Синтез и анализ аналоговых и цифровых регуляторов в системах автоматического управления: Комплексный подход к проектированию и оптимизации

В мире, где каждая секунда и каждый градус имеют значение, точность управления становится не просто желательной, а критически важной. Представьте себе современный производственный комплекс, где высокоточные роботы собирают сложнейшие микросхемы, или энергетическую станцию, где сотни параметров должны находиться в строго заданных пределах. В этих и многих других сферах именно системы автоматического управления (САУ) обеспечивают эту безошибочную координацию. И в самом сердце каждой САУ бьется «мозг» — регулятор, отвечающий за поддержание стабильности и достижение желаемых параметров.

Наше исследование погрузит вас в глубокий анализ двух фундаментальных подходов к созданию этих «мозгов»: аналоговых и цифровых регуляторов. Мы пройдем путь от базовых принципов и математических моделей до сложных методов настройки, анализа устойчивости и оценки переходных процессов. Особое внимание будет уделено нюансам перехода от непрерывного аналогового мира к дискретному цифровому, а также современным инструментам, которые позволяют инженерам-конструкторам воплощать свои идеи в жизнь. Это путешествие позволит не только систематизировать уже имеющиеся знания, но и открыть новые горизонты в понимании того, как мы управляем миром вокруг нас.

Введение в системы автоматического управления и роль регуляторов

В современном мире, где технологический прогресс неуклонно движется вперед, потребность в точном и надежном управлении различными процессами становится все более острой. От промышленных производств и энергетических систем до космических аппаратов и медицинского оборудования – везде требуются сложные механизмы, способные поддерживать заданные параметры с высочайшей точностью. Именно здесь на первый план выходят системы автоматического управления (САУ), которые берут на себя рутинные и сложные задачи по контролю и регулированию, освобождая человека от прямого участия в процессе. Из этого следует, что адекватное понимание принципов их работы открывает перед нами возможность не просто автоматизировать, но и существенно оптимизировать производственные и технологические процессы, делая их более эффективными и менее подверженными человеческому фактору.

Основные понятия теории автоматического управления

В основе понимания САУ лежит несколько ключевых определений.

Регулятор – это устройство, выполняющее функцию контроля над работой объекта управления и генерирующее для него управляющие (регулирующие) сигналы. По сути, это «мозг» системы, который анализирует текущее состояние и принимает решения о том, как воздействовать на объект для достижения желаемого результата.

Система автоматического управления (САУ) – это комплекс элементов, предназначенный для управления каким-либо объектом или процессом без прямого участия человека в контуре управления. САУ могут быть чрезвычайно разнообразными, от простейших термостатов до многоуровневых систем управления сложными технологическими процессами.

Теория автоматического управления (ТАУ) – это научная дисциплина, изучающая закономерности процессов автоматического управления объектами различной физической природы. ТАУ предоставляет математический аппарат и методологию для выявления свойств систем, анализа их поведения и разработки рекомендаций по их проектированию, синтезу и оптимизации. Основная цель любой САУ заключается в непрерывном поддержании с заданной точностью требуемой функциональной зависимости между управляемыми переменными, характеризующими состояние объекта, и управляющими воздействиями, даже в условиях взаимодействия объекта с внешней средой.

Классификация САУ помогает лучше понять их многообразие и области применения:

• По характеру действия:
  • Непрерывные САУ: Все сигналы в системе являются непрерывными функциями времени. Такие системы традиционно основываются на аналоговой электронике.
  • Дискретные САУ: В этих системах сигналы существуют только в определенные моменты времени, между которыми значения не определены. Это характерно для цифровых систем.
  • Релейные САУ: Управляющее воздействие принимает лишь конечное число фиксированных значений (например, «включено/выключено»).
• По степени участия человека:
  • Ручные системы: Полностью управляются человеком.
  • Автоматические системы: Функционируют без участия человека.
  • Автоматизированные системы: Часть функций выполняется автоматически, часть – человеком (например, контроль, принятие стратегических решений).
• По закону изменения выходной переменной:
  • Стабилизирующие системы: Поддерживают выходную величину на постоянном заданном уровне (например, стабилизаторы напряжения).
  • Программные системы: Выходная величина изменяется по заранее заданной программе (например, системы управления станками с ЧПУ).
  • Следящие системы: Выходная величина должна точно повторять изменяющуюся входную величину (например, системы наведения антенн).

Принцип действия ПИД-регулятора

Среди всего многообразия регуляторов особое место занимает ПИД-регулятор (пропорционально-интегрально-дифференциальный). Это устройство является краеугольным камнем в контурах управления с обратной связью, обеспечивая формирование управляющего сигнала для достижения необходимых точности и качества переходного процесса. Секрет его универсальности кроется в способности комбинировать три различных алгоритма воздействия на ошибку системы, позволяя точно настроить реакцию на любое возмущение.

ПИД-регулятор формирует управляющий сигнал, который является суммой трех составляющих:

1. Пропорциональная (П) составляющая: Эта часть регулятора реагирует на текущее значение ошибки (разности между заданным и регулируемым значением). Чем больше ошибка, тем сильнее корректирующее воздействие. Она обеспечивает быстрое реагирование на отклонения, но часто не может полностью устранить ошибку, оставляя так называемую статическую ошибку.
2. Интегральная (И) составляющая: Эта часть учитывает историю ошибки. Она суммирует ошибки по времени, что позволяет ей устранять статическую ошибку в установившемся режиме. Даже если ошибка невелика, интегратор будет постепенно накапливать ее, пока она не будет полностью скомпенсирована. Однако слишком агрессивная интегральная составляющая может привести к медленному процессу регулирования и излишним колебаниям.
3. Дифференциальная (Д) составляющая: Эта составляющая реагирует на скорость изменения ошибки. Она предсказывает будущее поведение системы на основе текущей тенденции изменения ошибки. Д-составляющая предназначена для противодействия прогнозируемым отклонениям, что позволяет уменьшить перерегулирование (выход регулируемой величины за заданные пределы) и колебания в системе. Это делает систему более «дальновидной», но при этом повышает ее чувствительность к шумам.

Таким образом, ПИД-регулятор представляет собой мощный и гибкий инструмент, способный обеспечить практически идеальное управление при правильной настройке своих трех коэффициентов: пропорционального (K_p), интегрального (K_i) и дифференциального (K_d).

Аналоговые регуляторы: основы функционирования, синтез и методы настройки

Аналоговые регуляторы, исторически ставшие фундаментом теории автоматического управления, представляют собой устройства, оперирующие непрерывными сигналами. Их передаточные функции, как правило, выражаются в операторной форме, позволяя математически описать динамику системы в s-плоскости. Понимание принципов работы каждого из базовых компонентов – пропорционального, интегрального и дифференциального – критически важно для синтеза более сложных комбинированных регуляторов и их эффективной настройки, поскольку каждый из них вносит свой уникальный вклад в общую реакцию системы.

Пропорциональный (П) регулятор

Самым простым и интуитивно понятным элементом управления является пропорциональный (П) регулятор. Его принцип действия можно сравнить с реакцией человека, который пытается удержать баланс: чем больше отклонение от равновесия, тем сильнее корректирующее усилие. В контексте автоматического управления, П-регулятор вырабатывает выходной сигнал, который прямо пропорционален текущему значению ошибки.

Математически, простейший П-регулятор представляется как пропорциональное звено (усилитель) с передаточной функцией W(p) = K, или в операторной форме:

Gp(s) = Kp

где K_p — это коэффициент усиления пропорциональной составляющей.

Влияние коэффициента усиления:

• Скорость отклика: Увеличение K_p приводит к более быстрому отклику системы на ошибку. Система стремится быстрее сократить разницу между заданным и текущим значением.
• Устойчивость: Чрезмерно большой K_p может стать причиной излишних колебаний и даже потери устойчивости системы. Это происходит потому, что слишком сильное корректирующее воздействие может «перекомпенсировать» ошибку, вызывая ее колебания вокруг заданного значения с увеличивающейся амплитудой.
• Статическая ошибка: П-регулятор по своей природе всегда имеет статическую ошибку. Это означает, что в установившемся режиме (когда система стабилизировалась) между заданным и регулируемым значениями будет существовать небольшая, но постоянная разница. Для полного устранения ошибки потребуется бесконечный K_p, что практически невозможно и ведет к неустойчивости.

Преимущества П-регулятора:

• Простота реализации: Является одним из самых простых регуляторов в схемотехническом и программном исполнении.
• Быстродействие: Обеспечивает относительно быстрый отклик на изменения ошибки.

Недостатки П-регулятора:

• Наличие статической ошибки: Не способен полностью устранить ошибку в установившемся режиме.
• Риск колебаний: Высокие значения K_p могут вызвать перерегулирование и колебания.

Интегральный (И) регулятор

Если П-регулятор реагирует на «здесь и сейчас», то интегральный (И) регулятор смотрит в «прошлое» системы. Его основная функция — устранение статической ошибки, которая является неотъемлемым недостатком пропорционального регулирования. Он делает это, накапливая ошибку по времени.

Принцип действия И-регулятора основан на том, что выходной сигнал пропорционален интегралу ошибки по времени. Это означает, что даже если ошибка невелика, но она существует в течение некоторого времени, интегральная составляющая будет непрерывно возрастать (или уменьшаться), пока статическая ошибка не станет равной нулю.

Передаточная функция И-регулятора:

Gi(s) = Ki/s

где K_i — это коэффициент усиления интегральной составляющей.

Преимущества И-регулятора:

• Устранение статической ошибки: Это его главная и незаменимая особенность. Он гарантирует, что в установившемся режиме регулируемая величина точно достигнет заданного значения.

Недостатки И-регулятора:

• Медленный процесс регулирования: И-регулятор реагирует на накопившуюся ошибку, что делает его довольно медленным в одиночном применении.
• Риск колебаний и перерегулирования: Чрезмерно большая интегральная составляющая может привести к значительному перерегулированию и длительным колебательным процессам, так как система будет «долго помнить» прошлые ошибки.

Дифференциальный (Д) регулятор

В то время как П-регулятор работает с текущей ошибкой, а И-регулятор с прошлой, дифференциальный (Д) регулятор является самым «дальновидным» из всех. Он реагирует на скорость изменения ошибки, тем самым предсказывая ее будущее поведение. Его главная задача — уменьшение перерегулирования и колебаний, которые могут возникнуть при использовании только П- или ПИ-регуляторов.

Принцип действия Д-регулятора заключается в выработке выходного сигнала, пропорционального скорости изменения ошибки. Если ошибка быстро возрастает, Д-регулятор немедленно дает мощный корректирующий сигнал, предвосхищая дальнейшее отклонение. Это позволяет «демпфировать» систему, снижая инерцию и предотвращая выход за заданные пределы.

Передаточная функция Д-регулятора:

Gd(s) = Td ⋅ s

где T_d — постоянная времени дифференциальной составляющей.

Детальный анализ чувствительности к высокочастотным помехам и меры защиты:

Главный и наиболее существенный недостаток Д-регулятора — его крайняя чувствительность к высокочастотным помехам, коротким выбросам и шумам измерений. Дифференцирование, по своей сути, является операцией усиления высокочастотных компонент сигнала. Следовательно, любые шумы, присутствующие в измеряемой ошибке, будут значительно усилены Д-регулятором, что приведет к нежелательным колебаниям управляющего воздействия и дестабилизации системы. Какой важный нюанс здесь упускается? То, что несмотря на все преимущества, без адекватных мер защиты Д-регулятор может не только не улучшить, но и фатально ухудшить работу системы.

