Расчет электромагнита переменного тока: Детальный план курсовой работы для студентов технических ВУЗов

В современном мире, где электричество пронизывает каждую сферу нашей жизни, электромагниты переменного тока занимают одно из центральных мест. От промышленных реле и контакторов до сложных систем автоматизации и электрических машин — эти устройства являются незаменимыми компонентами, обеспечивающими функционирование бесчисленного множества механизмов. Понимание их принципов работы и, что особенно важно, умение проводить их точный расчет, является краеугольным камнем в подготовке любого инженера-электрика.

Данная курсовая работа призвана стать путеводителем в мир расчета электромагнитов переменного тока, предлагая студентам технических специальностей исчерпывающий и систематизированный план. Цель работы — не просто предоставить набор формул, но и глубоко погрузить в теоретические основы, показать взаимосвязь физических законов с инженерными расчетами, а также ознакомить с современными методами и инструментами моделирования. Мы последовательно рассмотрим фундаментальные законы электромагнетизма, методики расчета магнитных и электрических характеристик, влияние материалов и геометрии на параметры устройства, специфику работы с переменным током, а также возможности компьютерного моделирования. Такой комплексный подход позволит не только успешно выполнить курсовой проект, но и заложит прочную базу для дальнейшего изучения электромеханических систем.

1. Теоретические основы и физические принципы работы электромагнита переменного тока

Электромагниты переменного тока – это удивительный симбиоз электричества и магнетизма, где каждое движение, каждая сила подчиняются строгим физическим законам. Для инженера, стремящегося к точности и надежности, понимание этих фундаментальных принципов не просто желательно, но абсолютно необходимо. Именно здесь закладывается фундамент для всех последующих расчетов и проектных решений.

1.1. Основные определения и понятия

Прежде чем углубиться в сложности расчетов, необходимо четко определить терминологический аппарат. Электромагнит — это устройство, способное создавать контролируемое магнитное поле за счет прохождения электрического тока через обмотку. Для усиления этого поля и более эффективного направления магнитного потока большинство электромагнитов оснащены магнитопроводом, как правило, выполненным из магнитомягких материалов.

Ключевым понятием здесь выступает магнитный поток (Φ). Это скалярная физическая величина, количественно характеризующая магнитное поле, пронизывающее определенную поверхность. Его можно представить как «количество» магнитных силовых линий, проходящих через заданную площадь. Математически магнитный поток определяется как произведение модуля магнитной индукции (B), площади поверхности (S) и косинуса угла (α) между вектором нормали к поверхности и вектором магнитной индукции:

Φ = B ⋅ S ⋅ cos α

Единица измерения магнитного потока в системе СИ — вебер (Вб). Один вебер соответствует такому магнитному потоку, который, пронизывая контур, создает в нем электродвижущую силу (ЭДС) индукции в 1 вольт при равномерном изменении его до нуля за 1 секунду.

Индуктивность (L) – это электрическая величина, характеризующая способность контура создавать ЭДС самоиндукции при изменении тока в нем. Она зависит от геометрических размеров катушки, магнитной проницаемости материала магнитопровода и квадрата числа витков.

Магнитная проводимость (G_м) – это величина, обратная магнитному сопротивлению. Она характеризует легкость прохождения магнитного потока через тот или иной участок магнитной цепи.

Тяговая характеристика электромагнита описывает зависимость электромагнитных тяговых усилий от величины воздушного зазора между якорем и сердечником. Это ключевой параметр, определяющий рабочие возможности электромагнита, понимание которого критически важно для предотвращения залипания или, наоборот, недостаточного притяжения.

Пульсация силы – это периодическое изменение величины электромагнитной силы притяжения, характерное для электромагнитов переменного тока. В отличие от постоянного тока, где сила стабильна, в переменном токе она меняется от нуля до максимума с удвоенной частотой.

Схемы замещения – это упрощенные электрические схемы, используемые для анализа и расчета магнитных цепей, где магнитные величины заменяются их электрическими аналогами.

1.2. Законы электромагнетизма

В основе всех расчетов электромагнитов лежат фундаментальные законы электромагнетизма, которые подобно дирижерам, управляют взаимодействием электрических токов и магнитных полей.

Центральное место занимает закон электромагнитной индукции Фарадея. Он гласит, что изменение магнитного потока, пронизывающего замкнутый контур, порождает в этом контуре электродвижущую силу (ЭДС) индукции. Если контур состоит из N одинаковых витков, то величина этой ЭДС определяется скоростью изменения магнитного потока:

ε = -N (dΦ/dt)

Знак «минус» в формуле объясняется правилом Ленца, которое утверждает: индукционный ток всегда направлен таким образом, чтобы создаваемое им магнитное поле противодействовало изменению магнитного потока, вызвавшему этот ток. Это правило отражает закон сохранения энергии в электромагнитных процессах, обеспечивая их стабильность.

Другим краеугольным камнем является закон полного тока (или закон Ампера для магнитного поля). Этот закон связывает циркуляцию вектора напряженности магнитного поля (H) по замкнутому контуру с алгебраической суммой токов (ΣI), пронизывающих поверхность, ограниченную этим контуром:

∮ H ⋅ dl = ΣI

Физический смысл первого уравнения Максвелла, которое является обобщением закона полного тока, заключается в том, что вихревое магнитное поле порождается не только токами проводимости, но и изменяющимся во времени вектором электрического смещения, так называемыми токами смещения. Это расширение стало ключевым для понимания распространения электромагнитных волн.

Намагничивающая сила (МДС) катушки (F), по которой протекает ток (I) и которая имеет w витков, определяется как:

F = I ⋅ w

МДС является источником магнитного поля в магнитной цепи, подобно тому как ЭДС является источником тока в электрической цепи.

1.3. Законы Кирхгофа для магнитных цепей и закон Ома

Для анализа сложных магнитных цепей, аналогично электрическим, используются законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа для магнитных цепей формулируется следующим образом: алгебраическая сумма магнитных потоков, приходящих к любому узлу магнитной цепи и отходящих от него, равна нулю. Это отражает принцип непрерывности магнитного потока, то есть магнитные силовые линии не имеют начала и конца:

ΣΦi = 0 (в узле)

Второй закон Кирхгофа для магнитных цепей гласит: алгебраическая сумма магнитодвижущих сил (МДС), действующих в любом замкнутом контуре магнитной цепи, равна алгебраической сумме магнитных напряжений (или падений магнитного потенциала) на отдельных участках этого контура:

ΣFi = ΣHjlj (в контуре)

Где H_jl_j – магнитное напряжение на j-м участке длиной l_j.

