Системный анализ и теория принятия решений: комплексный подход к выбору альтернатив в условиях определенности, риска и неопределенности

В современном мире, характеризующемся беспрецедентной сложностью, динамичностью и взаимосвязанностью, способность принимать эффективные решения становится критически важным навыком не только для руководителей высшего звена, но и для специалистов в любой сфере деятельности. От выбора инвестиционной стратегии до оптимизации логистических цепочек, от разработки государственной политики до проектирования сложнейших технических систем — каждый аспект требует глубокого, систематического осмысления. В этом контексте системный анализ и теория принятия решений выступают не просто как академические дисциплины, но как мощнейший инструментарий, позволяющий структурировать хаос информации, выявлять скрытые взаимосвязи и обосновывать выбор оптимальных альтернатив в условиях неопределенности, риска и даже кажущейся определенности.

Представленная работа ставит своей целью не просто обзор, а всестороннее, глубокое погружение в методологические и практические аспекты системного анализа и теории принятия решений. Мы рассмотрим эволюцию этих дисциплин, их фундаментальные принципы, а также детализируем математический аппарат ключевых критериев выбора, проиллюстрировав их применение на конкретных примерах. Уникальность данного исследования заключается в комплексном подходе, который объединяет исторический контекст, строгие математические формулировки и детальный сравнительный анализ, преодолевая фрагментарность, присущую многим существующим источникам. Курсовая работа будет последовательно раскрывать теоретические основы системного анализа, классификацию условий принятия решений, а затем переходить к подробному изучению критериев выбора в условиях определенности, риска и неопределенности, завершаясь демонстрацией их практической применимости и сводным анализом.

Теоретические основы системного анализа

Сущность и определения системного анализа

Системный анализ (СА) — это не просто набор методов, а целостная методология, предназначенная для подготовки и обоснования управленческих и стратегических решений в условиях высокой сложности и многофакторности. Зарождение системного анализа стало ответом на невозможность эффективного решения крупномасштабных, взаимосвязанных проблем с помощью традиционных, часто разрозненных подходов. Как указывает «Большая российская энциклопедия», СА — это «совокупность методологических средств, используемых для подготовки и обоснования решений по сложным проблемам политического, военного, социального, экономического, научного, технического характера». Важно подчеркнуть, что он включает в себя широкий спектр общенаучных, экспериментальных, естественнонаучных, статистических и математических методов.

В своей основе системный анализ неразрывно связан с системным подходом, который рассматривает любой объект как систему. Система, в свою очередь, определяется как «упорядоченная совокупность взаимосвязанных и взаимодействующих элементов (частей), закономерно образующих единое целое, обладающее свойствами, отсутствующими у элементов и отношений, его образующих». Это означает, что для понимания функционирования системы недостаточно изучить отдельные ее элементы; необходимо также исследовать связи между ними и то, как они взаимодействуют для достижения общей цели. Например, в организации системный подход предполагает рассмотрение ее как совокупности взаимозависимых элементов – задач, технологий, структуры и людей – все они ориентированы на достижение целей в изменяющейся внешней среде. Целостность, структурность и иерархичность – вот те фундаментальные характеристики, которые позволяют системному анализу трансформировать сложные, слабоструктурированные проблемы в поддающиеся управлению и анализу задачи.

Исторический обзор развития системного анализа и теории систем

История системного анализа — это история человеческой мысли, стремящейся к осмыслению и управлению сложностью. Идеи, легшие в основу системного подхода, зародились задолго до появления самого термина. Русский ученый Александр Александрович Богданов в своей работе «Всеобщая организационная наука (тектология)», опубликованной в 1912-1928 годах, впервые сформулировал концепцию, предвосхитившую многие положения современной теории систем. Он исследовал универсальные принципы организации и дезорганизации, применимые к системам любой природы – от физических до социальных, заложив основы для междисциплинарного системного мышления.

Однако формальное возрождение и развитие этих идей связывают с именем австрийского биолога Людвига фон Берталанфи, который в середине 1930-х годов представил «Общую теорию систем». Берталанфи выступил против редукционизма, утверждая, что сложные явления нельзя понять, сводя их к сумме частей. Он предложил рассматривать мир как иерархию систем, каждая из которых является частью более крупной и состоит из более мелких. Его работы стали мощным импульсом для формирования системного подхода как методологии.

Сам термин «системный анализ» впервые появился в 1948 году в контексте работ американской корпорации RAND. В послевоенный период, когда требовалось принимать стратегические решения по сложным военным и оборонным задачам, методы традиционного исследования операций оказались недостаточными. Именно тогда RAND Corporation начала разрабатывать новые подходы, позволяющие интегрировать экономические, технические и поведенческие аспекты. Кульминацией этих усилий стала публикация в 1956 году первой книги по системному анализу — исследовательского меморандума RM-1829-1 «Techniques of Systems Analysis», авторами которого были Герман Кан и Ирвин Манн. Этот документ не только систематизировал накопленный опыт, но и заложил основу для дальнейшего развития системного анализа как самостоятельной дисциплины, ориентированной на комплексное решение слабоструктурированных проблем.

Принципы системного подхода

Принципы системного подхода — это краеугольные камни, на которых строится вся методология системного анализа. Они диктуют особый образ мышления и алгоритм действий при исследовании сложных объектов:

• Целостность. Этот принцип гласит, что система представляет собой нечто большее, чем простая сумма ее частей. Свойства системы не сводятся к сумме свойств ее элементов. Например, оркестр — это не просто сумма музыкантов и их инструментов; его истинная ценность проявляется в гармоничном исполнении, где взаимодействие элементов создает новое качество. Целостность также означает, что изменение одного элемента влияет на всю систему, а система, в свою очередь, является подсистемой для более крупной надсистемы.
• Структурность. Система может быть описана не только через ее элементы, но и через связи и отношения между ними. Структура определяет способ организации элементов и их взаимодействие. Анализ структуры позволяет понять механизмы функционирования системы и предсказывать ее поведение.
• Иерархичность. Большинство сложных систем обладают иерархической структурой, что означает наличие уровней соподчинения. Элементы низшего уровня подчиняются элементам высшего уровня. В организации это проявляется во взаимодействии управляющей и управляемой подсистем, где решения, принятые на высшем уровне, определяют функционирование низших. Иерархия упрощает управление и анализ, позволяя фокусироваться на отдельных уровнях без потери общего контекста.
• Связность. Каждый элемент системы рассматривается не изолированно, а с учётом его связей как с другими элементами системы, так и с окружающей средой. Эти связи могут быть материальными, информационными, энергетическими. Понимание характера и интенсивности связей критически важно для определения устойчивости системы и ее реакции на внешние воздействия.
• Принцип конечной цели. Каждая система создается и функционирует для достижения определенной цели. Нечёткое или ошибочное определение целей является одной из главных причин неудач в системных проектах. Цель должна быть сформулирована максимально конкретно и, по возможности, количественно, чтобы можно было оценить степень ее достижения. Это ориентирует весь анализ на результат и позволяет выработать адекватные критерии эффективности.

Применение этих принципов позволяет системному анализу вырабатывать унифицированные алгоритмы принятия решений в различных областях знаний, значительно улучшая логичность, рациональность и системность мышления.

Методы и инструментарий системного анализа

Системный анализ опирается на широкий арсенал методов и инструментальных средств, позволяющих эффективно исследовать и решать сложные проблемы. Центральное место среди них занимает моделирование.

Моделирование — это процесс создания и изучения моделей реальных объектов, явлений или процессов с целью получения информации о них. В системном анализе модели классифицируются по множеству оснований:

• По степени формализации:
  • Формализованные модели — выражаются в виде математических уравнений, алгоритмов, логических конструкций (например, теоретико-множественные модели, модели математической логики, теории графов, детерминированные и вероятностные модели).
  • Неформализованные модели — словесные описания, аналогии, экспертные суждения.
• По характеру времени:
  • Статические модели — описывают состояние системы в определенный момент времени.
  • Динамические модели — описывают эволюцию системы во времени.
• По типу представления информации:
  • Детерминированные модели — результаты однозначно определяются входными данными.
  • Стохастические (вероятностные) модели — учитывают случайные факторы, используя аппарат теории вероятностей и математической статистики.

Особое внимание уделяется моделям, используемым для описания бизнес-процессов и архитектуры систем:

• BPMN (Business Process Model and Notation): Графическая нотация для моделирования бизнес-процессов, позволяющая наглядно представить последовательность действий, участников и потоки информации.
• IDEF (Integration Definition for Function Modeling): Семейство стандартов для моделирования различных аспектов систем, таких как функциональная декомпозиция (IDEF0), информационные потоки (IDEF1X) и другие.
• EPC (Event-driven Process Chain): Нотация для описания бизнес-процессов, ориентированная на события, которые запускают или завершают определенные функции.
• UML (Unified Modeling Language): Унифицированный язык моделирования, широко используемый в разработке программного обеспечения, но применимый и для описания общих системных архитектур. Включает диаграммы классов, последовательностей, состояний и другие.

Другим важнейшим методом системного анализа является декомпозиция — последовательное разделение сложной проблемы или системы на взаимосвязанные, но более простые для анализа и управления подпроблемы или подсистемы. Процесс декомпозиции включает:

1. Определение цели анализа и требуемого уровня детализации.
2. Выделение основных компонентов системы.
3. Установление связей между ними.
4. Построение структурной схемы или дерева декомпозиции.

Наиболее часто декомпозиция проводится путем построения:

• Дерева целей: Иерархическая структура, где общая цель декомпозируется на подцели, а те, в свою очередь, на более конкретные задачи, вплоть до операционного уровня. Это позволяет убедиться, что все действия направлены на достижение главной цели.
• Дерева функций: Разделение общей функции системы на подфункции, которые совместно обеспечивают ее выполнение.

Помимо моделирования и декомпозиции, системный анализ активно использует методы исследования операций (математическое программирование), экономико-статистические методы (корреляционный, регрессионный, факторный анализ) и методы прогнозирования (экспертные методы, трендовый анализ). Этот комплексный инструментарий позволяет аналитикам всесторонне исследовать сложные объекты и процессы, формируя основу для обоснованных и эффективных решений.

