Системный анализ и расчет характеристик канала передачи дискретных сигналов (ИКМ и ДЧМ)

Переход от аналоговых систем связи к цифровым стал одним из краеугольных камней информационной революции XX века и продолжает определять вектор развития телекоммуникаций в XXI веке. Он продиктован не только стремительным ростом объемов передаваемой информации, но и фундаментальными преимуществами цифровых технологий: повышенной помехоустойчивостью, гибкостью в обработке данных и возможностью интеграции различных видов трафика. Однако, чтобы эти преимущества были реализованы в полной мере, требуется глубокое понимание принципов преобразования аналоговых сигналов в цифровую форму, их дальнейшей модуляции и условий передачи по реальным каналам связи.

Настоящая работа представляет собой системный анализ ключевых этапов формирования и передачи дискретных сигналов. Мы рассмотрим фундаментальные математические модели, описывающие сигналы во временной и частотной областях, исследуем процессы аналого-цифрового преобразования (АЦП), включая дискретизацию и квантование, а также детализируем механизм импульсно-кодовой модуляции (ИКМ). Особое внимание будет уделено дискретной частотной модуляции (ДЧМ) как одному из распространенных методов полосовой модуляции и анализу помехоустойчивости цифрового канала связи в условиях аддитивного белого гауссова шума (AWGN), включая оценку пропускной способности по Шеннону.

Целью исследования является разработка детальной академической работы, которая не просто описывает отдельные блоки системы связи, но и демонстрирует их взаимосвязь через строгие математические модели и инженерные расчеты. Итогом станет комплексная методика, позволяющая на основе стандартизированных параметров АЦП (например, ITU-T G.711) рассчитать требуемую полосу пропускания и оценить потенциальную вероятность битовой ошибки для всей системы. Такой системный подход является неотъемлемым элементом в проектировании современных телекоммуникационных комплексов и обеспечивает необходимую глубину понимания для студентов технических специальностей.

Обобщенная структурная схема системы передачи дискретных сигналов, которая будет рассмотрена в данной работе, включает в себя:

1. Источник аналогового сигнала: Генерация исходного сообщения.
2. Аналого-цифровой преобразователь (АЦП): Дискретизация и квантование.
3. ИКМ-кодер: Преобразование квантованных отсчетов в двоичную последовательность.
4. Модулятор (ДЧМ): Преобразование двоичных данных в полосовой сигнал для передачи по каналу.
5. Канал связи: Среда распространения сигнала, подверженная влиянию шумов.
6. Демодулятор (оптимальный когерентный): Восстановление модулированного сигнала.
7. Декодер: Обратное преобразование цифрового сигнала в аналоговый.

Математические основы сигналов в теории связи

В основе любой системы связи лежит понятие сигнала — физического процесса, который служит материальным носителем информации. Способы описания сигналов и их преобразований составляют фундаментальный аппарат теории связи. В зависимости от предсказуемости своих значений, сигналы делятся на детерминированные и случайные, каждый из которых требует особого математического подхода. Важно понимать, что каждый тип сигнала требует уникального набора инструментов для анализа, что напрямую влияет на выбор методов обработки и передачи данных.

Представление детерминированных сигналов

Детерминированные, или регулярные, сигналы — это те, чьи значения в любой момент времени могут быть точно рассчитаны заранее. Они описываются конкретными математическими функциями. Примерами могут служить гармоническое колебание, прямоугольный импульс, пилообразное напряжение.

Временное представление сигнала x(t) описывает его амплитуду как функцию времени. Однако для анализа поведения сигнала в каналах связи, особенно при проектировании фильтров и определении полосы пропускания, гораздо более информативным является его частотное представление, или спектр. Переход между этими двумя областями осуществляется посредством преобразования Фурье.

Прямое преобразование Фурье для детерминированного непериодического сигнала x(t) позволяет получить его спектральную плотность X(ω):

X(ω) = ∫-∞∞ x(t) e-jωt dt

Здесь ω = 2πf — угловая частота (рад/с), t — время (с), j — мнимая единица. Спектральная плотность X(ω) показывает распределение энергии или мощности сигнала по частотам.

Обратное преобразование Фурье позволяет восстановить исходный сигнал во временной области по его спектру:

x(t) = (1 / 2π) ∫-∞∞ X(ω) ejωt dω

Эти две формулы образуют мощный математический аппарат, позволяющий переходить от анализа сигнала во времени к анализу его частотных составляющих и обратно, что критически важно при разработке систем передачи информации. Например, спектральное представление позволяет определить минимально необходимую полосу пропускания канала для передачи сигнала без существенных искажений, что позволяет избежать дорогостоящих ошибок при проектировании оборудования.

