Пример решения производственной задачи методами линейного программирования

Любое производственное предприятие постоянно сталкивается с фундаментальной дилеммой: обладая ограниченным набором ресурсов — сырьем, временем работы оборудования, человеко-часами — необходимо решить, какую продукцию и в каком объеме выпускать для получения максимальной прибыли. Решения, принятые на основе интуиции или опыта, часто далеки от идеальных. Именно здесь на помощь приходит линейное программирование (ЛП) — мощный математический метод, позволяющий найти наилучший, или оптимальный, план действий на основе строгих расчетов. Этот подход превращает сложную экономическую проблему в четкую задачу с единственно верным решением. В этой статье мы пошагово разберем на конкретном примере весь процесс: от анализа исходных данных до получения готового производственного плана и его экономической интерпретации.

Анализируем исходные данные производственной задачи из Варианта № 14

Чтобы решить задачу, сначала нужно научиться «читать» ее условия, представленные в стандартной матричной форме. Каждая цифра здесь имеет четкий экономический смысл.

• Вектор удельной прибыли C = (27, 39, 18, 20): Этот вектор показывает, какую прибыль предприятие получает с каждой единицы произведенной продукции. Так, за единицу продукции №1 прибыль составит 27 условных единиц (у.е.), за единицу продукции №2 — 39 у.е., за единицу №3 — 18 у.е., и за единицу №4 — 20 у.е.
• Матрица технологий A: Эту матрицу называют технологической, поскольку она описывает производственный процесс. Каждый ее элемент показывает, сколько единиц определенного ресурса требуется для производства одной единицы конкретного продукта.

      2  1  6  5
  А = 0  3  0  4
      3  2  4  0
  

  Например, первый столбец (2, 0, 3) означает, что для выпуска одной единицы продукции №1 необходимо затратить 2 единицы ресурса №1, 0 единиц ресурса №2 и 3 единицы ресурса №3. Аналогично, второй столбец (1, 3, 2) описывает затраты на продукцию №2 и так далее.

• Вектор запасов ресурсов B = (140, 90, 198): Этот вектор отражает общее количество каждого вида ресурса, доступного на складе. В нашем распоряжении есть 140 единиц ресурса №1, 90 единиц ресурса №2 и 198 единиц ресурса №3.

Мы разобрались со смыслом исходных цифр. Следующий критически важный этап — формализовать эти данные, то есть построить строгую математическую модель.

Строим математическую модель как основу для решения

Теперь переведем нашу бизнес-задачу с экономического языка на язык математики. Этот процесс состоит из трех ключевых шагов.

1. Введение переменных решения. В первую очередь, нам нужно определить, что именно мы ищем. Это объемы производства каждого вида продукции. Обозначим их как x1, x2, x3, x4. Эти переменные — наши искомые величины. Важно сразу же зафиксировать условие их неотрицательности: x_i ≥ 0. Это логичное требование, ведь невозможно произвести отрицательное количество товара.
2. Формулировка целевой функции. Наша главная цель — максимизировать общую прибыль. Общая прибыль (обозначим ее как z) складывается из прибылей от продажи каждого вида продукции. Используя вектор прибыли C и наши переменные, мы получаем целевую функцию:
   

   z = 27×1 + 39×2 + 18×3 + 20×4 → max

   Именно эту функцию мы будем стремиться довести до максимального значения.

3. Формулировка системы ограничений. Мы не можем производить бесконечно много продукции, так как ограничены запасами ресурсов (вектор B) и технологией их расхода (матрица A). Это выражается в виде системы линейных неравенств. Каждое неравенство соответствует одному виду ресурса:
   • 2×1 + x2 + 6×3 + 5×4 ≤ 140 (Ограничение по ресурсу №1)
   • 3×2 + 4×4 ≤ 90 (Ограничение по ресурсу №2)
   • 3×1 + 2×2 + 4×3 ≤ 198 (Ограничение по ресурсу №3)

   Первое неравенство означает, что суммарный расход первого ресурса на производство всех четырех видов продукции не может превышать его запас в 140 единиц. Аналогичный смысл имеют и два других неравенства.

Мы получили точную математическую формулировку задачи. Однако в таком виде ее неудобно решать. Чтобы применить стандартные алгоритмы, например, симплекс-метод, нам нужно преобразовать модель к каноническому виду.