Общая теория принятия решений: классификация и принципы

Понятие решения, альтернативы и критерия

В основе теории принятия решений лежат три фундаментальных понятия, без четкого понимания которых невозможно построение эффективных моделей выбора: решение, альтернатива и критерий.

Решение — это акт выбора одного из нескольких возможных вариантов действий (альтернатив) с целью достижения определенной цели в конкретной ситуации. Это сознательный, целенаправленный процесс, результатом которого является устранение неопределенности относительно дальнейших действий. Решение всегда сопряжено с определенной ответственностью и имеет последствия.

Альтернатива — это один из взаимоисключающих вариантов действий или стратегий, доступных лицу, принимающему решение (ЛПР). Принятие решения предполагает наличие как минимум двух альтернатив. Если альтернатива одна, то выбора нет, и, следовательно, нет и процесса принятия решения. Альтернативы должны быть четко определены, осуществимы и релевантны поставленной задаче. Например, при выборе способа доставки груза, альтернативами могут быть: автомобильная, железнодорожная, морская или авиадоставка.

Критерий — это правило или мера, используемая для оценки и сравнения альтернатив с целью выбора наилучшей из них. Критерий определяет, что именно считается «лучшим» в данной ситуации. Выбор критериев является одним из самых ответственных этапов, так как он напрямую влияет на результат решения. Критерии могут быть количественными (например, прибыль, затраты, время) или качественными (например, репутация, надёжность, экологичность). В многокритериальных задачах, где необходимо учитывать несколько критериев одновременно, задача значительно усложняется, поскольку различные критерии могут вступать в противоречие друг с другом. Например, критерий минимизации затрат может противоречить критерию максимизации качества.

Классификация условий принятия решений

Условия, в которых принимается решение, оказывают решающее влияние на выбор методов и критериев. Традиционно выделяют три основные категории: определенность, риск и неопределенность.

1. Условия определенности:
   В этой ситуации ЛПР точно знает последствия каждого из доступных вариантов действий. Иными словами, для каждой альтернативы существует единственный, гарантированный исход, который известен заранее. Это идеальная, но редко встречающаяся в реальной жизни ситуация, чаще всего она возникает при решении хорошо структурированных задач с полными и достоверными данными. Примером может служить выбор наиболее выгодной финансовой инвестиции, когда известны все процентные ставки и условия вкладов. Задачи в условиях определенности часто решаются методами математического программирования.
2. Условия риска:
   В условиях риска последствия каждой альтернативы не известны с полной уверенностью, но известны вероятности наступления различных исходов. ЛПР может оценить вероятность каждого из возможных состояний внешней среды, которые влияют на результат выбора. Например, при инвестировании в акции нового предприятия, менеджер может оценить вероятность успеха или неудачи проекта, исходя из статистических данных по аналогичным проектам. Принятие решений в условиях риска часто опирается на концепцию ожидаемой полезности, где выбор делается в пользу той альтернативы, которая максимизирует средний ожидаемый результат с учетом вероятностей. Здесь применяются такие критерии, как критерий Байеса-Лапласа или критерий максимизации вероятности.
3. Условия неопределенности:
   Это наиболее сложная ситуация, когда ЛПР не только не знает точных последствий каждой альтернативы, но и не может оценить вероятности наступления различных исходов (состояний среды). Информация о будущем развитии событий либо отсутствует, либо является крайне неполной и субъективной. Примерами могут быть решения о выходе на совершенно новый рынок, разработка инновационного продукта без аналогов или прогнозирование поведения нового конкурента. В таких условиях ЛПР приходится полагаться на свои предпочтения, интуицию, или использовать критерии, которые учитывают различные стратегии поведения (оптимистическую, пессимистическую, осторожную). К таким критериям относятся критерий Вальда (максимина), критерий Гурвица, критерий минимаксного риска Сэвиджа, критерий Ходжеса-Лемана. Эти критерии отражают различные подходы к преодолению неполноты информации и индивидуальное отношение ЛПР к риску.

Понимание этих условий критически важно, так как выбор адекватного метода принятия решений напрямую зависит от степени информированности о будущих событиях.

Унифицированный алгоритм принятия решений в системном анализе

Системный анализ предлагает структурированный и последовательный подход к процессу принятия решений, который может быть представлен в виде унифицированного алгоритма. Этот алгоритм не только обеспечивает логичность и рациональность выбора, но и позволяет систематизировать работу с информацией, целями и альтернативами.

1. Ситуационный анализ:
   Первый этап включает глубокое изучение текущей ситуации, сбор и анализ всех доступных данных, выявление ключевых факторов, влияющих на проблему, и определение заинтересованных сторон. Цель — получить максимально полное и объективное представление о контексте, в котором необходимо принять решение.
2. Идентификация проблемы и постановка цели:
   На основе ситуационного анализа формулируется проблема, которую необходимо решить. Проблема должна быть четко определена, конкретна и измерима. Затем устанавливаются цели, которые должны быть достигнуты в результате решения. Цели должны быть SMART (Specific, Measurable, Achievable, Relevant, Time-bound — конкретные, измеримые, достижимые, релевантные, ограниченные во времени) и иерархически структурированы (построение дерева целей).
3. Поиск информации:
   Активный сбор дополнительной информации, необходимой для дальнейшего анализа. Это может включать проведение исследований, консультации с экспертами, анализ статистических данных, изучение прецедентов и лучших практик.
4. Формирование альтернативных решений:
   Генерирование максимально широкого спектра возможных вариантов действий, которые могут привести к достижению поставленных целей. На этом этапе приветствуется креативный подход, мозговой штурм, метод Дельфи. Важно избегать преждевременной оценки и отсева вариантов.
5. Определение критериев оценки:
   Выбор релевантных и измеримых критериев, по которым будут оцениваться сформированные альтернативы. Критерии должны отражать поставленные цели и быть значимыми для ЛПР. В многокритериальных задачах может потребоваться ранжирование критериев по важности или присвоение им весовых коэффициентов.
6. Разработка индикаторов мониторинга:
   Определение конкретных показателей, которые будут использоваться для отслеживания прогресса в реализации решения и оценки его эффективности после внедрения. Индикаторы должны быть объективными и позволять своевременно выявлять отклонения.
7. Оценка решений:
   Анализ каждой альтернативы по каждому из выбранных критериев. Этот этап может включать количественные расчеты, экспертные оценки, моделирование, а также применение различных методов, рассмотренных в последующих разделах (например, построение матрицы решений, расчет ожидаемой полезности).
8. Выбор наилучшего решения:
   На основе результатов оценки и применения выбранных критериев (например, максимина, Гурвица, Байеса-Лапласа) делается выбор в пользу одной, наиболее предпочтительной альтернативы. Этот выбор всегда обоснован и аргументирован.
9. Планирование реализации:
   Разработка детального плана действий по внедрению выбранного решения. План включает распределение ресурсов, определение сроков, назначение ответственных лиц и разработку необходимых процедур.
10. Реализация решения:
    Претворение плана в жизнь. Важно обеспечить эффективное управление проектом, коммуникацию и оперативное разрешение возникающих проблем.
11. Мониторинг результатов и оценка эффективности:
    Постоянное отслеживание выполнения решения с использованием разработанных индикаторов. Сравнение фактических результатов с запланированными целями. При необходимости — корректировка действий или даже пересмотр самого решения.

Этот алгоритм обеспечивает системность и обоснованность процесса принятия решений, минимизируя субъективизм и повышая вероятность достижения желаемых результатов.

Критерии принятия решений в условиях определенности

В условиях определенности, когда последствия каждого действия известны заранее, задача принятия решения сводится к выбору оптимальной альтернативы из множества доступных. Эти ситуации характеризуются полной информацией, что позволяет применять детерминированные методы.

Методы математического программирования

Когда речь идет о принятии решений в условиях определенности, методы математического программирования выступают в качестве мощнейшего инструментария. Они позволяют формализовать задачу выбора, представляя ее как оптимизационную проблему, где необходимо максимизировать или минимизировать определенную целевую функцию при соблюдении ряда ограничений. Эти методы особенно эффективны для хорошо структурированных задач с численными показателями.

Основные виды математического программирования включают:

• Линейное программирование: Используется, когда целевая функция и все ограничения являются линейными. Типичные задачи: оптимизация производственного плана, распределение ресурсов, составление логистических маршрутов.
• Нелинейное программирование: Применяется, если целевая функция или ограничения нелинейны. Возникает в задачах, где зависимость между переменными более сложная, например, при оптимизации инвестиционных портфелей с учетом риска.
• Целочисленное программирование: Вариант линейного или нелинейного программирования, где некоторые или все переменные должны принимать только целочисленные значения (например, количество произведенных единиц продукции, число назначенных сотрудников).
• Динамическое программирование: Метод для решения задач, которые могут быть разбиты на последовательность связанных подзадач. Применяется для оптимизации многошаговых процессов, таких как планирование производственных цепочек или маршрутов с несколькими остановками.

Примером может служить задача распределения ресурсов для производства двух видов продукции, А и В. Пусть прибыль от единицы продукции А составляет 5 ден. ед., а от В — 7 ден. ед. Для производства требуются два вида ресурсов, 1 и 2. Доступные ресурсы: 100 единиц ресурса 1 и 120 единиц ресурса 2. Затраты ресурсов на единицу продукции:

• Продукт А: 2 ед. ресурса 1, 3 ед. ресурса 2.
• Продукт В: 4 ед. ресурса 1, 2 ед. ресурса 2.

Цель: максимизировать общую прибыль.
Пусть x₁ — количество продукции А, x₂ — количество продукции В.
Целевая функция: Maximize Z = 5x₁ + 7x₂
Ограничения:

2x1 + 4x2 ≤ 100 (по ресурсу 1)
3x1 + 2x2 ≤ 120 (по ресурсу 2)
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Такая задача решается графически или симплекс-методом, позволяя найти оптимальное количество x₁ и x₂, при котором прибыль будет максимальной.

Критерии абсолютной и относительной уступки

В контексте многокритериальных задач в условиях определенности, когда несколько целевых показателей должны быть оптимизированы одновременно, часто применяются критерии, основанные на концепции уступки.

Критерий абсолютной уступки:
Этот критерий стремится минимизировать максимальное отклонение (уступку) от наилучшего возможного значения для каждого критерия. Иными словами, он выбирает такую альтернативу, которая является «наименее худшей» относительно идеального решения по всем критериям одновременно.

