Отправная точка, или зачем нужна формализация задачи
Распространенная ошибка многих студентов при выполнении курсовой работы по оптимизации — преждевременное погружение в расчеты. Открыв Excel или специализированный софт, они сразу пытаются что-то посчитать, не имея четко очерченной цели и ясного понимания ограничений. В результате получается набор разрозненных вычислений, который сложно защитить. Успешное решение начинается не с цифр, а с грамотной постановки задачи.
Формализация — это, по сути, перевод широкой управленческой задачи («как нам заработать больше?») на строгий и однозначный язык математики. Этот процесс заставляет разложить проблему на составляющие: цель, ресурсы и ограничения. Именно это структурированное описание и является фундаментом для всех последующих вычислений.
Чтобы сделать процесс максимально наглядным, мы разберем весь путь на сквозном примере. В качестве нашего учебного полигона выступит условный судостроительный завод, перед которым стоит задача оптимизировать свою производственную программу.
Условия нашей задачи, или что мы имеем на старте
Представим, что наше предприятие — судостроительный завод, который может выпускать три вида продукции: сухогрузы (Изделие 1), танкеры (Изделие 2) и контейнеровозы (Изделие 3). Для их производства используются четыре группы технологического оборудования: металлообрабатывающие станки (Группа 1), сварочные аппараты (Группа 2), сборочные линии (Группа 3) и окрасочные камеры (Группа 4).
Все исходные данные для нашего анализа представлены в таблицах ниже.
| Группа оборудования | Изделие 1 (Сухогруз) | Изделие 2 (Танкер) | Изделие 3 (Контейнеровоз) |
|---|---|---|---|
| Группа 1 | 200 | 250 | 180 |
| Группа 2 | 400 | 500 | 450 |
| Группа 3 | 350 | 400 | 300 |
| Группа 4 | 150 | 180 | 160 |
| Показатель | Изделие 1 | Изделие 2 | Изделие 3 |
|---|---|---|---|
| Цена реализации (тыс. у.е.) | 5000 | 6500 | 4800 |
| Себестоимость (тыс. у.е.) | 4400 | 5500 | 4100 |
| ЭФВ оборудования (станко-часов в год) | Группа 1: 50 000 | Группа 2: 90 000 | Группа 3/4: 70 000 / 35 000 |
Главная цель: определить такой годовой план выпуска продукции (оптимальную номенклатуру), который обеспечит предприятию максимальную совокупную прибыль при имеющихся производственных ограничениях.
Шаг 1. Как рассчитать производственную мощность предприятия
Прежде чем планировать прибыль, нужно понять физические пределы нашего производства. Производственная мощность (ПМ) — это максимально возможный годовой объем выпуска продукции при полном использовании имеющегося оборудования. Расчет ведется по каждой группе оборудования, чтобы выявить потенциальные «узкие места» — те станки, которые ограничивают весь производственный процесс.
Ключевая формула для расчета выглядит так:
ПМ = ЭФВ / Тр
Где:
- ПМ — производственная мощность по конкретному виду продукции на данной группе оборудования (в штуках).
- ЭФВ — эффективный фонд времени работы данной группы оборудования за год (в станко-часах). Это реальное время работы с учетом плановых ремонтов и выходных.
- Тр — трудоемкость изготовления одной единицы продукции на данной группе оборудования (в станко-часах).
Давайте рассчитаем ПМ для каждой группы оборудования по каждому изделию, используя данные из наших таблиц. Например, для Группы 1 и Изделия 1:
ПМ = 50 000 / 200 = 250 штук в год.
Это означает, что если бы все станки Группы 1 были заняты только производством сухогрузов, за год они могли бы выпустить 250 единиц. Проведя аналогичные расчеты для всех позиций, сведем результаты в итоговую таблицу.
| Группа оборудования | Изделие 1 | Изделие 2 | Изделие 3 |
|---|---|---|---|
| Группа 1 | 250 | 200 | 278 |
| Группа 2 | 225 | 180 | 200 |
| Группа 3 | 200 | 175 | 233 |
| Группа 4 | 233 | 194 | 219 |
Шаг 2. Анализ технико-экономических показателей как ключ к оптимизации
Теперь, когда мы знаем производственные лимиты, пора связать их с экономикой. Технико-экономические показатели (ТЭП) позволяют оценить рентабельность каждого продукта и его вклад в общую прибыль. Для нашей задачи ключевых показателей два.