Анализ случайных стационарных сигналов

В отличие от детерминированных, случайные сигналы — это те, чьи значения в любой момент времени нельзя предсказать точно. Они описываются случайными процессами и характеризуются с помощью статистических параметров, таких как математическое ожидание, дисперсия, автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности. В статистической радиотехнике случайные сигналы часто используются для моделирования шумов и помех.

Наиболее распространенным и фундаментальным примером стационарного случайного процесса, используемого для моделирования шума, является флуктуационный (тепловой) шум. Этот шум возникает из-за хаотического движения электронов в проводниках и описывается Нормальным (Гауссовым) законом распределения. Важным свойством теплового шума является то, что его спектральная плотность мощности равномерно распределена по всему частотному диапазону, что позволяет моделировать его как аддитивный белый гауссов шум (AWGN) – идеализированную модель шума, присутствующего во многих реальных каналах связи.

Для анализа случайных сигналов ключевыми характеристиками являются:

1. Автокорреляционная функция (АКФ) R_x(τ): Она описывает степень статистической зависимости значений случайного процесса x(t) в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на интервал τ. Для стационарного случайного процесса x(t) АКФ определяется как:

Rx(τ) = E [ x(t) x(t + τ) ]

где E[⋅] – оператор математического ожидания. АКФ позволяет понять, насколько «быстро» изменяются значения сигнала и сохраняются ли его свойства на протяжении определенного временного интервала.

2. Спектральная плотность мощности (СПМ) G(ω): Эта функция показывает, как мощность случайного сигнала распределена по частотному спектру. Она является аналогом спектра для детерминированных сигналов, но при этом характеризует среднюю мощность, а не амплитуду. Ключевую роль в связи между временными и частотными характеристиками случайных процессов играет теорема Винера-Хинчина. Эта теорема утверждает, что СПМ стационарного случайного процесса G(ω) и его АКФ R_x(τ) образуют пару преобразований Фурье:

G(ω) = ∫-∞∞ Rx(τ) e-jωτ dτ

Таким образом, СПМ является прямым преобразованием Фурье от автокорреляционной функции. Это фундаментальное соотношение позволяет, зная временные статистические свойства случайного сигнала (через АКФ), определить его распределение мощности по частотам, что крайне важно для проектирования фильтров и анализа помехоустойчивости. Например, для белого шума, у которого АКФ представляет собой дельта-функцию, СПМ является постоянной величиной по всему частотному диапазону.

Таблица 1: Сравнение характеристик детерминированных и случайных сигналов

Дискретизация и квантование аналоговых сигналов (Аналого-цифровое преобразование)

Преобразование аналогового сигнала в цифровую форму, или аналого-цифровое преобразование (АЦП), является ключевым этапом в любой цифровой системе связи. Этот процесс включает две основные операции: дискретизацию по времени и квантование по амплитуде. Цель АЦП — максимально точно представить непрерывный аналоговый сигнал конечным набором цифровых данных, минимизируя при этом потери информации и вносимые искажения. Именно здесь формируется основа для дальнейшей цифровой обработки, поэтому качество АЦП напрямую определяет потенциал всей системы.

Теорема Котельникова-Шеннона и выбор частоты дискретизации

Фундаментальным принципом, лежащим в основе дискретизации, является теорема Котельникова-Шеннона, также известная как теорема отсчетов или теорема Найквиста-Шеннона. Эта теорема утверждает, что аналоговый сигнал x(t), имеющий ограниченный спектр (то есть его максимальная частота f_max конечна), может быть однозначно и без потерь восстановлен по его дискретным отсчетам, если частота дискретизации f_д строго больше или равна удвоенной максимальной частоте спектра сигнала:

fд ≥ 2 fmax

Это условие 2f_max известно как частота Найквиста. Если частота дискретизации ниже этого порога, возникает эффект «наложения спектров» или алиасинг, при котором высокочастотные компоненты сигнала отображаются как низкочастотные, что делает невозможным корректное восстановление исходного сигнала.

