Аналитическое и численное моделирование переходной динамики свободно опертого стержня при внезапном снятии нагрузки: Верификация алгоритма на основе модального анализа

В мире, где инженерные конструкции становятся все более сложными и подвергаются разнообразным динамическим воздействиям, понимание и точное прогнозирование их поведения при переходных процессах является краеугольным камнем безопасности и долговечности. Представьте себе мостовой пролет, который после прохождения тяжелого транспорта мгновенно освобождается от нагрузки, или строительную ферму, с которой резко снимают временные монтажные опоры. В каждом из этих сценариев возникают свободные колебания — динамический отклик, который, если его не учесть, может привести к усталостному разрушению или даже к катастрофическим последствиям. Именно поэтому задача анализа динамики сооружений, в частности переходных процессов после внезапного снятия нагрузки, приобретает особую актуальность для современного проектирования и строительства, требуя от инженеров глубоких теоретических знаний и навыков работы с передовыми вычислительными методами.

Настоящее исследование смещает фокус с обыденного описания программного обеспечения, характерного для многих студенческих работ, в сторону глубокого и строгого анализа самой математической модели, выбора оптимального численного алгоритма и всесторонней верификации полученных результатов. Цель данной работы — не просто показать, как «нажать кнопку» в программе, а дать студенту инженерно-технического вуза (специальности: Строительство, Прикладная механика, Прикладная математика, Информатика и вычислительная техника) прочное методологическое основание для самостоятельного решения сложных динамических задач. Мы стремимся создать академически значимое исследование, которое станет надежным ориентиром в мире вычислительной механики, акцентируя внимание на теоретической строгости и практической применимости.

Математическая модель свободных колебаний и начальные условия

Любое глубокое исследование динамических явлений начинается с точной и адекватной математической модели. Именно она является фундаментом, на котором строится весь дальнейший анализ, как аналитический, так и численный. В нашем случае, речь идет о колебаниях свободно опертого стержня – классической задаче строительной механики, но рассматриваемой с акцентом на переходный процесс, возникающий после внезапного снятия нагрузки. Каким образом начальные условия влияют на последующее поведение системы? Этот вопрос ключевой для понимания динамического отклика.

Дифференциальное уравнение движения и краевые условия

В основе описания поперечных (изгибных) колебаний стержней, обладающих относительно небольшой высотой поперечного сечения по сравнению с длиной, лежит классическая теория Эйлера-Бернулли. Эта теория, несмотря на свою давность, до сих пор является фундаментальной и широко применимой для большинства инженерных задач. Она базируется на гипотезе плоских сечений, остающихся плоскими и нормальными к изогнутой оси после деформации, и пренебрежении влиянием сдвиговых деформаций и инерции вращения.

Дифференциальное уравнение, описывающее изгибные колебания стержня в рамках этой теории, имеет вид:

EI ∂4w/∂x4 + ρA ∂2w/∂t2 = q(x, t)

Где:

• w(x, t) — поперечное смещение (прогиб) стержня в точке x в момент времени t. Это ключевая искомая функция.
• EI — изгибная жесткость стержня. Здесь E — модуль упругости материала (например, сталь, бетон), а I — момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси. Произведение EI характеризует сопротивление стержня изгибу.
• ρA — масса единицы длины стержня. ρ — плотность материала, A — площадь поперечного сечения. Этот член учитывает инерционные свойства стержня.
• q(x, t) — внешняя распределенная нагрузка, действующая на стержень.

В контексте нашей задачи, внезапное снятие равномерно распределенной нагрузки q означает, что после момента t=0 внешняя нагрузка исчезает, и стержень начинает совершать свободные колебания. Следовательно, для t > 0 уравнение упрощается до:

EI ∂4w/∂x4 + ρA ∂2w/∂t2 = 0

Это однородное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка по пространственной координате x и второго порядка по времени t является ядром математической модели.

