Методология Курсовой Работы: Расчет Установившихся и Переходных Процессов в Линейных Цепях Переменного Тока

Электрическая энергия — это кровеносная система современной цивилизации, пронизывающая все сферы нашей жизни, от бытовых приборов до сложнейших промышленных комплексов. В 2023 году, согласно данным Единой энергетической системы России, крупнейшими потребителями электроэнергии в отечественной промышленности стали нефтедобыча (20%), металлургия (18%) и химическая промышленность (15%). Эти впечатляющие цифры красноречиво свидетельствуют о беспрецедентной роли электроэнергии и, как следствие, о критической важности глубокого понимания принципов работы электрических цепей для инженеров всех профилей.

Курс «Теоретические основы электротехники» (ТОЭ) занимает центральное место в подготовке высококвалифицированных специалистов в области электроэнергетики, радиотехники и электроники. Он закладывает фундамент для анализа и синтеза сложнейших систем, позволяя студентам не просто оперировать формулами, но и понимать физическую сущность явлений. Настоящая методология призвана стать путеводной звездой для студента технического вуза при написании курсовой работы по расчету установившихся и переходных процессов в линейных цепях переменного тока.

Цель данной курсовой работы — глубокое освоение студентом теоретических основ, аналитических и численных методов расчета установившихся и переходных режимов в линейных цепях переменного тока, а также приобретение навыков использования современного программного обеспечения для их моделирования. Достижение этой цели позволит выпускнику не только уверенно решать академические задачи, но и эффективно применять полученные знания в реальных инженерных проектах, гарантируя надежность и безопасность электрических систем.

Для достижения этой цели ставятся следующие задачи:

1. Обобщить и систематизировать теоретические знания о линейных цепях переменного тока, включая законы Кирхгофа, фундаментальные определения и математический аппарат.
2. Детально изучить и применить различные методы расчета установившихся режимов (символический, контурных токов, узловых потенциалов).
3. Освоить методы анализа переходных процессов (классический, операторный, переменных состояния) с учетом законов коммутации.
4. Проанализировать физические явления, такие как самоиндукция, взаимная индукция и резонанс, с расчетом их параметров и последствий.
5. Изучить и применить принципы построения векторных диаграмм для однофазных и трехфазных цепей.
6. Освоить навыки моделирования и автоматизированного расчета электрических цепей с использованием современного программного обеспечения.
7. Рассмотреть критерии выбора адекватных моделей цепей (с сосредоточенными или распределенными параметрами).

Структура данной методологии обеспечивает комплексный подход к подготовке курсовой работы, охватывая все необходимые аспекты от теоретических основ до практического применения и оформления.

Фундаментальные Теоретические Основы Электротехники

Прежде чем приступать к виртуозному расчету электрических цепей, необходимо заложить прочный фундамент — глубокое понимание базовых понятий и универсальных законов, которые управляют потоками энергии, ведь без этого невозможно корректно интерпретировать даже самые точные численные результаты. Этот раздел станет вашим академическим компасом в мире электротехники, раскрывая основные определения и математический инструментарий.

Основные определения и классификация электрических цепей

В электротехнике под электрической цепью понимается совокупность устройств, предназначенных для производства, передачи, распределения и преобразования электрической энергии или информации. Ключевым понятием для данной курсовой работы является линейная электрическая цепь. Это цепь, все элементы которой (резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы, источники ЭДС и тока) обладают линейными вольт-амперными характеристиками, то есть их параметры (сопротивление, индуктивность, емкость) не зависят от величины протекающих токов или приложенных напряжений. Такая линейность позволяет применять принцип суперпозиции и значительно упрощает математический аппарат, поскольку реакции на различные воздействия можно складывать.

Электрические цепи могут находиться в различных режимах работы. Различают установившиеся процессы и переходные процессы.

• Установившиеся процессы (или стационарные режимы) — это состояния цепи, когда все токи и напряжения в ней достигли своих конечных значений и остаются неизменными во времени (для цепей постоянного тока) или изменяются по периодическому закону (для цепей переменного тока).
• Переходные процессы — это динамические изменения токов и напряжений, возникающие в цепи при резких изменениях ее структуры или параметров (например, при включении/выключении, коротких замыканиях, изменении нагрузки). Они характеризуются изменением энергии, запасенной в индуктивностях и емкостях.

В контексте переменного тока особое значение имеют синусоидальные сигналы — токи и напряжения, изменяющиеся по синусоидальному закону. Они являются фундаментальными, поскольку любой периодический сигнал может быть разложен в ряд Фурье на сумму синусоидальных составляющих.

Структура электрической цепи описывается топологическими понятиями:

• Узел электрической цепи — это точка соединения трех или более ветвей. В узле происходит разветвление тока.
• Ветвь электрической цепи — это участок цепи, состоящий из одного или нескольких последовательно соединенных элементов, по которому протекает один и тот же ток.
• Контур электрической цепи — это любой замкнутый путь, проходящий по ветвям цепи. Различают независимые контуры, число которых определяется формулой $N = b — y + 1$, где $b$ — число ветвей, $y$ — число узлов.

Законы Кирхгофа и их применение

Законы Кирхгофа — это два краеугольных камня всей электротехники, универсальные принципы, устанавливающие соотношения между токами и напряжениями в разветвленных электрических цепях. Они применимы к цепям любого типа — линейным и нелинейным, с постоянными и переменными токами и напряжениями.

1. Первый закон Кирхгофа (закон токов): «Алгебраическая сумма токов, сходящихся в каждом узле цепи, равна нулю». Это означает, что сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из него. Математически это выражается как:
   ΣIk = 0
   где $I_k$ — ток в $k$-й ветви, направленный к узлу (со знаком «+») или от узла (со знаком «−»).
   Этот закон является прямым следствием закона сохранения заряда, поскольку в узле не может происходить накопление или исчезновение электрического заряда.
2. Второй закон Кирхгофа (закон напряжений): «Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжений на элементах этого контура». Или, что эквивалентно: «Алгебраическая сумма всех напряжений (ЭДС и падений напряжений) в любом замкнутом контуре цепи равна нулю». Математически это записывается так:
   ΣEk = ΣUk
   где $E_k$ — ЭДС в $k$-й ветви контура, $U_k$ — падение напряжения на $k$-м элементе контура.
   Этот закон основан на законе сохранения энергии, поскольку работа электростатического поля по перемещению заряда по замкнутому контуру равна нулю.

