Методология Расчета Статически Неопределимых Стержневых Систем: Курсовая Работа по Строительной Механике и Сопротивлению Материалов

Введение: Постановка Задачи и Классификация Стержневых Систем

В современной инженерной практике подавляющее большинство несущих конструкций – от каркасов высотных зданий до сложных машиностроительных узлов – являются статически неопределимыми системами (СНС). Необходимость применения СНС обусловлена их повышенной надежностью, жесткостью и экономичностью в использовании материала, поскольку они обладают резервной прочностью. При выходе из строя одной связи система, как правило, не разрушается немедленно, а перераспределяет нагрузки.

Расчет таких систем представляет собой фундаментальную задачу в дисциплинах «Сопротивление материалов» и «Строительная механика». Система называется статически неопределимой, если для определения всех опорных реакций и внутренних усилий недостаточно только трех уравнений статики (равновесия) для плоской системы:

ΣFx = 0; ΣFy = 0; ΣMz = 0

Для решения СНС требуется привлечение дополнительных уравнений, основанных на условиях совместности деформаций, что и составляет суть специальных методов строительной механики.

Определение Степени Статической Неопределимости

Степень статической неопределимости ($n$) — это число «лишних» связей, которые необходимо удалить, чтобы система стала статически определимой и геометрически неизменяемой.

Различают внешнюю и внутреннюю статическую неопределимость. Для плоской стержневой системы:

nвнеш = R - 3

где $R$ — общее число неизвестных опорных реакций.

Полная степень статической неопределимости (СНС) плоской рамы, учитывающая наличие шарниров и контуров, определяется по более развернутой формуле:

n = R - 3 + 3K - Σ(Шi - 1)

где $R$ — общее число внешних связей (реакций), $K$ — число замкнутых контуров, $Σ(Ш_i — 1)$ — общее число дополнительных условий, предоставляемых шарнирами ($Ш_i$ — кратность $i$-го шарнира, то есть количество стержней, сходящихся в узле).

Основная Система (ОС) — это статически определимая и геометрически неизменяемая система, полученная из заданной СНС путем удаления $n$ лишних связей. Лишние связи заменяются соответствующими неизвестными усилиями или моментами, обозначаемыми $X_i$.

Сравнительный Анализ Метода Сил и Метода Перемещений

Существует два классических аналитических подхода к расчету СНС: Метод Сил (МС) и Метод Перемещений (МП). Выбор оптимального метода для ручного расчета, как правило, определяется принципом минимизации объема вычислений.

Критерий	Метод Сил (МС)	Метод Перемещений (МП)
Неизвестные	Лишние опорные реакции или внутренние усилия ($X_i$).	Узловые перемещения (углы поворота и линейные смещения).
Степень неопределимости	Статическая (число лишних связей $n$).	Кинематическая (число неизвестных перемещений $k$).
Уравнения	Канонические уравнения совместности перемещений.	Канонические уравнения равновесия узлов.
Целесообразность	Выбирается, если $n < k$.	Выбирается, если $k < n$.

Ключевой тезис: При выполнении курсовой работы, ориентированной на ручной счет, необходимо сначала определить обе степени неопределимости (статическую и кинематическую) и выбрать тот метод, который приводит к наименьшему числу канонических уравнений, минимизируя вероятность ошибки. Для большинства рам и балок малой кратности, где число лишних связей $n$ часто меньше числа возможных перемещений $k$, более удобным оказывается Метод Сил.

Теоретические Основы Метода Сил: От Принципа до Уравнений

Метод Сил является краеугольным камнем строительной механики. Его суть заключается в следующем: мы освобождаем СНС от лишних связей, делая ее статически определимой (Основной Системой), а действие отброшенных связей заменяем неизвестными усилиями $X_1, X_2, \dots, X_n$. Затем накладываются условия совместности деформаций: перемещение в направлении каждой $i$-й отброшенной связи, вызванное внешней нагрузкой $P$ и искомыми силами $X_k$, должно быть равно нулю (или равно заданной осадке опоры, если таковая имеется).