Аналогично закону Ома для электрических цепей, существует закон Ома для магнитной цепи: магнитный поток (Φ) в простом контуре равен намагничивающей силе (F), деленной на сумму магнитных сопротивлений (ΣR_м) пути магнитного потока:

Φ = F / ΣRм

Магнитное сопротивление участка сердечника (R_м) можно рассчитать по формуле:

Rм = l / (μ ⋅ μ₀ ⋅ S)

Где:

• l — длина участка магнитной цепи;
• S — площадь поперечного сечения этого участка;
• μ — относительная магнитная проницаемость материала;
• μ₀ — магнитная постоянная (4π × 10^-7 Гн/м).

Эти законы и определения формируют теоретический каркас, на котором строится весь расчет электромагнита переменного тока. Их глубокое понимание позволяет не просто выполнять механические расчеты, но и осознанно подходить к проектированию, оптимизации и анализу поведения электромагнитных систем, предвосхищая потенциальные проблемы.

2. Методики расчета магнитных и электрических характеристик электромагнитов

Путешествие от фундаментальных законов к практическому расчету электромагнита требует владения не только теоретическими знаниями, но и конкретными методиками. В этом разделе мы рассмотрим, как эти принципы претворяются в жизнь, охватывая как общие модели поля, так и специфику обмоток, а также статические и динамические характеристики.

2.1. Общая модель электромагнитного поля и расчет обмотки

В основе любого электромагнитного анализа лежит всеобъемлющая система уравнений Максвелла. Это четыре фундаментальных уравнения, которые описывают, как электрические и магнитные поля генерируются электрическими зарядами и токами, а также как они изменяются во времени. Они могут быть представлены как в интегральной, так и в дифференциальной формах, определяя векторы электрического поля (E), магнитной индукции (B), электрического смещения (D) и напряженности магнитного поля (H) как функции источников поля. Общая модель Максвелла включает уравнения электромагнитной связи, уравнения непрерывности, материальные уравнения (описывающие свойства сред и материалов) и граничные условия. Именно эти уравнения позволяют комплексно смоделировать электромагнитное поле во всех его проявлениях.

Однако для практического расчета электромагнита важно уметь переводить эти общие принципы в конкретные инженерные параметры, начиная с расчета обмотки. Обмотка является сердцем электромагнита, создающим необходимую намагничивающую силу (МДС). Расчет обмотки электромагнита предполагает определение целого ряда критически важных параметров:

1. Сечение провода: Зависит от требуемой плотности тока и общего тока в обмотке. Выбор сечения влияет на активное сопротивление и, следовательно, на потери мощности и нагрев.
2. Число витков: Определяется необходимой МДС и доступным напряжением.
3. Сопротивление обмотки (R): Рассчитывается исходя из длины провода, его удельного сопротивления и сечения. Это сопротивление вызывает тепловые потери.
4. Нагрев обмотки: Один из важнейших параметров. Максимальная температура обмотки не должна превышать допустимой для используемого класса изоляции, чтобы обеспечить надежную и долговечную работу электромагнита.

Рекомендуемые плотности тока для медных обмоток являются ключевым ориентиром:

• Для продолжительного режима работы (когда электромагнит включен длительное время): 2-4 А/мм².
• Для повторно-кратковременного режима работы (с периодическими включениями и выключениями): 5-12 А/мм².
• Для кратковременного режима работы (очень короткие включения): 13-30 А/мм².

Эти значения могут быть увеличены примерно в два раза, если расчетный срок службы электромагнита не превышает 500 часов, что часто применяется для специальных или одноразовых устройств.

2.2. Уравнение электрического равновесия и итерационные методы

Электрическая сторона работы электромагнита переменного тока описывается уравнением электрического равновесия обмотки:

u = iR + dΨ/dt

Где:

• u — мгновенное значение напряжения источника питания;
• i — мгновенное значение тока в обмотке;
• R — активное сопротивление обмотки;
• Ψ — мгновенное значение потокосцепления (Ψ = L ⋅ i для линейной цепи, но в случае электромагнита L может быть нелинейной функцией тока).

В электромагнитах с ферромагнитным сердечником индуктивность (L) не является постоянной величиной; она зависит от степени насыщения магнитопровода, то есть от величины магнитного потока и тока. Это делает магнитную цепь нелинейной. Для таких случаев прямое аналитическое решение становится затруднительным, и на помощь приходят итерационные методы, или методы последовательных приближений.

Метод последовательных приближений позволяет найти решение путем многократного уточнения начальных значений. Например, для расчета магнитной цепи можно задать начальное приближение для магнитных потоков, затем рассчитать МДС, проверить равновесие, и если оно не достигнуто, скорректировать потоки и повторить процесс. Этот метод особенно важен, когда:

• Индуктивность становится нелинейным параметром обмотки (из-за насыщения магнитопровода).
• Активное падение напряжения (iR) значительно меньше реактивного падения напряжения (L di/dt), что типично для электромагнитов переменного тока.

Итерационные методы также широко используются в расчетах установившихся режимов электрических сетей, где начальные приближения для напряжений в узлах могут быть заданы равными номинальному напряжению сети. Это позволяет получить точные результаты даже для весьма сложных систем.

2.3. Расчет разветвленных магнитных цепей и учет потерь в стали

В сложных электромагнитных системах магнитные цепи могут быть разветвленными, содержащими несколько источников МДС и несколько путей для магнитного потока. Для анализа таких цепей применяются законы Кирхгофа для магнитных цепей, аналогичные электрическим.

По второму закону Кирхгофа для разветвленных магнитных цепей можно составить систему уравнений. Число независимых контурных уравнений (n) определяется по формуле:

n = β - y + 1

Где:

• β — число ветвей магнитной цепи (участков с однородными магнитными характеристиками);
• y — число узлов магнитной цепи (точек соединения трех и более ветвей).