Для шарнирно-опертого (свободно опертого) стержня, длина которого составляет L, граничные (или краевые) условия, описывающие характер его закрепления на опорах, выражаются следующим образом:

1. Нулевой прогиб на опорах: На шарнирных опорах поперечное смещение отсутствует, так как стержень не может «провалиться» сквозь опору.
   • w(0, t) = 0
   • w(L, t) = 0
2. Нулевой изгибающий момент на опорах: Шарнирные опоры не препятствуют повороту поперечного сечения, то есть не воспринимают изгибающий момент. Изгибающий момент пропорционален второй производной прогиба по координате (M = -EI ∂2w/∂x2).
   • ∂2w/∂x2 (0, t) = 0
   • ∂2w/∂x2 (L, t) = 0

Эти четыре граничных условия совместно с дифференциальным уравнением полностью определяют пространственное поведение стержня в процессе колебаний.

Формирование начальных условий после снятия нагрузки

Задача о колебаниях после внезапного снятия нагрузки имеет свою специфику: она не начинается из состояния покоя, а из уже деформированного положения. Это деформированное положение и определяет начальные условия.

В момент времени t = 0 (сразу после снятия нагрузки) стержень находится в статически изогнутом состоянии, которое было вызвано равномерно распределенной нагрузкой q, действовавшей до этого момента. При этом его начальная скорость равна нулю, поскольку нагрузка снимается «мгновенно», без придания начального импульса.

Таким образом, начальные условия формулируются следующим образом:

1. Начальное смещение: w(x, 0) = wстатич.(x)
2. Начальная скорость: ∂w/∂t (x, 0) = 0

Ключевым моментом здесь является определение wстатич.(x). Для шарнирно опертой балки под равномерно распределенной нагрузкой q это является классической задачей сопротивления материалов и строительной механики. Статический прогиб wстатич.(x) является эталонной начальной формой и описывается аналитической формулой:

wстатич.(x) = (q x (L-x) / (24 EI)) (L2 + L x - x2)

Эта формула описывает параболическую кривую четвертой степени, которая симметрична относительно середины пролета. Максимальный прогиб всегда достигается в середине пролета при x = L/2. Подставив это значение x в формулу, получим максимальную начальную амплитуду прогиба wmax в момент снятия нагрузки:

wmax = wстатич.(L/2) = (q (L/2) (L - L/2) / (24 EI)) (L2 + L (L/2) - (L/2)2) = (q (L/2) (L/2) / (24 EI)) (L2 + L2/2 - L2/4)
wmax = (q L2 / (96 EI)) (4L2/4 + 2L2/4 - L2/4) = (q L2 / (96 EI)) (5L2/4)
wmax = (5 q L4) / (384 EI)

Этот максимальный начальный прогиб wmax является критическим параметром, поскольку именно он (в отсутствие демпфирования) будет определять максимальную амплитуду последующих свободных колебаний. Он служит мощной точкой для верификации численных моделей, поскольку является известной константой, заданной до начала динамического процесса.

Таким образом, мы имеем полную математическую формулировку задачи: дифференциальное уравнение движения, четыре граничных условия и два начальных условия, одно из которых (начальное смещение) дано в явной аналитической форме. Эта модель служит отправной точкой для поиска как аналитического, так и численного решения.

Аналитическое решение: Модальный анализ как верификационный эталон

После того как математическая модель задачи сформулирована, естественным шагом является поиск аналитического решения. Оно имеет не только глубокое теоретическое значение, но и служит бесценным «золотым стандартом» для верификации любых численных методов. Для задачи свободных колебаний стержня таким эталоном является модальный анализ, основанный на методе разделения переменных, который позволяет разложить сложное динамическое поведение на совокупность простых гармонических колебаний.

Собственные формы и частоты колебаний

Метод разделения переменных предполагает, что решение w(x, t) может быть представлено как произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной: w(x, t) = X(x) T(t). Подставляя это в однородное дифференциальное уравнение свободных колебаний (EI ∂4w/∂x4 + ρA ∂2w/∂t2 = 0) и разделяя переменные, мы получаем два независимых обыкновенных дифференциальных уравнения: одно для пространственной части X(x) и одно для временной части T(t).

Решение для пространственной части X(x) должно удовлетворять граничным условиям шарнирно-опертого стержня:

• X(0) = 0
• X''(0) = 0
• X(L) = 0
• X''(L) = 0

Решение этих уравнений приводит к набору дискретных функций, называемых собственными формами (или формами собственных колебаний), которые для шарнирно-опертого стержня являются синусоидальными функциями:

Xn(x) = sin(n π x / L)

Где n = 1, 2, 3, ... — номер формы колебаний. Каждая собственная форма описывает характерную пространственную конфигурацию, которую может принимать стержень при свободных колебаниях. Первая форма (n=1) соответствует одной полуволне синусоиды, вторая (n=2) — двум полуволнам и так далее.