Примером практического применения этой теоремы является стандарт телефонии ITU-T G.711, который описывает процесс импульсно-кодовой модуляции для кодирования аналоговых голосовых сигналов. Для голосового сигнала, который эффективно занимает полосу частот от 300 до 3400 Гц, максимальная частота f_max принимается равной 4000 Гц (с учетом защитного интервала). В соответствии с теоремой Котельникова-Шеннона, минимальная частота дискретизации должна быть 2 × 4000 Гц = 8000 Гц. Именно эта частота дискретизации, f_д = 8000 Гц, была выбрана для стандарта ITU-T G.711, что обеспечивает адекватное представление голосового сигнала при минимально возможном объеме передаваемых данных.

Квантование и анализ шума

После дискретизации по времени, каждый отсчет аналогового сигнала, который всё ещё является непрерывным по амплитуде, подвергается квантованию. Операция квантования (по амплитуде) заключается в замене непрерывного значения отсчета сигнала на ближайшее дискретное значение из фиксированного набора предопределенных уровней. Эти дискретные уровни затем представляются двоичным кодом. Чем больше число этих уровней, тем точнее представляется сигнал, но тем больше требуется битов для кодирования каждого отсчета.

Основным параметром равномерного квантования является шаг квантования Δ (величина кванта), который определяется как:

Δ = (Amax / 2N)

где A_max — полный динамический диапазон сигнала (разница между максимальной и минимальной амплитудами), а N — разрядность АЦП, то есть количество бит, используемых для представления одного квантованного отсчета.

В результате квантования всегда возникает ошибка, называемая шумом квантования. Это случайный процесс, который представляет собой разницу между исходным непрерывным значением отсчета и его квантованным (округленным) значением. Для равномерного квантования, при условии, что сигнал имеет достаточно широкий динамический диапазон и равномерно распределен по всем уровням квантования, шум квантования считается равномерно распределенным в интервале [-Δ/2, +Δ/2].

Средняя мощность шума квантования σ²_ш.кв для равномерного квантования определяется исключительно шагом квантования Δ:

σ2ш.кв = (Δ2 / 12)

Этот параметр критически важен, поскольку он непосредственно влияет на качество восстановленного сигнала. Чем меньше шаг квантования (то есть чем выше разрядность N), тем ниже мощность шума квантования.

Для оценки качества АЦП используется отношение сигнал/шум квантования (SQNR). Для идеального N-разрядного АЦП, при условии полномасштабного синусоидального входного сигнала, SQNR рассчитывается по формуле (в децибелах):

SQNRдБ ≈ 6.02 N + 1.76 дБ

Эта формула показывает, что увеличение разрядности АЦП на 1 бит улучшает SQNR примерно на 6 дБ.

Методика выбора оптимальной разрядности N АЦП:
Выбор оптимальной разрядности N — это компромисс между качеством сигнала и объемом данных. Существует эмпирическое правило: оптимальная разрядность N АЦП должна быть выбрана таким образом, чтобы шум квантования (SQNR) был на 6-10 дБ выше, чем отношение сигнал/шум (SNR) самого аналогового источника сигнала. Это делается для того, чтобы шум квантования не ухудшал результирующее качество сигнала более чем на 1 дБ. Например, если источник сигнала имеет SNR = 40 дБ, то SQNR должно быть не менее 46-50 дБ, что требует разрядности в 8-9 бит (по формуле 6.02N + 1.76).
В стандарте ITU-T G.711 для голосовой связи используется 8 бит на отсчет, что при частоте дискретизации 8000 Гц обеспечивает SQNR ≈ 6.02 × 8 + 1.76 = 48.16 + 1.76 = 49.92 дБ. Это значение является достаточным для обеспечения приемлемого качества телефонной связи. Важно отметить, что G.711 использует логарифмическое компандирующее квантование (A-law или μ-law), которое обеспечивает более равномерное распределение шума квантования по динамическому диапазону сигнала, улучшая качество для слабых сигналов по сравнению с равномерным квантованием. Это позволяет обеспечить высокое качество связи даже при низком уровне входного сигнала.

Формирование и спектральные характеристики сигнала импульсно-кодовой модуляции (ИКМ)

Импульсно-кодовая модуляция (ИКМ, Pulse Code Modulation, PCM) является краеугольным камнем в цифровой передаче аналоговых сигналов. Она представляет собой последовательность из трех ключевых операций, которые преобразуют непрерывный аналоговый сигнал в дискретную двоичную последовательность, пригодную для эффективной передачи и обработки в цифровых системах.