Применение законов Кирхгофа:
Например, для цепи, изображенной ниже (простой контур с источником ЭДС $E$, резистором $R$ и индуктивностью $L$):

Применим Второй закон Кирхгофа:
E = I·R + UL
где $U_L = L·(di/dt)$ — падение напряжения на индуктивности. Таким образом, получаем дифференциальное уравнение:
E = I·R + L·(di/dt)
Решение этой системы уравнений позволяет найти неизвестные токи и напряжения в цепи, что является базой для понимания динамических процессов.

Математический аппарат для анализа цепей

Анализ сложных электрических цепей требует использования развитого математического аппарата, который выходит за рамки простой алгебры, позволяя перейти от интуитивного понимания к точному количественному описанию.

• Комплексные числа: Для расчетов цепей переменного синусоидального тока комплексные числа являются незаменимым инструментом (символический метод). Они позволяют представить синусоидальные величины (ЭДС, напряжения, токи) в виде векторов на комплексной плоскости, сводя операции дифференцирования и интегрирования к простым алгебраическим действиям с комплексными числами. Например, комплексное напряжение $\bar{U} = U_me^{j(\omega t + \psi)}$, где $U_m$ — амплитуда, $\omega$ — угловая частота, $\psi$ — начальная фаза.
• Дифференциальные уравнения: Описание динамического поведения цепей (переходные процессы) напрямую связано с дифференциальными уравнениями. Элементы цепи, такие как индуктивность и емкость, вводят производные и интегралы во временные зависимости токов и напряжений. Например, для RL-цепи уравнение имеет вид: $U = R·i + L·(di/dt)$.
• Преобразования Лапласа: Это мощный операторный метод, позволяющий преобразовать дифференциальные уравнения во временной области в алгебраические уравнения в комплексной частотной области ($s$-области). Это значительно упрощает решение, особенно для цепей с произвольными коммутациями и сложными воздействиями. После нахождения решения в $s$-области производится обратное преобразование Лапласа.
• Матричные методы и теория графов: Для анализа сложных разветвленных цепей с большим числом узлов и ветвей эффективно применяются матричные методы. Теория графов позволяет формализовать структуру цепи, представляя ее в виде графа (узлы — вершины, ветви — ребра). Это упрощает составление систем уравнений (например, при методах контурных токов и узловых потенциалов) и является основой для алгоритмов автоматизированного расчета в САПР. Например, матрица проводимостей для узловых потенциалов или матрица сопротивлений для контурных токов.

Методы Расчета Установившихся Режимов в Линейных Цепях Переменного Тока

Расчет установившихся режимов в электрических цепях переменного тока — это фундаментальная задача, позволяющая определить стационарное поведение системы после затухания переходных процессов, и владение этими методами является ключевым для любого инженера-электрика. Существует несколько эффективных методов, каждый из которых имеет свои преимущества и области применения.

Символический метод (метод комплексных амплитуд)

Введение символического метода, или метода комплексных амплитуд, стало одним из важнейших достижений в электротехнике, радикально упростив анализ цепей переменного синусоидального тока. Его суть заключается в том, что синусоидально изменяющиеся во времени величины (напряжения, токи, ЭДС) представляются в виде комплексных чисел, называемых комплексными амплитудами или векторами.

Принцип метода:
Синусоидальный ток $i(t) = I_m·\sin(\omega t + \alpha)$ может быть представлен комплексной амплитудой $\bar{I} = I_me^{j\alpha}$ (или $\bar{I} = I_m·(\cos\alpha + j·\sin\alpha)$). При этом операторы дифференцирования ($d/dt$) и интегрирования ($\int dt$) заменяются на умножение на $j\omega$ и деление на $j\omega$ соответственно. Это превращает трудоемкие операции с дифференциальными уравнениями во временной области в простые алгебраические операции с комплексными числами.

Преимущества:

• Сведение дифференциальных уравнений к алгебраическим: Это главное достоинство метода, значительно упрощающее расчеты, особенно для цепей высоких порядков.
• Наглядность: Комплексные числа могут быть представлены на комплексной плоскости в виде векторов, что позволяет визуализировать фазовые соотношения между токами и напряжениями.
• Универсальность: Применим для любых линейных цепей, возбуждаемых синусоидальными источниками.

Алгоритм применения:

1. Переход к комплексной форме: Заменить все синусоидальные источники ЭДС и тока их комплексными амплитудами.
2. Определение комплексных сопротивлений: Для резисторов $Z_R = R$, для индуктивностей $Z_L = j\omega L$, для емкостей $Z_C = 1/(j\omega C) = -j/( \omega C)$.
3. Составление системы алгебраических уравнений: Применить законы Кирхгофа или другие методы (контурных токов, узловых потенциалов) к цепи, но уже в комплексной форме.
4. Решение системы: Найти неизвестные комплексные токи и напряжения.
5. Переход к временной форме: По полученным комплексным амплитудам восстановить мгновенные значения токов и напряжений.

Метод контурных токов

Метод контурных токов — это мощный инструмент для анализа сложных разветвленных электрических цепей, который позволяет существенно сократить число уравнений, требующих совместного решения. Вместо того чтобы работать с токами в каждой ветви, вводятся фиктивные «контурные токи», которые циркулируют по независимым замкнутым контурам цепи.

Принцип метода:

1. Выделение независимых контуров: В цепи определяют независимые контуры. Число независимых контуров $N$ определяется по формуле: $N = b — y + 1$, где $b$ — число ветвей, $y$ — число узлов. Это количество уравнений, которое необходимо будет решить. Для сравнения, прямое применение законов Кирхгофа требует $b$ уравнений. Например, если цепь имеет 6 ветвей и 4 узла, то число уравнений по методу контурных токов будет $N = 6 — 4 + 1 = 3$, тогда как по законам Кирхгофа — 6.
2. Назначение контурных токов: В каждом независимом контуре выбирается произвольное направление контурного тока.
3. Составление системы уравнений: Для каждого контура составляется уравнение по Второму закону Кирхгофа. В левой части записывается алгебраическая сумма ЭДС, действующих в контуре, а в правой — алгебраическая сумма падений напряжений, создаваемых как собственным контурным током, так и токами из соседних контуров.