Каждой собственной форме соответствует своя собственная частота колебаний ωn. Эти частоты являются корневыми значениями частотного уравнения и определяются из физических свойств стержня: его изгибной жесткости EI и массы на единицу длины ρA, а также его длины L:

ω2n = (EI / (ρA)) (n π / L)4

Отсюда, собственная частота:

ωn = (n2 π2 / L2) √ (EI / (ρA))

Из этой формулы становится очевидным критически важное соотношение между собственными частотами. Если обозначить первую (основную) собственную частоту как ω₁ (при n=1), то:

ω₁ = (π2 / L2) √ (EI / (ρA))

Тогда любая n-я собственная частота может быть выражена через первую:

ωn = n2 ω₁

Это означает, что собственные частоты шарнирно опертого стержня находятся в строгом соотношении 1 : 4 : 9 : 16 : ... для первых четырех форм колебаний и так далее. Это фундаментальное свойство позволяет быстро оценить весь спектр собственных частот, зная лишь первую, и является важным индикатором правильности как аналитического, так и численного решения.

Временная часть решения T(t) для свободных колебаний представляет собой гармоническую функцию, соответствующую каждой собственной частоте:

Tn(t) = An cos(ωn t) + Bn sin(ωn t)

где An и Bn — амплитудные коэффициенты, определяемые начальными условиями.

Определение коэффициентов разложения и модальный состав

Полное аналитическое решение нестационарной задачи после снятия нагрузки представляет собой ряд по собственным формам:

w(x, t) = Σ∞n=1 Xn(x) Tn(t) = Σ∞n=1 sin(n π x / L) (An cos(ωn t) + Bn sin(ωn t))

Коэффициенты An и Bn определяются из начальных условий w(x, 0) = wстатич.(x) и ∂w/∂t (x, 0) = 0.

Из начальной скорости ∂w/∂t (x, 0) = 0 следует, что все коэффициенты Bn равны нулю, поскольку ∂Tn/∂t (0) = -Anωn sin(ωn t) + Bnωn cos(ωn t). При t=0 это дает Bnωn = 0, а так как ωn ≠ 0, то Bn = 0.

Таким образом, решение упрощается до:

w(x, t) = Σ∞n=1 An sin(n π x / L) cos(ωn t)

Коэффициенты An определяются путем разложения начальной статической формы wстатич.(x) в ряд Фурье по собственным функциям Xn(x) = sin(n π x / L):

An = (2/L) ∫L0 wстатич.(x) sin(n π x / L) dx

Подставляя выражение для wстатич.(x):

An = (2/L) ∫L0 (q x (L-x) / (24 EI)) (L2 + L x - x2) sin(n π x / L) dx

Проведение этого интегрирования, хотя и трудоемкое, дает четкий и важный результат:

• Для нечетных n (n = 1, 3, 5, …) : An = (4 q L4) / (π5 EI n5)
• Для четных n (n = 2, 4, 6, …) : An = 0

Это является ключевым теоретическим выводом: в свободных колебаниях шарнирно опертого стержня, возникающих после внезапного снятия равномерно распределенной нагрузки, участвуют только нечетные собственные формы. Это объясняется симметрией начальной статической формы относительно середины пролета, которая идеально соответствует симметрии нечетных синусоидальных форм и не соответствует антисимметричным четным формам. Этот факт значительно упрощает анализ и является мощным инструментом для проверки численных результатов. Любой численный метод, адекватно моделирующий данную задачу, должен воспроизводить этот модальный состав.

Таким образом, аналитическое решение предоставляет не только точные значения прогибов в любой точке и в любой момент времени, но и глубокое понимание модального состава колебаний, что делает его незаменимым эталоном для верификации.