Формирование Основной Системы и Лишних Связей

Критерии выбора оптимальной ОС:

1. Геометрическая неизменяемость: ОС должна быть абсолютно устойчивой и неизменяемой (например, иметь три базовые связи: шарнирно-неподвижную, шарнирно-подвижную и исключение линейного смещения).
2. Простота построения эпюр: Выбор ОС должен максимально упрощать последующее построение единичных ($M_i$) и грузовой ($M_P$) эпюр, избегая сложных консольных участков или большого количества разрывов.

В качестве лишних связей могут быть отброшены как внешние опорные закрепления (например, замена жесткой заделки на шарнир и удаление реактивного момента), так и внутренние связи (например, разрез стержня с заменой его на продольную силу, поперечную силу и изгибающий момент).

Система Канонических Уравнений

Основным математическим аппаратом Метода Сил является система $n$ линейных алгебраических уравнений, называемых каноническими уравнениями:

Σnk=1 δik Xk + ΔiP = 0 (i = 1, 2, ..., n)

Физический смысл составляющих:

• $X_k$ — искомые неизвестные усилия (лишние связи).
• $\delta_{ik}$ — единичное перемещение — перемещение, возникающее по направлению $i$-й лишней связи от действия единичной силы ($X_k = 1$), приложенной по направлению $k$-й лишней связи.
• $\Delta_{iP}$ — грузовое перемещение — перемещение, возникающее по направлению $i$-й лишней связи от действия заданной внешней нагрузки $P$.

Углубление (Теорема Максвелла):
Матрица коэффициентов $\delta_{ik}$ является симметричной, то есть $\delta_{ik} = \delta_{ki}$. Это свойство гарантируется Теоремой Максвелла о взаимности перемещений. Теорема гласит, что перемещение, вызванное в точке $i$ единичной силой в точке $k$, равно перемещению, вызванному в точке $k$ единичной силой в точке $i$. Использование этого принципа позволяет значительно сократить объем расчетов, так как достаточно вычислить только коэффициенты, лежащие на главной диагонали ($\delta_{ii}$) и выше нее.

Решение этой системы уравнений позволяет найти численные значения неизвестных $X_k$.

Расчет Перемещений: Формула Мора и Правило Верещагина

Ключевым этапом Метода Сил является расчет перемещений ($\delta_{ik}$ и $\Delta_{iP}$), которые формируют коэффициенты и свободные члены канонических уравнений. Эти перемещения вычисляются с использованием фундаментального инструмента строительной механики — Формулы Мора.

Общая Формула Мора для Стержневых Систем

Формула Мора основана на принципе возможных работ (или принципе Лагранжа) и позволяет определить линейное или угловое перемещение $\Delta$ в произвольной точке стержневой системы:

Δ = ∫ (M1M / EI) ds + ∫ (N1N / EA) ds + ∫ (Q1Q / GA) ds

где:

• $M, N, Q$ — эпюры внутренних усилий (момент, продольная и поперечная сила) от действующей нагрузки (или $X_k=1$).
• $M_1, N_1, Q_1$ — эпюры внутренних усилий от единичной силы/момента, приложенной по направлению искомого перемещения.
• $EI$ — изгибная жесткость, $EA$ — продольная жесткость, $GA$ — сдвиговая жесткость.

Пренебрежение слагаемыми: При расчете балок и плоских рам, где преобладают изгибные деформации, влиянием сдвиговых деформаций (слагаемое от $Q$) и деформаций от продольных сил (слагаемое от $N$) часто пренебрегают. Это допущение значительно упрощает расчет и является методологически корректным для конструкций с относительно большой длиной и малой высотой сечения (тонкостенные стержни).
В таком случае, Формула Мора сводится к основному слагаемому:

Δ ≈ ∫ (M1M / EI) ds

Практическое Вычисление Интеграла Мора

Прямое аналитическое интегрирование может быть чрезвычайно трудоемким. Для прямолинейных стержней постоянного сечения ($EI = \text{const}$) наиболее удобным и быстрым методом является Правило Верещагина (или способ перемножения эпюр).

Условие применения Правила Верещагина: Одна из перемножаемых эпюр (обычно единичная $M_1$) должна быть прямолинейной или иметь форму, составленную из прямолинейных участков (например, треугольник, трапеция).