Пусть у нас есть множество альтернатив A = {a₁, a₂, …, a_m} и множество критериев K = {k₁, k₂, …, k_n}.
Для каждого критерия k_j существует идеальное значение I_j (максимальное, если критерий нужно максимизировать, или минимальное, если минимизировать).
Значение критерия k_j для альтернативы a_i обозначим как f_j(a_i).
Абсолютная уступка (неудовлетворенность) для альтернативы a_i по критерию k_j:

dij = |fj(ai) - Ij|

Цель критерия абсолютной уступки — найти такую альтернативу a^*, которая минимизирует максимальную уступку по всем критериям:

a* = argmini (maxj (dij))

Пример:
Предположим, мы выбираем поставщика из трех альтернатив (П₁, П₂, П₃) по двум критериям: цена (минимизация) и срок поставки (минимизация).

Поставщик	Цена (ед.)	Срок поставки (дни)
П1	100	5
П2	110	3
П3	90	7

Идеальные значения:
Цена (I₁) = 90 (минимальная цена)
Срок поставки (I₂) = 3 (минимальный срок)

Рассчитаем абсолютные уступки d_ij:

• П₁:
  • d₁₁ = |100 — 90| = 10
  • d₁₂ = |5 — 3| = 2
  • max(d₁₁, d₁₂) = 10
• П₂:
  • d₂₁ = |110 — 90| = 20
  • d₂₂ = |3 — 3| = 0
  • max(d₂₁, d₂₂) = 20
• П₃:
  • d₃₁ = |90 — 90| = 0
  • d₃₂ = |7 — 3| = 4
  • max(d₃₁, d₃₂) = 4

Согласно критерию абсолютной уступки, выбираем П₃, так как его максимальная уступка (4) наименьшая.

Критерий относительной уступки:
Этот критерий схож с абсолютным, но учитывает относительное отклонение от идеального значения, что позволяет сравнивать критерии, измеренные в разных единицах. Он минимизирует максимальный процент или долю отклонения.

Относительная уступка для альтернативы a_i по критерию k_j:

rij = |fj(ai) - Ij| / |Ij| (если Ij ≠ 0)

или

rij = |fj(ai) - Ij| / fj(ai) (если Ij = 0, или для нормализации)

Цель критерия относительной уступки — найти такую альтернативу a^*, которая минимизирует максимальную относительную уступку:

a* = argmini (maxj (rij))

Пример (продолжение):
Используем те же данные.
Идеальные значения: I₁ = 90, I₂ = 3.

Рассчитаем относительные уступки r_ij:

• П₁:
  • r₁₁ = |100 — 90| / 90 ≈ 0.111
  • r₁₂ = |5 — 3| / 3 ≈ 0.667
  • max(r₁₁, r₁₂) ≈ 0.667
• П₂:
  • r₂₁ = |110 — 90| / 90 ≈ 0.222
  • r₂₂ = |3 — 3| / 3 = 0
  • max(r₂₁, r₂₂) ≈ 0.222
• П₃:
  • r₃₁ = |90 — 90| / 90 = 0
  • r₃₂ = |7 — 3| / 3 ≈ 1.333
  • max(r₃₁, r₃₂) ≈ 1.333

Согласно критерию относительной уступки, выбираем П₂, так как его максимальная относительная уступка (0.222) наименьшая.

Преимущества и недостатки:

• Преимущества: Оба критерия интуитивно понятны, позволяют сравнивать альтернативы по нескольким критериям, особенно полезны, когда важно минимизировать максимальное отклонение от идеала. Относительный критерий особенно ценен при работе с разнородными критериями.
• Недостатки: Выбор идеальных значений может быть субъективным. Критерии фокусируются на худшем отклонении, игнорируя общую картину производительности по другим критериям. Могут привести к выбору «посредственной» альтернативы, которая нигде не проигрывает сильно, но и нигде не выигрывает блестяще.

Критерии идеальной и антиидеальной точки

Критерии идеальной и антиидеальной точки (часто ассоциируемые с методом TOPSIS — Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution) представляют собой мощный подход к многокритериальному выбору, когда целью является нахождение альтернативы, наиболее близкой к идеальному решению и наиболее удаленной от антиидеального (худшего) решения.

Концепция идеальной и антиидеальной точки:

• Идеальная точка (Ideal Solution, IS): Гипотетическая альтернатива, которая имеет наилучшее значение по каждому из критериев. Если критерий максимизируется, его значение для идеальной точки будет максимальным среди всех альтернатив; если минимизируется — минимальным. Это «лучший из лучших» результат, который может быть достигнут по каждому критерию в отдельности, но который, возможно, не может быть достигнут ни одной реальной альтернативой одновременно.
• Антиидеальная точка (Negative-Ideal Solution, NIS): Гипотетическая альтернатива, которая имеет наихудшее значение по каждому из критериев. Если критерий максимизируется, его значение для антиидеальной точки будет минимальным; если минимизируется — максимальным. Это «худший из худших» результат.

Алгоритм применения критериев идеальной и антиидеальной точки (метод TOPSIS):

1. Формирование матрицы решений:
   Создается матрица, где строки представляют альтернативы (A_i), а столбцы — критерии (C_j). Элемент x_ij — это значение j-го критерия для i-й альтернативы.
2. Нормализация матрицы решений:
   Для того чтобы сравнивать критерии, измеренные в разных единицах и имеющие разные масштабы, необходимо нормализовать матрицу. Часто используется векторная нормализация:
   x'ij = xij / √ Σi=1m (xij)2
3. Построение взвешенной нормализованной матрицы:
   Если критерии имеют разную важность, им присваиваются весовые коэффициенты (w_j), сумма которых равна 1. Затем нормализованные значения умножаются на веса:
   vij = wj ⋅ x'ij
4. Определение идеальной (IS) и антиидеальной (NIS) точек:
   • IS (A⁺): Для каждого критерия выбирается лучшее значение из всех альтернатив.
     A⁺ = {v₁⁺, v₂⁺, …, v_n⁺}, где
     v_j⁺ = max_i(v_ij) если критерий максимизируется
     v_j⁺ = min_i(v_ij) если критерий минимизируется
   • NIS (A^—): Для каждого критерия выбирается худшее значение из всех альтернатив.
     A^— = {v₁^—, v₂^—, …, v_n^—}, где
     v_j^— = min_i(v_ij) если критерий максимизируется
     v_j^— = max_i(v_ij) если критерий минимизируется
5. Расчет расстояний до идеальной и антиидеальной точек:
   Используется Евклидово расстояние.
   • Расстояние до идеальной точки для каждой альтернативы A_i:
     Si+ = √ Σj=1n (vij - vj+)2
   • Расстояние до антиидеальной точки для каждой альтернативы A_i:
     Si- = √ Σj=1n (vij - vj-)2
6. Расчет коэффициента близости к идеальной точке (предпочтительности):
   Для каждой альтернативы A_i рассчитывается коэффициент C_i^*:
   Ci* = Si- / (Si+ + Si-)
   Значение C_i^* находится в диапазоне [0, 1]. Чем ближе C_i^* к 1, тем предпочтительнее альтернатива.
7. Ранжирование альтернатив:
   Альтернативы ранжируются в порядке убывания коэффициента C_i^*. Альтернатива с наибольшим C_i^* является наилучшей.

Пример расчетов:
Продолжим пример с выбором поставщика: П₁, П₂, П₃. Критерии: цена (минимизация) и срок поставки (минимизация).
Исходные данные:

Поставщик	Цена (C1)	Срок (C2)
П1	100	5
П2	110	3
П3	90	7

Пусть веса критериев w₁ = 0.6 (цена), w₂ = 0.4 (срок).

1. Нормализация:
   Для C₁: √(100² + 110² + 90²) = √(10000 + 12100 + 8100) = √30200 ≈ 173.78
   Для C₂: √(5² + 3² + 7²) = √(25 + 9 + 49) = √83 ≈ 9.11
   Нормализованная матрица (x’_ij):

Поставщик	Цена (C1)	Срок (C2)
П1	100 / 173.78 ≈ 0.575	5 / 9.11 ≈ 0.549
П2	110 / 173.78 ≈ 0.633	3 / 9.11 ≈ 0.329
П3	90 / 173.78 ≈ 0.518	7 / 9.11 ≈ 0.768

2. Взвешенная нормализованная матрица (v_ij):

Поставщик	Цена (C1)	Срок (C2)
П1	0.575 ⋅ 0.6 = 0.345	0.549 ⋅ 0.4 = 0.220
П2	0.633 ⋅ 0.6 = 0.380	0.329 ⋅ 0.4 = 0.132
П3	0.518 ⋅ 0.6 = 0.311	0.768 ⋅ 0.4 = 0.307

3. Идеальная (A⁺) и антиидеальная (A^—) точки:
   Критерии минимизируются, поэтому для C₁: v₁⁺ = min(0.345, 0.380, 0.311) = 0.311; v₁^— = max(0.345, 0.380, 0.311) = 0.380
   Для C₂: v₂⁺ = min(0.220, 0.132, 0.307) = 0.132; v₂^— = max(0.220, 0.132, 0.307) = 0.307
   A⁺ = {0.311, 0.132}
   A^— = {0.380, 0.307}
4. Расстояния до A⁺ и A^—:
   • П₁:
     S1+ = √ [(0.345 - 0.311)2 + (0.220 - 0.132)2] = √ [0.0342 + 0.0882] = √ [0.001156 + 0.007744] = √0.0089 ≈ 0.094
S1- = √ [(0.345 - 0.380)2 + (0.220 - 0.307)2] = √ [(-0.035)2 + (-0.087)2] = √ [0.001225 + 0.007569] = √0.0088 ≈ 0.094
   • П₂:
     S2+ = √ [(0.380 - 0.311)2 + (0.132 - 0.132)2] = √ [0.0692 + 02] = √0.004761 ≈ 0.069
S2- = √ [(0.380 - 0.380)2 + (0.132 - 0.307)2] = √ [02 + (-0.175)2] = √0.030625 ≈ 0.175
   • П₃:
     S3+ = √ [(0.311 - 0.311)2 + (0.307 - 0.132)2] = √ [02 + 0.1752] = √0.030625 ≈ 0.175
S3- = √ [(0.311 - 0.380)2 + (0.307 - 0.307)2] = √ [(-0.069)2 + 02] = √0.004761 ≈ 0.069
5. Коэффициенты близости (C_i^*):
   • П₁: C₁^* = 0.094 / (0.094 + 0.094) = 0.5
   • П₂: C₂^* = 0.175 / (0.069 + 0.175) ≈ 0.717
   • П₃: C₃^* = 0.069 / (0.175 + 0.069) ≈ 0.283

Ранжирование: П₂ (0.717) > П₁ (0.5) > П₃ (0.283).
Наилучшая альтернатива — П₂.

