ЦОС (например, свертка, БПФ). DSP-процессоры обеспечивают баланс между производительностью и гибкостью, являясь программно-управляемыми.

Особое значение имеют целочисленные проектные решения ЦНП-фильтров (цифровых нерекурсивных полиномиальных фильтров). Использование целочисленной арифметики (вместо арифметики с плавающей точкой) значительно упрощает аппаратную реализацию и снижает требования к вычислительным ресурсам. Это позволяет реализовать такие фильтры не только на специализированных сигнальных процессорах или ПЛИС, но и на более простых и дешёвых микропроцессорных контроллерах, что расширяет их применение в массовых бюджетных устройствах и встраиваемых системах. Не удивительно, что именно эти решения лежат в основе многих современных потребительских устройств.

Моделирование радиотехнических цепей и сигналов в программных комплексах

В современной радиотехнике невозможно представить процесс проектирования и анализа без использования специализированных программных комплексов. Они позволяют проводить виртуальные эксперименты, проверять теоретические расчёты, оптимизировать параметры и визуализировать результаты, значительно сокращая время и затраты на разработку. Этот раздел посвящён демонстрации практического применения таких мощных инструментов, как MathCad, MATLAB и Multisim.

Обзор возможностей программных комплексов

Каждый из указанных программных комплексов обладает уникальным набором функций, дополняющих друг друга в задачах радиотехники:

MathCad: Инженерный математический пакет, ориентированный на решение математических задач в привычной для инженера форме. Он позволяет записывать формулы и уравнения «как на бумаге», выполнять символьные и численные вычисления, строить графики и интегрировать текст. Идеален для пошаговых расчётов, вывода формул, построения графиков АЧХ/ФЧХ, а также для преобразований Фурье тестовых сигналов и получения их спектров.
MATLAB (Matrix Laboratory): Высокопроизводительный язык для технических вычислений. MATLAB предоставляет интегрированную среду для анализа данных, разработки алгоритмов и создания моделей. Его сильные стороны — работа с матрицами, обширные библиотеки функций (Toolboxes) для обработки сигналов (Signal Processing Toolbox), управления, связи.
- Simulink: Графическая среда для моделирования динамических систем, интегрированная с MATLAB. Позволяет создавать блочные диаграммы систем, включая аналоговые и цифровые цепи, и моделировать их поведение во временной области. Идеален для моделирования сложных систем, в том числе систем связи с шумом.
- FDATool (Filter Design and Analysis Toolbox): Графический интерфейс в MATLAB, предназначенный специально для проектирования и анализа цифровых фильтров. Позволяет легко синтезировать КИХ- и БИХ-фильтры различных типов и порядков, визуализировать их АЧХ, ФЧХ, импульсные характеристики и нули/полюсы.
Multisim (ранее Electronics Workbench): Интерактивная среда для схемотехнического моделирования электронных цепей. Позволяет создавать схемы из обширной библиотеки компонентов, проводить аналоговое, цифровое и смешанное моделирование. Незаменим для изучения амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик простейших RC- и RL-цепей переменного тока, визуализации временных диаграмм сигналов и проверки работы фильтров.

Примеры моделирования детерминированных и случайных сигналов

Использование MathCad и MATLAB позволяет легко генерировать и анализировать различные типы сигналов:

Детерминированные сигналы:
- В MathCad можно определить гармонический сигнал u(t) = A·sin(ωt + φ) и построить его график, а затем использовать встроенные функции быстрого преобразования Фурье (БПФ) для получения его спектра.
- В MATLAB создание сигнала ещё проще: t = 0:0.001:1; u = 5*sin(2*pi*100*t); plot(t,u);. Для получения спектра используется функция fft(u).
Случайные сигналы:
- MathCad может генерировать последовательности случайных чисел с заданным распределением (например, равномерным или нормальным) и использовать их для моделирования шума.
- В MATLAB для генерации белого гауссова шума используется функция randn: noise = 0.1*randn(size(t));. Затем можно добавить его к полезному сигналу: signal_plus_noise = u + noise;. Анализ спектра такой смеси покажет распределение мощности шума по частотам.

