Приближенные методы решения нелинейных уравнений: Сравнительный анализ метода половинного деления и метода простых итераций

В мире математического моделирования и инженерных расчетов проблема поиска корней нелинейных уравнений, то есть значений переменной, при которых функция обращается в ноль, встречается повсеместно. Будь то задачи из физики, химии, экономики или механики, зачастую невозможно найти точное аналитическое решение таких уравнений. Именно в таких случаях на помощь приходят численные методы, позволяющие получать приближенные решения с заданной степенью точности. Актуальность этих методов не снижается с развитием вычислительной техники, поскольку они формируют основу для эффективного и надежного решения широкого круга практических задач, что критически важно в современной инженерной практике.

Целью данной работы является систематизированное изложение теоретических основ, алгоритмов и практических аспектов двух фундаментальных приближенных методов: метода половинного деления и метода простых итераций. Мы проведем их детальный сравнительный анализ, выявим достоинства и недостатки каждого, а также рассмотрим пути преодоления возникающих ограничений.

Структура работы построена таким образом, чтобы последовательно раскрыть тему: от базовых понятий и определений до глубокого анализа каждого метода, их практического применения и модификаций. Вначале мы погрузимся в математические основы, затем детально разберем каждый из методов, после чего проведем их всесторонний сравнительный анализ. Практические примеры и программная реализация помогут закрепить теоретические знания, а рассмотрение модификаций и ограничений позволит сформировать комплексное понимание темы.

Основные понятия и теоретические основы

Прежде чем углубляться в детали конкретных алгоритмов, необходимо установить общий язык и определить ключевые концепции, лежащие в основе приближенных методов. Это позволит не только избежать двусмысленности, но и сформировать прочный фундамент для дальнейшего анализа.

Что такое нелинейное уравнение и его корень

Нелинейное уравнение — это математическое равенство, которое содержит неизвестные переменные в степенях, отличных от единицы, или в качестве аргументов нелинейных функций (например, тригонометрических, логарифмических, показательных). В общем виде нелинейное уравнение с одной неизвестной может быть записано как f(x) = 0. К таким уравнениям относятся как алгебраические (например, x3 - 2x + 1 = 0), так и трансцендентные (например, sin(x) - x2 = 0, ex + ln(x) = 0).

Корень уравнения, или решение уравнения, — это такое числовое значение переменной (или набор значений для систем уравнений), которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство. Графически корень уравнения f(x) = 0 представляет собой точку пересечения графика функции y = f(x) с осью абсцисс (Ох).

Приближенное решение и точность вычислений

В большинстве случаев, когда точное аналитическое решение нелинейного уравнения невозможно, мы вынуждены прибегать к нахождению приближенного решения. Приближенное решение — это значение x*, которое при подстановке в уравнение f(x) = 0 обращает его в приближенное тождество в рамках заданной точности ε. Точность ε (эпсилон) определяет допустимое отклонение найденного приближенного значения от истинного корня.

Для количественной оценки отклонения используются понятия абсолютной и относительной погрешностей:

• Абсолютная погрешность (Δ) приближенной величины определяется как модуль разности между ее точным значением (Aт) и приближенным значением (A): Δ = |Aт - A|.
• Относительная погрешность (γ) — это отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения: γ = Δ / |A|. Она часто выражается в процентах и является более информативной, когда речь идет об оценке качества измерения или вычисления, поскольку учитывает масштаб самой величины, что позволяет судить о значимости ошибки.

Источники погрешностей в численных методах

Погрешности неизбежно сопровождают любые численные вычисления. В контексте решения нелинейных уравнений можно выделить несколько основных источников погрешностей:

1. Неточности в исходных данных: Часто данные, с которыми мы работаем (например, коэффициенты уравнения, значения функций), являются результатами измерений или предыдущих вычислений и уже содержат определенные погрешности. Эти «входные» погрешности будут передаваться и накапливаться в процессе решения.
2. Погрешность метода: Каждый численный метод является приближенным по своей сути. Замена точного аналитического решения итерационным процессом или другим приближенным алгоритмом всегда вносит некоторую ошибку. Например, метод половинного деления сужает интервал до тех пор, пока его длина не станет меньше ε, но не находит точный корень.
3. Погрешности округления: Это самый распространенный тип погрешности в компьютерных вычислениях. Из-за ограниченной точности представления чисел в памяти компьютера (например, использование чисел с плавающей запятой) приходится округлять результаты промежуточных операций. При большом количестве итераций или сложных вычислениях эти погрешности могут накапливаться и существенно влиять на конечный результат.

Отделение корней: принципы и условия

Первым и крайне важным этапом в решении нелинейного уравнения численными методами является отделение корней. Эта процедура заключается в нахождении отрезков [a, b], на каждом из которых содержится один и только один корень уравнения f(x) = 0. Без корректного отделения корней большинство численных методов могут дать неверный результат или вообще не сойтись, что приводит к некорректным или бессмысленным вычислениям.

Достаточное условие для отделения корня:
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах значения разных знаков (то есть f(a) · f(b) < 0), то внутри этого отрезка существует хотя бы один корень.
Если при этом производная f'(x) сохраняет знак на интервале (a, b) (то есть f'(x) > 0 или f'(x) < 0 для всех x ∈ (a, b)), то корень на этом отрезке единственен.

Это условие является краеугольным камнем для таких методов, как метод половинного деления, и часто используется для предварительной локализации корней. Методы отделения корней могут быть как графическими (построение графика функции и определение интервалов, где он пересекает ось Ox), так и аналитическими (анализ поведения функции и ее производных).

Метод половинного деления (метод дихотомии)

Метод половинного деления, известный также как метод дихотомии или метод бисекций, является одним из простейших и наиболее надежных численных методов для нахождения корней нелинейных уравнений. Его привлекательность кроется в гарантированной сходимости, что делает его отличным выбором для первого приближения или в ситуациях, когда другие методы могут столкнуться с трудностями.

Математические основы и принцип работы

В основе метода половинного деления лежит глубокая, но интуитивно понятная теорема Больцано о промежуточном значении для непрерывных функций. Эта теорема гласит: если непрерывная функция f(x) на замкнутом отрезке [a, b] принимает на его концах значения разных знаков (то есть f(a) · f(b) < 0), то внутри этого отрезка существует как минимум один корень уравнения f(x) = 0.

Принцип работы метода заключается в последовательном сужении интервала, в котором расположен корень. На каждой итерации интервал делится пополам, и выбирается та половина, на концах которой функция по-прежнему имеет разные знаки. Таким образом, длина интервала, содержащего корень, сокращается вдвое на каждом шаге, что обеспечивает постоянное приближение к целевому значению.

Условия сходимости и ее гарантированность

Одним из ключевых преимуществ метода половинного деления является его гарантированная сходимость. Метод всегда сходится, если выполняются всего два условия:

1. Функция f(x) является непрерывной на отрезке [a, b].
2. На концах этого отрезка функция принимает значения разных знаков, то есть f(a) · f(b) < 0.