Преимущества и недостатки:

• Преимущества: Методика TOPSIS логична, интуитивно понятна, позволяет учитывать веса критериев, обеспечивает сравнительную оценку альтернатив по их близости к идеалу и удаленности от антиидеала. Эффективна для задач с большим количеством альтернатив и критериев.
• Недостатки: Выбор метода нормализации и весов критериев может быть субъективным. Чувствительность к изменению количества альтернатив (добавление новой альтернативы может изменить ранг других).

Критерии принятия решений в условиях риска

В условиях риска, когда вероятности наступления различных состояний среды известны, задача ЛПР заключается в выборе альтернативы, которая максимизирует ожидаемую полезность или минимизирует ожидаемые потери. Матрица решений становится ключевым инструментом для структурирования информации.

Матрица решений и расчеты ожидаемой полезности

Матрица решений — это фундаментальный инструмент в теории принятия решений, особенно при работе в условиях риска и неопределенности. Она представляет собой таблицу, которая структурирует все возможные альтернативы, состояния внешней среды и исходы, связанные с каждой комбинацией альтернативы и состояния среды.

Построение матрицы решений:
Матрица решений (или матрица исходов) имеет следующий вид:

Альтернативы \ Состояния среды	S1 (p1)	S2 (p2)	…	Sn (pn)
A1	V11	V12	…	V1n
A2	V21	V22	…	V2n
…	…	…	…	…
Am	Vm1	Vm2	…	Vmn

Где:

• A_i (i = 1, …, m): Альтернативы или стратегии, доступные ЛПР.
• S_j (j = 1, …, n): Состояния внешней среды (или состояния природы), которые могут наступить и на которые ЛПР не может повлиять. Эти состояния должны быть взаимоисключающими и исчерпывающими (одно из них обязательно произойдет).
• p_j (j = 1, …, n): Вероятности наступления каждого состояния среды S_j. Сумма всех вероятностей должна быть равна 1 (Σ p_j = 1).
• V_ij: Исход (или выигрыш, полезность, прибыль) для ЛПР, если выбрана альтернатива A_i и наступило состояние среды S_j.

Расчеты ожидаемой полезности:
В условиях риска, когда известны вероятности p_j, наиболее распространенным подходом является расчет ожидаемой полезности (Expected Monetary Value, EMV) для каждой альтернативы. Ожидаемая полезность — это средневзвешенное значение всех возможных исходов альтернативы, где весами выступают вероятности этих исходов.

Формула для расчета ожидаемой полезности для альтернативы A_i:

EMV(Ai) = Σj=1n (Vij ⋅ pj)

ЛПР выбирает ту альтернативу, для которой значение ожидаемой полезности максимально. Этот подход соответствует принципу рационального выбора, предполагающего, что ЛПР стремится к максимизации своего выигрыша в среднем.

Пример:
Компания рассматривает три инвестиционных проекта (A₁, A₂, A₃). Возможны три состояния рынка: рост (S₁), стабильность (S₂), спад (S₃). Вероятности: p₁ = 0.4, p₂ = 0.3, p₃ = 0.3. Прибыли (в млн. руб.) для каждого проекта в зависимости от состояния рынка:

Проект \ Рынок	Рост (S1) p=0.4	Стабильность (S2) p=0.3	Спад (S3) p=0.3
A1	10	5	-2
A2	12	3	-3
A3	8	6	-1

Рассчитаем ожидаемую полезность для каждого проекта:

• EMV(A₁) = (10 ⋅ 0.4) + (5 ⋅ 0.3) + (-2 ⋅ 0.3) = 4 + 1.5 — 0.6 = 4.9 млн. руб.
• EMV(A₂) = (12 ⋅ 0.4) + (3 ⋅ 0.3) + (-3 ⋅ 0.3) = 4.8 + 0.9 — 0.9 = 4.8 млн. руб.
• EMV(A₃) = (8 ⋅ 0.4) + (6 ⋅ 0.3) + (-1 ⋅ 0.3) = 3.2 + 1.8 — 0.3 = 4.7 млн. руб.

Наибольшее значение ожидаемой полезности у проекта A₁ (4.9 млн. руб.). Таким образом, согласно критерию ожидаемой полезности, следует выбрать проект A₁.

Критерий Байеса-Лапласа

Критерий Байеса-Лапласа, также известный как критерий максимального математического ожидания, является одним из наиболее распространённых и интуитивно понятных методов принятия решений в условиях риска. Его суть заключается в выборе той альтернативы, которая максимизирует средний ожидаемый результат, учитывая вероятности наступления каждого состояния среды.

Математическая формулировка и алгоритм:
Предположим, у нас есть матрица решений V_ij, где V_ij — это исход (выигрыш) при выборе альтернативы A_i и наступлении состояния среды S_j. Также известны вероятности p_j наступления каждого состояния среды S_j, причем Σ_j=1ⁿ p_j = 1.

Согласно критерию Байеса-Лапласа, для каждой альтернативы A_i рассчитывается ее математическое ожидание (ожидаемая полезность) по формуле:

E(Ai) = Σj=1n (Vij ⋅ pj)

Затем выбирается та альтернатива A^*, для которой математическое ожидание максимально:

A* = argmaxi (E(Ai))

Если задача состоит в минимизации потерь, то выбирается альтернатива с минимальным ожидаемым значением.

Алгоритм применения:

1. Построить матрицу решений, указав все альтернативы (строки), состояния среды (столбцы) и соответствующие исходы (V_ij).
2. Указать вероятности (p_j) для каждого состояния среды.
3. Для каждой альтернативы A_i рассчитать математическое ожидание (E(A_i)) путем суммирования произведений исходов на их вероятности по всем состояниям среды.
4. Сравнить полученные значения E(A_i) для всех альтернатив.
5. Выбрать альтернативу с максимальным математическим ожиданием (для задачи максимизации выигрыша) или минимальным (для задачи минимизации потерь).

Пример расчетов:
Воспользуемся данными из предыдущего примера с инвестиционными проектами:

Проект \ Рынок	Рост (S1) p=0.4	Стабильность (S2) p=0.3	Спад (S3) p=0.3	E(Ai)
A1	10	5	-2	4.9
A2	12	3	-3	4.8
A3	8	6	-1	4.7

Расчеты математических ожиданий:

• E(A₁) = (10 ⋅ 0.4) + (5 ⋅ 0.3) + (-2 ⋅ 0.3) = 4.0 + 1.5 — 0.6 = 4.9
• E(A₂) = (12 ⋅ 0.4) + (3 ⋅ 0.3) + (-3 ⋅ 0.3) = 4.8 + 0.9 — 0.9 = 4.8
• E(A₃) = (8 ⋅ 0.4) + (6 ⋅ 0.3) + (-1 ⋅ 0.3) = 3.2 + 1.8 — 0.3 = 4.7

Поскольку E(A₁) = 4.9 является максимальным значением, то по критерию Байеса-Лапласа следует выбрать инвестиционный проект A₁.

Критерий максимизации вероятности

Критерий максимизации вероятности (или критерий моды) — это более специфичный подход к принятию решений в условиях риска, который фокусируется не на среднем ожидаемом выигрыше, а на вероятности получения наилучшего возможного исхода. Он особенно полезен, когда ЛПР стремится к достижению конкретного, очень желаемого результата, даже если его математическое ожидание может быть не самым высоким.

Математическое обоснование и примеры:
Этот критерий выбирает ту альтернативу, которая имеет наибольшую вероятность получения наиболее предпочтительного исхода. Иногда его формулируют как выбор альтернативы, для которой наиболее вероятное состояние среды дает наилучший результат.

Алгоритм применения:

1. Построить матрицу решений: Как и в случае с критерием Байеса-Лапласа, формируется матрица с альтернативами, состояниями среды и их вероятностями, а также исходами V_ij.
2. Для каждого состояния среды (S_j), определить наилучший исход: В каждом столбце матрицы найти максимальное значение V_ij.
3. Определить наиболее вероятное состояние среды: Выбрать состояние S_j, которое имеет наибольшую вероятность p_j.
4. Выбрать альтернативу: Если критерий максимизации вероятности применяется в его строгом смысле, то выбирается та альтернатива A_i, которая дает наилучший исход (V_ij) в наиболее вероятном состоянии среды (S_j).

Однако, более корректная интерпретация, особенно в контексте многокритериальных задач, может быть такой: для каждой альтернативы A_i определить тот исход V_ij, который имеет наибольшую вероятность p_j, а затем выбрать A_i, которая максимизирует этот исход. Или, что еще более распространено, выбрать ту альтернативу, которая максимизирует вероятность получения исхода, превышающего некий заданный пороговый уровень.

Пример:
Вернемся к инвестиционным проектам:

Проект \ Рынок	Рост (S1) p=0.4	Стабильность (S2) p=0.3	Спад (S3) p=0.3
A1	10	5	-2
A2	12	3	-3
A3	8	6	-1

Интерпретация 1 (выбор альтернативы с наилучшим исходом в наиболее вероятном состоянии):

1. Наиболее вероятное состояние среды — «Рост» (S₁) с вероятностью p₁ = 0.4.
2. В состоянии S₁ исходы таковы: A₁=10, A₂=12, A₃=8.
3. Наилучший исход в S₁ — 12, который достигается проектом A₂.
   Согласно этой интерпретации, выбирается A₂.

Интерпретация 2 (выбор альтернативы, которая с наибольшей вероятностью дает наивысший индивидуальный исход):
Эта интерпретация более сложная и требует определения «наивысшего индивидуального исхода» для каждой альтернативы.

• Для A₁: наивысший исход = 10 (при p=0.4).
• Для A₂: наивысший исход = 12 (при p=0.4).
• Для A₃: наивысший исход = 8 (при p=0.4).

