1. Введение: Цель расчета и теоретические основы
Поверочный расчет магнитной цепи машины постоянного тока (МПТ) в режиме холостого хода (ХХ) является фундаментальной задачей курсового проектирования. Его основная цель — определить, какая намагничивающая сила (НС) обмотки возбуждения $F_{\text{в}}$ потребуется для создания заданного номинального магнитного потока $\Phi_{\text{ном}}$, необходимого для наведения номинальной электродвижущей силы (ЭДС) $E_a$ при заданной частоте вращения $n$.
Теоретической основой этого расчета служит закон полного тока (закон Ампера), который в интегральной форме гласит, что циркуляция напряженности магнитного поля $H$ по замкнутому контуру равна полному току, охватываемому этим контуром:
Σ H · dl = Σ I = Fцепи
Поскольку магнитная цепь МПТ состоит из ряда последовательно соединенных, но неоднородных участков (воздушный зазор, сталь), интегральное выражение в инженерной практике заменяется суммой магнитных напряжений (НС) отдельных участков. Расчет традиционно ведется на одну пару полюсов ввиду симметричности конструкции, что существенно упрощает дальнейшие вычисления.
Полная намагничивающая сила цепи $F_{\text{цепи}}$ (которая должна быть создана обмоткой возбуждения $F_{\text{в}}$ в режиме ХХ) представляет собой сумму НС пяти основных однородных участков, по которым проходит основной магнитный поток:
Fцепи = Fδ + Fz + Fya + Fp + Fy
Где:
- $F_{\delta}$ — НС воздушного зазора.
- $F_z$ — НС зубцового слоя якоря.
- $F_{ya}$ — НС сердечника якоря (спинки якоря).
- $F_p$ — НС сердечника полюса.
- $F_y$ — НС ярма (станины).
Намагничивающая сила каждого участка $F_x$ определяется как произведение средней напряженности магнитного поля $H_x$ на среднюю длину магнитной силовой линии $l_x$ в этом участке: $F_x = H_x \cdot l_x$.
2. Этап I: Расчет основного магнитного потока и индукций в цепи
Начальный этап поверочного расчета заключается в определении основного магнитного потока $\Phi$, который обязан создать ЭДС $E_a$, заложенную в техническом задании.
Ключевой тезис: Методика определения требуемого магнитного потока
Основное уравнение ЭДС для машины постоянного тока, работающей при номинальной частоте вращения $n$ (об/мин), имеет вид:
Ea = CE · Φ · n
Здесь $C_E$ — конструктивная постоянная машины, определяемая исключительно геометрией обмотки и числом полюсов:
CE = p · N / (60 · a)
Где $p$ — число пар полюсов, $N$ — полное число проводников в обмотке якоря, $a$ — число пар параллельных ветвей обмотки якоря.
Отсюда требуемый для режима ХХ основной магнитный поток, проходящий через якорь, рассчитывается как:
Φ = Ea / (CE · n)
Определение магнитного потока полюса (с учетом рассеяния)
Магнитный поток $\Phi_p$, создаваемый обмоткой возбуждения в сердечнике полюса, всегда больше основного потока $\Phi$, поскольку часть силовых линий замыкается, минуя якорь. Этот избыточный поток называется потоком рассеяния $\Phi_{\sigma}$.
Поток полюса $\Phi_p$ рассчитывается через коэффициент магнитного рассеяния $k_{\sigma}$:
Φp = kσ · Φ
Коэффициент $k_{\sigma}$ учитывает долю потока, проходящую вне якоря. Для МПТ общепромышленного применения его значение обычно лежит в пределах $k_{\sigma} \approx 1,1 \dots 1,25$. И что из этого следует? Чем выше этот коэффициент, тем менее эффективно используется намагничивающая сила обмотки возбуждения, поскольку больше энергии тратится на создание бесполезного для работы потока рассеяния.