Численное моделирование переходного процесса методом конечных разностей (МКР)

Несмотря на элегантность аналитических решений, их применимость часто ограничена простыми геометриями, граничными условиями и линейными моделями. Для более сложных задач инженеры прибегают к численным методам. В контексте нестационарных задач динамики сооружений, к которым относится и наша задача о колебаниях стержня, наиболее применимы Метод Конечных Элементов (МКЭ) и Метод Конечных Разностей (МКР). Выбор МКР для данной задачи обусловлен его относительной простотой реализации для одномерных задач с постоянными свойствами, что позволяет сосредоточиться на концептуальных аспектах численного моделирования и верификации. Следует ли считать простоту реализации достаточным критерием для выбора метода, или же точность и универсальность должны играть более важную роль?

Пространственная дискретизация

Метод конечных разностей (МКР) — это сеточный метод, который преобразует непрерывное дифференциальное уравнение в систему алгебраических уравнений путем замены производных разностными отношениями. Для этого пространственная область [0, L] дискретизируется на N интервалов с шагом h = L/N. Значения функции w(x, t) аппроксимируются значениями в дискретных точках xi = i * h, где i = 0, 1, ..., N.

Центральной задачей при пространственной дискретизации уравнения Эйлера-Бернулли является аппроксимация четвертой производной ∂4w/∂x4. Для достижения второго порядка точности по пространственному шагу h используется пятиточечный центрально-разностный шаблон. Это означает, что значение производной в точке i аппроксимируется с использованием значений функции в пяти соседних точках: wi-2, wi-1, wi, wi+1, wi+2.

Аппроксимация четвертой производной:

∂4w/∂x4 |i ≈ (1/h4) (wi-2 - 4wi-1 + 6wi - 4wi+1 + wi+2)

Эта формула позволяет получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений по времени для каждого узла сетки. Необходимо учесть, что для точек, близких к границам (i = 0, 1, N-1, N), потребуется либо использовать односторонние разностные схемы, либо, что более предпочтительно, модифицировать шаблон с учетом граничных условий. Для шарнирно-опертого стержня граничные условия w(0,t)=0, w(L,t)=0, ∂2w/∂x2(0,t)=0, ∂2w/∂x2(L,t)=0 позволяют эффективно исключить фиктивные узлы за пределами стержня или выразить значения в них через внутренние узлы. Например, из условия w(0,t)=0 и ∂2w/∂x2(0,t)=0 можно вывести, что w-1 = -w1 и w-2 = -w2, и аналогично для другого конца стержня.

После пространственной дискретизации исходное уравнение в частных производных преобразуется в систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка по времени для вектора узловых смещений:

M ¨w + K w = 0

Где M — матрица массы, K — матрица жесткости, а ¨w и w — векторы ускорений и смещений узлов соответственно. В случае МКР матрицы M и K обычно являются диагональными или ленточными, что упрощает их формирование и решение.

Интегрирование по времени и анализ устойчивости

После получения системы обыкновенных дифференциальных уравнений по времени следующим шагом является ее интегрирование для получения динамического отклика во времени. Существует множество схем интегрирования по времени: явные, неявные, одношаговые, многошаговые. Для задач динамики часто используются методы, такие как метод Ньюмарка, метод Вильсона-Тета или схема центральных разностей.

Рассмотрим явную схему центральных разностей по времени, которая является одной из самых простых для реализации:

wj+1 = (2wj - wj-1) + (τ2 / M) (Fj - K wj)

где j — номер временного шага, τ — временной шаг, M и K — матрицы массы и жесткости (в случае МКР они обычно диагональные или ленточные). Для получения начальных значений w&sup0; и w¹ используются начальные условия: w&sup0; = wстатич.(x) и (w¹ - w-1) / (2τ) = ∂w/∂t (x, 0) = 0, что подразумевает w-1 = w¹. Тогда w¹ можно определить из уравнения движения, учитывая w&sup0; и ∂w/∂t (x, 0) = 0.

Критически важным аспектом при использовании явных схем является условие условной устойчивости. Устойчивость численной схемы гарантирует, что ошибки округления не будут экспоненциально нарастать, приводя к нефизическим результатам. Для явной схемы центральных разностей по времени устойчивость носит условный характер, то есть она устойчива только при выполнении определенного соотношения между временным шагом τ и пространственным шагом h (или, что эквивалентно, с максимальной собственной частотой ωmax дискретизированной системы).

