Как спроектировать цифровой фильтр для курсовой работы — все этапы от теории до анализа ошибок

С чего начинается курсовая работа по цифровым фильтрам

Получено задание на курсовую работу по проектированию цифрового фильтра, и с чего начать — совершенно неясно. Знакомая ситуация? Многие студенты воспринимают эту задачу как непреодолимое препятствие, полное сложной математики. Однако на самом деле это увлекательный и логичный инженерный процесс. Важно понять, что вся работа сводится к одной ключевой цели: найти набор коэффициентов для передаточной функции фильтра, которые обеспечат нужную обработку сигнала.

Весь процесс можно разбить на понятные и последовательные шаги. Он начинается с аппроксимации, то есть с поиска теоретической функции, которая удовлетворяет вашим требованиям. Затем следует выбор конкретной схемы реализации и, что крайне важно, анализ погрешностей. Эти погрешности неизбежно возникают из-за того, что любой реальный процессор или микросхема работает с числами конечной разрядности. Таким образом, курсовая — это не просто вычисления, а комплексная задача инженера.

Эту статью стоит воспринимать как дорожную карту. Она проведет вас от пункта «Дано» в вашем задании до пункта «Результат» в виде готовой курсовой работы, объясняя каждый шаг на практических примерах. Теперь, когда общая логика ясна, перейдем к первому и самому важному этапу, без которого невозможно начать проектирование.

Формулируем техническое задание, или Как понять, чего мы хотим от фильтра

Прежде чем приступать к расчетам, нужно четко определить, что именно должен делать наш фильтр. Этот этап называется формированием технического задания (ТЗ). От этих исходных цифр зависит весь дальнейший успех проекта. В курсовой работе ТЗ обычно выдается преподавателем, но понимание физического смысла каждого параметра абсолютно необходимо.

Давайте разберем ключевые параметры, которые составляют основу любого ТЗ на цифровой фильтр:

• Частота дискретизации (Fs): Это, по сути, то, как часто мы «фотографируем» непрерывный аналоговый сигнал, чтобы превратить его в цифровой. Чем она выше, тем точнее цифровое представление, но и тем больше вычислений потребуется.
• Полоса пропускания: Это диапазон частот, который наш фильтр должен пропустить без существенных изменений. Представьте это как «дверь» для полезного сигнала. Ее граница определяется граничной частотой полосы пропускания.
• Полоса задержания (или подавления): Это диапазон частот, который фильтр должен максимально ослабить или «заглушить». Это «стена» для помех. Ее начало определяется граничной частотой полосы задержания.
• Неравномерность АЧХ в полосе пропускания: Идеальный фильтр пропускает все нужные частоты с одинаковым усилением (равным единице). В реальности всегда есть небольшие колебания. Этот параметр задает допустимую «рябь» на вершине амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) в полосе пропускания.
• Минимальное затухание в полосе задержания: Этот параметр определяет, насколько сильно фильтр должен подавить нежелательные частоты. Например, значение в 40 децибел (дБ) означает, что амплитуда помехи будет ослаблена в 100 раз.

Типичное ТЗ в курсовой работе может выглядеть так: «Спроектировать цифровой фильтр нижних частот (ФНЧ) со следующими характеристиками: частота дискретизации 48 кГц, граница полосы пропускания 10 кГц, граница полосы задержания 12 кГц, неравномерность в полосе пропускания не более 1 дБ, затухание в полосе задержания не менее 60 дБ».

Отлично, у нас на руках есть четкое техническое задание. Теперь пора принять первое стратегическое решение, которое определит сложность и характеристики нашего будущего фильтра.

КИХ или БИХ — делаем ключевой выбор на основе глубокого анализа

Один из первых и самых фундаментальных выборов в проектировании — это выбор между двумя основными архитектурами цифровых фильтров: КИХ (с конечной импульсной характеристикой) и БИХ (с бесконечной импульсной характеристикой). Этот выбор влияет на всё: от сложности расчетов до качества обработки сигнала. Здесь нет «хорошего» или «плохого» варианта, есть лишь тот, что лучше подходит под конкретную задачу.

Чтобы сделать осознанный выбор, давайте сравним их ключевые особенности.

КИХ-фильтры (FIR — Finite Impulse Response) — это нерекурсивные фильтры. Их выходной сигнал в любой момент времени зависит только от текущего и предыдущих входных отсчетов. У них нет обратной связи.

