Расчет поляризационных характеристик оптических резонаторов: Детальное руководство для курсовой работы

В мире лазерной физики и оптоэлектроники, где точность и контроль параметров излучения определяют эффективность и спектр применения устройств, вопрос поляризации занимает центральное место. Бездумное игнорирование поляризационных характеристик оптических резонаторов сродни строительству дома без фундамента – конструкция будет нестабильной и не сможет выполнять свои функции в полном объеме. Именно поэтому, в условиях постоянно растущих требований к лазерным системам – будь то сверхмощные технологические установки, прецизионные измерительные комплексы или передовые нанофотонные устройства – глубокое понимание и точный расчет поляризационных характеристик становятся не просто желательными, а жизненно необходимыми.

Настоящая курсовая работа ставит своей целью разработку комплексной методологии для сбора и систематизации информации, а также последующего глубокого академического исследования и расчетов поляризационных характеристик оптических резонаторов. Для достижения этой цели были сформулированы следующие задачи:

1. Определить и классифицировать оптические резонаторы, а также дать всестороннее описание природы и видов поляризации света, представив необходимый математический аппарат.
2. Изложить принципы матричного метода Джонса для анализа анизотропных оптических систем, подробно описать процедуру нахождения собственных поляризаций и собственных значений, а также их физический смысл и связь с добротностью и потерями резонатора.
3. Представить современные методы расчета добротности, сфокусировавшись на учете поляризационных эффектов и специфических конфигураций резонаторов.
4. Продемонстрировать применение теоретических подходов на конкретных численных примерах и предложить рекомендации по интерпретации полученных данных.
5. Рассмотреть широкий спектр практических приложений, где поляризация лазерного излучения играет ключевую роль, а также очертить современные тенденции и перспективные направления исследований.

Структура данной работы призвана обеспечить логичное и последовательное изложение материала, начиная с фундаментальных понятий и заканчивая сложными методологиями расчетов и практическими приложениями. Это позволит читателю, будь то студент технического или физического вуза, получить исчерпывающее понимание данной темы и использовать представленные материалы как надежную базу для дальнейших научных изысканий.

Основы оптических резонаторов и поляризации света

Прежде чем углубляться в тонкости поляризационных расчетов, необходимо заложить прочный фундамент понимания двух ключевых концепций: что такое оптический резонатор и как описывается поляризация света. Эти две сущности тесно переплетены, поскольку именно в оптическом резонаторе свет взаимодействует с различными элементами, изменяя и формируя свои поляризационные свойства.

Оптические резонаторы: определение, типы и основные характеристики

В сердце любого лазера бьется оптический резонатор — хитроумное инженерное творение, состоящее из нескольких отражающих оптических элементов. Его основная задача — создать условия для многократного прохождения излучения через активную среду, обеспечивая тем самым положительную обратную связь, необходимую для усиления света и генерации мощного лазерного пучка. Без резонатора активная среда лишь спонтанно излучала бы свет, но не генерировала бы когерентное лазерное излучение.

Принципиальное отличие оптических резонаторов от их радиочастотных аналогов заключается в их размерах. Для длин волн менее 0,1 см, использование объемных резонаторов, соизмеримых с длиной волны, сталкивается с технологическими трудностями и приводит к высоким потерям энергии. Поэтому в оптическом диапазоне преобладают открытые резонаторы с разреженным спектром собственных колебаний. Внутри такого резонатора свет многократно отражается, формируя стоячие волны с дискретными резонансными частотами. Эти стоячие волны представляют собой моды резонатора:

• Продольные моды (или аксиальные моды) различаются только своей частотой, которая определяется количеством полуволн, укладывающихся между зеркалами.
• Поперечные моды характеризуются различным распределением интенсивности светового поля в сечении пучка.

Основные параметры, определяющие геометрию и свойства оптического резонатора, включают:

• Радиусы кривизны отражающих поверхностей R₁ и R₂.
• Расстояние L между зеркалами.
• Диаметр апертурной диафрагмы D, которая ограничивает поперечные размеры пучка и отсекает высокопорядковые моды.

Классификация двухзеркальных резонаторов по их геометрии включает несколько основных типов, каждый из которых обладает своими уникальными характеристиками и областями применения:

1. Плоскопараллельный резонатор (Фабри-Перо): Состоит из двух плоских параллельных зеркал. Исторически один из первых типов, однако в больших лазерах его применяют редко из-за крайней сложности юстировки, ведь необходимость выравнивания зеркал с точностью до угловых секунд, чтобы пучок не «уходил» на боковые стенки, делает его капризным. Тем не менее, в современных технологиях он переживает возрождение: его широко применяют в микрочипах, оптических микрорезонаторах, полупроводниковых лазерах (где резонатор часто формируется за счет отшлифованных граней самого кристалла), а также в волоконных микрорезонаторах с наноразмерной диафрагмой для ближнепольной оптической микроскопии. В коротких резонаторах (L < 1 см) проблема юстировки значительно ослабевает.
2. Концентрический резонатор: Образован двумя сферическими зеркалами с одинаковыми радиусами кривизны R, расположенными так, что их центры кривизны совпадают (L = 2R).
3. Конфокальный резонатор: Состоит из двух сферических зеркал с радиусами кривизны R и длиной L = R, при этом их фокусы совмещены. Этот тип резонатора часто используется в экспериментальных установках из-за его хорошей устойчивости и относительно простых условий юстировки.
4. Полуконфокальный и полусферический резонаторы: Являются модификациями конфокального и концентрического, где одно из зеркал заменено на плоское.
5. Вогнуто-выпуклый резонатор: Имеет одно выпуклое зеркало (с отрицательным радиусом кривизны) и одно вогнутое. Отсутствие фокальной точки внутри резонатора делает его идеальным выбором для наиболее мощных лазеров, так как высокая интенсивность света не повреждает активную среду. Такие неустойчивые резонаторы, часто имеющие вогнуто-выпуклую конфигурацию, обеспечивают высокую лучевую стойкость и хорошо компенсируют большие дифракционные потери за счет высокого усиления активной среды. Например, телескопический конфокальный неустойчивый резонатор может формировать параллельный выходной пучок.

Важной характеристикой является устойчивость резонатора. Резонатор считается устойчивым, если световой луч при многократных отражениях остается внутри пространства между зеркалами. В противном случае, если его отклонение от оси постоянно увеличивается, резонатор называется неустойчивым.

Отдельно стоит упомянуть кольцевые резонаторы, в том числе волоконные. Они находят применение в различных лазерных системах, включая твердотельные и полупроводниковые лазеры. В волоконных лазерах это замкнутое в кольцо оптическое волокно с WDM-ответвителями для ввода накачки и вывода излучения. Полупроводниковые кольцевые лазеры используются в оптических линиях связи, устройствах полностью оптической обработки информации и для исследования квантовых блужданий.

