Теоретический анализ и расчет активных RC-фильтров: Методическое руководство к Курсовой работе по ТОЭ

Введение в теорию электрических цепей и задачи фильтрации

В эпоху цифровых технологий, когда информационные потоки достигают колоссальных скоростей, проблема очистки сигнала от нежелательных шумов и помех, а также частотное разделение сигналов, приобретает фундаментальное значение. Фильтрация сигналов является краеугольным камнем таких областей, как телекоммуникации, акустика, измерительная техника и энергетика.

Актуальность работы определяется необходимостью разработки высокоизбирательных и стабильных электронных цепей, способных эффективно выполнять частотную селекцию в широком диапазоне, особенно в низкочастотной области (0–20 кГц), где использование громоздких и неидеальных индуктивных катушек нецелесообразно. Решение этой проблемы лежит в области активных RC-фильтров (АРК).

Цель курсовой работы заключается в проведении глубокого теоретического анализа RC-цепей, освоении математического аппарата теории электрических цепей (ТОЭ) и разработке методологии расчета параметров активного RC-фильтра, способного обеспечить заданные частотные характеристики (частоту среза, добротность и коэффициент усиления). Структура данной работы последовательно охватывает: математическое моделирование цепей в комплексной плоскости, анализ ограничений пассивных RC-фильтров, обоснование перехода к активным топологиям и детальный алгоритм проектирования АРК-фильтра. Таким образом, студент не просто получает набор формул, но и глубоко понимает физические и математические причины выбора конкретного схемотехнического решения.

Критерии авторитетных источников

Выполнение курсовой работы в техническом вузе требует строгого следования принципам методологической корректности. Источниковая база должна быть сформирована исключительно из проверенных академических изданий. Выбор правильной топологии и расчетных формул напрямую зависит от надежности источников.

Обязательные авторитетные источники:

1. Учебники и монографии по ТОЭ: Основные положения должны быть основаны на классических трудах по Теории электрических цепей (например, издания Л. А. Бессонова, Г. В. Зевеке), которые обеспечивают строгость в использовании операторного метода (преобразования Лапласа) и метода узловых потенциалов.
2. Специализированная литература по электронике и радиотехнике: Для анализа топологий активных фильтров (Саллена-Ки, Рауха) следует использовать учебные пособия по аналоговой схемотехнике и методические разработки ведущих технических вузов (МЭИ, МГТУ им. Баумана), посвященные синтезу линейных радиотехнических цепей.
3. Научные публикации: Применение статей из рецензируемых журналов (например, IEEE Transactions on Circuits and Systems) необходимо для подтверждения современных методов расчета и анализа устойчивости активных цепей.

Недопустимые источники:

Категорически запрещено использовать студенческие рефераты, конспекты из непроверенных интернет-источников, а также блоги или форумы, где отсутствует строгий математический аппарат, ссылки на законы физики и верифицированные формулы.

Математическая модель и анализ RC-цепей в комплексной плоскости

Строгий анализ частотных свойств любой линейной электрической цепи невозможен без перехода в комплексную область, что позволяет заменить дифференциальные уравнения, описывающие цепь, алгебраическими. Этот переход реализуется с помощью преобразования Лапласа, где ключевую роль играет понятие передаточной функции.

Операторная и комплексная передаточная функция

Передаточная функция $K(p)$ является универсальной характеристикой линейного четырехполюсника и определяется как отношение преобразования Лапласа выходного напряжения $U_{\text{вых}}(p)$ к преобразованию Лапласа входного напряжения $U_{\text{вх}}(p)$ при условии нулевых начальных запасов энергии в цепи (нулевых начальных условиях):

$$ K(p) = \frac{U_{\text{вых}}(p)}{U_{\text{вх}}(p)} $$

где $p$ — комплексная частота (оператор Лапласа).