Эти условия обеспечивают, что корень всегда будет находиться внутри текущего рабочего интервала, и на каждой итерации интервал будет сужаться, пока не достигнет требуемой точности. Это делает метод чрезвычайно надежным, даже если функция имеет сложную форму или ее поведение не до конца изучено, минимизируя риски получения некорректного результата.

Детальный алгоритм реализации метода

Реализация метода половинного деления довольно проста и состоит из следующих шагов:

1. Инициализация:
   • Задайте начальный интервал [a, b], на котором функция f(x) меняет знак (то есть f(a) · f(b) < 0).
   • Задайте требуемую точность ε.
2. Вычисление середины:
   • Найдите середину текущего отрезка: c = (a + b) / 2.
3. Проверка на корень:
   • Вычислите значение функции в середине: f(c).
   • Если |f(c)| < ε, то c можно считать приближенным корнем, и процесс завершается. Это условие проверяет, насколько близко f(c) к нулю.
4. Сужение интервала:
   • Если f(a) · f(c) < 0, это означает, что корень лежит в интервале [a, c]. Новыми границами становятся aновое = a и bновое = c.
   • В противном случае (если f(c) · f(b) < 0), корень лежит в интервале [c, b]. Новыми границами становятся aновое = c и bновое = b.
5. Проверка длины интервала и повторение:
   • Если длина нового интервала (bновое - aновое) стала меньше ε, то любая точка внутри него (например, его середина (aновое + bновое) / 2) может быть принята за корень.
   • В противном случае, вернитесь к шагу 2 с новым интервалом [aновое, bновое].

Оценка погрешности и скорость сходимости

После n итераций метода половинного деления длина интервала, содержащего корень, уменьшается в 2n раз по сравнению с исходной длиной (b0 - a0). Таким образом, длина интервала становится равной (b0 - a0) / 2n.
Максимальная абсолютная погрешность Δxn приближенного корня xn = (an + bn) / 2 (где an и bn — границы интервала после n итераций) после n итераций составляет:

Δxn ≤ (b0 - a0) / 2n+1

Это означает, что погрешность приближенного решения уменьшается в два раза на каждой итерации.
Для достижения заданной точности ε требуется минимальное количество итераций n, которое можно оценить из неравенства:

(b0 - a0) / 2n+1 < ε

Отсюда следует:

2n+1 > (b0 - a0) / ε

n + 1 > log2((b0 - a0) / ε)

n > log2((b0 - a0) / ε) - 1

Метод половинного деления обладает линейной скоростью сходимости с коэффициентом α = 0,5. Это означает, что ошибка на каждом шаге уменьшается вдвое. Хотя это обеспечивает гарантированную сходимость, она является относительно медленной по сравнению с другими, более быстрыми методами, такими как метод Ньютона (квадратичная сходимость). Например, для достижения точности ε = 0,0005 при первоначальном отрезке единичной длины требуется около 10 итераций. Для получения точности до 10^-5, как в примере с уравнением x3 - 2x - 5 = 0 на отрезке [1, 3], может потребоваться около 20 итераций. Отсюда ясно, что для задач с высокими требованиями к точности потребуется значительное число шагов.

Ограничения метода половинного деления

Несмотря на свою надежность, метод половинного деления имеет ряд ограничений:

• Корни четной кратности: Метод не может быть использован для нахождения корней четной кратности (например, корень x* уравнения (x - x*)2 = 0). Это связано с тем, что в таких случаях функция f(x) не меняет знак при переходе через корень, и условие f(a) · f(b) < 0 не будет выполняться на интервале, содержащем корень. Без изменения знака невозможно определить, какую половину интервала следует выбрать, что делает метод неприменимым.
• Системы нелинейных уравнений: Метод дихотомии применим только для решения одного нелинейного уравнения с одной переменной. Он не может быть непосредственно адаптирован для решения систем нелинейных уравнений, что ограничивает его универсальность.
• Относительно медленная сходимость: Как уже отмечалось, линейная скорость сходимости может потребовать большого количества итераций для достижения очень высокой точности, что увеличивает вычислительные затраты.

Метод простых итераций (метод последовательных приближений)

Метод простых итераций, также известный как метод последовательных приближений, представляет собой универсальный подход к решению нелинейных уравнений, обладающий потенциально более высокой скоростью сходимости по сравнению с методом половинного деления, но требующий более внимательного анализа условий применимости.

Приведение уравнения к итерационному виду и математические основы

В отличие от метода половинного деления, который работает непосредственно с функцией f(x), метод простых итераций начинается с преобразования исходного нелинейного уравнения f(x) = 0 к эквивалентному виду: x = φ(x). Здесь φ(x) (фи от x) — это так называемая итерационная функция. Выбор этой функции φ(x) является ключевым моментом и определяет сходимость и скорость метода.

Последовательность приближений к корню x* строится по простой итерационной формуле:

xk+1 = φ(xk), где k = 0, 1, 2, ...

Начиная с некоторого начального приближения x0, мы последовательно вычисляем x1, x2 и так далее, ожидая, что эта последовательность будет сходиться к истинному корню.

Геометрическая интерпретация: Корень уравнения x = φ(x) является точкой пересечения графиков функций y = x и y = φ(x). Итерационный процесс можно представить как "движение" по этим графикам: от xk по вертикали до y = φ(x), затем по горизонтали до y = x, чтобы найти xk+1.

Теоретической основой метода является принцип сжимающих отображений, или теорема Банаха о неподвижной точке. Она утверждает, что если функция φ(x) является сжимающим отображением на замкнутом множестве, то на этом множестве существует единственная неподвижная точка (корень уравнения x = φ(x)), к которой сходится последовательность итераций xk+1 = φ(xk) независимо от выбора начального приближения в этом множестве. Условие |φ'(x)| ≤ q < 1 гарантирует, что φ(x) является сжимающим отображением, что является залогом успешной сходимости.

Теорема о сходимости и условия ее выполнения

Сходимость метода простых итераций не гарантирована автоматически, как в методе половинного деления. Она зависит от свойств итерационной функции φ(x).

Теорема о сходимости:
Пусть уравнение x = φ(x) имеет единственный корень x* на отрезке [a, b]. Итерационная последовательность xk+1 = φ(xk), заданная с начальным приближением x0 ∈ [a, b], сходится к корню x*, если выполняются следующие достаточные условия:
1. Непрерывность и дифференцируемость: Функция φ(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a, b].
2. Сохранение интервала: Область значений функции φ(x) лежит в [a, b] для всех x ∈ [a, b] (то есть φ(x) ∈ [a, b]). Это условие гарантирует, что все последующие итерации xk останутся внутри заданного интервала.
3. Условие сжатия: Существует константа q такая, что 0 < q < 1 и |φ'(x)| ≤ q для всех x ∈ [a, b]. Эта константа q называется коэффициентом сжатия.