Для минимизации этого негативного эффекта применяются следующие комплексные меры защиты:

• Фильтры нижних частот (ФНЧ): Наиболее распространенный способ. ФНЧ устанавливается либо перед регулятором (на входном сигнале ошибки), либо непосредственно в дифференциальном канале. Он пропускает полезный низкочастотный сигнал и подавляет высокочастотные шумы. Однако, здесь возникает компромисс: увеличение постоянной времени фильтра, улучшающее шумоподавление, может замедлить реакцию регулятора на реальные быстрые возмущения, снижая его эффективность.
• Экранирование кабелей: Использование экранированных кабелей для передачи сигналов от датчиков к регулятору помогает предотвратить наводки электромагнитных помех. Экран заземляется, отводя наведенные токи.
• Ферритовые муфты (ферритовые кольца): Эти элементы устанавливаются на сигнальные кабели и эффективно подавляют высокочастотные помехи, превращая их энергию в тепло.
• Заземленные металлические шкафы: Размещение чувствительного электронного оборудования (включая регуляторы) в металлических шкафах, подключенных к защитному заземлению, создает электромагнитный экран, предотвращающий проникновение внешних полей.
• Аппаратное усреднение сигнала: В некоторых случаях можно использовать аппаратные решения, усредняющие измеряемый сигнал за короткий промежуток времени, что также снижает влияние случайных шумов.
• Программная фильтрация: Помимо аппаратных ФНЧ, могут применяться цифровые алгоритмы фильтрации (например, скользящее среднее) непосредственно в программной реализации Д-регулятора, но это также вносит задержку.

Таким образом, несмотря на свои неоспоримые преимущества в повышении динамических свойств системы, Д-регулятор требует внимательного подхода к реализации и всесторонней защиты от помех.

Комбинированные аналоговые регуляторы (ПИ, ПД, ПИД)

В реальных системах управления редко используется один из базовых регуляторов в чистом виде. Для достижения оптимального качества регулирования инженеры комбинируют П, И и Д составляющие, создавая более сложные и эффективные структуры.

ПИ-регулятор

ПИ-регулятор объединяет пропорциональную и интегральную составляющие. Это наиболее часто используемый тип регулятора в промышленности благодаря своим уникальным преимуществам.

• Сокращение времени переходного процесса: Пропорциональная составляющая обеспечивает быстрый начальный отклик на ошибку.
• Устранение статической ошибки: Интегральная составляющая, накапливая ошибку по времени, гарантирует, что в установившемся режиме регулируемая величина точно достигнет заданного значения. Это особенно важно при ступенчатых возмущениях или изменениях уставки, когда система должна прийти к новому значению без постоянного отклонения.

Передаточная функция ПИ-регулятора: GПИ(s) = Kp(1 + 1/(Tis)), где T_i — постоянная времени интегрирования.

ПД-регулятор

ПД-регулятор сочетает пропорциональную и дифференциальную составляющие. Он предназначен для улучшения динамических характеристик системы.

• Сокращение времени переходного процесса: Пропорциональная составляющая ускоряет начальный отклик.
• Устранение перерегулирования и колебаний: Дифференциальная составляющая, реагируя на скорость изменения ошибки, предвосхищает отклонения и эффективно демпфирует колебания, предотвращая чрезмерный выход регулируемой величины за заданные пределы. ПД-регулятор проявляет высокую точность и усиление на высоких частотах (то есть в начале переходного процесса, когда происходят быстрые изменения), что позволяет ему быстро реагировать на динамические изменения.
• Сохранение статической ошибки: Важно отметить, что в установившемся режиме (когда ошибка и ее производная равны нулю), дифференциальная составляющая не оказывает влияния. В этом состоянии ПД-регулятор ведет себя как чистый П-регулятор, что означает, что он по-прежнему будет иметь статическую ошибку. Дифференциальный компонент может компенсировать ухудшение динамических свойств, вызванное интегральным компонентом, и увеличить скорость системы.

Передаточная функция ПД-регулятора: GПД(s) = Kp(1 + Tds).

ПИД-регулятор

ПИД-регулятор объединяет все три составляющие — пропорциональную, интегральную и дифференциальную. Это делает его наиболее универсальным и мощным инструментом в арсенале инженера-автоматизатора.

• Полный контроль над динамикой: ПИД-регулятор позволяет гибко настраивать как скорость отклика (П), так и устранение статической ошибки (И), а также демпфирование колебаний и перерегулирования (Д).
• Обеспечение нулевой ошибки: Благодаря интегральной составляющей, ПИД-регулятор гарантирует, что ошибка в установившемся режиме стремится к нулю.

Передаточная функция аналогового ПИД-регулятора в операторной форме:

WПИД(s) = Kp(1 + 1/(Tis) + Tds)

где s — комплексная частота, K_p — пропорциональный коэффициент, T_i — постоянная времени интегрирования, T_d — постоянная времени дифференцирования.

Правильная настройка этих трех коэффициентов является ключевым аспектом успешного применения ПИД-регулятора.

Методы настройки аналоговых регуляторов для достижения оптимального качества

Настройка коэффициентов аналоговых регуляторов — это искусство, балансирующее между скоростью отклика, устойчивостью и отсутствием перерегулирования. Исторически и по сей день существует множество подходов, от эмпирических до строго математических.

Обзор основных методов:

• Ручная настройка («по графикам»): Это наиболее простой, но наименее точный метод, требующий опыта. Инженер последовательно изменяет коэффициенты K_p, T_i, T_d, наблюдая за реакцией системы на возмущения (например, на ступенчатое изменение уставки) и корректируя их до достижения приемлемого переходного процесса. Обычно начинают с K_p, затем добавляют T_i, а потом T_d.
• Метод Зиглера-Никольса: Один из самых известных и широко применяемых эмпирических методов, предложенный в 1940-х годах. Он имеет два основных варианта:
  • Тангенциальный метод (метод разомкнутого контура): Основан на снятии кривой разгона объекта управления (реакции на ступенчатое входное воздействие) в разомкнутом контуре. По этой кривой определяются две ключевые величины: задержка (L) и постоянная времени (T). Затем по эмпирическим формулам рассчитываются коэффициенты K_p, T_i, T_d.
  • Метод колебаний (метод замкнутого контура): Система переводится в режим автоколебаний путем постепенного увеличения K_p при отключенных И- и Д-составляющих. Определяются критический коэффициент усиления K_кр (при котором возникают незатухающие колебания) и период этих колебаний T_кр. На основе K_кр и T_кр рассчитываются параметры ПИД-регулятора по специальным таблицам.

Углубленное рассмотрение метода CHR (Chien, Hrones, Reswick):

Метод CHR, разработанный в 1952 году, является усовершенствованием метода Зиглера-Никольса. В отличие от Зиглера-Никольса, который в своей первоначальной форме мог приводить к системам с значительным перерегулированием (до 25-30%), CHR фокусируется на более мягких критериях качества:

• Критерии качества: Максимальная скорость нарастания при отсутствии перерегулирования (0% перерегулирования) или с перерегулированием не более 20%. Это обеспечивает больший запас устойчивости и более плавный переходный процесс по сравнению с методом Зиглера-Никольса.
• Аппроксимация объекта: Метод CHR, как и тангенциальный метод Зиглера-Никольса, аппроксимирует объект моделью первого порядка с задержкой, что упрощает расчет.
• Два набора параметров: Важной особенностью CHR является предоставление двух различных наборов параметров регулятора: один набор оптимизирован для наилучшей реакции на изменение уставки (Setpoint Change), а другой — для наилучшего подавления возмущений (Disturbance Rejection). Это позволяет инженеру выбрать наиболее подходящий вариант в зависимости от приоритетов конкретной системы управления.

Принципы спектрального метода:

Спектральный метод настройки регуляторов относится к более продвинутым подходам и основан на частотном анализе.

• Компенсация полюсов нулями: Основная идея заключается в том, чтобы компенсировать нежелательные полюсы передаточной функции объекта управления нулями регулятора. Полюсы объекта, находящиеся близко к мнимой оси в s-плоскости, могут вызывать колебания. Путем размещения нулей регулятора в этих точках (или очень близко к ним) можно значительно улучшить динамические свойства системы.
• Определение постоянных времени и коэффициентов: На основе полюсов объекта {p₁, p₂, …} определяются компенсирующие значения для интегральной (T_i = |1/p_i|) и дифференциальной (T_d = |1/p_j|) постоянных времени, а также коэффициенты регулятора K_p и K_d. Этот метод требует глубокого понимания частотных характеристик системы и может быть достаточно сложным в применении.

Аналитические методы (алгебраический синтез):

Аналитические методы представляют собой группу подходов, основанных на решении математических уравнений, описывающих систему управления.

• Преимущества: Эти методы не требуют построения сложных поверхностей или кривых (как, например, корневые годографы или частотные характеристики) для определения параметров регулятора. Они применимы к широкому классу объектов управления и позволяют получить параметры регулятора, которые удовлетворяют заданным условиям.
• Ограничения: Несмотря на свою математическую строгость, текущие аналитические методы могут не всегда позволять точно задавать требуемую устойчивость и скорость переходных процессов. Это связано с тем, что задача синтеза оптимального регулятора часто является многокритериальной, и аналитическое решение, удовлетворяющее всем требованиям одновременно, может быть труднодостижимым или не существовать вовсе.

Настройка на модульный (технический) оптимум:

Этот метод настройки ориентирован на получение конкретной желаемой динамической характеристики замкнутой системы.

• Передаточная функция второго порядка: Цель состоит в том, чтобы замкнутая САУ имела передаточную функцию второго порядка, которая характеризуется определенным коэффициентом демпфирования и собственной частотой.
• Качество регулирования: При настройке на «технический оптимум» перерегулирование в САУ, как правило, не превышает 5%. Это считается очень хорошим показателем для большинства промышленных приложений.
• Полоса пропускания: Такая настройка обеспечивает максимально широкую полосу пропускания для частотной характеристики замкнутой системы, при этом гарантируя, что ее модуль не превышает 1 во всей полосе пропускания. Это означает, что система хорошо пропускает полезные сигналы в широком диапазоне частот, не усиливая при этом шумы.
• Пример для ПИ-регулятора: Постоянная интегрирования ПИ-регулятора выбирается таким образом, чтобы нейтрализовать влияние наибольшей постоянной времени объекта управления, а коэффициент усиления K_p подбирается для достижения заданного коэффициента демпфирования колебаний.

Понятие коэффициента демпфирования (ξ):

Коэффициент демпфирования (ξ) — это безразмерный параметр, характеризующий степень затухания колебаний в системе.

• Критическое демпфирование (ξ = 1): Система возвращается в равновесное состояние максимально быстро без колебаний.
• Передемпфирование (ξ > 1): Система возвращается без колебаний, но медленнее, чем при критическом демпфировании.
• Недодемпфирование (0 < ξ < 1): Система совершает затухающие колебания перед возвращением в равновесие.
• Отсутствие демпфирования (ξ = 0): Система совершает незатухающие колебания.

Для астатических систем автоматического регулирования первого порядка, значения коэффициента демпфирования в диапазоне от 0.707 до 1.2 часто считаются оптимальными для обеспечения приемлемых динамических качеств. Например, коэффициент демпфирования 1% означает, что амплитуда затухнет примерно на 6% за один период колебаний. Выбор оптимального ξ зависит от конкретных требований к системе (например, минимальное перерегулирование, максимальная скорость).

Переход к цифровым регуляторам: дискретизация, квантование и их особенности

Эволюция систем управления не стоит на месте, и одним из наиболее значимых трендов последних десятилетий стало смещение акцента от аналоговых к цифровым решениям. Этот переход не является простым замещением одних компонентов другими; он влечет за собой фундаментальные изменения в подходе к проектированию, анализу и самой природе управляющих сигналов. Цифровая революция в автоматике открыла двери для реализации алгоритмов, ранее немыслимых в аналоговой схемотехнике. Что это значит для инженера? Это означает необходимость глубокого понимания новых принципов и инструментов, чтобы в полной мере использовать потенциал цифровых технологий.