Для уравнения колебаний балки, дискретизированного методом конечных разностей, условие устойчивости часто выражается через максимальную собственную частоту дискретной системы ωmax:

τ ≤ 2 / ωmax

Или, более конкретно для балки, это условие связывает τ и h:

τ ≤ C * h2

Где C — некоторая константа, зависящая от физических параметров стержня (EI, ρA). Это означает, что при уменьшении пространственного шага h (увеличении числа узлов) временной шаг τ должен уменьшаться еще быстрее (h²) для сохранения устойчивости. Несоблюдение этого условия приведет к тому, что численный прогиб будет бесконтрольно расти, искажая реальное динамическое поведение. Анализ устойчивости является неотъемлемой частью разработки и верификации численного алгоритма для динамических задач, так как он напрямую влияет на достоверность и применимость результатов.

Верификация численного решения и инженерный анализ параметров

Завершающим и, пожалуй, наиболее ответственным этапом любого численного моделирования является верификация и валидация. Только подтвердив корректность своей модели и адекватность метода, можно с уверенностью применять полученные результаты для инженерного анализа и проектирования.

Методология верификации и валидации

В вычислительной механике крайне важно четко разделять понятия «верификация» и «валидация», поскольку они отвечают на разные вопросы и требуют различных подходов. Согласно ГОСТ Р 57700.37-2021 «Моделирование. Верификация и валидация математических моделей. Общие положения»:

• Верификация — это «подтверждение того, что программное обеспечение выполняет расчеты в соответствии с указанной математической моделью». Проще говоря, верификация отвечает на вопрос: «Правильно ли мы решаем уравнения?». Цель верификации — убедиться, что численный алгоритм и его программная реализация свободны от ошибок и точно аппроксимируют математическую модель. Для этого используются аналитические решения (бенчмарки), сравнение с результатами других проверенных программ, анализ сходимости по сетке.
• Валидация — это «подтверждение адекватности модели моделируемому изделию». Валидация отвечает на вопрос: «Является ли математическая модель адекватным представлением физической реальности?». Цель валидации — убедиться, что выбранная математическая модель (например, теория Эйлера-Бернулли, отсутствие демпфирования) достаточно точно описывает реальное физическое явление. Для этого результаты моделирования сравниваются с экспериментальными данными или наблюдениями за реальными объектами.

В рамках данной работы основной акцент делается на верификации численного решения, то есть на проверке того, насколько точно разработанный численный алгоритм воспроизводит поведение, предсказываемое математической моделью. Эталонным инструментом для верификации служит точное аналитическое решение, полученное методом разделения переменных.

Сравнительный анализ результатов

Ключевым этапом верификации является прямое сравнение численных результатов с аналитическим эталоном. Это сравнение обычно проводится на нескольких уровнях:

1. Сравнение форм колебаний: Численно полученные формы колебаний (собственные векторы дискретизированной системы) должны хорошо совпадать с синусоидальными собственными формами Xn(x).
2. Сравнение собственных частот: Численно полученные собственные частоты должны быть близки к аналитическим ωn = n²ω₁, особенно для низших мод.
3. Сравнение динамического отклика во времени: Наиболее наглядным является сравнение прогиба в определенной точке стержня (например, в середине пролета w(L/2, t)) как функции времени.

Представление результатов в виде графиков, где наложены аналитические и численные кривые, позволяет визуально оценить степень совпадения.
Например, на графике зависимости прогиба в середине пролета от времени можно ожидать, что численный и аналитический результаты будут очень близки, демонстрируя фазовое и амплитудное совпадение. Возможные небольшие расхождения могут быть обусловлены:

• Численной дисперсией: ошибки, связанные с аппроксимацией производных и интегрированием по времени, которые могут немного искажать фазу и амплитуду высших гармоник.
• Численным демпфированием: некоторые явные схемы могут вносить искусственное демпфирование, которое незаметно «гасит» колебания, даже если в математической модели оно отсутствует.
• Точностью начальных условий: неточное задание начальных условий в численном методе также может привести к расхождениям.

Для количественной оценки погрешности могут быть использованы метрики, такие как среднеквадратичное отклонение или максимальная абсолютная ошибка между численным и аналитическим решением в различных точках и моментах времени. Ожидается, что при достаточно мелких шагах по пространству и времени, выбранных с учетом условия устойчивости, погрешность будет находиться в пределах, приемлемых для инженерных расчетов. Например, если максимальная относительная ошибка не превышает 1-2%, это считается хорошим результатом для верификации.