Если условие |φ'(x)| ≥ 1 на интервале [a, b] (или его части), то итерационный процесс, как правило, расходится, и каждое последующее приближение будет удаляться от корня. Таким образом, правильный выбор φ(x) — критически важный этап, определяющий успех всего процесса.

Алгоритм реализации метода

Алгоритм метода простых итераций включает следующие шаги:

1. Преобразование уравнения: Исходное уравнение f(x) = 0 преобразуется к виду x = φ(x). Этот выбор должен быть сделан таким образом, чтобы выполнялись условия сходимости, особенно условие |φ'(x)| ≤ q < 1. Это может потребовать некоторого тво��ческого подхода и анализа производной φ'(x), поскольку от этого зависит скорость и даже возможность сходимости.
2. Выбор начального приближения: Выбирается начальное приближение x0 на отрезке [a, b], где, как предполагается, находится корень. Чем ближе x0 к истинному корню, тем быстрее будет сходимость.
3. Итерационный процесс: Вычисляются последующие приближения по рекуррентной формуле: xk+1 = φ(xk).
4. Проверка условия окончания: Итерации продолжаются до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность ε. Существуют различные критерии остановки:
   • Простое условие: |xk+1 - xk| < ε. Это условие проверяет, насколько мало изменилось приближение на последнем шаге. Однако оно не всегда гарантирует, что |x* - xk+1| < ε.
   • Более строгое условие (апостериорная оценка): |xk+1 - xk| < ε · (1 - q) / q. Это условие, основанное на оценке погрешности, гарантирует, что найденное значение xk+1 отличается от истинного корня x* не более чем на ε. Здесь q = maxx∈[a,b]|φ'(x)|.
   • Проверка значения функции: |f(xk+1)| < ε. Это условие проверяет, насколько близко значение функции к нулю в найденной точке.

Оценка погрешности и скорость сходимости

Для оценки погрешности приближенного корня xk в методе простых итераций используются следующие формулы:

• Априорная оценка (оценка до начала вычислений): Эта формула позволяет оценить, сколько итераций k потребуется для достижения заданной точности.
  |x* - xk| ≤ (qk / (1 - q)) · |x1 - x0|
  где x* — точный корень, q — коэффициент сжатия.
• Апостериорная оценка (оценка после k итераций): Эта формула позволяет оценить точность текущего приближения xk.
  |x* - xk| ≤ (q / (1 - q)) · |xk - xk-1|
  Эта оценка лежит в основе более строгого условия остановки итераций. Итерационный процесс можно прекратить, когда выполнится условие |xk - xk-1| < ε · (1 - q) / q.

Метод простых итераций имеет линейную скорость сходимости со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q = maxx∈[a,b]|φ'(x)|. Чем меньше значение q (то есть чем ближе q к нулю), тем быстрее сходимость метода. Например, если q = 0.1, ошибка уменьшается в 10 раз на каждой итерации, что значительно быстрее, чем у метода половинного деления с его α = 0.5. Если q близок к 1, сходимость будет очень медленной. Если |φ'(x)| ≥ 1, метод расходится. Таким образом, тщательный выбор итерационной функции является ключом к эффективности.

Сравнительный анализ метода половинного деления и метода простых итераций

Выбор численного метода для решения нелинейного уравнения — это всегда компромисс между простотой, надежностью и скоростью. Для осознанного выбора необходимо понимать сильные и слабые стороны каждого подхода.

Достоинства и недостатки каждого метода

Представим сравнительную таблицу достоинств и недостатков двух методов:

Критерий	Метод половинного деления (Дихотомия)	Метод простых итераций (МПИ)
Принцип работы	Основан на теореме Больцано о промежуточном значении. Интервал, в котором находится корень, последовательно делится пополам. Выбирается та половина, на концах которой функция имеет разные знаки.	Основан на приведении уравнения f(x) = 0 к эквивалентному виду x = φ(x). Последовательность приближений xk+1 = φ(xk) строится итеративно.
Условия сходимости	Гарантированная сходимость, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) · f(b) < 0.	Необходим анализ условий сходимости: 1. φ(x) непрерывна и дифференцируема на [a, b]. 2. φ(x) ∈ [a, b] для всех x ∈ [a, b] (сохранение интервала). 3. Условие сжатия: |φ'(x)| ≤ q < 1 для всех x ∈ [a, b].
Скорость сходимости	Линейная, с коэффициентом α = 0,5. Длина интервала уменьшается вдвое на каждой итерации. Сходится медленно, но надежно.	Линейная, со знаменателем q = maxx∈[a,b]|φ'(x)|. Скорость сходимости напрямую зависит от q: чем меньше q (ближе к нулю), тем быстрее сходимость. Может быть значительно быстрее, чем у дихотомии.
Надежность/Устойчивость	Очень высокая надежность. Всегда сходится при выполнении начальных условий. Менее чувствителен к ошибкам округления и выбору начального приближения.	Зависит от выбора φ(x) и x0. Неудачный выбор может привести к медленной сходимости или расходимости. Более чувствителен к ошибкам округления, если q близок к 1.
Вычислительная сложность на итерацию	Вычисление f(c) один раз на итерацию.	Вычисление φ(xk) один раз на итерацию.
Общая вычислительная стоимость (для заданной точности)	Выше из-за медленной сходимости, может потребовать большое число итераций. Число итераций n ≥ log2((b0 - a0) / ε) - 1.	Потенциально ниже, если q мал, за счет быстрого достижения точности. Однако требуется предварительный анализ φ'(x).
Применимость к корням кратной четности	Не применим. Функция не меняет знак, что исключает возможность сужения интервала.	Применим, если удается преобразовать уравнение к виду x = φ(x) так, чтобы выполнялись условия сходимости.
Применимость к системам уравнений	Не применим для непосредственного решения систем нелинейных уравнений.	Может быть адаптирован для решения систем нелинейных уравнений (например, метод Якоби или Гаусса-Зейделя для линейных систем являются по сути итерационными).
Требования к начальному приближению	Требуется лишь интервал, на концах которого функция меняет знак. Точное x0 не требуется.	Критичен выбор x0 и итерационной функции φ(x). Неудачный выбор может привести к расходимости или сходимости к другому корню.
Выбор итерационной функции	Не требует.	Ключевой аспект. Преобразование f(x) = 0 в x = φ(x) не однозначно и требует навыков для обеспечения сходимости.

Сравнение по скорости сходимости и вычислительной сложности

Как уже было отмечено, метод половинного деления имеет линейную скорость сходимости с коэффициентом α = 0,5. Это означает, что погрешность уменьшается в два раза на каждой итерации. Чтобы увеличить точность на один десятичный знак, требуется примерно 3-4 итерации. Для достижения высокой точности (например, 10-9) на относительно широком интервале могут потребоваться десятки итераций.