Преимущества цифровых систем управления

На протяжении последних десятилетий наблюдается устойчивая тенденция вытеснения аналоговых систем управления цифровыми. Это обусловлено рядом неоспоримых преимуществ, которые цифровые технологии предоставляют инженерам:

• Широкие возможности для реализации совершенных алгоритмов: Цифровые системы управления позволяют реализовать гораздо более сложные и эффективные алгоритмы регулирования, чем аналоговые. Это включает:
  • Адаптивное управление: Системы, способные изменять свои параметры или структуру в зависимости от изменяющихся характеристик объекта управления или внешних возмущений.
  • Нелинейные алгоритмы: В отличие от аналоговых систем, которые часто сводятся к линейным моделям, цифровые позволяют эффективно работать с нелинейными зависимостями, что повышает точность и робастность управления.
  • Оптимальные алгоритмы: Реализация сложных вычислительных процедур для достижения оптимального качества регулирования по заданным критериям (например, минимальное время, минимальное энергопотребление).
  • Многорежимное управление, интеллектуальные алгоритмы, системы на основе нейронных сетей и нечеткой логики – все это значительно сложнее или вовсе невозможно реализовать в аналоговой форме.
• Легкость обработки, хранения и воспроизведения сигналов: Цифровой сигнал представляет собой последовательность чисел, что делает его чрезвычайно удобным для:
  • Обработки: Высокоскоростные процессоры могут выполнять сложные математические операции над цифровыми данными.
  • Хранения: Цифровые данные легко сохранять на различных носителях (память микроконтроллеров, диски) без потери качества.
  • Воспроизведения: Воспроизведение цифрового сигнала всегда будет идентичным оригиналу.
• Устойчивость к искажениям и помехам: В отличие от аналогового сигнала, который подвержен шумам и искажениям в процессе передачи и обработки (например, наводки, затухание, изменение формы), цифровой сигнал гораздо более помехоустойчив. Если биты сигнала остаются различимыми, информация сохраняется без потерь. Это обеспечивает высокую надежность и точность передачи информации.
• Гибкость и масштабируемость: Цифровые регуляторы, реализованные программно, легко модифицировать, обновлять и адаптировать под новые задачи без изменения аппаратной части. Это существенно снижает затраты на разработку и обслуживание.

Эти преимущества обуславливают повсеместное внедрение цифровых систем управления в различные отрасли промышленности и техники.

Дискретизация по времени

Переход от непрерывного аналогового мира к дискретному цифровому начинается с процесса дискретизации по времени. Это фундаментальный шаг, который позволяет преобразовать непрерывный сигнал, существующий во все моменты времени, в последовательность отдельных отсчетов.

Определение и принцип: Дискретизация — это замена значений непрерывного сигнала U(t) на отсчетные значения, взятые через равные промежутки времени Δt. Вместо плавной кривой мы получаем набор точек, каждая из которых представляет значение сигнала в конкретный момент времени. При этом дискретизация сохраняет временную информацию сигнала, то есть, мы знаем, когда было зафиксировано каждое значение.

Теорема Котельникова (Найквиста): Ключевым вопросом при дискретизации является выбор правильной частоты, с которой берутся эти отсчеты. Ответ на этот вопрос дает теорема Котельникова (она же теорема Найквиста-Шеннона), которая гласит, что для точного восстановления непрерывного сигнала из его дискретных отсчетов необходимо, чтобы частота дискретизации (f_д, или тактовая частота) была как минимум в два раза больше максимальной частоты (f_макс) в спектре исходного аналогового сигнала:

fд ≥ 2fмакс

Несоблюдение этого условия приводит к эффекту наложения спектров (алиасингу), когда высокочастотные компоненты сигнала «отображаются» в низкочастотную область, искажая исходную информацию и делая невозможным ее корректное восстановление.

Роль фильтра нижних частот (ФНЧ) перед АЦП: Чтобы гарантировать выполнение условия теоремы Котельникова и предотвратить наложение спектров, на входе цифрового тракта, перед аналого-цифровым преобразователем (АЦП), всегда устанавливается фильтр нижних частот (ФНЧ). Его задача — задерживать все составляющие спектра аналогового сигнала, частота которых превышает половину частоты дискретизации (f_д/2). Этот фильтр называется антиалиасинговым и является обязательным элементом большинства цифровых систем обработки сигналов.

Сравнительный анализ методов дискретизации: После выбора частоты дискретизации, следующим шагом является преобразование непрерывной передаточной функции аналогового регулятора в дискретную форму. Существует несколько основных методов дискретизации:

1. Точная дискретизация (Z-преобразование):
   • Принцип: Этот метод основан на аналитическом решении дифференциальных уравнений, описывающих непрерывную систему, с последующим применением Z-преобразования. Он позволяет получить точную дискретную модель, которая сохраняет все свойства исходной непрерывной системы, включая устойчивость и динамику, при условии импульсного воздействия.
   • Особенности: Является наиболее точным, но при этом достаточно ресурсоемким и может требовать значительных вычислительных затрат для сложных систем.
2. Метод Эйлера (прямое разностное аппроксимирование):
   • Принцип: Один из простейших методов, основанный на замене дифференциальных операторов разностными соотношениями. Например, производная dx/dt аппроксимируется как (x(k+1) — x(k))/Δt.
   • Особенности: Простота реализации является его основным преимуществом. Однако, при неверно выбранном шаге дискретизации (слишком большом Δt) метод Эйлера может привести к существенным ошибкам и даже к нарушению свойства устойчивости дискретизированной системы, хотя исходная аналоговая система была устойчивой.
3. Метод Тастина (билинейное приближение):
   • Принцип: Этот метод заменяет оператор ‘s’ в передаточной функции аналоговой системы на отношение (2/T) ⋅ (z-1)/(z+1). Это преобразование является конформным отображением s-плоскости в z-плоскость.
   • Особенности: Метод Тастина обеспечивает значительно лучшее соответствие частотного диапазона между непрерывными и дискретизированными системами по сравнению с методом Эйлера. Он также имеет важное свойство: сохраняет устойчивость исходной аналоговой системы, то есть, если аналоговая система устойчива, то и дискретизированная с помощью метода Тастина тоже будет устойчива. Это делает его предпочтительным выбором для многих практических задач.

Выбор метода дискретизации зависит от требуемой точности, вычислительных ресурсов и характеристик системы.

Квантование по уровню

После дискретизации по времени, следующим этапом в преобразовании аналогового сигнала в цифровой является квантование по уровню. Если дискретизация разбила сигнал на временные отсчеты, то квантование присваивает каждому из этих отсчетов дискретное числовое значение.

Определение и принцип: Квантование — это представление значения каждого отсчета при помощи числа. Это процесс замены непрерывного диапазона возможных значений сигнала конечным числом разрешенных дискретных уровней. То есть, амплитуда сигнала, которая в аналоговом мире может принимать бесконечное множество значений, в цифровом мире «округляется» до ближайшего доступного уровня. При этом квантование сохраняет амплитудную информацию сигнала, но с некоторой потерей точности.

Погрешность квантования (шум квантования): Поскольку квантование — это процесс округления, оно неизбежно вносит погрешность. Эта погрешность называется шумом квантования и является неотъемлемой частью любого аналого-цифрового преоб��азования. Чем меньше шаг квантования (то есть, чем ближе разрешенные уровни друг к другу), тем ближе квантованные значения к истинным значениям аналогового сигнала, и тем меньше погрешность.

Влияние числа уровней (разрядности): Количество разрешенных уровней квантования напрямую связано с разрядностью аналого-цифрового преобразователя (АЦП). Если АЦП имеет ‘N’ бит, то число уровней квантования будет равно 2^N.

• Высокая разрядность: Чем больше число уровней квантования (выше разрядность АЦП), тем выше точность цифрового сигнала и меньше шум квантования. Например, при числе уровней квантования 1024 (что соответствует 10-битному АЦП) и более, систематическая относительная погрешность квантования, как правило, не превышает 0,1%. В таких условиях цифровой автоматический регулятор (АР) функционально может рассматриваться как импульсный, то есть, влияние квантования становится пренебрежимо малым.
• Низкая разрядность: Если число уровней квантования по уровню сигнала невелико, например, при использовании разрядности АЦП менее 8-10 бит, система начинает проявлять нелинейные свойства. В этом случае погрешность квантования становится сопоставимой с динамическим диапазоном полезного сигнала, и поведение системы уже нельзя адекватно описать линейными моделями. Это может привести к непредсказуемым эффектам, нестабильности и ухудшению качества регулирования.

Таким образом, выбор разрядности АЦП является критически важным этапом проектирования цифровой системы управления, напрямую влияющим на ее точность и линейность.

Реализация цифровых регуляторов

После того как аналоговый сигнал прошел через процессы дискретизации и квантования, он становится цифровым и готов к обработке в цифровой системе управления. Здесь в игру вступают цифровые регуляторы, которые, в отличие от своих аналоговых предшественников, не полагаются на непрерывные электронные схемы, а используют дискретные математические алгоритмы.

Программная или аппаратная реализация:

В сердце цифровой системы управления вычисляемый сигнал ошибки является цифровым. Сам регулятор, который обрабатывает эту ошибку и формирует управляющее воздействие, может быть реализован двумя основными способами:

1. Программная реализация: Это наиболее распространенный подход. Регулятор представляет собой алгоритм, написанный на языке программирования и выполняемый микропроцессором (или микроконтроллером, цифровым сигнальным процессором – DSP). Преимущества такого подхода очевидны: гибкость, легкость модификации, возможность реализации сложных и адаптивных алгоритмов без изменения аппаратной части. Современные промышленные контроллеры (ПЛК) являются ярким примером устройств, где цифровые регуляторы реализуются программно.
2. Аппаратная реализация: В некоторых случаях, особенно когда требуется очень высокая скорость работы или жесткие требования к надежности, цифровой регулятор может быть реализован аппаратно с использованием специализированных интегральных схем (например, FPGA, ASIC). Это обеспечивает максимальное быстродействие, но значительно снижает гибкость и увеличивает стоимость разработки.

Роль АЦП и ЦАП как импульсных элементов с экстраполяторами нулевого порядка:

Между аналоговым объектом управления и цифровым регулятором всегда стоят два ключевых преобразователя:

• Аналого-цифровой преобразователь (АЦП): Принимает непрерывный аналоговый сигнал (например, от датчика), дискретизирует его по времени и квантует по уровню, преобразуя в цифровой код. С точки зрения теории автоматического управления, АЦП часто моделируется как импульсный элемент, который на короткое время «снимает» значение сигнала.
• Цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП): Принимает цифровой управляющий сигнал от регулятора и преобразует его обратно в аналоговую форму, чтобы воздействовать на аналоговый объект управления (например, через исполнительный механизм). ЦАП обычно включает в себя экстраполятор нулевого порядка. Это означает, что выходной аналоговый сигнал ЦАП сохраняет последнее полученное цифровое значение неизменным в течение всего периода дискретизации, до прихода следующего отсчета. Графически это выглядит как ступенчатая функция.

Эти преобразователи играют роль связующих звеньев, обеспечивая непрерывность взаимодействия между физическим аналоговым миром и дискретным цифровым миром управления. Их характеристики (разрядность АЦП, частота дискретизации, время задержки ЦАП) напрямую влияют на общую производительность и качество всей системы управления.

Устойчивость и анализ переходных процессов в цифровых системах автоматического управления

В мире автоматического управления устойчивость и качество переходных процессов являются краеугольными камнями. Бессмысленно проектировать систему, которая теоретически способна достичь цели, но при этом колеблется, выходит из-под контроля или никогда не стабилизируется. В цифровых системах, где сигналы дискретны, а математический аппарат оперирует Z-преобразованиями, анализ этих фундаментальных свойств приобретает свои специфические особенности.

Понятие устойчивости дискретных систем

Для любой системы управления, будь то аналоговая или цифровая, важнейшим свойством является устойчивость. Система считается устойчивой, если при ограниченном внешнем воздействии она демонстрирует ограниченную реакцию, а после прекращения возмущения возвращается в заданное состояние (или остается в нем).

