Методика выполнения курсовой работы: «Разработка LQR-системы управления электровозом».

Введение, где мы определяем цели и актуальность нашей инженерной задачи

Электровозы постоянного тока, использующие коллекторные тяговые двигатели, остаются основой железнодорожного парка на многих магистралях. Эффективность их работы напрямую зависит от качества системы управления, перед которой стоит сложная задача: обеспечить не только быстрый разгон и точное поддержание скорости, но и высокую энергоэффективность при минимальных динамических нагрузках. Традиционные методы управления часто представляют собой компромисс между этими противоречивыми требованиями.

В этом контексте современные методы оптимального управления, такие как линейно-квадратичный регулятор (LQR), выходят на передний план. LQR позволяет синтезировать систему управления, которая является оптимальной с точки зрения заданного критерия качества, учитывающего как точность слежения за скоростью, так и затраты энергии на управление. Это делает его мощным инструментом для решения актуальной инженерной проблемы.

Цель данной курсовой работы — разработать и смоделировать LQR-систему автоматического управления скоростью тягового двигателя электровоза постоянного тока, которая обеспечивает выполнение заданных требований к динамике и точности.

Это руководство проведет вас через все этапы проекта: от постановки задачи до анализа результатов моделирования, превращая сложную теорию в понятный алгоритм действий.

Этап 1. Как грамотно составить техническое задание и проанализировать исходные данные

Любой успешный инженерный проект начинается с четко сформулированного технического задания (ТЗ). На этом этапе мы должны превратить общую цель в набор конкретных параметров и требований, которые станут фундаментом для всех последующих расчетов и моделирования.

Сначала определим ключевые компоненты нашей системы:

• Объект управления (ОУ): Это сам тяговый двигатель постоянного тока вместе с механической нагрузкой, которую представляет состав поезда. Моделирование динамики этой нагрузки, включая моменты инерции и силы сопротивления, критически важно для точности всего проекта.
• Система управления (СУ): Включает в себя силовой элемент — тиристорный преобразователь (чоппер), который регулирует напряжение на двигателе, и «мозг» системы — микроконтроллер, реализующий алгоритм LQR-управления.

Далее, необходимо собрать все исходные данные в единую таблицу. Это придаст работе строгий и профессиональный вид. Вот примерный перечень необходимых параметров:

Параметр	Обозначение	Примерное значение
Напряжение в контактной сети	Uc	3000 В
Активное сопротивление якоря	Ra	0.5 Ом
Индуктивность якоря	La	5 мГн
Суммарный момент инерции	J	150 кг·м²

Наконец, формулируем ключевые требования к качеству системы — это те самые метрики, по которым мы будем оценивать результат. Например:

1. Время разгона до номинальной скорости не должно превышать 15 секунд.
2. Перерегулирование скорости при резком изменении задания не более 5%.
3. Статическая ошибка в установившемся режиме не более 1%.

Теперь, когда у нас есть четкое ТЗ, мы можем перейти к теоретической подготовке.

Этап 2. Создаем теоретический фундамент для нашего проекта

Прежде чем приступать к расчетам, необходимо разобраться в принципах работы ключевых элементов системы и в сути метода управления, который мы собираемся применить. Этот теоретический базис сделает дальнейшие шаги осознанными и понятными.

Принцип работы двигателя и преобразователя

Сердцем нашего электровоза является коллекторный двигатель постоянного тока. Его работа основана на взаимодействии магнитных полей статора и ротора (якоря). Управляя напряжением, подаваемым на якорь, мы можем регулировать ток и, как следствие, электромагнитный момент и скорость вращения вала. Для эффективного регулирования этого напряжения применяются тиристорные преобразователи, или чопперы. Они работают в ключевом режиме, используя широтно-импульсную модуляцию (ШИМ), что позволяет с высокой точностью и малыми потерями дозировать энергию, поступающую на двигатель.

Суть метода LQR-управления

LQR (Linear Quadratic Regulator) — это метод оптимального управления, который находит наилучший закон управления для линейных систем. Его основная идея проста и элегантна. Представьте, что у системы есть «цель» (например, поддерживать заданную скорость) и «ограничения» (например, не потреблять слишком много энергии).