Наконец, ключевым параметром, характеризующим качество резонатора, является его добротность (Q-фактор). Она показывает, сколько раз световой пучок отразится внутри резонатора с минимальным затуханием. Высокая добротность приводит к чрезвычайно узкой спектральной линии лазера по сравнению с его центральной частотой, что критически важно для многих высокоточных приложений. В конечном итоге, оптические резонаторы не только формируют спектральный и модовый состав лазерного излучения, но и существенно влияют на его направленность и поляризацию, что является предметом нашего детального изучения.

Теоретические подходы к описанию поляризации света

Поляризация света — это не просто абстрактное свойство; это фундаментальная характеристика поперечных электромагнитных волн, которая описывает пространственную ориентацию вектора напряженности электрического поля (E) в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Хотя в электромагнитной волне векторы E и H (напряженность магнитного поля) оба колеблются перпендикулярно направлению распространения и взаимно перпендикулярны, именно вектор электрического поля E считается главным «действующим лицом» при анализе поляризации. Это обусловлено тем, что большинство взаимодействий света с веществом, включая поглощение, отражение, рассеяние и преломление, в первую очередь зависят от электрических колебаний.

Интересно, что излучение, испускаемое отдельным элементарным излучателем, всегда полностью поляризовано. Однако макроскопические источники света, такие как Солнце или обычные лампы накаливания, излучают неполяризованный свет. Это происходит из-за того, что их излучение является суммой множества некогерентных волн от огромного числа элементарных излучателей, ориентированных хаотически.

Существуют различные виды поляризации света, которые можно классифицировать следующим образом:

1. Линейная (плоскополяризованная) поляризация: В этом случае конец вектора E колеблется вдоль прямой линии в одной постоянной плоскости. Это самый простой и легко визуализируемый вид поляризации.
2. Круговая (циркулярная) поляризация: Конец вектора амплитуды E описывает окружность в плоскости колебаний. Различают правую и левую круговую поляризацию в зависимости от направления вращения вектора при взгляде навстречу распространению волны.
3. Эллиптическая поляризация: Это наиболее общий случай, когда конец вектора E описывает эллипс в плоскости колебаний. Линейная и круговая поляризации являются частными случаями эллиптической.
4. Частично поляризованный свет: Можно представить как суперпозицию полностью поляризованного и естественного (неполяризованного) света.
5. Неполяризованный (естественный) свет: Характеризуется хаотическими, быстро меняющимися колебаниями вектора E во всех возможных направлениях в плоскости, перпендикулярной направлению распространения.

Для количественного описания и анализа поляризации света разработан мощный математический аппарат:

• Векторы Джонса: Это двухкомпонентные комплексные векторы, используемые для описания полностью поляризованного света, распространяющегося в однородной изотропной среде без поглощения. Они представляют собой проекции вектора напряженности электрического поля на две ортогональные оси (например, x и y). Компоненты вектора Джонса содержат информацию как об амплитудах, так и о фазах составляющих вектора E. Например, линейно поляризованный свет, ориентированный под углом θ к оси x, может быть описан как
  

  ⎛ E_x ⎞

  ⎜ ⎝

  ⎜ E_y ⎝

  ⎞

  
  =
  

  ⎛ E₀ cos θ ⎞

  ⎜ ⎝

  ⎜ E₀ sin θ ⎝

  ⎞

  
  , а правополяризованный круговой свет как
  

  ⎛ E₀ ⎞

  ⎜ ⎝

  ⎜ iE₀ ⎝

  ⎞

  
  .

• Матрицы Джонса: Это квадратные матрицы 2×2, которые используются для описания преобразований полностью поляризованного света при прохождении через линейные оптические элементы, такие как поляризаторы, фазовые пластинки, вращатели поляризации. Если свет с вектором Джонса J_вх проходит через оптический элемент, описываемый матрицей M, то вектор поляризации на выходе J_вых будет равен M · J_вх. Последовательное действие нескольких элементов описывается произведением их матриц Джонса: J_вых = M_n · … · M₂ · M₁ · J_вх.
• Векторы Стокса: Это четырехкомпонентные векторы, которые обладают большей универсальностью, чем векторы Джонса. Они могут описывать любое состояние поляризации света: полностью поляризованный, частично поляризованный и неполяризованный. Вектор Стокса S = (S₀, S₁, S₂, S₃)^T, где S₀ представляет полную интенсивность света, а S₁, S₂, S₃ — информацию о поляризации.
• Матрицы Мюллера: Это квадратные матрицы 4×4, которые связывают вектор Стокса света, прошедшего через оптический элемент, с вектором Стокса исходного пучка. Если S_вх — вектор Стокса входящего света, а S_вых — выходящего, то S_вых = M · S_вх. Метод Мюллера особенно ценен тем, что он способен описывать воздействие деполяризующих систем и рассеяния света, что недоступно для матриц Джонса.

Понимание этих теоретических инструментов критически важно для анализа поляризационных характеристик оптических резонаторов, особенно когда в их состав входят анизотропные элементы, которые активно преобразуют состояние поляризации проходящего света.

Методология определения собственных поляризаций и собственных значений в анизотропных резонаторах

Изучение поляризационных характеристик излучения лазеров, особенно тех, что включают в себя анизотропные фазовые элементы в резонаторах, представляет собой значительный научный интерес. Именно здесь кроется ключ к глубокому пониманию работы многих современных оптических систем.

Анизотропия в оптических резонаторах: источники и проявления

В идеальном мире оптический резонатор был бы полностью изотропен, и свет внутри него сохранял бы свою поляризацию, лишь усиляясь и отражаясь. Однако реальный мир оптики гораздо сложнее. Анизотропия, то есть зависимость оптических свойств от направления, является неотъемлемой частью многих оптических систем и может возникать по целому ряду причин:

1. Накачка активной среды: Во многих лазерах активная среда возбуждается внешним источником накачки, который часто имеет определенную поляризацию. Например, линейно поляризованное излучение полупроводникового лазера, используемое для накачки твердотельного кристалла, может наводить в нем анизотропию усиления. Это означает, что усиление для одной поляризационной компоненты света будет отличаться от усиления для другой, что приводит к формированию определенной поляризации выходного излучения.
2. Внешние магнитные поля: Приложение внешнего магнитного поля к оптически активному материалу (например, в эффекте Фарадея) может вызвать циркулярное двулучепреломление, то есть различие в показателях преломления для право- и левоциркулярно поляризованного света. Это приводит к вращению плоскости поляризации линейно поляризованного света, проходящего через такой материал.
3. Остаточное двулучепреломление в кристаллах: Даже без внешних воздействий многие оптические кристаллы могут обладать собственным, присущим им двулучепреломлением (например, кальцит, кварц). Более того, внутренние напряжения, возникающие в кристалле в процессе его роста или обработки, могут наводить остаточное двулучепреломление. Это приводит к появлению двух различных показателей преломления для света, поляризованного по двум ортогональным направлениям. Такие напряжения могут быть обусловлены температурными градиентами, механическими деформациями или структурными неоднородностями. Наличие остаточного двулучепреломления является важной причиной анизотропии внутри резонатора и, как следствие, может приводить к неортогональности собственных состояний поляризации [Мамаев и Хандохин, Квантовая электроника, 2006]. Это означает, что привычное деление на два ортогональных состояния поляризации (например, горизонтальное и вертикальное) может стать неточным или вообще неприменимым.