Определение устойчивости ДАС: Дискретная автоматическая система (ДАС) устойчива, если все переходные процессы в ней затухают с течением времени. Это означает, что любые возмущения или изменения уставки вызывают временные отклонения, которые затем гаснут, и система стабилизируется. Если же колебания нарастают или система уходит в бесконечность, она неустойчива.

Связь между p-плоскостью и z-плоскостью: Для анализа устойчивости дискретных систем используется математический аппарат Z-преобразования, который является дискретным аналогом преобразования Лапласа. Это означает, что мы работаем не в s-плоскости (как для непрерывных систем), а в z-плоскости.

Между этими плоскостями существует связь: z = epT, где p — комплексная частота в s-плоскости, T — период дискретизации. Эта связь имеет критическое значение для понимания устойчивости:

• Левая половина p-плоскости (Re[p] < 0), которая соответствует устойчивости непрерывных систем, отображается во внутренность единичной окружности на z-плоскости (|z| < 1).
• Мнимая ось p-плоскости (Re[p] = 0), соответствующая границе устойчивости и незатухающим колебаниям, отображается на единичную окружность в z-плоскости (|z| = 1).
• Правая половина p-плоскости (Re[p] > 0), соответствующая неустойчивым системам, отображается во внешность единичной окружности в z-плоскости (|z| > 1).

Корневой критерий устойчивости: Из этой связи вытекает ключевой критерий устойчивости для дискретных систем: для того чтобы цифровая САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы модули всех корней характеристического уравнения системы были меньше 1. Другими словами, все корни характеристического полинома должны располагаться строго внутри единичной окружности в z-плоскости.

Критерий устойчивости Джури

Критерий Джури является одним из основных алгебраических критериев для исследования устойчивости линейных дискретных систем. Он позволяет определить, находятся ли все корни характеристического уравнения замкнутой дискретной системы внутри единичного круга в z-плоскости, не требуя их непосредственного вычисления.

Предположим, характеристический полином системы имеет вид:
P(z) = anzn + an-1zn-1 + ... + a1z + a0

Для применения критерия Джури составляют специальную таблицу. Эта таблица содержит n+1 строк и n+1 столбцов, где n — порядок системы. Коэффициенты таблицы формируются по рекуррентным соотношениям.

Подробное изложение условий критерия Джури:
Для того чтобы все корни характеристического полинома P(z) = anzn + an-1zn-1 + ... + a1z + a0 дискретной системы находились внутри единичной окружности в z-плоскости, согласно критерию Джури, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

1. P(1) > 0: Значение полинома при z = 1 должно быть положительным.
2. P(-1) > 0 при n четном, и P(-1) < 0 при n нечетном: Значение полинома при z = -1 должно быть положительным для четного порядка системы и отрицательным для нечетного.
3. |a₀| < |a_n|: Модуль свободного члена должен быть меньше модуля старшего коэффициента.
4. Условия по коэффициентам таблицы Джури:
   Для системы 2-го порядка (n=2), P(z) = a2z2 + a1z + a0, условия упрощаются:
   • a0 < a2
   • a2 + a1 + a0 > 0
   • a2 - a1 + a0 > 0

   Для систем более высокого порядка, строится таблица Джури. Первая строка содержит коэффициенты характеристического полинома от a_n до a₀. Вторая строка — те же коэффициенты, но в обратном порядке (от a₀ до a_n). Последующие строки b_i, c_i и т.д. формируются с использованием определителей, составленных из элементов предыдущих строк.

   Общие условия устойчивости по таблице Джури:

   • |b0| > |bn-1|
   • |c0| > |cn-2|
   • …
   • |r0| > |r2| (для строки r_i с тремя элементами)

Критерий Джури является мощным инструментом для проверки устойчивости, поскольку он предоставляет алгоритмический подход, не требующий сложных графических построений или поиска корней полинома.

Критерий устойчивости Шура-Кона

Критерий Шура-Кона является еще одним алгебраическим методом для анализа устойчивости дискретных систем, который по своей сути аналогичен критерию Гурвица для непрерывных систем. Он также позволяет определить, находятся ли все корни характеристического уравнения дискретной системы внутри единичной окружности в z-плоскости.

Обоснование и применение: Критерий Шура-Кона позволяет анализировать устойчивость дискретных систем по характеристическому полиному A(z) = anzn + an-1zn-1 + ... + a0, записанному в форме Z-преобразования. Система будет устойчива, если все корни характеристического уравнения находятся внутри единичной окружности. Это обеспечивается выполнением ряда условий, которые включают проверку знаков определителей специальной матрицы, составленной из коэффициентов полинома.

Для использования критерия Шура-Кона формируются так называемые определители Шура-Кона. Для устойчивости нечетные определители должны быть отрицательными, а четные — положительными.

Упрощенные условия для систем второго порядка:
Для систем второго порядка A(z) = a2z2 + a1z + a0 критерий Шура-Кона сводится к трем простым условиям:

1. A(1) > 0
2. A(-1) > 0
3. |a₀| < |a₂|

Эти условия являются более строгими и полными, чем простое расположение корней, и позволяют однозначно судить об устойчивости.

Частотные критерии устойчивости для ДАС

Наряду с алгебраическими критериями, для анализа устойчивости дискретных систем широко применяются частотные критерии, которые являются аналогами критериев Найквиста и Боде для непрерывных систем. Эти методы основываются на анализе частотных характеристик системы.

Применение Z-преобразования: Для получения частотной характеристики дискретной системы в выражении для ее передаточной функции (полученной с помощью Z-преобразования) делают подстановку z = ejωT. Где:

• j — мнимая единица.
• ω — круговая частота.
• T — период дискретизации.

Эта подстановка переводит передаточную функцию из z-плоскости в частотную область, позволяя построить АЧХ (амплитудно-частотную характеристику) и ФЧХ (фазо-частотную характеристику) дискретной системы. Далее, на основе этих характеристик, применяются модифицированные частотные критерии устойчивости, такие как:

• Критерий Найквиста для дискретных систем: Анализ контура Найквиста в комплексной плоскости, построенного по частотной характеристике разомкнутой системы, позволяет определить, охватывает ли он точку (-1, j0). Если нет, система устойчива.
• Критерий Боде: Хотя напрямую критерий Боде сложнее применять к дискретным системам из-за их периодичности в частотной области, концепции запасов устойчивости по амплитуде и фазе, основанные на логарифмических частотных характеристиках, остаются актуальными.

Частотные критерии особенно полезны, когда требуется оценить не только факт устойчивости, но и запас устойчивости системы.

Z-преобразование как инструмент анализа

Z-преобразование — это мощный математический инструмент, который играет центральную роль в анализе дискретных по времени сигналов и систем. Оно является прямым аналогом преобразования Лапласа, которое используется для непрерывных систем, но адаптировано для работы с последовательностями чисел (отсчетами сигнала).

Определение и аналогия:
Z-преобразование дискретного сигнала x[n] определяется как:

X(z) = ∑n=0∞ x[n]z-n

где z — комплексная переменная. Подобно тому, как преобразование Лапласа переводит дифференциальные уравнения в алгебраические в s-плоскости, Z-преобразование переводит разностные уравнения, описывающие дискретные системы, в алгебраические уравнения в z-плоскости. Это значительно упрощает анализ и синтез.

Использование Z-преобразования:

1. Создание передаточных функций для цифровых фильтров: Z-преобразование позволяет получить передаточную функцию цифрового фильтра (или любой другой дискретной системы) в виде отношения полиномов от z. Это дает компактное и удобное математическое описание, с которым можно работать аналитически.
2. Построение диаграммы полюсов и нулей: Подобно s-плоскости, в z-плоскости можно построить диаграмму полюсов и нулей передаточной функции. Полюсы — это корни знаменателя передаточной функции, а нули — корни числителя. Их расположение на комплексной z-плоскости несет критическую информацию о поведении системы.
3. Анализ устойчивости: Ключевое применение Z-преобразования для анализа устойчивости:
   • Если полюсы Z-преобразования лежат строго внутри единичной окружности (|z|<1), система считается устойчивой. Это фундаментальное правило.
   • Если хотя бы один полюс лежит на единичной окружности, система находится на границе устойчивости (будет совершать незатухающие колебания).
   • Если хотя бы один полюс лежит вне единичной окружности, система неустойчива (колебания нарастают, или система уходит в бесконечность).

Таким образом, Z-преобразование является незаменимым инструментом для инженера-автоматизатора, работающего с цифровыми системами, позволяя эффективно анализировать их динамику и устойчивость.

Анализ переходных процессов

Даже самая устойчивая система будет неэффективной, если она слишком долго реагирует на команды или слишком сильно «прыгает» при изменении заданных параметров. Именно поэтому, помимо устойчивости, крайне важен анализ переходных процессов.

Определение переходного процесса: Переходный процесс — это зависимость выходной величины системы управления при ее переходе от одного установившегося положения в другое. Этот переход может быть вызван изменением управляющих воздействий (например, изменение уставки) или возмущающих воздействий (например, изменение нагрузки на двигатель). Анализ переходных процессов позволяет оценить, как быстро и насколько плавно система достигает нового состояния.

Оценка качества работы САУ: Работа САУ, помимо устойчивости, оценивается рядом качественных показателей, основными из которых являются:

1. Точность отработки входных воздействий: Насколько близко выходная величина следует за входной (заданной).
2. Характер переходных процессов: Как именно система ведет себя во время перехода.

Для анализа динамических систем в ТАУ используют типовые воздействия, которые позволяют стандартизировать оценку:

• Ступенчатая функция: Внезапное изменение входного сигнала от одного постоянного значения к другому (например, включение или выключение, изменение температуры на фиксированную величину). Это позволяет оценить реакцию системы на резкое изменение уставки или возмущение.
• Импульсная функция: Кратковременное воздействие большой амплитуды. Используется для анализа реакции системы на мгновенные, сильные возмущения.

Показатели качества переходного процесса: О качестве работы САУ можно судить по косвенным признакам, называемым показателями качества переходного процесса:

• Время регулирования (t_р): Время, за которое выходная величина достигает нового установившегося значения и остается в заданном допуске (например, ±5% или ±2% от конечного значения). Чем меньше t_р, тем быстрее система.
• Перерегулирование (σ): Максимальное отклонение выходной величины за пределы нового установившегося значения в процессе перехода, выраженное в процентах от этого значения. Большое перерегулирование может быть нежелательным или даже опасным для объекта управления.
• Статическая ошибка (e_ст): Разница между заданным и реальным значением выходной величины в установившемся режиме. Для большинства систем требуется нулевая статическая ошибка.
• Колебательность: Количество колебаний выходной величины до ее стабилизации. Чем меньше колебаний, тем более плавным считается процесс.
• Время нарастания: Время, за которое выходная величина впервые достигает нового установившегося значения.
• Демпфирование: Скорость затухания колебаний.

Анализ этих показателей позволяет инженеру не только убедиться в работоспособности системы, но и оптимизировать ее параметры для достижения наилучшего качества управления в соответствии с поставленными задачами.

Цифровые фильтры в системах управления: проектирование и влияние на качество регулирования

В эпоху цифровых технологий, когда сигналы повсеместно представлены в дискретной форме, цифровые фильтры (ЦФ) становятся неотъемлемой частью систем управления. Они выполняют критически важные функции: от очистки сигналов от шумов до формирования необходимых частотных характеристик, существенно влияя на качество регулирования и надежность всей системы. Понимание их типов, методов проектирования и влияния на динамику системы является фундаментальным для любого инженера-автоматизатора.