Метод LQR находит такое управление, которое минимизирует суммарный «штраф» как за отклонение от цели, так и за затраченные на управление ресурсы.

Этот «штраф» описывается квадратичной функцией затрат, настройка которой позволяет инженеру находить компромисс между быстродействием и плавностью работы системы. Важно, что LQR предлагает систематический, математически обоснованный подход к проектированию регуляторов.

Язык пространства состояний

Чтобы применить мощный аппарат LQR, нам нужно описать нашу систему на специальном языке — на языке пространства состояний. Вместо одного сложного дифференциального уравнения высокого порядка, мы представляем систему в виде набора простых уравнений первого порядка. Каждое из этих уравнений описывает изменение одной из «переменных состояния» — ключевых параметров, полностью характеризующих систему в любой момент времени (например, ток якоря и скорость вращения). Такой формат записи (в виде матриц) является обязательным требованием для синтеза LQR-регулятора.

Этап 3. Разрабатываем математическую модель объекта управления

Математическая модель — это система уравнений, которая с достаточной точностью описывает физические процессы, протекающие в нашем объекте управления. Это самый ответственный этап, поскольку от адекватности модели зависит работоспособность будущего регулятора. Мы выведем уравнения, опираясь на фундаментальные законы электротехники и механики.

Уравнение электрического равновесия

Для якорной цепи двигателя можно составить уравнение на основе второго закона Кирхгофа, который гласит, что сумма напряжений в замкнутом контуре равна ЭДС. В нашем случае, напряжение, подаваемое от преобразователя `u(t)`, уравновешивается падением напряжения на активном сопротивлении якоря, падением напряжения на индуктивности и противо-ЭДС вращения `e(t)`, которая возникает из-за вращения якоря в магнитном поле.

u(t) = R_a * i_a(t) + L_a * di_a(t)/dt + e(t)

Противо-ЭДС, в свою очередь, прямо пропорциональна угловой скорости вращения вала `ω(t)`:

e(t) = C_e * ω(t)

Подставив второе уравнение в первое, мы получаем полное дифференциальное уравнение для электрической части системы.

Уравнение механического равновесия

Динамика вращения вала двигателя описывается вторым законом Ньютона для вращательного движения. Согласно ему, произведение суммарного момента инерции `J` на угловое ускорение `dω(t)/dt` равно сумме всех моментов, приложенных к валу.

J * dω(t)/dt = M(t) — M_c(t)

Здесь `M(t)` — это электромагнитный момент, развиваемый двигателем, а `M<sub>c</sub>(t)` — момент сопротивления (нагрузки), который включает в себя трение и аэродинамическое сопротивление состава.

Связь между механикой и электричеством

Ключевым звеном, связывающим эти два уравнения, является электромагнитный момент `M(t)`, который прямо пропорционален току, протекающему через якорь `i<sub>a</sub>(t)`:

M(t) = C_m * i_a(t)

Объединив все эти уравнения, мы получаем систему из двух связанных дифференциальных уравнений, которая полностью описывает динамику нашего тягового электропривода. Эта система является нашей математической моделью.

Этап 4. Преобразуем уравнения в модель пространства состояний

Мы получили точное описание системы, но для синтеза LQR-регулятора его необходимо представить в стандартной матричной форме, известной как модель в пространстве состояний. Этот этап представляет собой переход от классических дифференциальных уравнений к современному векторно-матричному описанию.

Стандартная форма записи модели в пространстве состояний выглядит так:

x'(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)

Где `x(t)` — вектор переменных состояния, `u(t)` — вектор управляющих воздействий, а A, B, C, D — матрицы, описывающие динамику системы.

Выбор переменных состояния

Первый шаг — выбрать переменные состояния. Это минимальный набор переменных, знание которых в текущий момент времени достаточно для полного описания будущего поведения системы. Для двигателя постоянного тока естественным и самым удобным выбором являются:

1. Ток якоря (i_a) — характеризует электрическую подсистему.
2. Угловая скорость вращения вала (ω) — характеризует механическую подсистему.

Таким образом, наш вектор состояния: x = [i_a, ω]^T.