В противоположность этому, метод простых итераций также обладает линейной сходимостью, но ее скорость определяется коэффициентом сжатия q. Если q мал (например, q = 0.01), то ошибка уменьшается в 100 раз на каждой итерации, что делает метод чрезвычайно быстрым. Однако, если q близок к 1, сходимость будет очень медленной, сравнимой или даже хуже, чем у метода половинного деления, что делает его применение менее оправданным.

Вычислительная сложность обоих методов на одну итерацию схожа – это вычисление значения одной функции (либо f(c), либо φ(xk)). Основное различие в общей вычислительной сложности для достижения заданной точности определяется именно скоростью сходимости. Метод половинного деления имеет самую низкую скорость сходимости среди таких методов, как метод простых итераций (при оптимальном φ(x)), метод Ньютона и метод хорд, что приводит к большему числу итераций и, как следствие, к большим общим вычислительным затратам при достижении высокой точности.

Устойчивость к ошибкам округления и выбору начального приближения

Метод половинного деления демонстрирует высокую устойчивость. Он всегда сужает интервал, содержащий корень, что делает его малочувствительным к ошибкам округления, поскольку они лишь незначительно смещают середину интервала, но не выводят корень за его границы. Также метод не требует точного начального приближения, а лишь интервал, где функция меняет знак, что значительно упрощает его использование.

Метод простых итераций, напротив, более чувствителен. Если итерационная функция φ(x) выбрана неудачно (например, q близок к 1), ошибки округления могут накапливаться и замедлять сходимость, а в некоторых случаях даже привести к расхождению. Выбор начального приближения x0 также играет решающую роль: если x0 находится слишком далеко от корня или вне интервала сходимости, процесс может расходиться или сойтись к другому корню (если их несколько).

Практические примеры применения и программная реализация

Переход от теории к практике – важнейший этап в изучении численных методов. Мы рассмотрим конкретное нелинейное уравнение и пошагово продемонстрируем, как каждый из методов находит его корень, а также представим псевдокод для программной реализации. Практическое применение приближенных методов всегда включает два основных этапа: сначала отделение корней, затем их уточнение до заданной точности.

Отделение корней для примера уравнения

Рассмотрим уравнение: f(x) = x3 - x - 1 = 0.
Нам необходимо найти интервал, на котором находится корень. Для этого можно использовать графический или аналитический метод.

Графический анализ:
Построим график функции y = x3 - x - 1.

• При x = 0, f(0) = -1.
• При x = 1, f(1) = 13 - 1 - 1 = -1.
• При x = 2, f(2) = 23 - 2 - 1 = 8 - 2 - 1 = 5.

Так как f(1) = -1 и f(2) = 5, и функция f(x) непрерывна (многочлен), то между x = 1 и x = 2 лежит как минимум один корень.
Для подтверждения единственности корня на этом отрезке, найдем первую производную:
f'(x) = 3x2 - 1.
На отрезке [1, 2]:

• f'(1) = 3(1)2 - 1 = 2 > 0.
• f'(2) = 3(2)2 - 1 = 11 > 0.

Так как f'(x) > 0 на [1, 2], функция монотонно возрастает на этом отрезке, и, следовательно, корень на [1, 2] является единственным.
Таким образом, мы успешно отделили корень на интервале [1, 2].

Пошаговый расчет методом половинного деления

Найдем корень уравнения f(x) = x3 - x - 1 = 0 на отрезке [1, 2] с точностью ε = 0.01 с использованием метода половинного деления.

Итерация k	ak	bk	ck = (ak + bk) / 2	f(ak)	f(ck)	f(bk)	f(ak) · f(ck)	Новый интервал	(bk - ak) / 2
0	1	2	1.5	-1	0.875	5	-0.875	[1, 1.5]	0.5
1	1	1.5	1.25	-1	-0.296875	0.875	0.296875	[1.25, 1.5]	0.25
2	1.25	1.5	1.375	-0.296875	0.224609	0.875	-0.0666	[1.25, 1.375]	0.125
3	1.25	1.375	1.3125	-0.296875	-0.051514	0.224609	0.0153	[1.3125, 1.375]	0.0625
4	1.3125	1.375	1.34375	-0.051514	0.082642	0.224609	-0.0042	[1.3125, 1.34375]	0.03125
5	1.3125	1.34375	1.328125	-0.051514	0.014587	0.082642	-0.00075	[1.3125, 1.328125]	0.015625
6	1.3125	1.328125	1.3203125	-0.051514	-0.018698	0.014587	0.00096	[1.3203125, 1.328125]	0.0078125

На 6-й итерации длина интервала (1.328125 - 1.3203125) = 0.0078125.
f(1.3203125) = -0.018698.
f(1.328125) = 0.014587.
Так как 0.0078125 < 2 · ε = 0.02, мы можем остановиться. Приближенный корень x* ≈ 1.3242.
Значение |f(1.3242)| будет меньше ε.

Пошаговый расчет методом простых итераций

Найдем корень уравнения f(x) = x3 - x - 1 = 0 на отрезке [1, 2] с точностью ε = 0.01 с использованием метода простых итераций.

1. Преобразование уравнения:
   Исходное уравнение x3 - x - 1 = 0.
   Представим его в виде x = φ(x). Один из возможных вариантов:
   x3 = x + 1
x = ∛(x + 1)
   Таким образом, φ(x) = (x + 1)1/3.
2. Проверка условия сходимости:
   Найдем производную φ'(x):
   φ'(x) = 1/3 · (x + 1)(1/3 - 1) = 1/3 · (x + 1)-2/3 = 1 / (3 · (x + 1)2/3).
   Оценим коэффициент сжатия q = maxx∈[1,2]|φ'(x)|.
   Функция (x + 1)2/3 возрастает на [1, 2], поэтому φ'(x) убывает. Максимальное значение |φ'(x)| будет при минимальном x, то есть при x = 1.
   q = |φ'(1)| = |1 / (3 · (1 + 1)2/3)| = 1 / (3 · 22/3) ≈ 1 / (3 · 1.587) ≈ 1 / 4.761 ≈ 0.210.
   Поскольку q ≈ 0.210 < 1, условие сходимости выполняется, что подтверждает корректность выбранной итерационной функции.
3. Выбор начального приближения:
   Возьмем x0 = 1.5 (середина интервала [1, 2]).
4. Итерации:
   • x1 = φ(x0) = (1.5 + 1)1/3 = (2.5)1/3 ≈ 1.3572.
   • x2 = φ(x1) = (1.3572 + 1)1/3 = (2.3572)1/3 ≈ 1.3312.
   • x3 = φ(x2) = (1.3312 + 1)1/3 = (2.3312)1/3 ≈ 1.3262.
   • x4 = φ(x3) = (1.3262 + 1)1/3 = (2.3262)1/3 ≈ 1.3252.
   • x5 = φ(x4) = (1.3252 + 1)1/3 = (2.3252)1/3 ≈ 1.3250.
5. Проверка условия окончания:
   Используем условие |xk+1 - xk| < ε.
   • |x1 - x0| = |1.3572 - 1.5| = 0.1428.
   • |x2 - x1| = |1.3312 - 1.3572| = 0.026.
   • |x3 - x2| = |1.3262 - 1.3312| = 0.005.