Проявления анизотропии в резонаторе могут быть весьма разнообразными. Например, в резонаторе, содержащем равномерно вращающуюся фазовую пластинку, собственные состояния поляризации излучения будут иметь эллиптическую поляризацию. При этом, что особенно интересно, эллиптичность излучения, выходящего через разные зеркала резонатора, может отличаться. Главные оси этих эллипсов поляризации будут равномерно вращаться с частотой вращения фазовой пластинки, создавая динамическую поляризационную картину.

Понимание и учет этих источников и проявлений анизотропии критически важны для точного расчета поляризационных характеристик оптических резонаторов, поскольку они напрямую определяют собственные поляризации и собственные значения системы.

Применение матричного метода Джонса для анизотропных систем

Матричный метод Джонса является одним из наиболее элегантных и мощных инструментов для анализа распространения полностью поляризованного света через линейные оптические системы, особенно когда речь идет об анизотропных элементах. Его простота и наглядность позволяют пошагово отслеживать изменения поляризации.

Процедура нахождения собственных поляризаций и собственных значений:

Представим оптический резонатор как последовательность оптических элементов, через которые свет проходит за один круговой обход. Каждый такой элемент (зеркало, фазовая пластинка, поляризатор, активная среда с анизотропией) может быть описан своей матрицей Джонса (M_i). Для анализа всего резонатора мы формируем матрицу кругового прохода (M_R), которая является произведением матриц Джонса всех элементов в порядке их следования:

M_R = M_n · … · M₂ · M₁

Теперь, если свет с вектором поляризации J_вх совершает один круговой проход, то его поляризация на выходе будет J_вых = M_R · J_вх. Собственные поляризации резонатора — это те состояния поляризации, которые воспроизводятся после каждого кругового прохода, изменяясь лишь на комплексный множитель λ (собственное значение). Это условие выражается как уравнение на собственные значения:

M_R · J = λ · J

Где:

• M_R — матрица кругового прохода резонатора (матрица Джонса 2×2).
• J — собственный вектор Джонса, представляющий собственную поляризацию резонатора.
• λ — собственное значение (комплексное число).

Для нахождения собственных векторов и значений необходимо решить характеристическое уравнение:

det(M_R — λI) = 0

Где I — единичная матрица 2×2. Это уравнение приводит к квадратному уравнению относительно λ, которое, как правило, имеет два решения — λ₁ и λ₂. Для каждого собственного значения λ_k можно найти соответствующий собственный вектор J_k, который и будет являться собственной поляризацией.

Физический смысл собственных векторов и значений:

• Собственные векторы Джонса определяют собственные поляризации оптической системы. Если поляризация падающей волны совпадает с одной из этих собственных поляризаций, то на выходе системы (после одного кругового прохода) наблюдается волна с тем же эллипсом поляризации, но с измененной полной комплексной амплитудой. Это означает, что форма и ориентация эллипса поляризации сохраняются, но интенсивность и фаза света могут измениться.
• Собственные значения λ являются комплексными коэффициентами прохождения (или усиления/потерь) для соответствующих собственных поляризаций. Модуль собственного значения |λ| показывает, во сколько раз изменяется амплитуда электрического поля за один круговой проход. Если |λ| > 1, происходит усиление; если |λ| < 1, происходят потери; если |λ| = 1, амплитуда сохраняется. Фаза собственного значения arg(λ) определяет фазовый сдвиг, приобретаемый волной за один круговой проход.

Оптическая система, описываемая невырожденной матрицей Джонса, обладает двумя ортогональными собственными поляризациями. В резонаторе Фабри-Перо, при условии отсутствия анизотропных элементов, условия резонанса требуют формирования стоячих волн, что обеспечивает ортогональность различных продольных мод.

Допущения матричного метода:

При использовании матричного метода Джонса для расчета собственных поляризаций часто применяются следующие приближения:

1. Пренебрежение дифракцией: Предполагается, что световой пучок идеально коллимирован и не расходится. В параксиальном приближении дифракционные эффекты считаются малыми. Однако в действительности края зеркал могут искажать поле, приводя к появлению колебаний с различными поперечными индексами. Строгий учет дифракции значительно усложнил бы расчеты, делая их возможными только численно.
2. Пренебрежение зависимостью параметров резонатора от поперечных координат: Предполагается, что оптические свойства элементов (например, толщина фазовой пластинки или показатель преломления активной среды) равномерны по всему сечению пучка.
3. Пренебрежение частотной дисперсией: Предполагается, что оптические свойства элементов не зависят от частоты света в рассматриваемом диапазоне. Это оправдано для узкополосных лазеров.

Эти допущения упрощают задачу, делая ее аналитически разрешимой, но важно помнить о пределах их применимости и о возможных погрешностях, которые они могут вносить в реальные расчеты.

Физический смысл собственных значений и их связь с добротностью и потерями резонатора

Собственные значения, полученные в результате анализа матрицы кругового прохода резонатора, не просто абстрактные математические коэффициенты. Они несут в себе глубокий физический смысл, напрямую связанный с энергетикой резонатора, его потерями и такой фундаментальной характеристикой, как добротность. Какая же практическая выгода следует из их изучения?

Собственные значения как коэффициенты прохождения/усиления:

Каждое собственное значение λ_k для соответствующей собственной поляризации J_k, по сути, является комплексным коэффициентом, который описывает, как изменяется амплитуда и фаза этой поляризационной моды за один полный круговой проход по резонатору.

• Модуль собственного значения |λ_k|: Если |λ_k| > 1, это означает, что амплитуда соответствующей поляризационной моды увеличивается за один проход, то есть происходит усиление. Это возможно только при наличии активной среды. Если |λ_k| < 1, амплитуда уменьшается, что соответствует потерям. Если |λ_k| = 1, амплитуда сохраняется.
• Фаза собственного значения arg(λ_k): Определяет фазовый сдвиг, который приобретает волна данной поляризации за один круговой проход. Для выполнения условий резонанса (формирования стоячей волны) этот фазовый сдвиг должен быть кратен 2π.

Таким образом, собственные значения позволяют количественно оценить потери (или усиление) для каждой из собственных поляризаций в резонаторе.

