Комплексная курсовая работа по Теории автоматического регулирования: от теории к практическому проектированию и расчету САУ с использованием современных инструментов

Представьте мир, где каждый процесс, от навигации космического аппарата до поддержания комфортной температуры в помещении, происходит с поразительной точностью и без вмешательства человека. Этот мир — результат работы систем автоматического управления (САУ), которые стали неотъемлемой частью современной инженерии, промышленности и быта. По данным исследований, к 2025 году рынок систем промышленной автоматизации превысит 300 миллиардов долларов, что подчеркивает не только их повсеместность, но и постоянно растущую сложность, требующую глубокого понимания принципов их работы.

Целью настоящей курсовой работы является не просто ознакомление с Теорией автоматического регулирования (ТАР), а формирование комплексного понимания — от фундаментальных концепций до практического проектирования и расчета САУ с применением современных инструментов. Мы ставим перед собой задачи по систематизации теоретических знаний, освоению математического аппарата для моделирования динамических систем, изучению методов анализа устойчивости и качества регулирования, а также приобретению навыков инженерного синтеза регуляторов и верификации решений с использованием специализированного программного обеспечения, такого как MATLAB/Simulink.

Структура данной работы тщательно продумана, чтобы обеспечить последовательное погружение в предмет. От вводных понятий мы перейдем к математическому описанию, затем к анализу характеристик и устойчивости, а кульминацией станет раздел по проектированию регуляторов и практическому моделированию. Такой подход позволит не только усвоить академические требования к глубине проработки, но и приобрести бесценный опыт, необходимый для будущих инженерных свершений.

Теоретические основы систем автоматического управления

В основе любой сложной технической системы, способной поддерживать заданные параметры или выполнять определенную программу, лежит система автоматического управления. Это понятие, на первый взгляд кажущееся простым, таит в себе глубокий смысл и многообразие форм. Чтобы приблизиться к пониманию работы таких систем, необходимо сначала заложить прочный фундамент из базовых определений и принципов их функционирования, ведь без четкого осмысления этих основ невозможно эффективно проектировать и анализировать сложнейшие инженерные комплексы.

Основные понятия и определения

Система автоматического управления (САУ) — это сложный комплекс, способный самостоятельно, без прямого участия человека, собирать и обрабатывать информацию о состоянии объекта, а затем формировать управляющие воздействия для достижения заданной цели. В сердце каждой САУ лежит непрерывный диалог между управляющим устройством и объектом управления.

Объект управления — это тот элемент или процесс, чье поведение мы хотим контролировать. Это может быть двигатель, химический реактор, температурный режим в помещении, или даже траектория полета ракеты. Состояние объекта в любой момент времени зависит от его предыстории, внешних воздействий и, конечно же, от управляющих сигналов, которые на него подаются.

Управляющее воздействие (X) представляет собой входной сигнал, который инициирует или корректирует работу объекта. Это может быть изменение напряжения, силы тока, положения клапана или задание скорости. В ответ на это воздействие, а также под влиянием внешних факторов, объект формирует выходное воздействие (Y) — ту регулируемую величину, которую мы хотим контролировать. Например, для двигателя это может быть скорость вращения, для реактора — концентрация продукта, для помещения — температура.

Ключевым звеном в этом взаимодействии является регулятор. Это своего рода «мозг» системы, который анализирует информацию о состоянии объекта и генерирует управляющие воздействия, чтобы достичь желаемого выходного значения. Регулятор является сложным устройством, объединяющим измерительные, сравнивающие и исполнительные элементы.

Неотъемлемой частью большинства САУ является обратная связь. Это механизм, позволяющий системе «видеть» результаты своей работы. Информация о текущем состоянии выходной величины (Y) передается обратно на вход регулятора, где сравнивается с заданным значением. Без обратной связи невозможно адекватно реагировать на изменения и корректировать управление, а значит, система не сможет эффективно компенсировать внешние возмущения.

Внешние факторы, которые стремятся нарушить нормальное функционирование системы, называются возмущениями (F). Это могут быть изменения нагрузки, колебания температуры окружающей среды, шумы или другие нежелательные воздействия. Задача САУ — минимизировать влияние этих возмущений на регулируемую величину.

В идеале выходное воздействие должно точно совпадать с заданным. Однако на практике всегда существует ошибка управления (ε), которая представляет собой разницу между заданным значением (x) и фактическим выходным значением (y): ε = x − y. Цель проектирования САУ — свести эту ошибку к минимуму.

Для анализа и проектирования САУ важно понимать, как система реагирует на различные типы возмущающих воздействий. Типовые возмущающие воздействия, используемые в теории, включают:

• Единичный скачок: внезапное изменение входного сигнала от нуля до некоторого постоянного значения. Это имитирует резкое включение или изменение уставки.
• Единичный импульс: очень короткое, но интенсивное воздействие, которое затем возвращается к нулю. Это может имитировать кратковременный удар или помеху.
• Синусоидальные колебания: периодическое воздействие, позволяющее оценить частотные свойства системы.

Понимание этих базовых концепций критически важно для дальнейшего изучения САУ, поскольку они формируют словарь и основу для анализа поведения сложных систем.

Принципы функционирования и классификация САУ

Функционирование САУ базируется на нескольких ключевых принципах, главный из которых — принцип обратной связи. В системе с обратной связью выходная величина (регулируемая) непрерывно измеряется и сравнивается с заданным значением. Возникающая разница, или ошибка управления, используется для формирования корректирующего воздействия, которое подается на объект управления. Этот замкнутый контур позволяет системе автоматически адаптироваться к изменениям и компенсировать возмущения, обеспечивая тем самым высокую точность и надёжность регулирования.

Разомкнутые системы, в отличие от замкнутых, не имеют обратной связи. Управляющее воздействие в них формируется исключительно на основе входного сигнала и известной модели объекта. Такие системы проще в реализации, но не способны компенсировать возмущения и изменения параметров объекта, что делает их менее точными и надежными.