Общие сведения о цифровых фильтрах

Определение цифрового фильтра (ЦФ):
Цифровой фильтр – это система преобразования дискретных сигналов, отвечающая требованиям линейности и стационарности. В практическом смысле, это либо аппаратная, либо программная реализация математического алгоритма, который на вход получает цифровой сигнал и на выходе выдает также цифровой сигнал, измененный согласно определенным частотным или временным характеристикам. Его основная цель – избирательно изменять спектральный состав сигнала, выделяя или подавляя определенные частотные компоненты.

Основные этапы проектирования цифровых фильтров:
Проектирование цифрового фильтра — это итеративный процесс, включающий несколько ключевых этапов:

1. Спецификация и аппроксимация: На этом этапе определяются требуемые характеристики фильтра (например, тип фильтра — ФНЧ, ФВЧ, полосовой; частоты среза; неравномерность в полосе пропускания и подавления; минимальное затухание в полосе подавления). Затем выбирается математическая функция (например, Баттерворта, Чебышева), которая наилучшим образом аппроксимирует эти требования, и определяются коэффициенты фильтра.
2. Выбор структуры: Выбирается архитектура фильтра, то есть, способ, которым коэффициенты будут реализованы в аппаратуре или программном коде (например, прямая форма, каскадная форма, параллельная форма). От выбора структуры зависит вычислительная сложность, чувствительность к ошибкам квантования коэффициентов и шумам.
3. Задание разрядностей: Определяется необходимая разрядность для представления коэффициентов фильтра и промежуточных вычислений. Это влияет на точность фильтрации и объем требуемых аппаратных ресурсов.
4. Проверка соответствия характеристик: После реализации (моделирования) фильтра проводится его всестороннее тестирование для проверки соответствия реальных характеристик (АЧХ, ФЧХ, импульсная характеристика) заданным спецификациям.
5. Аппаратная/программная реализация: Фильтр реализуется либо в виде специализированной микросхемы (ASIC, FPGA), либо в программном коде для микроконтроллера или цифрового сигнального процессора.

Фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры)

КИХ-фильтр (Finite Impulse Response, нерекурсивный фильтр) — это тип цифрового фильтра, выходной сигнал которого зависит только от текущего и ограниченного числа предыдущих значений входного сигнала. Его импульсная характеристика является конечной, то есть, после конечного числа отсчетов она становится равной нулю.

Математически, выходной сигнал y[n] КИХ-фильтра определяется как взвешенная сумма текущих и прошлых входных отсчетов x[n]:

y[n] = ∑k=0M-1 h[k]x[n-k]

где M — порядок фильтра, h[k] — коэффициенты импульсной характеристики.

Ключевые преимущества КИХ-фильтров:

1. Всегда устойчивы: Это одно из самых значимых преимуществ. Поскольку КИХ-фильтры не имеют обратной связи (выход не зависит от предыдущих выходных значений), их импульсная характеристика всегда конечна, и они по определению устойчивы. Инженеру не нужно проводить сложный анализ устойчивости, как в случае с БИХ-фильтрами.
2. Точно линейная фазо-частотная характеристика (ФЧХ) и постоянная групповая задержка: При определенных условиях (симметричные коэффициенты) КИХ-фильтры могут иметь идеально линейную ФЧХ. Это означает, что все частотные компоненты сигнала задерживаются на одно и то же время, что критически важно для минимизации фазовых искажений. Постоянная групповая задержка гарантирует, что форма сигнала не будет искажена, что особенно важно в телекоммуникациях, аудиообработке и высокоточных системах управления.

Методы проектирования КИХ-фильтров:

1. Метод взвешивания (оконный метод):
   • Принцип: Применяется для сглаживания сигналов, выделения частотных составляющих и удаления шумов. Этот метод начинается с проектирования идеального (но нереализуемого) фильтра с бесконечной импульсной характеристикой. Затем эта бесконечная характеристика умножается на так называемую оконную функцию (например, прямоугольное окно, окна Хэмминга, Блэкмана, Кайзера).
   • Результат: Умножение на оконную функцию «обрезает» бесконечную импульсную характеристику, делая ее конечной и тем самым позволяя физически реализовать фильтр. Различные оконные функции имеют разные спектральные характеристики и влияют на форму частотной характеристики фильтра (например, на ширину переходных зон и уровень боковых лепестков), позволяя уменьшить эффект Гиббса (колебания вблизи резких перепадов АЧХ).
2. Метод частотной выборки:
   • Принцип: Заключается в задании требуемой амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) КИХ-фильтра на дискретной сетке частот. После этого, путем применения обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) к этим заданным частотным отсчетам, определяются коэффициенты его импульсной характеристики.
   • Результат: Этот метод позволяет спроектировать фильтр с практически произвольной АЧХ и, при правильном выборе параметров, с линейной ФЧХ. Он особенно полезен, когда требуется очень специфическая форма АЧХ.

Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры)

БИХ-фильтр (Infinite Impulse Response, рекурсивный фильтр) — это тип цифрового фильтра, который, в отличие от КИХ-фильтров, использует обратную связь. Его выходной сигнал зависит не только от текущих и предыдущих значений входного сигнала, но и от предыдущих значений собственного выходного сигнала. Из-за наличия обратной связи его импульсная характеристика теоретически бесконечна.

Математически, выходной сигнал y[n] БИХ-фильтра определяется как:

y[n] = ∑k=0M bkx[n-k] - ∑k=1N aky[n-k]

где b_k и a_k — коэффициенты фильтра.

Особенности БИХ-фильтров:

1. Требуют проверки на устойчивость: Из-за наличия обратной связи БИХ-фильтры являются рекурсивными системами. Это означает, что они могут быть неустойчивыми, если полюсы их передаточной функции (в z-плоскости) находятся за пределами единичной окружности. Поэтому при проектировании БИХ-фильтров обязательным этапом является анализ устойчивости.
2. Экономичны в реализации и менее требовательны к ресурсам: БИХ-фильтры, как правило, могут достигать требуемых частотных характеристик с существенно меньшим порядком фильтра (т.е., меньшим количеством коэффициентов и вычислительных операций) по сравнению с КИХ-фильтрами со схожей АЧХ. Например, для достижения той же крутизны спада в полосе подавления БИХ-фильтру может потребоваться в несколько раз меньший порядок. Это делает их более привлекательными для систем с ограниченными вычислительными ресурсами (микроконтроллеры, DSP) и в приложениях, где важна высокая энергоэффективность.

Методы проектирования БИХ-фильтров:

Проектирование БИХ-фильтров часто включает в себя преобразование аналогового прототипа фильтра в цифровую форму.

1. Методы отображения дифференциалов:
   • Принцип: Основаны на замене дифференциальных операторов (d/dt) в передаточной функции аналогового прототипа на разностные операторы. Например, прямой метод Эйлера (s ≈ (z-1)/T), обратный метод Эйлера (s ≈ (z-1)/(zT)).
   • Результат: Позволяют получить цифровую передаточную функцию. Однако эти методы могут вносить искажения в частотную характеристику и могут не сохранять устойчивость, если аналоговый фильтр был на границе устойчивости.
2. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики:
   • Принцип: Заключается в том, что импульсная характеристика цифрового фильтра эквивалентна дискретизованной импульсной характеристике соответствующего аналогового фильтра-прототипа.
   • Особенности: Этот метод сохраняет стабильность исходного аналогового фильтра. Однако он применим только для построения узкополосных фильтров и фильтров нижних частот, и требует, чтобы полоса пропускания аналогового фильтра находилась в пределах диапазона от 0 до половины частоты дискретизации (f_д/2), чтобы избежать наложения спектров.
3. Билинейное преобразование (метод Тастина):
   • Принцип: Является одним из наиболее популярных и эффективных методов. Он отображает аналоговый прототип фильтра из s-плоскости в z-плоскость, заменяя оператор s на (2/T) ⋅ (z-1)/(z+1).
   • Особенности: Билинейное преобразование обеспечивает хорошее соответствие частотного диапазона между непрерывными и дискретными системами, при этом сохраняя свойства устойчивости: устойчивый аналоговый фильтр всегда преобразуется в устойчивый цифровой. Этот метод широко используется для проектирования практически всех типов БИХ-фильтров.

Влияние цифровых фильтров на качество регулирования

Цифровые фильтры оказывают глубокое и многогранное влияние на качество работы систем управления:

• Высокая точность и идеальная воспроизводимость: Цифровые фильтры, будучи программными алгоритмами, обеспечивают практически идеальную точность вычислений (ограниченную только разрядностью используемых чисел) и абсолютную воспроизводимость характеристик. В отличие от аналоговых фильтров, чьи характеристики могут «плыть» из-за температурных изменений, старения компонентов или производственных допусков, цифровой фильтр всегда работает идентично.
• Улучшение отношения сигнал/шум: Эффективное подавление высокочастотных шумов в измеряемых сигналах с помощью ФНЧ перед регулятором или в дифференциальном канале ПИД-регулятора критически важно для стабильной работы. Чистый сигнал позволяет регулятору адекватно реагировать на реальные изменения, а не на помехи.
• Важность избирательных свойств в частотной области и линейной ФЧХ:
  • Избирательные свойства: Цифровые фильтры позволяют очень точно формировать требуемую амплитудно-частотную характеристику, выделяя нужные частоты и подавляя нежелательные. Например, в следящих системах могут быть использованы полосовые фильтры для выделения сигнала на определенной частоте или режекторные фильтры для подавления резонансных частот объекта.
  • Линейная ФЧХ: Как было отмечено для КИХ-фильтров, линейная фазо-частотная характеристика (или, что эквивалентно, постоянная групповая задержка) минимизирует фазовые искажения. В системах управления это означает, что различные частотные компоненты управляющего сигнала или сигнала ошибки не будут задерживаться на разное время, что предотвращает искажение формы сигнала и улучшает динамику системы. Например, нелинейная ФЧХ может привести к эффекту «размазывания» фронтов ступенчатого воздействия, ухудшая качество переходного процесса.

Таким образом, цифровые фильтры являются мощным и гибким инструментом, позволяющим существенно повысить эффективность, точность и надежность систем автоматического управления.

Оптимизация управляющего воздействия и адаптивное управление в цифровых системах

В условиях постоянно меняющихся внешних условий, неидеальных объектов управления и стремления к максимальной эффективности, одной из ключевых задач теории автоматического управления становится не просто стабилизация системы, а оптимизация управляющего воздействия. Это поиск наилучшего пути для достижения цели, учитывая ограничения и желаемые критерии качества. Наряду с этим, концепция адаптивного управления позволяет системам самостоятельно приспосабливаться к новым условиям, делая их более робастными и интеллектуальными.

Синтез оптимальных систем управления

Основная цель управления в цифровых системах — обеспечить требуемые значения управляемых величин (например, температуры, скорости, положения) с заданной точностью и качеством. Однако «хорошо» — понятие растяжимое. Именно поэтому возникает задача синтеза оптимальных систем управления, которая предполагает нахождение такой структуры и параметров регулятора, которые обеспечивают наилучшее качество управления при известных входных воздействиях и, что важно, ограничениях на ресурсы управления (например, ограничение на амплитуду управляющего воздействия, потребление энергии, время реакции).

Метод полиномиальных уравнений (p-уравнений):
Этот метод является одним из эффективных способов синтеза цифровых регуляторов, особенно в контексте дискретных систем.

• Принцип: Метод полиномиальных уравнений (или p-уравнений, где p обозначает оператор задержки z-1) позволяет прямо проектировать регулятор в дискретной области. Это упрощает учет специфических особенностей цифровых систем, таких как задержки, возникающие из-за вычислительных процессов, и эффекты квантования.
• Преимущества: Он позволяет синтезировать регуляторы, которые обеспечивают заданные свойства замкнутой системы, такие как устойчивость (расположение полюсов в желаемых областях z-плоскости) и требуемый характер переходного процесса (например, отсутствие перерегулирования, заданное время регулирования). Это достигается путем решения системы алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов полиномов регулятора.