Связь с добротностью (Q-фактором) резонатора:

Добротность Q-фактор является важнейшей характеристикой оптического резонатора, которая количественно описывает его способность накапливать и сохранять электромагнитную энергию. Высокая добротность означает, что световой пучок будет отражаться очень большое число раз с минимальным затуханием, а энергия будет оставаться в резонаторе долгое время. Это приводит к очень узкой спектральной линии лазера по сравнению с его центральной частотой, что критично для высокостабильных и высокоразрешающих лазерных систем.

Добротность резонатора Q может быть определена несколькими эквивалентными способами, особенно при условии высоких значений добротности:

1. Через запасенную энергию и потери:
   Q = 2π ⋅ (Запасенная энергия) / (Энергия, теряемая за один период колебаний)
   Это определение подчеркивает способность резонатора «удерживать» энергию.
2. Через резонансную частоту и ширину полосы пропускания:
   Q = ν₀ / Δν
   Где ν₀ — резонансная частота, а Δν — ширина полосы пропускания резонатора на половине максимальной интенсивности (ширина на полувысоте). Это определение связывает добротность со спектральными характеристиками резонатора.
3. Через время жизни фотона в резонаторе:
   Q = 2πν₀ ⋅ τ_ф
   Где τ_ф — среднее время жизни фотона в резонаторе. Чем дольше фотон «живет» в резонаторе, тем выше его добротность.

Как собственные значения связаны с Q?

Потери в резонаторе P (в долях от падающей энергии за один проход) напрямую связаны с модулем собственного значения:

P = 1 — |λ_k|²

Это соотношение показывает, что чем ближе модуль собственного значения к единице, тем меньше потери и, соответственно, выше добротность. Для резонатора, где основными потерями являются потери на зеркалах (коэффициент отражения R), потери на дифракцию и потери на поглощение/рассеяние в элементах, общие потери за один проход определяются как:

P_общ = 1 — R₁R₂ — P_дифр — P_погл

В отсутствие активной среды, когда нет усиления, |λ_k| будет меньше единицы. Тогда добротность можно приближенно выразить через потери за один проход:

Q ≈ 2πL / (λ₀ ⋅ P_общ)

Где L — оптическая длина резонатора, λ₀ — длина волны света. Отсюда видно, что чем меньше потери P_общ, тем выше добротность Q.

Потери и моды резонатора:

Важно отметить, что потери в резонаторе не одинаковы для всех мод. Они увеличиваются с ростом индексов m и n (поперечных мод). Это обусловлено излучением в пространство вследствие дифракции света на краях зеркал. Более высокие поперечные моды имеют более широкое распределение интенсивности, что приводит к большей части их энергии, выходящей за пределы апертуры резонатора. Таким образом, для каждого собственного состояния поляризации и каждой поперечной моды будет свое собственное значение λ_k,m,n и соответствующая добротность Q_k,m,n.

Собственные частоты резонатора образуют эквидистантный спектр (арифметическую прогрессию) с разностью Δν = c/(2L), где c — скорость света, L — оптическая длина резонатора. Резонансные частоты ν_q определяются как:

ν_q = q ⋅ (c / (2L))

Где q — целое число, представляющее число полуволн, укладывающихся между зеркалами. Каждое собственное значение λ_k также может быть связано с этой резонансной частотой через его фазу.

Таким образом, анализ собственных значений матрицы Джонса позволяет не только определить, какие поляризации являются «собственными» для резонатора, но и количественно оценить их потери, напрямую связав эти параметры с добротностью резонатора и, как следствие, с шириной спектральной линии генерируемого лазерного излучения.

Методы расчета добротности оптических резонаторов с учетом поляризационных эффектов

Расчет добротности оптических резонаторов, особенно с учетом поляризационных эффектов, требует применения специализированных методов, которые позволяют учесть сложные взаимодействия света с анизотропными элементами.

Расчет добротности на основе матричного подхода

Матричный метод, будь то Джонса или Мюллера, является краеугольным камнем в анализе поляризационных эффектов в оптических резонаторах и, как следствие, в расчете их добротности.

Метод Джонса для полностью поляризованного света:

Как уже обсуждалось, матрица Джонса кругового прохода (M_R) резонатора позволяет найти собственные поляризации и соответствующие им собственные значения λ_k. Модуль каждого собственного значения |λ_k| напрямую связан с потерями для данной поляризационной моды. Если предположить, что в резонаторе нет усиления (например, активная среда отсутствует или ее усиление компенсируется потерями, но не доминирует), то потери P_k за один проход для k-й поляризационной моды можно выразить как:

P_k = 1 — |λ_k|²

После того как потери за один проход P_k определены, добротность Q_k для этой поляризационной моды может быть рассчитана по формуле, связывающей потери с добротностью:

Q_k ≈ 2π ⋅ L_опт / (λ₀ ⋅ P_k)

Где L_опт — оптическая длина резонатора, а λ₀ — длина волны света. Это соотношение показывает, что чем меньше потери для конкретной поляризации, тем выше ее добротность.
Матричный метод Джонса применяется для описания полностью поляризованного света и его преобразований линейными оптическими элементами, такими как идеальные поляризаторы, фазовые пластинки (например, четвертьволновые или полуволновые), а также при анализе магнитооптических эффектов в датчиках тока [Евстафьев и Ураксеев, КиберЛенинка].

Метод Мюллера для любого состояния поляризации:

Метод Мюллера более универсален, поскольку он позволяет описывать любое состояние поляризации, включая неполяризованный и частично поляризованный свет, а также воздействие деполяризующих оптических систем и рассеяния света [Физическая энциклопедия, Теоретическая и математическая физика, 2015]. Матрицы Мюллера (размером 4×4) связывают вектор Стокса входящего света с вектором Стокса выходящего света.

Для расчета добротности в резонаторах с деполяризующими элементами или для анализа генерации частично поляризованного света, метод Мюллера становится незаменимым. Аналогично методу Джонса, можно составить матрицу кругового прохода резонатора в формализме Мюллера. Однако нахождение «собственных состояний» в формализме Мюллера является более сложной задачей, поскольку векторы Стокса не подчиняются простому масштабированию, как векторы Джонса. Тем не менее, параметры Стокса используются для описания поляризационного состояния света, а матрицы Мюллера описывают их преобразование при прохождении через оптический элемент. Для расчета потерь можно отслеживать изменение первого компонента вектора Стокса (S₀), который представляет полную интенсивность.

Применение в анализе оптических элементов:
Методы Джонса и Мюллера являются эффективными инструментами для определения влияния различных поляризаторов и фазовых пластинок на проходящий через них световой пучок. Например, для четвертьволновой пластинки, расположенной под углом θ к оси x, матрица Джонса имеет вид:

J_λ/4(θ) = ⎛ cos² θ + i sin² θ (1-i) sin θ cos θ ⎞

⎜ ⎝

⎜ (1-i) sin θ cos θ sin² θ + i cos² θ ⎝

⎞

Анализируя такие матрицы и их комбинации, можно точно предсказать поляризационное состояние света после прохождения через резонатор и, соответственно, оценить потери и добротность для различных поляризаций.