Уравнение для $k$-го контура имеет вид:
ΣEk = ΣZkk·Ik + ΣZkj·Ij
где $Z_kk$ — собственное сопротивление $k$-го контура (сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в $k$-й контур); $Z_kj$ — взаимное сопротивление между $k$-м и $j$-м контурами (сопротивление общей ветви); $I_k$, $I_j$ — контурные токи.

Преимущества:

• Сокращение числа уравнений: Это главное преимущество, значительно упрощающее ручные расчеты и повышающее эффективность автоматизированных систем.
• Систематичность: Метод позволяет формализовать процесс составления уравнений, что удобно для программирования.

Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов — это один из наиболее универсальных и широко используемых методов расчета электрических цепей, особенно в системах автоматизированного проектирования (САПР), ведь он предоставляет элегантный способ описания сложных систем. Его основной идеей является использование потенциалов узлов цепи в качестве неизвестных величин.

Принцип метода:

1. Выбор опорного узла: Один из узлов цепи выбирается в качестве опорного, и его потенциал принимается равным нулю ($\phi₀ = 0$). Это позволяет определить потенциалы остальных узлов относительно этой точки.
2. Определение числа уравнений: Число совместно решаемых уравнений равно $y — 1$, где $y$ — общее число узлов в цепи. Это также может быть значительно меньше числа уравнений, необходимых при прямом применении законов Кирхгофа. Например, для цепи с 4 узлами потребуется всего 3 уравнения.
3. Составление системы уравнений: Для каждого независимого (неопорного) узла составляется уравнение по Первому закону Кирхгофа, выражая токи ветвей через потенциалы узлов и параметры ветвей.

Уравнение для $k$-го узла (в комплексной форме) выглядит следующим образом:
ΣYkk·φk + ΣYkj·φj = ΣJk
где $Y_kk$ — собственная проводимость $k$-го узла (сумма проводимостей всех ветвей, примыкающих к $k$-му узлу); $Y_kj$ — взаимная проводимость между $k$-м и $j$-м узлами (проводимость ветви, соединяющей эти узлы, со знаком «−»); $\phi_k$, $\phi_j$ — потенциалы узлов; $J_k$ — алгебраическая сумма токов источников, подключенных к $k$-му узлу.

Преимущества:

• Общность: Метод применим к очень широкому классу электрических цепей.
• Эффективность для автоматизации: Благодаря своей систематизированной структуре, метод узловых потенциалов является основой для алгоритмов, используемых в различных САПР. Например, в энергетике для проектирования схем электроснабжения применяются такие программы, как «Альфа», «RastrWIN», «TKZ-3000», где этот метод играет ключевую роль.
• Удобство для цепей с большим числом узлов: Чем больше узлов в цепи, тем более выгодным становится этот метод с точки зрения сокращения числа решаемых уравнений.

Выбор между этими методами часто определяется структурой конкретной цепи и числом ветвей/узлов. Символический метод всегда используется как базис для работы с переменным током, а методы контурных токов и узловых потенциалов — как способ сокращения алгебраических пре��бразований.

Методы Анализа Переходных Процессов в Линейных Электрических Цепях

Переходные процессы — это динамическая реакция электрической цепи на внезапные изменения, будь то включение источника питания, короткое замыкание или изменение нагрузки. Они имеют критическое значение для понимания устойчивости и безопасности работы электротехнических систем, поскольку именно в эти моменты могут возникать опасные перегрузки. Для их анализа разработаны различные методы, каждый из которых обладает своими особенностями.

Классический метод расчета переходных процессов

Классический метод является фундаментальным подходом к анализу переходных процессов, основанным на непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи. Он предлагает физически наглядное представление решения, разделяя его на две составляющие.

Принцип метода:

1. Составление дифференциальных уравнений: С использованием законов Кирхгофа, Ома и электромагнитной индукции (для индуктивностей и емкостей) составляется система дифференциальных уравнений, описывающих цепь после коммутации.
2. Структура решения: Общее решение неоднородного дифференциального уравнения цепи записывается как сумма двух составляющих:
   • Принужденная составляющая (установившийся режим): Это частное решение неоднородного уравнения, которое описывает поведение цепи после завершения переходного процесса, то есть в новом установившемся режиме. Она может быть найдена, например, с помощью символического метода для цепей переменного тока.
   • Свободная составляющая: Это общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения. Она описывает естественные колебания или затухание, возникающие в цепи без внешнего воздействия. Форма свободной составляющей зависит от корней характеристического уравнения цепи.
3. Определение постоянных интегрирования: Неизвестные постоянные интегрирования (амплитуды свободных составляющих) определяются из начальных условий, которые, в свою очередь, задаются законами коммутации.

Преимущества:

• Физическая наглядность: Метод четко разделяет вынужденные и свободные колебания, позволяя понять физическую природу каждого компонента переходного процесса.
• Удобство для простых цепей: Наиболее эффективен для цепей первого или второго порядка, где дифференциальные уравнения легко интегрируются.

Операторный метод (метод преобразования Лапласа)

Операторный метод, основанный на преобразовании Лапласа, представляет собой более универсальный и часто менее трудоемкий подход к анализу переходных процессов, особенно при сложных внешних воздействиях.

Принцип метода:

1. Преобразование во временной области в операторную: Дифференциальные уравнения, описывающие цепь во временной области $t$, преобразуются в алгебраические уравнения в операторной (комплексной) области $s$ с помощью преобразования Лапласа. Для этого используются таблицы преобразований и учитываются начальные условия. Например, производная $df(t)/dt$ преобразуется в $sF(s) — f(0^—)$, где $f(0^—)$ — значение функции до коммутации.
2. Решение алгебраических уравнений: Полученная система алгебраических уравнений решается относительно изображений искомых токов или напряжений ($\bar{I}(s)$, $\bar{U}(s)$).
3. Обратное преобразование Лапласа: Найденные изображения преобразуются обратно во временную область для получения искомых функций $i(t)$ или $u(t)$.