   Поскольку |x3 - x2| = 0.005 меньше ε = 0.01, мы можем остановить итерации. Приближенный корень x* ≈ 1.3262.
   Использование более строгого условия |xk - xk-1| < ε · (1 - q) / q с q ≈ 0.210 дало бы:
   0.01 · (1 - 0.210) / 0.210 ≈ 0.01 · 0.79 / 0.21 ≈ 0.01 · 3.76 ≈ 0.0376.
   Так как 0.005 < 0.0376, результат x3 с точностью ε = 0.01 верен.

Программная реализация (псевдокод или блок-схемы)

Псевдокод для метода половинного деления:

ФУНКЦИЯ f(x)
  ВОЗВРАТ x^3 - x - 1
КОНЕЦ ФУНКЦИИ

ПРОЦЕДУРА МетодПоловинногоДеления(a, b, epsilon)
  // Проверка начальных условий
  ЕСЛИ f(a) * f(b) > 0 ТО
    ВЫВЕСТИ "На интервале [", a, ", ", b, "] нет корня или их несколько."
    ВОЗВРАТ
  КОНЕЦ ЕСЛИ

  // Основной итерационный цикл
  ПОКА (b - a) > (2 * epsilon) ИЛИ ABS(f((a+b)/2)) > epsilon ЦИКЛ
    середина = (a + b) / 2
    
    // Если найдено точное значение (редко, но возможно)
    ЕСЛИ f(середина) == 0 ТО
      ВЫВЕСТИ "Корень найден точно: ", середина
      ВОЗВРАТ
    КОНЕЦ ЕСЛИ
    
    // Сужение интервала
    ЕСЛИ f(a) * f(середина) < 0 ТО
      b = середина // Корень в левой половине
    ИНАЧЕ
      a = середина // Корень в правой половине
    КОНЕЦ ЕСЛИ
  КОНЕЦ ЦИКЛА

  // Вывод приближенного корня (середина последнего интервала)
  ВЫВЕСТИ "Приближенный корень: ", (a + b) / 2
КОНЕЦ ПРОЦЕДУРЫ

В приведенном псевдокоде условие (b - a) > 2 * epsilon используется, чтобы гарантировать, что длина интервала, содержащего корень, станет меньше 2 * epsilon, обеспечивая точность epsilon для середины интервала. Дополнительное условие ABS(f((a+b)/2)) > epsilon позволяет досрочно выйти из цикла, если значение функции в середине уже достаточно близко к нулю.

Псевдокод для метода простых итераций:

ФУНКЦИЯ phi(x)
  ВОЗВРАТ (x + 1)^(1/3) // Пример итерационной функции
КОНЕЦ ФУНКЦИИ

ФУНКЦИЯ phi_prime(x) // Для расчета q
  ВОЗВРАТ 1 / (3 * (x + 1)^(2/3))
КОНЕЦ ФУНКЦИИ

ПРОЦЕДУРА МетодПростыхИтераций(x0, epsilon, max_iter, a_interval, b_interval)
  x_prev = x0
  x_curr = phi(x_prev)
  итерация = 0
  
  // Расчет коэффициента сжатия q для более строгого критерия остановки
  q_val = 0.0
  // Предполагаем, что phi_prime является монотонной или находим max на [a_interval, b_interval]
  // Для примера phi(x) = (x+1)^(1/3), phi_prime(x) убывает, max при x=a_interval
  ЕСЛИ a_interval НЕ ПУСТО И b_interval НЕ ПУСТО ТО
    q_val = ABS(phi_prime(a_interval)) // Или max(ABS(phi_prime(a_interval)), ABS(phi_prime(b_interval)))
  КОНЕЦ ЕСЛИ
  
  // Выбираем критерий остановки: либо простое, либо более строгое
  // Для строгого критерия:
  // stop_criterion = epsilon * (1 - q_val) / q_val
  // Для простого критерия:
  stop_criterion = epsilon
  
  ПОКА ABS(x_curr - x_prev) > stop_criterion И итерация < max_iter ЦИКЛ
    x_prev = x_curr
    x_curr = phi(x_prev)
    итерация = итерация + 1
  КОНЕЦ ЦИКЛА

  ЕСЛИ итерация >= max_iter ТО
    ВЫВЕСТИ "Не удалось достичь требуемой точности за ", max_iter, " итераций."
  ИНАЧЕ
    ВЫВЕСТИ "Приближенный корень: ", x_curr, " (достигнуто за ", итерация, " итераций)"
  КОНЕЦ ЕСЛИ
КОНЕЦ ПРОЦЕДУРЫ

В псевдокоде метода простых итераций важно учитывать, что расчет q_val для строгого критерия остановки требует анализа φ'(x) на интервале [a, b]. Если φ'(x) не монотонна, потребуется более сложный поиск максимума. Параметр max_iter предназначен для предотвращения бесконечного цикла в случае расходимости или очень медленной сходимости.

Модификации и улучшения метода простых итераций

Хотя метод простых итераций обладает потенциалом для быстрой сходимости, его эффективность сильно зависит от выбора итерационной функции φ(x) и начального приближения. Существуют различные модификации, направленные на ускорение сходимости или обеспечение ее в более сложных случаях.

Методы ус��орения сходимости (например, процесс Эйткена)

Одной из самых известных и эффективных техник для ускорения сходимости последовательностей, в том числе итерационных, является дельта-квадрат процесс Эйткена (Aitken's Δ² process). Он особенно полезен для линейно сходящихся последовательностей, где ошибка убывает примерно по геометрической прогрессии. Процесс Эйткена не меняет сам итерационный алгоритм, а использует три последовательных члена xk, xk+1, xk+2 для экстраполяции более точного значения корня.

Формула для вычисления нового, улучшенного приближения xk(new):

xk(new) = xk - (xk+1 - xk)2 / (xk+2 - 2xk+1 + xk)

Идея заключается в том, что если последовательность сходится линейно, то отношение ошибок (x* - xk+1) / (x* - xk) приближается к постоянному значению q. Используя три последовательных приближения, можно оценить этот q и, основываясь на нем, получить более точное значение. Процесс Эйткена может значительно ускорить сходимость, иногда переводя линейную сходимость в сверхлинейную или даже квадратичную, хотя его применение требует осторожности и достаточной гладкости функции, поскольку некорректное использование может привести к неустойчивости.