Моделирование прохождения сигналов через линейные цепи и фильтры

Моделирование в Multisim:

Multisim идеален для наглядного изучения аналоговых цепей.

RC-фильтр нижних частот: Собрать схему RC-фильтра, подать на вход синусоидальный сигнал с переменной частотой. С помощью осциллографа измерять амплитуду и фазу выходного сигнала на разных частотах. Инструмент «AC Analysis» (анализ по переменному току) позволяет автоматически построить АЧХ и ФЧХ цепи.
Изучение переходных характеристик: Подать на вход фильтра прямоугольный импульс. С помощью осциллографа наблюдать форму выходного сигнала, демонстрирующую переходной процесс.

Моделирование в MATLAB:

MATLAB позволяет более глубоко анализировать влияние фильтров на спектр сигнала.

Создание фильтра: Использовать FDATool для проектирования цифрового ФНЧ (например, 4-го порядка Баттерворта). FDATool автоматически генерирует коэффициенты фильтра и позволяет просмотреть его АЧХ, ФЧХ и импульсную характеристику.
Фильтрация сигнала: Загрузить (или сгенерировать) тестовый сигнал (например, сумма двух синусоид разной частоты). Применить созданный фильтр к сигналу с помощью функции filter(b, a, x), где b и a – коэффициенты БИХ-фильтра или только b для КИХ-фильтра.
Спектральный анализ: Построить спектры исходного и отфильтрованного сигналов с помощью fft. Графики наглядно покажут, как фильтр подавил нежелательные частотные составляющие.

Моделирование помехоустойчивости и оптимальной фильтрации

MATLAB и Simulink предоставляют мощные средства для моделирования систем с шумом и оценки помехоустойчивости.

Моделирование системы связи с шумом: В Simulink можно создать модель канала связи, включающую источник сигнала, модулятор, канал с аддитивным белым гауссовым шумом (AWGN-канал), демодулятор и приёмник.
Оценка отношения сигнал/шум: С помощью встроенных функций MATLAB или блоков Simulink можно измерять ОСШ (SNR) на различных этапах тракта.
Моделирование согласованного фильтра: Реализовать согласованный фильтр (например, как КИХ-фильтр, импульсная характеристика которого является зеркальной копией входного сигнала) и встроить его в модель приёмника. Сравнить ОСШ на выходе системы с согласованным фильтром и без него. Визуализировать форму сигнала на выходе согласованного фильтра.
Например, для прямоугольного импульса s(t), его согласованный фильтр h(t) = s(T-t) (где T — длительность импульса). В MATLAB это можно реализовать через свёртку: y = conv(received_signal, fliplr(s_template)). График y покажет треугольный импульс в момент окончания входного сигнала.

Такой практический опыт работы с программными комплексами не только закрепляет теоретические знания, но и формирует навыки, необходимые для реального инженерного проектирования и исследования радиотехнических систем. Необходимость в этих навыках только возрастает с усложнением систем.

Факторы, влияющие на выбор параметров радиотехнических цепей и сигналов для передачи информации

Эффективность любой радиотехнической системы передачи информации определяется не только качеством её компонентов, но и оптимальным выбором параметров цепей и сигналов с учётом внешних и внутренних факторов. Главным врагом информации в канале связи является шум и помехи, которые неизбежно присутствуют в реальных условиях. Понимание их природы и методов борьбы с ними — краеугольный камень в проектировании надёжных систем.

Влияние шумов и помех на передачу информации

Шум — это нежелательные, случайные флуктуации, которые присутствуют в любой электрической цепи и среде распространения, создавая помехи полезному сигналу и искажая его параметры. Помехи — это, как правило, более организованные или мощные нежелательные сигналы, которые также мешают приёму полезной информации.

