Статистический анализ временных рядов в эконометрике: от теории к практическому прогнозированию для курсовой работы

В современном мире, где экономические процессы непрерывно развиваются и меняются, способность понимать, анализировать и прогнозировать динамику ключевых показателей становится не просто желательной, а жизненно важной. Именно здесь на первый план выходит статистический анализ временных рядов – мощный инструмент эконометрики, позволяющий заглянуть за горизонт текущих данных, выявить скрытые закономерности и предсказать будущее поведение экономических явлений. От колебаний фондовых рынков до сезонных всплесков потребительского спроса, от прогнозирования ВВП до управления запасами – временные ряды являются основой для принятия обоснованных управленческих и экономических решений.

Для студента экономического, статистического или математического факультета освоение этого инструментария – фундамент для успешной курсовой работы и будущей профессиональной деятельности. Данная работа призвана систематизировать эти знания, превратив сложные теоретические концепции в понятные и применимые алгоритмы. Мы пройдем путь от базовых определений и классификации временных рядов до сложных эконометрических моделей и их практической реализации в специализированном программном обеспечении. Особое внимание будет уделено детализации методов расчета ключевых показателей динамики, пошаговому процессу прогнозирования и современным подходам, таким как использование искусственного интеллекта, что позволит не только понять, но и самостоятельно выполнить полный цикл аналитических задач.

Теоретические основы временных рядов

Чтобы эффективно работать с временными рядами, необходимо сначала понять их природу, составные элементы и ключевые характеристики. Это подобно изучению алфавита перед тем, как читать и писать – без этих базовых знаний невозможно построить глубокий и корректный анализ.

Понятие временного ряда и его классификация

В своей основе временной ряд – это не что иное, как упорядоченная во времени последовательность значений одной или конечного множества случайных величин. Представьте себе ежедневные котировки акций, ежемесячный объем продаж компании или годовые показатели ВВП – все это примеры временных рядов. Их уникальность заключается в том, что каждое последующее значение неразрывно связано с предыдущими, формируя своего рода «память» системы. Почему же временные ряды так важны для аналитиков? Они выступают в роли своеобразного детективного агентства, позволяя:

• Выявлять закономерности: Обнаруживать скрытые тренды, повторяющиеся сезонные колебания и циклические подъемы или спады.
• Прогнозировать будущее: На основе выявленных закономерностей строить предсказания о будущих значениях показателя.
• Предлагать обоснованные решения: Предоставлять бизнесу и государственным структурам данные для стратегического планирования, оптимизации ресурсов и минимизации рисков.

Классификация временных рядов помогает лучше понять их структуру и выбрать подходящие методы анализа. В общем виде их можно разделить по нескольким признакам:

• По регулярности:
  • Регулярные ряды имеют систематический характер данных, то есть измерения производятся через строго определенные, равные промежутки времени (например, ежедневно, ежемесячно, ежегодно). Большинство эконометрических моделей ориентированы именно на такие ряды.
  • Нерегулярные ряды характеризуются разными интервалами времени между наблюдениями. Работа с ними требует дополнительных преобразований или специализированных методов.
• По предсказуемости:
  • Детерминированные ряды – это ряды, значения которых полностью предсказуемы и могут быть точно описаны математическими формулами. В реальной экономике такие ряды встречаются крайне редко, скорее являются идеализированными моделями.
  • Недетерминированные (стохастические) ряды – наиболее распространенный тип, содержащий случайные компоненты. Их поведение можно предсказать лишь с определенной вероятностью, используя вероятностные модели. Именно с такими рядами и работает эконометрика.

Компоненты временного ряда: тренд, сезонность, цикличность, случайные колебания

Любой временной ряд, особенно в экономике, редко бывает однородным. Он представляет собой сложный коктейль из различных влияний, каждое из которых оставляет свой отпечаток на его динамике. Понимание этих компонентов позволяет «разобрать» ряд на составные части, чтобы анализировать их по отдельности и затем вновь синтезировать для более точного прогноза. Традиционно выделяют четыре основные составляющие:

1. Тренд (T) – это долгосрочная тенденция, определяющая общее направление развития временного ряда. Это «скелет» динамики, показывающий, растет ли показатель, падает или остается относительно стабильным на протяжении длительного периода. Например, устойчивый рост ВВП страны за десятилетия или планомерное снижение доли угольной промышленности в энергетическом балансе. Тренд может быть линейным, экспоненциальным, параболическим и т.д.
2. Сезонность (S) – это повторяющиеся изменения, период которых не превышает одного года. Эти колебания, как правило, связаны с календарными факторами: сменой времен года, праздничными днями, школьными каникулами. Классические примеры – увеличение продаж мороженого летом, рост спроса на подарки перед Новым годом или снижение активности в строительстве зимой. Сезонность является предсказуемой и регулярной компонентой.
3. Цикличность (K) – это колебания, обусловленные экономическими циклами или циклами деловой активности. Их период обычно составляет от двух до пяти лет, но может быть и более длительным. В отличие от сезонности, циклические колебания менее регулярны по своей продолжительности и амплитуде. Они отражают общие фазы экономического развития: подъем, пик, спад, депрессия. Например, циклы инвестиций или производства.
4. Случайные колебания (E), или шум – это ситуативные, непредсказуемые изменения, которые не несут полезной информации и вызваны случайными событиями, ошибками в измерениях или непредвиденными внешними факторами. Это может быть забастовка на заводе, внезапное изменение погодных условий или политическое событие. Считается, что случайные колебания имеют нормальное распределение со средним значением, близким к нулю.

В зависимости от характера взаимосвязи между этими компонентами, можно построить две основные модели разложения временного ряда:

• Аддитивная модель: Предполагает, что компоненты суммируются, и их влияние является независимым друг от друга. Эта модель часто применяется, когда амплитуда сезонных и циклических колебаний остается примерно постоянной вне зависимости от уровня тренда.

yt = T + K + S + E

• Мультипликативная модель: Предполагает, что компоненты перемножаются, и их влияние пропорционально друг другу. Эта модель более адекватна, когда амплитуда сезонных и циклических колебаний увеличивается или уменьшается вместе с уровнем тренда. Например, чем выше продажи, тем сильнее сезонные всплески.

yt = T ⋅ K ⋅ S ⋅ E

Выбор между аддитивной и мультипликативной моделями зависит от визуального анализа ряда и статистических тестов, помогающих определить, как именно взаимодействуют его компоненты, что является решающим для адекватного моделирования.

Стационарность и нестационарность временных рядов

Ключевым свойством временного ряда для большинства «классических» методов анализа является его стационарность. Это понятие лежит в основе корректного применения многих эконометрических моделей и, без преувеличения, является краеугольным камнем анализа временных рядов.

Стационарный временной ряд – это ряд, статистические свойства которого (математическое ожидание, дисперсия и автокорреляционная функция) сохраняются постоянными во времени. Иными словами, если мы возьмем любой отрезок стационарного ряда, его среднее значение, разброс данных (дисперсия) и характер взаимосвязи между соседними наблюдениями будут примерно такими же, как и на любом другом отрезке.

Свойства стационарного ряда включают:

• Отсутствие тренда: Ряд не имеет долгосрочной тенденции к росту или падению.
• Отсутствие сезонности: Ряд не демонстрирует регулярных повторяющихся колебаний, связанных с календарными периодами.
• Неизменная дисперсия: Разброс значений вокруг среднего остается постоянным на протяжении всего ряда.

Напротив, нестационарный временной ряд – это ряд, статистические свойства которого меняются со временем. Он может иметь тренд (например, постоянно растущие цены), цикличность или сезонность, а его дисперсия может меняться (например, увеличиваться волатильность финансовых активов со временем). Большинство экономических временных рядов в исходном виде являются нестационарными. Например, ВВП страны демонстрирует явный тренд роста, а объемы продаж сезонных товаров – выраженную сезонность.

Почему же так важна стационарность? Дело в том, что многие классические эконометрические методы, такие как модели авторегрессии-скользящего среднего (ARMA), основываются на предположении о стационарности. Если применять эти методы к нестационарным рядам без предварительных преобразований, оценки параметров модели будут неэффективными, несостоятельными, а прогнозы – ненадежными и неточными. Это как пытаться использовать линейку для измерения кривой – результат будет далек от истины. Поэтому приведение нестационарного временного ряда к стационарному виду становится одним из важнейших шагов в процессе анализа и прогнозирования. Больше информации о методах приведения к стационарности можно найти в разделе Приведение нестационарных временных рядов к стационарности.

Статистические методы анализа и обработки временных рядов

После того как мы разобрались с фундаментальными понятиями временных рядов, пришло время перейти к инструментам, которые позволяют нам извлекать из них ценную информацию. Статистические методы анализа и обработки временных рядов – это наш арсенал для диагностики, подготовки данных и выявления скрытых закономерностей, предваряющих построение прогностических моделей. Какими же методами мы можем воспользоваться для этого?