Для анализа установившегося режима при подаче гармонического сигнала (синусоидального напряжения) необходимо перейти от оператора Лапласа $p$ к комплексной частоте $j\omega$, где $\omega = 2\pi f$ — угловая частота. Комплексный коэффициент передачи (передаточная функция в частотной области) $K(j\omega)$ описывает, как цепь изменяет амплитуду и фазу сигнала на заданной частоте $\omega$:

$$ K(j\omega) = \left. K(p) \right|_{p = j\omega} $$

Анализ нулей, полюсов и устойчивости

Ключевым инструментом анализа передаточной функции является поиск ее полюсов (корней знаменателя) и нулей (корней числителя). Полюсы и нули определяют все частотные и временные характеристики цепи.

1. Полюсы: Определяют устойчивость и характер переходных процессов. Для любой пассивной RC-цепи (состоящей только из R и C) полюсы всегда являются отрицательными вещественными числами и лежат на отрицательной вещественной полуоси комплексной плоскости $p$. Это гарантирует, что цепь является устойчивой и переходные процессы в ней всегда имеют апериодический, затухающий характер.
2. Нули: Определяют частоты, на которых коэффициент передачи обращается в ноль (сигнал полностью подавляется).

Важный теоретический факт: Передаточная функция лестничной RC-цепи будет иметь нуль на нулевой частоте ($\omega=0$), если хотя бы одна из последовательных ветвей представляет собой емкость. Это прямое следствие того, что конденсатор блокирует постоянный ток ($p=0$). Наличие нуля при $p=0$ является обязательным признаком RC-фильтра верхних частот (ФВЧ), поскольку он подавляет низкие частоты и пропускает высокие. Игнорирование этого правила приводит к принципиальным ошибкам в схемотехнике, ведь конденсатор, по сути, выступает в роли разделительного элемента для постоянного тока.

Пассивные RC-фильтры первого порядка: анализ характеристик

Простейшие пассивные RC-фильтры первого порядка являются базовыми элементами схемотехники и служат основой для понимания более сложных активных систем.

Схемы и постоянная времени

RC-фильтры первого порядка реализуются в двух типовых топологиях:

Тип фильтра	Топология	Назначение
ФНЧ (LPF)	R последовательно, C параллельно	Пропускает низкие частоты
ФВЧ (HPF)	C последовательно, R параллельно	Пропускает высокие частоты

Центральным параметром, определяющим динамические свойства такой цепи, является постоянная времени $\tau$:

$$ \tau = R C $$

Постоянная времени $\tau$ численно равна промежутку времени, за который напряжение на конденсаторе достигает (1 — 1/e) $\approx$ 63,2% от установившегося значения при подаче ступенчатого сигнала. Таким образом, $\tau$ определяет скорость протекания переходных процессов в цепи.

Расчет частотных характеристик (АЧХ и ФЧХ)

Рассмотрим простейший RC-фильтр нижних частот (ФНЧ). Его операторная передаточная функция имеет вид: $K(p) = 1 / (1 + p\tau)$.

Замена $p \to j\omega$ дает комплексный коэффициент передачи:

$$ K(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega\tau} $$

1. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)

АЧХ — это модуль комплексного коэффициента передачи, который показывает, во сколько раз ослабляется или усиливается сигнал на заданной частоте:

$$ |K(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega\tau)^{2}}} $$

2. Фазово-частотная характеристика (ФЧХ)

ФЧХ — это аргумент комплексного коэффициента передачи, показывающий фазовый сдвиг $\phi(\omega)$ между выходным и входным напряжением:

$$ \phi(\omega) = -\arctan(\omega\tau) $$

(Для ФНЧ фазовый сдвиг всегда отрицательный, то есть выходной сигнал отстает от входного).

Частота среза $f_{3дБ}$ и фазовый сдвиг

Частота среза $f_{\text{с}}$ (или $f_{3дБ}$) — это критическая точка, разделяющая полосу пропускания и полосу задерживания.

Строгое определение: Частота среза $f_{\text{с}}$ — это частота, при которой мощность выходного сигнала падает ровно в два раза относительно максимальной мощности в полосе пропускания. В линейных величинах это соответствует падению модуля коэффициента передачи до значения $1 / \sqrt{2} \approx 0,707$ от максимального. Данное ослабление эквивалентно $-3$ дБ.