Структура ИКМ и скорость передачи данных

Процесс ИКМ включает следующие этапы:

1. Дискретизация по времени (Sampling): Аналоговый сигнал x(t) преобразуется в последовательность его мгновенных отсчетов x(k T_д), взятых с частотой дискретизации f_д = 1/T_д. Как уже было отмечено, f_д должна удовлетворять условию теоремы Котельникова-Шеннона (f_д ≥ 2 f_max).
2. Квантование по амплитуде (Quantization): Каждый отсчет x(k T_д) округляется до ближайшего разрешенного уровня из конечного набора дискретных значений. Количество этих уровней определяется разрядностью АЦП N.
3. Кодирование (Coding): Каждому квантованному уровню присваивается уникальный двоичный код (последовательность из N битов). Таким образом, каждый отсчет аналогового сигнала преобразуется в N двоичных символов.

На выходе ИКМ-кодера формируется непрерывная последовательность двоичных символов. Скорость передачи этой последовательности, называемая скоростью передачи двоичных символов R_б (бит/с), напрямую зависит от частоты дискретизации и разрядности квантования:

Rб = fд × N

Рассмотрим пример стандарта ITU-T G.711 для голосовой связи. Как мы уже выяснили:

• Частота дискретизации f_д = 8000 Гц.
• Разрядность N = 8 бит на отсчет.

Подставив эти значения в формулу, получаем скорость передачи данных:

Rб = 8000 Гц × 8 бит/отсчет = 64 000 бит/с = 64 кбит/с

Эта скорость в 64 кбит/с является стандартной для одного канала ИКМ голосовой связи и известна как Основной Цифровой Канал (ОЦК).

Спектральная плотность мощности (СПМ) сигнала ИКМ

Последовательность двоичных символов на выходе ИКМ-кодера может быть представлена в виде электрических импульсов. Форма этих импульсов и их кодирование (например, NRZ-Polar, RZ, Манчестер) существенно влияют на спектральные характеристики сигнала и, как следствие, на требования к полосе пропускания канала.

Рассмотрим случайную двоичную последовательность импульсов ИКМ с полярным кодированием без возвращения к нулю (NRZ-Polar). В этом случае логическая «1» представляется импульсом амплитуды +A, а логический «0» — импульсом амплитуды -A, при этом длительность каждого импульса T_и равна длительности битового интервала. Для случайной последовательности с равной вероятностью появления «0» и «1» математическое ожидание такого сигнала равно нулю.

Спектральная плотность мощности G(ω) такой последовательности без дискретных составляющих (которые соответствовали бы периодическим компонентам) определяется формулой:

G(ω) = A2 Tи sinc2 ( (ω Tи) / 2 )

где функция sinc(x) = sin(x)/x определяет форму спектра. Важно отметить, что для случайной двоичной последовательности с равной вероятностью «0» и «1» и средним значением равным нулю, СПМ не имеет дискретных составляющих на нулевой частоте (ω = 0), что характерно для спектральных характеристик цифровых сигналов.

Форма спектра, задаваемая функцией sinc²(x), имеет ярко выраженный основной лепесток, содержащий большую часть энергии сигнала, и ряд боковых лепестков.

Полоса пропускания B₀ низкочастотного цифрового сигнала ИКМ часто определяется по частоте первого нуля спектральной плотности мощности. Это практически означает, что мы учитываем только основной лепесток спектра, в котором сосредоточена основная энергия сигнала. Условие первого нуля для функции sinc(x) равно x = π. Следовательно:

(ω0 Tи) / 2 = π

Откуда угловая частота первого нуля ω₀ = 2π / T_и. Переходя к обычной частоте f₀ = ω₀ / (2π), получаем:

f0 = 1 / Tи

Поскольку скорость передачи двоичных символов R_б связана с длительностью импульса T_и соотношением R_б = 1/T_и (так как каждый бит длится T_и секунд), то минимальная требуемая полоса пропускания для передачи сигнала ИКМ NRZ до первого нуля спектра составляет:

B0 = Rб (Гц)

Таким образом, для канала ИКМ G.711 со скоростью R_б = 64 кбит/с, минимально необходимая полоса пропускания составляет 64 кГц. Это означает, что для передачи голосового сигнала, который изначально занимал 4 кГц, в цифровой форме требуется значительно большая полоса. Это плата за преимущества цифровой передачи, но она компенсируется существенным улучшением помехоустойчивости и гибкости.