1. Удельная прибыль (прибыль на единицу изделия). Рассчитывается как разница между ценой реализации и себестоимостью.
Прибыль = Цена — Себестоимость
2. Прибыль на час работы оборудования. Этот показатель часто более важен, так как он учитывает, насколько эффективно продукт использует ограниченный ресурс — время. Он показывает, сколько прибыли приносит каждый час работы оборудования, занятого производством данного изделия.
Проведем расчеты на основе данных из Таблицы 2. Например, для Изделия 1 (Сухогруз):
- Удельная прибыль: 5000 — 4400 = 600 тыс. у.е.
Соберем все расчеты в сводную таблицу ТЭП.
| Показатель | Изделие 1 | Изделие 2 | Изделие 3 |
|---|---|---|---|
| Удельная прибыль (тыс. у.е.) | 600 | 1000 | 700 |
Как видно из таблицы, самым прибыльным с точки зрения удельной прибыли является Изделие 2 (Танкер). Однако для принятия окончательного решения этого недостаточно. Нам нужна полная математическая модель.
Шаг 3. Формулируем целевую функцию для максимизации прибыли
Мы подошли к ядру задачи оптимизации — созданию целевой функции. Это математическое выражение, которое описывает нашу главную цель. Поскольку мы хотим максимизировать совокупную прибыль, функция будет представлять собой сумму прибылей от продажи каждого вида продукции.
Для начала введем переменные:
- x1 — искомое годовое количество Изделия 1 (сухогрузов).
- x2 — искомое годовое количество Изделия 2 (танкеров).
- x3 — искомое годовое количество Изделия 3 (контейнеровозов).
Используя данные об удельной прибыли из Таблицы 4, мы можем составить уравнение. Общая прибыль F(x) будет равна сумме произведений количества каждого изделия на его удельную прибыль.
Наша целевая функция выглядит так:
F(x) = 600*x1 + 1000*x2 + 700*x3 → max
Расшифруем это выражение:
- 600*x1: общая прибыль от продажи всех произведенных сухогрузов.
- 1000*x2: общая прибыль от продажи всех произведенных танкеров.
- 700*x3: общая прибыль от продажи всех произведенных контейнеровозов.
- → max: указывает на то, что мы стремимся найти такие значения x1, x2 и x3, при которых значение функции F(x) будет максимальным.
Таким образом, мы перевели нашу бизнес-цель на язык математики.
Шаг 4. Как определить и записать систему ограничений
Цель у нас есть. Но в реальном мире мы не можем производить бесконечное количество продукции. Мы ограничены нашими ресурсами. В нашей задаче главный ресурс — это доступное время работы оборудования (ЭФВ). Мы должны составить такие математические условия, которые гарантируют, что суммарное время, затраченное на производство всей продукции, не превысит имеющийся фонд времени для каждой группы станков.
Для каждой из четырех групп оборудования мы составим свое неравенство. Логика проста: сумма времени, потраченного на производство x1 единиц Изделия 1, x2 единиц Изделия 2 и x3 единиц Изделия 3, должна быть меньше или равна общему фонду времени этой группы оборудования.
Возьмем для примера Группу 1 (металлообрабатывающие станки) с ЭФВ = 50 000 часов. Используя данные по трудоемкости из Таблицы 1, получаем:
200*x1 + 250*x2 + 180*x3 ≤ 50 000
Повторяем эту же логику для остальных трех групп оборудования:
- Группа 2: 400*x1 + 500*x2 + 450*x3 ≤ 90 000
- Группа 3: 350*x1 + 400*x2 + 300*x3 ≤ 70 000
- Группа 4: 150*x1 + 180*x2 + 160*x3 ≤ 35 000
Наконец, необходимо добавить еще одно очевидное, но математически важное условие — неотрицательности переменных. Его физический смысл прост: мы не можем произвести отрицательное количество продукции. Записывается оно так:
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
Теперь у нас есть все компоненты для сборки финальной модели.