Негативные последствия влияния шума и помех катастрофичны для качества связи:

Ошибки передачи: В цифровых системах шум может привести к неправильному приёму битов (ошибка 0 вместо 1 или наоборот), что требует повторной передачи данных и снижает полезную пропускную способность.
Снижение скорости передачи данных: Из-за необходимости повторной передачи повреждённых пакетов данных эффективная скорость передачи снижается.
Увеличение задержки: Повторная передача данных и сложная обработка для выделения сигнала приводят к увеличению задержек, что критично для систем реального времени (например, голосовая связь, видеоконференции, управление дронами).
Прерывание связи: При чрезмерно высоком уровне шума или помех связь может полностью прерваться.
Снижение зоны покрытия: В условиях высокого шума для поддержания приемлемого качества связи требуется более мощный сигнал, что ограничивает радиус действия передатчика.

Источники шумов и помех:

Внешние факторы:
- Атмосферные явления: Грозы, разряды молний генерируют электромагнитные импульсы.
- Космические излучения: Солнечное и галактическое радиоизлучение.
- Электроустановки: Промышленные двигатели, линии электропередач, бытовые приборы.
- Преднамеренные помехи: Радиоэлектронная борьба.
Внутренние факторы:
- Собственные шумы канала: Возникают в самой передающей среде (например, тепловой шум в коаксиальном кабеле).
- Перекрёстные помехи: Взаимное влияние соседних каналов или проводников.
- Флуктуационные шумы: Определяют предельную чувствительность приёмного устройства и связаны с дискретностью носителей заряда и тепловым движением. К ним относятся тепловой шум (шум Джонсона-Найквиста), дробовой шум, фликкер-шум и др.

Отношение сигнал/шум (ОСШ/SNR)

Отношение сигнал/шум (SNR — Signal-to-Noise Ratio) является фундаментальной и ключевой метрикой качества в радиотехнике и телекоммуникациях. Оно показывает, насколько полезный сигнал превосходит уровень шума.

ОСШ — это безразмерная величина, которая обычно выражается в децибелах (дБ).

Формулы расчёта:

В линейном масштабе (отношение мощностей):

SNR = P_{сигнала} / P_шума
где P_{сигнала} — средняя мощность полезного сигнала, P_шума — средняя мощность шума.

В децибелах (для мощностей):

SNR_дБ = 10 · log₁₀ (P_{сигнала} / P_шума)

В децибелах (для напряжений/амплитуд):

SNR_дБ = 20 · log₁₀ (V_{сигнала} / V_шума)
где V_{сигнала} и V_шума — среднеквадратичные значения напряжения сигнала и шума соответственно (при условии одинакового сопротивления).

Чем выше значение ОСШ, тем лучше качество сигнала и тем легче его обнаружить и декодировать. Например, SNR 0 дБ означает, что мощность сигнала равна мощности шума, что делает приём крайне затруднительным.

Критерии выбора параметров для различных задач

Выбор оптимальных параметров радиотехнических систем для передачи информации тесно связан с целью системы:

Обнаружение сигнала: Цель – просто установить наличие сигнала. Здесь важна максимальная вероятность обнаружения при минимальной вероятности ложной тревоги. Это требует оптимизации по ОСШ (например, с помощью согласованных фильтров).
Оценка параметров сигнала: Цель – точно измерить параметры сигнала (амплитуду, частоту, фазу, задержку). Требуется высокая точность измерений, которая напрямую зависит от ОСШ и эффективной полосы пропускания.
Различение сигналов: Цель – отличить один сигнал от другого из множества возможных. Применяются методы корреляционного приёма и многоканальной обработки.
Воспроизведение формы сигнала: Цель – максимально точно восстановить форму исходного сигнала. Требуется широкая полоса пропускания и минимальные искажения (линейная АЧХ и ФЧХ в полосе пропускания).
Предсказание сигнала: Цель – предсказать будущие значения сигнала на основе прошлых. Используются адаптивные фильтры и статистические модели.