Показатели рядов динамики и их расчет

Анализ рядов динамики – это первый и зачастую самый интуитивно понятный шаг в работе с временными рядами. Он позволяет определить, как изменяются уровни ряда (увеличиваются, уменьшаются или остаются неизменными) как в абсолютном, так и в относительном выражении. Эти показатели являются основой для понимания динамических процессов и формирования первичных гипотез. Показатели динамики могут быть цепными (сравнение с предыдущим периодом) и базисными (сравнение с первым или выбранным базовым периодом).

Рассмотрим основные показатели и детали их расчета:

1. Абсолютный прирост (Δy)
Абсолютный прирост показывает, на сколько единиц изменился уровень ряда за определенный период.

• Цепной абсолютный прирост (Δy_цi): Разница между значением данного года (y_i) и предыдущим (y_i-1).

Δyцi = yi - yi-1

• Базисный абсолютный прирост (Δy_бi): Разница между текущим уровнем (y_i) и базисным (y₀).

Δyбi = yi - y0

Средний абсолютный прирост (Δȳ) представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики. Он может быть рассчитан по формуле:

Δȳ = (yn - y1) / (n - 1)

где y_n — конечный уровень ряда, y₁ — начальный уровень ряда, n — количество уровней в ряду.

2. Темпы роста (коэффициент роста, индекс динамики) (T_р)
Темпы роста показывают, во сколько раз изменился уровень ряда, или на сколько процентов он увеличился/уменьшился относительно предыдущего/базисного периода.

• Цепной темп роста (T_рцi): Отношение текущего уровня (y_i) к предыдущему (y_i-1). Может выражаться в долях или процентах.

Tрцi = yi / yi-1 (в долях)
Tрцi = (yi / yi-1) ⋅ 100% (в процентах)

• Базисный темп роста (T_рбi): Отношение текущего уровня (y_i) к базисному (y₀).

Tрбi = yi / y0 (в долях)
Tрбi = (yi / y0) ⋅ 100% (в процентах)

3. Темпы прироста (T_пр)
Темпы прироста показывают, на сколько процентов данный уровень больше или меньше базисного или предыдущего. Они исчисляются путем вычитания 100% (или 1 в долях) из соответствующих темпов роста.

• Цепной темп прироста (T_прцi):

Tпрцi = ((yi - yi-1) / yi-1) ⋅ 100%

• Базисный темп прироста (T_прбi):

Tпрбi = ((yi - y0) / y0) ⋅ 100%

• Также темп прироста может быть найден как:

Tпр = Tр - 100% (если темп роста Tр выражен в процентах)
Tпр = Tр - 1 (если темп роста Tр выражен в долях)

Средний темп роста (K_ср.р) и средний темп прироста (T_ср.пр) используются для обобщающей характеристики динамики за весь период.

• Средний темп роста (K_ср.р) рассчитывается как средняя геометрическая из цепных коэффициентов роста:

Kср.р = (n-1)√ (Kц1 ⋅ Kц2 ⋅ ... ⋅ Kц(n-1))

Или, что эквивалентно:

Kср.р = (n-1)√ (yn / y1)

Средний темп роста в процентах: T_ср.р = K_ср.р ⋅ 100%.

• Средний темп прироста (T_ср.пр) рассчитывается как:

Tср.пр = Tср.р - 100% (если средний темп роста Tср.р выражен в процентах).

4. Абсолютное значение одного процента прироста (1% Δy)
Эта величина показывает, какой абсолютный прирост соответствует одному проценту роста.

• Оно может быть рассчитано как:

1% Δy = Δy / Tпр (где Tпр — темп прироста в процентах)

• Альтернативно, абсолютное значение одного процента прироста равно сотой части предыдущего уровня для цепного расчета (0.01 ⋅ y_i-1) или базисного уровня для базисного расчета (0.01 ⋅ y₀).

1% Δyцi = 0.01 ⋅ yi-1
1% Δyбi = 0.01 ⋅ y0

5. Средний уровень ряда динамики

Расчет среднего уровня зависит от типа ряда: интервального или моментного.

• Для интервальных рядов (когда данные относятся к периоду времени, например, месячный объем продаж):
  • С равными периодами времени (например, годовые данные): Средний уровень (ȳ) рассчитывается по формуле простой арифметической:

ȳ = (Σyi) / n

• С неравными интервалами (или когда уровни известны за разные периоды): Используется средняя арифметическая взвешенная:

ȳ = (Σ(yi ⋅ fi)) / (Σfi)

где f_i — длительность периода, к которому относится y_i.

• Для моментных рядов (когда данные относятся к конкретному моменту времени, например, численность населения на начало года):
  • С равными интервалами между датами: Применяется средняя хронологическая простая:

ȳ = ((y1 / 2) + Σi=2n-1 yi + (yn / 2)) / (n - 1)

• С неравномерно расположенными уровнями: Используется средняя хронологическая взвешенная:

ȳ = (Σ(((yi + yi+1) / 2) ⋅ ti)) / (Σti)

где t_i — длительность интервала времени между y_i и y_i+1.

Эти показатели позволяют получить первое, но очень важное представление о характере динамики временного ряда, что критически важно для дальнейшего, более глубокого анализа.

Методы сглаживания временных рядов

Представьте, что вы смотрите на фотографию, сделанную в плохую погоду – она нечеткая, полна шумов и артефактов. Методы сглаживания выполняют роль «фоторедактора», который очищает изображение, выделяет главные линии и делает его более читабельным. Их основная цель – исключить влияние случайных колебаний (шума) и лучше выявить структуру ряда, то есть тренд и сезонность.

1. Метод скользящего среднего
Это один из самых простых и интуитивно понятных методов сглаживания. Он заменяет каждое значение ряда средним значением из нескольких соседних наблюдений.

• Простое скользящее среднее: Каждое сглаженное значение является простым средним N соседних членов ряда, где N — это ширина «окна» сглаживания.

Y't = (Yt-(N-1)/2 + ... + Yt + ... + Yt+(N-1)/2) / N

Если N нечетно, сглаженное значение помещается в центр окна. Если N четно, то используются центрированные скользящие средние. Простое скользящее среднее эффективно устраняет случайные колебания, но может «сдвигать» тренд и сглаживать пики/впадины.

• Взвешенное скользящее среднее: Некоторые значения внутри окна получают больший вес (например, центральные или более свежие наблюдения). Это позволяет снизить эффект «сдвига» и придать большее значение актуальным данным.

Выбор ширины «окна» N критичен: слишком малое N сохраняет много шума, слишком большое – сглаживает важные детали и делает ряд слишком инертным. Если ряд имеет сезонность, N часто выбирается равным длине сезонного цикла, чтобы устранить ее влияние.

2. Методы экспоненциального сглаживания
Экспоненциальное сглаживание — это более продвинутый класс методов, который использует взвешенное среднее значение временного ряда для прогнозирования, отдавая большее значение более свежим наблюдениям и постепенно уменьшая вес старых. Это достигается за счет использования параметра сглаживания α (альфа) в диапазоне от 0 до 1. Чем ближе α к 1, тем больше вес у последних наблюдений, и тем быстрее модель реагирует на изменения.

Существуют различные варианты экспоненциального сглаживания, адаптированные под разные типы временных рядов:

• Одинарное экспоненциальное сглаживание (Single Exponential Smoothing): Применяется для рядов, не имеющих выраженного тренда и сезонности, когда ряд колеблется вокруг постоянного среднего уровня.

Ft+1 = α ⋅ Yt + (1 - α) ⋅ Ft

где F_t+1 — прогноз на следующий период, Y_t — фактическое значение в текущий период, F_t — прогноз на текущий период.

• Двойное экспоненциальное сглаживание (Double Exponential Smoothing или метод Хольта): Используется для рядов с выраженным трендом, но без сезонности. Этот метод учитывает как уровень ряда, так и его наклон (тренд). Он имеет два параметра сглаживания: α для уровня и β (бета) для тренда.
• Тройное экспоненциальное сглаживание (Triple Exponential Smoothing или метод Хольта-Винтерса): Наиболее полный метод, предназначенный для рядов, обладающих как трендом, так и сезонностью. Он включает три параметра сглаживания: α для уровня, β для тренда и γ (гамма) для сезонности. Сезонность может быть аддитивной или мультипликативной, в зависимости от модели разложения ряда. Метод Хольта-Винтерса особенно эффективен для прогнозирования продаж, потребления электроэнергии и других показателей, где наблюдаются явные сезонные колебания.

Выбор метода сглаживания зависит от визуального анализа ряда и результатов статистических тестов на наличие тренда и сезонности. Экспоненциальное сглаживание часто используется для краткосрочного прогнозирования благодаря своей адаптивности к последним изменениям.

Автокорреляционный анализ

Автокорреляционный анализ – это один из краеугольных камней в эконометрическом исследовании временных рядов. Он позволяет выявить, насколько сильно текущие значения ряда связаны с его прошлыми значениями. Это как анализ «эха» в данных: насколько сильно сегодняшний результат отзывается на вчерашнем или позавчерашнем.

Автокорреляция (или «серийная корреляция») – это корреляционная связь между последовательными уровнями одного и того же ряда динамики, сдвинутыми на определенный промежуток времени (лаг). Например, если продажи этого месяца сильно зависят от продаж прошлого месяца, это указывает на положительную автокорреляцию с лагом 1. Если высокие продажи в одном квартале приводят к низким продажам в следующем (например, из-за насыщения рынка), это может быть отрицательная автокорреляция.