Каждое уравнение в этой системе будет связывать МДС источников с падениями магнитного напряжения на участках контура.

Для электромагнитов переменного тока критически важным аспектом является учет потерь в стали. Переменное магнитное поле вызывает в магнитопроводе потери двух типов:

1. Потери на гистерезис: Возникают из-за необратимого перемагничивания ферромагнитного материала.
2. Потери на вихревые токи: Возникают из-за индукции токов в объеме магнитопровода, которые замыкаются внутри материала и вызывают его нагрев.

Эти потери приводят к дополнительному потреблению мощности и нагреву, а также влияют на ток, идущий на намагничивание. В эквивалентной схеме электромагнита потери в стали учитываются параллельно с индуктивным сопротивлением ветви намагничивания. Пренебрежение этими потерями может привести к существенным ошибкам в расчетах тока, температуры и, как следствие, в работе электромагнита. Это значит, что без их учета невозможно обеспечить ни долговечность, ни заявленные характеристики устройства.

2.4. Статические и динамические тяговые характеристики

Поведение электромагнита можно охарактеризовать с помощью тяговых характеристик, которые показывают зависимость силы притяжения от различных факторов.

Статическая тяговая характеристика — это зависимость электромагнитных тяговых усилий от величины воздушного зазора между якорем и сердечником при постоянной намагничивающей силе обмотки. То есть, при ее построении не учитывается влияние противо-ЭДС, возникающей в процессе движения якоря, и предполагается, что ток в обмотке остается неизменным. Расчет статической тяговой характеристики часто производится по энергетической формуле, которая связывает тяговую силу с изменением магнитной энергии в системе при изменении воздушного зазора. Для однородного магнитного поля в воздушном зазоре это приводит к хорошо известной формуле Максвелла:

F = B²S / (2μ₀)

Где:

• B — магнитная индукция в рабочем зазоре;
• S — эквивалентное сечение воздушного зазора;
• μ₀ — магнитная постоянная (магнитная проницаемость воздуха).

Если использовать соотношение Φ = B ⋅ S (где Φ — магнитный поток), формула может быть преобразована:

F = (Φ²) / (2μ₀S)

Эти формулы позволяют оценить максимальную силу притяжения при различных положениях якоря.

В отличие от статических, динамические характеристики являются более полными и точными, поскольку они учитывают всю сложность процессов, происходящих во время срабатывания электромагнита. Они включают:

• Изменения намагничивающей силы: Ток в обмотке меняется из-за ЭДС самоиндукции и движения якоря.
• Действие ЭДС самоиндукции: Замедляет нарастание тока в обмотке.
• Движение якоря: Изменяет величину воздушного зазора и, соответственно, магнитное сопротивление и индуктивность.
• Трение, демпфирование и инерцию подвижных частей: Эти механические факторы существенно влияют на скорость и характер срабатывания.

Для быстродействующих электромагнитов знание динамических характеристик является обязательным, так как именно они определяют время срабатывания, перегрузочную способность и устойчивость работы. Например, при расчете электромагнитной муфты продолжительность первого и второго этапов включения проводится с использованием методов расчета времени срабатывания, которые учитывают динамические процессы.

Таким образом, методики расчета электромагнитов – это не просто математические упражнения, а комплексный подход, позволяющий инженеру предвидеть и оптимизировать поведение устройства в различных режимах эксплуатации.

3. Влияние материалов и геометрии на эксплуатационные параметры электромагнита

Электромагнит — это не абстрактная математическая модель, а реальное физическое устройство, чьи эксплуатационные характеристики критически зависят от выбора материалов и точности геометрических параметров. Магнитопровод и конфигурация воздушных зазоров играют здесь главные роли, определяя эффективность, потери и даже динамику работы устройства.

3.1. Материалы магнитопровода и их свойства

Для усиления магнитного поля и направления магнитного потока по заданному пути в большинстве электромагнитов используется магнитопровод. Он традиционно изготавливается из магнитомягкой стали, которая характеризуется высокой магнитной проницаемостью и низкими потерями на перемагничивание.

Ключевой особенностью электромагнитов переменного тока является то, что их магнитопроводы почти всегда выполняются шихтованными, то есть набираются из отдельных тонких листов электротехнической стали, изолированных друг от друга. Причина этого решения — необходимость борьбы с вихревыми токами. Переменное магнитное поле, пронизывающее магнитопровод, индуцирует в нем ЭДС, которая, в свою очередь, порождает вихревые токи. Эти токи создают потери энергии (нагрев) и, что не менее важно, противодействуют изменению магнитного потока, замедляя работу электромагнита. Шихтовка магнитопровода значительно увеличивает сопротивление пути вихревых токов, тем самым уменьшая их величину и снижая потери.

Магнитная проницаемость (μ) материала магнитопровода является одним из определяющих факторов для индуктивности катушки. Индуктивность, как мы помним, зависит от геометрических размеров катушки, магнитной проницаемости материала магнитопровода и квадрата числа витков. Однако, в отличие от вакуума, магнитная проницаемость ферромагнитных материалов не является постоянной величиной. Она существенно зависит от величины напряженности магнитного поля (H). С ростом H магнитная проницаемость сначала увеличивается, достигает максимума, а затем снижается при наступлении магнитного насыщения. Это явление означает, что при определенной напряженности поля большинство магнитных доменов в материале уже ориентированы в направлении поля, и дальнейшее увеличение H приводит лишь к незначительному приросту магнитной индукции. Это нелинейное поведение является серьезным вызовом для расчетов и требует применения итерационных методов.

Еще одним важным аспектом является остаточное намагничивание стали. После снятия внешнего магнитного поля ферромагнитные материалы сохраняют некоторое остаточное намагничивание. В некоторых случаях, например, в отключенной электромагнитной муфте, это может привести к возникновению остаточного момента, что нежелательно и может мешать свободному разъединению. Для минимизации этого эффекта выбирают материалы с узкой петлей гистерезиса и, в некоторых конструкциях, предусматривают специальные меры для размагничивания.

3.2. Роль воздушного зазора и его расчет

Воздушный зазор между якорем и сердечником — это, пожалуй, наиболее динамичный и влиятельный элемент в геометрии электромагнита. Тяговая характеристика электромагнита, как уже упоминалось, является зависимостью электромагнитных тяговых усилий от величины воздушного зазора.