Блок-схема ИКМ-кодера:

+------------------+     +----------------+     +-----------------+     +-----------------+
| Аналоговый сигнал|---->| Дискретизатор  |---->|  Квантователь   |---->|     Кодер       |----> Цифровой сигнал
|      x(t)        |     | (Антиалайсинг) |     |  (N бит/отсчет) |     | (Двоичный код)  |
+------------------+     +----------------+     +-----------------+     +-----------------+
                           ^
                           | fд = 8000 Гц
                           |
                           +------------------------------------------------------------------

Анализ помехоустойчивости канала с дискретной частотной модуляцией (ДЧМ)

После того как аналоговый сигнал был преобразован в цифровую последовательность (например, ИКМ-сигнал), следующим шагом является его подготовка к передаче по каналу связи. Это достигается с помощью модуляции — процесса изменения параметров несущего колебания в соответствии с передаваемым цифровым сигналом. Одним из распространенных методов является дискретная частотная модуляция.

Принцип ДЧМ (BFSK) и энергетическая эффективность

Дискретная частотная модуляция (ДЧМ), также известная как двоичная частотная манипуляция (Binary Frequency Shift Keying – BFSK), является видом модуляции, при котором двоичные символы («0» и «1») передаются с помощью двух различных синусоидальных сигналов с разными, но близкими несущими частотами, f₁ и f₂. Например, логический «1» может передаваться сигналом S₁(t) = A cos(2πf₁t), а логический «0» — сигналом S₂(t) = A cos(2πf₂t), на протяжении битового интервала T.

Ключевым аспектом при проектировании ДЧМ-систем является выбор частот f₁ и f₂ таким образом, чтобы сигналы S₁(t) и S₂(t) были ортогональными на интервале бита T. Ортогональность означает, что их скалярное произведение равно нулю:

∫0T S1(t) S2(t) dt = 0

Ортогональность упрощает оптимальный прием, позволяя однозначно различать символы даже в условиях шума.

В пространстве сигналов ортогональные сигналы соответствуют двум векторам, расположенным под прямым углом друг к другу. Расстояние между сигнальными точками (энергетическое расстояние E_э) для ортогональных сигналов при оптимальном когерентном приеме определяется как:

Eэ = ∫0T [S1(t) - S2(t)]2 dt = 2 Eб

где E_б — энергия одного бита (E_б = A² T / 2 для синусоидального сигнала).

Энергетическая эффективность и сравнение с ДФМ (BPSK):
ДЧМ обеспечивает определенную помехоустойчивость, но её энергетическая эффективность ниже, чем у некоторых других видов модуляции, например, двоичной фазовой манипуляции (ДФМ, Binary Phase Shift Keying – BPSK). ДФМ использует антиподальные (противоположные) сигналы, где «1» передается S₁(t), а «0» — -S₁(t). Для антиподальных сигналов энергетическое расстояние E_э равно:

Eэ (BPSK) = ∫0T [S1(t) - (-S1(t))]2 dt = ∫0T [2 S1(t)]2 dt = 4 ∫0T S12(t) dt = 4 Eб

Сравнивая энергетические расстояния, мы видим, что для ДЧМ E_э = 2E_б, а для ДФМ E_э = 4E_б. Это означает, что для достижения одинаковой вероятности ошибки, ДЧМ (с ортогональными сигналами) требует в 2 раза большей энергии бита E_б по сравнению с ДФМ (с антиподальными сигналами). В децибелах это соответствует проигрышу в 3 дБ для BFSK относительно BPSK. Этот факт является критически важным при выборе схемы модуляции в условиях ограниченной мощности передатчика, поскольку напрямую влияет на дальность связи и энергопотребление.

Блок-схема ДЧМ модулятора:

+------------------+     +-------------------+
| Цифровой сигнал  |---->| Кодировщик        |
|  (битовая строка) |     | (1 -> f1, 0 -> f2)|
+------------------+     +-------------------+
                                   |
                                   V
                          +-------------------+
                          | Генератор несущих |
                          | f1, f2            |
                          +-------------------+
                                   |
                                   V
                          +-------------------+
                          | Выходной сигнал   |----> Канал связи
                          | D-FM              |
                          +-------------------+

Расчет вероятности битовой ошибки (BER)

Основной метрикой помехоустойчивости цифровой системы связи является вероятность битовой ошибки (BER, Bit Error Rate). Она показывает, какая доля переданных битов была принята с ошибками. Для оптимального когерентного приема двоичных ортогональных сигналов (ДЧМ/BFSK) в канале с аддитивным белым гауссовым шумом (AWGN) вероятность битовой ошибки P_б определяется через отношение энергии бита к спектральной плотности мощности шума E_б / N₀:

Pб = Q(√(Eб / N0))

где Q(x) – это Q-функция, которая представляет собой хвостовую вероятность стандартного нормального распределения. Она определяет вероятность того, что случайная величина с нормальным распределением (среднее = 0, дисперсия = 1) превысит значение x.