Математическое выражение Правила Верещагина:

Δ = (1 / EI) · ωM · M̄c

где:

• $\omega_M$ — площадь грузовой эпюры $M$ (той, которая не обязательно прямолинейна).
• $\overline{M}_c$ — ордината единичной эпюры $M_1$ (той, которая прямолинейна), измеренная под центром тяжести площади $\omega_M$.

Алгоритм применения:

1. Разбить стержень на участки, где функции момента $M$ и $M_1$ постоянны или имеют простую форму.
2. Определить площадь $\omega_M$ для каждого участка.
3. Найти центр тяжести этой площади.
4. Найти ординату $\overline{M}_c$ на единичной эпюре $M_1$ под найденным центром тяжести.
5. Перемножить $\omega_M$ на $\overline{M}_c$ и разделить на $EI$.
6. Суммировать результаты по всем участкам, соблюдая правило знаков (если обе эпюры лежат по одну сторону стержня, произведение положительно; если по разные — отрицательно).

Необходимо ли всегда использовать прямое интегрирование, если Правило Верещагина позволяет сэкономить часы вычислений, особенно при работе со сложными параболическими эпюрами?

Анализ Плоских Стержневых Систем (Балка и Рама)

После определения неизвестных $X_k$ путем решения системы канонических уравнений, наступает этап построения окончательных эпюр внутренних усилий.

Расчет Плоской Рамы с Шарнирами

Плоские рамы являются более сложными объектами расчета по сравнению с балками, так как внутренние усилия могут действовать одновременно во всех трех направлениях ($M, Q, N$). Наличие шарниров в раме является критическим фактором.

Учет шарнира: Врезка шарнира в стержень рамы уменьшает степень ее статической неопределимости на единицу. Это происходит потому, что шарнир предоставляет дополнительное независимое уравнение равновесия:

ΣMшарнир = 0

Это позволяет определить дополнительные неизвестные опорные реакции или внутренние усилия, исходя только из статики. При выборе Основной Системы, шарнир может служить удобной точкой для разреза и замены его на неизвестные усилия $X_i$.

Особенности расчета симметричных рам:
Если плоская рама имеет геометрическую симметрию, но нагружена несимметрично, целесообразно использовать Метод разложения нагрузки.

1. Разложение: Исходная нагрузка $P$ раскладывается на две составляющие: симметричную ($P_S$) и кососимметричную ($P_A$).
2. Расчет:
   • Симметричная нагрузка: Используются особенности симметрии (например, в оси симметрии поперечная сила $Q$ и угол поворота $\theta$ равны нулю). Расчет ведется для половины системы.
   • Кососимметричная нагрузка: Используются соответствующие особенности (например, в оси симметрии продольная сила $N$ и изгибающий момент $M$ равны нулю). Расчет ведется для половины системы.
3. Суммирование: Окончательные эпюры получаются путем алгебраического суммирования эпюр, полученных от симметричной и кососимметричной нагрузок. Этот подход позволяет вдвое уменьшить степень неопределимости системы, что является значительным преимуществом в ручных расчетах.

Построение Окончательных Эпюр

Окончательные эпюры внутренних усилий ($M, Q, N$) строятся по Принципу Наложения Действий (суперпозиции).

Окончательный изгибающий момент $M$ в любой точке $j$ определяется по формуле:

Mj = MP, j + Σnk=1 Xk Mk, j

где $M_{P, j}$ — ордината грузовой эпюры в точке $j$, а $M_{k, j}$ — ординаты единичных эпюр в точке $j$.

Последовательность построения эпюр:

1. Определить опорные реакции в Основной Системе от $X_k$ и $P$.
2. Построить окончательные эпюры $M, Q, N$ путем алгебраического суммирования грузовых и единичных эпюр, умноженных на найденные значения $X_k$.
3. Эпюры $Q$ и $N$ строятся по аналогичному принципу суперпозиции.

Пространственная Задача: Расчет Коленчатого Стержня на Сложное Сопротивление

Коленчатый стержень, часто встречающийся в машиностроении (например, коленчатые валы) и сложных узлах строительных конструкций, представляет собой пространственную задачу. Здесь стержень нагружен так, что его элементы работают на сложное сопротивление, включающее все возможные виды деформации.