Инженерный анализ $k_{\sigma}$: Величина $k_{\sigma}$ тесно связана с геометрией: отношением длины пакета якоря $l_a$ к полюсному делению $\tau$ (отношение $l_a/\tau$). Для длинных машин (малое $l_a/\tau$) рассеяние меньше. Чем меньше полюсное перекрытие и больше длина воздушного зазора относительно длины полюса, тем выше может быть $k_{\sigma}$.
Расчет магнитных индукций для всех участков
Определив потоки, необходимо вычислить магнитные индукции $B_x$ для каждого участка цепи. Индукция — это отношение потока, проходящего через участок, к эффективному сечению этого участка:
Bx = Φx / Sx
Где $S_x$ — эффективная площадь сечения, перпендикулярная направлению магнитного потока.
Таблица 1. Расчет потоков и типовые индукции для участков магнитной цепи
| Участок | Обозначение НС | Магнитный поток $\Phi_x$ | Типовой диапазон $B_x$ (Тл) | Примечание |
|---|---|---|---|---|
| Воздушный зазор | $F_{\delta}$ | $\Phi$ | 0,7 – 1,1 | Зависит от $B_{\delta}$ |
| Зубцы якоря | $F_z$ | $\Phi$ | 1,8 – 2,5 | Самый насыщенный участок |
| Сердечник якоря | $F_{ya}$ | $\Phi / 2$ | 1,0 – 1,5 | Поток делится на две ветви |
| Сердечник полюса | $F_p$ | $\Phi_p = k_{\sigma} \cdot \Phi$ | 1,2 – 1,6 | Поток с учетом рассеяния |
| Ярмо (Станина) | $F_y$ | $\Phi_p / 2$ | 1,1 – 1,2 | Поток делится на две ветви |
Студенту необходимо сравнить рассчитанные значения $B_x$ с типовыми диапазонами. Значительное превышение верхней границы (особенно $B_z > 2,5$ Тл) может указывать на чрезмерное насыщение, что требует пересмотра конструктивных параметров машины, поскольку это приведет к резкому, нелинейному увеличению требуемой намагничивающей силы.
3. Этап II: Ригористичный расчет намагничивающих сил (НС)
Этот этап является ключевым и требует строгого разделения расчета на линейный участок (воздушный зазор) и нелинейные участки (ферромагнитные материалы).
Расчет НС воздушного зазора $F_{\delta}$ с учетом зубчатости якоря
Воздушный зазор $\delta$ — самый большой потребитель НС, так как магнитная проницаемость воздуха $\mu_{\text{возд}} = \mu_0$ минимальна.
Напряженность поля в воздушном зазоре $H_{\delta}$ рассчитывается по формуле:
Hδ = Bδ / μ0
Где $B_{\delta}$ — средняя индукция в зазоре, а $\mu_0$ — магнитная постоянная, равная $4\pi \cdot 10^{-7}$ Гн/м (приблизительно $1,257 \cdot 10^{-6}$ Гн/м).
Однако наличие пазов и зубцов на поверхности якоря вызывает искривление силовых линий, что эффективно увеличивает длину воздушного зазора. Этот эффект учитывается коэффициентом Картера $k_{\delta}$ (коэффициентом воздушного зазора).
Расчетная (эквивалентная) длина зазора $\delta_{\text{расч}}$:
δрасч = δ · kδ
Коэффициент Картера $k_{\delta}$ для МПТ обычно находится в диапазоне $1,2 \dots 1,35$ и является функцией соотношения между шириной паза $b_0$, зубцовым делением $t_z$ и длиной воздушного зазора $\delta$. Его точное значение обычно определяется по специальным эмпирическим графикам или аппроксимирующим формулам, включенным в методические указания.
Финальная формула для расчета НС воздушного зазора выглядит так:
Fδ = Hδ · δрасч = (Bδ / μ0) · δ · kδ
Расчет НС ферромагнитных участков ($F_z, F_{ya}, F_p, F_y$)
Для всех стальных участков (зубцы, сердечник якоря, полюс, ярмо) зависимость между индукцией $B_x$ и напряженностью $H_x$ нелинейна из-за явления насыщения. Расчет напряженности $H_x$ по рассчитанным индукциям $B_x$ выполняется исключительно с использованием кривых намагничивания ($B = f(H)$) для конкретной марки стали. Как же обеспечить точность этого расчета?
