Пример готовой курсовой работы по предмету: Высшая математика
Содержание
1. Ряды Фурье
1.1. Понятие ряда Фурье
Ряды Фурье играют большую роль в математической физике, теории упругости, электротехнике и особенно их частный случай – тригонометрические ряды Фурье.
Определение
1. Тригонометрическим рядом называют ряд вида:
или, символической записи:
(1)
где ω, a 0, a 1, …, an, …, b 0, b 1, …,bn, …- постоянные числа (ω>0) .
К изучению таких рядов исторически привели некоторые задачи физики, например задача о колебаниях струны (XVIII век), задача о закономерностях в явлениях теплопроводности и др.
В приложениях рассмотрение тригонометрических рядов, прежде всего, связано с задачей представления данного движения, описанного уравнением
у = ƒ(x), в виде суммы простейших гармонических колебаний, часто взятых в бесконечно большом числе, т. е. в качестве суммы ряда вида (1).
Таким образом, мы приходим к следующей задаче: выяснить существует ли для данной функции ƒ(x) на заданном промежутке такой ряд (1), который сходился бы на этом промежутке к данной функции. Если это возможно, то говорят, что на этом промежутке функция ƒ(x) разлагается в тригонометрический ряд.
Лемма 1. Пусть ряд (2) сходится на .
Тогда
(2)
Доказательство. Функция непрерывна на как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Домножим равенство (2) почленно на или . Полученные ряды также будут сходиться равномерно и их почленное интегрирование с использованием свойства ортогональности функций системы дает
Определение
2. Пусть интегрируемая на отрезке . Тригонометрический ряд с коэффициентами определенными формулами (2), называется (тригонометрическим) рядом Фурье функции , а коэффициенты — коэффициентами ряда Фурье функции .
В этом случае пишут (3) понимая под такой записью, что функции поставлен в соответствие ее ряд Фурье.
Выдержка из текста
Жан Батист Жозеф Фурье — французский математик, член Парижской Академии Наук (1817).
Первые труды Фурье относятся к алгебре. Уже в лекциях 1796 года он изложил теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между данными границами, названную его именем. В 1818 году Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных результатах, полученных в 1768 году французским математиком Ж.Р. Мурайлем. Итогом работ Фурье по численным методам решения уравнений является «Анализ определённых уравнений», изданный посмертно в 1831г.
Основной областью занятий Фурье была математическая физика. В 1807г. и 1811г. он представил Парижской Академии Наук свои первые открытия по теории распространении тепла в твёрдом теле, а в 1822 году опубликовал известную работу «Аналитическая теория теплоты», сыгравшую большую роль в последующей истории математики. Это – математическая теория теплопроводности. В силу общности метода эта книга стала источником всех современных методов математической физики. В этой работе Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Д. Бернулли, разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных (метод Фурье), который он применял к ряду частных случаев (куб, цилиндр и др.).
В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами Фурье.
Ряд Фурье – способ представления произвольной сложной функции суммой более простых функций. Он позволяет изучать периодические (непериодические) функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов, и акустические волны – это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.
Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов.
Целью данной курсовой работы является введения понятия ряда Фурье и изучение его общих свойств. Для ее достижения необходимо выполнить следующие задачи:
1) Рассмотреть литературу по теме «Ряды Фурье».
2) Определить теоретические основы темы «Ряды Фурье».
3) Подобрать и рассмотреть решение практических задач по теме: «Ряды Фурье».
Список использованной литературы
1. Бесов, О.В. Тригонометрические ряды Фурье. Учебно-методическое пособие (для студентов 2-го курса).
— МФТИ. М., 2004. — 31 с.
2. Бугров, Я.С., Никольский, С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, Главная редакция физ. – мат. литературы, 1981. – 448 с.
3. Власова, Е.А. Ряды: учеб. для вузов /Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. — 3-е изд., исправл. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. — 616 с.
4. Гусак, А.А. Высшая математика. Учебник для студентов вузов. В 2 т. Т. 1 / 6-е изд. — Минск: ТетраСистемс, 2010. — 544 с.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.
2. Учебное пособие для вузов. – 6-е изд. – М.: Высш. шк., 2007. – 416 с.
6. Егорова Г.Ф., Павлова Г.А., Мазуренко И.А. Ряды Фурье: практикум по математическому анализу / Г.Ф. Егорова, Г.А. Павлова, И.А. Мазуренко. — Самар. гос. техн. ун-т. Самара, 2011. — 46 с.
7. Зайцев, В.П. Математика: Часть
4. Дифференциальные уравнения. Ряды. Учебное пособие [Текст]
/ Алт. гос. техн. ун-т. И. И. Ползунова. – Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2011. – 200 с.
8. Кудрявцев, Л.Д. Математический анализ. В 3-х т. Т.
2. Учебное пособие. – М.: Высш. шк., 2005. – 720 с.
9. Кузнецова, Т. А. Высшая математика: Учебное пособие / Кузнецова Т. А. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2009. — 168 с.
10. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебное пособие для втузов: в 2т. Т.2. – М.: Наука, 1972. – 576 с.
11. Усенков, Д. Ю. Ряды / Д. Ю. Усенков, О. Б. Богомолова // Информатика — Первое сентября. — 2012. — № 7. — С. 16-23.
12. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа : учебник для студентов 1-2 курсов математических отделений вузов : в 2 т. Т. 2 / Г. М. Фихтенгольц. — Санкт-Петербург : Лань,2004. — 440 с.
13. Холодов, Ю. В. Учебно-методическое пособие по «Высшей математике» [Электронный ресурс]
/ Холодов Ю. В. — Астрахань: Астраханский инженерно-строительный институт, ЭБС АСВ, 2012. — 127 с.
14. http://edu.alnam.ru/book_z_math2.php?id=146
15. http://sernam.ru/lect_math3.php?id=83
16. http://tehtab.ru/Guide/GuideMathematics/SeriesOfTaylorMaklorenFourier/FourierSeries/
17. http://www.math24.ru/
18. https://ru.wikipedia.org/wiki/