Преимущества:

• Упрощение сложных задач: Сводит решение дифференциальных уравнений к решению алгебраических, что значительно упрощает анализ, особенно для цепей высоких порядков и при сложных коммутациях.
• Удобство при простых воздействиях: Особенно эффективен, когда внешнее воздействие (источник ЭДС или тока) имеет сравнительно простой вид (например, ступенчатая функция, импульс).

Метод переменных состояния

Метод переменных состояния представляет собой систематизированный и мощный подход к анализу динамических систем, включая электрические цепи. Он является основой для компьютерного моделирования и анализа сложных систем, обеспечивая глубокий взгляд на внутренние взаимосвязи.

Принцип метода:

1. Выбор переменных состояния: В качестве переменных состояния выбираются токи через индуктивности и напряжения на емкостях, поскольку именно эти величины не могут изменяться мгновенно и определяют энергию, запасенную в цепи.
2. Составление системы дифференциальных уравнений первого порядка: Электромагнитное состояние цепи описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка, представленных в нормальной форме (форме Коши):
   dx/dt = A·x + B·u
   где x — вектор переменных состояния, u — вектор входных воздействий, A и B — матричные коэффициенты, зависящие от параметров цепи.
3. Решение системы: Полученная система дифференциальных уравнений решается аналитически или численно, что позволяет найти временные зависимости всех переменных состояния.

Преимущества:

• Систематичность: Подход хорошо структурирован и легко поддается алгоритмизации, что делает его идеальным для компьютерного моделирования.
• Универсальность: Применим к цепям любой сложности и конфигурации.
• Основа для САПР: Является базовым методом, используемым в большинстве современных программ для моделирования электрических цепей.

Законы коммутации и их физическая сущность

Переходные процессы обусловлены коммутациями — мгновенными изменениями в цепи (включение, выключение, короткое замыкание и т.д.). Однако не все параметры цепи могут изменяться мгновенно. Это объясняется фундаментальными законами сохранения энергии.

Законы коммутации:

1. Ток через индуктивность не может изменяться мгновенно:
   iL(0-) = iL(0+)
   где $i_L(0^—)$ — ток через индуктивность непосредственно до коммутации; $i_L(0⁺)$ — ток через индуктивность сразу после коммутации.
   Физическая сущность: Энергия, запасенная в магнитном поле катушки индуктивности ($W_L = 0.5·L·i_L²$), не может измениться мгновенно. Для мгновенного изменения тока (и, следовательно, энергии) потребовалась бы бесконечная мощность, что невозможно. Поэтому индуктивность «сопротивляется» резким изменениям тока, поддерживая его значение сразу после коммутации равным значению до коммутации.
2. Напряжение на емкости не может изменяться мгновенно:
   uC(0-) = uC(0+)
   где $u_C(0^—)$ — напряжение на емкости непосредственно до коммутации; $u_C(0⁺)$ — напряжение на емкости сразу после коммутации.
   Физическая сущность: Энергия, запасенная в электрическом поле конденсатора ($W_C = 0.5·C·u_C²$), также не может измениться мгновенно. Для мгновенного изменения напряжения (и, следовательно, энергии) потребовался бы бесконечный ток, что невозможно. Поэтому конденсатор «сопротивляется» резким изменениям напряжения, сохраняя его значение сразу после коммутации.

Эти законы коммутации являются краеугольным камнем для определения начальных условий при решении дифференциальных уравнений переходных процессов и критически важны для корректного анализа динамического поведения цепей.

Анализ Физических Явлений в Цепях Переменного Тока: Самоиндукция, Взаимная Индукция и Резонанс

Понимание того, как электрические цепи взаимодействуют с собственными и внешними магнитными и электрическими полями, является ключом к глубокому анализу их поведения. Явления самоиндукции, взаимной индукции и резонанса — это не просто теоретические концепции, а мощные физические эффекты, которые лежат в основе функционирования множества электротехнических устройств и могут приводить как к полезным эффектам, так и к аварийным ситуациям.

Явления самоиндукции и взаимной индукции

Начнем с фундаментального принципа, открытого Фарадеем, который гласит, что изменение магнитного потока, пронизывающего контур, порождает в этом контуре электродвижущую силу (ЭДС).

Самоиндукция:
Это явление возникновения ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении протекающего через него тока. Когда ток в катушке изменяется, изменяется и создаваемый им магнитный поток, который, в свою очередь, пронизывает саму катушку. Это изменение потока порождает ЭДС самоиндукции, которая, согласно закону Ленца, всегда направлена так, чтобы препятствовать изменению вызвавшего ее тока. Если ток увеличивается, ЭДС самоиндукции пытается его уменьшить; если ток уменьшается, ЭДС самоиндукции пытается его поддержать.
Математически величина ЭДС самоиндукции $\varepsilon_L$ определяется формулой:
εL = − L·(di/dt)
где $L$ — коэффициент самоиндукции (или индуктивность контура), измеряемый в Генри (Гн); $di/dt$ — скорость изменения тока.

Взаимная индукция:
Это более сложное, но не менее важное явление, при котором изменение тока в одном проводящем контуре приводит к возникновению ЭДС индукции в другом, соседнем контуре, связанном с ним общим магнитным полем. Например, в трансформаторе изменение тока в первичной обмотке вызывает ЭДС во вторичной.
Величина ЭДС взаимной индукции, возникающей во втором контуре ($\varepsilon₂₁$) при изменении тока в первом контуре ($i₁$), определяется формулой:
ε21 = − M·(di1/dt)
Аналогично, ЭДС в первом контуре ($\varepsilon₁₂$) при изменении тока во втором контуре ($i₂$) равна:
ε12 = − M·(di2/dt)
Здесь $M$ — коэффициент взаимной индукции, также измеряемый в Генри (Гн). Он зависит от геометрического расположения контуров, их размеров, формы, а также от магнитной проницаемости среды между ними. Коэффициент $M$ может быть равен нулю, если контуры не имеют магнитной связи, и достигает максимума при тесной магнитной связи (например, в трансформаторе с ферромагнитным сердечником). Эти явления играют ключевую роль в работе трансформаторов, индуктивных связей и других устройств.