В идеальном случае, при пренебрежении всеми побочными эффектами, тяговая сила электромагнита обратно пропорциональна квадрату воздушного зазора. Это означает, что даже небольшие изменения в зазоре могут привести к значительным изменениям в силе притяжения. Именно по этой причине точность механической сборки и износостойкость сопрягаемых поверхностей имеют решающее значение.
При расчете магнитных цепей магнитное сопротивление воздушного зазора играет доминирующую роль по сравнению с сопротивлением ферромагнитного сердечника (при ненасыщенном состоянии). Это связано с тем, что относительная магнитная проницаемость воздуха равна единице (μ = 1), в то время как для магнитомягкой стали она может достигать тысяч. Однако, можно ли полностью игнорировать сопротивление сердечника, или это лишь упрощение, которое может привести к ошибкам в критических случаях?

Однако расчет магнитного сопротивления воздушного зазора не так прост, как может показаться. Необходимо учитывать потоки выпучивания (рассеяния) – это силовые линии магнитного поля, которые не проходят строго через полезное сечение воздушного зазора, а «выпучиваются» по краям, замыкаясь вне основного пути. Эти потоки рассеяния увеличивают эффективную площадь воздушного зазора и, соответственно, уменьшают его магнитное сопротивление. Для точного определения магнитной проводимости воздушного зазора с учетом потоков выпучивания применяются специальные методы, например, метод Роттерса. Этот метод позволяет учесть неидеальность поля и более точно рассчитать тяговую силу.

Таким образом, выбор и свойства материалов магнитопровода, а также тщательный расчет и контроль геометрии воздушного зазора являются фундаментальными для достижения требуемых эксплуатационных параметров электромагнита. Игнорирование этих факторов неизбежно приведет к неточным расчетам и неэффективной работе устройства.

4. Расчет тяговых и токовых характеристик с учетом специфики переменного тока

Работа электромагнита на переменном токе вносит существенные коррективы в методики расчета по сравнению с постоянным током. Здесь на первый план выходят явления, связанные с динамикой изменения поля, что требует особого внимания к пульсации силы и формированию тяговых характеристик.

4.1. Особенности тяговых характеристик электромагнитов переменного тока

Тяговая характеристика электромагнита – это важнейший график, который демонстрирует зависимость электромагнитной силы от положения якоря или рабочего зазора для различных постоянных значений напряжения или тока в обмотке. Для электромагнитов переменного тока эта характеристика имеет свою специфику.

Сравнительный анализ показывает, что тяговая характеристика электромагнита переменного тока с катушкой напряжения обычно имеет более пологий характер, чем у аналогичного механизма постоянного тока. Это объясняется тем, что при уменьшении воздушного зазора в электромагните переменного тока, индуктивность обмотки возрастает, что приводит к уменьшению общего тока в цепи (из-за увеличения индуктивного сопротивления) и, как следствие, к снижению намагничивающей силы. В электромагните постоянного тока, напротив, ток определяется в основном активным сопротивлением обмотки и остается более стабильным при изменении зазора.

При расчете тяговой силы электромагнита переменного тока часто делаются определенные допущения для упрощения расчетов, например, пренебрежение магнитным сопротивлением стали. Это оправдано в тех случаях, когда воздушный зазор значительно больше, чем эквивалентная длина магнитной цепи в стали, и основной вклад в общее магнитное сопротивление вносит именно зазор. Однако, для более точных расчетов, особенно при больших потоках и насыщении стали, это допущение может быть неприемлемым.

Формула Максвелла, как уже упоминалось, является основой для расчета тяговой силы:

F = B²S / (2μ₀)

Где:

• B — магнитная индукция в рабочем зазоре;
• S — эквивалентное сечение воздушного зазора;
• μ₀ — магнитная проницаемость воздуха (4π × 10^-7 Гн/м).

Или, выражая через магнитный поток (Φ = B ⋅ S):

F = (Φ²) / (2μ₀S)

Эти формулы остаются актуальными, но важно помнить, что для переменного тока значения B и Φ являются мгновенными, и их изменения во времени приводят к пульсации силы.

4.2. Анализ пульсации силы и методы ее снижения

Одно из наиболее значимых отличий работы электромагнита на переменном токе от постоянного — это пульсация силы электромагнитного притяжения. В электромагнитах переменного тока сила притяжения пульсирует от нуля до максимума с удвоенной частотой по отношению к частоте переменного тока. Например, при частоте сети 50 Гц, сила будет пульсировать с частотой 100 Гц.

Причина этого явления кроется в периодическом изменении магнитного потока. Ток в обмотке электромагнита переменного тока изменяется по синусоидальному закону. Соответственно, магнитный поток, который он создает, также изменяется синусоидально. Поскольку сила притяжения пропорциональна квадрату магнитного потока (F ~ Φ²), она всегда будет положительной (притяжение), но будет изменяться от нуля до максимального значения дважды за каждый период изменения тока. Этот эффект может вызывать вибрации, шум и преждевременный износ механических частей, что особенно критично для высокоточных устройств.

Для снижения величины пульсации силы в электромагнитах переменного тока применяются специальные конструктивные решения. Наиболее распространенным и эффективным из них является использование короткозамкнутых витков (КЗВ), также известных как демпфирующие или экранирующие витки. Короткозамкнутый виток представляет собой замкнутый металлический контур (например, медное кольцо), охватывающий часть сечения полюсов магнитопровода.

Принцип работы КЗВ следующий:

1. Основной переменный магнитный поток, проходящий через магнитопровод, индуцирует в короткозамкнутом витке ЭДС.
2. Эта ЭДС вызывает в КЗВ индукционный ток, который, согласно правилу Ленца, создает свой собственный магнитный поток.
3. Фаза этого тока и соответствующего магнитного потока сдвинута относительно фазы основного потока.
4. В результате, суммарный магнитный поток в той части полюса, где расположен КЗВ, становится более сглаженным, его амплитуда уменьшается, а провалы до нуля исчезают.

Применение КЗВ позволяет значительно сгладить пульсацию силы, делая ее более равномерной и снижая нежелательные вибрации.