Здесь A₂ по-прежнему выглядит предпочтительнее.

Если же критерий максимизации вероятности используется для выбора альтернативы, которая с наибольшей вероятностью превосходит определенный порог (например, прибыль ≥ 6 млн):

• A₁: Исходы ≥ 6 для A₁: 10 (S₁). Вероятность: p₁ = 0.4.
• A₂: Исходы ≥ 6 для A₂: 12 (S₁). Вероятность: p₁ = 0.4.
• A₃: Исходы ≥ 6 для A₃: 8 (S₁), 6 (S₂). Вероятность: p₁ + p₂ = 0.4 + 0.3 = 0.7.

В этом случае A₃ будет выбран, так как вероятность получения прибыли ≥ 6 млн. для него составляет 0.7, что выше, чем у A₁ и A₂ (по 0.4).

Этот пример показывает, что критерий максимизации вероятности может иметь разные интерпретации, и его применение сильно зависит от конкретной цели ЛПР.

Сравнительный анализ критериев риска

Критерии Байеса-Лапласа и максимизации вероятности представляют собой два различных подхода к принятию решений в условиях риска. Их выбор зависит от предпочтений ЛПР относительно риска и конкретных целей.

Критерий Байеса-Лапласа (максимизация ожидаемой полезности):

• Преимущества:
  • Рациональность: Основан на строгих математических принципах ожидаемой стоимости, что делает его рациональным выбором в долгосрочной перспективе, особенно при многократном повторении подобных решений.
  • Учет всех исходов: Принимает во внимание все возможные исходы и их вероятности, что обеспечивает комплексную оценку альтернатив.
  • Простота применения: Алгоритм расчета достаточно прост и понятен.
  • Универсальность: Применим как для максимизации выигрыша, так и для минимизации потерь.
• Недостатки:
  • Игнорирование дисперсии: Не учитывает разброс возможных исходов (риск). Две альтернативы могут иметь одинаковое ожидаемое значение, но одна из них может быть гораздо более рискованной (иметь как очень высокие, так и очень низкие исходы). Это делает его неприемлемым для ЛПР, склонных к избеганию риска или, наоборот, к его принятию.
  • «Средний» подход: Выбор основывается на среднем значении, что может не соответствовать целям ЛПР, если он хочет избежать катастрофических потерь, даже если средний выигрыш высок.
  • Требует точных вероятностей: Чрезвычайно чувствителен к точности оценок вероятностей.

Критерий максимизации вероятности:

• Преимущества:
  • Фокус на конкретном исходе: Позволяет сосредоточиться на достижении наиболее желаемого исхода или превышении заданного порогового значения.
  • Простота восприятия: Интуитивно понятен, особенно если ЛПР интересует максимальная вероятность успеха.
  • Полезен при ограниченных ресурсах: Если ресурсов достаточно только для одной попытки, и ЛПР стремится к достижению конкретной цели.
• Недостатки:
  • Игнорирование большинства информации: В своей простейшей форме критерий игнорирует большинство исходов и их вероятности, фокусируясь только на наиболее вероятном состоянии или на одном наилучшем исходе. Это может привести к неоптимальным решениям.
  • Возможные катастрофические исходы: Альтернатива, выбранная по этому критерию, может иметь крайне неблагоприятные исходы в других, менее вероятных, но все же возможных состояниях среды.
  • Субъективность: Интерпретация «наилучшего исхода» или «порогового значения» может быть субъективной.
  • Не подходит для минимизации потерь: В чистом виде критерий больше подходит для максимизации желаемого события, нежели для минимизации негативных последствий.

Области применимости:

• Критерий Байеса-Лапласа наиболее уместен в ситуациях, где:
  • Решения принимаются многократно, и можно ожидать, что «закон больших чисел» сгладит отклонения.
  • ЛПР нейтрален к риску и стремится к максимизации долгосрочной прибыли или полезности.
  • Имеются надежные статистические данные для оценки вероятностей.
  • Пример: страховые компании, управляющие большими портфелями рисков; крупные инвестиционные фонды.
• Критерий максимизации вероятности может быть полезен, когда:
  • ЛПР имеет очень специфическую, критически важную цель (например, «мы должны выйти на прибыль в 100 млн. с максимальной вероятностью»).
  • В случае, когда необходимо избежать худших сценариев с очень высокой вероятностью, даже если это означает отказ от более высокого ожидаемого выигрыша.
  • Пример: запуск нового продукта, где важно достичь определенного уровня продаж с наибольшей вероятностью, или стратегическое планирование, где ключевым является успех в наиболее вероятном сценарии развития рынка.

В целом, выбор критерия зависит от философии ЛПР, его отношения к риску, а также от специфики и масштаба решаемой проблемы. Часто целесообразно использовать несколько критериев для всесторонней оценки и выявления наиболее устойчивого решения.

Критерии принятия решений в условиях неопределенности

Условия неопределенности – это самый сложный сценарий для принятия решений, поскольку вероятности наступления различных состояний среды неизвестны или не могут быть достоверно оценены. В таких ситуациях ЛПР вынужден полагаться на свой стиль принятия решений – от крайнего пессимизма до безудержного оптимизма – и использовать критерии, которые отражают эти поведенческие стратегии.

Критерий Вальда (максимина)

Критерий Вальда, также известный как критерий максимина, является классическим подходом к принятию решений в условиях неопределенности, который отражает крайний пессимизм ЛПР. Он предполагает, что, независимо от того, какую альтернативу выберет ЛПР, природа выберет самое худшее из возможных состояний для этой альтернативы. Следовательно, ЛПР должен выбрать такую альтернативу, которая максимизирует свой минимально возможный выигрыш.

Математическая формулировка и алгоритм применения:
Пусть V_ij — это исход (выигрыш) при выборе альтернативы A_i и наступлении состояния среды S_j.

Алгоритм критерия Вальда:

1. Для каждой альтернативы A_i определить минимальный возможный исход (выигрыш) по всем состояниям среды:
   minVi = minj (Vij)
2. Среди этих минимальных исходов выбрать максимальное значение. Альтернатива, соответствующая этому максимальному значению, и будет выбрана:
   A* = argmaxi (minVi)

Если задача состоит в минимизации потерь (V_ij — это потери), то критерий Вальда будет стремиться минимизировать максимальные потери (максимин по потерям превращается в минимакс):

minimax(Ai) = maxj (Vij)
A* = argmini (maxj (Vij))

Пример:
Компания планирует выпуск нового продукта и рассматривает три стратегии (A₁, A₂, A₃). Будущие состояния рынка (S₁, S₂, S₃) неизвестны, их вероятности оценить невозможно. Прибыли (в млн. руб.) для каждой стратегии в зависимости от состояния рынка:

Стратегия \ Рынок	S1	S2	S3	minVi (худший исход)
A1	10	5	-2	-2
A2	12	3	-3	-3
A3	8	6	-1	-1

Применение критерия Вальда:

1. Для каждой стратегии находим минимальный исход:
   • Для A₁: min(-2, 5, 10) = -2
   • Для A₂: min(-3, 3, 12) = -3
   • Для A₃: min(-1, 6, 8) = -1
2. Среди этих минимальных исходов выбираем максимальный: max(-2, -3, -1) = -1.
   Таким образом, согласно критерию Вальда, следует выбрать стратегию A₃, так как она гарантирует минимальную потерю в -1 млн. руб., что является лучшим из худших сценариев.

Преимущества и недостатки:

• Преимущества: Подходит для ЛПР, которые крайне несклонны к риску и хотят гарантировать себе наилучший из наихудших исходов. Обеспечивает максимальную защиту от потерь.
• Недостатки: Чрезвычайно пессимистичен, игнорирует потенциально высокие выигрыши. Может привести к выбору стратегии с очень низкими, но гарантированными результатами, упуская возможности для значительного роста.

Критерий Гурвица (оптимизма-пессимизма)

Критерий Гурвица, в отличие от сугубо пессимистичного критерия Вальда, позволяет ЛПР учесть свою степень оптимизма или пессимизма при принятии решений в условиях неопределенности. Этот критерий использует коэффи��иент оптимизма, который отражает субъективное отношение ЛПР к будущим событиям.

Детальное изложение критерия, его формула с коэффициентом оптимизма, алгоритм и примеры расчетов:
Критерий Гурвица предполагает, что ЛПР не является ни абсолютным пессимистом, ни абсолютным оптимистом, а занимает промежуточную позицию. Эта позиция выражается через коэффициент оптимизма α (альфа), который находится в диапазоне от 0 до 1 (0 ≤ α ≤ 1).

• Если α = 1, ЛПР является полным оптимистом (выбирает альтернативу, которая максимизирует максимальный выигрыш).
• Если α = 0, ЛПР является полным пессимистом (критерий Вальда).
• При 0 < α < 1, ЛПР занимает промежуточную позицию.

Для каждой альтернативы A_i рассчитывается взвешенное значение, которое учитывает как наилучший, так и наихудший возможный исход.

Формула критерия Гурвица:

H(Ai) = α ⋅ maxj(Vij) + (1 - α) ⋅ minj(Vij)

Где:

• V_ij — исход (выигрыш) при выборе альтернативы A_i и наступлении состояния среды S_j.
• max_j(V_ij) — максимальный исход для альтернативы A_i.
• min_j(V_ij) — минимальный исход для альтернативы A_i.
• α — коэффициент оптимизма.

Затем выбирается та альтернатива A^*, для которой значение H(A_i) максимально:

A* = argmaxi (H(Ai))

Алгоритм применения:

1. Построить матрицу решений с альтернативами, состояниями среды и исходами (V_ij).
2. Для каждой альтернативы A_i найти максимальный (maxV_i) и минимальный (minV_i) исход.
3. Определить коэффициент оптимизма α, который отражает степень готовности ЛПР к риску (например, 0.7 для умеренного оптимизма, 0.3 для осторожности).
4. Для каждой альтернативы A_i рассчитать значение H(A_i) по формуле Гурвица.
5. Выбрать альтернативу с наибольшим значением H(A_i).

Пример расчетов:
Используем те же данные по стратегиям A₁, A₂, A₃:

Стратегия \ Рынок	S1	S2	S3	minVi	maxVi
A1	10	5	-2	-2	10
A2	12	3	-3	-3	12
A3	8	6	-1	-1	8

Пусть ЛПР умеренно оптимистичен, и выберем коэффициент оптимизма α = 0.6.