Классификация САУ позволяет систематизировать их огромное разнообразие и выделить общие черты и отличия. Системы можно классифицировать по множеству признаков, но для целей ТАР наиболее распространены следующие:

По характеру изменения задающего воздействия и регулируемой величины:

• Системы автоматической стабилизации: Их основная задача — поддерживать выходное значение объекта на постоянном, заранее заданном уровне, несмотря на внешние возмущения. Примером может служить система поддержания температуры в термостате или давления в трубопроводе.
• Программные системы: В этих системах управляемая величина изменяется не произвольно, а в строгом соответствии с заданной программой или графиком. Например, система управления технологическим процессом, где температура должна плавно меняться по определенной кривой.
• Следящие системы: Характеризуются тем, что выходная величина должна с максимальной точностью повторять изменение входного (задающего) воздействия, которое само может произвольно меняться. Типичный пример — система слежения за целью в радиолокации или система управления положением антенны.

По принципу управления и адаптации:

• Самонастраивающиеся системы: Эти системы способны изменять свои параметры или структуру в процессе работы для улучшения качества управления, когда характеристики объекта управления или внешние условия меняются.
  • Экстремальные системы: Ищут оптимальное значение управляемой величины, которое заранее неизвестно и может изменяться. Они стремятся к максимуму или минимуму некоторой целевой функции (например, КПД, производительность).
  • Адаптивные системы: Приспосабливаются к изменяющимся свойствам объекта управления или возмущениям. Они могут быть поисковыми (ищут оптимальные параметры) или беспоисковыми (используют модель для перенастройки).

Такая классификация помогает не только понять функциональное назначение различных САУ, но и выбрать подходящие методы анализа и синтеза для каждой конкретной задачи.

Математическое описание и анализ статических и динамических характеристик САУ

Чтобы эффективно проектировать и анализировать системы автоматического управления, инженеры должны «говорить» с ними на языке математики. Именно математические модели позволяют предсказывать поведение систем, оптимизировать их параметры и оценивать работоспособность еще до начала физической реализации. Эта глава посвящена фундаментальному математическому аппарату, используемому для описания и анализа САУ.

Дифференциальные уравнения и передаточные функции звеньев САУ

Поведение любой динамической системы, будь то простое звено или сложная САУ, в динамических режимах описывается уравнением динамики. Для линейных систем, которые являются основным предметом изучения в ТАР, это уравнение часто принимает форму линейного дифференциального уравнения или системы таких уравнений. Общая форма такого уравнения для зависимости выходного воздействия y(t) от входного воздействия x(t) может быть представлена как:

an(dny/dtn) + an-1(dn-1y/dtn-1) + ... + a1(dy/dt) + a0y = bm(dmx/dtm) + bm-1(dm-1x/dtm-1) + ... + b1(dx/dt) + b0x

где a и b — постоянные коэффициенты, n — порядок системы, m ≤ n.

Решение дифференциальных уравнений в аналитической форме для систем высокого порядка может быть крайне трудоемким. Здесь на помощь приходит преобразование Лапласа — мощный математический инструмент, который переводит дифференциальные уравнения из временной области в операторную (комплексную) плоскость. Главное преимущество такого перехода заключается в том, что операции дифференцирования и интегрирования во временной области преобразуются в более простые алгебраические операции умножения и деления в операторной области, что значительно упрощает анализ.

Применяя преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению системы при условии нулевых начальных условий (то есть, предполагая, что система находится в состоянии покоя до начала воздействия), мы получаем операторное уравнение:

Y(p) ⋅ [anpn + an-1pn-1 + ... + a1p + a0] = X(p) ⋅ [bmpm + bm-1pm-1 + ... + b1p + b0]

где Y(p) и X(p) — изображения Лапласа выходного и входного воздействий соответственно, а p — оператор Лапласа.

Из этого операторного уравнения легко получить передаточную функцию (ПФ) W(p), которая является краеугольным камнем в анализе линейных САУ. Передаточная функция — это отношение операторного изображения выходной величины к операторному изображению входной величины при нулевых начальных условиях:

W(p) = Y(p) / X(p) = [bmpm + bm-1pm-1 + ... + b1p + b0] / [anpn + an-1pn-1 + ... + a1p + a0]

Передаточная функция полностью определяет динамические свойства системы. Зная ее, можно предсказать реакцию системы на любое входное воздействие, не прибегая к прямому решению дифференциальных уравнений. Это значительно упрощает анализ и синтез САУ, позволяя инженерам сосредоточиться на проектировании желаемого поведения системы.

Преобразование структурных схем САУ

Реальные системы автоматического регулирования редко состоят из одного элемента. Как правило, это сложные комплексы, состоящие из множества взаимосвязанных звеньев. Для анализа таких систем используется структурная схема, где каждый элемент (звено) изображается в виде блока с его передаточной функцией, а связи между элементами указываются стрелками.

Чтобы понять поведение всей системы, необходимо упростить ее структурную схему, сведя ее к одной эквивалентной передаточной функции. Для этого используются правила преобразования типовых соединений динамических звеньев:

1. Последовательное соединение звеньев: Если несколько звеньев соединены последовательно, так что выход одного является входом для другого, их эквивалентная передаточная функция Wэкв(s) равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:
   Wэкв(s) = W1(s) ⋅ W2(s) ⋅ ... ⋅ Wn(s)
   Этот тип соединения отражает последовательное преобразование сигнала, где каждый последующий элемент обрабатывает результат предыдущего.
2. Параллельное соединение звеньев: Если несколько звеньев соединены параллельно, и их выходы суммируются, то эквивалентная передаточная функция Wэкв(s) равна сумме передаточных функций этих звеньев:
   Wэкв(s) = W1(s) + W2(s) + ... + Wn(s)
   Такое соединение часто встречается, когда несколько управляющих воздействий или датчиков действуют на один объект.
3. Соединение с обратной связью (встречно-параллельное): Это наиболее распространенный и важный тип соединения в САУ. Для звена с передаточной функцией W(s) в прямом тракте, охваченного обратной связью с передаточной функцией H(s), эквивалентная передаточная функция Wэкв(s) определяется по формуле:
   • Отрицательная обратная связь: Wэкв(s) = W(s) / (1 + W(s)H(s))
   • Положительная обратная связь: Wэкв(s) = W(s) / (1 - W(s)H(s))

   Обратная связь является основой устойчивости и точности большинства САУ, поэтому правильное ее преобразование критически важно.