Условие $|K(j\omega)| = 1 / \sqrt{2}$ выполняется, когда знаменатель $\sqrt{1 + (\omega\tau)^{2}}$ равен $\sqrt{2}$, что возможно только при $\omega\tau = 1$.

Отсюда получаем формулу для частоты среза:

$$ \omega_{\text{с}} = \frac{1}{\tau} = \frac{1}{RC} $$

И в герцах:

$$ f_{\text{с}} = \frac{1}{2\pi RC} $$

Фазовый сдвиг на частоте среза:
При $\omega = \omega_{\text{с}}$ имеем $\omega\tau = 1$. Подставляя это в формулу ФЧХ для ФНЧ:

$$ \phi(\omega_{\text{с}}) = -\arctan(1) = -45^{\circ} $$

Таким образом, на частоте среза пассивный ФНЧ первого порядка всегда вносит фазовый сдвиг, равный $\mathbf{-45^{\circ}}$.

Фундаментальные ограничения пассивных фильтров и переход к АРК

Несмотря на простоту и надежность пассивных RC-фильтров, их применение ограничено жесткими физическими рамками, которые требуют использования активных элементов (ОУ) для создания более сложных и эффективных систем.

Ограничения пассивных цепей

Пассивные фильтры имеют три критических недостатка, делающих их непригодными для высокоизбирательных систем:

1. Ослабление сигнала: Пассивные цепи состоят только из R, L, C и могут только ослаблять сигнал (коэффициент передачи $|K(j\omega)| \le 1$). Для компенсации этого ослабления требуется дополнительный каскад усиления.
2. Отсутствие изоляции: При каскадном соединении пассивных RC-звеньев происходит их взаимная нагрузка (шунтирование), что усложняет расчет и приводит к сильному искажению суммарной частотной характеристики.
3. Необходимость индуктивностей для высокой избирательности: Для получения фильтров второго порядка с высокой добротностью $Q$ в пассивных LC-цепях необходимы индуктивные катушки. Однако индукторы громоздки, дороги, имеют ограниченный выбор номиналов и обладают нежелательными паразитными параметрами (активное сопротивление, паразитная емкость), особенно на низких частотах.

Максимальная добротность (Q) и требование к избирательности

Ключевое ограничение, которое диктует переход к активным RC-фильтрам, связано с невозможностью достижения высокой добротности (Q) в пассивных RC-цепях.

Добротность Q определяет избирательность фильтра: чем выше Q, тем уже полоса пропускания и тем круче спад АЧХ. Для реализации стандартных, четко очерченных характеристик (например, Баттерворта, Чебышева) требуются значения $Q \ge 0,707$.

Рассмотрим каскадное соединение двух идентичных пассивных RC-цепочек (второй порядок). Их общая передаточная функция будет иметь знаменатель, корни которого (полюсы) лежат на отрицательной вещественной оси и не могут быть комплексно-сопряженными. Поскольку для получения требуемой гладкости (АЧХ Баттерворта) необходимо $Q \approx 0,707$, а для резкого спада (АЧХ Чебышева) $Q$ может быть значительно выше 1, пассивные RC-цепи принципиально не могут удовлетворить этим требованиям избирательности. Это является ключевым аргументом в пользу Active-RC (АРК) фильтров, где ОУ используются для введения положительной обратной связи, что позволяет управлять расположением полюсов, перемещая их с вещественной оси в комплексную плоскость и тем самым увеличивая добротность до требуемых значений.

Теоретический вывод: Максимальная добротность $Q$, которая может быть достигнута при каскадном соединении двух идентичных пассивных RC-цепочек второго порядка, составляет строго $\mathbf{Q = 0,5}$. Разве этого не достаточно для большинства бытовых приложений?