Q-функция тесно связана с дополнительной функцией ошибок erfc(⋅), которая часто используется в инженерных расчетах и математических пакетах. Соотношение между ними:

Q(x) = (1/2) erfc (x / √2)

Используя это соотношение, формулу для вероятности ошибки когерентной ДЧМ/BFSK можно переписать в более удобном для некоторых вычислений виде:

Pб = (1/2) erfc (√(Eб / (2 N0)))

Эта формула позволяет точно рассчитать ожидаемую вероятность ошибки для заданной системы при известных параметрах сигнала и шума. E_б / N₀ является фундаментальным энергетическим отношением, определяющим качество связи в цифровых системах.

Пропускная способность канала по Шеннону

Непреложным теоретическим пределом для скорости передачи информации по каналу связи является теорема Шеннона-Хартли, которая определяет максимально возможную пропускную способность C (бит/с) при заданной полосе пропускания ΔF и отношении мощности сигнала к мощности шума P_с / P_ш (для канала с AWGN):

C = ΔF log2 (1 + (Pс / Pш))

Здесь ΔF — полоса пропускания канала (Гц), P_с — средняя мощность сигнала, а P_ш — средняя мощность шума в полосе ΔF.
P_ш может быть выражена как N₀ ΔF, где N₀ — односторонняя спектральная плотность мощности шума. Тогда отношение сигнал/шум P_с / P_ш можно записать как P_с / (N₀ ΔF).

Формула Шеннона устанавливает теоретический предел, который невозможно превысить, независимо от сложности кодирования или модуляции. Она позволяет оценить потенциально достижимую скорость передачи информации по каналу, но не указывает, как именно достичь этой скорости. Реальные системы всегда работают со скоростью ниже пропускной способности Шеннона из-за неидеальных модуляций, декодеров и ограничений на сложность реализации. Однако она служит важнейшим ориентиром при проектировании систем связи, показывая максимально возможный потенциал канала. Но что означает этот теоретический предел для инженера-практика, как он помогает в реальном проектировании?

Синтез системы и инженерный расчет: От АЦП до BER (Закрытие «Слепой Зоны»)

В предыдущих разделах мы подробно рассмотрели отдельные этапы формирования и передачи цифровых сигналов. Однако для полноценного инженерного анализа и проектирования системы крайне важно объединить эти знания в единую, сквозную расчетную модель. Именно здесь проявляется системный подход, который позволяет увидеть, как выбор параметров на одном этапе (например, разрядности АЦП) влияет на характеристики всей системы вплоть до вероятности битовой ошибки на приеме.

Методика сквозного расчета параметров

Представим методику пошагового расчета ключевых параметров системы передачи цифровых сигналов, используя в качестве отправной точки параметры, заданные в телекоммуникационном стандарте ITU-T G.711, который является основой для многих современных VoIP-систем и цифровых телефонных сетей.

Шаг 1: Определение исходных параметров на основе стандарта ITU-T G.711.

• Максимальная частота аналогового голосового сигнала f_max = 4000 Гц (с учетом защитного интервала).
• Частота дискретизации f_д = 8000 Гц.
• Разрядность АЦП N = 8 бит.

Шаг 2: Расчет скорости передачи двоичных символов R_б.
Используя параметры ИКМ:

Rб = fд × N
Rб = 8000 Гц × 8 бит/отсчет = 64 000 бит/с = 64 кбит/с

Это определяет скорость, с которой данные будут поступать на модулятор.

Шаг 3: Определение минимально необходимой полосы пропускания B₀ для ИКМ-сигнала.
Для NRZ-кодирования полоса пропускания до первого нуля спектра равна скорости передачи:

B0 = Rб
B0 = 64 кГц

Это требование к полосе пропускания цифрового канала перед модуляцией.

Шаг 4: Расчет SQNR для выбранной разрядности АЦП.

SQNRдБ = 6.02 N + 1.76
SQNRдБ = 6.02 × 8 + 1.76 = 48.16 + 1.76 = 49.92 дБ

Это качество сигнала на выходе АЦП, до модуляции и передачи по каналу.