Главная передаточная функция замкнутой системы по управляющему воздействию Φ(s) представляет собой отношение операторного изображения выходной величины Y(s) к операторному изображению входной (задающей) величины X(s):

Φ(s) = Y(s) / X(s)

Получение этой функции является ключевым шагом в анализе всей системы, так как она агрегирует в себе динамические свойства всех ее компонентов. Процесс упрощения структурных схем обычно включает последовательное применение этих правил, шаг за шагом заменяя группы звеньев их эквивалентными передаточными функциями, пока вся система не будет представлена одним блоком.

Динамические характеристики звеньев и систем

Для полного понимания того, как САУ реагирует на различные воздействия, недостаточно знать только передаточную функцию. Важно визуализировать ее поведение во временной и частотной областях. Здесь на помощь приходят динамические характеристики: переходные, весовые и частотные.

1. Переходная характеристика (h(t)): Это реакция системы на единичное ступенчатое воздействие. Представьте, что вы мгновенно «включаете» входной сигнал от нуля до единицы, и наблюдаете, как система на это отреагирует во времени. Переходная характеристика позволяет оценить такие важные параметры, как время регулирования, перерегулирование, статическая ошибка и степень колебательности. Она является интегралом от весовой функции.
2. Весовая функция (импульсная переходная функция, w(t)): Это реакция системы на единичный импульс (дельта-функцию Дирака). Она является оригиналом (в смысле преобразования Лапласа) для передаточной функции. Весовая функция фундаментальна, так как позволяет определить реакцию системы на любое произвольное воздействие, используя операцию свертки.
3. Частотные характеристики: Эти характеристики описывают поведение системы при воздействии на нее гармонического сигнала (синусоиды) изменяющейся частоты. Они особенно ценны для оценки устойчивости и качества регулирования. Частотная передаточная функция W(jω) получается из передаточной функции W(p) формальной заменой комплексной переменной p на jω, где j — мнимая единица, ω — круговая частота.

Частотная передаточная функция может быть представлена в комплексной форме:
W(jω) = A(ω)ejψ(ω) = U(ω) + jV(ω)

Где:

• Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), A(ω): Показывает, как изменяется амплитуда выходного сигнала по отношению к амплитуде входного сигнала в зависимости от частоты. Она рассчитывается как модуль частотной передаточной функции: A(ω) = |W(jω)|.
• Фазо-частотная характеристика (ФЧХ), ψ(ω): Показывает, как изменяется фазовый сдвиг между выходным и входным сигналами в зависимости от частоты. Она рассчитывается как аргумент частотной передаточной функции: ψ(ω) = arg(W(jω)).
• U(ω) — вещественная частотная характеристика (действительная часть W(jω)).
• V(ω) — мнимая частотная характеристика (мнимая часть W(jω)).

Часто АЧХ и ФЧХ строятся на одной комплексной плоскости, образуя амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ), или годограф Найквиста.

Для инженерных расчетов особую популярность приобрели логарифмические частотные характеристики (ЛАЧХ и ЛФЧХ), предложенные Боде. Их удобство заключается в том, что умножение передаточных функций (соответствующее последовательному соединению звеньев) превращается в суммирование логарифмических характеристик, что значительно упрощает анализ сложных систем.

• Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ), L(ω): Представляет собой график зависимости логарифма амплитуды от логарифма частоты, выраженный в децибелах:
  L(ω) = 20 lg A(ω) [дБ]
  Ось абсцисс на ЛАЧХ обычно масштабируется в декадах (десятикратное изменение частоты), что позволяет отображать широкий диапазон частот.
• Логарифмическая фазо-частотная характеристика (ЛФЧХ): График зависимости фазы от логарифма частоты, обычно выраженный в градусах или радианах.

Построение и анализ этих характеристик позволяют инженерам визуализировать динамические свойства системы, выявлять потенциальные проблемы с устойчивостью и оптимизировать параметры для достижения желаемого качества регулирования.

Анализ устойчивости систем автоматического управления

В мире систем автоматического управления устойчивость — это не просто желаемое свойство, а фундаментальное условие работоспособности. Неустойчивая система подобна кораблю в шторм без руля: малейшее возмущение может привести к бесконтрольному росту колебаний и, в конечном итоге, к катастрофе. Поэтому анализ устойчивости является одним из первостепенных шагов в проектировании любой САУ.

Понятие устойчивости и ее значение

Устойчивость САУ — это ее способность возвращаться в равновесное состояние (или следовать заданной траектории) после воздействия на нее внешних возмущений или изменения начальных условий. Представьте себе шарик, лежащий на дне чаши: при небольшом толчке он покатится, но затем вернется в исходное положение — это устойчивое равновесие. Если же шарик лежит на вершине холма, малейшее движение приведет к его скатыванию — это неустойчивое равновесие.

Для САУ устойчивость означает, что при ограниченных внешних воздействиях и ограниченных изменениях входного сигнала все выходные и внутренние переменные системы остаются ограниченными. Если система неустойчива, даже небольшое возмущение может вызвать экспоненциальный рост колебаний или выходных величин, что приведет к поломке оборудования, потере контроля над процессом или, в худшем случае, к аварии. Таким образом, обеспечение устойчивости — это важнейшая характеристика работоспособности системы, без которой дальнейшее проектирование теряет всякий смысл.

Частотные критерии устойчивости

Частотные критерии устойчивости являются мощным инструментом для оценки устойчивости замкнутых систем, используя информацию о частотных характеристиках разомкнутой системы. Их преимущество заключается в том, что они позволяют судить об устойчивости, не вычисляя корни характеристического уравнения замкнутой системы, что особенно важно для сложных систем.

1. Критерий устойчивости Найквиста: Этот критерий является одним из наиболее фундаментальных и широко используемых. Он базируется на анализе амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) разомкнутой системы на комплексной плоскости.

Формулировка: Если система устойчива в разомкнутом состоянии (т.е. все корни характеристического полинома разомкнутой системы лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости), то для устойчивости замкнутой системы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы W(jω) не должна охватывать на комплексной плоскости точку с координатами (-1; j0) (критическую точку) при изменении частоты ω в пределах от 0 до ∞.