Теория и топологии активных RC-фильтров (АРК)

Активные RC-фильтры (АРК) преодолевают ограничения пассивных цепей, используя операционные усилители (ОУ) в сочетании с резисторами и конденсаторами.

Преимущества и определение добротности (Q)

Основные преимущества АРК-фильтров:

1. Усиление: Возможность получить коэффициент передачи $K_0 > 1$.
2. Исключение индуктивностей: Возможность реализации фильтров высокого порядка и высокой добротности без громоздких катушек.
3. Изоляция каскадов: Высокое входное и низкое выходное сопротивление ОУ позволяет каскадировать звенья без взаимного влияния.
4. Крутизна спада: Достижение крутизны спада 12 дБ/октаву для второго порядка и $20n$ дБ/декаду для фильтра $n$-го порядка.

Определение Добротности (Q):
В контексте полосно-пропускающих фильтров, добротность $Q$ — это количественная мера избирательности фильтра, определяемая как отношение центральной (резонансной) частоты $f_0$ к ширине полосы пропускания $\Delta f_{3дБ}$ (полоса на уровне $-3$ дБ):

$$ Q = \frac{f_0}{\Delta f_{3дБ}} $$

Высокое значение $Q$ означает узкую полосу пропускания и высокую избирательность.

Общая передаточная функция 2-го порядка

Расчет активных фильтров высших порядков основан на представлении их передаточной функции в виде произведения передаточных функций звеньев первого и второго порядка. Общее выражение для передаточной функции звена второго порядка (например, ФНЧ) в операторном виде имеет вид:

$$ K(s) = \frac{K_0 \cdot \omega_0^{2}}{s^{2} + s \cdot (\omega_0/Q) + \omega_0^{2}} $$

Где:

• $K_0$ — коэффициент усиления в полосе пропускания.
• $\omega_0$ — собственная (резонансная) угловая частота.
• $Q$ — добротность фильтра.

При проектировании активного фильтра, задача сводится к выбору такой топологии и таких номиналов R и C, которые обеспечивают совпадение коэффициентов в знаменателе расчетной (топологической) передаточной функции с коэффициентами стандартного выражения, заданного требуемыми параметрами $K_0$, $\omega_0$ и $Q$.

Типовые схемотехнические решения

Для реализации АРК-фильтров второго порядка наиболее распространены следующие топологии:

1. Схема Саллена-Ки (Sallen-Key): Эта топология использует один операционный усилитель и является одной из самых популярных благодаря своей простоте, надежности и независимости настройки частоты среза и добротности. ОУ здесь включен в неинвертирующем включении, что позволяет легко реализовать усиление $K_0 > 1$.
2. Схема с многопетлевой обратной связью (Multiple Feedback, Рауха): Эта схема, как правило, использует инвертирующее включение ОУ и обеспечивает более высокую добротность при меньшей чувствительности к неидеальности ОУ, но сложнее в настройке, поскольку $Q$ и $K_0$ не всегда независимы.

Методология расчета АРК-фильтра (Практический раздел курсовой работы)

Практический раздел курсовой работы должен демонстрировать способность студента перейти от теоретических требований к конкретным номиналам элементов, используя строгий метод анализа цепей.

Алгоритм проектирования и выбор топологии

Проектирование АРК-фильтра осуществляется по следующему алгоритму:

1. Определение требований: Задаются требуемые параметры: тип фильтра (например, ФНЧ), частота среза $f_{\text{c}}$ (или резонансная $f_0$), требуемая добротность $Q$ (например, $Q=0,707$ для Баттерворта) и коэффициент усиления $K_0$.
2. Выбор порядка $n$: Определяется требуемая крутизна спада (например, 12 дБ/октаву требует $n=2$).
3. Выбор топологии: Выбирается конкретная схема, например, ФНЧ второго порядка по схеме Саллена-Ки.
4. Вывод передаточной функции: Проводится строгий анализ выбранной схемы.
5. Синтез: Приравнивание коэффициентов теоретической и топологической передаточных функций для определения номиналов R и C.