Итоговая формализация, или полная математическая модель задачи
Мы прошли все этапы и теперь можем собрать целевую функцию и систему ограничений воедино. Это и есть полная математическая постановка нашей задачи оптимизации производственной программы. В таком виде ее можно загружать в специализированные программы (например, используя «Поиск решения» в Excel) или решать аналитическими методами (например, симплекс-методом).
Вот как выглядит наша готовая модель:
Целевая функция:
F(x) = 600*x1 + 1000*x2 + 700*x3 → max
При ограничениях:
- 200*x1 + 250*x2 + 180*x3 ≤ 50 000
- 400*x1 + 500*x2 + 450*x3 ≤ 90 000
- 350*x1 + 400*x2 + 300*x3 ≤ 70 000
- 150*x1 + 180*x2 + 160*x3 ≤ 35 000
- x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
Таким образом, задача оптимизации производственной программы нашего предприятия полностью сформулирована. Ее решение позволит найти такие объемы выпуска продукции x1, x2 и x3, при которых прибыль F(x) будет максимальной, а производственные ограничения — в точности соблюдены.
Что нам говорит решение, или как интерпретировать результаты
Само решение математической модели выходит за рамки данной статьи, посвященной именно постановке задачи. Однако крайне важно понимать, как интерпретировать полученные результаты. Предположим, после расчетов мы получили следующий оптимальный план:
x1 = 50, x2 = 120, x3 = 0
Что это означает на практике для нашего судостроительного завода?
Это прямой управленческий вывод: для получения максимальной прибыли предприятию следует полностью пересмотреть свою производственную программу. Необходимо произвести 50 единиц сухогрузов (Изделие 1) и 120 единиц танкеров (Изделие 2), при этом полностью отказаться от производства контейнеровозов (Изделие 3) в планируемом году.
Почему мог получиться такой результат? Несмотря на то, что контейнеровозы приносят неплохую удельную прибыль (700 тыс. у.е.), они могут быть нерентабельны с точки зрения использования самого дефицитного ресурса — времени оборудования. Видимо, танкеры, хоть и требуют больше времени, приносят настолько больше прибыли, что их производство становится абсолютным приоритетом для максимизации итогового финансового результата. Это наглядно показывает, что оптимизация номенклатуры товаров важна для обеспечения максимальной прибыли и является ключевым инструментом в конкурентной борьбе.
Заключение. От постановки задачи к успешной защите курсовой
Мы прошли весь путь от общих условий до готовой математической модели, пригодной для решения. Этот структурированный подход — именно то, что преподаватель хочет видеть в качественной курсовой работе. Он показывает, что вы не просто выполнили расчеты, а глубоко поняли экономический и математический смысл задачи.
Давайте закрепим пройденный алгоритм, который вы можете использовать как универсальный шаблон:
- Анализ исходных данных: Собрать и систематизировать все вводные (трудоемкость, ресурсы, цены).
- Расчет производственной мощности: Определить физические пределы производства и найти «узкие места».
- Анализ ТЭП: Рассчитать экономические метрики, в первую очередь удельную прибыль.
- Формулировка целевой функции: Математически описать главную цель (например, максимизация прибыли).
- Определение ограничений: Формализовать все лимиты (ресурсы оборудования, спрос и т.д.) в виде системы неравенств.
- Сборка итоговой модели: Объединить целевую функцию и ограничения в единую систему.
Следуя этой последовательности, вы не просто решите задачу, но и сможете четко и уверенно объяснить логику каждого своего шага на защите. А это — ключ к отличной оценке.
Список источников информации
- Булов А.А. «Основы менеджмента», учебное пособие, СПб.: СПГУВК, 2006.
- Гэлловэй, «Операционный менеджмент: принципы и практика»,С-Пб.:2005
- Никифоров В.Г. Судоремонтные предприятия. Экономика и управление. М. Транспорт. 1986. 336с.
- Лазарев А.Н., Филиппов К.М., Селиванов Е.Н., Силантьев В.A , Смирнов СП Справочные материалы для выполнения курсовых и дипломных проектов и практических занятий. Методические указа¬ния. Санкт-Петербург. СПГУВК. 2003. 2З с.
- «Менеджмент на транспорте» Громов Н.Н., Персианов В.А., учебное пособие М.: ACADEMA, 2003.