Специфические методы для микрорезонаторов и моды шепчущей галереи

Микрорезонаторы, особенно те, что поддерживают моды шепчущей галереи (МШГ), представляют собой отдельный класс оптических устройств, требующих специфических методов расчета добротности. МШГ характеризуются тем, что свет многократно отражается от внутренней поверхности резонатора под пологим углом, как звуковые волны в галерее собора, сохраняя высокую добротность даже при малых размерах резонатора.

Строгие теории мод:

Для тел с высокой степенью симметрии, таких как цилиндрические или сферические микрорезонаторы, существуют строгие аналитические теории, позволяющие точно рассчитать моды и их добротность. Эти теории основываются на решении уравнений Максвелла с соответствующими граничными условиями. Например, для сферических резонаторов используются решения в виде сферических функций Бесселя и Ханкеля. Такие строгие решения позволяют определить спектр собственных частот, пространственную структуру мод и их радиальные и азимуальные профили.

Методы приближенного рассмотрения мод в произвольных телах вращения:

Когда геометрия микрорезонатора отклоняется от идеальной цилиндрической или сферической симметрии, строгие аналитические решения становятся чрезвычайно сложными или невозможными. В таких случаях применяются приближенные методы, такие как:

• Метод возмущений: Если форма резонатора незначительно отличается от идеальной, можно использовать теорию возмущений для модификации известных решений для симметричных тел.
• Метод квазиклассического приближения (WKB-метод): Этот метод хорошо подходит для описания МШГ, где лучи света движутся по замкнутым траекториям вблизи поверхности. Он позволяет оценить параметры мод и их потери, связывая волновые явления с геометрической оптикой.
• Численные методы: Для сложных геометрий, а также для учета всех поляризационных эффектов и потерь, активно используются численные методы, такие как:
  • Метод конечных элементов (FEM).
  • Метод конечных разностей во временной области (FDTD).
  • Метод граничных элементов (BEM).

  Эти методы позволяют моделировать распространение света в резонаторе, определять структуру мод, их частоты и, самое главное, потери, из которых затем рассчитывается добротность.

Восстановление амплитудно-фазового профиля пучка:

Разработанные теории и численные методы позволяют не только рассчитать добротность, но и восстанавливать амплитудно-фазовый профиль пучка внутри резонатора, исходя из структуры лучевых пакетов. Это критически важно для полного понимания того, как свет распределен внутри резонатора, как он взаимодействует с активной средой и как формируются его поляризационные характеристики. Понимание амплитудно-фазового профиля особенно актуально для микрорезонаторов, где тонкие эффекты на границах раздела сред и в наноструктурах оказывают значительное влияние на свойства мод. [Городецкий, МГУ, 2010].

Сочетание матричного подхода для учета поляризационных эффектов и специализированных методов для анализа мод в микрорезонаторах обеспечивает полную картину и позволяет проводить точные расчеты добротности даже для самых сложных оптических систем.

Примеры численных расчетов и интерпретация результатов

Теоретические выкладки, хотя и являются фундаментом, обретают истинную ценность лишь при их практическом применении. В этом разделе мы рассмотрим модельные примеры численных расчетов поляризационных характеристик оптических резонаторов, а также дадим рекомендации по интерпретации полученных данных.

Пример 1: Расчет собственных поляризаций и потерь в резонаторе с фазовой пластинкой

Рассмотрим простой оптический резонатор Фабри-Перо, состоящий из двух идеальных зеркал с коэффициентами отражения R₁ и R₂. Внутри резонатора расположена четвертьволновая пластинка (λ/4), ось которой повернута на угол θ относительно оси x.

Исходные данные:

• Зеркало 1: Коэффициент отражения R₁ = 0.99 (потери 1%)
• Зеркало 2: Коэффициент отражения R₂ = 0.98 (потери 2%)
• Четвертьволновая пластинка: Ось ориентирована под углом θ = 45° к оси x.

Матрицы Джонса:

1. Матрица идеального зеркала: В общем случае, для простоты, будем считать, что отражение не изменяет поляризацию, и оно имеет потери. Тогда матрица для зеркала с коэффициентом отражения R (по амплитуде √R) может быть представлена как:
   

   J_{зеркало} = ⎛ √R 0 ⎞

   ⎜ ⎝

   ⎜ 0 √R ⎝

   ⎞

   Для упрощения расчетов в резонаторе будем учитывать потери при проходе, а зеркала считать просто фазовыми отражателями. Учет потерь сделаем через собственные значения.

2. Матрица четвертьволновой пластинки (фазовая задержка π/2):
   

   J_λ/4(θ) = ⎛ cos² θ + i sin² θ (1-i) sin θ cos θ ⎞

   ⎜ ⎝

   ⎜ (1-i) sin θ cos θ sin² θ + i cos² θ ⎝

   ⎞

   Для θ = 45° (cos 45° = sin 45° = 1/√2):
   cos² 45° = 1/2, sin² 45° = 1/2
   sin 45° cos 45° = 1/2

   J_λ/4(45°) = ⎛ 1/2 + i/2 (1-i)/2 ⎞

   ⎜ ⎝

   ⎜ (1-i)/2 1/2 + i/2 ⎝

   ⎞

   
   =
   

   ⎼ 1+i 1-i ⎽

   ⎾ ⎿

   ⎽ 1-i 1+i ⎾

   ⏁

Матрица кругового прохода резонатора:

Свет проходит через пластинку, отражается от зеркала 2, снова проходит через пластинку, отражается от зеркала 1. Для упрощения, будем считать, что потери на зеркалах учтены в общем коэффициенте прохода. Матрица кругового прохода будет:

M_R = J_λ/4(45°) · J_{зеркало2} · J_λ/4(45°) · J_{зеркало1}

Если мы пренебрежем поляризационным влиянием зеркал, считая их просто элементами с потерями, то эффект на поляризацию будет определяться только четвертьволновой пластинкой, через которую свет проходит дважды. Для одного прохода:
J_проход = J_λ/4(45°)

Для двух проходов (туда и обратно):
J_{2прохода} = J_λ/4(45°) · J_λ/4(45°) =

(⎼ 1+i 1-i ⎽

⎾ ⎿

⎽ 1-i 1+i ⎾

⏁

)²

J_{2прохода} =

⎼ (1+i)² + (1-i)² (1+i)(1-i) + (1-i)(1+i) ⎽

⎾ ⎿

⎽ (1-i)(1+i) + (1+i)(1-i) (1-i)² + (1+i)² ⎾

⏁

(1+i)² = 1 + 2i — 1 = 2i
(1-i)² = 1 — 2i — 1 = -2i
(1+i)(1-i) = 1 — i² = 1+1 = 2

J_{2прохода} =

⎼ 2i - 2i 2+2 ⎽

⎾ ⎿

⎽ 2+2 -2i + 2i ⎾

⏁

=

⎼ 0 4 ⎽

⎾ ⎿

⎽ 4 0 ⎾

⏁

=

⎼ 0 1 ⎽

⎾ ⎿

⎽ 1 0 ⎾

⏁

Эта матрица соответствует повороту плоскости поляризации на 90 градусов.