Вариационный подход (задача Лагранжа) и численные методы:

• Вариационный подход: Основан на решении вариационной задачи Лагранжа. В этом случае задача синтеза оптимального регулятора формулируется как поиск функции управляющего воздействия, которая минимизирует некоторый функционал качества (например, интеграл от ошибки и энергии управления) при заданных ограничениях. Решение часто сводится к решению уравнений Эйлера-Лагранжа.
• Численные методы: Для более сложных или нелинейных систем, где аналитические решения затруднены или невозможны, применяются численные методы. Они включают:
  • Методы на основе линейного программирования: Для систем, где функционал качества и ограничения могут быть представлены в линейной форме.
  • Динамическое программирование (уравнение Беллмана): Позволяет разбить сложную многошаговую задачу оптимизации на последовательность более простых, решая ее «с конца».
  • Различные алгоритмы оптимизации: Генетические алгоритмы, методы роя частиц, градиентные методы — широко используются для поиска оптимальных параметров регулятора, особенно в нелинейных системах. Эти методы обеспечивают устойчивость системы и оптимальность затрат на стабилизацию по заданному критерию.

Общие критерии оптимальности:
Выбор критерия оптимальности критически важен, так как именно он определяет, что мы считаем «лучшим» управлением.

• Интегральные квадратичные критерии (ИСК, ИМК): Наиболее распространены в линейных системах. Они минимизируют интеграл от квадрата ошибки (ИСК = ∫e2(t)dt) или интеграл от модуля ошибки (ИМК = ∫|e(t)|dt) или интеграл от произведения ошибки на время (ИТМК = ∫t|e(t)|dt). Минимизация этих критериев позволяет получить оптимальное качество переходного процесса по таким показателям, как перерегулирование и время регулирования. Например, ИСК «штрафует» большие ошибки сильнее, чем малые, что приводит к более плавным процессам.
• Частотные критерии: Основаны на минимизации отклонения частотных характеристик замкнутой системы от желаемых. Например, минимизация максимального значения амплитудно-частотной характеристики для обеспечения заданного запаса устойчивости.
• Критерий минимального времени: Цель — обеспечить достижение заданного состояния за кратчайшее возможное время при соблюдении всех ограничений на управляющее воздействие. Часто приводит к так называемым релейным законам управления (быстрое переключение с максимального положительного на максимальное отрицательное воздействие).

Адаптивное управление в цифровых САУ

В мире, где характеристики объектов могут меняться со временем (например, старение оборудования, изменение сырья), или внешние возмущения непредсказуемы, стационарн��е регуляторы с фиксированными параметрами могут оказаться неэффективными. Здесь на помощь приходит адаптивное управление.

Определение адаптивного управления: Это совокупность методов теории управления, позволяющих синтезировать системы управления, которые имеют возможность изменять параметры регулятора или даже структуру регулятора в зависимости от изменения параметров объекта управления или внешних возмущений. По сути, адаптивная система учится и подстраивается.

Адаптационные способности: Адаптивные системы обладают целым спектром «само»-способностей, которые делают их более интеллектуальными и автономными:

• Самоконтроль: Мониторинг собственного состояния и производительности.
• Самовосстановление: Способность восстанавливать функциональность после сбоев.
• Самоконфигурирование: Изменение внутренней структуры для адаптации к новым задачам.
• Самооптимизация: Постоянная корректировка параметров для достижения наилучшей производительности.
• Самообслуживание: Проактивное обслуживание и диагностика.
• Самоорганизация: Способность формировать новые связи и структуры.

Типы беспоисковых адаптивных систем:
Беспоисковые адаптивные системы — это системы, которые не используют прямой поиск оптимальных параметров путем проб и ошибок, а используют более систематические подходы:

1. Системы с эталонной моделью (ЭМ): В такой системе параллельно с объектом управления функционирует эталонная модель, которая идеально воспроизводит желаемое поведение системы. Регулятор сравнивает выход объекта с выходом эталонной модели и корректирует свои параметры таким образом, чтобы поведение объекта максимально соответствовало эталону.
2. Системы с идентификатором (настраиваемой моделью): Эти системы включают блок идентификации, который в реальном времени оценивает параметры объекта управления. На основе этих оцененных параметров регулятор затем перенастраивает свои коэффициенты, чтобы поддерживать оптимальное качество регулирования. Адаптивная система с идентификацией объекта управления может быть получена путем расчета обратной модели на основе передаточной функции объекта и введения ее в контур управления.

Системы с двойной шкалой времени (ДШВ):
Это особый класс систем, предназначенных для управления процессами, в которых присутствуют компоненты с сильно различающимися временными характеристиками.

• Принцип: Задача управления разделяется на несколько уровней с разными масштабами времени. Например:
  • Медленное управление: Рассчитывается с относительно большой дискретой Δt (например, для регулирования температуры в большой печи).
  • Быстрое управление: Рассчитывается с существенно меньшей дискретой, часто в 5-10 раз (или более) меньше, чем Δt медленного контура (например, для регулирования скорости вращения вентилятора в той же печи, где требуется быстрая реакция на малые изменения).
• Преимущества: Такой подход позволяет эффективно управлять сложными многомасштабными процессами, оптимизируя использование вычислительных ресурсов и повышая точность.

Концепция цифровых двойников:
Цифровые двойники — это виртуальные копии физических объектов, систем или процессов. Они строятся на основе данных, поступающих от реальных систем, и постоянно обновляются.

• Применение в управлении: Внедрение цифровых двойников в системы управления открывает революционные возможности:
  • Вычислительные эксперименты: Позволяют проводить виртуальные тесты, имитировать различные сценарии и проверять гипотезы без какого-либо вмешательства в физическую среду. Это снижает риски и затраты.
  • Сценарные расчеты: Возможность предсказать поведение системы при различных условиях, например, при изменении нагрузок, отказе оборудования или изменении внешних воздействий.
  • Прогнозирование рисков: Цифровой двойник может выявлять потенциальные проблемы и предсказывать отказы до того, как они произойдут в реальной системе, позволяя принять превентивные меры.
  • Оптимизация в реальном времени: Цифровой двойник может постоянно искать оптимальные стратегии управления и передавать их на физический объект.

Таким образом, оптимизация управляющего воздействия и адаптивное управление, усиленные новейшими концепциями, такими как цифровые двойники, являются ключевыми направлениями развития цифровых систем автоматического управления, обеспечивая их эффективность, надежность и интеллектуальность в самых сложных условиях.

Инструментальные средства моделирования и анализа систем управления

Современный инженер-автоматизатор немыслим без мощных программных комплексов, которые позволяют моделировать, анализировать и синтезировать системы управления с высокой степенью детализации и точности. Эти инструменты не только ускоряют процесс разработки, но и дают возможность исследовать сложные сценарии, которые были бы невыполнимы в реальных условиях.

MATLAB/Simulink и его расширения

На протяжении многих лет MATLAB/Simulink является де-факто стандартом и основным инструментом для специалистов в области машинного анализа и синтеза автоматических систем. Эта интегрированная среда предлагает обширные возможности для работы с математическими моделями, симуляции динамических систем и проектирования регуляторов.

• MATLAB как основа: MATLAB (Matrix Laboratory) — это высокоуровневый язык и интерактивная среда для численных вычислений, визуализации и программирования. В нем можно реализовывать сложные алгоритмы синтеза и анализа, работать с матрицами, решать дифференциальные уравнения.
• Simulink для визуального моделирования: Simulink — это графическая среда, интегрированная с MATLAB, предназначенная для визуального моделирования, симуляции и анализа многодоменных динамических систем. Он позволяет создавать блок-схемы систем, где каждый блок представляет собой математическую модель какого-либо элемента (двигатель, датчик, регулятор). Это значительно сокращает время моделирования и позволяет достичь ожидаемого эффекта с меньшими затратами сил, поскольку акцент делается на логику соединений, а не на написание кода для каждого элемента.

Обзор ключевых тулбоксов (Toolboxes) для систем управления:

MATLAB/Simulink обладает обширным набором специализированных библиотек, или тулбоксов, которые расширяют его функциональность:

1. Control System Toolbox: Это основное приложение MATLAB для решения широкого круга задач исследования и проектирования САУ. Он предоставляет функции для работы с передаточными функциями, моделями в пространстве состояний, корневыми годографами, частотными характеристиками (Боде, Найквист) и множеством других инструментов для анализа устойчивости и динамики.
2. Simulink Control Design: Этот тулбокс предоставляет специализированные средства для настройки блоков Simulink, таких как блоки ПИД-регулятора и передаточная функция. Он позволяет автоматизировать процесс настройки с использованием различных методов, включая оптимизацию по заданным критериям качества.
3. Robust Control Toolbox: Предназначен для проектирования робастных систем управления, которые сохраняют желаемые характеристики даже при наличии неопределенностей в параметрах объекта или внешних возмущениях.
4. Simulink Design Optimization: Позволяет оптимизировать параметры системы или регулятора для достижения заданных целевых функций с учетом ограничений.
5. Model Predictive Control Toolbox: Реализует алгоритмы прогнозного управления, которые позволяют предсказывать будущее поведение системы и оптимизировать управляющее воздействие на основе этой информации.
6. Stateflow: Дополнение к Simulink для моделирования дискретных событийных систем, логики и конечных автоматов, что очень полезно для описания режимов работы контроллеров и последовательностей действий.

Примеры программ на MATLAB для автоматизации синтеза цифровых регуляторов:
В среде MATLAB активно разрабатываются пользовательские программы и скрипты. Например, существует программа «Regulator», предназначенная для автоматизации синтеза цифрового регулятора методом дискретных полиномиальных уравнений, что значительно упрощает и ускоряет процесс проектирования.

Альтернативные и отечественные программные комплексы

Несмотря на доминирование MATLAB/Simulink, существуют и другие мощные инструменты, как коммерческие, так и с открытым исходным кодом, а также отечественные разработки, предлагающие альтернативные подходы к моделированию и анализу САУ.

1. SciPy (Python библиотека):
   • Назначение: SciPy — это фундаментальная библиотека Python для научных и технических вычислений. В ее состав входит множество модулей, включая scipy.signal (для обработки сигналов), scipy.optimize (для оптимизации), scipy.integrate (для интегрирования), а также функции для решения алгебраических и дифференциальных уравнений.
   • Преимущества: Является открытым и бесплатным инструментом, что делает его доступным для широкого круга исследователей и разработчиков. Позволяет создавать гибкие и настраиваемые решения с использованием всего стека библиотек Python.
2. SamSim:
   • Назначение: Программный комплекс, предназначенный для моделирования линейных и нелинейных цепей в САУ.
   • Возможности: Позволяет строить схемные модели, задавать параметры элементов, получать графики зависимостей от времени (переходные процессы), строить фазовые портреты (для анализа нелинейных систем), а также частотные характеристики. Результаты моделирования могут быть экспортированы в MS Excel для дальнейшего анализа.
3. MSC.Adams:
   • Назначение: Мощное программное средство для виртуального моделирования сложных машин и механизмов, особенно в области мультифизики и мехатроники.
   • Возможности: Позволяет моделировать динамику движения, взаимодействия механических частей, управлять приводами и сенсорами, что является критически важным для проектирования систем управления с учетом реальных механических ограничений и свойств.
4. ПТК «Комплекс-Р»:
   • Назначение: Отечественный программно-технический комплекс, разработанный для создания систем автоматического управления различным технологическим оборудованием.
   • Особенности: Программирование осуществляется на языках стандарта МЭК 61131-3 (ST, LD, FBD, SFC, IL, CFC), что обеспечивает соответствие международным промышленным стандартам и совместимость с различными ПЛК.
5. ГАММА-3:
   • Назначение: Еще одна отечественная система, ориентированная на автоматизацию деятельности инженера.
   • Особенности: Известна тем, что содержит программное обеспечение для синтеза регуляторов многомерных систем, что важно для сложных объектов с несколькими взаимосвязанными управляемыми и управляющими параметрами.
6. SimOne:
   • Назначение: Отечественный симулятор электронных схем, обладающий возможностями моделирования аналоговых, цифровых и смешанных аналого-цифровых схем.
   • Преимущества: Позволяет проводить комплексное моделирование взаимодействия аналоговых датчиков, цифровых контроллеров и аналоговых исполнительных механизмов в единой среде, что крайне важно для разработки цифровых САУ.