Ключевой тезис: В отличие от плоских систем, где мы оперируем тремя внутренними усилиями ($M, Q, N$), в произвольном сечении пространственного стержня действует шесть внутренних силовых факторов: продольная сила ($N$), две поперечные силы ($Q_x, Q_y$), крутящий момент ($M_k$ или $M_z$) и два изгибающих момента ($M_x, M_y$).

Определение Внутренних Усилий Методом Сечений

Определение этих шести факторов выполняется методом сечений с использованием шести уравнений равновесия для отсеченной части стержня:

ΣFx = 0; ΣFy = 0; ΣFz = 0

ΣMx = 0; ΣMy = 0; ΣMz = 0

Оси $x$ и $y$ обычно совпадают с главными центральными осями инерции сечения, а ось $z$ — с осью стержня.

Алгоритм построения эпюр:

1. Разбить стержень на характерные участки.
2. В каждом участке провести сечение и рассмотреть равновесие отсеченной части, проецируя внешние нагрузки и реакции на оси.
3. Полученные выражения для $N(z), Q_x(z), \dots, M_y(z)$ позволяют построить шесть отдельных эпюр.

Расчет на Прочность

После построения эпюр, необходимо определить опасное сечение — то, в котором комбинация силовых факторов вызывает наибольшее напряжение. Для пространственного стержня это обычно сочетание изгиба, кручения и сдвига (а иногда и осевого растяжения/сжатия).

Расчет на прочность при сложном напряженном состоянии выполняется по одной из теорий прочности. Для пластичных материалов (сталь, алюминий) наиболее надежными являются:

• Третья теория прочности (Теория наибольших касательных напряжений, Треска-Сен-Венана): Условие прочности формулируется по максимальному касательному напряжению.
• Четвертая теория прочности (Теория энергии формоизменения, Мизеса): Условие прочности формулируется по эквивалентному напряжению, которое определяется как функция главных напряжений $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$.

Условие прочности (например, по Четвертой теории):

σэкв = (1 / √2) √((σ1 - σ2)2 + (σ2 - σ3)2 + (σ3 - σ1)2) ≤ [σ]

где $[\sigma]$ — допускаемое напряжение.

В инженерных расчетах для стержней под сложным сопротивлением часто используют упрощенные формулы эквивалентного напряжения, учитывающие только изгибающие и крутящие моменты, так как их вклад в общее напряженное состояние максимален.

Верификация Расчетов и Применение Программных Комплексов

Инженерный расчет не может считаться завершенным без всесторонней проверки полученных результатов. Курсовая работа должна включать как классические статические и кинематические проверки, так и современную верификацию с использованием численных методов.

Проверки Корректности Аналитического Решения

Статическая Проверка

Выполняется для окончательных эпюр $M, Q, N$. Необходимо проверить выполнение условий равновесия для всей системы или для отдельных узлов (жестких или шарнирных) и участков.
Пример: В жестком узле рамы сумма всех моментов, подходящих к узлу (включая опорные реакции, если узел находится на опоре), должна быть равна нулю ($\Sigma M_{узел} = 0$).

Кинематическая Проверка (Для Метода Сил)

Это обязательная процедура, подтверждающая, что после решения канонических уравнений, суммарное перемещение по направлению каждой отброшенной связи действительно равно нулю.
Для проверки $i$-го уравнения необходимо перемножить окончательную эпюру моментов $M$ на $i$-ю единичную эпюру $M_i$. Результат должен быть равен нулю:

Δконтроль = ∫ (M Mi / EI) ds = (1 / EI) · ωM · M̄i, c = 0

Если $\Delta_{контроль}$ оказывается отличным от нуля (в пределах допустимой погрешности, например, 1–3%), это свидетельствует об ошибке в расчете коэффициентов $\delta_{ik}$, свободных членов $\Delta_{iP}$ или в решении системы уравнений.

Верификация с помощью МКЭ (ЛИРА-САПР, SCAD)

Современные инженерные программные комплексы (ПК), такие как ЛИРА-САПР или SCAD Office, используют Метод Конечных Элементов (МКЭ) для численного расчета конструкций.