Формирование матриц A и B

Теперь наша задача — выразить производные наших переменных состояния (di_a/dt и dω/dt) через сами переменные состояния и управляющее воздействие (напряжение на якоре `u(t)`). Для этого мы используем уравнения, полученные на предыдущем этапе, и приводим их к нужному виду:

di_a/dt = (-R_a/L_a) * i_a — (C_e/L_a) * ω + (1/L_a) * u(t)

dω/dt = (C_m/J) * i_a — (1/J) * M_c(t)

Сопоставляя эти выражения со стандартной формой `x’ = Ax + Bu`, мы можем легко сформировать матрицы A и B. Матрица A будет отражать внутренние связи в системе, а матрица B — то, как управляющее воздействие влияет на изменение состояния. Получение этих матриц является ключевым результатом данного этапа, открывающим путь к синтезу регулятора.

Этап 5. Синтезируем LQR-регулятор, или как найти оптимальное управление

Имея модель в пространстве состояний, мы можем приступить к кульминации проекта — синтезу LQR-регулятора. Суть метода заключается в нахождении оптимального закона управления u = -Kx, где K — это матрица коэффициентов обратной связи, минимизирующая специальную квадратичную функцию затрат J.

Общий вид этой функции выглядит так:

J = ∫ (x^TQx + u^TRu) dt

Эта формула может выглядеть пугающе, но ее физический смысл очень прост. Она состоит из двух частей:

• x^TQx — «штраф» за отклонение переменных состояния (скорости и тока) от их заданных (нулевых) значений.
• u^TRu — «штраф» за величину управляющего воздействия (затраченную энергию или «агрессивность» управления).

Выбор весовых матриц Q и R

Матрицы Q и R являются главным инструментом инженера. Они не рассчитываются, а задаются на основе требований к системе. Это диагональные матрицы, и их элементы определяют, что для нас важнее. Правило подбора интуитивно понятно:

Чем больше значение диагонального элемента в матрице Q, тем важнее для нас точность поддержания соответствующей переменной состояния. Чем больше значение элемента в матрице R, тем сильнее мы «штрафуем» систему за резкое и большое управляющее воздействие, делая ее более плавной и энергоэффективной.

Например, если мы хотим получить очень точное поддержание скорости, мы ставим большой коэффициент в матрице Q, соответствующий переменной ω. Если же мы хотим сэкономить энергию и избежать резких бросков тока, мы увеличиваем значение в матрице R. Подбор этих матриц — это итеративный процесс поиска компромисса между быстродействием и плавностью.

После выбора Q и R, матрица коэффициентов K находится как решение алгебраического уравнения Риккати, что легко делается с помощью стандартных функций в пакетах вроде MATLAB. В результате мы получаем закон управления u = -Kx, который говорит, какое напряжение нужно подать на двигатель в зависимости от текущего тока и скорости, чтобы оптимально вести систему к цели.

Этап 6. Собираем имитационную модель в среде моделирования

Теоретический синтез регулятора — это лишь половина дела. Чтобы проверить его работоспособность и оценить реальные показатели качества, необходимо провести виртуальные испытания. Для этого мы создадим имитационную модель в среде визуального моделирования, такой как MATLAB/Simulink.

Модель будет состоять из двух основных частей:

1. Модель объекта управления (двигателя): Эта часть должна в точности реализовывать уравнения, полученные нами на Этапе 4 (`x’ = Ax + Bu`). Ее легко собрать с помощью стандартных блоков. Например, вектор `x’` получается путем суммирования `Ax` и `Bu` (блоки «Усиление» и «Сумматор»). Чтобы получить из производной `x’` сам вектор состояния `x`, мы просто интегрируем сигнал с помощью блока «Интегратор».
2. Модель регулятора: Это блок обратной связи. Он берет на выходе модели объекта вектор состояния `x`, умножает его на нашу матрицу коэффициентов `K` (рассчитанную на Этапе 5) со знаком минус и подает полученный сигнал `u = -Kx` обратно на вход модели объекта.

Для проведения эксперимента на вход всей системы подается задающее воздействие. Например, чтобы проверить разгон, мы можем подать ступенчатый сигнал, соответствующий желаемой скорости. Для отслеживания результатов к ключевым точкам модели (выходам интеграторов, где мы получаем ток и скорость) подключаются виртуальные «осциллографы» (блоки Scope или To Workspace).