Эти инструментальные средства, каждое со своими уникальными возможностями, предоставляют инженерам-автоматизаторам обширный арсенал для проектирования, анализа и оптимизации как аналоговых, так и цифровых систем управления, способствуя инновациям и повышению эффективности в различных отраслях промышленности.

Заключение

В нашем путешествии по миру систем автоматического управления мы проследили путь от фундаментальных понятий до тонкостей синтеза и анализа аналоговых и цифровых регуляторов. Мы увидели, как пропорциональные, интегральные и дифференциальные составляющие, словно три кита, удерживают равновесие в динамичных процессах, и как их комбинации, такие как ПИД-регуляторы, обеспечивают беспрецедентную точность и качество регулирования.

Переход от аналоговой парадигмы к цифровой стал настоящей революцией, открыв двери для реализации немыслимых ранее алгоритмов, повышения помехоустойчивости и гибкости систем. Мы детально рассмотрели процессы дискретизации и квантования, осознав их критическую роль и потенциальные ловушки, такие как наложение спектров и влияние разрядности на нелинейность. Глубокий анализ устойчивости с помощью критериев Джури и Шура-Кона, а также Z-преобразования, показал, как математический аппарат адаптируется к дискретному миру, обеспечивая предсказуемость и надежность систем.

Цифровые фильтры, будь то устойчивые КИХ или экономичные БИХ, предстали перед нами как мощные инструменты для очистки сигналов и формирования необходимых частотных характеристик, напрямую влияющих на качество регулирования. Наконец, мы затронули передовые концепции оптимизации управляющего воздействия и адаптивного управления, которые позволяют системам не просто реагировать, но и учиться, подстраиваться и даже предсказывать, приближаясь к идеалу автономного контроля.

Значимость глубокого понимания синтеза и анализа регуляторов невозможно переоценить. В условиях постоянно усложняющихся технологических процессов, растущих требований к точности, надежности и энергоэффективности, эти знания становятся фундаментом для создания систем, способных решать вызовы будущего.

Перспективы развития области систем автоматического управления неразрывно связаны с дальнейшей интеграцией цифровых технологий, адаптивных и интеллектуальных систем. Искусственный интеллект, машинное обучение, расширенное использование цифровых двойников и облачных технологий уже сегодня трансформируют подход к проектированию и эксплуатации САУ. Эти инновации будут продолжать толкать границы возможного, делая системы еще более умными, эффективными и способными к самоорганизации, открывая новую эру в автоматизации. Разве не удивительно, как математика и алгоритмы способны столь глубоко изменить наш мир, делая его более предсказуемым и управляемым?