Принципиальное различие:

• Классические методы (МС, МП): Аналитические, основаны на дифференциальных уравнениях равновесия стержня, работают с идеализированными моделями (постоянное $EI$).
• Метод Конечных Элементов (МКЭ): Численный, разбивает конструкцию на множество дискретных элементов (конечных элементов), для которых решается система алгебраических уравнений. МКЭ имеет высокую универсальность и позволяет легко учитывать сложную геометрию, переменные сечения ($EI(s)$) и неоднородные нагрузки.

Пошаговый алгоритм верификации ручного расчета:

1. Создание расчетной модели: В ПК (ЛИРА/SCAD) создается точная геометрическая модель стержневой системы, соответствующая Основной Системе, заданной в ручном расчете.
2. Задание граничных условий: Точно задаются типы опор и их жесткостные характеристики.
3. Приложение нагрузки: Прикладывается исходная внешняя нагрузка $P$ и, при необходимости, найденные опорные реакции (лишние связи $X_k$).
4. Расчет: Проводится статический расчет в ПК.
5. Сравнение результатов: Сравнить характерные значения: опорные реакции, эпюры внутренних усилий и, при возможности, перемещения.

Совпадение результатов (обычно с погрешностью 5–10%, обусловленной численными методами и допущениями) подтверждает корректность аналитического решения.

Заключение и Оформление Курсовой Работы

Резюмирование и Анализ Результатов

В заключительной части Курсовой работы необходимо подвести итог проделанной работе:

1. Сформулировать, какая степень неопределимости была определена и почему был выбран Метод Сил.
2. Привести численные значения найденных лишних связей $X_k$.
3. Проанализировать полученные эпюры внутренних усилий ($M, Q, N$), указав максимальные значения моментов и сил, и место их возникновения.
4. Сделать вывод о прочности коленчатого стержня на основании расчета по выбранной теории прочности.
5. Подтвердить выполнение всех проверок (статической, кинематической и верификации по МКЭ).

Требования к Оформлению

Курсовая работа должна соответствовать стандартам инженерного отчета (ГОСТ, методические указания ВУЗа):

• Расчетно-пояснительная записка (РПЗ): Должна содержать подробное теоретическое обоснование, пошаговый алгоритм расчета (выбор ОС, построение канонических уравнений, расчет интегралов Мора, решение системы), все промежуточные и окончательные формулы, а также результаты проверок.
• Графическая часть: Включает исходную расчетную схему, схемы Основной Системы, единичные эпюры ($M_i$), грузовую эпюру ($M_P$), окончательные эпюры ($M, Q, N$), а также шесть эпюр внутренних усилий для коленчатого стержня. Все эпюры должны быть четко подписаны, с указанием масштаба и значений ординат в характерных точках.

Список использованной литературы

1. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ ПРАКТИКУМ [Электронный ресурс] // madi.ru. URL: https://madi.ru/ (дата обращения: 24.10.2025).
2. Кобелев Е. А., Масленников Н. А. Строительная механика стержневых систем. СПбГАСУ, 2021.
3. Расчет статически неопределимой стержневой системы: методические указания к выполнению расчетной работы / Сафронов В.С., Синозерский А.Н., Осипова Е.И. Воронеж: Воронежский гос. арх.-строит. ун-т, 2008.
4. Расчет пространственного (коленчатого) стержня [Электронный ресурс] // prosopromat.ru. URL: https://prosopromat.ru/ (дата обращения: 24.10.2025).
5. Введение в ПК ЛИРА 10.4: учебное пособие [Электронный ресурс] // lira-soft.com. URL: https://lira-soft.com/ (дата обращения: 24.10.2025).
6. ВЕРИФИКАЦИЯ СТЕРЖНЕВОЙ И ТВЕРДОТЕЛЬНОЙ МОДЕЛЕЙ… [Электронный ресурс] // naukaru.ru. URL: https://naukaru.ru/ (дата обращения: 24.10.2025).
7. ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ЛИРА-САПР. Руководство пользователя. Обучающие примеры / Ромашкина М. А., Титок В. П. под ред. А. С. Городецкого [Электронный ресурс] // rflira.ru. URL: https://rflira.ru/ (дата обращения: 24.10.2025).
8. Верификация программного комплекса ЛИРА САПР [Электронный ресурс] // lira.land. URL: https://lira.land/ (дата обращения: 24.10.2025).