При расчете обмотки также важно учитывать допустимую плотность тока, которая определяет диаметр провода обмотки. Как уже отмечалось, допустимые значения плотности тока (2-4 А/мм² для продолжительного режима, 5-12 А/мм² для повторно-кратковременного и 13-30 А/мм² для кратковременного) должны быть выбраны с учетом не только активных потерь в меди, но и потерь в стали, которые также вносят вклад в общий тепловой баланс электромагнита и его нагрев.

Таким образом, расчет тяговых и токовых характеристик электромагнита переменного тока — это нетривиальная задача, требующая глубокого понимания специфических явлений, таких как пульсация силы, и умения применять адекватные конструктивные и расчетные методы для их минимизации и компенсации, что напрямую влияет на долговечность и эффективность работы устройства.

5. Применение комплексных чисел и эквивалентных схем в расчетах

В мире переменного тока, где напряжения и токи не просто изменяются по величине, но и сдвигаются по фазе, традиционные алгебраические методы расчета становятся громоздкими и неэффективными. На помощь приходят мощные математические инструменты – комплексные числа и концепция эквивалентных схем, которые позволяют упростить анализ сложных электрических и магнитных цепей.

5.1. Методы расчета цепей переменного тока с использованием комплексных чисел

Впервые революционное применение комплексных чисел в электротехнике предложил выдающийся ученый Оливер Хевисайд. Его подход позволил заменить сложные дифференциальные уравнения простыми алгебраическими, значительно упростив расчеты установившихся режимов в цепях переменного тока.

Символический метод (метод комплексных амплитуд) является основным инструментом для анализа установившихся режимов электрических цепей переменного тока. Он позволяет представить синусоидальные напряжения и токи в виде комплексных чисел (фазоров), что упрощает выполнение алгебраических операций, таких как сложение, вычитание, умножение и деление, с учетом фазовых сдвигов.

Основные методы расчета установившихся режимов электрических цепей, применимые как для постоянного, так и для переменного тока (в комплексной форме), включают:

1. Законы Ома и Кирхгофа:
   • Закон Ома для участка цепи в комплексной форме: U = I ⋅ Z, где Z = R + jX — комплексное сопротивление.
   • Первый закон Кирхгофа (закон токов): алгебраическая сумма комплексных токов, входящих в узел, равна нулю (ΣI_к = 0).
   • Второй закон Кирхгофа (закон напряжений): алгебраическая сумма комплексных напряжений вдоль любого замкнутого контура равна нулю (ΣU_к = 0) или, что эквивалентно, сумма комплексных ЭДС равна сумме падений напряжения на элементах контура (ΣE_к = ΣI_кZ_к).
2. Метод контурных токов: Позволяет уменьшить число уравнений в сложных цепях, выражая токи в ветвях через гипотетические контурные токи, циркулирующие по независимым контурам.
3. Метод узловых потенциалов (узловых напряжений): Основан на применении первого закона Кирхгофа к узлам цепи. Выбирается опорный узел (с нулевым потенциалом), и относительно него определяются потенциалы остальных узлов. Количество уравнений равно числу узлов минус один.
4. Метод наложения (принцип суперпозиции): Применяется для линейных цепей, позволяя определить ток или напряжение в любой ветви как сумму токов или напряжений, вызванных каждым источником ЭДС или тока по отдельности, при отключении остальных источников.
5. Метод эквивалентного генератора (теорема Тевенина): Позволяет заменить сложную линейную цепь относительно двух зажимов эквивалентным генератором, состоящим из ЭДС эквивалентного генератора (E_экв) и внутреннего комплексного сопротивления (Z_экв). Это значительно упрощает расчет тока в подключенном к этим зажимам элементе.

Эти методы, применяемые в комплексной (символической) форме, являются основой для точного и эффективного анализа поведения электромагнитов переменного тока, позволяя учитывать активные, индуктивные и емкостные сопротивления.

5.2. Расчет цепей при несинусоидальных токах и векторные диаграммы

В реальных электромагнитных системах, особенно при наличии нелинейных элементов (например, насыщающихся магнитопроводов) или электронных преобразователей, токи и напряжения могут иметь несинусоидальную форму. Такие токи и напряжения содержат высшие гармоники, что существенно усложняет расчет.

Для расчета цепей с несинусоидальными токами применяется метод разложения в ряды Фурье. Согласно этому методу, любая периодическая несинусоидальная функция (тока или напряжения) может быть представлена как сумма синусоид различных частот (гармоник): основной гармоники (с частотой источника) и высших гармоник (с частотами, кратными основной). Расчет проводится отдельно для каждой гармоники, используя символический метод, поскольку цепь для каждой гармоники считается синусоидальной. Затем полученные результаты (мгновенные значения токов и напряжений для каждой гармоники) суммируются, чтобы получить итоговую несинусоидальную форму.

Для наглядного представления фазовых соотношений между токами и напряжениями в цепях переменного тока активно используются векторные диаграммы. Векторная диаграмма — это графическое представление комплексных амплитуд (фазоров) токов и напряжений на комплексной плоскости. Длина вектора соответствует модулю комплексной амплитуды (действующему значению), а угол вектора с действительной осью — начальной фазе. Построение и анализ векторных диаграмм позволяют:

• Визуально оценить фазовые сдвиги между различными величинами.
• Определить результирующие токи и напряжения.
• Проверить выполнение законов Кирхгофа.
• Оценить реактивные и активные составляющие мощности.

Векторные диаграммы незаменимы для понимания процессов в индуктивных элементах, таких как обмотки электромагнитов, где ток отстает от напряжения.

5.3. Схемы замещения для магнитных цепей

Для наглядности и упрощения расчетов сложных электромагнитных систем, особенно когда необходимо оценить распределение магнитного потока и МДС, часто составляют электрическую схему замещения магнитной цепи. Эта концепция основана на прямых аналогиях между электрическими и магнитными величинами, что позволяет применять все известные методы расчета электрических цепей к магнитным.