Список использованной литературы

1. Пугачев, В. И. Методические указания по курсу: «Теория автоматического управления» для студентов всех форм обучения специальности 21.01 автоматика и управление в технических системах. Часть I. Краснодарский политехнический институт. Краснодар, 1990. 157 с.
2. Пугачев, В. И. Методические указания по курсу: «Теория автоматического управления» для студентов всех форм обучения специальности 21.01 автоматика и управление в технических системах. Часть III. Краснодарский политехнический институт. Краснодар, 1995. 114 с.
3. Колосов, С. П., Калмыков, И. В., Нефедова, В. И. Элементы автоматики. Москва : Машиностроение, 1970.
4. Методы настройки ПИД-регуляторов. Автоматика. Челябинск, 2025. URL: https://automatics.ru/news/metody-nastroyki-pid-regulyatorov/ (дата обращения: 07.11.2025).
5. Рекомендации по настройке ПИД-регуляторов в контроллере АГАВА 6432.20. URL: https://www.agava.ru/upload/iblock/d2b/d2b12e0617a264a787260027f30009c9.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
6. Настройка ПИД-регулятора. Метод Циглера-Никольса. MicroTechnics. URL: https://microtechnics.ru/nastroyka-pid-regulyatora-metod-ciglera-nikolsa/ (дата обращения: 07.11.2025).
7. ПИД-регуляторы: принцип работы, сферы применения, преимущества и недостатки. Tadviser. URL: https://www.tadviser.ru/index.php/%D0%9F%D0%98%D0%94-%D1%80%D0%B5%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%8B:_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B,_%D1%81%D1%84%D0%B5%D1%80%D1%8B_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F,_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B8%D0%BC%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8_%D0%BD%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B8 (дата обращения: 07.11.2025).
8. Методика настройки цифрового ПИД-регулятора. ООО «Автоматика». URL: https://automatics.ru/wiki/teoriya-pid-regulirowaniya/metodika-nastroyki-cifrovogo-pid-regulyatora (дата обращения: 07.11.2025).
9. Таблица настройки ПИД-регуляторов: коэффициенты P, I, D для типовых процессов. Securitron. URL: https://www.securitron.ru/nastroyka-pid-regulyatora/ (дата обращения: 07.11.2025).
10. Энциклопедия АСУ ТП | 5.2. Классический ПИД-регулятор. RealLab! URL: https://www.reallab.ru/pid-regulator.html (дата обращения: 07.11.2025).
11. ПИД-регуляторы: принципы построения и модификации. CTA.ru. URL: https://www.cta.ru/cms/sot/pidreg/ (дата обращения: 07.11.2025).
12. Что это такое, принцип действия ПИД регулятора. PID-Regulyator.ru. URL: https://www.pid-regulyator.ru/ (дата обращения: 07.11.2025).
13. Лабораторная работа №2 Исследование ПИД-регуляторов 1. Методические. Тверской государственный университет. URL: https://elib.tversu.ru/elib/viewer/2928/ (дата обращения: 07.11.2025).
14. Рекомендации по настройке регуляторов. SKM.ru. URL: https://www.skm.ru/pdf/recom.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
15. Регулятор. DSPLib.ru. URL: https://www.dsplib.ru/content/regul/regul.html (дата обращения: 07.11.2025).
16. Методы расчета оптимальных настроек систем управления по каналу возмущения. Cyberleninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metody-rascheta-optimalnyh-nastroek-sistem-upravleniya-po-kanalu-vozmuscheniya (дата обращения: 07.11.2025).
17. Электрические аналоговые регуляторы. Twirpx.com. URL: https://www.twirpx.com/file/1689408/ (дата обращения: 07.11.2025).
18. СИНТЕЗ ПИД РЕГУЛЯТОРА С ПОМОЩЬЮ ЛАЧХ. Репозиторий Самарского университета. URL: https://repo.ssau.ru/bitstream/SSTU/102005/1/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B7_%D0%9F%D0%98%D0%94_%D1%80%D0%B5%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0_%D1%81_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E_%D0%9B%D0%90%D0%A7%D0%A5.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
19. Особенности проектирования и преимущества цифровых и аналоговых ПИД-регуляторов. Elibrary.ru. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=43891465 (дата обращения: 07.11.2025).
20. Оптимальные настройки регуляторов. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/10208160/page:14/ (дата обращения: 07.11.2025).
21. Персональный сайт — 6. Способы аппроксимации аналоговых регуляторов. Cop320.narod.ru. URL: http://cop320.narod.ru/tau/glava6/g62.htm (дата обращения: 07.11.2025).
22. БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ. CORE. URL: https://core.ac.uk/download/pdf/53036669.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
23. Методы синтеза цифровых су им. Метод дискретизации аналоговых регуляторов класса «вход/выход». Twirpx.com. URL: https://www.twirpx.com/file/1897089/ (дата обращения: 07.11.2025).
24. Автоматические регуляторы в системах управления и их настройка. Часть 3. Цифровые регуляторы и их настройка. Компоненты и технологии. URL: https://www.kit-e.ru/articles/auto/2006_4_136.php (дата обращения: 07.11.2025).
25. Настройка ПИД-регулятора температуры — как настроить Pid регулятор. PID-Regulyator.ru. URL: https://www.pid-regulyator.ru/nastroit-pid-regulyator-temperatury.html (дата обращения: 07.11.2025).
26. Непрерывно-дискретные методы преобразования. MathWorks. URL: https://www.mathworks.com/help/control/ug/continuous-discrete-conversion-methods.html (дата обращения: 07.11.2025).
27. Методы дискретизации линейных систем непрерывного времени. Alpha Control Lab. URL: https://digi.lib.ttu.ee/i/file.php?id=350697 (дата обращения: 07.11.2025).
28. Принципы построения дискретных и цифровых сау. Дискретизация и квантование непрерывного сигнала. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/5745265/page:6/ (дата обращения: 07.11.2025).
29. Дискретизация и кодирование непрерывных сообщений. Siblec.ru. URL: http://www.siblec.ru/teoriya-elektricheskoj-svyazi/diskretizatsiya-i-kodirovanie-nepretyvnyx-soobschenij (дата обращения: 07.11.2025).
30. Дискретизация и квантование. Казахский национальный университет имени аль-Фараби. URL: https://www.kaznu.kz/content/files/pages/44723/content/%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%20%D0%B8%20%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
31. Цифровые регуляторы. Лекция №. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/17277637/page:2/ (дата обращения: 07.11.2025).
32. Влияние частоты дискретизации на устойчивость цифровой системы автоматического регулирования тока с широтно-импульсным преобразователем. КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/vliyanie-chastoty-diskretizatsii-na-ustoychivost-tsifrovoy-sistemy-avtomaticheskogo-regulirovaniya-toka-s-shirotno-impulsnym (дата обращения: 07.11.2025).
33. Влияние времени квантования на процесс регулирования. Электронная библиотека БГТУ. URL: https://elib.bstu.by/handle/123456789/22378 (дата обращения: 07.11.2025).
34. Дискретизация по времени и квантование по уровню. Sapr-lab.ru. URL: http://sapr-lab.ru/docs/doc_a_d.html (дата обращения: 07.11.2025).
35. Преимущества цифрового оборудования. Переход с аналогового оборудования на цифровое. ЛЕО ТЕЛЕКОМ. URL: https://leotelecom.ru/articles/preimushchestva-tsifrovogo-oborudovaniya-perekhod-s-analogovogo-oborudovaniya-na-tsifrovoe/ (дата обращения: 07.11.2025).
36. УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ. Booksite.ru. URL: https://www.booksite.ru/fulltext/1/001/008/042/359.htm (дата обращения: 07.11.2025).
37. Устойчивость работы цифровых сау. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/10208160/page:17/ (дата обращения: 07.11.2025).
38. Анализ устойчивости дискретных систем. Twirpx.com. URL: https://www.twirpx.com/file/1879008/ (дата обращения: 07.11.2025).
39. Алгебраические критерии устойчивости дискретных систем. Twirpx.com. URL: https://www.twirpx.com/file/1499577/ (дата обращения: 07.11.2025).
40. Что такое z-преобразование? RadioProg. URL: https://radioprog.ru/post/2704 (дата обращения: 07.11.2025).
41. Z -преобразование сигналов и системных функций. DSPLib.ru. URL: http://www.dsplib.ru/content/z-trans/z-trans.html (дата обращения: 07.11.2025).
42. Критерий устойчивости джури. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/10208160/page:18/ (дата обращения: 07.11.2025).
43. Анализ устойчивости цифровых систем. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/17698661/page:14/ (дата обращения: 07.11.2025).
44. Устойчивость цифровых систем, Признак устойчивости, Условие устойчивости, Критерий устойчивости Гурвица, Критерий устойчивости Найквиста. Bstudy. URL: https://bstudy.net/603309/tehnika/ustoychivost_tsifrovyh_sistem_priznak_ustoychivosti_uslovie_ustoychivosti_kriteriy_ustoychivosti (дата обращения: 07.11.2025).
45. «Дискретные системы автоматического управления». CORE. URL: https://core.ac.uk/download/pdf/53036669.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
46. Устойчивость дискретной системы. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/10208160/page:19/ (дата обращения: 07.11.2025).
47. Критерий устойчивости Джури. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/10208160/page:20/ (дата обращения: 07.11.2025).
48. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СЛОЖНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ. Cyberleninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/analiz-ustoychivosti-slozhnyh-diskretnyh-dinamicheskih-sistem (дата обращения: 07.11.2025).
49. Критерии устойчивости систем автоматического управления. КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/kriterii-ustoychivosti-sistem-avtomaticheskogo-upravleniya (дата обращения: 07.11.2025).
50. Алгебраические критерии устойчивости. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/10208160/page:16/ (дата обращения: 07.11.2025).
51. Video: Определение Z-преобразования. JoVE. URL: https://www.jove.com/v/10630/the-z-transform-definition (дата обращения: 07.11.2025).
52. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ. Пермский национальный исследовательский политехнический университет. URL: https://www.pstu.ru/files/2/file_id_5724/ (дата обращения: 07.11.2025).
53. Page. ЦДОиЦК МГУ им. Н.П. Огарёва. URL: https://mrsu.ru/ru/get_media_file.php?id=3773 (дата обращения: 07.11.2025).
54. Определение устойчивости и причинности z-преобразований. Reddit. URL: https://www.reddit.com/r/DSP/comments/m7x0x2/%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%83%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9%D1%87%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_z%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B9/ (дата обращения: 07.11.2025).
55. Анализ переходных процессов. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/10208160/page:15/ (дата обращения: 07.11.2025).
56. Цифровые САУ. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/17277637/page:12/ (дата обращения: 07.11.2025).
57. Переходные процессы в САУ. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/10208160/page:13/ (дата обращения: 07.11.2025).
58. РАСЧЁТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ. Научный результат. Информационные технологии. Cyberleninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/raschet-perehodnyh-protsessov-v-raspredelennyh-sistemah-upravleniya (дата обращения: 07.11.2025).
59. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ САУ. Twirpx.com. URL: https://www.twirpx.com/file/1739545/ (дата обращения: 07.11.2025).
60. Проскурников, А. В., Матвеев, А. С. Критерии Цыпкина и Джури–Ли синхронизации и устойчивости дискретных многоагентных систем. Автомат. и телемех., 2018, № 6, 119–139. Mathnet.RU. URL: https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=at&paperid=11568&option_lang=rus (дата обращения: 07.11.2025).
61. Цифровые фильтры. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/10208160/page:21/ (дата обращения: 07.11.2025).
62. Цифровая обработка сигналов. ОмГТУ. URL: https://www.omgtu.ru/fdo/materials/cdb/cdb/e_book/ch_4.htm (дата обращения: 07.11.2025).
63. БИХ (Рекурсивный) Фильтр: Что это такое? DocsTech. URL: https://docstech.ru/tsos/bih-rekursivnyy-filtr/ (дата обращения: 07.11.2025).
64. Цифровые фильтры. В.Н. Исаков Радиотехнические цепи и сигналы. Citcuits-signals.narod.ru. URL: http://citcuits-signals.narod.ru/ch2/ch2_7.html (дата обращения: 07.11.2025).
65. Цифровые фильтры обработки одномерных сигналов. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/6817166/page:12/ (дата обращения: 07.11.2025).
66. Целочисленные цифровые фильтры. Все о датчиках. URL: https://www.elcp.ru/art_cifrov_fil_cel.php (дата обращения: 07.11.2025).
67. КИХ фильтр: описание и примеры на ПЛИС, stm32 и esp32. DocsTech. URL: https://docstech.ru/tsos/kih-filtr/ (дата обращения: 07.11.2025).
68. Проектирование цифровых фильтров. SimInTech. URL: https://simintech.ru/support/docs/dsd/kurs_cifrovaya-obrabotka-signalov/pr_cifr_filt/ (дата обращения: 07.11.2025).
69. КИХ-фильтр» — вопросы и статьи по данной теме в сообществе инженеров. Club.autodoc.ru. URL: https://club.autodoc.ru/blog/kih-filtr-voprosy-i-stati-po-dannoy-teme-v-soobschestve-inzhenerov/ (дата обращения: 07.11.2025).
70. Метод построения цифрового фильтра сигналов для систем автоматического контроля работы энергетического оборудования. Cyberleninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metod-postroeniya-tsifrovogo-filtra-signalov-dlya-sistem-avtomaticheskogo-kontrolya-raboty-energeticheskogo-oborudovaniya (дата обращения: 07.11.2025).
71. Методы проектирования цифровых фильтров. DSP-Book. URL: https://www.dsplib.ru/content/filters/fir/fir.html (дата обращения: 07.11.2025).
72. Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой. Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D1%82%D1%80_%D1%81_%D0%B1%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%85%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B9 (дата обращения: 07.11.2025).
73. Освоение искусства проектирования КИХ-фильтров: раскрытие возможностей фильтров с конечной импульсной характеристикой. Dadao. URL: https://dadao.io/blog/mastering-the-art-of-fir-filter-design-unlocking-the-power-of-finite-impulse-response-filters/ (дата обращения: 07.11.2025).
74. КИХ фильтры и их использование в аудиоплатформах Symetrix. Kreator AV. URL: https://kreatorav.ru/articles/kix-filtry-i-ix-ispolzovanie-v-audioplatformax-symetrix/ (дата обращения: 07.11.2025).
75. Синтез БИХ-фильтров малой сложности, близких к гауссовой функции. Компоненты и технологии. URL: https://www.kit-e.ru/articles/components/2013_11_12.php (дата обращения: 07.11.2025).
76. Основы цифровой обработки сигналов: АЧХ и ФЧХ, Цифровые фильтры, КИХ и БИХ фильтры. Хабр. URL: https://habr.com/ru/articles/599307/ (дата обращения: 07.11.2025).
77. Расчет цифровых фильтров и цифровая фильтрация. Лаборатория ПТС. URL: https://www.dsplib.ru/content/dfilter/dfilter.html (дата обращения: 07.11.2025).
78. Ких-фильтры. Методы синтеза. Twirpx.com. URL: https://www.twirpx.com/file/1532470/ (дата обращения: 07.11.2025).
79. БИХ-фильтр. SimInTech. URL: https://simintech.ru/support/docs/dsd/biblioteka-blokov-dsd/iir-filter/ (дата обращения: 07.11.2025).
80. Тема 9. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ 9.1. Функциональная схема цифровых фильтров. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/17277637/page:22/ (дата обращения: 07.11.2025).
81. Расчет и проектирование цифровых фильтров. Уральский федеральный университет. URL: https://elar.urfu.ru/bitstream/10995/103986/1/978-5-7996-3392-7_2022.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
82. Расчет КИХ фильтра. Dsplib.ru. URL: https://www.dsplib.ru/content/fir/fir.html (дата обращения: 07.11.2025).
83. Расчет цифрового фнч. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/10208160/page:22/ (дата обращения: 07.11.2025).
84. Синтез цифровых регуляторов с применением MATLAB. Cyberleninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/sintez-tsifrovyh-regulyatorov-s-primeneniem-matlab (дата обращения: 07.11.2025).
85. Осознание последствий цифровизации в представлениях о возможном. Cyberleninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/osoznanie-posledstviy-tsifrovizatsii-v-predstavleniyah-o-vozmozhnom (дата обращения: 07.11.2025).
86. Цифровые САУ. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/17277637/page:1/ (дата обращения: 07.11.2025).
87. ИССЛЕДОВАНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ АЛГОРИТМОВ В ЦИФРОВЫХ УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМАХ С ДВОЙНОЙ ШКАЛОЙ ВРЕМЕНИ. Фундаментальные исследования (научный журнал). URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=42702 (дата обращения: 07.11.2025).
88. Методы синтеза цифровых су им. Метод дискретизации аналоговых регуляторов класса «вход/выход» (метод аналогий). Цифровой пид- регулятор. Twirpx.com. URL: https://www.twirpx.com/file/1897089/ (дата обращения: 07.11.2025).
89. АДАПТИВНЫЕ (САМОНАСТРАИВАЮЩИЕСЯ) СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ. Международный студенческий научный вестник. URL: https://edu.ru/references/v/view_doc/654001/ (дата обращения: 07.11.2025).
90. Адаптивные системы управления в промышленности. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/10208160/page:3/ (дата обращения: 07.11.2025).
91. АДАПТИВНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМ ПРОЦЕССОМ Пыхов В.В., Ш. Cyberleninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/adaptivnaya-sistema-upravleniya-tehnologicheskim-protsessom (дата обращения: 07.11.2025).
92. Раздел 1. АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/10208160/page:25/ (дата обращения: 07.11.2025).
93. ВАРИАЦИОННЫЙ ПОДХОД К СИНТЕЗУ ОПТИМАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА В ЗАДАЧЕ СТАБИЛИЗАЦИИ. КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/variatsionnyy-podhod-k-sintezu-optimalnogo-regulyatora-v-zadache-stabilizatsii (дата обращения: 07.11.2025).
94. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ Н. Cyberleninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/sintez-optimalnyh-regulyatorov-lineynyh-stohasticheskih-sistem-pri-n (дата обращения: 07.11.2025).
95. Стратегическое планирование и управление: роль AI и цифрового моделирования. Naumen.ru. URL: https://www.naumen.ru/blog/ai-digital-modeling-strategy/ (дата обращения: 07.11.2025).
96. ОПТИМИЗАЦИЯ ЦИФРОВОГО РЕГУЛЯТОРА СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ НЕПРЕРЫВНОГО ОБЪЕКТА. КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/optimizatsiya-tsifrovogo-regulyatora-sistemy-avtomaticheskogo-regulirovaniya-neprepyvnogo-obekta (дата обращения: 07.11.2025).
97. Методы повышения быстродействия цифровых систем с линейной обратной связью. КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metody-povysheniya-bystrodeystviya-tsifrovyh-sistem-s-lineynoy-obratnoy-svyazyu (дата обращения: 07.11.2025).
98. Средства для математического моделирования. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/10208160/page:23/ (дата обращения: 07.11.2025).
99. ПТК «Комплекс-Р. SKB-Kompleks.ru. URL: https://www.skb-kompleks.ru/solutions/ptk-kompleks-r/ (дата обращения: 07.11.2025).
100. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ В СР. Cyberleninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/programmnoe-obespechenie-sinteza-regulyatorov-mnogomernyh-sistem-v-sr (дата обращения: 07.11.2025).
101. ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ В СРЕДЕ MATLAB. СФ СамГТУ. URL: https://www.samgtu.ru/files/docs/iz_samgtu/pdf/2021/04/pages_233-238.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
102. Системы автоматического управления. ЦИТМ Экспонента. URL: https://exponenta.ru/control/automatics (дата обращения: 07.11.2025).
103. Синтез регуляторов. Моделирование в Acsocad и MATLAB. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/10208160/page:24/ (дата обращения: 07.11.2025).
104. Математическое моделирование систем автоматического управления (САУ). E-learning bmstu. URL: https://e-learning.bmstu.ru/iu6/course/view.php?id=38&section=1 (дата обращения: 07.11.2025).
105. Автоматизация систем управления. Кубанский государственный аграрный университет. URL: https://kubsau.ru/upload/iblock/562/56285404d0c1e6c359d9f521798305f6.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
106. СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ В КАСКАДНЫХ СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ. CORE. URL: https://core.ac.uk/download/pdf/19720448.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
107. SciPy. Scipy.org. URL: https://scipy.org/ (дата обращения: 07.11.2025).
108. SimOne – отечественный симулятор электронных схем. CTA.ru. URL: https://www.cta.ru/cms/sot/simone/ (дата обращения: 07.11.2025).