Рассчитаем значения H(A_i) для каждой стратегии:

• H(A₁) = 0.6 ⋅ 10 + (1 — 0.6) ⋅ (-2) = 0.6 ⋅ 10 + 0.4 ⋅ (-2) = 6 — 0.8 = 5.2
• H(A₂) = 0.6 ⋅ 12 + (1 — 0.6) ⋅ (-3) = 0.6 ⋅ 12 + 0.4 ⋅ (-3) = 7.2 — 1.2 = 6.0
• H(A₃) = 0.6 ⋅ 8 + (1 — 0.6) ⋅ (-1) = 0.6 ⋅ 8 + 0.4 ⋅ (-1) = 4.8 — 0.4 = 4.4

Сравниваем значения H(A_i): max(5.2, 6.0, 4.4) = 6.0.
Согласно критерию Гурвица с α = 0.6, следует выбрать стратегию A₂.

Преимущества и недостатки:

• Преимущества: Позволяет учесть субъективное отношение ЛПР к риску, не являясь ни чисто пессимистичным, ни чисто оптимистичным. Более гибок по сравнению с критерием Вальда.
• Недостатки: Выбор коэффициента оптимизма α является субъективным и может значительно влиять на результат. Критерий не учитывает все промежуточные исходы, а фокусируется только на крайних значениях.

Критерий минимаксного риска Сэвиджа

Критерий минимаксного риска Сэвиджа (Minimax Regret Criterion) предлагает совершенно иной взгляд на принятие решений в условиях неопределенности. Вместо того чтобы фокусироваться на максимизации выигрыша или минимизации потерь, этот критерий стремится минимизировать «сожаление» (упущенную выгоду), которое может возникнуть у ЛПР, если он выберет не самую лучшую альтернативу для наступившего состояния среды. Это критерий «минимизации максимального разочарования».

Объяснение концепции сожаления, математическая формулировка критерия, алгоритм и примеры:
Концепция сожаления:
Сожаление, или упущенная выгода (regret), для каждой альтернативы A_i при наступлении состояния среды S_j определяется как разница между наилучшим возможным исходом в этом состоянии S_j и фактическим исходом, полученным при выборе A_i.
Пусть V_ij — исход (выигрыш) при выборе альтернативы A_i и наступлении состояния среды S_j.
Определим V_j^max = max_i(V_ij) — максимальный выигрыш, который можно было бы получить, если бы было известно, что наступит состояние среды S_j.

Тогда сожаление (упущенная выгода) R_ij для альтернативы A_i при наступлении состояния S_j:

Rij = Vjmax - Vij

Чем больше R_ij, тем сильнее ЛПР будет сожалеть о своем выборе, если наступит S_j.

Математическая формулировка и алгоритм применения:

1. Построить матрицу сожалений (или матрицу рисков):
   • Для каждого состояния среды S_j (для каждого столбца матрицы исходов) найти максимальный выигрыш V_j^max.
   • Вычесть из каждого элемента столбца V_ij этот максимальный выигрыш V_j^max, чтобы получить элементы R_ij = V_j^max — V_ij. Все элементы матрицы сожалений будут неотрицательными.
2. Для каждой альтернативы A_i найти максимальное сожаление:
   maxRi = maxj (Rij)
3. Выбрать альтернативу, для которой максимальное сожаление минимально:
   A* = argmini (maxRi)

Пример расчетов:
Используем те же данные по стратегиям A₁, A₂, A₃:

Стратегия \ Рынок	S1	S2	S3
A1	10	5	-2
A2	12	3	-3
A3	8	6	-1

1. Строим матрицу сожалений:
   • Для S₁: max(10, 12, 8) = 12
     R₁₁ = 12 — 10 = 2
     R₂₁ = 12 — 12 = 0
     R₃₁ = 12 — 8 = 4
   • Для S₂: max(5, 3, 6) = 6
     R₁₂ = 6 — 5 = 1
     R₂₂ = 6 — 3 = 3
     R₃₂ = 6 — 6 = 0
   • Для S₃: max(-2, -3, -1) = -1
     R₁₃ = -1 — (-2) = 1
     R₂₃ = -1 — (-3) = 2
     R₃₃ = -1 — (-1) = 0

Матрица сожалений:

Стратегия \ Рынок	S1	S2	S3	maxRi (макс. сожаление)
A1	2	1	1	2
A2	0	3	2	3
A3	4	0	0	4

2. Находим максимальное сожаление для каждой стратегии:
   • Для A₁: max(2, 1, 1) = 2
   • Для A₂: max(0, 3, 2) = 3
   • Для A₃: max(4, 0, 0) = 4
3. Выбираем стратегию с минимальным максимальным сожалением: min(2, 3, 4) = 2.
   Таким образом, согласно критерию минимаксного риска Сэвиджа, следует выбрать стратегию A₁. Эта стратегия минимизирует максимальное разочарование, которое может испытать ЛПР.

Преимущества и недостатки:

• Преимущества: Ориентирован на минимизацию потенциального разочарования, что соответствует поведению ЛПР, стремящихся к стабильности и избеганию больших ошибок. Не требует субъективных коэффициентов.
• Недостатки: Игнорирует абсолютные значения выигрышей, фокусируясь только на относительном проигрыше. Может привести к выбору стратегии, которая не является лучшей по ожидаемому выигрышу.

Критерий Ходжеса-Лемана

Критерий Ходжеса-Лемана (Hodges-Lehmann Criterion) является менее известным, но интересным подходом к принятию решений в условиях неопределенности, который пытается объединить черты критерия Вальда (пессимизм) и Байеса-Лапласа (оптимизм, если принять гипотезу о равных вероятностях или использовать априорные вероятности). Он особенно актуален, когда у ЛПР есть некоторые приблизительные или неполные представления о вероятностях состояний среды, но нет возможности для их точной оценки.

Математическая формулировка, алгоритм и примеры применения:
Критерий Ходжеса-Лемана предлагает использовать взвешенную сумму ожидаемого выигрыша (рассчитанного с учетом некоторой априорной вероятности) и минимального выигрыша (как в критерии Вальда).

Предположим, у нас есть матрица исходов V_ij. Допустим, ЛПР может назначить некоторый вектор априорных вероятностей p = (p₁, p₂, …, p_n) для состояний среды, даже если эти вероятности не являются строго обоснованными, а скорее отражают его субъективное убеждение или наилучшую оценку.

Формула критерия Ходжеса-Лемана для каждой альтернативы A_i:

HL(Ai) = β ⋅ E(Ai) + (1 - β) ⋅ minj(Vij)

Где:

• E(Ai) = Σj=1n (Vij ⋅ pj) — ожидаемый выигрыш для альтернативы A_i, рассчитанный с использованием априорных вероятностей p_j.
• min_j(V_ij) — минимальный исход (выигрыш) для альтернативы A_i.
• β (бета) — коэффициент, отражающий вес, который ЛПР придает ожидаемому значению по сравнению с минимальным гарантированным выигрышем. 0 ≤ β ≤ 1.

Если β = 1, критерий превращается в Байеса-Лапласа (если априорные вероятности p_j достоверны).
Если β = 0, критерий превращается в Вальда.

Алгоритм применения:

1. Построить матрицу решений с альтернативами, состояниями среды и исходами (V_ij).
2. Оценить или предположить априорные вероятности p_j для каждого состояния среды (например, равные вероятности, если нет иной информации, или экспертные оценки).
3. Для каждой альтернативы A_i:
   • Рассчитать ожидаемый выигрыш E(A_i) с использованием этих вероятностей.
   • Найти минимальный исход min_j(V_ij).
4. Определить коэффициент β, который отражает баланс между ожидаемым результатом и гарантированным минимумом.
5. Для каждой альтернативы A_i рассчитать значение HL(A_i) по формуле Ходжеса-Лемана.
6. Выбрать альтернативу с наибольшим значением HL(A_i).

Пример расчетов:
Используем те же данные по стратегиям A₁, A₂, A₃:

Стратегия \ Рынок	S1	S2	S3	minVi
A1	10	5	-2	-2
A2	12	3	-3	-3
A3	8	6	-1	-1

Предположим, у нас нет точных вероятностей, но мы можем принять, что все состояния примерно равновероятны: p₁ = p₂ = p₃ = 1/3 ≈ 0.333.
Предположим, ЛПР придает большее значение ожидаемому результату, чем абсолютному минимуму, и выберем β = 0.7.

1. Рассчитываем ожидаемые выигрыши E(A_i) с p_j=1/3:
   • E(A₁) = (10 ⋅ 1/3) + (5 ⋅ 1/3) + (-2 ⋅ 1/3) = (10 + 5 — 2) / 3 = 13 / 3 ≈ 4.33
   • E(A₂) = (12 ⋅ 1/3) + (3 ⋅ 1/3) + (-3 ⋅ 1/3) = (12 + 3 — 3) / 3 = 12 / 3 = 4.00
   • E(A₃) = (8 ⋅ 1/3) + (6 ⋅ 1/3) + (-1 ⋅ 1/3) = (8 + 6 — 1) / 3 = 13 / 3 ≈ 4.33
2. Находим минимальные исходы minV_i (уже есть в таблице):
   • minV₁ = -2
   • minV₂ = -3
   • minV₃ = -1
3. Рассчитываем HL(A_i) с β = 0.7:
   • HL(A₁) = 0.7 ⋅ 4.33 + (1 — 0.7) ⋅ (-2) = 0.7 ⋅ 4.33 + 0.3 ⋅ (-2) = 3.031 — 0.6 = 2.431
   • HL(A₂) = 0.7 ⋅ 4.00 + (1 — 0.7) ⋅ (-3) = 0.7 ⋅ 4.00 + 0.3 ⋅ (-3) = 2.8 — 0.9 = 1.9
   • HL(A₃) = 0.7 ⋅ 4.33 + (1 — 0.7) ⋅ (-1) = 0.7 ⋅ 4.33 + 0.3 ⋅ (-1) = 3.031 — 0.3 = 2.731

Сравниваем значения HL(A_i): max(2.431, 1.9, 2.731) = 2.731.
Согласно критерию Ходжеса-Лемана с β = 0.7, следует выбрать стратегию A₃.