• Преимущества:
  1. Абсолютная устойчивость. Так как в структуре КИХ-фильтра отсутствуют обратные связи, он не может «завестись» или войти в режим генерации. Это их ключевое преимущество.
  2. Линейная фазо-частотная характеристика (ФЧХ). Этого можно легко добиться правильным проектированием. Линейная ФЧХ означает, что все частотные компоненты сигнала задерживаются на одинаковое время, что предотвращает фазовые искажения и сохраняет форму сигнала. Это критически важно в системах передачи данных и обработке изображений.
• Недостатки:
  1. Высокий порядок. Для достижения такой же крутизны спада АЧХ (селективности), как у БИХ-фильтра, КИХ-фильтру требуется значительно большее количество коэффициентов (более высокий порядок). Это ведет к большим вычислительным затратам и задержке обработки.

БИХ-фильтры (IIR — Infinite Impulse Response) — это рекурсивные фильтры. Их выходной сигнал зависит не только от входных отсчетов, но и от предыдущих значений самого выходного сигнала. Они имеют обратную связь, что делает их похожими на аналоговые фильтры.

• Преимущества:
  1. Вычислительная эффективность. Благодаря обратной связи, БИХ-фильтры могут обеспечить требуемые характеристики АЧХ при значительно меньшем порядке, чем КИХ-фильтры. Это означает меньше вычислений, меньшее энергопотребление и меньшую задержку.
• Недостатки:
  1. Возможная неустойчивость. Неправильно рассчитанные коэффициенты могут привести к тому, что полюсы передаточной функции окажутся за пределами единичной окружности на Z-плоскости, и фильтр станет неустойчивым. Поэтому их устойчивость всегда требует проверки.
  2. Нелинейная ФЧХ. Это, пожалуй, их самый известный недостаток. Нелинейность ФЧХ приводит к фазовым искажениям. Однако стоит отметить, что часто это является не врожденным свойством, а следствием конкретных методов проектирования, основанных на аналоговых прототипах.

Выбор сделан и обоснован. Теперь мы знаем, какой тип фильтра будем строить. Следующий шаг — самый математически насыщенный: мы рассчитаем его коэффициенты.

Синтез фильтра как основной этап, выбираем метод расчета коэффициентов

Синтез фильтра — это сердце курсовой работы. На этом этапе мы, наконец, находим те самые заветные коэффициенты передаточной функции, которые будут соответствовать нашему ТЗ. Существует множество методов синтеза, каждый со своей логикой и областью применения. В рамках курсовой не нужно знать их все, но важно понимать суть основных подходов.

Для БИХ-фильтров наиболее популярным является подход, основанный на аналоговых прототипах. Его логика такова:

• Берутся хорошо изученные аналоговые фильтры (Баттерворта, Чебышева, Кауэра), чьи свойства описаны в учебниках.
• С помощью математической процедуры, чаще всего билинейного преобразования, характеристики такого аналогового фильтра «переносятся» в цифровой мир. Этот метод гарантирует, что устойчивый аналоговый прототип даст устойчивый цифровой фильтр.

Для КИХ-фильтров, которые не имеют аналоговых аналогов, используются прямые методы цифрового синтеза. Наиболее известные из них:

• Метод оконного сглаживания: Берется идеальная, но бесконечная импульсная характеристика, и из нее «вырезается» конечный фрагмент с помощью специальной весовой функции (окна). Качество фильтра сильно зависит от выбора типа окна (Хэмминга, Блэкмана, Кайзера).
• Метод частотной выборки: Желаемая АЧХ задается в виде набора точек (отсчетов на частотной оси), и по ним вычисляется импульсная характеристика.
• Алгоритм Паркса-МакКлеллана (или метод Ремеза): Это оптимальный метод. Он итеративно подбирает коэффициенты так, чтобы максимальная ошибка (пульсации) была одинаковой в полосе пропускания и в полосе задержания. Фильтры, спроектированные этим методом, при том же порядке имеют наилучшее приближение к идеальной прямоугольной АЧХ. В учебных проектах он используется очень часто.

В большинстве случаев для курсовой работы по КИХ-фильтрам выбирают именно алгоритм Паркса-МакКлеллана из-за его оптимальности, а для БИХ-фильтров — метод билинейного преобразования на основе прототипа Баттерворта или Чебышева. Теоретическая работа завершена, у нас есть рассчитанные коэффициенты. Но цифры на бумаге — это еще не фильтр. Пора оживить нашу модель с помощью самого популярного инструмента инженера.

Воплощаем теорию в жизнь, моделируем фильтр в среде MATLAB

Теоретические расчеты и ряды коэффициентов — это важная основа, но чтобы проверить, как фильтр будет работать на практике, необходимо провести моделирование. Сегодня для этого не нужно писать сотни строк кода с нуля. Инженерные программные пакеты, такие как MATLAB (с его Signal Processing Toolbox), SciPy (для Python) или GNU Octave, берут на себя всю рутину. MATLAB является промышленным и учебным стандартом, поэтому рассмотрим процесс на его примере.