Для количественной оценки автокорреляции используются:

• Автокорреляционная функция (АКФ): Это последовательность коэффициентов автокорреляции различных порядков. Каждый коэффициент АКФ (ρ_k) измеряет линейную зависимость между наблюдением Y_t и наблюдением Y_t-k, где k – это лаг (количество временных интервалов между наблюдениями).

ρk = Cov(Yt, Yt-k) / Var(Yt)

АКФ чрезвычайно важна для определения состава компонент временного ряда и является ключевым инструментом в методологии Бокса-Дженкинса для идентификации параметров моделей ARIMA. Для стационарного процесса АКФ быстро убывает до нуля. Для нестационарного ряда, содержащего тренд, АКФ будет убывать медленно, оставаясь значимой для больших лагов.

• График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага называется коррелограммой. Коррелограмма визуализирует АКФ, позволяя быстро оценить наличие и характер автокорреляции.
  • Если на коррелограмме коэффициенты автокорреляции быстро убывают до нуля, это свидетельствует о стационарности ряда.
  • Медленное убывание коэффициентов указывает на наличие тренда или другой нестационарности.
  • Периодические всплески на коррелограмме указывают на наличие сезонности.
• Функция частичной автокорреляции (ЧАКФ): В отличие от АКФ, которая измеряет общую корреляцию между Y_t и Y_t-k (включая влияние промежуточных значений), ЧАКФ измеряет корреляцию между Y_t и Y_t-k, исключая влияние всех промежуточных наблюдений (Y_t-1, …, Y_t-k+1). ЧАКФ помогает определить прямой эффект прошлых значений на текущее. ЧАКФ также используется для определения параметров моделей ARIMA, особенно порядка авторегрессионной части (p).

Интерпретация АКФ и ЧАКФ требует определенного опыта, но является незаменимым шагом для правильного выбора и настройки эконометрических моделей.

Тесты на стационарность

Как мы уже выяснили, стационарность – это критически важное свойство временного ряда для большинства классических статистических методов. Но как определить, является ли ряд стационарным или нестационарным? Визуальный анализ коррелограммы дает лишь предварительные подсказки, но для строгого заключения необходимы формальные статистические тесты.

Эти тесты проверяют гипотезу о наличии единичных корней (unit roots) в авторегрессионной модели ряда. Наличие единичного корня означает нестационарность.

1. Критерий Дики-Фуллера (Augmented Dickey-Fuller test, ADF)
Критерий Дики-Фуллера является одним из наиболее широко используемых тестов на стационарность. Он тестирует нулевую гипотезу H₀: временной ряд имеет единичный корень (то есть он нестационарен), против альтернативной гипотезы H₁: временной ряд стационарен.

Тест ADF основан на регрессии вида:

ΔYt = α + β ⋅ t + γ ⋅ Yt-1 + Σi=1p δi ⋅ ΔYt-i + εt

где ΔY_t = Y_t — Y_t-1, t – временной тренд, p – порядок авторегрессии, а ε_t – белый шум.
Нулевая гипотеза H₀: γ = 0 (ряд имеет единичный корень, нестационарен).
Альтернативная гипотеза H₁: γ < 0 (ряд стационарен).

Для принятия решения используется ADF-статистика, которая сравнивается с критическими значениями. Если p-значение (вероятность ошибки) теста меньше заданного уровня значимости (например, 0.05), то нулевая гипотеза отвергается, и мы заключаем, что ряд стационарен. В противном случае, ряд считается нестационарным.

2. Тест Кватковского-Филлипса-Шмидта-Шина (Kwatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test, KPSS)
Тест KPSS является дополнением к ADF-тесту, поскольку его нулевая и альтернативная гипотезы инвертированы.
Нулевая гипотеза H₀: временной ряд стационарен.
Альтернативная гипотеза H₁: временной ряд нестационарен (имеет единичный корень или детерминированный тренд).

Такая инверсия гипотез важна:

• Если ADF не отвергает H₀ (ряд нестационарен), а KPSS не отвергает H₀ (ряд стационарен), это указывает на смешанные результаты, требующие дальнейшего изучения.
• Если ADF отвергает H₀ (ряд стационарен), а KPSS не отвергает H₀ (ряд стационарен), это сильное подтверждение стационарности.
• Если ADF не отвергает H₀ (ряд нестационарен), а KPSS отвергает H₀ (ряд нестационарен), это сильное подтверждение нестационарности.

Оба теста дают информацию о наличии единичных корней, но с разных сторон, что позволяет более комплексно оценить стационарность временного ряда. В случае выявления нестационарности, ряд необходимо преобразовать, прежде чем применять эконометрические модели.

Эконометрические модели для прогнозирования временных рядов

После того как временной ряд проанализирован, очищен от шумов и, при необходимости, приведен к стационарному виду, наступает время для построения эконометрических моделей. Именно эти модели позволяют перевести выявленные закономерности в математические формулы и использовать их для прогнозирования будущих значений ряда.

Модели авторегрессии (AR) и скользящего среднего (MA)

Эти две модели являются базовыми кирпичиками для большинства современных эконометрических моделей временных рядов.

1. Модели авторегрессии (AR — Autoregressive)
Модели AR используются для стационарных рядов и предполагают, что прогнозируемое значение является линейной комбинацией прошлых значений этого же ряда и случайной ошибки. Идея проста: будущее значение ряда зависит от его собственных предыдущих значений. Порядок модели AR(p) указывает на количество прошлых значений, которые используются для прогнозирования.

Математическое описание модели AR(p):

Xt = c + φ1 Xt-1 + φ2 Xt-2 + ... + φp Xt-p + εt

где:

• X_t – текущее значение временного ряда.
• c – константа.
• φ₁, …, φ_p – авторегрессионные коэффициенты, измеряющие влияние прошлых значений на текущее.
• X_t-1, …, X_t-p – значения ряда в предыдущие периоды (лаги).
• ε_t – случайная ошибка (белый шум), предполагается, что она не коррелирована с прошлыми значениями ряда.

Для оценки коэффициентов модели AR(p) может быть применен обычный метод наименьших квадратов (МНК), который дает состоятельные и асимптотически нормальные оценки при определенных условиях, например, при условии стационарности.

2. Модели скользящего среднего (MA — Moving Average)
Модели MA также применяются к стационарным рядам, но их принцип отличается. Они предполагают, что прогнозируемое значение является линейной комбинацией наблюдавшихся ранее значений случайных ошибок (шоков). То есть, текущее значение ряда зависит не от прошлых значений самого ряда, а от прошлых «неожиданностей» или «шумов». Порядок модели MA(q) указывает на количество прошлых ошибок, которые учитываются.

Математическое описание модели MA(q):

Xt = μ + εt + θ1 εt-1 + θ2 εt-2 + ... + θq εt-q

где:

• X_t – текущее значение временного ряда.
• μ – среднее значение ряда.
• ε_t – текущая случайная ошибка.
• θ₁, …, θ_q – коэффициенты скользящего среднего, измеряющие влияние прошлых ошибок.
• ε_t-1, …, ε_t-q – случайные ошибки в предыдущие периоды (лаги).

Модели MA часто используются для описания краткосрочных зависимостей или «шумовых» эффектов, которые быстро затухают со временем.

Модели ARMA и ARIMA

Объединение AR и MA моделей привело к созданию более мощных и гибких инструментов для анализа временных рядов.

1. Модели ARMA (Autoregressive Moving Average)
Модели ARMA объединяют компоненты AR и MA. Они применяются к стационарным временным рядам и позволяют учесть как зависимость от прошлых значений самого ряда, так и от прошлых ошибок. Модель ARMA(p, q) указывает на порядок авторегрессионной части (p) и порядок скользящего среднего (q).

Математическое описание модели ARMA(p, q):

Xt = c + φ1 Xt-1 + ... + φp Xt-p + εt + θ1 εt-1 + ... + θq εt-q

Модели ARMA являются мощным инструментом для описания стационарных процессов, но что делать, если ряд нестационарен?

2. Модель ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average)
Модель ARIMA является расширенной версией ARMA, которая включает компонент интегрирования (I). Этот компонент предназначен для приведения нестационарного ряда к стационарному виду путем дифференцирования.
Дифференцирование – это процесс вычитания из каждого значения ряда его предыдущего значения. Однократное дифференцирование (ΔY_t = Y_t — Y_t-1) помогает убрать линейный тренд. Двукратное дифференцирование – квадратичный тренд.

В обозначениях Бокса-Дженкинса модель ARIMA записывается как АРПСС (p, d, q), где:

• p – порядок авторегрессии (количество прошлых значений ряда).
• d – порядок разности (интегрирования), указывающий, сколько раз ряд был продифференцирован для достижения стационарности.
• q – порядок скользящего среднего (количество прошлых ошибок).