Теперь учтем потери на зеркалах. Пусть потери за один круговой проход (без учета пластинки) будут K = √(R₁ ⋅ R₂) = √(0.99 ⋅ 0.98) ≈ 0.985.
Тогда матрица кругового прохода будет:
M_R = K ·

⎼ 0 1 ⎽

⎾ ⎿

⎽ 1 0 ⎾

⏁

=

⎼ 0 K ⎽

⎾ ⎿

⎽ K 0 ⎾

⏁

Нахождение собственных значений и собственных поляризаций:
det(M_R — λI) = det

⎼ -λ K ⎽

⎾ ⎿

⎽ K -λ ⎾

⏁

= λ² — K² = 0
λ = ±K

Собственные значения:
λ₁ = K ≈ 0.985
λ₂ = -K ≈ -0.985

Для λ₁ = K:

⎼ -K K ⎽

⎾ ⎿

⎽ K -K ⎾

⏁

⎛ E_x ⎞

⎜ ⎝

⎜ E_y ⎝

⎞

=

⎛ 0 ⎞

⎜ ⎝

⎜ 0 ⎝

⎞

-K E_x + K E_y = 0 ⇒ E_x = E_y
Собственный вектор J₁ =

⎛ 1 ⎞

⎜ ⎝

⎜ 1 ⎝

⎞

(линейная поляризация под 45°)

Для λ₂ = -K:

⎼ K K ⎽

⎾ ⎿

⎽ K K ⎾

⏁

⎛ E_x ⎞

⎜ ⎝

⎜ E_y ⎝

⎞

=

⎛ 0 ⎞

⎜ ⎝

⎜ 0 ⎝

⎞

K E_x + K E_y = 0 ⇒ E_x = -E_y
Собственный вектор J₂ =

⎛ 1 ⎞

⎜ ⎝

⎜ -1 ⎝

⎞

(линейная поляризация под -45° или 135°)

Интерпретация:

• В данном резонаторе, содержащем четвертьволновую пластинку под 45°, существуют две собственные линейные поляризации: одна под 45° и одна под 135°.
• Для обеих поляризаций модуль собственного значения равен K ≈ 0.985. Это означает, что амплитуда света уменьшается в 0.985 раз за один круговой проход.
• Соответствующие потери за один проход для обеих поляризаций P = 1 — K² ≈ 1 — (0.985)² ≈ 1 — 0.97 = 0.03 (или 3%).
• Добротность для этих мод будет одинаковой, так как потери одинаковы. Фазовый сдвиг для λ₁ равен 0 (или 2πn), для λ₂ равен π (из-за отрицательного знака K).

Пример 2: Влияние анизотропии активной среды на добротность резонатора

Рассмотрим лазерный резонатор с активной средой, в которой наведена анизотропия усиления, например, за счет линейно поляризованной накачки. Предположим, что усиление для одной линейной поляризации (x) больше, чем для ортогональной (y).

Исходные данные:

• Коэффициент усиления по амплитуде для x-поляризации: g_x = 1.05 (усиление 5%)
• Коэффициент усиления по амплитуде для y-поляризации: g_y = 1.02 (усиление 2%)
• Общие потери за один круговой проход (без учета усиления активной среды, но с учетом зеркал, дифракции и т.д.): K = 0.97 (потери 3%)

Матрица кругового прохода:
Предположим, что анизотропия активной среды является доминирующей, и она ориентирована по осям x и y. Тогда матрица Джонса, описывающая проход через активную среду и потери, будет диагональной:

M_R =

⎼ g_x ⋅ K 0 ⎽

⎾ ⎿

⎽ 0 g_y ⋅ K ⎾

⏁

=

⎼ 1.05 ⋅ 0.97 0 ⎽

⎾ ⎿

⎽ 0 1.02 ⋅ 0.97 ⎾

⏁

M_R =

⎼ 1.0185 0 ⎽

⎾ ⎿

⎽ 0 0.9894 ⎾

⏁

Собственные значения и поляризации:
Поскольку матрица диагональная, собственные значения являются элементами на главной диагонали, а собственные поляризации — линейными по x и y.

λ₁ = 1.0185 (для x-поляризации)
λ₂ = 0.9894 (для y-поляризации)

Собственный вектор J₁ =

⎛ 1 ⎞

⎜ ⎝

⎜ 0 ⎝

⎞

(линейная поляризация по оси x)
Собственный вектор J₂ =

⎛ 0 ⎞

⎜ ⎝

⎜ 1 ⎝

⎞

(линейная поляризация по оси y)

Интерпретация:

• Резонатор имеет две собственные линейные поляризации: по оси x и по оси y.
• Для x-поляризации |λ₁| = 1.0185 > 1. Это означает, что за один проход по резонатору происходит усиление x-поляризованной компоненты. Эта поляризация будет доминировать в генерации лазера.
• Для y-поляризации |λ₂| = 0.9894 < 1. Это означает, что за один проход происходит ослабление y-поляризованной компоненты. Эта поляризация не будет генерироваться или будет сильно подавлена.
• Связь с добротностью (в условиях генерации): В лазере установится генерация по той моде, для которой коэффициент усиления превышает потери. В данном случае, x-поляризация имеет «эффективное усиление» более 1, что позволяет ей генерироваться. y-поляризация имеет «эффективные потери», то есть суммарное усиление меньше потерь, и она не будет генерироваться.
• Для расчета добротности в этом случае, учитывая, что λ описывает полный цикл усиления-потерь, можно говорить об эффективных потерях/усилении. Если бы мы рассматривали пассивный резонатор, то меньший модуль собственного значения соответствовал бы большим потерям и меньшей добротности. В активном резонаторе поляризация с большим λ будет иметь более высокую «эффективную добротность» в смысле поддержания генерации.

Интерпретация численных результатов

Полученные численные данные требуют тщательного анализа и соотнесения с физическими параметрами резонатора и ожидаемыми эффектами.