Преимущества и недостатки:

• Преимущества: Гибкий критерий, который позволяет ЛПР сочетать элементы пессимизма (защита от худшего исхода) с элементами оптимизма (стремление к хорошему ожидаемому результату). Может использоваться, когда есть хоть какие-то догадки о вероятностях.
• Недостатки: Выбор априорных вероятностей p_j и коэффициента β является субъективным и может сильно влиять на результат. Как и критерий Гурвица, не учитывает всю информацию о промежуточных исходах.

Применение теории игр в условиях конфликта и неопределенности

Когда ЛПР сталкивается с ситуацией, где исход его решения зависит не только от случайных состояний природы, но и от целенаправленных действий «противника» или других разумных агентов, обычные критерии принятия решений в условиях неопределенности становятся недостаточными. Здесь на помощь приходит теория игр. Теория игр — это математический метод изучения стратегического взаимодействия между рациональными агентами, каждый из которых стремится максимизировать свой выигрыш, зная, что другие агенты также преследуют свои цели.

Краткий обзор использования элементов теории игр:

1. Моделирование конфликтных ситуаций:
   Теория игр позволяет моделировать широкий круг конфликтных ситуаций: от военных стратегий и деловых переговоров до аукционов и экологической политики. В таких моделях «среда» не является пассивным наблюдателем, а активно противодействует, пытаясь минимизировать выигрыш ЛПР или максимизировать свой собственный.
2. Основные элементы игры:
   • Игроки: Стороны, принимающие решения (ЛПР и его «противник» или конкуренты).
   • Стратегии: Наборы действий, которые каждый игрок может предпринять.
   • Выигрыши (платежи): Результаты для каждого игрока в зависимости от выбранных стратегий всех участников.
   • Информация: Знание игроков о стратегиях и выигрышах друг друга (игры с полной/неполной информацией).
3. Виды игр, релевантные для системного анализа:
   • Игры с нулевой суммой: Выигрыш одного игрока равен проигрышу другого (антагонистические игры). Часто используются для моделирования прямого противостояния.
   • Игры с ненулевой суммой: Выигрыш одного не обязательно означает проигрыш другого; возможны как выигрышные, так и проигрышные ситуации для всех (кооперативные и некооперативные игры).
   • Матричные игры: Простейший случай, где стратегии дискретны, а выигрыши представлены в виде платежной матрицы.
   • Игры с природой: Формально не являются играми в строгом смысле теории игр, так как «природа» не является разумным противником. Однако некоторые критерии неопределенности (например, минимаксного риска Сэвиджа) могут быть интерпретированы как игра против неблагосклонной природы.
4. Поиск оптимальных стратегий:
   В теории игр используются различные концепции равновесия для нахождения оптимальных стратегий:
   • Равновесие Нэша: Набор стратегий, при котором ни один игрок не может улучшить свой выигрыш, в одностороннем порядке изменив свою стратегию, при условии, что другие игроки сохраняют свои стратегии.
   • Минимаксный принцип: Принцип, который является основой для критерия Вальда в условиях неопределенности, но в теории игр применяется к обоим игрокам, чтобы найти «седловую точку» — оптимальную стратегию, которая максимизирует минимальный выигрыш для одного игрока и минимизирует максимальный проигрыш для другого.

Пример (из теории игр в контексте критериев неопределенности):
Критерий минимаксного риска Сэвиджа, хотя и используется для принятия решений в условиях неопределенности против «природы», имеет сильные связи с теорией игр. Он предполагает, что ЛПР выбирает стратегию, минимизирующую максимальное сожаление, как если бы природа (или противник) стремилась максимизировать это сожаление. Иными словами, ЛПР играет «против худшего сценария» по сожалениям.

Рассмотрим ситуацию, когда компания А (ЛПР) выбирает одну из трех рекламных кампаний (A₁, A₂, A₃), а конкурент (компания В) может выбрать одну из трех ответных стратегий (S₁, S₂, S₃). Никто не знает, что выберет противник. Платежная матрица (прибыль компании А в млн. руб.) выглядит так:

A \ S	S1	S2	S3
A1	10	5	-2
A2	12	3	-3
A3	8	6	-1

Если компания А использует критерий Вальда (пессимист):
min(A₁) = -2; min(A₂) = -3; min(A₃) = -1. Max(-2, -3, -1) = -1. Выбирает A₃.

Если компания А использует критерий Сэвиджа (минимизация сожаления):
Матрица сожалений:

A \ S	S1	S2	S3	maxRi
A1	2	1	1	2
A2	0	3	2	3
A3	4	0	0	4

Min(2, 3, 4) = 2. Выбирает A₁.

Эти примеры показывают, как различные критерии, корни которых лежат в теории игр или теории принятия решений в неопределенности, могут приводить к разным, но обоснованным решениям, в зависимости от отношения ЛПР к риску и представлению о поведении «среды» (будь то пассивная природа или активный противник).

Практическое применение методов системного анализа и теории принятия решений

Примеры расчетов и кейс-стади

Для того чтобы продемонстрировать практическую ценность и алгоритм применения каждого из рассмотренных критериев, представим единый кейс, который будет последовательно анализироваться в различных условиях.

Кейс-стади: Выбор стратегии развития для IT-стартапа «Innovatech»

Стартап «Innovatech» разрабатывает инновационное мобильное приложение и стоит перед выбором одной из трех стратегий развития на ближайший год:

• A₁: Агрессивный маркетинг и быстрый рост. Большие инвестиции в рекламу, нацеленность на быструю экспансию.
• A₂: Фокус на продукте и органический рост. Основное внимание на доработке функционала, улучшении пользовательского опыта, надежда на «сарафанное радио».
• A₃: Нишевая стратегия. Ориентация на узкий сегмент рынка с высоким средним чеком, персонализированный подход.

Возможные состояния внешней среды (рынка) на следующий год:

• S₁: Высокий рост рынка (быстрое внедрение новых технологий).
• S₂: Умеренный рост рынка (стабильное развитие).
• S₃: Низкий рост рынка / стагнация (консервативный рынок).

Выигрыши (чистая прибыль в млн. USD) в зависимости от стратегии и состояния рынка:

Стратегия \ Рынок	S1 (Высокий рост)	S2 (Умеренный рост)	S3 (Низкий рост)
A1	15	6	-5
A2	10	8	-1
A3	7	9	3

—

1. Принятие решений в условиях риска (если известны вероятности)

Предположим, эксперты «Innovatech» оценили вероятности состояний рынка: p₁ = 0.4 (Высокий рост), p₂ = 0.3 (Умеренный рост), p₃ = 0.3 (Низкий рост).

• Критерий Байеса-Лапласа (максимизация ожидаемой полезности):
  • E(A₁) = (15 ⋅ 0.4) + (6 ⋅ 0.3) + (-5 ⋅ 0.3) = 6.0 + 1.8 — 1.5 = 6.3 млн. USD
  • E(A₂) = (10 ⋅ 0.4) + (8 ⋅ 0.3) + (-1 ⋅ 0.3) = 4.0 + 2.4 — 0.3 = 6.1 млн. USD
  • E(A₃) = (7 ⋅ 0.4) + (9 ⋅ 0.3) + (3 ⋅ 0.3) = 2.8 + 2.7 + 0.9 = 6.4 млн. USD

Вывод: Согласно критерию Байеса-Лапласа, стратегия A₃ (Нишевая стратегия) является предпочтительной, так как она максимизирует ожидаемую прибыль (6.4 млн. USD).

• Критерий максимизации вероятности (для достижения прибыли > 5 млн. USD):
  Цель: выбрать стратегию, которая с наибольшей вероятностью принесет прибыль более 5 млн. USD.
  • Для A₁: исходы > 5 млн. USD: 15 (p=0.4), 6 (p=0.3). Суммарная вероятность: 0.4 + 0.3 = 0.7.
  • Для A₂: исходы > 5 млн. USD: 10 (p=0.4), 8 (p=0.3). Суммарная вероятность: 0.4 + 0.3 = 0.7.
  • Для A₃: исходы > 5 млн. USD: 7 (p=0.4), 9 (p=0.3). Суммарная вероятность: 0.4 + 0.3 = 0.7.

Вывод: В данном случае, все три стратегии имеют одинаковую вероятность (0.7) достичь прибыли более 5 млн. USD. Если бы стояла задача максимизировать вероятность получения максимального выигрыша, то это была бы A₁ (15 млн с p=0.4).

—

2. Принятие решений в условиях неопределенности (вероятности неизвестны)

• Критерий Вальда (максимина / пессимизм):
  Находим минимальный выигрыш для каждой стратегии:
  • min(A₁) = min(15, 6, -5) = -5
  • min(A₂) = min(10, 8, -1) = -1
  • min(A₃) = min(7, 9, 3) = 3

Вывод: max(-5, -1, 3) = 3. Согласно критерию Вальда, стратегия A₃ (Нишевая стратегия) является предпочтительной, так как она гарантирует наилучший из наихудших результатов (3 млн. USD).

• Критерий Гурвица (оптимизма-пессимизма):
  Допустим, ЛПР имеет коэффициент оптимизма α = 0.7.
  • max(A₁) = 15, min(A₁) = -5
  • max(A₂) = 10, min(A₂) = -1
  • max(A₃) = 9, min(A₃) = 3

Рассчитываем H(A_i):

• H(A₁) = 0.7 ⋅ 15 + (1 — 0.7) ⋅ (-5) = 10.5 — 1.5 = 9.0
• H(A₂) = 0.7 ⋅ 10 + (1 — 0.7) ⋅ (-1) = 7.0 — 0.3 = 6.7
• H(A₃) = 0.7 ⋅ 9 + (1 — 0.7) ⋅ 3 = 6.3 + 0.9 = 7.2

Вывод: max(9.0, 6.7, 7.2) = 9.0. Согласно критерию Гурвица с α = 0.7, стратегия A₁ (Агрессивный маркетинг) является предпочтительной.