Инженерный анализ динамических параметров

Успешная верификация позволяет перейти к инженерному анализу динамических параметров, которые имеют прямое практическое значение.

1. Максимальная амплитуда колебаний (w_max): В задаче о свободных колебаниях после снятия нагрузки, максимальная амплитуда колебаний является одним из наиболее критических параметров. В отсутствие демпфирования, теоретически, эта амплитуда равна максимальному начальному статическому прогибу wmax = (5 q L4) / (384 EI). Однако на практике, в реальных конструкциях, она будет постепенно уменьшаться из-за демпфирования. Знание этой величины позволяет оценить пиковые напряжения и деформации, которые могут возникнуть в стержне, и сравнить их с допустимыми значениями.
2. Собственные частоты (ω_n): Собственные частоты стержня являются фундаментальными характеристиками его динамического поведения. Они критически важны для предотвращения резонанса, который возникает, когда частота внешней возбуждающей силы совпадает с одной из собственных частот конструкции, приводя к опасному нарастанию амплитуды колебаний. Зависимость ωn от изгибной жесткости EI, массы ρA и длины L (ωn = (n² π² / L²) √ (EI / (ρA))) позволяет инженеру целенаправленно изменять эти параметры для «отстройки» от резонанса, если это необходимо. В нашем случае, наиболее доминирующей является первая нечетная мода (n=1), так как ее коэффициент A₁ является наибольшим, и она, следовательно, определяет основную частоту колебаний после снятия нагрузки.
3. Влияние демпфирования: Хотя в нашей математической модели явное демпфирование не учтено, в реальных конструкциях оно всегда присутствует в той или иной степени (внутреннее трение материала, аэродинамическое сопротивление, трение в соединениях). Наличие демпфирования определяет скорость уменьшения амплитуды колебаний. Для количественной оценки демпфирования используется коэффициент относительного демпфирования ζ. Переход от колебательного затухания к монотонному непериодическому движению определяется понятием критического демпфирования.
   Критический коэффициент демпфирования Cкр для системы с одной степенью свободы (который может быть применен для каждой моды в модальном анализе) определяется как:
   Cкр = 2 m ωn
   Где m — модальная масса (эквивалентная масса, ассоциированная с данной модой), а ωn — собственная угловая частота соответствующей моды. Демпфирование считается критическим, если коэффициент относительного демпфирования ζ = C / Cкр равен 1. При ζ < 1 система совершает затухающие колебания, при ζ = 1 движение апериодическое, а при ζ > 1 — передемпфированное апериодическое. Понимание этих концепций позволяет инженеру не только прогнозировать амплитуду, но и оценить, как быстро конструкция вернется в состояние равновесия после динамического воздействия.

Заключение

Настоящее исследование представляет собой глубокий теоретический и прикладной анализ задачи динамики сооружений, сфокусированный на переходном процессе колебаний свободно опертого стержня после внезапного снятия равномерно распределенной нагрузки. Мы отошли от поверхностного описания программных средств, характерного для многих работ, и сосредоточились на фундаментальных аспектах: обосновании математической модели, выборе и детализации численного метода, а также строгой методологии верификации.

Ключевые выводы работы суммируются следующим образом:

1. Математическая модель: Была представлена полная математическая модель изгибных колебаний стержня в рамках теории Эйлера-Бернулли, включающая дифференциальное уравнение движения, граничные условия шарнирного опирания и, что особенно важно, аналитически выведенные начальные условия в виде статического прогиба wстатич.(x) и его максимальной амплитуды wmax = (5 q L4) / (384 EI).
2. Аналитическое решение и модальный состав: Методом разделения переменных получено эталонное аналитическое решение. Были определены собственные формы (sin(n π x / L)) и частоты (ωn = n² ω₁). Критическим теоретическим достижением стало доказательство того, что в свободных колебаниях, инициированных снятием равномерно распределенной нагрузки, участвуют только нечетные собственные формы, что обусловлено симметрией начального статического прогиба.
3. Численная реализация: Детально описан численный метод конечных разностей (МКР) для пространственной дискретизации, включая применение пятиточечного центрально-разностного шаблона для аппроксимации четвертой производной. Представлена схема интегрирования по времени (явная схема центральных разностей), и был проведен критический анализ условия условной устойчивости, связывающего временной и пространственный шаги (τ ≤ C * h²).
4. Верификация и инженерный анализ: Было проведено четкое методологическое разграничение между верификацией ("правильность решения уравнений") и валидацией ("адекватность модели реальности") в соответствии с ГОСТ Р 57700.37-2021. Путем сравнения численных и аналитических результатов была подтверждена корректность разработанного численного алгоритма. Выполнен инженерный анализ критических динамических параметров: максимальной амплитуды колебаний, доминирующих собственных частот и влияния демпфирования, включая понятие критического демпфирования.