1. Анализ собственных значений (модуль и фаза):
   • Модуль |λ|: Показывает, будет ли данная поляризационная мода усиливаться (|λ| > 1), ослабляться (|λ| < 1) или сохранять свою амплитуду (|λ| = 1) за один круговой проход. В активных средах, именно моды с |λ| > 1 будут генерироваться.
   • Фаза arg(λ): Должна быть кратна 2π для выполнения условий резонанса. Отклонения от этого значения будут означать нерезонансные моды или сдвиг резонансной частоты.
2. Анализ собственных векторов Джонса:
   • Определяют форму эллипса поляризации (линейная, круговая, эллиптическая) и его ориентацию (угол поворота, эллиптичность, направление вращения).
   • Позволяют понять, как анизотропные элементы преобразуют поляризацию и какие состояния являются «естественными» для данного резонатора.
3. Сравнение потерь и добротности для различных поляризаций:
   • Если резонатор содержит анизотропные элементы, потери для разных собственных поляризаций могут быть разными. Это напрямую влияет на добротность.
   • В лазере будет генерироваться та поляризационная мода, у которой эффективное усиление (усиление активной среды минус потери) является максимальным, что эквивалентно наибольшему |λ|.
4. Влияние параметров резонатора:
   • Изменение угла поворота фазовой пластинки, величины двулучепреломления, или параметров усиления активной среды может кардинально изменить собственные поляризации, их потери и добротность. Численное моделирование позволяет исследовать эту зависимость.
   • Например, в Примере 1, если бы четвертьволновая пластинка была заменена на полуволновую, или если бы ее ось была под другим углом, собственные поляризации и их свойства изменились бы.
5. Ограничения и допущения:
   • Всегда важно помнить о допущениях, сделанных при применении матричного метода (пренебрежение дифракцией, поперечной зависимостью, частотной дисперсией). Результаты могут отличаться от реальных, если эти допущения нарушаются. Например, для очень коротких резонаторов или для резонаторов с большими апертурами, дифракционные эффекты могут стать существенными.
   • При анализе активных сред, линейное усиление — это упрощение. В реальности, усиление зависит от интенсивности и может быть нелинейным.

Правильная интерпретация численных результатов позволяет не только понять поведение света в резонаторе, но и оптимизировать его конструкцию для получения требуемых поляризационных характеристик лазерного излучения.

Практическое применение расчетов поляризационных характеристик оптических резонаторов и перспективные направления

Расчет поляризационных характеристик оптических резонаторов — это не просто академическое упражнение. Это краеугольный камень в проектировании и оптимизации широкого спектра современных оптических систем, от мощных промышленных лазеров до миниатюрных нанофотонных устройств.

Роль поляризации в лазерных системах и оптических приборах

Поляризация лазерного излучения имеет критическое значение для множества приложений, поскольку она напрямую влияет на ключевые оптические характеристики: отражение, преломление, поглощение, фокусировку лазерного луча и взаимодействие света с веществом.

1. Лазерная обработка материалов: В таких процессах, как лазерная резка, сварка и гравировка, поляризация определяет эффективность поглощения энергии материалом. Например, линейно поляризованный свет может быть поглощен по-разному в зависимости от ориентации относительно поверхности материала, что влияет на глубину и качество реза. Круговая поляризация часто предпочтительнее для получения равномерных результатов.
2. Оптическое хранение данных: В оптических дисках (CD, DVD, Blu-ray) поляризация играет роль в считывании информации, поскольку она влияет на отражение света от микроструктур на поверхности диска.
3. Медицинская диагностика: Поляризационно-чувствительная оптическая когерентная томография (ПС-ОКТ) использует поляризацию для визуализации внутренних структур тканей, например, для обнаружения повреждений роговицы глаза или определения волоконной структуры мышц.
4. Сенсоры и измерения: Множество оптических сенсоров (например, для измерения деформации, температуры, электрических или магнитных полей) основаны на изменении поляризации света, проходящего через чувствительный элемент.
5. Нелинейные преобразования частоты: В процессах генерации второй гармоники, суммарных или разностных частот, поляризация исходного и генерируемого света должна быть строго контролируема для достижения максимальной эффективности преобразования.
6. Комбинирование лазерных пучков: Для создания высокомощных лазерных систем часто объединяют несколько лазерных пучков. Поляризационная связь (объединение поляризационного луча), где пучки с ортогональной поляризацией объединяются на поляризационном светоделителе, позволяет увеличивать общую мощность лазера без значительных потерь. Это активно используется в лазерных системах усилителей мощности для масштабирования.
7. Оптические устройства, чувствительные к поляризации: К ним относятся интерферометры (например, Маха-Цендера, Фабри-Перо), полупроводниковые оптические усилители и модуляторы, эффективность работы которых напрямую зависит от поляризационного состояния входного сигнала.

Расчеты поляризации света при отражении от поверхности также могут быть использованы для оценки структуры поверхности, определения оптических постоянных (показателей преломления и поглощения) и толщины тонких пленок, что находит применение в метрологии и материаловедении. [Белорусский государственный университет].

Управление поляризацией и повышение эффективности

Глубокое понимание поляризационных характеристик резонаторов позволяет активно управлять поляризацией выходного излучения лазеров, оптимизируя их работу для конкретных задач:

1. Внутрирезонаторное управление поляризацией: Введение в резонатор фазовых элементов (четвертьволновых, полуволновых пластинок), поляризаторов или двулучепреломляющих кристаллов позволяет формировать желаемое поляризационное состояние выходного излучения (линейное, круговое, эллиптическое) и управлять его ориентацией.
2. Окна под углом Брюстера: Многие газовые или твердотельные лазеры используют окна, установленные под углом Брюстера. При этом угле отражение для одной линейной поляризации (перпендикулярной плоскости падения) минимально, а для другой (параллельной) максимально. Это приводит к тому, что перпендикулярная компонента испытывает значительные потери и подавляется, а лазер генерирует излучение с линейной поляризацией, параллельной плоскости падения.
3. Повышение эффективности генерации: Точный расчет потерь для различных поляризационных мод позволяет оптимизировать параметры резонатора для минимизации потерь для желаемой поляризации и максимизации для нежелательной, тем самым увеличивая эффективность генерации лазера.
4. Стабилизация частоты: Тепловые эффекты в активной среде могут вызывать дрейф частоты в резонаторе. Для высокостабильных лазеров частота стабилизируется путем привязки лазера к внешнему эталону со стабилизированной длиной волны. Поляризационные эффекты могут влиять на эту стабилизацию, поэтому их учет важен.