Ключевая идея — создать в Simulink структуру, которая является точным графическим представлением нашей математической модели. Это позволит не только проверить правильность расчетов, но и наглядно увидеть, как система реагирует на управление, и провести ее тонкую настройку, меняя параметры регулятора.

Этап 7. Анализируем полученные результаты и оцениваем качество системы

После того как модель собрана и запущен симуляционный эксперимент, мы получаем основной результат нашей работы — графики переходных процессов. Теперь наша задача — грамотно их проанализировать, чтобы сделать вывод об эффективности разработанного LQR-регулятора.

Обычно нас интересуют два основных графика:

• График угловой скорости ω(t): Показывает, как быстро и точно двигатель выходит на заданную скорость.
• График тока якоря i_a(t): Демонстрирует динамику потребления тока, позволяя оценить «агрессивность» управления и косвенно — энергоэффективность.

На этих графиках мы должны измерить ключевые показатели качества, которые мы сформулировали в техническом задании на Этапе 1:

1. Время нарастания (время разгона): Время, за которое скорость достигает 90% от установившегося значения.
2. Перерегулирование: Максимальный «проскок» скорости выше установившегося значения, выраженный в процентах.
3. Статическая ошибка: Разница между желаемой и фактической скоростью в установившемся режиме.

Полученные значения мы напрямую сравниваем с требованиями из ТЗ. Например, если требовалось время разгона не более 15 секунд, а на графике мы получили 12 секунд — требование выполнено. Если же перерегулирование составило 10%, а требовалось не более 5%, значит, необходимо вернуться на Этап 5 и скорректировать весовые матрицы Q и R, например, увеличив «штраф» за управляющее воздействие в матрице R, чтобы сделать систему более плавной.

Именно на этом этапе происходит сопоставление теории и практики. Анализ графиков позволяет не просто констатировать факт, а сделать обоснованный вывод о том, удовлетворяет ли разработанная система поставленным требованиям.

Заключение, где мы подводим итоги проделанной работы

В рамках данной курсовой работы был проделан полный цикл разработки современной системы управления для тягового электропривода электровоза. Мы прошли путь от формализации требований до практической проверки работоспособности системы с помощью имитационного моделирования.

Ключевые этапы выполненной работы включают:

• Анализ объекта управления и составление технического задания.
• Разработку математической модели двигателя на основе фундаментальных законов физики.
• Преобразование модели в форму пространства состояний.
• Синтез оптимального линейно-квадратичного регулятора (LQR) путем подбора весовых матриц.
• Проведение моделирования и анализ полученных переходных процессов.

В результате был успешно разработан и проверен LQR-регулятор, обеспечивающий заданные показатели качества управления, такие как время разгона и точность поддержания скорости. Главный вывод заключается в том, что метод LQR является мощным и систематическим инструментом, позволяющим эффективно решать сложные задачи управления динамическими объектами. В качестве дальнейшего усовершенствования системы можно рассмотреть внедрение адаптивных алгоритмов, способных подстраивать параметры регулятора под изменяющиеся условия нагрузки и движения.

Список литературы

1. Вохмянин Э.С., Чумаков В.Ю. Электрические схемы электровозов ВЛ11 и ВЛ11М. М: Академкнига, 2003
2. Костюковский М.А. Управление электропоездом и его обслуживание. М: Транспорт, 1987
3. Осипов С.И. Теория электрической тяги. М: Маршрут, 2006
4. Ротанов Н.А. и др. Проектирование систем управления электроподвижным составом. М: Транспорт, 1986
5. Под ред. Савоськина А.Н. Автоматизация электроподвижного состава. М: Транспорт, 1990
6. Тихменев Б.Н., Трахтман Л.М. Подвижной состав электрифицированных железных дорог. М: Транспорт, 1980
7. Чиракадзе Г.И., Кикнадзе О.А. Электровоз ВЛ11- руководство по эксплуатации. М: Транспорт, 1984
8. Усов В.А. Разработка системы управления электровоза постоянного тока. Свердловск: УрГАПС, 1991