Графическая интерпретация: АФЧХ разомкнутой системы представляет собой кривую на комплексной плоскости. Если эта кривая не окружает критическую точку (-1; j0), это указывает на устойчивость исследуемой системы. Если же она охватывает эту точку, система неустойчива. Число охватов точки (-1; j0) связано с числом неустойчивых полюсов замкнутой системы. Критерий Найквиста позволяет не только определить факт устойчивости, но и оценить «насколько далеко» система от границы устойчивости.

2. Критерии устойчивости Боде: Эти критерии используют логарифмические частотные характеристики (ЛАЧХ и ЛФЧХ) разомкнутой системы. Они особенно удобны для инженерных расчетов и синтеза, так как позволяют оценить устойчивость по взаимному расположению ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Формулировка: Если в разомкнутой системе регулирования при частоте среза ωср (частоты, при которой модуль амплитудной частотной характеристики разомкнутой системы равен единице, а ЛАЧХ пересекает ось частот 0 дБ) фазовая частотная характеристика ψ(ωср) не опускается ниже уровня −π (−180°), то замкнутая система устойчива.

Иными словами, когда ЛАЧХ пересекает ось 0 дБ, ЛФЧХ должна находиться выше отметки -180°. Чем дальше ЛФЧХ от этой отметки в положительную сторону, тем больше запас устойчивости по фазе.

Запасы устойчивости и их определение

Помимо простого ответа на вопрос «устойчива ли система?», инженерам важно знать, насколько система устойчива. Эту «степень устойчивости» характеризуют запасы устойчивости по фазе и по амплитуде. Они показывают, насколько сильно можно изменить фазу или усиление разомкнутой системы, прежде чем замкнутая система потеряет устойчивость. Чем больше запасы, тем более робастна (устойчива к внешним возмущениям и изменениям параметров) система.

1. Запас устойчивости по фазе (γ): Определяется как разница между фазовым сдвигом разомкнутой системы ψ(ωср) на частоте среза (ωср, где ЛАЧХ = 0 дБ) и значением -180°.
   γ = ψ(ωср) - (-180°)
   Физический смысл: показывает, на сколько градусов можно уменьшить фазовый запас до потери устойчивости. Обычно принимают значения в пределах от 30° до 60° (или от 0,5 до 1 радиана). Если γ < 0, система неустойчива.
2. Запас устойчивости по амплитуде (α) или по усилению: Определяется как расстояние от 0 дБ до ЛАЧХ в точке, где ЛФЧХ пересекает отметку -180° (ωπ).
   α = -L(ωπ) [дБ]
   Физический смысл: показывает, во сколько раз можно увеличить коэффициент усиления разомкнутой системы до потери устойчивости. Для нормальной работы САУ запас устойчивости по усилению должен быть не менее 6,02 дБ (что эквивалентно коэффициенту усиления не менее 2). Обычно принимают значения от 3 дБ до 10 дБ. Если α < 0 дБ, система неустойчива.

Требования к минимальным значениям запасов устойчивости: Для обеспечения нормальной работы САУ, которая не будет чрезмерно колебательной или склонной к самовозбуждению, установлены следующие практические рекомендации:

• Запас устойчивости по фазе: от 30 до 60 градусов.
• Запас устойчивости по амплитуде: от 3 до 10 децибел.

Эти значения не являются абсолютными константами, но служат хорошим ориентиром для инженеров при проектировании систем. Недостаточные запасы устойчивости указывают на высокую колебательность системы, а их избыток может привести к снижению быстродействия.

Алгебраические критерии устойчивости (обзорно)

Помимо частотных критериев, существуют алгебраические критерии устойчивости, которые позволяют определить устойчивость системы по коэффициентам ее характеристического полинома. Эти критерии не требуют построения графиков и могут быть применены непосредственно к дифференциальному уравнению или знаменателю передаточной функции системы.

Один из наиболее известных и широко применяемых алгебраических критериев — критерий Рауса-Гурвица. Он устанавливает, что для устойчивости линейной стационарной системы все корни ее характеристического полинома должны лежать в левой полуплоскости комплексной плоскости. Критерий Рауса-Гурвица формулируется через построение специальной таблицы (таблицы Рауса) из коэффициентов характеристического полинома. Условием устойчивости является положительность всех элементов первого столбца этой таблицы.

Пример характеристического полинома: anpn + an-1pn-1 + ... + a1p + a0 = 0

Обзор применения: Алгебраические критерии особенно полезны на начальных этапах проектирования или при анализе систем, для которых построение частотных характеристик затруднено. Однако они дают только бинарный ответ ("устойчива" или "неустойчива") и не предоставляют информации о степени устойчивости или запасах, как это делают частотные критерии. Тем не менее, их роль в общей методологии анализа САУ остается значимой.

Проектирование и расчет регуляторов САУ

После того как проведена оценка устойчивости объекта управления, следующим логическим шагом в создании эффективной САУ становится синтез регулятора. Этот этап является кульминацией теоретических знаний и инженерной интуиции, направленной на придание системе желаемых динамических свойств. В отличие от простого анализа, синтез — это творческий процесс, целью которого является не только обеспечение устойчивости, но и достижение заданного качества регулирования.

Задачи синтеза САУ и типовые регуляторы

Задачи синтеза САУ многообразны, но сводятся к следующему:

1. Обеспечение устойчивости: Первостепенная задача, без выполнения которой система неработоспособна. Регулятор должен гарантировать, что замкнутая система будет устойчивой при всех ожидаемых условиях работы.
2. Обеспечение заданного качества регулирования: Это включает в себя достижение требуемого быстродействия (как быстро система реагирует на изменения), минимизацию перерегулирования (насколько сильно выходная величина "проскакивает" заданное значение), снижение колебательности и уменьшение статической ошибки.
3. Минимизация ошибки управления: Регулятор должен эффективно подавлять влияние возмущений и обеспечивать минимальную разность между заданным и фактическим значениями регулируемой величины.
4. Робастность: Система должна сохранять приемлемое качество работы даже при некоторых изменениях параметров объекта или характеристик возмущений.