Для каждой из этих задач могут требоваться разные компромиссы между мощностью сигнала, полосой пропускания, сложностью цепей и алгоритмов.

Обеспечение помехоустойчивости и современные метрики качества

Общие подходы к повышению помехоустойчивости включают:

Увеличение мощности сигнала: Самый простой, но не всегда возможный или экономичный способ.
Использование оптимальной фильтрации: Применение согласованных фильтров для максимизации ОСШ.
Применение помехоустойчивого кодирования: Добавление избыточной информации к данным, позволяющее исправлять ошибки, вызванные шумом.
Расширение спектра сигнала: Распределение энергии сигнала по широкому частотному диапазону делает его менее уязвимым для узкополосных помех (например, технологии CDMA, DSSS).
Использование адаптивных систем: Автоматическая подстройка параметров приёмника под изменяющиеся условия шума и помех.

В современных системах сотовой связи, таких как 4G/LTE, помимо ОСШ, используются более комплексные метрики качества сигнала, учитывающие не только шум, но и помехи от других источников. Одной из ключевых таких метрик является SINR (Signal to Interference + Noise Ratio) — отношение мощности полезного сигнала к сумме мощностей всех помех (от других абонентов, базовых станций) и собственного шума.

SINR_дБ = 10 · log₁₀ (P_{сигнала} / (P_помех + P_шума))

Интерпретация значений SINR для 4G/LTE:

Значение SINR (дБ)	Качество связи	Описание
≥ 20	Отличное	Идеальные условия приёма, высокая стабильность и скорость передачи данных.
10 – 20	Хорошее	Достаточно хорошее качество, стабильная связь, высокая скорость, могут быть незначительные колебания при пиковых нагрузках или движении.
0 – 10	Удовлетворительное	Связь стабильна, но скорость может быть ниже. Возможны периодические потери пакетов данных. Требует внимания к помехам.
≤ 0	Плохое	Шум и помехи преобладают над полезным сигналом. Низкая скорость, частые обрывы связи или полное её отсутствие. Системе крайне трудно выделить полезную информацию.

Положительные значения SINR в децибелах критически важны для обеспечения удовлетворительной связи, поскольку они означают, что полезный сигнал сильнее, чем совокупность шума и помех.

Влияние быстродействия на полосу пропускания

Существует прямая взаимосвязь между требуемым быстродействием системы (то есть скоростью передачи информации) и необходимой полосой пропускания сигнала. Чем жёстче требования к быстродействию, тем шире должна быть полоса пропускания сигнала.

Согласно теореме Шеннона-Хартли, максимальная теоретическая скорость передачи информации C (пропускная способность канала) связана с полосой пропускания B и ОСШ:

C = B · log₂ (1 + SNR)

Из этой формулы видно, что для увеличения пропускной способности C при заданном ОСШ необходимо увеличивать полосу пропускания B. И наоборот, если полоса пропускания ограничена, для увеличения C нужно увеличивать ОСШ.

Эта взаимосвязь является фундаментальной при проектировании любых систем связи. Например, для передачи видео высокого разрешения требуется гораздо более широкая полоса пропускания, чем для голосовой связи или обмена текстовыми сообщениями, поскольку видео содержит значительно больше информации, которую необходимо передать за единицу времени.

Таким образом, выбор параметров радиотехнических цепей и сигналов — это всегда комплексная задача, требующая учёта множества факторов, компромиссов и глубокого понимания физических принципов и математических моделей.

Заключение

Настоящая курсовая работа представляет собой комплексное исследование фундаментальных аспектов радиотехнических цепей и сигналов, демонстрируя их неразрывную связь с задачами современной передачи информации. Мы начали с осмысления базовых математических моделей детерминированных и случайных сигналов, раскрыв их энергетические и спектральные характеристики, что заложило основу для дальнейшего анализа. Переход к линейным радиотехническим цепям позволил детально изучить их временные и частотные характеристики, подчеркнув значение принципов суперпозиции и взаимности, а также разнообразие методов анализа переходных процессов.