Создание и анализ фильтра в MATLAB — это простой пошаговый процесс, который выполняется с помощью специального интерактивного инструмента:

1. Запуск `filterDesigner`: В командной строке MATLAB введите команду `filterDesigner` (в старых версиях она называлась `fdatool`). Откроется графический интерфейс для проектирования и анализа фильтров.
2. Ввод параметров из ТЗ: В открывшемся окне вы увидите поля для ввода всех ключевых параметров из вашего технического задания. Укажите тип фильтра (например, ФНЧ), частоту дискретизации, частоты среза, допустимые неравномерности и затухания.
3. Выбор типа фильтра и метода проектирования: Теперь сделайте стратегический выбор, который вы обосновали ранее. Выберите IIR (БИХ) или FIR (КИХ). Для БИХ-фильтра выберите метод, например, `Butterworth` (Баттерворт). Для КИХ-фильтра выберите `Equiripple` (это и есть алгоритм Паркса-МакКлеллана). Поставьте галочку «Specify order», чтобы задать порядок фильтра, или оставьте «Minimum order» для автоматического подбора.
4. Получение результата: Нажмите кнопку «Design Filter». Инструмент мгновенно рассчитает коэффициенты и построит все необходимые графики: АЧХ, ФЧХ, импульсную характеристику и другие.

Что делать с этим результатом дальше? Во-первых, вы можете экспортировать рассчитанные коэффициенты (числитель и знаменатель передаточной функции) в рабочую область MATLAB для дальнейшего использования. Для этого есть меню File -> Export. Во-вторых, вы можете сразу же проверить работу фильтра. Создайте тестовый сигнал (например, сумму двух синусоид, одна из которых должна быть подавлена) и пропустите его через фильтр с помощью функции filter(b, a, signal), где `b` и `a` — это экспортированные векторы коэффициентов.

Модель в MATLAB работает и показывает красивые графики. Но что именно означают эти кривые? Настало время научиться их правильно «читать» и анализировать.

Что говорят графики, или проверяем АЧХ и ФЧХ нашего идеального фильтра

После того как MATLAB построил графики, наступает этап анализа. Ваша задача — убедиться, что спроектированный «идеальный» фильтр (то есть фильтр, рассчитанный с высокой точностью) полностью соответствует исходному техническому заданию. Для этого нужно внимательно изучить две его главные характеристики: АЧХ и ФЧХ.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) — это самый важный график. Он показывает, как фильтр изменяет амплитуду сигнала на разных частотах. При его анализе обратите внимание на следующие зоны:

• Полоса пропускания: Найдите на графике эту область. Увеличьте масштаб и проверьте, не превышают ли колебания (пульсации) в этой зоне значение, указанное в ТЗ (например, 1 дБ).
• Полоса задержания: Посмотрите на эту область. Уровень сигнала здесь должен быть ниже (то есть затухание должно быть больше), чем требуемое значение из ТЗ (например, -60 дБ).
• Переходная зона: Это область между полосой пропускания и полосой задержания. Чем она уже, тем «круче» и качественнее фильтр. Ширина этой зоны напрямую зависит от порядка фильтра — чем выше порядок, тем она уже, но и тем сложнее фильтр в реализации.

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) показывает, какой фазовый сдвиг вносит фильтр для каждой частотной компоненты сигнала. Для чего ее анализировать?

• Если вы проектировали КИХ-фильтр, его ФЧХ должна быть идеально прямой линией. Это говорит о линейности фазы и отсутствии искажений формы сигнала.
• Если вы проектировали БИХ-фильтр, его ФЧХ будет нелинейной. Это ожидаемое поведение. Важно просто зафиксировать ее вид для отчета. Для некоторых приложений, где форма сигнала не важна (например, при измерении мощности в определенной полосе частот), нелинейность ФЧХ не является проблемой.

На этом этапе вы делаете вывод о том, что характеристики идеальной модели соответствуют требованиям. Наша модель идеальна и полностью соответствует ТЗ. Но в реальном мире, при реализации на «железе», мы столкнемся с ограничениями. Давайте исследуем самый важный из них.

Влияние конечной разрядности, исследуем эффекты и погрешности квантования

До сих пор мы работали с «идеальной» моделью в MATLAB, где все расчеты велись с высокой точностью (арифметика с плавающей точкой). Однако любой реальный цифровой процессор (DSP), микроконтроллер или ПЛИС работает с числами конечной разрядности (часто с фиксированной точкой). Этот переход от идеальных чисел к реальным называется квантованием и порождает неизбежные погрешности, которые могут серьезно исказить характеристики нашего фильтра. Анализ этих эффектов — обязательная часть серьезной курсовой работы.