Шаг 5: Определение требуемого отношения энергии бита к спектральной плотности шума (E_б/N₀) для заданной целевой вероятности ошибки P_б.
Пусть, например, нам требуется обеспечить целевую вероятность битовой ошибки P_б = 10^-5 для системы с ДЧМ (BFSK) и оптимальным когерентным приемом в AWGN-канале.
Используем формулу:

Pб = (1/2) erfc (√(Eб / (2 N0)))
Подставляем P_б = 10^-5:
10-5 = (1/2) erfc (√(Eб / (2 N0)))
2 × 10-5 = erfc (√(Eб / (2 N0)))

Для решения этого уравнения необходимо использовать таблицы или программные средства для обратного вычисления функции erfc.
Из таблиц или калькуляторов erfc, если erfc(x) = 2 × 10^-5, то x ≈ 3.24.
Значит:

√(Eб / (2 N0)) ≈ 3.24
Eб / (2 N0) ≈ 3.242 ≈ 10.5
Eб / N0 ≈ 2 × 10.5 = 21

Таким образом, для достижения P_б = 10^-5 при ДЧМ требуется отношение E_б / N₀ не менее 21 (или 13.22 дБ, так как 10 log₁₀(21) ≈ 13.22 дБ).

Шаг 6: Оценка необходимой пропускной способности канала по Шеннону.
Допустим, наша система работает в полосе ΔF = 64 кГц (как B₀ из Шага 3). Для достижения скорости R_б = 64 кбит/с, отношение P_с / P_ш должно быть:

C = Rб = 64 кбит/с
64 000 = 64 000 log2 (1 + (Pс / Pш))
1 = log2 (1 + (Pс / Pш))
21 = 1 + (Pс / Pш)
Pс / Pш = 1

Это означает, что для теоретического достижения скорости 64 кбит/с в полосе 64 кГц требуется отношение сигнал/шум всего 1 (0 дБ). Однако это идеальный предел. В реальных системах, для достижения заданной P_б с конкретной модуляцией (например, ДЧМ), E_б / N₀ (что эквивалентно P_с / P_ш) будет значительно выше.

Иллюстрация зависимости BER от E_б/N₀

Для наглядности и обоснования выбора модуляции, часто строят графики зависимости вероятности битовой ошибки от отношения E_б / N₀ для различных видов модуляции. Эти кривые потенциальной помехоустойчивости позволяют визуально сравнить эффективность различных схем.

На этом графике (который будет построен на основе таблицы) отчетливо видно, что кривая для BFSK (ДЧМ) смещена вправо относительно кривой для BPSK (ДФМ). Это графическое подтверждение того, что для достижения одной и той же вероятности ошибки, BFSK требует на 3 дБ больше энергии бита (E_б) по сравнению с BPSK. Например, чтобы достичь P_б = 10^-5, для BPSK требуется около 9 дБ E_б/N₀, в то время как для BFSK — около 12 дБ E_б/N₀.

Этот синтезированный подход позволяет инженеру принимать обоснованные решения на каждом этапе проектирования, понимая взаимосвязь между параметрами АЦП, требуемой полосой пропускания и конечной производительностью системы с точки зрения помехоустойчивости.

Заключение

Проведенный системный анализ и детальное теоретическое исследование принципов передачи дискретных сигналов позволили создать комплексную картину функционирования цифровых систем связи. Мы последовательно рассмотрели этапы преобразования аналогового сигнала в цифровую форму, его модуляции и передачи по каналу, демонстрируя глубокую взаимосвязь между отдельными элементами.

В ходе работы были раскрыты фундаментальные математические основы описания сигналов, как детерминированных, так и случайных, с акцентом на временные и частотные представления, а также на роль преобразования Фурье и теоремы Винера-Хинчина. Показано, что точность аналого-цифрового преобразования (АЦП) напрямую зависит от соблюдения теоремы Котельникова-Шеннона при выборе частоты дискретизации и от разрядности квантования, которая определяет уровень шума квантования и, как следствие, отношение сигнал/шум квантования (SQNR).

Особое внимание было уделено импульсно-кодовой модуляции (ИКМ) как основному методу цифрового кодирования источника. На примере стандарта ITU-T G.711 мы продемонстрировали, как параметры АЦП (частота дискретизации 8000 Гц и 8 бит разрядности) приводят к формированию стандартного цифрового потока 64 кбит/с и определяют минимально необходимую полосу пропускания сигнала ИКМ.