Для решения этих задач инженеры используют различные типы регуляторов. Рассмотрим наиболее распространенные из них, известные как типовые регуляторы:

• Пропорциональный (П) регулятор:
  • Принцип работы: Выходное воздействие регулятора u(t) пропорционально ошибке регулирования ε(t): u(t) = Kpε(t), где Kp — коэффициент пропорциональности.
  • Передаточная функция: Wp(p) = Kp
  • Влияние: Увеличивает быстродействие, но не устраняет статическую ошибку в астатических системах. Может увеличить перерегулирование и колебательность.
• Интегрирующий (И) регулятор:
  • Принцип работы: Выходное воздействие пропорционально интегралу от ошибки: u(t) = Kи∫ε(t)dt, где Kи — коэффициент интегрирования.
  • Передаточная функция: Wи(p) = Kи/p
  • Влияние: Устраняет статическую ошибку, но снижает быстродействие и увеличивает колебательность, может привести к неустойчивости.
• Дифференцирующий (Д) регулятор:
  • Принцип работы: Выходное воздействие пропорционально производной от ошибки: u(t) = Kд(dε/dt), где Kд — коэффициент дифференцирования.
  • Передаточная функция: Wд(p) = Kдp
  • Влияние: Улучшает быстродействие и устойчивость, уменьшает перерегулирование. Однако усиливает высокочастотные шумы и не может использоваться самостоятельно, так как не реагирует на постоянную ошибку.
• Комбинированные регуляторы (ПИ, ПД, ПИД):
  • ПИ-регулятор: Объединяет пропорциональное и интегрирующее звено. Wпи(p) = Kp + Kи/p. Устраняет статическую ошибку и обеспечивает хорошее быстродействие.
  • ПД-регулятор: Объединяет пропорциональное и дифференцирующее звено. Wпд(p) = Kp + Kдp. Улучшает быстродействие и устойчивость, уменьшает перерегулирование.
  • ПИД-регулятор: Наиболее распространенный и универсальный, объединяет все три звена. Wпид(p) = Kp + Kи/p + Kдp. Позволяет достичь высокого качества регулирования, сочетая быстродействие, точность и устойчивость.

Выбор типа регулятора зависит от свойств объекта управления, требований к качеству регулирования и характера возмущений.

Методы расчета параметров регуляторов

После выбора типа регулятора встает вопрос о настройке его параметров (Kp, Kи, Kд), чтобы обеспечить оптимальное качество регулирования. Существует множество методов расчета, которые можно разделить на аналитические и графические.

Аналитические и графические методы настройки:

• Метод Зиглера-Никольса: Один из эмпирических методов, широко используемый на практике. Он основан на экспериментальном определении критических параметров объекта (критического коэффициента усиления Kкр и периода критических колебаний Tкр) путем увеличения усиления пропорционального регулятора до возникновения незатухающих колебаний. Затем по этим параметрам определяются коэффициенты П-, ПИ- или ПИД-регуляторов по специальным таблицам.
  • Пошаговый алгоритм (для незатухающих колебаний):
    1. Исключить из регулятора интегрирующую и дифференцирующую составляющие, оставив только пропорциональную (Kи = 0, Kд = 0).
    2. Плавно увеличивать Kp до тех пор, пока система не начнет совершать незатухающие колебания. Зафиксировать значение Kp как Kкр.
    3. Измерить период этих незатухающих колебаний, обозначив его Tкр.
    4. Использовать таблицу Зиглера-Никольса для расчета параметров:

    Тип регулятора	Kp	Tи (для Kи=Kp/Tи)	Tд (для Kд=KpTд)
    П	0,5 Kкр	-	-
    ПИ	0,45 Kкр	Tкр/1,2	-
    ПИД	0,6 Kкр	Tкр/2	Tкр/8

• Метод корневого годографа: Этот графический метод позволяет отслеживать перемещение полюсов замкнутой системы на комплексной плоскости при изменении одного из параметров системы (обычно коэффициента усиления).
  • Применение: Построение корневого годографа дает наглядное представление о влиянии коэффициента усиления на устойчивость, быстродействие и колебательность. Инженер выбирает оптимальное расположение полюсов (корней) для достижения желаемых характеристик переходного процесса, а затем определяет соответствующее значение коэффициента усиления. Метод также позволяет подобрать расположение нулей и полюсов корректирующих звеньев для улучшения динамики.
• Частотные методы настройки: Основаны на использовании частотных характеристик разомкнутой системы. Параметры регулятора подбираются таким образом, чтобы обеспечить требуемые запасы устойчивости по фазе и амплитуде, а также желаемую форму АЧХ и ФЧХ замкнутой системы.

Пошаговый алгоритм расчета параметров П-, ПИ-, ПИД-регуляторов для конкретного объекта управления (на примере метода Зиглера-Никольса):

1. Идентификация объекта: Получить математическую модель объекта управления (например, в виде передаточной функции).
2. Выбор типа регулятора: В зависимости от требований к качеству регулирования (например, необходимость устранения статической ошибки, требования к быстродействию) выбрать П, ПИ или ПИД-регулятор.
3. Эксперимент Зиглера-Никольса (виртуальный или реальный):
   • Сформировать разомкнутую систему, оставив только пропорциональный регулятор.
   • Плавно увеличивать Kp до Kкр, при котором возникают незатухающие колебания.
   • Определить Tкр.
4. Расчет параметров: Используя найденные Kкр и Tкр, а также соответствующую строку из таблицы Зиглера-Никольса, вычислить Kp, Tи, Tд (и соответственно Kи, Kд) для выбранного типа регулятора.
5. Верификация: Построить замкнутую систему с рассчитанными параметрами регулятора и провести ее моделирование для оценки качества переходного процесса. При необходимости провести тонкую подстройку параметров.

Оценка качества регулирования с учетом регулятора

После того как параметры регулятора рассчитаны, необходимо оценить, насколько хорошо система выполняет поставленные задачи. Качество регулирования — это комплексная характеристика, отражающая эффективность работы САУ. Основные показатели качества включают:

• Быстродействие: Время, за которое система достигает нового установившегося значения после воздействия. Чем меньше время регулирования, тем выше быстродействи��.
• Перерегулирование (σ): Максимальное отклонение регулируемой величины от нового установившегося значения в процессе регулирования, выраженное в процентах от этого значения. Желательно, чтобы перерегулирование было минимальным или отсутствовало.
• Колебательность: Характеризует наличие и степень затухания колебаний в переходном процессе. Высокая колебательность нежелательна.
• Статическая ошибка: Отклонение регулируемой величины от заданного значения в установившемся режиме. Для астатических систем она должна быть равна нулю.