Выбор оптимального итерационного параметра (τ)

Еще один подход к улучшению сходимости — это использование итерационных методов с параметром. Например, можно преобразовать уравнение f(x) = 0 к виду x = x - τ · f(x), где τ (тау) — некоторый итерационный параметр. В этом случае итерационная функция φ(x) = x - τ · f(x).
Условие сходимости |φ'(x)| < 1 превращается в |1 - τ · f'(x)| < 1. Цель состоит в том, чтобы выбрать τ таким образом, чтобы |1 - τ · f'(x)| было как можно ближе к нулю, обеспечивая тем самым быструю сходимость.

Оптимальное значение τ часто зависит от диапазона значений f'(x) в окрестности корня. Для одномерных задач его можно найти, например, минимизируя |1 - τ · f'(x)|, что часто приводит к выбору τ ≈ 1 / f'(x*), где x* — искомый корень (но x* неизвестен заранее, поэтому приходится использовать приближения). Для систем линейных алгебраических уравнений с симметричной положительно определенной матрицей оптимальное значение τ может быть вычислено через максимальное и минимальное собственные значения матрицы, что демонстрирует универсальность подхода.

Метод релаксации как обобщение итераций

Метод релаксации является более общим подходом, который включает в себя метод простых итераций как частный случай и часто используется для ускорения сходимости, особенно для систем уравнений. Идея метода релаксации заключается в том, чтобы каждое новое приближение xk+1 вычислять не просто по формуле φ(xk), а как взвешенное среднее между предыдущим приближением xk и "чистым" итерационным результатом.

Формула обновления может выглядеть так:
xk+1 = xk + ω · (φ(xk) - xk)
где ω (омега) — параметр релаксации.

• Если ω = 1, это эквивалентно методу простых итераций.
• Если 0 < ω < 1, это нижняя релаксация, которая замедляет процесс, но может быть полезна для стабилизации расходящихся или колеблющихся последовательностей.
• Если 1 < ω < 2, это верхняя релаксация (или метод последовательной верхней релаксации, SOR), которая часто используется для ускорения сходимости. Оптимальный выбор ω может значительно сократить число итераций, но его нахождение — отдельная задача, часто требующая дополнительных аналитических или численных исследований.

Связь с методом Ньютона

Метод Ньютона (метод касательных) является одним из наиболее быстрых методов нахождения корней, обладающим квадратичной скоростью сходимости. Его итерационная формула:

xk+1 = xk - f(xk) / f'(xk)

Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, если определить итерационную функцию φ(x) = x - f(x) / f'(x).
"Дороговизна" метода Ньютона заключается в необходимости вычисления первой производной f'(x) на каждой итерации. Для одномерных задач это может быть приемлемо, но для систем нелинейных уравнений это означает вычисление матрицы Якоби (матрицы частных производных) и решение системы линейных алгебраических уравнений на каждом шаге, что существенно увеличивает вычислительную стоимость.

В случаях, когда вычисление производной затруднительно или слишком ресурсоемко, или когда функция f'(x) близка к нулю (что может привести к делению на ноль и неустойчивости метода Ньютона), предпочтительнее использовать метод простых итераций или его модификации. Эти методы, будучи более простыми в реализации и требующими меньших вычислительных затрат на итерацию (без производной), могут оказаться более практичными, особенно если сходимость гарантируется и скорость является приемлемой. Ведь зачем использовать сложный инструмент, если более простой решает задачу не менее эффективно?

Проблемы и ограничения приближенных методов и пути их преодоления

Численные методы, несмотря на свою мощь и универсальность, не лишены недостатков. Понимание этих проблем и знание путей их преодоления критически важны для эффективного использования приближенных алгоритмов в реальных задачах.

Сложности отделения корней (близко расположенные, кратные корни)

Первый и часто самый трудоемкий этап — отделение корней — может представлять значительные трудности:

• Близко расположенные корни: Когда корни находятся очень близко друг к другу, их отделение на отдельные интервалы [a, b] может быть затруднено. На графике функции это выглядит как "почти касание" оси Ox. Численные методы могут "пропустить" такие корни или неправильно определить их количество.
• Кратные корни: Корни четной кратности (например, x2 = 0 имеет корень x = 0 кратности 2) представляют особую проблему для метода половинного деления, так как функция не меняет знак при переходе через них. Графически это выглядит как касание оси Ox, а не ее пересечение.
• Особые случаи: Функции с очень крутым наклоном или с участками, где f'(x) близка к нулю, могут также усложнять отделение корней и приводить к медленной сходимости.

Пути преодоления: Тщательный графический анализ функции, а также исследование ее производных (f'(x) и f''(x)) являются мощными инструментами. Анализ знаков f'(x) и f''(x) позволяет определить интервалы монотонности и выпуклости/вогнутости функции, что помогает более точно локализовать корни и убедиться в их единственности на выбранном отрезке. Использование специализированных программных средств для построения графиков существенно упрощает этот процесс, предоставляя визуальное подтверждение.

Выбор начального приближения для итерационных методов

Для итерационных методов, таких как метод простых итераций, выбор начального приближения x0 имеет критическое значение:

• Расходимость: Неудачный выбор x0 может привести к тому, что итерационный процесс будет расходиться, то есть последующие приближения будут удаляться от истинного корня.
• Сходимость к другому корню: Если уравнение имеет несколько корней, x0 может привести к сходимости к корню, отличному от того, который изначально был целью. Это особенно вероятно, если x0 находится близко к границе притяжения другого корня.

Пути преодоления:

• Графический анализ: На основе графика функции можно визуально определить интервал, содержащий корень, и выбрать x0 как середину этого интервала или точку, наиболее близкую к пересечению с осью Ox.
• Предварительное отделение корней: Всегда начинать с отделения корней, чтобы сузить возможный диапазон для x0, тем самым повышая вероятность успешной сходимости.
• Комбинированные методы: Использование надежных, но медленных методов (например, половинного деления) для получения грубого начального приближения, которое затем уточняется более быстрыми итерационными методами.

Накопление вычислительных погрешностей и устойчивость

В процессе численных вычислений неизбежно накапливаются ошибки округления из-за ограниченной точности представления чисел в компьютере. Эти погрешности могут существенно влиять на конечную точность решения, особенно при большом количестве итераций или для "плохо обусловленных" задач.

• Неустойчивость метода: Некоторые методы могут быть неустойчивыми к небольшим изменениям исходных данных или к накапливающимся ошибкам округления. Это означает, что малые возмущения на входных данных или в промежуточных вычислениях могут привести к значительному отклонению конечного результата от истинного значения.
• Требования к высокой точности: В инженерных и научных расчетах "высокая точность" обычно подразумевает достижение абсолютной погрешности порядка 10-6 до 10-9 и ниже, в зависимости от требований задачи. Для достижения такой точности в медленно сходящихся методах может потребоваться очень большое количество итераций, что усугубляет проблему накопления ошибок округления.