Таким образом, ARIMA(p, d, q) – это модель ARMA(p, q), примененная к ряду, который был продифференцирован d раз. Это позволяет применять методы, разработанные для стационарных рядов, к изначально нестационарным данным, что делает ARIMA универсальным инструментом для прогнозирования большинства экономических временных рядов. Более подробно о методологии построения можно прочитать в разделе Методология Бокса-Дженкинса.

Методология Бокса-Дженкинса

Методология Бокса-Дженкинса – это систематический и итеративный подход к построению моделей ARIMA, который стал золотым стандартом в анализе временных рядов. Она состоит из четырех последовательных процедур, которые позволяют выбрать оптимальную модель для конкретного временного ряда.

1. Идентификация модели
На этом этапе определяется порядок (p, d, q) модели ARIMA.

• Определение d (порядка интегрирования): Визуальный анализ ряда и тесты на стационарность (ADF, KPSS) используются для определения необходимости дифференцирования и его порядка. Если ряд нестационарен, его дифференцируют до тех пор, пока он не станет стационарным. Число дифференцирований и будет d.
• Определение p (порядка авторегрессии) и q (порядка скользящего среднего): Для этого анализируются коррелограммы АКФ и ЧАКФ стационаризованного ряда.
  • Если АКФ быстро убывает, а ЧАКФ имеет значимые всплески на первых p лагах, а затем резко обрывается до нуля, это указывает на AR(p) модель. Порядок p определяется количеством значимых всплесков ЧАКФ.
  • Если ЧАКФ быстро убывает, а АКФ имеет значимые всплески на первых q лагах, а затем резко обрывается до нуля, это указывает на MA(q) модель. Порядок q определяется количеством значимых всплесков АКФ.
  • Если обе функции (АКФ и ЧАКФ) медленно убывают, но не обрываются резко, это может указывать на комбинированную ARMA(p, q) модель. В этом случае требуется более тщательный анализ и, возможно, тестирование нескольких вариантов моделей.

2. Оценивание параметров
После идентификации потенциальных порядков (p, d, q) модели, необходимо оценить ее коэффициенты (φ и θ).

• Для оценки коэффициентов модели AR(p) (X_t = c + φ₁ X_t-1 + … + φ_p X_t-p + ε_t) может быть применен обычный метод наименьших квадратов (МНК), который дает состоятельные и асимптотически нормальные оценки при определенных условиях.
• Для моделей MA и ARMA/ARIMA, где в уравнении присутствуют ненаблюдаемые ошибки (ε_t), МНК в его стандартном виде неприменим. В таких случаях используются более сложные методы, такие как метод максимального правдоподобия или процедуры поиска на сетке (grid search). Эти методы итеративно подбирают параметры, которые максимизируют вероятность наблюдения фактических данных.

3. Диагностика построенной модели (проверка адекватности)
Этот этап критически важен для подтверждения того, что выбранная модель адекватно описывает данные. Основная задача – убедиться, что остатки модели (разница между фактическими и прогнозируемыми значениями) ведут себя как белый шум, то есть не содержат никакой оставшейся информации или структуры.

• Анализ коррелограммы остатков: Если остатки являются белым шумом, их АКФ и ЧАКФ должны быть статистически незначимы для всех лагов.
• Q-тесты (например, тест Льюнга-Бокса): Эти тесты проверяют нулевую гипотезу о том, что остатки являются белым шумом. Если p-значение теста больше уровня значимости, нулевая гипотеза не отвергается, и остатки считаются белым шумом.
• Нормальность остатков: Часто проверяется предположение о нормальном распределении остатков.

Если модель не проходит диагностические тесты, необходимо вернуться на этап идентификации и рассмотреть другие варианты порядков (p, d, q).

4. Использование модели для прогнозирования
После успешной диагностики модель считается адекватной и может быть использована для построения прогнозов будущих значений ряда. Прогнозы могут быть точечными (одно значение) или интервальными (диапазон значений с определенной вероятностью).

Методология Бокса-Дженкинса, несмотря на свою трудоемкость, обеспечивает высокую надежность и точность при прогнозировании стационарных и стационаризованных временных рядов, что позволяет принимать более обоснованные решения в условиях неопределенности.

Сезонные модели ARIMA (SARIMA)

В реальном мире многие экономические временные ряды, помимо общего тренда и случайных колебаний, демонстрируют четко выраженную сезонность. Например, ежемесячные продажи прохладительных напитков всегда будут выше летом, а продажи отопительных приборов – зимой. Обычные модели ARIMA(p, d, q) могут справиться с общей нестационарностью, но они не всегда оптимально учитывают регулярные сезонные всплески и падения.

Именно для таких случаев разработаны сезонные модели ARIMA (SARIMA). Модель SARIMA расширяет концепцию ARIMA, добавляя сезонные компоненты авторегрессии, интегрирования и скользящего среднего.

Модель SARIMA записывается как ARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_s, где:

• (p, d, q) – несезонные порядки (авторегрессии, интегрирования, скользящего среднего), как в обычной ARIMA.
• (P, D, Q) – сезонные порядки:
  • P – порядок сезонной авторегрессии. Отражает зависимость текущего сезонного значения от значений того же сезона в прошлые годы (например, продажи в текущем январе от продаж в январе прошлого года).
  • D – порядок сезонного интегрирования. Указывает, сколько раз было проведено сезонное дифференцирование для устранения сезонной нестационарности. Сезонное дифференцирование – это вычитание из текущего значения ряда значения, полученного s периодов назад (например, Y_t — Y_t-s).
  • Q – порядок сезонного скользящего среднего. Отражает зависимость текущего сезонного значения от сезонных ошибок в прошлые периоды.
• s – длина сезонного периода (например, 12 для месячных данных, 4 для квартальных).

Принципы работы SARIMA:

1. Сезонное дифференцирование (D): Если на коррелограмме (АКФ) наблюдаются значимые всплески на лагах, кратных сезонному периоду (s, 2s, 3s и т.д.), это указывает на сезонную нестационарность. Проводится сезонное дифференцирование ряда.
2. Несезонное дифференцирование (d): После сезонного дифференцирования проверяется обычная нестационарность и, при необходимости, применяется несезонное дифференцирование.
3. Идентификация сезонных порядков (P, Q): Аналогично несезонным порядкам, но теперь анализируются всплески на коррелограммах (АКФ и ЧАКФ) на сезонных лагах (s, 2s, 3s и т.д.).
4. Идентификация несезонных порядков (p, q): После устранения сезонных эффектов, анализируются коррелограммы на несезонных лагах для определения p и q.

SARIMA-модели являются мощным инструментом для прогнозирования экономических показателей с ярко выраженной сезонностью, позволяя более точно моделировать их поведение и получать более надежные прогнозы.

Показатели рядов динамики и методы расчета

Глубокий статистический анализ временных рядов начинается с детального изучения их динамических характеристик. Эти показатели, по сути, являются первой ступенью к пониманию «поведения» ряда, позволяя количественно оценить его изменения во времени.

Детальный анализ показателей динамики

Анализ рядов динамики – это фундаментальный этап, позволяющий охарактеризовать интенсивность изменения уровней ряда во времени. Показатели могут быть цепными (сравнение с предыдущим периодом) или базисными (сравнение с первым или выбранным базовым периодом).

Рассмотрим каждый показатель с подробными формулами:

1. Абсолютный прирост (Δy)

Абсолютный прирост показывает, на сколько единиц изменился уровень ряда. Он измеряется в тех же единицах, что и сам ряд.

• Цепной абсолютный прирост (Δy_цi): Разница между значением текущего уровня (y_i) и предыдущего уровня (y_i-1).

Δyцi = yi - yi-1

• Базисный абсолютный прирост (Δy_бi): Разница между значением текущего уровня (y_i) и уровнем базового периода (y₀).

Δyбi = yi - y0

Важно отметить, что сумма цепных абсолютных приростов равна базисному абсолютному приросту за тот же период: ΣΔy_цi = Δy_бn = y_n — y₀.

• Средний абсолютный прирост (Δȳ): Обобщенная характеристика индивидуальных абсолютных приростов. Он показывает, на сколько в среднем увеличивался или уменьшался уровень ряда за один период.

Δȳ = (yn - y1) / (n - 1)

где y_n — конечный уровень ряда, y₁ — начальный уровень ряда, n — количество уровней в ряду.

2. Темпы роста (коэффициент роста, индекс динамики) (T_р)

Темпы роста показывают, во сколько раз изменился текущий уровень по сравнению с предыдущим или базисным. Могут выражаться в долях (коэффициенты роста) или в процентах.

• Цепной темп роста (T_рцi): Отношение текущего уровня (y_i) к предыдущему (y_i-1).

В долях: Kцi = yi / yi-1
В процентах: Tрцi = (yi / yi-1) ⋅ 100%

• Базисный темп роста (T_рбi): Отношение текущего уровня (y_i) к базисному (y₀).

В долях: Kбi = yi / y0
В процентах: Tрбi = (yi / y0) ⋅ 100%

Произведение цепных коэффициентов роста равно базисному коэффициенту роста за тот же период: ΠK_цi = K_бn = y_n / y₀.

3. Темпы прироста (T_пр)

Темпы прироста показывают, на сколько процентов текущий уровень больше или меньше предыдущего/базисного.