Критическое замечание: Строгость расчета требует использования B-H кривых для тех марок стали, которые были заложены в конструкцию машины. Например, для сердечника якоря и полюсов, набранных из листов, используются кривые для листовой электротехнической стали (например, марки 1211 или 1311), а для ярма (станины) — кривые для литой стали.
Алгоритм расчета $F_x$ в нелинейных участках:
- Определение $B_x$: Рассчитать индукцию $B_x = \Phi_x / S_x$ для участка $x$.
- Определение $H_x$: По найденному значению $B_x$ и соответствующей кривой намагничивания для данной марки стали, найти требуемую напряженность магнитного поля $H_x$ (А/м).
- Пример: Если расчетная индукция в зубцах $B_z = 2,0$ Тл, по кривой намагничивания для стали 1211 может потребоваться $H_z \approx 4500$ А/м.
- Определение $l_x$: Из конструктивных чертежей определить среднюю длину магнитной линии $l_x$ для данного участка (например, $l_y$ — средняя длина ярмовой окружности на пару полюсов).
- Расчет НС: Вычислить магнитное напряжение (НС) участка:
Fx = Hx · lx
После проведения этого расчета для всех четырех ферромагнитных участков, полная НС цепи $F_{\text{цепи}}$ находится суммированием:
Fцепи = Fδ + Fz + Fya + Fp + Fy
4. Этап III: Анализ насыщения и построение характеристики холостого хода
Результат суммирования НС позволяет не только определить необходимый ток возбуждения, но и критически оценить эффективность проектного решения через анализ степени насыщения магнитной цепи. Какой важный нюанс здесь упускается? Точный анализ позволяет понять, насколько устойчиво машина будет работать при изменении нагрузки и температуры, влияющих на магнитные свойства стали.
Вычисление и анализ коэффициента насыщения $k_{\mu}$
Степень насыщения магнитной цепи машины характеризуется коэффициентом насыщения $k_{\mu}$, который показывает, какая доля общей НС расходуется на преодоление магнитного сопротивления стали:
kμ = Fцепи / Fδ
Анализ $k_{\mu}$:
- Типовые значения: Для МПТ общего назначения в номинальном режиме $k_{\mu}$ должен находиться в диапазоне $1,25 \dots 1,35$.
- Низкое насыщение ($k_{\mu} \approx 1,1$): Указывает на избыточное количество стали (большие сечения), что ведет к увеличению массы и габаритов машины.
- Высокое насыщение ($k_{\mu} > 1,5$): Является признаком проектного решения, направленного на снижение габаритов и массы. Оно достигается за счет уменьшения сечений ферромагнитных участков (особенно зубцов, где $B_z$ может превышать 2,0 Тл), что приводит к резкому росту $F_z$ и, соответственно, $F_{\text{цепи}}$.
Высокое насыщение увеличивает требуемый ток возбуждения, но, что более важно, уменьшает запас по регулированию ЭДС (так как характеристика ХХ становится более пологой), а также усиливает влияние реакции якоря. Таким образом, выбирая высокий коэффициент насыщения, проектировщик сознательно идет на компромисс между массогабаритными показателями и эксплуатационной устойчивостью.
Методика построения характеристики $E_0=f(I_{\text{в}})$
Характеристика холостого хода $E_0 = f(I_{\text{в}})$ — это график зависимости ЭДС, наведенной в якорной обмотке ($E_0$), от тока обмотки возбуждения ($I_{\text{в}}$) при постоянной частоте вращения ($n=\text{const}$) и отсутствии тока в якорной обмотке ($I_я=0$).
Для построения этой кривой необходимо провести поверочный расчет не только для номинального потока $\Phi_{\text{ном}}$, но и для ряда других значений потока, покрывающих рабочий диапазон машины:
- $\Phi_1 = 0,5 \cdot \Phi_{\text{ном}}$
- $\Phi_2 = 0,75 \cdot \Phi_{\text{ном}}$
- $\Phi_3 = 1,0 \cdot \Phi_{\text{ном}}$
- $\Phi_4 = 1,25 \cdot \Phi_{\text{ном}}$ (или более)
Для каждого выбранного потока $\Phi_i$ необходимо повторить Этапы I и II, получив соответствующую полную намагничивающую силу $F_{\text{цепи}i}$.