Вывод передаточной функции методом узловых напряжений

Критический шаг для академической работы — это не просто подстановка в готовые формулы, а демонстрация способности вывести передаточную функцию $K(s)$ для выбранной топологии. Наиболее строгим и универсальным методом для этого является метод узловых напряжений (потенциалов).

Пример (ФНЧ Саллена-Ки):

1. Выбираются узлы в схеме, напряжение которых неизвестно ($U_1$, $U_2$, $U_{\text{вых}}$).
2. Составляются уравнения по первому закону Кирхгофа (токи, входящие в узел, равны токам, выходящим из него), используя операторные сопротивления элементов ($Z_R=R$, $Z_C=1/sC$):

$$ \sum_{k} I_k(s) = 0 $$

3. Решается система алгебраических уравнений относительно $U_{\text{вых}}(s)$ и $U_{\text{вх}}(s)$.
4. Полученный результат $U_{\text{вых}}(s) / U_{\text{вх}}(s)$ сравнивается с общим выражением:

$$ \frac{U_{\text{вых}}(s)}{U_{\text{вх}}(s)} = \frac{K_0 \cdot \omega_0^{2}}{s^{2} + s \cdot (\omega_0/Q) + \omega_0^{2}} $$

5. Идентифицируются коэффициенты $\omega_0$ и $Q$ через комбинации $R$ и $C$.

Пример расчета номиналов R и C

Пусть требуется спроектировать ФНЧ второго порядка по схеме Саллена-Ки с характеристикой Баттерворта.

Заданные параметры:

• Частота среза: $f_{\text{c}} = 1000$ Гц.
• Характеристика Баттерворта: $Q = 0,707$.
• Коэффициент усиления: $K_0 = 1$ (единичное усиление).

Расчет $\omega_0$:
$\omega_0 = 2\pi f_{\text{c}} \approx 6283$ рад/с.

Условие синтеза (для упрощенной схемы Саллена-Ки с $R_1=R_2=R$ �� $C_1=C_2=C$):
При такой топологии коэффициенты $\omega_0$ и $Q$ определяются следующими соотношениями (выведенными из анализа узловых напряжений):

1. $\omega_0 = 1 / RC$
2. $Q = 1 / (3 — K_0)$
3. Коэффициент усиления $K_0$ задается резисторами $R_A$ и $R_B$ обратной связи: $K_0 = 1 + R_B/R_A$.

Шаг 1: Расчет $K_0$
Для $Q = 0,707$:

$$ 0,707 = \frac{1}{3 — K_0} $$

$3 — K_0 = 1 / 0,707 \approx 1,414$
$K_0 = 3 — 1,414 = 1,586$

Если требуется $K_0=1$ (единичное усиление), то необходимо выбрать другую топологию или использовать схему с неодинаковыми номиналами $R$ и $C$, но для $Q=0,707$ минимально требуемое усиление составляет $K_0 \approx 1,586$. Примем $K_0 = 1,586$ для реализации Баттерворта.

Шаг 2: Расчет R и C
Выбираем стандартный номинал конденсатора, например, $C = 10$ нФ ($10^{-8}$ Ф).

Тогда $R$ рассчитывается из формулы $\omega_0 = 1 / RC$:

$$ R = \frac{1}{\omega_0 C} = \frac{1}{6283 \cdot 10^{-8}} \approx 15923 \text{ Ом} $$

Выбираем ближайший стандартный номинал: $R \approx 16$ кОм.

Шаг 3: Расчет резисторов усиления $R_A$ и $R_B$
Требуется $K_0 = 1,586$.
$1,586 = 1 + R_B/R_A$
$R_B/R_A = 0,586$
Выбираем $R_A = 10$ кОм, тогда $R_B = 10 \text{ кОм} \cdot 0,586 = 5,86$ кОм.

Таким образом, для достижения требуемых характеристик выбраны номиналы $R=16$ кОм, $C=10$ нФ, $R_A=10$ кОм, $R_B=5,86$ кОм.