• Цепной темп прироста (T_прцi):

Tпрцi = ((yi - yi-1) / yi-1) ⋅ 100%

• Базисный темп прироста (T_прбi):

Tпрбi = ((yi - y0) / y0) ⋅ 100%

• Также темп прироста может быть найден как:

Tпр = Tр - 100% (если темп роста Tр выражен в процентах)
Tпр = Kр - 1 (если коэффициент роста Kр выражен в долях)

• Средний темп роста (K_ср.р): Обобщающая характеристика динамики, рассчитывается как средняя геометрическая из цепных коэффициентов роста.

Kср.р = (n-1)√ (Kц1 ⋅ Kц2 ⋅ ... ⋅ Kц(n-1))

Или, что эквивалентно:

Kср.р = (n-1)√ (yn / y1)

Средний темп роста в процентах: T_ср.р = K_ср.р ⋅ 100%.

• Средний темп прироста (T_ср.пр):

Tср.пр = Tср.р - 100% (если средний темп роста Tср.р выражен в процентах).

4. Абсолютное значение одного процента прироста (1% Δy)

Эта величина показывает, какой абсолютный прирост соответствует одному проценту роста. Позволяет перевести относительные показатели в абсолютные, что удобно для экономического анализа.

• Оно может быть рассчитано как:

1% Δy = Δy / Tпр (где Tпр — темп прироста в процентах).

• Альтернативно, абсолютное значение одного процента прироста равно сотой части предыдущего уровня для цепного расчета или базисного уровня для базисного расчета:

1% Δyцi = 0.01 ⋅ yi-1
1% Δyбi = 0.01 ⋅ y0

5. Средний уровень ряда динамики

Метод расчета среднего уровня зависит от типа ряда: интервального или моментного.

• Средний уровень интервального ряда: Данные относятся к периоду времени (например, месячный объем продаж, годовая прибыль).
  • Для интервальных рядов с равными периодами времени (например, ежегодные данные):

ȳ = (Σyi) / n

• Для интервальных рядов с неравными интервалами (или когда уровни известны за разные периоды, например, квартальные данные разной длительности):

ȳ = (Σ(yi ⋅ fi)) / (Σfi)

где y_i — уровень ряда за i-й период, f_i — длительность i-го периода.

• Средний уровень моментного ряда: Данные относятся к конкретным моментам времени (например, численность населения на 1 января, остатки на счетах на конец месяца).
  • Для моментных рядов с равными интервалами между датами (например, на начало каждого месяца): Применяется средняя хронологическая простая:

ȳ = ((y1 / 2) + Σi=2n-1 yi + (yn / 2)) / (n - 1)

где y₁ — первый уровень ряда, y_n — последний уровень ряда, y_i — промежуточные уровни, n — количество уровней в ряду.

• Для моментных рядов с неравномерно расположенными уровнями (например, остатки на счетах на разные, нерегулярные даты): Используется средняя хронологическая взвешенная:

ȳ = (Σ(((yi + yi+1) / 2) ⋅ ti)) / (Σti)

где y_i и y_i+1 — последовательные уровни ряда, t_i — длительность интервала времени между моментами измерения y_i и y_i+1.

Эти детальные формулы и их интерпретация являются фундаментом для любого серьезного анализа временных рядов, позволяя студенту не только вычислить, но и глубоко понять смысл каждого показателя.

Приведение нестационарных временных рядов к стационарности

Представьте, что вы пытаетесь построить дом на зыбучих песках – конструкция будет нестабильной и ненадежной. Аналогично, большинство классических методов статистического анализа временных рядов требуют, чтобы данные были «стационарными» – то есть имели постоянные статистические свойства во времени. Однако большая часть реальных экономических рядов, таких как цены на акции, ВВП или объемы продаж, являются нестационарными. Поэтому приведение временного ряда к стационарному виду – это не просто техническая процедура, а критически важное условие для корректного и надежного прогнозирования.

Методы трансформации

Цель трансформации – устранить тренд, сезонность и стабилизировать дисперсию, чтобы среднее значение и вариация ряда стали постоянными.

1. Дифференцирование ряда
Это наиболее распространенный и эффективный метод для удаления тренда. Он заключается в вычитании из каждого значения ряда его предыдущего значения.

• Обычное дифференцирование (разность первого порядка): Устраняет линейный тренд.

Δyt = yt - yt-1

Если ряд все еще нестационарен после однократного дифференцирования, может потребоваться двукратное дифференцирование (разность второго порядка) для удаления, например, квадратичного тренда.

Δ2yt = Δyt - Δyt-1 = (yt - yt-1) - (yt-1 - yt-2) = yt - 2yt-1 + yt-2

• Сезонное дифференцирование ряда: Используется для снятия сезонности. Если ряд имеет сезонный период s (например, 12 для месячных данных), то сезонное дифференцирование заключается в вычитании из текущего значения ряда значения, полученного s периодов назад.

Δsyt = yt - yt-s

Например, для месячных данных, Δ₁₂y_t = y_t — y_t-12 удаляет сезонность, сравнивая текущий месяц с тем же месяцем прошлого года.

2. Логарифмические преобразования
Логарифмирование ряда (например, ln(y_t)) часто используется для двух целей:

• Уменьшение трендовой составляющей: Если ряд имеет экспоненциальный тренд (растет с постоянно увеличивающимся темпом), логарифмирование может превратить его в линейный тренд, который затем можно убрать с помощью дифференцирования.
• Стабилизация дисперсии: Если дисперсия ряда увеличивается по мере роста его уровня (что часто наблюдается в экономических рядах), логарифмирование может сделать ее более постоянной, что является важным свойством стационарности. Преобразование y_t → ln(y_t) эффективно переводит мультиплитивную модель временного ряда в аддитивную: ln(T ⋅ K ⋅ S ⋅ E) = ln(T) + ln(K) + ln(S) + ln(E).

3. Преобразование Бокса-Кокса (Box-Cox Transformation)
Преобразование Бокса-Кокса — это более общий класс преобразований, который включает логарифмирование как частный случай. Оно позволяет найти оптимальное степенное преобразование для ряда, которое наилучшим образом стабилизирует его дисперсию и нормализует распределение.

y(λ) = (yλ - 1) / λ при λ ≠ 0
y(λ) = ln(y) при λ = 0

Параметр λ (лямбда) подбирается таким образом, чтобы минимизировать дисперсию ряда или максимизировать его нормальность. Это преобразование особенно полезно, когда простая логарифмическая трансформация недостаточно эффективна.

4. Декомпозиция временных рядов
Хотя декомпозиция (разделение на трендовые, сезонные и циклические компоненты) сама по себе не является методом стационаризации в строгом смысле, она может быть использована как предварительный шаг. После выделения и удаления тренда и сезонности из исходного ряда, оставшиеся случайные колебания (или остатки) могут быть более близки к стационарному процессу, к которому затем применяются ARMA-модели.

Ограничения и осторожность при преобразованиях

Несмотря на эффективность, преобразования временных рядов требуют осторожности:

• Искажение значений ряда: Применение дифференцирования или логарифмирования изменяет исходную шкалу данных. Это означает, что прогнозы, полученные для преобразованного ряда, должны быть «обратно преобразованы», чтобы иметь смысл в исходных единицах измерения. Неправильное обратное преобразование может привести к некорректным результатам.
• Потеря информации: Чрезмерное дифференцирование может привести к потере ценной информации о долгосрочных зависимостях в ряду, особенно если тренд является стохастическим, а не детерминированным.
• Сложность интерпретации: Интерпретация коэффициентов модели, построенной на преобразованном ряде, становится менее интуитивной. Например, коэффициенты ARIMA-модели на дифференцированном ряде показывают влияние изменений, а не абсолютных значений.
• Выбор λ в Боксе-Коксе: Неверный выбор параметра λ может не только не улучшить, но и ухудшить свойства ряда, делая его еще менее подходящим для моделирования.

Таким образом, приведение временного ряда к стационарности – это баланс между необходимостью применения классических методов и риском искажения данных. Всегда следует тщательно анализировать результаты тестов на стационарность и выбирать наименее инвазивные преобразования, которые достигают желаемого эффекта.

Процесс прогнозирования и оценка точности

Прогнозирование – это конечная цель большинства аналитических упражнений с временными рядами. Однако это не просто «построение модели», а многоступенчатый процесс, требующий тщательного подхода на каждом этапе, начиная от подготовки данных и заканчивая оценкой надежности полученных предсказаний.

Этапы построения прогнозов

Процесс прогнозирования на основе временных рядов можно представить в виде последовательности ключевых этапов:

1. Предварительный анализ данных:
Это фундамент всего процесса. Прежде чем строить какие-либо модели, необходимо глубоко изучить исходные данные.