Поскольку ЭДС $E_0$ пропорциональна потоку $\Phi$, а ток возбуждения $I_{\text{в}}$ пропорционален НС $F_{\text{цепи}}$ (через число витков $w_{\text{в}}$: $F_{\text{цепи}} = w_{\text{в}} \cdot I_{\text{в}}$), полученная кривая $\Phi = f(F_{\text{цепи}})$ легко трансформируется в искомую характеристику ХХ $E_0 = f(I_{\text{в}})$.
- Ось Х (Ток возбуждения): Рассчитанное $F_{\text{цепи}i}$ преобразуется в ток возбуждения $I_{\text{в}i} = F_{\text{цепи}i} / w_{\text{в}}$.
- Ось Y (ЭДС): Рассчитанная ЭДС $E_{0i}$ определяется по формуле $E_{0i} = C_E \cdot \Phi_i \cdot n$.
Построение характеристики ХХ позволяет визуально оценить нелинейность магнитной цепи и подтвердить, что номинальная рабочая точка соответствует умеренному насыщению.
5. Графическое оформление: Стандарты эскиза магнитной цепи для курсового проекта
Графическая часть курсовой работы, представляющая собой эскиз магнитной цепи, должна строго соответствовать инженерным стандартам и наглядно демонстрировать понимание студентом распределения потоков и магнитных напряжений.
Требования к эскизу
Эскиз магнитной цепи должен быть выполнен для одной пары полюсов (2p), что является стандартным подходом в проектировании, поскольку весь поверочный расчет ведется на этот участок.
Обязательные элементы эскиза:
- Разделение на участки: Четкое графическое выделение пяти однородных участков: воздушный зазор ($\delta$), зубцы якоря ($z$), сердечник якоря ($ya$), полюс ($p$), ярмо ($y$).
- Обозначение потоков: Должны быть изображены силовые магнитные линии основного потока $\Phi$ (замыкающегося через якорь) и потока рассеяния $\Phi_{\sigma}$ (замыкающегося между полюсами).
- Обозначение геометрических и магнитных величин: На эскиз обязательно должны быть нанесены:
- Средние длины магнитных линий $l_{\delta}$, $l_z$, $l_{ya}$, $l_p$, $l_y$.
- Соответствующие магнитные индукции $B_{\delta}$, $B_z$, $B_{ya}$, $B_p$, $B_y$.
- Расчетный воздушный зазор $\delta_{\text{расч}}$.
Конструктивные особенности материалов:
- Сердечник якоря и полюса: Должны быть изображены как пакеты тонких листов электротехнической стали (толщина 0,5–1,0 мм) с указанием толщины, что подчеркивает меры по снижению потерь на вихревые токи.
- Ярмо (станина): Как правило, выполняется из литой стали и имеет сплошное сечение.
Пример структурированного представления данных для эскиза:
| Участок | Материал | Длина $l_x$ (м) | Сечение $S_x$ (м²) | Индукция $B_x$ (Тл) | НС $F_x$ (А) |
|---|---|---|---|---|---|
| $\delta$ (Зазор) | Воздух | $\delta \cdot k_{\delta}$ | $S_{\delta}$ | $B_{\delta}$ | $F_{\delta}$ |
| $z$ (Зубцы) | Лист. сталь 1311 | $l_z$ | $S_z$ | $B_z$ | $F_z$ |
| $ya$ (Спинка якоря) | Лист. сталь 1311 | $l_{ya}$ | $S_{ya}$ | $B_{ya}$ | $F_{ya}$ |
| $p$ (Полюс) | Лист. сталь 1211 | $l_p$ | $S_p$ | $B_p$ | $F_p$ |
| $y$ (Ярмо) | Литая сталь | $l_y$ | $S_y$ | $B_y$ | $F_y$ |
6. Заключение: Интегрированный алгоритм выполнения курсовой работы
Для обеспечения технической точности и полноты курсового проекта, студент должен строго следовать интегрированной пошаговой последовательности, гарантирующей корректный поверочный расчет магнитной цепи МПТ на холостом ходу. Следуя этому алгоритму, вы минимизируете риск критических ошибок, связанных с нелинейностью ферромагнитных участков.