Далее был исследован принцип дискретной частотной модуляции (ДЧМ/BFSK) и проанализирована ее энергетическая эффективность. Было математически обосновано, что ДЧМ, использующая ортогональные сигналы, имеет 3 дБ проигрыша по мощности по сравнению с двоичной фазовой манипуляцией (ДФМ/BPSK), которая оперирует антиподальными сигналами. Расчет вероятности битовой ошибки (BER) для ДЧМ в условиях аддитивного белого гауссова шума (AWGN) с использованием Q-функции и связанной с ней дополнительной функции ошибок erfc(⋅) позволил количественно оценить помехоустойчивость системы. Кроме того, была рассмотрена формула пропускной способности канала по Шеннону-Хартли, устанавливающая теоретический предел скорости передачи информации.

Кульминацией работы стало объединение всех рассмотренных теоретических блоков в единую инженерную модель. Предложенная методика сквозного расчета параметров позволила наглядно продемонстрировать, как, исходя из стандартизированных параметров АЦП (G.711), можно последовательно определить скорость передачи данных, требуемую полосу пропускания и минимально необходимое отношение энергии бита �� спектральной плотности шума (E_б/N₀) для достижения заданной вероятности ошибки. Графическое представление зависимостей BER от E_б/N₀ для различных видов модуляции послужило убедительным подтверждением теоретических выводов.

Таким образом, данная работа подтверждает необходимость системного подхода к проектированию цифровых каналов связи. Понимание взаимосвязей между параметрами АЦП, спектральными характеристиками модулированных сигналов и потенциальной помехоустойчивостью является ключевым для разработки эффективных и надежных телекоммуникационных систем. Представленные математические модели и методики расчетов служат прочной академической основой для дальнейших исследований и практической реализации в области радиотехники, телекоммуникаций и информационных технологий.

Список использованной литературы

1. Тарадин Н. А. Методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине «Теория передачи сигналов».
2. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. 3е изд. – М.: Высшая школа, 2000. – 462 с.
3. Преобразование Фурье. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Преобразование_Фурье (дата обращения: 07.10.2025).
4. Спектральная плотность мощности и корреляционная функция случайного процесса на выходе линейной цепи. URL: http://narod.ru/ (дата обращения: 07.10.2025).
5. Шум квантования. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Шум_квантования (дата обращения: 07.10.2025).
6. Мощность шума квантования — Теория электрической связи. URL: https://studref.com/ (дата обращения: 07.10.2025).
7. Математические модели сигналов — Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ. URL: https://mephi.ru/ (дата обращения: 07.10.2025).
8. Теорема Котельникова. URL: https://studfile.net/ (дата обращения: 07.10.2025).
9. Импульсно-кодовая модуляция. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Импульсно-кодовая_модуляция (дата обращения: 07.10.2025).
10. Основы цифровой обработки сигналов; лекция 11 сентября 2017г. ; МФТИ. URL: https://mipt.ru/ (дата обращения: 07.10.2025).
11. Принцип формирования канального цифрового сигнала с ИКМ. URL: http://narod.ru/ (дата обращения: 07.10.2025).
12. Спектральная плотность мощности — СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ, ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. URL: https://studme.org/ (дата обращения: 07.10.2025).
13. Спектральная плотность мощности сигналов с m-ичной частотной манипуляцией при целом значении индекса модуляции. URL: https://cyberleninka.ru/ (дата обращения: 07.10.2025).
14. Раскладываем по полочкам параметры АЦП. URL: https://milandr.ru/ (дата обращения: 07.10.2025).
15. Шумы квантования. Мощность шумов квантования. URL: https://studfile.net/ (дата обращения: 07.10.2025).
16. МЕТОДИКА РАСЧЕТА ВЕРОЯТНОСТИ БИТОВОЙ ОШИБКИ ОПТИМАЛЬНОГО ПОСИМВОЛЬНОГО КОГЕРЕНТНОГО ПРИЕМА ДВОИЧНЫХ ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ ФАЗОМАНИПУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ ПРИ НАЛИЧИИ В КАНАЛЕ РАДИОСВЯЗИ УЗКОПОЛОСНОЙ ШУМОВОЙ ПОМЕХИ. URL: https://mai.ru/ (дата обращения: 07.10.2025).
17. 8. Потенциальная помехоустойчивость различных видов дискретной модуляции. Теория электрической связи. URL: https://siblec.ru/ (дата обращения: 07.10.2025).
18. erfc — Документация. URL: https://exponenta.ru/ (дата обращения: 07.10.2025).
19. Спектральные плотности некоторых сигналов. URL: https://dsplib.org/ (дата обращения: 07.10.2025).