Что именно подвергается квантованию?

1. Квантование коэффициентов: Рассчитанные нами идеальные коэффициенты приходится округлять до ближайших значений, представимых в разрядной сетке процессора. Это немного «двигает» полюсы и нули передаточной функции.
2. Квантование сигнала: Входной сигнал с аналого-цифрового преобразователя (АЦП) также имеет конечную разрядность.
3. Квантование результатов вычислений: При перемножении чисел в фильтре разрядность результата увеличивается. Чтобы она не росла бесконечно, результат приходится округлять после каждой операции. Этот процесс вносит так называемый «шум округления».

К каким проблемам это приводит?

• Искажение АЧХ: Из-за округления коэффициентов реальная АЧХ фильтра может отличаться от идеальной. Частоты среза могут «уплыть», а уровни подавления в полосе задержания — ухудшиться.
• Потеря устойчивости (для БИХ): Это самый опасный эффект. Незначительное смещение полюсов из-за квантования коэффициентов может «выбросить» их за пределы единичной окружности, и устойчивый на бумаге БИХ-фильтр станет неустойчивым в реальной жизни.
• Предельные циклы: В БИХ-фильтрах из-за округления могут возникать небольшие постоянные колебания на выходе даже при нулевом входном сигнале.

К счастью, тот же `filterDesigner` в MATLAB позволяет смоделировать эти эффекты. Вы можете перейти в раздел квантования, задать арифметику с фиксированной точкой, указать разрядность для коэффициентов и вычислений, а затем сравнить «идеальную» АЧХ с «квантованной». Это сравнение наглядно покажет, как деградируют характеристики фильтра, и позволит сделать вывод о необходимой разрядности для его реализации. Мы прошли весь путь от идеи до анализа реальных ограничений. Теперь у нас есть все компоненты для того, чтобы собрать из них качественную курсовую работу.

Как оформить курсовую работу, грамотно представляем результаты и делаем выводы

Вы проделали огромную инженерную работу: от анализа требований до исследования тонких эффектов квантования. Теперь последний, но не менее важный шаг — грамотно «упаковать» все результаты в пояснительную записку к курсовой работе. Хорошая структура не только облегчит проверку преподавателю, но и вам самим поможет логически обобщить проделанную работу.

Структура пояснительной записки должна зеркально отражать шаги, которые мы прошли в этой статье. Это самый логичный и понятный подход. Рекомендуется придерживаться следующего плана:

1. Введение: Здесь вы формулируете цель работы (спроектировать цифровой фильтр), перечисляете задачи (проанализировать ТЗ, выбрать тип фильтра, рассчитать коэффициенты, смоделировать и т.д.) и кратко описываете актуальность цифровой фильтрации.
2. Расчетная (теоретическая) часть:
   • Приведите исходное техническое задание (ТЗ).
   • Обоснуйте ваш выбор между КИХ и БИХ-фильтром, ссылаясь на их преимущества и недостатки в контексте вашей задачи.
   • Опишите выбранный метод синтеза (например, алгоритм Паркса-МакКлеллана или билинейное преобразование) и приведите рассчитанные коэффициенты фильтра.
3. Практическая (модельная) часть:
   • Опишите процесс моделирования в MATLAB.
   • Представьте графики АЧХ и ФЧХ идеального фильтра. Сделайте вывод о их соответствии исходному ТЗ, указав на графиках ключевые точки (границы полос, уровни затухания).
   • Представьте результаты анализа влияния эффектов квантования. Включите график сравнения идеальной и квантованной АЧХ и опишите наблюдаемые различия.
4. Заключение: Сделайте главный вывод: «Спроектированный фильтр соответствует (или не соответствует) заданным требованиям». Кратко перечислите его итоговые характеристики. Укажите, какая минимальная разрядность требуется для его практической реализации без существенной деградации параметров.
5. Список литературы и Приложения: Включите все использованные источники. В приложения можно вынести листинги кода MATLAB, если они требуются.

Обязательно включайте в текст графики и таблицы — они делают ваш отчет наглядным и убедительным. Хорошо оформленная работа демонстрирует не только ваши технические навыки, но и умение четко и структурированно излагать результаты своего исследования.

Список использованной литературы

1. Методические указания к выполнению курсовой работы.
2. Якимов Е.В. Цифровая обработка сигналов: учебное пособие / Е.В. Якимов; Томский политехнический университет. — 2-е изд. — Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011. — 168 с.
3. Орнатский П.П. Теоретические основы информационно-измерительной техники. – Киев: Вища школа, 1983. – 455 с.
4. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. /Пер. с англ. под ред. Ю.Н. Александрова. – М.: Мир, 1978. – 848 с.
5. Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Радио и связь, 1990. – 256 с.