Резонансные явления: Резонанс напряжений и резонанс токов

Резонанс — это одно из самых драматичных и значимых явлений в колебательных системах. В общем смысле, это резкое увеличение амплитуды колебаний системы, когда частота внешнего воздействия совпадает с одной из ее собственных (резонансных) частот. В электрических цепях с индуктивными и емкостными элементами резонанс проявляется как режим работы, при котором входное сопротивление или проводимость цепи становится чисто вещественным, что приводит к совпадению по фазе тока на входе цепи с входным напряжением.

Резонанс напряжений (последовательный резонанс):
Возникает в цепи, где индуктивность ($L$) и емкость ($C$) соединены последовательно. Условием его возникновения является равенство индуктивного сопротивления ($X_L$) и емкостного сопротивления ($X_C$):
XL = XC
ωL = 1/(ωC)
Отсюда получаем формулу для резонансной частоты $\omega₀$:
ω0 = 1/√(LC)
При резонансе напряжений, несмотря на то, что полное сопротивление цепи $Z = R + j(X_L — X_C)$ становится минимальным и равным активному сопротивлению $R$ (поскольку реактивные составляющие компенсируют друг друга), напряжения на индуктивности ($U_L = I·X_L$) и емкости ($U_C = I·X_C$) могут значительно превышать напряжение источника питания. Это явление используется в колебательных контурах для селекции частот, но может быть опасным в силовых цепях, вызывая пробои изоляции.

Резонанс токов (параллельный резонанс):
Возникает в цепи, где индуктивность ($L$) и емкость ($C$) соединены параллельно. При резонансе токов энергия магнитного поля индуктивности периодически переходит в энергию электрического поля конденсатора и наоборот, создавая циркулирующий ток между ними. Условие возникновения аналогично резонансу напряжений:
ωL = 1/(ωC)
ω0 = 1/√(LC)
При резонансе токов полное сопротивление параллельного колебательного контура на резонансной частоте достигает максимума, а общий ток, потребляемый от источника, становится минимальным и чисто активным. Однако токи, протекающие в ветвях индуктивности и емкости, могут быть значительно больше общего тока в цепи. Это свойство используется в фильтрах, резонаторах и для улучшения коэффициента мощности.

Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора. При резонансе этот обмен происходит с минимальными потерями, что приводит к максимальному накоплению энергии в реактивных элементах и, как следствие, к резкому увеличению амплитуд токов или напряжений.

Добротность колебательного контура

Понятие добротности (Q-фактора) является ключевым для количественной оценки резонансных явлений и степени их выраженности. Добротность — это безразмерная величина, характеризующая способность колебательного контура накапливать энергию и его селективные свойства.

• Для последовательного колебательного контура (резонанс напряжений): Добротность определяется как отношение реактивного сопротивления (индуктивного или емкостного) к активному сопротивлению потерь в контуре:
  Q = (ω0L) / R = 1 / (ω0CR)
  При резонансе напряжений, напряжение на индуктивности ($U_L$) или емкости ($U_C$) может быть в Q раз больше напряжения источника: $U_L \approx U_C \approx Q·U_{источника}$. Если добротность, например, 50, то напряжения на реактивных элементах могут в 50 раз превысить входное, что критически важно учитывать при проектировании.
• Для параллельного колебательного контура (резонанс токов): Добротность определяется как отношение активного сопротивления контура к реактивному сопротивлению ветви:
  Q = R / (ω0L) = ω0CR
  При резонансе токов, токи, циркулирующие в индуктивности ($I_L$) и емкости ($I_C$), могут быть в Q раз больше общего тока, потребляемого от источника: $I_L \approx I_C \approx Q·I_{источника}$.

Практическое применение и потенциальные опасности:

• Полезное применение: Резонансные явления широко используются в радиотехнике (настройка на определенную частоту, фильтрация), электронике (селективные фильтры, генераторы), а также в энергетике для компенсации реактивной мощности.
• Потенциальные опасности: Неконтролируемое возникновение резонанса может привести к серьезным проблемам:
  • Перенапряжения: Резкое увеличение напряжений на элементах цепи (резонанс напряжений) может вызвать пробой изоляции оборудования.
  • Сверхтоки: Большие токи в ветвях (резонанс токов) или во всей цепи (резонанс напряжений) могут привести к перегреву, разрушению элементов и срабатыванию защит, а также к потерям энергии.

Понимание и учет резонансных явлений критически важны для обеспечения надежности и эффективности любых электрических и электронных систем.

Расчет и Построение Векторных Диаграмм

Векторные диаграммы — это не просто вспомогательный инструмент для визуализации, а мощный аналитический метод, который значительно упрощает понимание и расчет цепей переменного синусоидального тока. Они позволяют перевести абстрактные алгебраические вычисления в наглядную графическую форму, делая фазовые соотношения между токами и напряжениями интуитивно понятными, что снижает риск ошибок и улучшает понимание процессов.

Основы векторного представления синусоидальных величин

Синусоидально изменяющиеся величины (токи, напряжения, ЭДС) характеризуются амплитудой, частотой и начальной фазой. Векторная диаграмма представляет эти величины в виде векторов на комплексной плоскости, где:

• Длина вектора пропорциональна действующему или амплитудному значению синусоидальной величины.
• Угол наклона вектора относительно выбранной оси (обычно оси действительных чисел) соответствует начальной фазе этой величины.
• Вращение векторов против часовой стрелки с угловой частотой $\omega$ (которая для всех величин в установившемся режиме одинакова) отражает изменение во времени.

Преимущества векторного представления:

• Упрощение сложения и вычитания: Вместо сложения мгновенных значений синусоид (что является трудоемкой тригонометрической задачей), происходит простое сложение или вычитание векторов по правилам векторной алгебры (правило параллелограмма или треугольника).
• Наглядность: Мгновенно видны фазовые сдвиги между различными величинами, что позволяет быстро оценить характер нагрузки (индуктивная, емкостная, активная) и взаимосвязи между токами и напряжениями. Это помогает избежать грубых ошибок, которые могут возникнуть при чисто алгебраических вычислениях.
• Предварительная оценка: Позволяет быстро оценить правильность полученных расчетов, сравнивая их с интуитивно ожидаемыми фазовыми соотношениями.

Построение векторных диаграмм для однофазных цепей

Построение векторной диаграммы для однофазной цепи начинается с выбора базового (опорного) вектора, относительно которого будут откладываться фазы остальных величин. Часто в качестве опорного выбирается вектор напряжения источника или ток в последовательной цепи.

