Содержание
Введение3
1. Методы решения ДАУ4
1.1. Метод пространства состояний4
1.2. Метод ε-вложения4
1.3. Системы ДАУ высших индексов5
2. Решение системы ДАУ средствами MATHCAD7
2.1. Задание состояния системы8
2.2. Стационарное состояние системы12
2.3. Динамика системы при изменении параметров системы14
Заключение21
Список использованной литературы22
Введение
Под системой дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ) понимается система, состоящая из обыкновенных дифференциальных уравнений и недифференциальных соотношений. К решению систем ДАУ сводятся многие задачи механики, кинетики химических реакций, теории управления.
В настоящее время данной проблеме посвящено множество работ, а также разработано множество программ, в которых реализованы различные алгоритмы решения систем ДАУ. Например, в работе [1] описана программа GEAR, осуществляющая численное интегрирование при помощи формул дифференцирования назад; в работе [2] описывается программа LSODI, предназначенная для решения неявных систем ДАУ.
Но, тем не менее, несмотря на значительные успехи в данной области, разработанные методы не ликвидируют многие трудности решения систем ДАУ по сравнению с системами обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):
-начальные условия должны быть согласованы с недифференциальными соотношениями;
— система линейных уравнений, решаемая на каждом шаге интегрирования, плохо обусловлена для мелких шагов;
— ошибка метода чувствительна к несогласованности в начальных условиях и к резкому изменению решения;
-численное решение в большей степени зависит от точности аппроксимации, чем для ОДУ.
Целью данной работы является изучение существующих методов решения ДАУ, а также способов их решения с использованием современных программных продуктов.
Выдержка из текста
1.1. Метод пространства состояний
Для численного решения уравнений (2) можно использовать два способа [3]. Первый из них (метод пространства состояний) основан на приведении уравнений к нормальной форме (1) путем численного решения алгебраической подсистемы (2б) при заданном векторе x. Подставляя затем полученное значение вектора y в (2а), получим искомые значения производных. Для решения алгебраической подсистемы можно использовать один из трех методов: простых итераций, Ньютона-Рафсона, Бройдена. Метод пространства состояний позволяет разделить задачи интегрирования ОДУ и решения алгебраических уравнений, поэтому его можно применять в сочетании с любым методом интегрирования. Но его нельзя использовать при решении задач высших индексов, когда алгебраическая подсистема вырождена.
1.2. Метод ε-вложения
Второй способ (метод ε-вложения) основан на совместном решении дифференциальной и алгебраической подсистем и может быть интерпретирован как решение сингулярно возмущенной задачи
Список использованной литературы
Список использованной литературы
1. Gear C. W. The simultaneous numerical solution of dif-ferential-algebraic equations // IEEE Trans. Circuit Theory. CT.-18. 1971. P.89-95.
2. Hindmarsh A. C. LSODE and LSOD1, two new initial value ordinary differential equations solvers // ACM. SIGNUM. Newsletter.1980.V.15.4. P. 10-11
3. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999.
4. Ю.А. Казанский, В.А. Левченко, Е.С. Матусевич, Ю.С. Юрьев, И.П. Балакин, В.А. Белугин, С.Л. Дорохович, А.А. Казанцев, А.В.Тихоненко, А.А Травлеев, А.А.Уваров. Саморегулируемый реактор сверхмалой мощности для теплоснабжения