Особое внимание было уделено спектральному анализу и прохождению сигналов через фильтры. Глубокий сравнительный анализ пассивных и активных фильтров, с учётом их преимуществ, недостатков и областей применения, показал, как инженер выбирает оптимальное решение в зависимости от требований к избирательности, усилению и габаритам. Раздел, посвящённый оптимальной согласованной фильтрации, выявил ключевую роль этого метода в повышении помехоустойчивости, подчеркнув вклад таких выдающихся учёных, как А.Н. Колмогоров и Н. Винер, и показав эквивалентность согласованной фильтрации корреляционной обработке.

Революция цифровой обработки сигналов была рассмотрена через призму дискретизации, квантования и оцифровки, а также детального анализа цифровых фильтров – КИХ и БИХ. Мы не только изучили их свойства и методы синтеза, но и затронули критически важные аспекты аппаратной реализации на ПЛИС, ЦПОС и микроконтроллерах, что является мостом между теорией и практикой.

Практическая значимость работы была усилена демонстрацией возможностей программных комплексов MathCad, MATLAB и Multisim. Моделирование различных сигналов, цепей и фильтров позволило наглядно подтвердить теоретические выкладки и развить навыки, необходимые для современного инженера-радиотехника.

В заключительном анализе факторов, влияющих на выбор параметров радиотехнических цепей и сигналов, мы глубоко погрузились в проблему шумов и помех, детально рассмотрели фундаментальное отношение сигнал/шум (ОСШ) и его современный аналог SINR, используемый в 4G/LTE. Была показана прямая зависимость между быстродействием системы и необходимой полосой пропускания.

Основные выводы:

Комплексное понимание математических моделей сигналов и характеристик цепей является фундаментом для проектирования эффективных радиотехнических систем.
Выбор типа фильтра (активный/пассивный, КИХ/БИХ) определяется строгими техническими требованиями, такими как крутизна спада, линейность фазы, габариты и потребление энергии.
Оптимальная согласованная фильтрация — незаменимый инструмент для повышения помехоустойчивости систем в условиях сильных шумов.
Цифровая обработка сигналов предоставляет беспрецедентные возможности для гибкой, надёжной и эффективной реализации сложных алгоритмов.
Программное моделирование является неотъемлемой частью современного инженерного процесса, позволяя верифицировать расчёты и оптимизировать решения.
Борьба с шумами и помехами требует комплексного подхода, а современные метрики качества, такие как SINR, позволяют более точно оценивать производительность систем связи в реальных условиях.

Практическая значимость работы заключается в формировании у студента целостного представления о взаимосвязи теоретических знаний с практическими аспектами проектирования радиотехнических систем. Освоенные методы анализа и моделирования являются ключевыми компетенциями для будущих специалистов в области радиотехники, телекоммуникаций и электроники.

Потенциальные направления для дальнейших исследований включают углублённое изучение адаптивных фильтров и их применения в условиях изменяющихся помех, анализ систем передачи данных с использованием сложных видов модуляции и кодирования, исследование методов обработки сигналов в MIMO-системах, а также разработку и оптимизацию аппаратных решений на базе самых современных ПЛИС и DSP-процессоров для высокоскоростных систем связи 5G и 6G.

Эта курсовая работа подчёркивает, что успех в проектировании радиотехнических систем достигается только при комплексном подходе, объединяющем глубокие теоретические знания, умение применять математический аппарат и владение современными инструментами компьютерного моделирования.