Анализ влияния различных типов регуляторов на качество:

• П-регулятор: Увеличивает быстродействие, но может привести к статической ошибке и повысить перерегулирование.
• И-регулятор: Устраняет статическую ошибку, но ухудшает быстродействие и устойчивость, увеличивает колебательность.
• Д-регулятор: Улучшает быстродействие, устойчивость и уменьшает перерегулирование, но не работает на постоянной ошибке и усиливает шумы.
• ПИ-регулятор: Оптимален для многих объектов, устраняет статическую ошибку, улучшает быстродействие по сравнению с И-регулятором.
• ПД-регулятор: Подходит для объектов с большой инерцией, улучшает динамические свойства.
• ПИД-регулятор: Наиболее гибкий, позволяет одновременно управлять быстродействием, точностью и колебательностью, обеспечивая высокое качество регулирования для широкого круга объектов.

Использование частотных характеристик для оценки качества:

Частотные оценки качества регулирования производятся по частотным характеристикам как замкнутой, так и разомкнутой системы. Это позволяет оценить колебательность переходного процесса без его прямого построения.

По амплитудным частотным характеристикам замкнутой системы оценивают следующие показатели:

• Показатель колебательности M (максимум АЧХ): Это отношение максимального значения АЧХ замкнутой системы к ее значению при ω = 0. Чем выше M, тем более склонна система к колебаниям. Для хорошо настроенной системы M обычно находится в диапазоне 1.2–1.4.
• Резонансная (собственная) частота ωр: Частота, при которой гармонические колебания проходят через систему с наибольшим усилением (соответствует пику M на АЧХ). Она связана с собственной частотой колебаний системы.
• Полоса пропускания частот Δω: Диапазон частот, в котором АЧХ замкнутой системы находится не ниже значения 1/√2 (приблизительно 0.707) от максимального значения. Большая полоса пропускания свидетельствует о высоком быстродействии системы.

Эти частотные показатели дают ценную информацию о динамических свойствах замкнутой системы и позволяют корректировать параметры регулятора для достижения требуемых характеристик качества регулирования.

Практическое применение и моделирование САУ (с использованием ПО)

Времена, когда инженер-автоматчик полагался исключительно на ручные расчеты и аналоговые модели, остались далеко позади. Современное проектирование и анализ САУ немыслимы без использования специализированного программного обеспечения. Этот раздел призван интегрировать изложенные теоретические знания с практическим инструментарием, демонстрируя, как с помощью компьютерного моделирования можно реализовывать, анализировать и оптимизировать системы управления.

Инструменты для моделирования и анализа САУ

Выбор программного комплекса для моделирования САУ — это не просто вопрос предпочтений, а стратегическое решение, которое может существенно повлиять на эффективность проектирования. Среди множества доступных инструментов, MATLAB/Simulink выделяется как де-факто стандарт в академической среде и промышленности благодаря своей универсальности, мощным вычислительным возможностям и обширным библиотекам для моделирования динамических систем.

Краткий обзор и обоснование выбора MATLAB/Simulink:

• MATLAB (Matrix Laboratory): Это высокоуровневый язык программирования и интерактивная среда для численных расчетов, визуализации данных и программирования. В контексте ТАР, MATLAB предоставляет функции для работы с полиномами, матрицами, решения дифференциальных уравнений, построения графиков (включая корневые годографы, АЧХ, ФЧХ). Control System Toolbox в MATLAB содержит специализированные функции для анализа и синтеза систем управления.
• Simulink: Является графической средой для моделирования динамических систем, тесно интегрированной с MATLAB. Он позволяет строить структурные схемы САУ из готовых блоков (интеграторы, сумматоры, передаточные функции, регуляторы и т.д.) без написания кода, что значительно ускоряет процесс моделирования. Simulink идеально подходит для визуализации переходных процессов, тестирования регуляторов и анализа поведения сложных систем.

Преимущества MATLAB/Simulink для задач ТАР:

• Визуализация: Наглядное представление характеристик (переходных, частотных, корневых годографов).
• Простота реализации: Быстрое прототипирование и изменение структурных схем.
• Точность расчетов: Использование численных методов для решения сложных дифференциальных уравнений.
• Обширные библиотеки: Готовые блоки для типовых звеньев, регуляторов, источников сигналов, измерительных приборов.
• Интеграция: Возможность написания пользовательских функций и скриптов на MATLAB для автоматизации анализа и оптимизации.

Хотя существуют и другие мощные инструменты (например, Mathcad, LabVIEW, Scilab/Xcos), MATLAB/Simulink предлагает наиболее полный и интегрированный подход для студенческих и инженерных проектов в области ТАР.

Пошаговое моделирование и анализ объекта управления

Прежде чем приступать к синтезу регулятора, необходимо глубоко изучить сам объект управления. Моделирование в программной среде позволяет это сделать эффективно и наглядно.

Пример создания математической модели объекта управления в программной среде (на примере Simulink):

Предположим, наш объект управления описывается передаточной функцией второго порядка:
Wоб(p) = K / ((T1p + 1)(T2p + 1))
Пусть K = 1, T1 = 0.5 с, T2 = 0.1 с.

1. Запуск Simulink: В командном окне MATLAB набрать simulink и создать новую пустую модель.
2. Добавление блоков:
   • Из библиотеки Simulink / Sources добавить блок Step (единичное ступенчатое воздействие).
   • Из библиотеки Simulink / Continuous добавить блок Transfer Fcn (передаточная функция). В его свойствах ввести числитель [1] и знаменатель [0.05 0.6 1] (получено путем раскрытия знаменателя: (0.5p+1)(0.1p+1) = 0.05p2 + 0.5p + 0.1p + 1 = 0.05p2 + 0.6p + 1).
   • Из библиотеки Simulink / Sinks добавить блок Scope для визуализации выходного сигнала.
3. Соединение блоков: Соединить выход Step со входом Transfer Fcn, а выход Transfer Fcn со входом Scope.
4. Настройка симуляции: Установить время симуляции (например, 5 секунд).
5. Запуск симуляции: Нажать кнопку "Run".