Пути преодоления:

• Использование арифметики повышенной точности: В некоторых случаях, когда стандартная точность чисел с плавающей запятой (например, double в C++) недостаточна, можно использовать библиотеки для работы с числами произвольной точности.
• Контроль погрешности: Важно не только задать ε, но и отслеживать погрешность на каждой итерации, используя адекватные формулы оценки (например, апостериорную оценку для метода итераций).
• Выбор устойчивых методов: Предпочтение следует отдавать методам, которые менее чувствительны к ошибкам округления, когда это возможно (например, метод половинного деления).
• Оптимизация алгоритма: Избегать операций, которые могут привести к потере точности (например, вычитание близких чисел).

Проблема выбора итерационной функции φ(x)

Для метода простых итераций преобразование исходного уравнения f(x) = 0 к виду x = φ(x) не является однозначным. Существует множество способов такого преобразования, и не все они приводят к сходящемуся итерационному процессу.

Пример: Для уравнения x2 - 2x - 3 = 0 (корни x = 3, x = -1):

1. x = x2 - x - 3 (φ(x) = x2 - x - 3). φ'(x) = 2x - 1.
   Если x0 = 1.5, φ'(1.5) = 2, |φ'(1.5)| > 1 — расходится.
2. x = (x2 - 3) / 2 (φ(x) = (x2 - 3) / 2). φ'(x) = x.
   Если x0 близко к x = 3, φ'(x) будет > 1 — расходится.
   Если x0 близко к x = -1, φ'(x) будет < 1 — сходится к x = -1.
3. x = √(2x + 3) (φ(x) = (2x + 3)1/2). φ'(x) = 1 / √(2x + 3).
   На x ∈ [2, 4] (интервал вокруг x = 3), |φ'(x)| < 1 — сходится к x = 3.

Пути преодоления:

• Теоретический анализ: Всегда проводить предварительный анализ |φ'(x)| на интервале отделения корня, чтобы убедиться в выполнении условия сжатия |φ'(x)| < 1.
• Оптимизация φ(x): Выбирать φ(x) таким образом, чтобы |φ'(x)| был как можно ближе к нулю на интервале, что обеспечит максимально быструю сходимость.
• Применение модифицированных методов: Если подходящую φ(x) найти сложно, рассмотреть модификации, такие как метод релаксации или использование итерационного параметра τ.

Общие пути преодоления ограничений

Для успешного решения нелинейных уравнений с использованием приближенных методов, рекомендуется комплексный подход:

1. Тщательное отделение корней: Не пренебрегать этим первым этапом. Использовать графический анализ, анализ производных и комбинации методов для надежного выделения интервалов с единственным корнем.
2. Оптимизация начального приближения: После отделения корней выбирать начальное приближение x0 как можно ближе к истинному корню, чтобы ускорить сходимость и избежать сходимости к нежелательному корню.
3. Применение модифицированных методов: Для повышения эффективности использовать методы ускорения сходимости (например, процесс Эйткена для метода простых итераций) или более быстрые методы (например, метод Ньютона, если его применимость оправдана).
4. Контроль погрешности: Постоянно контролировать погрешность на каждой итерации, используя адекватные критерии остановки, и, при необходимости, использовать более точную арифметику.
5. Анализ сходимости: Перед началом вычислений проводить теоретический анализ условий сходимости для выбранной итерационной функции φ(x) (для метода простых итераций) или проверять начальные условия (для метода половинного деления).

Заключение

Путешествие в мир приближенных методов решения нелинейных уравнений открывает перед нами инструментарий, необходимый для преодоления аналитических барьеров, возникающих в самых разнообразных научных и инженерных задачах. В рамках данной работы мы глубоко погрузились в два фундаментальных подхода: метод половинного деления и метод простых итераций, раскрыв их математические основы, алгоритмы, условия сходимости и практические аспекты.

Метод половинного деления (дихотомия), со своей гарантированной линейной сходимостью и безусловной надежностью, является краеугольным камнем вычислительной математики. Его простота и устойчивость делают его идеальным выбором для первичной локализации корней и в случаях, когда требуется надежное, хоть и не самое быстрое, решение. Однако его ограничения, такие как неспособность находить корни четной кратности и относительно низкая скорость сходимости, указывают на необходимость поиска более эффективных альтернатив для задач, требующих высокой точности за минимальное количество итераций.

Метод простых итераций, напротив, демонстрирует потенциально более высокую скорость сходимости, которая, однако, напрямую зависит от тщательного выбора итерационной функции φ(x) и начального приближения. Его гибкость позволяет адаптировать его для решения более сложных задач, включая системы нелинейных уравнений. Различные модификации, такие как процесс Эйткена и методы релаксации, дополнительно расширяют его возможности, позволяя ускорять сходимость и обеспечивать ее там, где стандартный метод может расходиться.

Сравнительный анализ показал, что выбор метода — это всегда взвешенное решение, зависящее от конкретной задачи. Если первостепенное значение имеет надежность и простота реализации, метод половинного деления будет предпочтительнее. Если же важна скорость сходимости и есть возможность провести предварительный анализ функции для выбора оптимальной φ(x), метод простых итераций может оказаться гораздо более эффективным.

Понимание теоретических основ, таких как условия сходимости и источники погрешностей, а также практических нюансов, включая отделение корней и выбор начального приближения, является критически важным для успешного применения этих методов. В конечном итоге, мастерство в вычислительной математике заключается не только в знании алгоритмов, но и в способности критически оценивать их применимость и ограничения, выбирая наиболее подходящий инструмент для каждой конкретной задачи и умело преодолевая возникающие сложности. Таким образом, достижение глубокого понимания этих методов позволяет инженерам и ученым принимать обоснованные решения, оптимизируя вычислительные процессы для достижения максимальной эффективности и точности.