• Визуализация ряда: Построение графиков ряда динамики позволяет увидеть общую тенденцию, наличие сезонности, цикличности и аномалий.
• Выявление аномальных наблюдений (выбросов): Аномальные значения могут сильно исказить параметры модели и привести к неточным прогнозам. Для их выявления может использоваться метод Ирвина, который основан на сравнении отклонения каждого уровня ряда от среднего арифметического с соответствующим среднеквадратическим отклонением. Если отклонение превышает определенный порог (например, 2 или 3 среднеквадратических отклонения), уровень считается аномальным. Такие выбросы могут быть сглажены, заменены интерполированными значениями или исключены из анализа.
• Проверка наличия тренда и сезонности: Используются как визуальные методы (графики), так и статистические тесты (например, ADF, KPSS для тренда; автокорреляционный анализ для сезонности).
• Расчет показателей динамики: Как подробно описано ранее, абсолютные приросты, темпы роста, средние уровни дают первичное понимание характера изменений в ряду.
• Сглаживание временных рядов: Применение методов скользящего среднего или экспоненциального сглаживания для очистки ряда от шума и выделения основных компонент.

2. Построение моделей:
На этом этапе выбирается и строится подходящая эконометрическая модель.

• Выбор класса моделей: На основе предварительного анализа (стационарность, наличие тренда/сезонности) выбирается соответствующий класс моделей (например, экспоненциальное сглаживание, ARIMA, SARIMA).
• Идентификация параметров: С использованием автокорреляционного анализа (АКФ, ЧАКФ) и тестов на стационарность определяются порядки модели (p, d, q для ARIMA).
• Оценивание параметров: Коэффициенты модели оцениваются с использованием методов, таких как МНК или метод максимального правдоподобия.

3. Оценка качества моделей (диагностика):
После построения модели необходимо убедиться в ее адекватности.

• Анализ остатков: Проверка остатков модели на отсутствие автокорреляции, нормальность распределения и гомоскедастичность (постоянство дисперсии). Q-тесты (Льюнга-Бокса) используются для проверки гипотезы о том, что остатки являются белым шумом.
• Сравнительный анализ: Если построено несколько конкурирующих моделей, их качество сравнивается с помощью информационных критериев (например, AIC, BIC) или метрик точности прогноза на тестовой выборке.

4. Построение прогнозов:
Если модель признана адекватной, можно переходить к прогнозированию.

• Точечный прогноз: Одно конкретное значение показателя на будущий период.
• Интервальный прогноз: Диапазон значений, в пределах которого с определенной вероятностью (например, 95%) будет находиться фактическое значение. Интервальные прогнозы дают представление о неопределенности будущего и являются более информативными.

Метрики оценки точности прогнозов

Оценка точности прогнозов – это критически важный шаг, который позволяет понять, насколько хорошо модель предсказывает будущее и, следовательно, насколько ей можно доверять. Существуют различные метрики, каждая из которых имеет свои преимущества и недостатки.

Пусть y_actual – фактическое значение, y_predicted – прогнозируемое значение, n – количество наблюдений.

1. Средняя квадратичная ошибка (Mean Squared Error, MSE)

• Формула:

MSE = (1/n) ⋅ Σ(yactual - ypredicted)2

• Описание: MSE измеряет среднее арифметическое квадратов разностей между фактическими и прогнозируемыми значениями. Она сильно наказывает за большие ошибки, так как они возводятся в квадрат.
• Особенность: Измеряется в квадратах единиц исходного ряда, что затрудняет интерпретацию.

2. Корень из средней квадратичной ошибки (Root Mean Squared Error, RMSE)

• Формула:

RMSE = √MSE

• Описание: RMSE — это квадратный корень из MSE. Она возвращает ошибку в тех же единицах, что и исходный ряд, делая ее более интерпретируемой.
• Особенность: Как и MSE, RMSE чувствительна к выбросам и большим ошибкам. Чем ниже RMSE, тем лучше прогноз.

3. Средняя абсолютная ошибка (Mean Absolute Error, MAE)

• Формула:

MAE = (1/n) ⋅ Σ|yactual - ypredicted|

• Описание: MAE показывает среднюю абсолютную ошибку в тех же единицах, что и исходный ряд. Она измеряет среднюю величину ошибок без учета их направления.
• Особенность: Менее чувствительна к выбросам, чем MSE/RMSE, поскольку ошибки не возводятся в квадрат. Позволяет интуитивно оценить, насколько в среднем модель ошибается.

4. Средняя абсолютная процентная ошибка (Mean Absolute Percentage Error, MAPE)

• Формула:

MAPE = (1/n) ⋅ Σ(|yactual - ypredicted| / yactual) ⋅ 100%

• Описание: MAPE выражает ошибку в процентах от реальных значений. Она особенно полезна для бизнес-интерпретации, когда важно понимать относительное отклонение прогноза.
• Особенность: Легко интерпретируется как «средняя процентная ошибка». Однако, имеет ограничения: неприменима, если фактические значения y_actual равны нулю, и может быть некорректно высокой при очень малых значениях y_actual. Также имеет асимметричное наказание за ошибки: недооценка на 100% возможна (прогноз 0 при фактическом 100), а переоценка на 100% означает прогноз 200 при фактическом 100, что ограничивает ее сверху.

Выбор метрики зависит от специфики задачи и требований к интерпретации. Часто используют несколько метрик для всесторонней оценки.

Надежность прогнозов

Помимо точности, не менее важна надежность прогнозов. Она включает в себя два аспекта:

• Точность прогноза (оценка доверительного интервала): Это ширина интервального прогноза. Чем уже доверительный интервал при заданном уровне вероятности (например, 95%), тем точнее считается прогноз. Однако, чрезмерно узкий интервал может быть признаком недооценки неопределенности.
• Достоверность прогноза (оценка вероятности осуществления прогноза): Это вероятность того, что фактическое значение попадет в предсказанный интервал. Если, например, 95% доверительный интервал строится на основе модели, которая не адекватно отражает процесс, фактическое значение может выходить за его пределы гораздо чаще, чем в 5% случаев.

Особенности прогнозирования:

• Короткие временные ряды: Прогнозирование на основе коротких временных рядов (например, менее 30-50 наблюдений) является сложной задачей, поскольку в них может быть недостаточно информации для надежного выявления трендов и сезонности. Для таких рядов следует анализировать как точечный, так и интервальный прогноз, и быть особенно осторожным в выводах.
• Горизонт прогнозирования: Прогнозирование на большой горизонт (далеко в будущее) допустимо только для выявления общей тенденции, но не для получения точных точечных значений. Чем дальше горизонт, тем шире становятся доверительные интервалы, отражая возрастающую неопределенность. Краткосрочные прогнозы, как правило, более точны.

Правильное понимание и применение этих этапов и метрик позволяет создавать обоснованные и надежные прогнозы, которые могут быть успешно использованы для принятия решений.

Практическое применение анализа временных рядов и интерпретация результатов

Статистический анализ временных рядов – это не просто набор математических формул и тестов; это мощный аналитический инструментарий, который находит свое применение в самых разнообразных областях, от академических исследований до практического бизнеса. Способность корректно интерпретировать полученные результаты превращает сырые данные в ценные инсайты для принятия стратегических и тактических решений.

Области применения и примеры

Прогнозирование временных рядов является одной из наиболее популярных аналитических задач, поскольку динамические процессы пронизывают практически все сферы человеческой деятельности.

1. Финансы и инвестиции:
   • Прогнозирование цен на акции, валютных курсов, цен на сырье: Анализ временных рядов помогает инвесторам принимать решения о покупке/продаже активов, хеджировании рисков. Например, SARIMA-модели могут прогнозировать волатильность рынка.
   • Прогнозирование процентных ставок: Центральные банки и коммерческие банки используют эти прогнозы для формирования денежно-кредитной политики и управления портфелями.
2. Производство и логистика:
   • Прогнозирование спроса на товары: Одно из самых распространенных применений. Точный прогноз спроса позволяет оптимизировать запасы, планировать производственные мощности, избегать дефицита или избытка товаров. Например, в ритейле AI может автоматически анализировать продажи за несколько лет, выявлять тренд, игнорируя сезонные всплески и падения, что позволяет компаниям более точно оценивать спрос.
   • Прогнозирование потребления электроэнергии: Энергетические компании используют эти данные для эффективного управления сетями, планирования производства и распределения ресурсов.
3. Социальные и экономические исследования:
   • Прогнозирование ВВП, инфляции, уровня безработицы: Правительства и международные организации используют эти прогнозы для разработки экономической политики и оценки ее эффективности.
   • Демографическое прогнозирование: Изменение численности населения, рождаемости, смертности.
   • Прогнозирование климатических изменений: Анализ температурных рядов, осадков, уровня моря.
4. Маркетинг и потребительское поведение:
   • Прогнозирование объемов продаж: Позволяет планировать рекламные кампании, бюджеты и маркетинговые стратегии.
   • Анализ эффективности акций и кампаний: Оценка влияния маркетинговых усилий на динамику продаж.

Использование статистического программного обеспечения (на примере STATISTICA)

Для практического применения методов анализа временных рядов необходимы специализированные программные инструменты. Одной из наиболее известных и широко используемых в академической среде систем является STATISTICA. Она представляет собой комплексную систему статистического анализа и обработки данных, которая включает в себя мощный модуль «Time Series Analysis/Forecasting».