Список использованной литературы

Сигорский, В. П. Алгоритмы анализа электронных схем / В. П. Сигорский, А. И. Петренко. – Киев : Вища школа, 1971.
Баскаков, С. И. Лекции по теории цепей : [учеб. пособие] / С. И. Баскаков. — 6-е изд. — М. : URSS : ЛИБРОКОМ, 2013. — 277 с.
Баскаков, С. И. Радиотехнические цепи и сигналы / С. И. Баскаков. – М. : Высшая школа, 2000.
Белецкий, А. Ф. Теория линейных электрических цепей / А. Ф. Белецкий. – М. : Р и С., 1986.
Завгородний, А. С. Основы теории цепей. Модули 1-3 : учебно-методическое пособие / А. С. Завгородний ; МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2019. — 51 с.
Коберниченко, В. Г. Основы цифровой обработки сигналов : учебное пособие / В. Г. Коберниченко ; М-во науки и высш. образования Рос. Феде-рации, Урал. федер. ун-т. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2018. — 150 с.
Котиков, В. И. Математические модели сигналов: Пособие к выполнению лабораторных работ / В. И. Котиков. – М. : МГТУ ГА, 2007. – 44 с.
Кумков, С. И. Основы теории сигналов : учебное пособие / С. И. Кумков, А. В. Цветков ; научный редактор Н. Н. Пономарев ; Министерство науки и высшего образования Российской Федерации, Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина. — Екатеринбург : Издательство Уральского университета, 2023. — 114 с.
Кудряков, С. А. Радиотехнические цепи и сигналы / С. А. Кудряков. — С. Пб. : Изд-во «Свое Издательство», 2015. — 340 с.
Мищенко, В. Н. Сети радиодоступа систем сотовой радиосвязи с кодовым разделением каналов : учеб.-метод. пособие / В. Н. Мищенко. – Минск : БГУИР, 2016. – 64 с.
Нефедов, В. И. Радиотехнические цепи и сигналы : учебник для вузов / В. И. Нефедов, А. С. Сигов ; под редакцией В. И. Нефедова. — Москва : Издательство Юрайт, 2023. — 266 с.
Романов, Б. Н. Радиотехнические цепи и сигналы. Дополнительные разделы: лабораторный практикум в среде Multisim / Б. Н. Романов. – Ульяновск : УлГТУ, 2016. – 35 с.
Стеценко, О. А. Радиотехнические цепи и сигналы : учебник для вузов / О. А. Стеценко. – M. : Высш. шк., 2007.
Христофоров, А. В. Согласованная фильтрация сигналов устройствами на ПАВ : учебно-методическое пособие / А. В. Христофоров. – Казань, 2004. – 20 с.
Яглом, А. М. Корреляционная теория стационарных случайных функций / А. М. Яглом. – URL: https://www.mathnet.ru/php/getPDF.phtml?option_lang=rus&id=funk_2&sid=566 (дата обращения: 25.10.2025).
Арасланов и К. Расчет амплитудно-частотной характеристики фильтра низких частот. – URL: https://araslanov.ru/raschet-amplitydno-chastotnoj-harakteristiki-filtra-nizkih-chastot/ (дата обращения: 25.10.2025).
Арасланов и К. Пассивные фильтры. – URL: https://araslanov.ru/passivnye-filtry/ (дата обращения: 25.10.2025).
БИХ-фильтры. Методы синтеза. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ». – URL: https://studfile.net/preview/4303350/page:3/ (дата обращения: 25.10.2025).
В чем разница между активными и пассивными фильтрами? Блог. – URL: https://blog.tme.eu/ru/v-chem-raznica-mezhdu-aktivnymi-i-passivnymi-filtrami/ (дата обращения: 25.10.2025).
Детерминированные сигналы. Научно-техническое издательство «Горячая линия — Телеком». – URL: https://www.techbooks.ru/catalog/books/det_signals (дата обращения: 25.10.2025).
Измерения случайных величин, процессов и полей. СтудИзба. – URL: https://studizba.com/files/show/10427-1-izmerenija-sluchainyh-velichin-processov-i-polei.html (дата обращения: 25.10.2025).