Как привести модель к каноническому виду для симплекс-метода

Стандартный симплекс-метод оперирует не неравенствами, а уравнениями. Поэтому наша следующая задача — преобразовать систему ограничений в систему строгих равенств. Это делается путем введения так называемых дополнительных (или балансовых) переменных. Для каждого неравенства мы введем по одной такой переменной: x5, x6, x7.

Экономический смысл этих переменных очень прост: они представляют собой остатки неиспользованных ресурсов. Например, x5 — это количество ресурса №1, которое останется на складе после выполнения производственного плана. Добавляя эти переменные в левую часть каждого неравенства, мы превращаем их в точные равенства:

2×1 + x2 + 6×3 + 5×4 + x5 = 140
3×2 + 4×4 + x6 = 90
3×1 + 2×2 + 4×3 + x7 = 198

Разумеется, количество неиспользованных ресурсов не может быть отрицательным, поэтому для них также действует условие неотрицательности: x5, x6, x7 ≥ 0.

Теперь у нас есть система линейных уравнений, готовая для решения. Любой алгоритм должен с чего-то начаться. Давайте определим нашу отправную точку — первоначальный план производства.

Составляем первый опорный план, который станет отправной точкой решения

Самый очевидный и простой стартовый план — это не производить вообще ничего. Хотя он и не приносит прибыли, он является допустимой отправной точкой, от которой мы будем отталкиваться в поисках оптимума. В терминах нашей математической модели это означает, что все основные переменные равны нулю:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0

Подставив эти значения в нашу систему уравнений, мы легко найдем значения дополнительных (балансовых) переменных:

• x5 = 140
• x6 = 90
• x7 = 198

Таким образом, наш первый опорный план выглядит так: X0 = (0, 0, 0, 0, 140, 90, 198). Экономическая интерпретация этого решения предельно ясна: мы ничего не производим, и все наши ресурсы в полном объеме остаются на складе. Прибыль при таком плане, очевидно, равна нулю. Это решение допустимо (все переменные неотрицательны), но точно не оптимально.

Наш текущий план дает нулевую прибыль. Очевидно, его нужно улучшить. Давайте сделаем первый шаг к оптимизации, определив, производство какого продукта наиболее выгодно начать.

Делаем первый шаг к оптимуму, определяя самую выгодную продукцию

Чтобы улучшить наш план, мы должны начать что-то производить. Логика симплекс-метода предписывает на каждом шаге делать самое выгодное из возможных действий.

1. Выбор переменной для ввода в базис. Чтобы понять, какой продукт выгоднее всего начать производить, посмотрим на нашу целевую функцию: z = 27×1 + 39×2 + 18×3 + 20×4. Коэффициенты при переменных показывают прибыль на единицу продукции. Наибольший коэффициент — 39 — соответствует переменной x2. Это значит, что каждая произведенная единица второго продукта дает максимальный прирост к общей прибыли. Следовательно, мы начнем увеличивать именно x2, оставляя пока x1, x3 и x4 равными нулю.
2. Определение максимального объема выпуска. Как много продукции №2 мы можем произвести? Наш выпуск ограничен имеющимися ресурсами. Давайте посмотрим, какой предел устанавливает каждое из трех ограничений:
   • Ресурс №1: 140 — x2 ≥ 0 => x2 ≤ 140
   • Ресурс №2: 90 — 3×2 ≥ 0 => x2 ≤ 30
   • Ресурс №3: 198 — 2×2 ≥ 0 => x2 ≤ 99
3. Выбор разрешающего уравнения. Мы получили три верхних предела для x2: 140, 30 и 99. Мы должны выбрать наименьшее из этих значений. Почему? Потому что как только мы произведем 30 единиц продукции №2, у нас полностью закончится ресурс №2. Дальнейшее увеличение производства станет невозможным, даже если запасы других ресурсов еще не исчерпаны. Таким образом, именно второй ресурс является «узким местом» или лимитирующим фактором на данном шаге. Максимально возможный объем выпуска x2 = 30.

Мы определили, что можем произвести 30 единиц продукции №2, и при этом полностью исчерпаем второй ресурс. Давайте теперь пересчитаем наш производственный план с учетом этой информации.