Пошаговый алгоритм поверочного расчета:
- Сбор и проверка исходных данных: Фиксация конструктивных и обмоточных данных ($E_a, n, p, N, a$) и геометрических размеров машины.
- Расчет основного магнитного потока $\Phi$: Определение конструктивной постоянной $C_E$ и вычисление требуемого потока $\Phi$ по формуле $E_a / (C_E \cdot n)$.
- Учет рассеяния и индукции: Выбор коэффициента рассеяния $k_{\sigma}$ и расчет потока полюса $\Phi_p = k_{\sigma} \cdot \Phi$. Расчет магнитных индукций $B_x$ для всех пяти участков, с обязательной проверкой соответствия типовым диапазонам (особенно $B_z$).
- Расчет НС воздушного зазора $F_{\delta}$: Определение коэффициента Картера $k_{\delta}$, расчет эквивалентной длины зазора $\delta_{\text{расч}}$ и вычисление $F_{\delta} = (B_{\delta} / \mu_0) \cdot \delta_{\text{расч}}$.
- Расчет НС ферромагнитных участков $F_x$: Определение напряженностей $H_x$ по рассчитанным $B_x$ с использованием соответствующих кривых намагничивания для марок стали. Вычисление $F_x = H_x \cdot l_x$.
- Суммирование и анализ насыщения: Вычисление полной НС цепи $F_{\text{цепи}} = \Sigma F_x$. Расчет коэффициента насыщения $k_{\mu} = F_{\text{цепи}} / F_{\delta}$ и его анализ.
- Построение характеристики ХХ: Повторение шагов 2–6 для 4–5 значений потока ($\Phi_i$). Трансформация кривой $\Phi = f(F_{\text{цепи}})$ в характеристику $E_0 = f(I_{\text{в}})$.
- Графическое оформление: Создание стандартизированного эскиза магнитной цепи для одной пары полюсов с обозначением всех $l_x$ и $B_x$.
Список использованной литературы
- Беляев Е.Ф. Расчет и проектирование электрических машин постоянного тока малой мощности: Учебно-метод. пособие по курсовому проектированию. Пермь: Перм. гос. техн. ун-т, 2000.
- Брускин Д.Е., Зорохович А.Е., Хвостов В.С. Электрические машины. Москва: Высшая школа, 1979.
- Кислицын А.Л. Электрические машины постоянного тока: учебное пособие. Ульяновск: УлГТУ, 2005.
- Токарев Б.Ф. Электрические машины: Учебн. пособие. Москва: Энергоатомиздат, 1990.
- Магнитная цепь и ее расчет. URL: https://mpei.ac.ru/portal/io/elibrary/Electr%20Mash_4.pdf (дата обращения: 25.10.2025).
- ОП.03 Основы электротехники. URL: https://astu.org/contents/item/24430 (дата обращения: 25.10.2025).
- Определение характеристики холостого хода для синхронных машин и маш. URL: https://urfu.ru/fileadmin/user_upload/site_2803/electromash/article/EM_1_2016_2.pdf (дата обращения: 25.10.2025).
- Магнитная цепь машины постоянного тока. URL: https://el-dvizhok.ru/magnitnaya-tsep-mashiny-postoyannogo-toka/ (дата обращения: 25.10.2025).
- 6.1. Генератор с независимым возбуждением. URL: https://servomotors.ru/glava-6-generator-s-nezavisimym-vozbu (дата обращения: 25.10.2025).
- Характеристики генераторов — Принцип действия. URL: https://principact.ru/harakteristiki-generatorov/ (дата обращения: 25.10.2025).