Содержание
Оглавление
Линейная производственная задача2
Двойственная задача10
Задача о «расшивке узких мест производства»12
Анализ доходности и риска финансовых операций14
Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений.17
Транспортная задача линейного программирования19
Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества23
Литература26
Выдержка из текста
ДАННЫЕ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ
Вариант № 14
Линейная производственная задача
Предположим, что предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известна технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли.
В индивидуальном задании матрицы компактно записаны в виде:
С1С2С3С427391820
a11a12a13a14B12165140
a21a22a23a24B2030490
a31a32a33a34B33240198
2 1 6 5 140
А= 0 3 0 4 В = 90 С= 27, 39, 18, 20 (1)
3 2 4 0 198
Требуется составить производственную программу, обеспечивающую предприятию наибольшую прибыль при имеющихся ограниченных ресурсах.
Математическая модель задачи:
Найти производственную программу (х1, х2, х3, х4),
максимизирующую прибыль z=27×1+39×2+18×3+20х4 (2)
при ограничениях по ресурсам
2×1 + x2 + 6×3 + 5×4 140
3×2 + 4×4 90,(3)
3×1 +2×2 +4×3 198
где по смыслу задачи
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0 . (4)
(2)-(4)- математическая модель линейной производственной задачи:
(2) — целевая функция;
(3) — линейные ограничения задачи (ограничения по ресурсам);
(4) — условие не отрицательности задачи.
Получили задачу на условный экстремум. Для ее решения систему неравенств (3) при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических уравнений
2×1 + x2 + 6×3 + 5×4 + x5 = 140
3×2 + 4×4 + x6 = 90,(5)
3×1+ 2×2 + 4×3 + x7 = 198
где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов.
х5 — остаток 1-го ресурса;
х6 — остаток 2-го ресурса;
х7 — остаток 3-го ресурса.
Среди всех решений системы уравнений (5), удовлетворяющих условию неотрицательности
xi 0 , i=1…7 , (6)
надо найти то решение, при котором функция (2) примет наибольшее значение.
Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы (5) неотрицательны, а сама система имеет предпочитаемый вид – дополнительные переменные являются базисными. Приравняв к нулю свободные переменные х1, х2, х3, х4, получаем базисное неотрицательное решение
х1= 0, х2= 0, х3= 0, х4 = 0, х5= 140, х6= 90, х7= 198(7)
по которой мы пока ничего не производим.
Из выражения (2) видно, что наиболее выгодно начинать производить продукцию второго вида, так как прибыль на единицу продукции здесь наибольшая. Чем больше выпуск этой продукции, тем больше прибыль. Выясним, до каких пор наши ресурсы позволяют увеличить выпуск этой продукции. Для этого придется записать для системы (5) общее решение
х5= 140 — 2×1 — x2 — 6×3 — 5×4
х6= 90 — 3×2 — 4×4 (8)
х7= 198 — 3×1 -2×2 — 4×3
Мы пока сохраняем в общем уравнении x1= x3 = x4 = 0 и увеличиваем только x2. При этом значения базисных переменных должны оставаться неотрицательными, что приводит к системе неравенств
140 — x2 ≥ 0 x2 ≤ 140
90 -3×2 ≥ 0 или x2 ≤ 30, т.е. 0 ≤ x2 ≤ 30
198 -2×2 ≥ 0 x2 ≤ 99
Дадим x2 наибольшее значение x2 = 30, которое она может принять при нулевых значениях других свободных неизвестных, и подставим его в (8). Получаем для системы уравнений (5) частное неотрицательное решение
х5= 140 — 2×1 — 30 — 6×3 — 5×4
х6= 90 — 90 — 4×4
х7= 198 — 3×1 – 60 — 4×3
х1= 0, х2= 30, х3= 0, х4 = 0, х5= 110, х6= 0, х7= 138 (9)
Нетрудно убедиться, что это решение является базисным неотрицательным решением системы линейных алгебраических уравнений (5), для получения которого достаточно было принять в системе (5) неизвестную х2 за разрешающую и перейти к новому предпочитаемому виду этой системы, сохранив правые части уравнений неотрицательными, для чего за разрешающее уравнение мы обязаны принять второе, так как
min = min (140; 30; 99) = 30,
Список использованной литературы
Литература:
1.Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине Прикладная математика / Сост.: Колемаев В.А., Карандаев И.С., В.И. Малыхин, Т.М. Гатауллин, Ю.Г. Прохоров, Х.Х. Юнисов; ГУУ, М., 2000. 73 с.
2.Математические методы принятия решений в экономике: Учебник / Под ред. В.А. Колемаева / ГУУ. М.: ЗАО «Финстатинформ», 1999. 386 с.