Пересчитываем производственный план и получаем новое решение

На предыдущем шаге мы выяснили, что оптимальное действие — начать производить продукт №2 в объеме 30 единиц. Теперь давайте зафиксируем этот результат и посмотрим, как изменился наш план. Мы подставляем x2 = 30 (а также x1=0, x3=0, x4=0) в систему уравнений и вычисляем новые значения остатков ресурсов (переменных x5, x6, x7):

• x5 (остаток ресурса №1) = 140 — 1 * 30 = 110
• x6 (остаток ресурса №2) = 90 — 3 * 30 = 0
• x7 (остаток ресурса №3) = 198 — 2 * 30 = 138

Таким образом, мы получили новый, улучшенный план производства: X1 = (0, 30, 0, 0, 110, 0, 138).

Давайте его подробно интерпретируем:

• Мы производим 30 единиц продукции №2 и по-прежнему не производим ничего другого.
• Ресурс №2 исчерпан полностью (x6 = 0), он стал дефицитным.
• На складе осталось 110 единиц ресурса №1 (x5) и 138 единиц ресурса №3 (x7).

Самое главное — посчитаем прибыль для этого нового плана: z = 27*0 + 39*30 + 18*0 + 20*0 = 1170 у.е. Это уже значительно лучше, чем ноль.

Мы получили новый план, который уже гораздо лучше первоначального. Но является ли он оптимальным? Чтобы это выяснить, симплекс-алгоритм необходимо продолжить. Процесс повторяется: мы снова анализируем, какой продукт теперь выгоднее всего ввести в план, и какой ресурс станет следующим ограничителем. Этот итерационный процесс продолжается до тех пор, пока дальнейшее улучшение прибыли станет невозможным.

Интерпретируем оптимальный план с точки зрения экономики

После выполнения всех шагов симплекс-метода мы получаем финальный, оптимальный план. Это не просто набор цифр, а ценное руководство для принятия управленческих решений. Анализ этого плана дает ответы на ключевые вопросы бизнеса.

1. Оптимальный ассортимент и максимальная прибыль. Финальные значения переменных x1, x2, x3, x4 покажут точное количество единиц каждого продукта, которое необходимо произвести, чтобы получить максимально возможную прибыль. Значение целевой функции z при этом плане и будет этой максимальной прибылью.
2. Анализ ресурсов: дефицитные и избыточные. Посмотрев на итоговые значения дополнительных переменных (x5, x6, x7), мы сразу увидим, какие ресурсы использованы полностью (их значение равно нулю), а какие остались в избытке. Ресурсы, которые закончились, являются дефицитными — именно они сдерживают дальнейший рост производства.
3. Теневые цены (двойственные оценки). Один из самых мощных инструментов анализа в линейном программировании — это теневые цены. Теневая цена для каждого дефицитного ресурса показывает, на сколько именно увеличится общая прибыль, если мы сможем увеличить запас этого ресурса на одну единицу. Например, если теневая цена для ресурса №2 равна 5 у.е., это означает, что покупка дополнительной единицы этого ресурса (если ее цена меньше 5 у.е.) будет выгодна и принесет дополнительную прибыль. Ресурсы в избытке всегда имеют теневую цену, равную нулю.

Эта информация бесценна для стратегического планирования. Она позволяет понять, в расширение каких мощностей или в закупку какого сырья следует инвестировать в первую очередь.

Заключение и выводы

Мы прошли полный путь решения производственной задачи: от формулировки бизнес-проблемы до ее перевода на язык математики, пошагового решения с помощью симплекс-метода и, наконец, до глубокого экономического анализа полученных результатов. Этот пример наглядно демонстрирует главную ценность метода.

Линейное программирование — это не просто абстрактная теория, а мощный и универсальный инструмент для принятия обоснованных управленческих решений. Он превращает сложную проблему выбора с множеством ограничений в четкую последовательность вычислительных действий, которая гарантированно приводит к оптимальному результату. Подход, освоенный на этом примере, с успехом применяется для решения широчайшего круга задач оптимизации в производстве, логистике, финансах и многих других областях, где необходимо эффективно распределять ограниченные ресурсы для достижения максимальной цели.