Основные аналогии:

Электрическая величина	Магнитная величина
Электродвижущая сила (ЭДС), E	Магнитодвижущая сила (МДС), F
Электрический ток, I	Магнитный поток, Φ
Электрическое сопротивление, R	Магнитное сопротивление, Rм
Электрическая проводимость, G	Магнитная проводимость, Gм

Таким образом, в схеме замещения:

• Магнитодвижущая сила (МДС) обмотки (F = I ⋅ w) заменяется на ЭДС источника напряжения.
• Магнитный поток (Φ) заменяется на электрический ток.
• Магнитные сопротивления (R_м) различных участков магнитной цепи (сердечника, воздушного зазора) заменяются на электрические сопротивления.

Используя такую схему замещения, можно применять законы Ома и Кирхгофа, а также методы контурных токов или узловых потенциалов для определения магнитных потоков и магнитных напряжений в различных частях магнитной цепи. Этот метод эквивалентной магнитной цепи широко используется для вычисления рабочих характеристик электрических машин и аппаратов. Например, в специализированном программном обеспечении, таком как RMxprt (часть пакета ANSYS), этот метод лежит в основе аналитического расчета и оптимизации вращающихся электрических машин.

Применение комплексных чисел и эквивалентных схем значительно повышает эффективность и точность расчетов электромагнитных систем, позволяя инженерам анализировать сложные явления, которые были бы трудноразрешимы с помощью только реальных чисел.

6. Современные подходы и программные средства для моделирования и оптимизации

В эпоху цифровизации ручные расчеты, хотя и являются фундаментом понимания, уступают место передовым программным комплексам. Эти инструменты не только ускоряют процесс проектирования, но и позволяют проводить глубокий, многомерный анализ, недоступный традиционными методами.

6.1. Метод конечных элементов в электромагнитном моделировании

В основе современных подходов к моделированию электромагнитных полей лежит метод конечных элементов (МКЭ). Этот численный метод является одним из наиболее мощных и универсальных инструментов для решения дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих физические поля, включая электромагнитные.

Принципы МКЭ:

1. Дискретизация области: Моделируемая область (например, электромагнит с окружающим пространством) разбивается на множество малых, простых по форме элементов (треугольников, тетраэдров).
2. Аппроксимация решения: Внутри каждого элемента неизвестные функции поля (например, векторный магнитный потенциал) аппроксимируются полиномами низкого порядка.
3. Формирование системы уравнений: Для каждого элемента записываются уравнения, связывающие значения поля в его узлах. Затем эти уравнения собираются в общую систему для всей модели.
4. Решение системы: Полученная большая система алгебраических уравнений решается численными методами, давая значения поля в узлах элементов.

Преимущества МКЭ в электромагнитном моделировании неоспоримы:

• Учет сложной геометрии: Возможность моделирования объектов произвольной формы с высокой точностью.
• Нелинейные свойства материалов: МКЭ легко справляется с нелинейной зависимостью магнитной проницаемости от напряженности поля, что критично для ферромагнитных материалов.
• Граничные условия: Простота учета различных граничных условий (например, на бесконечности, на поверхности проводников).
• Визуализация: Результаты моделирования легко визуализируются в виде распределения силовых линий, векторов индукции или напряженности, что дает глубокое понимание физических процессов.

Применение МКЭ служит ключевым целям:

• Сокращение времени и ресурсов на разработку: Виртуальное прототипирование позволяет избежать создания множества физических образцов.
• Проверка инженерных гипотез и научных теорий: Моделирование дает возможность тестировать различные идеи без дорогостоящих экспериментов.
• Оптимизация параметров: Возможность быстрого изменения геометрии или материалов для поиска наилучших характеристик.

6.2. Интегрированные программные комплексы для комплексного анализа

Современные инженерные задачи редко ограничиваются одной физической областью. Именно поэтому широкое распространение получили интегрированные программные комплексы, способные проводить междисциплинарный анализ. Это позволяет учитывать не только электромагнитные явления, но и их взаимосвязь с тепловыми, механическими и другими процессами.

Одним из лидеров в этой области является программный комплекс ANSYS. Он включает в себя несколько модулей, каждый из которых специализируется на определенном типе анализа, но при этом они могут работать в связке:

• ANSYS Maxwell 2D/3D: Этот модуль базируется на методе конечных элементов и предназначен специально для высокоточного моделирования электромагнитных полей. Он позволяет исследовать как статические, так и динамические процессы в двумерных и трехмерных моделях электрических устройств, таких как электромагниты, трансформаторы, двигатели. Maxwell способен учитывать нелинейные свойства материалов и действительное токораспределение обмоток.
• ANSYS RMxprt: Этот модуль разработан для ускоренного проектирования и оптимизации вращающихся электрических машин (но его метод эквивалентной магнитной цепи применим и к электромагнитам). Он использует классическую аналитическую теорию электрических машин, основанную на методе эквивалентной магнитной цепи, позволяя быстро получать предварительные расчеты и оценивать характеристики.
• ANSYS Simplorer: Инструмент для моделирования систем на уровне схем, позволяющий интегрировать электромагнитные модели (из Maxwell) с электрическими цепями, системами управления и механическими компонентами.

Возможность междисциплинарного анализа в ANSYS и других подобных пакетах является огромным преимуществом. Например, можно провести:

• Электромагнитный анализ: Определить распределение полей, токов, сил.
• Стационарный/нестационарный тепловой анализ: Оценить нагрев обмоток и магнитопровода под действием потерь, предотвратить перегрев.
• Статический/динамический прочностной анализ: Проверить механическую прочность конструкции под действием электромагнитных сил и вибраций.

Помимо ANSYS, существует ряд других мощных программных средств, использующих МКЭ для моделирования электромагнитных и тепловых задач в 2D и 3D:

• COMSOL Multiphysics: Удобный и мощный инструмент, отличающийся широким спектром физических модулей и возможностью легкой интеграции различных физических полей.
• Femm (Finite Element Method Magnetics): Бесплатный и достаточно мощный 2D-симулятор для электромагнитного анализа, особенно популярный для образовательных целей и небольших проектов.
• MagNet и ThermNet (Infolytica): Специализированные пакеты для электромагнитного и теплового моделирования.
• Jmag-Designer: Еще один высококлассный комплекс для электромагнитного анализа и проектирования электрических машин.
• ELCUT: Российский программный комплекс для моделирования двумерных полей методом конечных элементов, широко используемый в образовании и промышленности.