Этот модуль предоставляет широкий спектр методов для работы с временными рядами:

• Модели ARIMA и SARIMA: Полная реализация методологии Бокса-Дженкинса, включая идентификацию, оценивание, диагностику и прогнозирование.
• Экспоненциальное сглаживание и прогнозирование: Поддержка одинарного, двойного и тройного (Хольта-Винтерса) экспоненциального сглаживания с автоматическим или ручным подбором параметров.
• Сезонная декомпозиция: Разложение ряда на тренд, сезонность и остатки.
• Автокорреляционный и частичный автокорреляционный анализ: Построение коррелограмм и расчет функций для идентификации моделей.
• Спектральный (Фурье) анализ: Для выявления скрытых циклических компонент в ряду.
• Анализ распределенных лагов: Моделирование влияния прошлых значений одной переменной на текущие значения другой.

Типичные этапы работы со STATISTICA для прогнозирования временных рядов:

1. Загрузка и предварительный просмотр данных: Импорт данных в формат STATISTICA, визуальный анализ графиков ряда.
2. Восстановление пропущенных данных: Если в ряду есть пропуски, STATISTICA предлагает различные методы интерполяции (линейная, сплайны, скользящее среднее).
3. Преобразование ряда к стационарному виду: Использование функций дифференцирования (обычного и сезонного), логарифмирования, преобразования Бокса-Кокса, встроенных в модуль. Проверка стационарности с помощью тестов (ADF, KPSS).
4. Идентификация модели: Анализ автокорреляционных и частичных автокорреляционных функций стационаризованного ряда для определения порядков p, d, q (и P, D, Q для SARIMA).
5. Оценка параметров модели: STATISTICA автоматически оценивает коэффициенты выбранной модели (например, методом максимального правдоподобия).
6. Проверка адекватности модели (диагностика): Анализ остатков на «белый шум» с помощью коррелограмм остатков и Q-тестов Льюнга-Бокса.
7. Прогноз по модели: Построение точечных и интервальных прогнозов на заданный горизонт.

Современные подходы: AI и нейросетевые технологии

Классические эконометрические модели, такие как ARIMA, хорошо справляются с линейными зависимостями и стационарными рядами. Однако многие реальные экономические процессы характеризуются сложными нелинейными отношениями, которые трудно уловить традиционными методами. Здесь на помощь приходят современные подходы, основанные на искусственном интеллекте (AI) и нейросетевых технологиях.

• Рекуррентные нейронные сети (RNN): Эти сети специально разработаны для обработки последовательных данных. Их особый вид – сети с долгой краткосрочной памятью (Long Short-Term Memory, LSTM) – способны «запоминать» зависимости на очень больших временных интервалах, что делает их идеальными для моделирования сложных нелинейных трендов, сезонности и цикличности. LSTM эффективны в работе с неполными данными и способны улавливать долгосрочные зависимости, которые сложно выявить классическими методами.
• Полностью сверточные сети (FCN): Эти сети, заимствованные из области обработки изображений, также находят применение в анализе временных рядов. Они могут эффективно извлекать локальные и глобальные признаки из временного ряда, а их архитектура позволяет обрабатывать данные параллельно.
• Трансформерные архитектуры: Один из наиболее передовых подходов, например, Chronos от Amazon. Эти модели интерпретируют временной ряд как специализированный язык, используя механизмы внимания для выявления наиболее значимых взаимосвязей между различными точками ряда. Трансформеры могут учитывать влияние внешних и сезонных факторов, строя более точные и гибкие прогнозы, особенно при работе с большими и разнообразными наборами временных рядов.

Применение этих технологий позволяет значительно повысить точность прогнозов, особенно в условиях высокой волатильности и нелинейных зависимостей, что крайне актуально, например, в финансовых рынках или при прогнозировании быстро меняющегося потребительского спроса.

Интерпретация результатов для принятия управленческих и экономических решений

Интерпретация результатов анализа временных рядов – это искусство перевода статистических выводов на язык бизнеса и экономики. Именно здесь аналитик демонстрирует свою ценность, превращая цифры в actionable insights.

1. Выявление и понимание трендов:
   • Растущий тренд: Указывает на устойчивый рост показателя (например, продаж, прибыли). Это может быть сигналом для расширения производства, инвестиций, увеличения штата.
   • Падающий тренд: Предупреждает о снижении показателя. Требует анализа причин (например, снижение спроса, усиление конкуренции) и разработки корректирующих мер (оптимизация затрат, пересмотр продуктовой линейки).
   • Стабильный тренд: Позволяет сосредоточиться на оптимизации текущих операций, повышении эффективности.
2. Учет сезонности:
   • Планирование производства и логистики: Знание сезонных пиков и спадов позволяет заранее планировать объемы производства, закупки сырья, распределение персонала, логистические маршруты, избегая дефицита или переизбытка.
   • Маркетинговые кампании: Запуск акций в преддверии сезонного роста спроса или стимулирование спроса в «мертвые» сезоны.
   • Управление запасами: Оптимизация уровня запасов в соответствии с сезонными колебаниями спроса, минимизация затрат на хранение и рисков устаревания.
3. Реагирование на цикличность:
   • Стратегическое планирование: Понимание экономических циклов позволяет компаниям готовиться к фазам спада (накопление резервов, сокращение инвестиций) и использовать фазы подъема для роста и экспансии.
   • Инвестиционные решения: Влияние на решения о долгосрочных инвестициях, слияниях и поглощениях.
4. Оценка точности и надежности прогнозов:
   • Управление рисками: Чем ниже точность прогноза (выше метрики ошибки, шире доверительные интервалы), тем выше риски, связанные с принятием решений на его основе. Это требует создания «подушек безопасности» (больших запасов, гибких планов).
   • Корректировка планов: Если фактические значения значительно отклоняются от прогноза, необходимо оперативно пересматривать планы и корректировать стратегию.
5. Выработка методов воздействия на бизнес-процессы:

   Знание свойств временных рядов не просто констатирует факты, а позволяет выработать конкретные методы воздействия на соответствующие бизнес-процессы для управления ими. Например, если анализ показал, что продажи зависят от рекламных затрат с определенным лагом, то можно оптимизировать бюджеты и время запуска рекламных кампаний для максимизации эффекта.

Таким образом, статистический анализ временных рядов – это мощный инструмент для выявления закономерностей, построения моделей и прогнозирования. Его результаты, будучи грамотно интерпретированными, становятся основой для принятия взвешенных и эффективных управленческих и экономических решений, позволяя компаниям и государствам не просто реагировать на изменения, но и активно формировать свое будущее.

Заключение

Путешествие по миру статистического анализа временных рядов — это погружение в динамику экономики, возможность не только понять прошлое, но и предсказать будущее, лежащее за горизонтом сегодняшних данных. Мы начали с фундаментальных концепций, таких как определение временного ряда и его декомпозиция на тренд, сезонность, цикличность и случайные колебания, осознав, что каждый из этих элементов играет свою уникальную роль в формировании общей картины. Ключевое значение стационарности, ее диагностика и методы приведения нестационарных рядов к стабильному состоянию стали центральными элементами теоретической базы, без которых невозможно построение адекватных эконометрических моделей.

Мы детально рассмотрели богатый инструментарий статистических методов, от базовых показателей рядов динамики с их сложной системой цепных и базисных приростов и темпов, до методов сглаживания, автокорреляционного анализа и статистических тестов на стационарность. Эти методы являются глазами и ушами аналитика, позволяя «прочесть» скрытые сообщения в данных.

Сердцевиной прогностического анализа стали эконометрические модели – от простых AR и MA до комплексных ARIMA и SARIMA, способных учитывать как несезонные, так и сезонные зависимости. Методология Бокса-Дженкинса была представлена как структурированный подход к их построению, включающий идентификацию, оценивание, диагностику и, наконец, прогнозирование.

Особое внимание было уделено практическим аспектам: пошаговому процессу прогнозирования, начиная с тщательного предварительного анализа данных и выявления аномалий, и заканчивая построением точечных и интервальных прогнозов. Мы разобрали ключевые метрики оценки точности прогнозов (MSE, RMSE, MAE, MAPE), подчеркнув их значение для оценки надежности моделей.

В контексте реального мира, мы продемонстрировали широту применения анализа временных рядов в различных отраслях экономики и подробно рассмотрели работу со специализированным программным обеспечением, таким как STATISTICA, как с практическим инструментом. Наконец, мы затронули передовые подходы, такие как AI и нейросетевые технологии (LSTM, трансформеры), показав их потенциал в моделировании сложных нелинейных зависимостей, что открывает новые горизонты для точности прогнозирования.

Для студента экономических специальностей освоение этого материала не просто выполнение требований курсовой работы, а инвестиция в будущую профессиональную деятельность, развитие критически важного навыка превращать массивы данных в обоснованные решения. Понимание механизмов, стоящих за динамикой экономических показателей, позволяет не только прогнозировать, но и активно влиять на бизнес-процессы, формируя эффективные стратегии и тактики. Анализ временных рядов – это язык, на котором говорит будущее, и эта работа призвана помочь его освоить.