Измерение характеристик ВЧ и НЧ фильтров с помощью линейки приборов Value Instruments компании Rohde & Schwarz. – URL: https://cdn.rohde-schwarz.com/pws/dl_downloads/dl_application/0000-RS_Fundamentals_Filters_ru_2.pdf (дата обращения: 25.10.2025).
Исаков, В. Н. Статистическая теория радиотехнических систем : курс лекций / В. Н. Исаков. – URL: http://strts-online.narod.ru/lection/page1.htm (дата обращения: 25.10.2025).
Исследование реализации цифровых фильтров с симметричными амплитудными функциями. Компоненты и технологии. – URL: https://www.kit-e.ru/assets/files/pdf/2015/05/068-074.pdf (дата обращения: 25.10.2025).
КИХ-фильтры. Методы синтеза. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ». – URL: https://studfile.net/preview/4303350/page:2/ (дата обращения: 25.10.2025).
Как шум влияет на процесс передачи информации? Вопросы к Поиску с Алисой (Яндекс Нейро). – URL: https://neiro.yandex.ru/questions/11266014 (дата обращения: 25.10.2025).
Корреляционная обработка радиосигналов. Учебно-методическое пособие. Воронежский государственный университет. – URL: http://www.phys.vsu.ru/education/radiofizika/pdf/radiofizika_correlation.pdf (дата обращения: 25.10.2025).
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8. БИХ-фильтры. – URL: https://studfile.net/preview/10362391/page:2/ (дата обращения: 25.10.2025).
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. «СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ». Кафедра теоретической радиотехники. – URL: http://tr.phys.vsu.ru/education/RadioTech_Lectures/MatchedFilter.pdf (дата обращения: 25.10.2025).
Математические модели сигналов — презентация онлайн. Кафедра Электроники и ИБ. Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 2. – URL: https://ppt-online.org/412204 (дата обращения: 25.10.2025).
Методика и примеры расчета переходных процессов классическим методом. Дистрибутор Сайбер Электро. – URL: https://cyberpower.ru/metodika-i-primery-rascheta-perehodnyh-processov-klassicheskim-metodom (дата обращения: 25.10.2025).
Методы и алгоритмы синтеза оптимальных БИХ-фильтров / А. В. Ивашко, И. Д. Кулымова. – Харьков : Национальный технический университет «Харьковский политехнический институт». – URL: http://www.kpi.kharkov.ua/archive/Научная%20и%20общественная%20работа/Конференции/2013/РТС/RTS_2013_2.pdf (дата обращения: 25.10.2025).
Методы и алгоритмы цифровой обработки сигналов. – URL: http://irbis.pstu.ru/cgi-bin/irbis64r_13/cgiirbis_64.exe?LNG=&Z21ID=&I21DBN=ELIB_FULLTEXT&P21DBN=ELIB&S21FMT=fulltext_viewer&C21COM=S&S21CNR=20&S21P01=0&S21P02=1&S21P03=Z=&S21STR=4084 (дата обращения: 25.10.2025).
Методы проектирования цифровых фильтров. DSP-Book. – URL: http://www.dsp-book.narod.ru/Book/PDF/DSP-Book-ch9.pdf (дата обращения: 25.10.2025).
ОБЗОР СИСТЕМ ПРОВЕДЕНИЯ РАДИОИЗМЕРЕНИЙ И ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПОКРЫТИЯ СЕТЕЙ МОБИЛЬНОЙ СВЯЗИ. КиберЛенинка. – URL: https://cyberleninka.ru/article/n/obzor-sistem-provedeniya-radioizmereniy-i-otsenki-kachestva-pokrytiya-setey-mobilnoy-svyazi (дата обращения: 25.10.2025).
Оптимальная фильтрация. Лекции. – URL: https://e.lanbook.com/reader/book/126909/#15 (дата обращения: 25.10.2025).
Представление периодических сигналов рядом Фурье. dsplib.org. – URL: https://www.dsplib.org/content/fourier/ch1/fourier_ru.html (дата обращения: 25.10.2025).
ПРОЕКТИРОВАНИЕ КИХ-ФИЛЬТРОВ. – URL: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_28935478_97708051.pdf (дата обращения: 25.10.2025).