Эти программные продукты позволяют инженерам выйти за рамки упрощенных ручных расчетов, проводить комплексную оптимизацию, проверять работоспособность устройства в различных режимах и значительно сокращать цикл разработки, что является критически важным в условиях современного высокотехнологичного производства.

Заключение

Выполнение курсовой работы по расчету электромагнита переменного тока представляет собой комплексную задачу, требующую глубокого понимания физических принципов, владения математическим аппаратом и умения применять современные инженерные методики. В рамках данного плана мы последовательно рассмотрели все ключевые аспекты, начиная от фундаментальных законов электромагнетизма и заканчивая передовыми программными комплексами для моделирования.

Ключевые выводы, которые можно сформулировать по итогам работы, заключаются в следующем:

1. Фундаментальные основы: Эффективный расчет электромагнита невозможен без прочного понимания законов Фарадея, Ампера, Кирхгофа для магнитных цепей и закона Ома, которые определяют логику взаимодействия электрических и магнитных полей.
2. Детализированные методики: Расчет обмоток с учетом допустимой плотности тока и теплового режима, а также применение итерационных методов для нелинейных магнитных цепей и учет потерь в стали, являются критически важными для точности и надежности проектирования.
3. Влияние материалов и геометрии: Шихтование магнитопроводов, нелинейность магнитной проницаемости ферромагнитных материалов, а также точный учет воздушных зазоров и потоков выпучивания (например, методом Роттерса) оказывают прямое влияние на эксплуатационные характеристики и эффективность электромагнита.
4. Специфика переменного тока: Пульсация силы в электромагнитах переменного тока требует особых подходов к расчету и применению конструктивных решений, таких как короткозамкнутые витки, для обеспечения стабильной работы.
5. Мощность математических инструментов: Использование комплексных чисел для анализа цепей переменного тока и концепция электрических схем замещения для магнитных цепей значительно упрощают и систематизируют расчеты, позволяя анализировать сложные системы.
6. Эра цифрового проектирования: Современные программные комплексы, такие как ANSYS Maxwell, RMxprt, COMSOL Multiphysics и ELCUT, на базе метода конечных элементов, предоставляют беспрецедентные возможности для точного моделирования, оптимизации и междисциплинарного анализа электромагнитных систем, сокращая время разработки и повышая качество проектов.

Значимость комплексного подхода к расчету электромагнитов переменного тока трудно переоценить. Он позволяет не только достигать требуемых тяговых и токовых характеристик, но и обеспечивать долговечность, экономичность и надежность работы устройства. Для студента технических специальностей освоение этих методик является неотъемлемой частью профессионального становления, формируя основу для будущей инженерной деятельности.

Дальнейшие перспективы изучения и развития темы лежат в области более глубокой интеграции междисциплинарных подходов (например, магнитогидродинамики, оптоэлектроники), развития интеллектуальных алгоритмов оптимизации на основе машинного обучения, а также создания новых материалов с улучшенными магнитными и тепловыми свойствами.

Список используемой литературы

При подготовке курсовой работы рекомендуется использовать следующие категории авторитетных источников, оформленных в соответствии с ГОСТ:

1. Учебники и учебные пособия по электротехнике, электромеханике, электромагнитным аппаратам, теории электрических цепей для технических вузов:
   • Буткевич Г.В. Электрические аппараты.
   • Таев И.С. Электрические аппараты управления: Учебник для вузов.
   • Гордон А.В., Сливинская А.Г. Электромагниты переменного тока.
   • Иванов В.И. Теоретические основы электротехники. Том 1.
   • Мартынова И.О. Электротехника: учебник.
   • Бутырин П.А. Электротехника: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования.
2. Научные статьи из рецензируемых журналов по электротехнике и электромеханике:
   • «Электричество»
   • «Известия вузов. Электромеханика»
   • Журналы, индексируемые в РИНЦ, Scopus, Web of Science.
3. Монографии и диссертации по расчету и проектированию электромагнитных систем.
4. Отраслевые стандарты (ГОСТ) и нормативные документы, регламентирующие проектирование электрооборудования.
5. Материалы официальных сайтов ведущих технических университетов:
   • Московский энергетический институт (МЭИ).
   • Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ».
   • Новосибирский государственный технический университет (НГТУ).
   • Белорусский национальный технический университет (БНТУ).

При выборе источников следует отдавать приоритет русскоязычным официальным изданиям, избегая непроверенных интернет-ресурсов, блогов и публикаций без научного рецензирования.

Приложения (при необходимости)

Приложения к курсовой работе могут значительно повысить ее наглядность и практическую ценность. Рекомендуется включить следующие материалы:

1. Примеры расчетов:
   • Детальный пошаговый расчет обмотки электромагнита (сечение провода, число витков, сопротивление).
   • Пример расчета магнитной цепи методом последовательных приближений.
   • Расчет тяговой силы по формуле Максвелла для конкретных параметров.
   • Пример расчета магнитного сопротивления воздушного зазора с учетом потоков выпучивания (метод Роттерса).
2. Графические материалы:
   • Графики тяговых характеристик: Статическая и динамическая тяговые характеристики, сравнительный анализ для электромагнитов постоянного и переменного тока.
   • Векторные диаграммы: Для обмотки электромагнита переменного тока, демонстрирующие фазовые соотношения тока, напряжения и ЭДС.
   • Зависимость магнитной проницаемости от напряженности магнитного поля для различных магнитомягких материалов.
   • Осциллограммы тока, напряжения и силы для электромагнита переменного тока, иллюстрирующие явление пульсации.
3. Чертежи электромагнитов:
   • Принципиальные схемы конструкции электромагнита, включая расположение обмоток, магнитопровода, короткозамкнутых витков.
   • Конструктивные чертежи основных узлов (якорь, сердечник).
4. Схемы замещения:
   • Электрическая схема замещения магнитной цепи электромагнита.
   • Эквивалентная электрическая схема обмотки электромагнита переменного тока с учетом потерь в стали.
5. Результаты компьютерного моделирования:
   • Снимки экранов или графики из программных комплексов (например, ANSYS Maxwell, ELCUT), демонстрирующие распределение магнитного поля, силовых линий, плотности тока или температурных полей в электромагните.

Эти приложения помогут не только глубже проиллюстрировать теоретические положения, но и продемонстрировать практические навыки студента в инженерном анализе и проектировании.