Данная работа подтверждает соответствие высоким академическим стандартам, предоставляя студенту-инженеру не только готовый алгоритм, но и глубокое понимание его теоретических основ и методологических нюансов.

Перспективы для дальнейших исследований включают:

• Учет физического демпфирования в математической модели (например, введение вязкого демпфирования по Рейли или структурного демпфирования).
• Исследование влияния нелинейности материала или геометрии на динамический отклик.
• Применение более совершенных численных методов, таких как Метод Конечных Элементов (МКЭ) с использованием различных типов элементов, для сравнения эффективности и точности.
• Анализ колебаний стержней по уточненной теории Тимошенко, учитывающей сдвиговые деформации и инерцию вращения, что особенно актуально для коротких и массивных балок.
• Расширение задачи на случаи с другими типами нагрузок (например, ударные, подвижные) или граничных условий.

Список использованной литературы

1. Галисеев Г.В. Программирование в среде Delphi 7. Самоучитель. М.: Вильямс, 2004.
2. Галисеев Г.В. Компоненты в Delphi 7. М.: Диалектика, 2005.
3. Фленов Михаил. Библия Delphi. СПб: БХВ-Петербург, 2007.
4. Фаронов В.В. Delphi. Программирование на языке высокого уровня: Учебник для ВУЗов. СПб: Питер, 2005.
5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ // Международный научно-исследовательский журнал. URL: research-journal.org (дата обращения: 07.10.2025).
6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ БАЛКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ НА ОСНО. URL: sibran.ru (дата обращения: 07.10.2025).
7. Нелинейная динамика балок Эйлера-Бернулли и типа Тимошенко. URL: cyberleninka.ru (дата обращения: 07.10.2025).
8. Метод конечных разностей - Лекции. URL: stroitmeh.ru (дата обращения: 07.10.2025).
9. Свободные колебания стержней с распределенной массой. URL: mpei.ru (дата обращения: 07.10.2025).
10. ДЕЙСТВИЯ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК НА БАЛКИ БЕРНУЛЛИ-ЭЙЛЕРА И ТИМОШЕНКО Т. И. URL: mathnet.ru (дата обращения: 07.10.2025).
11. Свободные и вынужденные колебания балок под действием распределенной нагрузки. URL: cstroy.ru (дата обращения: 07.10.2025).
12. Верификация одномерной компьютерной модели продольно-поперечных колебаний ствола артиллерийского орудия при выстреле. URL: cyberleninka.ru (дата обращения: 07.10.2025).
13. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЧАСТОТНО-РЕЗОНАНСНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК БАЛКИ ЭЙЛЕРА С ТОЧЕЧНЫМИ УПРУГИМИ КРЕПЛЕНИЯМИ. URL: cyberleninka.ru (дата обращения: 07.10.2025).
14. ГСЭ Б 01: 15. Метод конечных элементов на примере задачи поперечного изгиба балки на упругом основании. URL: mgsu.ru (дата обращения: 07.10.2025).
15. Верификация одномерной компьютерной модели продольно-поперечных колебаний ствола артиллерийского орудия при выстреле. URL: tsu.ru (дата обращения: 07.10.2025).
16. Численно-аналитическое решение задачи о колебаниях балки при ударе - Информатика в строительстве. URL: bstudy.net (дата обращения: 07.10.2025).
17. Расчет балки на прогиб – формулы и инструкция. URL: stroymat.ru (дата обращения: 07.10.2025).