Алгоритм построения:

1. Выбор опорного вектора: Например, для последовательной цепи с резистором, индуктивностью и емкостью, удобно выбрать в качестве опорного вектор тока $\bar{I}$, так как он одинаков для всех последовательно соединенных элементов.
2. Расчет комплексных сопротивлений: Определить $Z_R = R$, $Z_L = jX_L$, $Z_C = -jX_C$.
3. Расчет падений напряжений:
   • На резисторе: $\bar{U}_R = \bar{I}·R$. Вектор $\bar{U}_R$ совпадает по фазе с $\bar{I}$.
   • На индуктивности: $\bar{U}_L = \bar{I}·jX_L$. Вектор $\bar{U}_L$ опережает $\bar{I}$ на 90°.
   • На емкости: $\bar{U}_C = \bar{I}·(-jX_C)$. Вектор $\bar{U}_C$ отстает от $\bar{I}$ на 90°.
4. Построение диаграммы: Откладываем векторы на комплексной плоскости в соответствии с их амплитудами и фазами. Вектор напряжения источника $\bar{U}_{источника}$ будет равен векторной сумме падений напряжений на элементах цепи: $\bar{U}_{источника} = \bar{U}_R + \bar{U}_L + \bar{U}_C$.

Векторные диаграммы для трехфазных цепей (соединения «звезда» и «треугольник»)

Трехфазные цепи являются основой современной электроэнергетики. Векторные диаграммы для них строятся с учетом фазных и линейных напряжений и токов, а также способа соединения фаз.

Соединение «звезда» (Y):

• Схема: Начала фазных обмоток источника (или нагрузки) соединяются в общую точку, называемую нейтральной (нулевой). К концам фаз подключаются линейные провода. Может быть с нулевым проводом или без него.
• Соотношения:
  • Линейные токи равны фазным: $I_Л = I_Ф$ (если нет нулевого провода или нагрузка симметрична).
  • Линейные напряжения больше фазных в √3 раз и сдвинуты относительно них: $U_Л = √3U_Ф$. Векторы линейных напряжений сдвинуты относительно фазных на ±30°.
• Построение: Сначала откладываются векторы фазных напряжений ($U_АФ$, $U_ВФ$, $U_СФ$) под углом 120° друг к другу. Затем, используя правило вычитания векторов (например, $U_АВ = U_АФ — U_ВФ$), строятся векторы линейных напряжений. Токи в фазах нагрузки откладываются с учетом их фазовых сдвигов относительно фазных напряжений. Вектор тока в нулевом проводе (если он есть) равен векторной сумме фазных токов.

Соединение «треугольник» (Δ):

• Схема: Концы одной фазной обмотки источника (или нагрузки) соединяются с началом другой, образуя замкнутый треугольник. Линейные провода подключаются к вершинам треугольника.
• Соотношения:
  • Фазные напряжения равны линейным: $U_Ф = U_Л$.
  • Линейные токи больше фазных в √3 раз и сдвинуты относительно них: $I_Л = √3I_Ф$ (для симметричной нагрузки).
• Построение: Сначала откладываются векторы линейных напряжений (они же фазные напряжения) под углом 120° друг к другу. Затем, с учетом фазовых сдвигов нагрузки, строятся векторы фазных токов. Линейные токи определяются как векторная разность фазных токов (например, $I_А = I_АВ — I_СА$).

Построение векторных диаграмм является обязательным этапом в курсовой работе, поскольку оно позволяет наглядно проиллюстрировать результаты расчетов и подтвердить их корректность.

Современные Инструменты: Моделирование и Автоматизированный Расчет

В эпоху цифровизации ручные расчеты сложных электрических цепей уступают место автоматизированным системам, которые не только ускоряют процесс проектирования, но и обеспечивают более глубокий анализ и визуализацию процессов. Компьютерное моделирование стало неотъемлемой частью работы инженера-электрика, позволяя эффективно решать системы уравнений, оптимизировать параметры и прогнозировать поведение систем, а значит, существенно повышать качество и надежность разработок.

Применение MathCAD, MATLAB и Simulink

Эти программные пакеты представляют собой мощные универсальные средства для инженерных расчетов, моделирования и визуализации.

• MathCAD: Это интерактивная система для математических и инженерных расчетов. Ее ключевая особенность — естественное представление формул, что делает работу с ней интуитивно понятной.
  • Возможности: MathCAD позволяет выполнять численные и символьные вычисления, решать системы линейных и нелинейных уравнений, дифференциальные уравнения (что крайне важно для переходных процессов), работать с комплексными числами, строить графики и диаграммы. Это делает его идеальным для реализации методов контурных токов, узловых потенциалов и операторного метода.
  • Принцип применения: Пользователь вводит формулы и данные, как в обычной тетради, а MathCAD автоматически выполняет расчеты и строит графики. Например, можно ввести матрицу комплексных сопротивлений для метода контурных токов и получить решение системы уравнений в считанные секунды.
• MATLAB (Matrix Laboratory): Это высокопроизводительный язык для технических вычислений. Он ориентирован на матричные операции, что делает его чрезвычайно эффективным для решения систем линейных уравнений, анализа данных и разработки алгоритмов.
  • Возможности: MATLAB позволяет реализовывать любые аналитические методы расчета цепей, выполнять численное интегрирование дифференциальных уравнений (для классического метода и метода переменных состояния), строить временные и частотные характеристики, анализировать устойчивость систем.
  • Принцип применения: Пользователь пишет скрипты или функции на языке MATLAB, которые описывают электрическую цепь и алгоритм расчета. Например, можно создать модель цепи, задать параметры элементов и источников, а затем получить графики токов и напряжений во времени для переходных процессов.
• Simulink (входит в состав MATLAB): Это графическая среда для моделирования динамических систем. В отличие от MATLAB, где преобладает текстовое программирование, Simulink позволяет строить модели, перетаскивая блоки из библиотек и соединяя их между собой, что максимально приближено к реальным электрическим схемам.
  • Возможности: Идеален для моделирования переходных процессов и динамических режимов, анализа поведения систем управления. Позволяет создавать блоки, представляющие резисторы, индуктивности, емкости, источники ЭДС и тока, а затем соединять их, имитируя электрическую схему.
  • Принцип применения: Студент может собрать в Simulink схему электрической цепи, настроить параметры элементов и источников, а затем запустить симуляцию, чтобы наблюдать за изменением токов и напряжений во времени, а также анализировать резонансные явления.