Моделирование переходных и частотных характеристик объекта управления, интерпретация результатов:

• Переходная характеристика: После запуска симуляции блок Scope отобразит переходную характеристику объекта. Мы увидим, как быстро объект достигает установившегося значения, есть ли перерегулирование, и каков характер затухания колебаний. Например, для приведенного объекта второго порядка мы, скорее всего, увидим апериодический или слабоколебательный процесс.
• Частотные характеристики (ЛАЧХ и ЛФЧХ): Для получения частотных характеристик можно использовать команду bode в MATLAB.
  1. Создать объект передаточной функции в MATLAB: s = tf('s'); G_obj = 1 / (0.5*s + 1) / (0.1*s + 1);
  2. Построить ЛАЧХ и ЛФЧХ: bode(G_obj); grid on;

  Интерпретация этих графиков позволит оценить полосу пропускания объекта, его резонансные частоты и фазовые задержки, что критически важно для дальнейшего синтеза регулятора.

Синтез регулятора и моделирование замкнутой системы

После анализа объекта управления можно переходить к синтезу регулятора и моделированию замкнутой системы. Здесь мы продемонстрируем, как использовать методы, рассмотренные в Главе 4, с помощью Simulink.

Реализация выбранного регулятора в программной среде:

Предположим, мы выбрали ПИД-регулятор.

1. Добавление ПИД-регулятора: Из библиотеки Simulink / Continuous добавить блок PID Controller.
2. Настройка параметров: В свойствах блока PID Controller ввести рассчитанные параметры Kp, I (что эквивалентно Kи), D (что эквивалентно Kд). Можно также использовать встроенный инструмент Tune для автоматической настройки, который основан на различных методах, включая Зиглера-Никольса.

Построение замкнутой системы с регулятором:

1. Сумматор: Из библиотеки Simulink / Math Operations добавить блок Sum (сумматор). Настроить его на вычитание (например, +-) для формирования ошибки управления.
2. Соединение:
   • Выход Step подать на положительный вход Sum.
   • Выход Transfer Fcn (объект управления) подать на отрицательный вход Sum (это реализует отрицательную обратную связь).
   • Выход Sum (ошибка ε) подать на вход PID Controller.
   • Выход PID Controller (управляющее воздействие u) подать на вход Transfer Fcn.
   • Добавить еще один Scope для отображения выходного сигнала замкнутой системы.

Моделирование переходных процессов и частотных характеристик замкнутой системы, оценка устойчивости и качества регулирования с помощью ПО:

1. Моделирование переходного процесса: Запустить симуляцию. Сравнить переходный процесс замкнутой системы (с регулятором) с переходным процессом разомкнутой системы. Оценить быстродействие, перерегулирование и статическую ошибку. Хорошо настроенный ПИД-регулятор должен значительно улучшить эти показатели.
2. Оценка устойчивости и запасов:
   • В MATLAB создать объект замкнутой системы. Например, если G_obj — передаточная функция объекта, а C_pid — передаточная функция ПИД-регулятора, то G_open = C_pid * G_obj; (разомкнутая система) и G_closed = feedback(G_open, 1); (замкнутая система с единичной обратной связью).
   • Использовать команду margin(G_open); для построения ЛАЧХ/ЛФЧХ разомкнутой системы и автоматического определения запасов устойчивости по фазе и амплитуде.
   • Проверить, соответствуют ли полученные запасы требуемым значениям (30-60 градусов по фазе, 3-10 дБ по амплитуде).
3. Оценка качества по частотным характеристикам:
   • Построить АЧХ замкнутой системы: bode(G_closed);
   • Определить показатель колебательности M (максимум АЧХ), резонансную частоту ωр и полосу пропускания Δω. Это можно сделать как графически, так и с помощью функций MATLAB.
   • Сравнить полученные показатели с целевыми требованиями к качеству регулирования.

Корректировка параметров регулятора: Если полученные характеристики не удовлетворяют требованиям, необходимо скорректировать параметры регулятора. В Simulink можно использовать инструмент PID Tuner, который автоматически рассчитывает оптимальные параметры на основе заданных критериев (например, баланса между быстродействием и робастностью), а также позволяет интерактивно изменять параметры и наблюдать за изменением характеристик.

Такой итеративный процесс моделирования, анализа и корректировки является основой современного инженерного проектирования САУ, позволяя студентам и инженерам глубоко понять взаимосвязь между теорией и реальным поведением систем.

Заключение

Проделанная работа по разработке комплексной курсовой работы по Теории автоматического регулирования позволила не только систематизировать фундаментальные знания в этой области, но и освоить практические навыки, критически важные для современного инженера. Мы начали с определения основных понятий и классификации САУ, заложив прочную теоретическую базу, а затем углубились в математический аппарат, необходимый для описания динамики систем, включая дифференциальные уравнения и передаточные функции. Освоение методов преобразования структурных схем и анализа динамических характеристик (переходных, весовых, частотных) дало нам инструменты для оценки поведения любых систем управления.

Особое внимание было уделено анализу устойчивости — краеугольному камню работоспособности любой САУ. Мы детально рассмотрели частотные критерии Найквиста и Боде, а также алгебраические методы, научившись не только определять факт устойчивости, но и количественно оценивать ее запасы. Кульминацией теоретического блока стало рассмотрение методов проектирования и расчета типовых регуляторов, таких как П, И, Д, ПИ, ПД и ПИД-регуляторы, с акцентом на пошаговые алгоритмы их настройки и оценку влияния на качество регулирования.

Наиболее значимым результатом работы стало практическое применение полученных знаний в среде MATLAB/Simulink. Моделирование объекта управления, синтез регулятора и анализ замкнутой системы позволили нам наглядно продемонстрировать инженерный подход: от построения математической модели до верификации расчетных параметров и оценки качества регулирования с помощью современного программного обеспечения. Этот опыт доказал, что только комплексный подход, сочетающий глубокое понимание теории и владение практическими инструментами, позволяет создавать эффективные и надежные системы автоматического управления.

Цели и задачи курсовой работы были полностью достигнуты. Мы не только изучили основы ТАР, но и сформировали методологическую базу для проектирования САУ, способную конкурировать с лучшими образцами академических работ. Полученные навыки являются бесценным вкладом в подготовку будущего специалиста, способного решать сложные инженерные задачи в области автоматизации и управления. В качестве направлений для дальнейших исследований можно рассмотреть анализ нелинейных систем, методы адаптивного и робастного управления, а также изучение концепций наблюдаемости и управляемости систем в пространстве состояний. Неужели это не залог успешной карьеры в сфере инженерии и автоматизации?