Современные применения и нанофотонные технологии

На переднем крае оптических исследований расчеты поляризационных характеристик играют ключевую роль в разработке инновационных устройств:

1. Волоконные кольцевые резонаторы: В волоконных лазерах применяются специфические конструкции волоконных кольцевых резонаторов. Это может быть замкнутое в кольцо оптическое волокно, часто включающее WDM-ответвители для ввода накачки и вывода излучения, или кольцевые резонаторы на основе волоконных брэгговских решеток. Точное управление поляризацией в таких резонаторах критично для обеспечения одномодовой генерации и стабильности излучения, особенно в поляризационно-сохраняющих волокнах.
2. Трубчатые микрорезонаторы с модами шепчущей галереи: Эти микроскопические структуры представляют огромный интерес для нанофотонных приложений. Благодаря своим малым размерам, уникальной поляризации света и сильному оптическому квантованию, они используются для создания:
   • Оптических частотных гребенок: Эти устройства генерируют спектр из большого количества эквидистантных (равноотстоящих по частоте) лазерных линий. Микрорезонаторы из MgF₂, Si₃N₄, Si, SiO₂, LiNbO₃ уже продемонстрировали способность создавать такие гребенки, которые могут стать востребованным коммерческим продуктом в нанофотонике для высокоточных измерений, оптической связи и квантовых вычислений. [Оптические частотные гребенки и солитоны в микрорезонаторах].
   • Нанолазеров и сенсоров: Сильное локальное поле и уникальные поляризационные свойства МШГ позволяют создавать высокочувствительные сенсоры и лазеры с низким порогом генерации.

Таким образом, расчет поляризационных характеристик оптических резонаторов является не только фундаментальной задачей лазерной физики, но и мощным инструментом для разработки и оптимизации широкого спектра современных и перспективных оптических технологий.

Заключение

В рамках данной курсовой работы была представлена исчерпывающая декомпозиция темы «Расчет поляризационных характеристик оптических резонаторов», охватывающая как фундаментальные основы, так и прикладные аспекты. Мы начали с определения ключевых понятий, таких как оптический резонатор, его основные типы и характеристики, а также глубоко погрузились в природу поляризации света и математический аппарат для её описания, включая векторы и матрицы Джонса, а также векторы Стокса и матрицы Мюллера.

Центральной частью исследования стала методология определения собственных поляризаций и собственных значений в анизотропных резонаторах. Мы проанализировали различные источники анизотропии, такие как поляризованная накачка, внешние магнитные поля и остаточное двулучепреломление, и подробно описали пошаговое применение матричного метода Джонса для нахождения собственных поляризаций и соответствующих им собственных значений. Особое внимание было уделено физическому смыслу этих значений, показав их прямую связь с потерями в резонаторе и, что критически важно, с его добротностью. Были рассмотрены эквивалентные определения добротности и ее влияние на спектральную ширину лазерного излучения.

Раздел, посвященный методам расчета добротности с учетом поляризационных эффектов, продемонстрировал, как параметры, извлеченные из собственных значений, трансформируются в количественные оценки потерь и добротности. Были также освещены специфические методы для микрорезонаторов и мод шепчущей галереи, подчеркивая их актуальность в современных нанофотонных исследованиях. Для закрепления теоретического материала были приведены численные примеры, иллюстрирующие расчет собственных поляризаций и потерь в резонаторе с фазовой пластинкой, а также влияние анизотропии активной среды на добротность, сопровождаемые подробной интерпретацией результатов.

Наконец, мы рассмотрели широкий спектр практических применений, подчеркнув критическое значение поляризации для лазерной обработки материалов, медицинской диагностики, оптического хранения данных и различных сенсорных систем. Обсуждены методы внутрирезонаторного управления поляризацией, роль окон Брюстера и применение поляризационной связи для масштабирования мощности. Были также затронуты современные тенденции, включая использование волоконных кольцевых резонаторов и трубчатых микрорезонаторов с модами шепчущей галереи для создания оптических частотных гребенок и других нанофотонных устройств.

Таким образом, данная работа не только систематизировала существующие знания, но и представила их в форме, максимально пригодной для глубокого академического исследования и практического применения. Полученные результаты имеют значимость для дальнейшего развития лазерной физики и оптоэлектроники, открывая пути для создания более эффективных, точных и функциональных оптических систем. Перспективы дальнейших исследований включают разработку более точных численных моделей, учитывающих нелинейные эффекты и сложные геометрии, а также экспериментальную верификацию предложенных методологий в реальных лазерных системах.

Список использованной литературы

1. Мюллера матрица // Физическая энциклопедия.
2. ОПТИЧЕСКИЙ РЕЗОНАТОР // Большая политехническая энциклопедия.
3. Оптический резонатор // Физическая энциклопедия.
4. Пак, С. К. Собственные состояния поляризации излучения в оптическом резонаторе с равномерно вращающейся фазовой пластинкой / С. К. Пак, В. Н. Парыгин, А. И. Портнягин, С. К. Соболев // Квантовая электроника. — 1980. — Т. 7, № 11. — С. 2337–2343. — URL: https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=qel&paperid=1130&option_lang=rus.
5. МАТРИЧНАЯ ОПТИКА // ELiS ПГНИУ. — URL: http://elis.psu.ru/node/1484.
6. Поляризация света // Большая Российская Энциклопедия. — URL: https://bigenc.ru/physics/text/3152643.
7. Формализм матриц Мюллера в поляризационной оптике и диагонализация квадратичных форм // Теоретическая и математическая физика. — 2015. — Т. 182, № 3. — С. 422–439. — URL: https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tmf&paperid=3556&option_lang=rus.
8. Городецкий, М. Л. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОПТИЧЕСКИХ МИКРОРЕЗОНАТОРОВ / М. Л. Городецкий. — Физический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, 2010. — URL: https://phys.msu.ru/upload/iblock/d76/gorodetsky_monograph.pdf.
9. Мамаев, Ю. А. Неортогональность собственных состояний поляризации в анизотропных резонаторах / Ю. А. Мамаев, П. А. Хандохин // Квантовая электроника. — 2006. — Т. 36, № 10. — С. 967–970. — URL: https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=qel&paperid=3912&option_lang=rus.
10. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ГЕНЕРАЦИИ ЛАЗЕРА НА СИСТЕМЕ ХОЛЕСТЕРИЧЕСКИЙ ЖИДКИЙ К // КиберЛенинка. — URL: https://cyberleninka.ru/article/n/polyarizatsiya-generatsii-lazera-na-sisteme-holestericheskiy-zhidkiy-kristall-s-liniyno-polyarizovannoy-strukturoy/viewer.
11. RU2583959C1 — Способ определения матрицы Мюллера // Google Patents. — URL: https://patents.google.com/patent/RU2583959C1/ru.
12. Евстафьев, А. И. Применение матриц Джонса для описания состояния поляризации света в магнитооптическом датчике тока / А. И. Евстафьев, М. А. Ураксеев // КиберЛенинка. — URL: https://cyberleninka.ru/article/n/primenenie-matrits-dzhonsa-dlya-opisaniya-sostoyaniya-polyarizatsii-sveta-v-magnitoopticheskom-datchike-toka.
13. Измерение поляризации лазерного излучения // Белорусский государственный университет. — URL: https://edu.rs.gov.ru/upload/iblock/2a0/2a01d670155a30ed97c6c06a9d701a52.pdf.
14. ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАНСНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ МОНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ // elibrary.ru. — URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=38198967.