Использование SPICE-симуляторов (например, OrCAD/PSPICE)

SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis) — это семейство программных пакетов, разработанных специально для схемотехнического моделирования электронных и электрических цепей. OrCAD/PSPICE является одним из самых популярных и функциональных представителей этого семейства.

• Принципы работы: SPICE-симуляторы используют матричные методы (например, метод узловых потенциалов) для составления уравнений цепи и численные методы для их решения. Пользователь создает схему в графическом редакторе, задает параметры компонентов и источников, а затем указывает тип анализа, который необходимо провести (например, AC Analysis для установившихся режимов переменного тока, Transient Analysis для переходных процессов).
• Функционал:
  • DC Analysis (анализ по постоянному току): Расчет установившихся режимов при постоянных воздействиях.
  • AC Analysis (анализ по переменному току): Расчет установившихся режимов для синусоидальных сигналов, построение частотных характеристик, определение амплитудно-фазовых соотношений.
  • Transient Analysis (анализ переходных процессов): Расчет изменения токов и напряжений во времени после коммутации или изменения входных воздействий.
  • Monte Carlo Analysis: Анализ влияния разброса параметров компонентов на работу схемы.
  • Оптимизация параметров: Подбор значений компонентов для достижения заданных характеристик.

Применение:
Студент может построить схему цепи в OrCAD Capture, задать параметры элементов (R, L, C) и источников, а затем использовать PSpice для моделирования. Например, можно смоделировать последовательный колебательный контур, провести AC-анализ для построения частотной характеристики тока и напряжения, а затем Transient-анализ для наблюдения за переходным процессом при включении источника.

Преимущества автоматизированного расчета

Интеграция компьютерных инструментов в процесс расчета электрических цепей приносит множество выгод:

• Упрощение решения сложных систем уравнений: САПР позволяют мгновенно решать системы из сотен и тысяч уравнений, что нереализуемо вручную.
• Визуализация процессов: Графическое представление результатов (временные и векторные диаграммы, частотные характеристики) способствует более глубокому пониманию поведения цепи.
• Сокращение времени на проектирование: Автоматизация позволяет быстро проверять различные варианты схем, менять параметры и оптимизировать решения.
• Повышение точности и надежности: Устранение человеческого фактора при расчетах значительно снижает вероятность ошибок.
• Оптимизация: Возможность подбора оптимальных параметров элементов цепи для достижения желаемых характеристик.
• Анализ неидеальных условий: Моделирование влияния разброса параметров, температурных изменений и других факторов.

Использование этих инструментов в курсовой работе демонстрирует не только теоретическое знание, но и практические навыки работы с современными инженерными средствами, что критически важно для будущего специалиста.

Критерии Выбора Модели Цепи: Сосредоточенные и Распределенные Параметры

Выбор адекватной математической модели для описания реальной электрической цепи является одним из ключевых этапов проектирования. От этого выбора зависит точность расчетов, сложность модели и, как следствие, эффективность инженерного решения. В электротехнике различают модели цепей с сосредоточенными и распределенными параметрами, и каждый подход имеет свои строгие критерии применимости.

Модель цепи с сосредоточенными параметрами

Модель цепи с сосредоточенными параметрами (или модель с сосредоточенными постоянными) является наиболее распространенной и простой для анализа. В этой модели предполагается, что все электрические параметры (сопротивление, индуктивность, емкость) сосредоточены в отдельных точках или элементах цепи. Например, идеальный резистор обладает только сопротивлением, идеальная катушка — только индуктивностью, а идеальный конденсатор — только емкостью. При этом длина соединительных проводов считается пренебрежимо малой, а время распространения электромагнитных сигналов по цепи — мгновенным.

Условия применимости:
Критерием допустимости использования модели с сосредоточенными параметрами является соотношение между максимальным геометрическим размером цепи ($L_max$) и длиной электромагнитной волны ($\lambda$), соответствующей максимальной рабочей частоте сигнала в цепи.
Модель с сосредоточенными параметрами применима, когда:
Lmax << λ
или, более строго, когда:
Lmax < λ / 10 (или даже $L_max < \lambda / 20$)

Физическое обоснование: Если размер цепи значительно меньше длины волны, то фаза электромагнитной волны изменяется незначительно на всем протяжении цепи. Это означает, что токи и напряжения в различных точках цепи в один и тот же момент времени можно считать синхронными, и временем распространения сигнала можно пренебречь. Например, для бытовой электросети с частотой 50 Гц длина волны $\lambda = c / f = (3·10⁸ м/с) / 50 Гц = 6·10⁶ км$. Очевидно, что даже цепи длиной в несколько сотен метров (до 600 км по критерию $\lambda / 1000$) можно считать цепями с сосредоточенными параметрами. Однако для высокочастотных цепей (например, в СВЧ-диапазоне) длина волны может составлять сантиметры или миллиметры, и даже небольшая плата становится «длинной линией».

Теория длинных линий и распределенные параметры

Теория длинных линий и учет распределенных параметров становятся необходимыми, когда размеры цепи соизмеримы или превышают длину электромагнитной волны ($\lambda$), и временем распространения сигнала уже нельзя пренебрегать. В таких случаях параметры цепи (сопротивление, индуктивность, емкость, проводимость изоляции) распределены по всей длине линии, а не сосредоточены в отдельных точках.

Примеры длинных линий:

• Линии электропередачи на большие расстояния.
• Кабели связи (коаксиальные, витые пары).
• Волноводы и микрополосковые линии в высокочастотной технике.

Особенности распределенных параметров:

• Зависимость параметров от длины: Сопротивление, индуктивность, емкость и проводимость утечки являются функциями длины линии ($r₀$, $l₀$, $c₀$, $g₀$ на единицу длины).
• Уравнения телеграфной связи: Описание токов и напряжений в длинных линиях осуществляется с помощью системы двух дифференциальных уравнений в частных производных (уравнения телеграфной связи), которые учитывают зависимость от координаты ($x$) и времени ($t$).
• Явление волн: В длинных линиях электромагнитные сигналы распространяются в виде волн, и возникают явления отражения и стоячих волн.
• Согласование нагрузок: Для эффективной передачи энергии без отражений необходимо согласование нагрузки с волновым сопротивлением линии.