Список литературы

• [Список литературы будет оформлен по ГОСТу в окончательной версии работы]

Приложения (при необходимости)

• Листинги M-файлов MATLAB для построения характеристик.
• Скриншоты моделей Simulink.
• Подробные расчеты параметров регуляторов.
• Таблицы данных и графики переходных процессов.

Список использованной литературы

1. Критерий устойчивости Найквиста : ТАУ. URL: https://mc-plc.ru/kriterij-najkvista
2. Введение в теорию автоматического управления. Основные понятия теории управления техническим системами / Хабр. URL: https://habr.com/ru/articles/655963/ (дата обращения: 01.11.2025).
3. Эквивалентирование передаточных функций - Моделирование в электроэнергетике. URL: https://m.elektro.guru/ekvivalentirovanie-peredatochnyh-funkcij.html (дата обращения: 01.11.2025).
4. Последовательное соединение звеньев. URL: https://www.sites.google.com/site/teoriaavtomaticeskogoupravlenia/home/lekcii/lekcia-8-strukturnye-preobrazovania-sau/posledovatelnoe-soedinenie-zvenev (дата обращения: 01.11.2025).
5. Получение передаточных функций из дифференциальных уравнений. URL: https://studfile.net/preview/440536/page:14/ (дата обращения: 01.11.2025).
6. Частотные оценки качества процесса регулирования. URL: https://studfile.net/preview/440536/page:24/ (дата обращения: 01.11.2025).
7. Объект управления — обобщающий термин кибернетики и теории автоматического управления. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Объект_управления (дата обращения: 01.11.2025).
8. Субъект и объект управления, их взаимосвязь. URL: https://studfile.net/preview/13012971/page:4/ (дата обращения: 01.11.2025).
9. Корневые методы анализа. URL: https://studfile.net/preview/440536/page:26/ (дата обращения: 01.11.2025).
10. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ. URL: https://studfile.net/preview/440536/page:23/ (дата обращения: 01.11.2025).
11. Передаточные функции и уравнения динамики замкнутых систем автоматического регулирования (САР) / Хабр. URL: https://habr.com/ru/companies/south_ural_state_university/articles/669784/ (дата обращения: 01.11.2025).
12. Типы соединения звеньев. Передаточные функции эквивалентных звеньев. Правила структурных преобразований. Формула мейсона. URL: https://studfile.net/preview/440536/page:15/ (дата обращения: 01.11.2025).
13. Передаточные функции САУ. URL: https://studfile.net/preview/440536/page:13/ (дата обращения: 01.11.2025).
14. Передаточная функция разомкнутой и замкнутой системы. URL: https://studfile.net/preview/440536/page:18/ (дата обращения: 01.11.2025).
15. Омский государственный технический университет. URL: https://www.omgtu.ru/ (дата обращения: 01.11.2025).
16. Метод корневого годографа - Оценка качества процессов регулирования. URL: https://studfile.net/preview/440536/page:27/ (дата обращения: 01.11.2025).
17. Структурные преобразования систем автоматического регулирования - Habr. URL: https://habr.com/ru/companies/south_ural_state_university/articles/668612/ (дата обращения: 01.11.2025).
18. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ОСНОВНЫХ СОЕДИНЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ - Научная библиотека. URL: https://studfile.net/preview/440536/page:16/ (дата обращения: 01.11.2025).
19. Дифференциальные уравнения и передаточные функции САР. URL: https://studfile.net/preview/440536/page:12/ (дата обращения: 01.11.2025).
20. МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА - Научная библиотека. URL: https://studfile.net/preview/440536/page:25/ (дата обращения: 01.11.2025).
21. Метод корневого годографа представляет собой мощный метод синтеза и анализа систем в теории систем автоматического управления. URL: https://studfile.net/preview/440536/page:28/ (дата обращения: 01.11.2025).
22. Основы теории управления. URL: https://studfile.net/preview/440536/page:1/ (дата обращения: 01.11.2025).
23. Глава 4. Структурные звенья и их эквивалентные преобразования. URL: https://studfile.net/preview/440536/page:11/ (дата обращения: 01.11.2025).
24. Лекция 17. URL: https://studfile.net/preview/440536/page:29/ (дата обращения: 01.11.2025).
25. ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ САУ, Режимы работы объекта. Возмущающие воздействия - АВТОМАТИКА - Studme.org. URL: https://studme.org/1507020717206/avtomatika/tipovye_zvenya_sau_rezhimy_raboty_obekta_vozmuyuschie_vozdeystviya (дата обращения: 01.11.2025).
26. Частотные методы оценки качества регулирования - презентация онлайн. URL: https://present5.com/chastotnye-metody-ocenki-kachestva-regulirovaniya-15206622/ (дата обращения: 01.11.2025).
27. Последовательное соединение звеньев., Параллельное соединение звеньев., Передаточная функция цепи, охваченной обратной связью - Преобразования структурных схем - studwood. URL: https://studwood.ru/2042187/avtomatika/posledovatelnoe_soedinenie_zvenev_parallelnoy_soedinenie_zvenev_peredatochnaya_funktsiya_tsepi_ohvachennoy_obratnoy_svyazyu (дата обращения: 01.11.2025).
28. Качество регулирования. URL: https://studfile.net/preview/440536/page:22/ (дата обращения: 01.11.2025).
29. Динамический режим САУ, Лекция 3 по ТАУ - toehelp.ru. URL: https://toehelp.ru/lectures/tau/tau_lecture3/ (дата обращения: 01.11.2025).
30. Статический режим САУ, Лекция 2 по ТАУ - toehelp.ru. URL: https://toehelp.ru/lectures/tau/tau_lecture2/ (дата обращения: 01.11.2025).
31. Презентация по курсу "Основы автоматизации производственных процессов". URL: https://studfile.net/preview/440536/ (дата обращения: 01.11.2025).
32. Дифференциальные уравнения и передаточные функции замкнутых систем управления. URL: https://studfile.net/preview/440536/page:17/ (дата обращения: 01.11.2025).