Список использованной литературы

1. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2003. 192 с.
2. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Финансы и статистика, 2001.
3. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. М.: ИНФРА-М, 1998.
4. Информационные технологии в статистике / Под ред. А.Н. Романова, В.П. Божко. М.: Финстатинформ, 1995.
5. Луговская Л.В. Эконометрика в вопросах и ответах: учебное пособие. Москва: Проспект, 2005. 208 с.
6. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. 311 с.
7. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. М.: Дело, 2001. 400 с.
8. Кулинич Е.И. Эконометрия. Москва: Финансы и статистика, 2001. 304 с.
9. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. М.: Статистика, 1997.
10. Моргенштерн О. О точности экономико-статистических наблюдений. М.: Статистика, 1968.
11. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. О.Э. Башиной, А.А. Спирина. 5-е изд., доп. и перераб. М.: Финансы и статистика, 2001.
12. Плошко Б.Г. Группировка и системы статистических показателей. М.: Статистика, 1971.
13. Рудакова Р.П. Методические рекомендации по курсу «Статистика». ЛОПИ, СПб., 1996.
14. Суслов И.П. Основы теории достоверности статистических показателей. Новосибирск: СО «Наука», 1979.
15. Четыркин Е.М., Васильева Н.Е. Финансово-экономические расчеты. М.: Финансы и статистика, 1990.
16. Экономическая статистика: Учебник / Под ред. Ю.Н. Иванова. М.: ИНФРА-М, 1998.
17. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2002. 344 с.
18. Временной ряд: что это за последовательность, типы и характеристики. URL: https://habr.com/ru/articles/720070/ (дата обращения: 18.10.2025).
19. MSE, RMSE, MAE, MAPE для оценки качества прогнозов временных рядов. URL: https://machinelearning.guru/mse-rmse-mae-mape-dlja-ocenki-kachestva-prognozov-vremennyh-rjadov-617e171e06fe (дата обращения: 18.10.2025).
20. Основные оценки точности прогнозирования временных рядов. URL: https://matburo.ru/sub_cat.php?id=23 (дата обращения: 18.10.2025).
21. Статистика. Лекция 9: Ряды динамики в статистике. URL: https://www.intuit.ru/studies/courses/102/102/lecture/2816?page=9 (дата обращения: 18.10.2025).
22. Анализ временных рядов Бокса-Дженкинса. URL: https://buklib.net/books/31517-analiz-vremennykh-ryadov-boksa-dzhenkinsa/ (дата обращения: 18.10.2025).
23. Компоненты временных рядов. URL: http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/ms/lec/node25.html (дата обращения: 18.10.2025).
24. Анализ временных рядов: полное руководство для начинающих. URL: https://habr.com/ru/companies/skillfactory/articles/700878/ (дата обращения: 18.10.2025).
25. Обзор методов статистического анализа временных рядов и проблемы, возникающие при анализе нестационарных временных рядов. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/obzor-metodov-statisticheskogo-analiza-vremennyh-ryadov-i-problemy-voznikayuschie-pri-analize-nestatsionarnyh-vremennyh-ryadov (дата обращения: 18.10.2025).
26. Анализ временных рядов. URL: http://statsoft.ru/home/textbook/glosstat/a-v.htm (дата обращения: 18.10.2025).
27. Ряды динамики — лекция по статистике для заочного отделения. URL: https://www.ereport.ru/articles/lectures/stats2/time_series.htm (дата обращения: 18.10.2025).
28. Показатели анализа рядов динамики. URL: https://www.bizlog.ru/books/stat/nivo2/24.php (дата обращения: 18.10.2025).
29. Прогнозирование временных рядов: анализ и применение методов машинного обучения. URL: https://nerd.it/prognozirovanie-vremennyh-ryadov-analiz-i-primenenie-metodov-mashinnogo-obucheniya/ (дата обращения: 18.10.2025).
30. Одномерные временные ряды. Прогнозируемость стационарного временного ряда. URL: http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%80%D1%8F%D0%B4%D1%8B._%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B3%D0%BD%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%80%D1%83%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%B0 (дата обращения: 18.10.2025).
31. Средние показатели ряда динамики. Пример расчета. URL: https://matworld.ru/examples/stat/srednie-pokazateli-rjada-dinamiki.php (дата обращения: 18.10.2025).
32. Прогнозирование — Лекция 5. Методология Бокса-Дженкинса (модели ARIMA). URL: https://www.slideshare.net/guest2a18f4/5-arima-7822554 (дата обращения: 18.10.2025).
33. Анализ временных рядов / Хабр. URL: https://habr.com/ru/companies/otus/articles/732002/ (дата обращения: 18.10.2025).
34. Эконометрия — I: Анализ временных рядов. URL: https://www.hse.ru/data/2010/06/15/1216656461/%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%201.pdf (дата обращения: 18.10.2025).
35. Временные ряды в эконометрических исследованиях. URL: https://www.ekonometrika.ru/articles/ vremennie-ryady/ (дата обращения: 18.10.2025).
36. Выделение компонент временного ряда. URL: https://www.cemi.rssi.ru/old/lab18/pdf/lecture_2_econometrics.pdf (дата обращения: 18.10.2025).
37. Модель авторегрессии скользящего среднего (ARIMA). URL: https://wiki.loginom.ru/articles/model-autoregressii-skolzyashchego-srednego-arima.html (дата обращения: 18.10.2025).
38. Ряды динамики Динамический ряд – это совокупность однородных статис. URL: https://www.rea.ru/ru/org/managements/upr-nauki/Documents/konkurs2015/Mihaleva_V_V.pdf (дата обращения: 18.10.2025).
39. Методы анализа временных рядов: сглаживание. URL: https://www.forside.ru/blog/metody-analiza-vremennyx-ryadov-sglazhivanie/ (дата обращения: 18.10.2025).
40. Лекция 4. Временные ряды в эконометрических исследованиях. URL: https://www.rea.ru/ru/org/managements/upr-nauki/Documents/konkurs2015/lek_4.pdf (дата обращения: 18.10.2025).
41. Моделирование и прогнозирование нестационарных временных рядов. URL: https://www.hse.ru/data/2013/05/29/1299949980/%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D0%B8%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D0%BD%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D0%BD%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D0%B2.pdf (дата обращения: 18.10.2025).
42. Занятие 1. Основы анализа временных рядов. URL: https://praktikum.yandex.ru/trainer/data-scientist/lesson/78393e83-f38b-4022-834c-6a7575ffb969/ (дата обращения: 18.10.2025).
43. Анализ временных рядов — тренд, сезонность, шум. URL: https://k-tree.ru/articles/analiz-vremennykh-ryadov-trend-sezonnost-shum/ (дата обращения: 18.10.2025).
44. Нестационарность (Non-stationarity). URL: https://wiki.loginom.ru/articles/nestacionarnost.html (дата обращения: 18.10.2025).
45. Этапы построения прогноза по временным рядам. URL: https://studfile.net/preview/8086036/ (дата обращения: 18.10.2025).
46. АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМЫ STATISTICA. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=12850949 (дата обращения: 18.10.2025).
47. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ. URL: https://mse.msu.ru/wp-content/uploads/2021/11/%D0%90%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B2_%D0%B8_%D0%B4%D1%80._%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7_%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D0%B2.pdf (дата обращения: 18.10.2025).
48. Аналитика временных рядов. URL: https://yandex.ru/support/handbook/data-analysis/time-series.html (дата обращения: 18.10.2025).
49. Почему мы не считаем MAPE, RMSE и другие математические ошибки при прогнозировании спроса. URL: https://forecastnow.ru/blog/pochemu-my-ne-schitaem-mape-rmse-i-drugie-matematicheskie-oshhibki-pri-prognozirovanii-sprosa (дата обращения: 18.10.2025).
50. 1.3. Типы данных, используемых в эконометрике. URL: https://pro-uchebnik.ru/book/4/32 (дата обращения: 18.10.2025).
51. Эконометрика. Лекция 6: Эконометрика временных рядов. URL: https://www.intuit.ru/studies/courses/102/102/lecture/2819?page=6 (дата обращения: 18.10.2025).
52. 1.2 Статистические методы прогнозирования. URL: https://www.kstu.ru/servlet/contentattach?id=125514 (дата обращения: 18.10.2025).
53. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ В ПАКЕТЕ STATISTICA. URL: http://vital.lib.tsu.ru/vital/access/manager/Repository/vtls:000412853 (дата обращения: 18.10.2025).
54. Ошибка прогнозирования: как рассчитать и применять. URL: https://pravuk.ru/prognozirovanie-prodazh/oshibka-prognozirovaniya-kak-rasschitat-i-primenyat.html (дата обращения: 18.10.2025).
55. Анализ и прогнозирование временных рядов. URL: https://www.osu.ru/sites/default/files/documents/4454/3394_l_r_10_analiz_i_prognozirovanie_vremennyh_ryadov.pdf (дата обращения: 18.10.2025).
56. Muzichina.pdf. URL: https://bsuir.by/m/12_100228_1_90869.pdf (дата обращения: 18.10.2025).
57. Прогнозирование в коротких временных рядах: методологические и методические аспекты. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/prognozirovanie-v-korotkih-vremennyh-ryadah-metodologicheskie-i-metodicheskie-aspekty (дата обращения: 18.10.2025).