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА НИЖНИХ ЧАСТОТ НА ПЛИС. – URL: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_32448259_19279095.pdf (дата обращения: 25.10.2025).
П2.7 Функция спектральной плотности. chaos.sgu.ru. – URL: http://chaos.sgu.ru/book/p2_7.html (дата обращения: 25.10.2025).
Радиотехнические цепи и сигналы. Siblec.Ru. – URL: https://siblec.ru/radiotekhnika/radiotekhnicheskie-cepi-i-signaly (дата обращения: 25.10.2025).
Разница между активными и пассивными фильтрами. PCBasic. – URL: https://pcb.pcbasic.com/ru/difference-between-active-and-passive-filters.html (дата обращения: 25.10.2025).
Ряды Фурье, преобразования Фурье и их приложения в радиоэлектронике. ELSE. – URL: https://else-ltd.ru/images/fourier_transform_article.pdf (дата обращения: 25.10.2025).
СЕМЕНОВ, Ю. А. Влияние шумов и помех / Ю. А. Семенов. – ИТЭФ-МФТИ. – URL: http://www.semenov.itep.ru/lect_1_1_2.pdf (дата обращения: 25.10.2025).
СИСТЕМЫ МОБИЛЬНОЙ СВЯЗИ. Электронная библиотека БГТУ. – URL: https://elib.bstu.by/bitstream/123456789/22879/1/%D0%9B%D0%B0%D0%B1.%20%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%BA.%20%D0%A1%D0%9C%D0%A1.pdf (дата обращения: 25.10.2025).
Синтез Цифрового БИХ Фильтра Низких Частот. Habr. – URL: https://habr.com/ru/articles/861785/ (дата обращения: 25.10.2025).
Случайные сигналы и их аналитическое описание. СтудИзба. – URL: https://studizba.com/files/show/10427-1-izmerenija-sluchainyh-velichin-processov-i-polei.html (дата обращения: 25.10.2025).
Спектральная плотность мощности. Национальный исследовательский университет «МИЭТ». – URL: https://miet.ru/upload/file/2013/04/17/2.1.3.%20%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B0.doc (дата обращения: 25.10.2025).
Спектральная плотность мощности. STUDME.ORG. – URL: https://studme.org/168936/ekonomika/spektralnaya_plotnost_moschnosti (дата обращения: 25.10.2025).
Спектральная плотность мощности случайного процесса. Ростовский Государственный Экономический Университет «РИНХ». – URL: https://rsue.ru/wp-content/uploads/2019/09/%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BE%D1%82%D0%B5%D1%85%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5-%D1%86%D0%B5%D0%BF%D0%B8-%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C2.DOC (дата обращения: 25.10.2025).
Сравнение пассивных фильтров с другими видами фильтров. Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого. – URL: https://studfile.net/preview/9985223/ (дата обращения: 25.10.2025).
Частотные характеристики линейных цепей. Харьковский Национальный Университет им. В. Н. Каразина. – URL: https://www.univer.omsk.su/omsk/Sci/RTL/lek/lec2.htm (дата обращения: 25.10.2025).
Что влияет на качество сотовой связи и как она устроена. СВЯЗЬ ИНТЕГРАЦИЯ. – URL: https://svyaz-integraciya.ru/articles/chto-vliyaet-na-kachestvo-sotovoj-svyazi-i-kak-ona-ustroena/ (дата обращения: 25.10.2025).
§ 9.4. Спектральные плотности случайных процессов. Научная библиотека. – URL: http://www.lib.maup.com.ua/books/book_21/glava9/9_4.htm (дата обращения: 25.10.2025).
11.4.Помехи и шумы в каналах передачи информации. – URL: https://elib.sfu-kras.ru/bitstream/handle/2311/73614/01_Trofimenko.pdf?sequence=1&isAllowed=y (дата обращения: 25.10.2025).
2. Спектральное описание случайных процессов. Физический факультет СПбГУ. – URL: https://phys.spbu.ru/images/edu/lectures/radiofizika/signal/part2_2020.pdf (дата обращения: 25.10.2025).