Список использованной литературы

1. Бабаева, Н.С. Приближенные методы решения уравнений // Информатика и образование. – 2003. – № 6.
2. Бахвалов, Н.С., Лапин, А.В., Чижонков, Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010. – 240 с.
3. Вержбицкий, В.М. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2009. – 848 с.
4. Волгин, В.Ф. Сборник упражнений по курсу «Численные методы». – Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2000.
5. Громов, Ю.Ю., Татаренко, С.И. Введение в методы численного анализа. – Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2001.
6. Демидович, Б.П., Марон, И.А., Шувалова, Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. – СПб.: Лань, 2010. – 400 с.
7. Калиткин, Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978.
8. Киреев, В.И., Пантелеев, А.В. Численные методы в примерах и задачах. – М.: Изд-во МАИ, 2000.
9. Копченова, Н.В., Марон, И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах: учебное пособие. – СПб.: Лань, 2009. – 368 с.
10. Корнилов, В.С. Как ЭВМ вычисляет квадратный корень. / «В мир информатики» № 36 («Информатика» № 10 / 2004).
11. Кугаенко, А.А. Методы динамического моделирования в управлении экономикой: Учебное пособие с компакт-диском / Под ред. П.Е. Кондрашова. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Университетская книга, 2005.
12. Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1989.
13. Охорзин, В.А. Прикладная математика в системе MATHCAD: учебное пособие. – СПб.: Лань, 2009. – 352 с.
14. Пирумов, У.Г. Численные методы: учебное пособие для бакалавров. – М.: Юрайт, 2012. – 201 с.
15. Рябенький, В.С. Введение в вычислительную математику. – М.: Физматлит, 2008. – 285 с.
16. Самарский, А.А. Введение в численные методы. – СПб.: Лань, 2009. – 288 с.
17. Семёнова, Т.И., Шакин, В.Н. Практикум Математический пакет MathCAD в дисциплине «Информатика». – Москва: МТУСИ, 2006.
18. Срочко, В.А. Численные методы. Курс лекций. – СПб.: Лань, 2010. – 208 с.
19. Тимофеева, Л.А. Численные методы решения задач на ЭВМ // Информатика и образование. – 2003. – № 12.
20. Введение в математическое моделирование // НОУ Интуит [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.intuit.ru/studies/courses/2260/156/info (дата обращения: 15.11.2013).
21. Основы численных методов [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.exponenta.ru/educat/systemat/levitsky/index (дата обращения: 15.11.2013).
22. Метод простой итерации для нелинейного уравнения [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://www.calc.ru/metod-prostoy-iteratsii-dlya-nelineynogo-uravneniya.html.
23. Сходимость итерационных методов | Аналитическая геометрия [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://math.semestr.ru/analit/iter.php.
24. Уравнение. Корень уравнения • Математика | Фоксфорд Учебник [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://foxford.ru/wiki/matematika/uravnenie-koren-uravneniya.
25. Метод простых итераций | MachineLearning.ru [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8B%D1%85_%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9.
26. Метод простой итерации — Википедия [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9_%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8.
27. Лекция № 9 | Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://math.brgu.ru/doc/n_m/n_m_l9.doc.
28. Численные методы. Лекция №1. Введение. Раздел №1. Численные методы алгебры. Тема 1.1 Основы теории погрешности. | Северо-Кавказский федеральный университет [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://www.ncfu.ru/export/sites/default/ru/science/nauchnye-podrazdeleniya/biblioteka/elektronnyie-resursyi/uchebnye-i-metodicheskie-posobiya-skfu/CHislennye-metody.-CHast-1..pdf.
29. №3 Метод простой итерации. | Студенческий портал [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://student.olymp.com.ru/m_math/m3.doc.
30. 3.1.1. Метод половинного деления | Тульский Государственный Университет [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://old.tsu.tula.ru/dept/cybernetics/docs/chis_metody/lect_7.pdf.
31. Решение НелинейноГо уравнениЯ МетодОм простых итераций | Калининградский государственный технический университет [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://klgtu.ru/upload/iblock/c38/MetodichkaBobarykinaInformatika.doc.
32. Уравнение. Корень уравнения [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://rudazov.ru/wp-content/uploads/2015/05/7-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-1.pdf.
33. Ахвердиев, Р.Ф., Искакова, Ф.Г., Слипченко, О.А. Численные методы анализа: Учебное пособие. – Казанский федеральный университет [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://kpfu.ru/portal/docs/F2035033661/_red.__Posobie.po.chisl..met.pdf.
34. Курс вычислительных методов | ФИЦ ИВТ [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.ssd.sscc.ru/shary/files/num_methods_text.pdf.
35. Кочегуров, А.И., Кочегурова, Е.А. Теория и реализация задач вычислительной математики в пакете MathCad: учебное пособие. – Томский политехнический университет [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://portal.tpu.ru/SHARED/k/KOCHEGUROVAI/academic/Tab1/Chis_metody_MathCad_2013.pdf.
36. Стрелюхин, А.В., Богомолова, Г.С., Сорокина, Е.Л. Численные методы решения задач строительства: лабораторный практикум. – Белорусский национальный технический университет [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://rep.bntu.by/bitstream/handle/data/26767/chislennye_metody_resheniya_zadach_stroitelstva.pdf?sequence=1&isAllowed=y.
37. Андреев, В.Б. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ | МГУ имени М.В. Ломоносова, факультет ВМК [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://num-meth.srcc.msu.ru/lectures/Andreev/Andreev_Num_Meth.pdf.
38. Метод половинного деления (метод дихотомии) [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.math-pr.com/ru/online/num_methods/bisection_method.html.
39. Численные методы моделирования хаотической динамики [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://dokumen.pub/chislennye-metody-modelirovaniya-khaoticheskoi-dinamiki.html.
40. Ярошевич, В.А. Численные методы: Лекции, практические занятия, лабораторный практикум. Версия 1.27 (06.04.2021). – МИЭТ [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://miet.ru/upload/file/uchebniki/Yaroshevich_Num_Methods_2021.pdf.
41. Васильев, Н.Н., Гусев, А.А., Кравцова, Л.Н., Новикова, С.В. Информатика: учебное пособие. – НИУ МГСУ [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://mgsu.ru/upload/iblock/c34/informatika.pdf.
42. Метод половинного деления | АЧМ - Алгоритмы и Численные Методы [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://k0d.cc/num-methods/bisection/.
43. Зайцев, В.П. и др. Численные методы: учебное пособие для вузов / под ред. Н.Н. Калиткина. – МГУ [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.keldysh.ru/papers/2008/book/NM_Keldysh.pdf.
44. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ. Лекция 1. Нелинейные уравнения. | Лекции ученых МГУ [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://teach-in.ru/uploads/courses/106/files/Lukyanenko_NM_L1.pdf.
45. Лекции по курсу «Численные методы» | Сибирский федеральный университет [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://mathprofi.ru/files/chisl_met_raspopov_klunnikova.pdf.
46. Мещеряков, П. Прикладная информатика: учебное пособие. – ТУСУР [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://elib.tusur.ru/sites/default/files/pdf/2012/2012-0060_0.pdf.
47. 5. ОП. Разработка алгоритмов простейших программ.pdf | МГТУ им. Н.Э. Баумана [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://e-learning.bmstu.ru/iu6/wp-content/uploads/2018/11/5.-%D0%9E%D0%9F.-%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%B0-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%BE%D0%B2-%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9%D1%88%D0%B8%D1%85-%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC.pdf.
48. Завьялова, Н.А. Численные методы. Лекции. – Московский физико-технический институт (МФТИ) [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://mipt.ru/upload/medialibrary/297/chislennye-metody.pdf.
49. Вержбицкий, В.М. Численные методы: учебник для вузов. – Высш. шк., ПИК [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://dokumen.pub/verzhbickii-vm-osnovy-chislennyh-metodov-uchebnik-dlya-vuzov-m-vyssh-shk-pik-2002-840-s-il-isbn-5-06-004020-8-197-2002.html (2002).