Необходимость использования:
Когда $L_max \ge \lambda / 10$ (или $\lambda / 20$), модель с сосредоточенными параметрами становится неточной или полностью непригодной. В таких случаях, например, при расчете линий электропередач или высокочастотных трактов, необходимо применять теорию длинных линий и учитывать распределенные параметры, чтобы корректно предсказать поведение токов, напряжений и передачу энергии.

Таким образом, студент должен четко понимать эти критерии, чтобы выбрать адекватную модель цепи и избежать фундаментальных ошибок в расчетах, что является залогом успешного проектирования и эксплуатации электрических систем.

Заключение и Рекомендации по Оформлению Курсовой Работы

Настоящая методология представляет собой комплексный подход к подготовке курсовой работы по расчету установившихся и переходных процессов в линейных цепях переменного тока. В ее рамках были рассмотрены фундаментальные теоретические основы, детально проанализированы классические и современные методы расчета, углубленно изучены ключевые физические явления, такие как самоиндукция, взаимная индукция и резонанс, а также предложены практические рекомендации по использованию современного программного обеспечения и выбору адекватных моделей цепей.

Выполнение курсовой работы по данной методологии позволит студенту не только закрепить теоретические знания по дисциплине «Теоретические основы электротехники», но и развить практические навыки системного анализа, применения различных математических инструментов и компьютерного моделирования. Особое внимание уделено «слепым зонам», часто упускаемым в типовых работах, что делает данную методологию уникальной и ценной, обеспечивая более глубокое и всестороннее понимание предмета.

Рекомендации по оформлению курсовой работы:

1. Структура работы:
   • Введение: Актуальность темы, цели и задачи работы, краткий обзор использованных методов, структура.
   • Теоретическая часть: Подробное изложение фундаментальных понятий, законов и методов (согласно разделам данной методологии).
   • Расчетная часть: Пошаговое решение конкретной задачи по расчету установившихся и переходных процессов, включая построение векторных и временных диаграмм.
   • Моделирование (если требуется): Описание используемого программного обеспечения, построение модели, результаты моделирования и их сравнение с аналитическим расчетом.
   • Анализ результатов: Интерпретация полученных данных, выводы о поведении цепи, оценка влияния различных параметров.
   • Заключение: Обобщение ключевых результатов, подтверждение достижения поставленных целей и задач, выводы по работе.
   • Список литературы: Оформленный согласно ГОСТ, с обязательным использованием авторитетных источников (учебники ТОЭ, монографии, рецензируемые статьи).
   • Приложения (при необходимости): Коды программ, большие таблицы данных, осциллограммы и т.д.
2. Стиль изложения: Академический, технический. Требуется использование специализированной терминологии, строгость изложения, логическая последовательность, точность формулировок и обоснованность выводов. Избегайте разговорных выражений, эмоциональных оценок и необоснованных утверждений.
3. Оформление расчетов и формул:
   • Все формулы должны быть приведены в общепринятом виде и сопровождаться пояснениями входящих в них величин.
   • При выполнении расчетов необходимо показывать исходные данные, саму формулу в общем виде и пошаговое применение этой формулы с промежуточными и окончательными результатами.
   • Используйте корректное математическое форматирование.
4. Графики и диаграммы:
   • Все графики, векторные и временные диаграммы должны быть четкими, иметь названия, оси с подписями и единицами измерения, а также легенды (если несколько кривых).
   • Размещайте графики сразу после ссылки на них в тексте.
5. Список литературы: Обязательно ссылайтесь на авторитетные источники, такие как учебники Л. А. Бессонова, К. С. Демирчяна, П. А. Ионкина, Г. В. Зевеке, методические указания ведущих технических вузов и рецензируемые научные статьи. Избегайте использования ненадежных источников (блоги, форумы, нерецензируемые ресурсы).
6. Язык и грамматика: Тщательно вычитывайте текст на предмет орфографических, пунктуационных и стилистических ошибок.

Следуя этим рекомендациям и представленной методологии, студент сможет подготовить высококачественную курсовую работу, демонстрирующую глубокое понимание предмета и владение современными инструментами анализа электрических цепей.

Список использованной литературы

1. Методические указания к курсовой работе: Расчет установившихся и переходных процессов в линейных цепях переменного тока / сост.: Б. Ю. Алтунин, С. В. Барбашов, Н. Г. Панкова, Н. П. Чистякова. – Н. Новгород, 2004.
2. Башарин С.А. Теоретические основы электротехники. – М.: Издательский центр «Академия».
3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи: учебник для студ. электротехн., энерг. и приборостроит. спец. вузов. – 12-е изд., испр. и доп. – М.: Elec.ru, 2016.
4. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 1. – 4-е изд. – СПб.: Питер, 2003.
5. Денисова А.В. Применение операторного метода и метода переменных состояния для расчета переходных процессов.
6. Законы Кирхгофа: в чем суть первого и второго правил Кирхгофа, формулы, уравнения и расчет для электрической цепи // Наука Mail.
7. Лоторейчук Е.А. Теоретические основы электротехники: Учебник. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2006.
8. Масленникова С.И. Расчет переходных процессов в электрических цепях во временной области. – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006.
9. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Т. 1. – Л.: Энергоиздат, 1981.
10. Основы теории цепей: Учебник для вузов / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин и др. – М.: Энергоатомиздат, 1989.
11. Погромская Л.Ф. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ. – ВОЕНМЕХ.
12. Сборник задач и упражнений по ТОЭ / Под ред. П.А. Ионкина. – М.: Энергоиздат, 1982.
13. Сборник задач по теоретическим основам электротехники / Под ред. Л. А. Бессонова. – М.: Высш. шк., 1980.
14. Татур Т.А. Основы теории электрических цепей. – М.: Высш. шк., 1980.
15. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. – М.: Высш. шк., 1990.
16. Явление резонанса — условия, формулы, график. Skysmart.