Содержание
Введение 3
Понятие дифференциального уравнения 4
Понятие степенного ряда 9
Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов 13
Применение метода для уравнения первого порядка 15
Примеры решения задачи в Maple 17
Пример уравнения второго порядка 20
Заключение 21
Список используемой литературы 22
Выдержка из текста
При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Лучше всего это делать в виде дифференциальных уравнений (ДУ) или системы дифференциальных уравнений. Наиболее часто такая задача возникает при решении проблем, связанных с моделированием кинетики химических реакций и различных явлений переноса (тепла, массы, импульса) – теплообмена, перемешивания, сушки, адсорбции, при описании движения макро- и микрочастиц.
Известные методы точного интегрирования дифференциальных уравнений позволяют найти решение в виде аналитической функции, однако эти методы применимы для очень ограниченного класса функций. Большинство уравнений, встречающихся при решении практических задач нельзя проинтегрировать с помощью этих методов.
В таких случаях используются численные методы решения, которые представляют решение дифференциального уравнения не в виде аналитической функции, а в виде таблиц значений искомой функции в зависимости от значения переменной.
Существует несколько методов численного интегрирования дифференциальных уравнений, которые отличаются друг от друга по сложности вычислений и точности результата.
Рассмотрим три основных метода приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка: Метод ломанных (Эйлера), метод последовательных приближений (Пикара) и метод разложения решения в степенной ряд.
Список использованной литературы
1. Лапчик М.П., Рагулина М.И., Хеннер Е.К. Численные методы. – М.: Академия, 2005. – 384 с.
2. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. – М.: Наука, 1967. – 368 с.
3. Ортега Дж., Пул У. Ведение в численные методы решения дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1986. – 288 с.
4. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1970. – 720 с.
5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1974. – 331 с.
6. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2001. – 382 с.
С этим материалом также изучают
... дифференциальных уравне- ний / В. В. Корнев. — 2012. 2 Потабенко, Н. А. Численные методы. Решение задач линейной алгебры и уравнений ... только при естественнонаучных и инженерных вычислениях, но и для хранения информации, для решения ряда иных задач, а ...
... решениям, что легче и целесообразнее использовать приближенные численные методы. В огромном количестве задач дифференциальные уравнения содержат существенные нелинейности, а входящие в них функции и коэффициенты заданы в виде ...
... решениям, что легче и целесообразнее использовать приближенные численные методы. В огромном количестве задач дифференциальные уравнения содержат существенные нелинейности, а входящие в них функции и коэффициенты заданы в виде ...
... П.М., Варвак А.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1977.– 160с. 20. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы – аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики ...
... 1977. 14. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. - М.: ИЛ, 1953. 15. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972. ...
... Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. – СПб.: Лань, 2010. – 400 с.7. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978.8. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. ...
... П. И., Вычислительные методы, т. 2, М., 1977; 7) Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений, пер. с нем., ... широкого круга задач свойствами точности и устойчивости. Эти методы, как и все одношаговые методы, являются самостартующими ...
... Листинг программы6 Список литературы9Выдержка из текстаНайдем точное аналитическое решение уравнение методом разделения переменных Численное решение методом Эйлора y(i) - решение ОДУ, методом Эйлера yt(i) - аналитическое ршение ОДУ y(i) - yt(i) ...
Изучите классические и современные методы решения алгебраических уравнений. В статье подробно рассмотрены метод Гаусса, формулы Крамера, работа с комплексными коэффициентами и решение систем линейных уравнений (СЛАУ) с наглядными примерами.
... долю задач, предъявляемых к решению. Существенное рас-ширение класса реально решаемых дифференциальных уравнений, а, следова-тельно, и расширение сферы применения математики произошло с разработкой численных методов ...