Список использованной литературы

1. Буткевич Г.В., Дегтярь В.Г., Сливинская А.Г. Задачник по электрическим аппаратам. Учебное пособие для вузов по специальности «Электрические аппараты». 2-е изд., перераб. и доп. М.: Высшая школа, 1987. 232 с.
2. Таев И.С., Буль Б.К., Годжелло А.Г. и др. Основы теории электрических аппаратов. Учебник для вузов по специальности «Электрические аппараты» / под ред. И.С. Таева. М.: Высшая школа, 1987. 352 с.
3. Гордон А.В., Сливинская А.Г. Электромагниты переменного тока. М: Энергия, 1968. 272 с.
4. Мартынова И.О. Электротехника: учебник. М.: КНОРУС, 2015. URL: https://engamika.ru/upload/iblock/c34/c348259b3626245c43d2c0b484501a30.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
5. Таев И.С. Электрические аппараты управления: Учебник для вузов по специальности. URL: https://www.elec.ru/library/books/elektricheskie-apparaty-upravleniya-sovremennye-tekhnologii-i-metody-rascheta (дата обращения: 11.10.2025).
6. Бутырин П.А. Электротехника : учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. URL: http://window.edu.ru/catalog/pdf2txt/299/64299/3229 (дата обращения: 11.10.2025).
7. Методы расчета электрических и магнитных полей : учебный комплект — ELCUT. URL: https://elar.urfu.ru/bitstream/10995/29161/1/978-5-7996-1216-1_2014.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
8. Электротехника : учебное пособие — Электронный научный архив УрФУ. URL: https://elar.urfu.ru/bitstream/10995/24080/1/978-5-321-02381-8.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
9. Таев И.С. Электрические аппараты автоматики и управления. URL: http://window.edu.ru/catalog/pdf2txt/467/46467/20202 (дата обращения: 11.10.2025).
10. Закон электромагнитной индукции. URL: https://window.edu.ru/catalog/pdf2txt/686/46686/21809 (дата обращения: 11.10.2025).
11. Гордон А.В., Сливинская А.Г. Электромагниты переменного тока. URL: https://www.twirpx.com/file/291653/ (дата обращения: 11.10.2025).
12. Закон Фарадея. URL: https://www.fizika.ru/fakultet/book/chapter6/paragraph4/text64.php (дата обращения: 11.10.2025).
13. Рыбинский государственный авиационный технический университет им. П. А. Соловьева. URL: https://elib.rsatu.ru/elib/assets/docs/el.dinamika-konspekt.doc (дата обращения: 11.10.2025).
14. Брянский государственный технический университет. URL: https://www.bgtu.ru/sites/default/files/pages/science/journals/bstu/2006/04-2006/04_2006_03_03.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
15. ANSYS, Inc.: современные методы моделирования электромагнитного поля. URL: https://www.ansys.com/-/media/ansys/corporate/files/resource-library/article/ac-may-2011-ansys-electromagnetic-field-simulation.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
16. Программы для моделирования электромагнитных и тепловых задач в 2D и 3D. URL: https://rus.promportal.su/articles/programmy-dlya-modelirovaniya-elektromagnitnykh-i-teplovykh-zadach-v-2d-i-3d.html (дата обращения: 11.10.2025).
17. Закон полного тока. URL: https://static.bsu.by/sites/default/files/elr/16/econf/mag_i_el_polya_v_v-ve/node12.html (дата обращения: 11.10.2025).
18. Тяговые характеристики электромагнитов. URL: https://studfile.net/preview/17260026/page:24/ (дата обращения: 11.10.2025).
19. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ. ЗАКОН ФАРАДЕЯ. URL: https://phys.vspu.ru/files/electromag.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
20. ANSYS, Inc.: современные методы моделирования электромагнитного поля — CAE Expert. URL: https://cae-expert.ru/wp-content/uploads/pdf/CAE_2011_3_52-56.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
21. Электромагнитное моделирование и MEMS — Артматика, Екатеринбург. URL: https://artmatika.ru/article/elektromagnitnoe-modelirovanie-i-mems/ (дата обращения: 11.10.2025).
22. Закон полного тока. URL: https://elib.bsu.by/bitstream/123456789/22080/1/14.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
23. уравнения Максвелла. URL: https://elib.gsu.by/bitstream/123456789/27170/1/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B0.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
24. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. URL: https://www.ncfm.ru/uploads/courses/Course%201/Electrodynamics/Maxwell_equations.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
25. Закон полного тока для магнитного поля: физический смысл, формулы — ASUTPP. URL: https://asutpp.ru/zakon-polnogo-toka.html (дата обращения: 11.10.2025).
26. Уравнения Максвелла Электромагнитная теория Максвелла (60-е годы 19 века). URL: https://elib.bsu.by/bitstream/123456789/208577/1/24.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
27. Электрические аппараты : учебник. URL: https://elib.gsu.by/bitstream/123456789/27169/1/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5%20%D0%B0%D0%BF%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%8B.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
28. 1 Общая модель Максвелла — mathprofi. URL: https://mathprofi.com/2021/04/14/obshhaya-model-maksvella.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
29. БНТУ. URL: https://dl.portal.bntu.by/pluginfile.php/127166/mod_resource/content/1/%D0%9B%D0%95%D0%9A%D0%A6%D0%98%D0%AF_2_4.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
30. Самарский государственный технический университет. URL: https://samgtu.ru/sveden/education/chair/emsu/files/electrical-and-electronic-devices/lecture_notes/Chebotkov_E.G._Zubkov_Yu.V._Electrical_and_Electronic_Devices_part1.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
31. Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий. URL: http://elib.gumspt.ru/upload/iblock/d6f/d6f78f6831d10214a1f107c132560824.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
32. Электрические аппараты — DOKUMEN.PUB. URL: https://dokumen.pub/elektricheskie-apparaty.html (дата обращения: 11.10.2025).
33. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «РАСЧЁТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СИСТЕМ». URL: https://www.vlsu.ru/www/files/pages/47545_121.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
34. Электромагниты и постоянные магниты — Элек.ру. URL: https://www.elec.ru/library/books/elektromagnity-i-postoyannye-magnity (дата обращения: 11.10.2025).