Заключение и прикладное значение RC-цепей

Выполнение курсовой работы по анализу и расчету RC-фильтров требует глубокого понимания как основ Теории электрических цепей (ТОЭ), так и современных принципов схемотехники.

Наш анализ показал, что строгий подход начинается с математического моделирования цепей в комплексной плоскости, где операторная передаточная функция $K(p)$ и расположение ее нулей и полюсов определяют фундаментальные частотные свойства. Было детально рассмотрено, как постоянная времени $\tau$ и частота среза $f_c$ описывают пассивные фильтры первого порядка.

Критически важный вывод, обосновывающий переход к активным фильтрам (АРК), заключается в физическом ограничении пассивных RC-цепей, которые не могут обеспечить добротность $Q > 0,5$, необходимую для реализации стандартных высокоизбирательных характеристик (Баттерворта, Чебышева). Использование операционных усилителей в топологиях Саллена-Ки или Рауха позволяет преодолеть это ограничение, достигая высокой избирательности и обеспечивая усиление сигнала.

Разработанная методология расчета АРК-фильтра, включающая обязательный вывод передаточной функции методом узловых напряжений, обеспечивает академическую строгость и практическую применимость результатов.

Прикладное значение RC-цепей:
RC-цепи являются одними из самых распространенных элементов в электронике:

• Сглаживание пульсаций: В цепях питания (особенно в импульсных блоках питания и линейных стабилизаторах) ФНЧ используются для сглаживания высокочастотных пульсаций.
• Устранение дребезга контактов: RC-цепочки, подключенные к контактам переключателей, формируют временную задержку, которая эффективно устраняет помехи, вызванные механическим дребезгом.
• Частотная коррекция: Активные RC-фильтры используются в аудиосистемах и эквалайзерах для точного контроля и коррекции частотного спектра звукового сигнала.

Таким образом, глубокое освоение теории RC-цепей и методик расчета АРК-фильтров является фундаментальным навыком для любого специалиста в области электроники и радиотехники, позволяя создавать устойчивые, высокоточные и компактные системы, что критически важно для современных малогабаритных устройств.

Список использованной литературы

1. Активные и пассивные фильтры: основные различия и области применения. URL: https://globalwellpcba.com/ru/active-vs-passive-filters-applications/ (дата обращения: 29.10.2025).
2. АКТИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ НА ОСНОВЕ ОПЕРАЦИОННОГО УСИЛИТЕЛЯ. URL: http://phys.spbu.ru/cms/images/docs/active_filters.pdf (дата обращения: 29.10.2025).
3. Активный rc-фильтр класса саллен-ки с перестраиваемой полосой: Патент RU 2787834 C1, 2023. URL: https://findpatent.ru/patent/278/2787834.html (дата обращения: 29.10.2025).
4. Бычков, Ю. А. Основы теоретической электротехники: Учебное пособие / Ю. А. Бычков, В. М. Золотницкий, Э. П. Чернышев, А. Н. Белянин. URL: https://rgr-toe.ru/book/book1.html (дата обращения: 29.10.2025).
5. Добротность. Активные фильтры на резонансных схемах. URL: https://elektrolife.ru/dobrotnost-aktivnye-filtry-na-rezonansnyh-shemah (дата обращения: 29.10.2025).
6. Добротность // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Добротность (дата обращения: 29.10.2025).
7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ: Учебное пособие СПбГУТ. СПб.: СПбГУТ. URL: https://www.sut.ru/doci/nauka/izdaniya/uchebnie-posobiya-i-uchebniki/osnovi-teorii-cepey.pdf (дата обращения: 29.10.2025).
8. Расчет параметров активных rc-фильтров верхних частот Баттерворта и Чебышева. Вариант №7 (РГР УГАТУ). URL: https://studfile.net/preview/527734/page/2/ (дата обращения: 29.10.2025).
9. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ. URL: https://sevsu.ru/univers/publics/science_and_education/docs/2013-sintez-lrct.pdf (дата обращения: 29.10.2025).