• Критерий минимаксного риска Сэвиджа (минимизация сожаления):
  Сначала построим матрицу сожалений:
  1. Находим максимальные выигрыши для каждого состояния рынка:
     • S₁: max(15, 10, 7) = 15
     • S₂: max(6, 8, 9) = 9
     • S₃: max(-5, -1, 3) = 3
  2. Вычисляем сожаления R_ij = V_j^max — V_ij:

Стратегия \ Рынок	S1	S2	S3	maxRi
A1	15 — 15 = 0	9 — 6 = 3	3 — (-5) = 8	8
A2	15 — 10 = 5	9 — 8 = 1	3 — (-1) = 4	5
A3	15 — 7 = 8	9 — 9 = 0	3 — 3 = 0	8

Вывод: min(8, 5, 8) = 5. Согласно критерию Сэвиджа, стратегия A₂ (Фокус на продукте) является предпочтительной.

• Критерий Ходжеса-Лемана:
  Примем равные априорные вероятности p₁ = p₂ = p₃ = 1/3 ≈ 0.333.
  Используем коэффициент β = 0.5 (нейтральное отношение к ожидаемому выигрышу и минимальному).
  • E(A₁) = (15+6-5)/3 ≈ 5.33
  • E(A₂) = (10+8-1)/3 = 5.67
  • E(A₃) = (7+9+3)/3 = 6.33

• min(A₁) = -5
• min(A₂) = -1
• min(A₃) = 3

Рассчитываем HL(A_i):

• HL(A₁) = 0.5 ⋅ 5.33 + 0.5 ⋅ (-5) = 2.665 — 2.5 = 0.165
• HL(A₂) = 0.5 ⋅ 5.67 + 0.5 ⋅ (-1) = 2.835 — 0.5 = 2.335
• HL(A₃) = 0.5 ⋅ 6.33 + 0.5 ⋅ 3 = 3.165 + 1.5 = 4.665

Вывод: max(0.165, 2.335, 4.665) = 4.665. Согласно критерию Ходжеса-Лемана с β = 0.5 и равными вероятностями, стратегия A₃ (Нишевая стратегия) является предпочтительной.

Этот кейс наглядно демонстрирует, как различные критерии, отражающие разные подходы к риску и неопределенности, могут приводить к выбору разных оптимальных стратегий для одного и того же набора исходных данных.

Сравнительный анализ всех критериев: преимущества, недостатки и области применимости

Подводя итог изучению многообразия критериев принятия решений, необходимо провести их сводный сравнительный анализ. Это позволит ЛПР осознанно подходить к выбору инструментария, исходя из специфики задачи, доступной информации и собственного отношения к риску.

Критерий	Условие	Отношение к риску / Предпочтения ЛПР	Преимущества	Недостатки	Области применимости
Абсолютной уступки	Определенность	Нейтральное, минимизация худшего отклонения	Интуитивно понятен, позволяет сравнивать разнородные критерии.	Фокусируется на худшем отклонении, игнорируя общую производительность. Выбор идеального значения субъективен.	Многокритериальные задачи, где важно избежать сильных провалов по любому критерию (например, выбор оборудования, оценка проектов).
Относительной уступки	Определенность	Нейтральное, минимизация худшего относительного отклонения	Учитывает относительное отклонение, подходит для разнородных критериев.	Те же, что и у абсолютной, но в процентном выражении.	Сравнение объектов, где критерии имеют разный масштаб и единицы измерения (например, выбор поставщика, где важны и цена, и время доставки).
Идеальной/Антиидеальной точки (TOPSIS)	Определенность	Нейтральное, стремление к «лучшему», удаление от «худшего»	Логичен, позволяет учесть веса критериев, обеспечивает сравнительную оценку.	Чувствителен к нормализации и весам, добавление новой альтернативы может изменить ранжирование.	Сложные многокритериальные задачи, выбор среди множества альтернатив (инвестиционные проекты, выбор поставщика, оценка персонала).
Байеса-Лапласа	Риск	Нейтральное к риску, максимизация ожидаемого выигрыша	Рационален в долгосрочной перспективе, учитывает все исходы и их вероятности.	Не учитывает дисперсию (разброс) исходов, игнорирует степень риска. Требует точных вероятностей.	Массовые, повторяющиеся решения (страхование, крупные инвестиции, управление запасами), где применим закон больших чисел.
Максимизации вероятности	Риск	Стремление к высоковероятному успеху, фокус на ключевом исходе	Полезен для достижения конкретной цели, прост в восприятии.	Игнорирует большинство информации об исходах, возможны катастрофические результаты в менее вероятных сценариях.	Ситуации с ограниченными ресурсами, когда нужно достичь конкретного порога успеха (запуск стартапа, выход нового продукта на рынок), или выбор, где важна уверенность в одном исходе.
Вальда (максимина)	Неопределенность	Крайний пессимизм, защита от потерь	Обеспечивает максимальную защиту от наихудшего исхода.	Игнорирует потенциально высокие выигрыши, приводит к осторожным, но часто «недооцененным» решениям.	Критически важные решения, где цена ошибки очень высока, а ЛПР крайне несклонен к риску (например, военное планирование, безопасность, выбор стратегии выживания).
Гурвица	Неопределенность	Умеренный оптимизм/пессимизм (зависит от α)	Гибкий, позволяет учесть субъективное отношение ЛПР к риску.	Субъективность выбора коэффициента оптимизма α. Не учитывает все промежуточные исходы.	Большинство управленческих решений, где ЛПР имеет некоторое представление о своем отношении к риску, но нет данных для вероятностей.
Минимаксного риска Сэвиджа	Неопределенность	Неприятие сожаления, минимизация разочарования	Ориентирован на минимизацию потенциального разочарования, соответствует поведению, избегающему крупных ошибок.	Игнорирует абсолютные значения выигрышей.	Ситуации, где ЛПР стремится избежать чувства «упущенной выгоды» или «если бы я знал…» (например, выбор поставщика, инвестиции, где важна репутация).
Ходжеса-Лемана	Неопределенность	Комбинация ожидаемого значения и минимального гарантированного	Сочетает элементы оптимизма и пессимизма, может использовать приблизительные вероятности.	Субъективность выбора коэффициента β и априорных вероятностей. Не учитывает всю информацию о промежуточных исходах.	Решения, где у ЛПР есть некоторые, пусть и неточные, догадки о вероятностях, и он хочет сбалансировать ожидаемый результат с защитой от худшего.

Выбор конкретного критерия не является универсальным. Напротив, в сложных ситуациях системный аналитик может применять несколько критериев, чтобы получить многостороннюю оценку и понять, насколько устойчив результат к изменению предположений о состоянии среды или к изменению отношения ЛПР к риску. Часто окончательное решение принимается на основе синтеза результатов, полученных разными методами, и экспертных суждений.

Заключение

Настоящая курсовая работа представила всестороннее исследование теоретических основ и практического применения методов системного анализа и теории принятия решений. Мы начали с экскурса в историю системного подхода, от «Тектологии» А.А. Богданова до возникновения термина в RAND Corporation, подчеркнув его эволюцию как ответа на усложнение мира и рост масштабов проблем. Детально проанализированы ключевые принципы системного мышления — целостность, структурность, иерархичность, связность и принцип конечной цели, а также широкий арсенал методов, от различных видов моделирования до декомпозиции, служащих фундаментом для рационального выбора.

Центральное место в работе занял разбор классификации условий принятия решений — определенности, риска и неопределенности — и детальное изучение критериев выбора альтернатив, применимых в каждой из этих ситуаций. Для условий определенности были рассмотрены критерии абсолютной и относительной уступки, а также концепции идеальной и антиидеальной точки, демонстрирующие подходы к многокритериальному выбору. В условиях риска мы углубились в критерии Байеса-Лапласа и максимизации вероятности, подчеркнув их различия в отношении к ожидаемому результату и фокусу на конкретных исходах. Наиболее сложный сценарий — неопределенность — был детально исследован через критерии Вальда (максимина), Гурвица (оптимизма-пессимизма), минимаксного риска Сэвиджа и Ходжеса-Лемана, каждый из которых отражает уникальное отношение ЛПР к риску и неполноте информации.

Каждый критерий был представлен с его математической формулировкой, алгоритмом применения и конкретным примером расчетов, что обеспечивает как академическую строгость, так и практическую применимость материала. Кейс-стади IT-стартапа «Innovatech» наглядно проиллюстрировал, как выбор разных критериев может приводить к разным, но обоснованным решениям, демонстрируя многогранность процесса принятия решений. Сводный сравнительный анализ всех критериев в заключительной части работы подытожил их преимущества, недостатки и области применимости, предоставив ЛПР комплексный инструмент для осознанного выбора.

Таким образом, поставленные цели курсовой работы по разработке комплексного исследования методов системного анализа и теории принятия решений были полностью достигнуты. Полученные результаты подтверждают значимость системного анализа и теории принятия решений как неотъемлемых инструментов для современной практики управления, стратегического планирования и разработки эффективных решений в условиях всевозрастающей сложности и динамичности. Дальнейшие исследования могут быть сосредоточены на интеграции этих классических методов с современными подходами, такими как машинное обучение для прогнозирования состояний среды, развитие гибридных моделей, сочетающих различные критерии, а также более глубокое изучение когнитивных искажений, влияющих на выбор критериев принятия решений в реальных условиях.

Список использованной литературы

1. Системный анализ. URL: https://bigenc.ru/technology/text/3664726 (дата обращения: 04.11.2025).
2. Степаненко Е. А. Теория системного анализа и принятия решений: учебное пособие. Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 2008. URL: https://elib.kubsu.ru/upload/iblock/c34/stepanenko_teor_sist_anal_i_prinyatie_reshen_uch_posobie_2008.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
3. Научная электронная библиотека Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания. URL: https://monographies.ru/ru/book/section?id=2333 (дата обращения: 04.11.2025).
4. Методология системного подхода к организации и управлению. URL: https://studfile.net/preview/4351187/ (дата обращения: 04.11.2025).
5. Концепция системного подхода к управлению как базовая основа для развития современного менеджмента. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/kontseptsiya-sistemnogo-podhoda-k-upravleniyu-kak-bazovaya-osnova-dlya-razvitiya-sovremennogo-menedzhmenta (дата обращения: 04.11.2025).
6. Санников А. А., Куцубина Н. В. Системный анализ при принятии решений: учебное пособие. Екатеринбург: Урал. гос. лесотехн. ун-т, 2015. URL: https://core.ac.uk/download/pdf/197258327.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
7. Основы системного анализа. URL: https://elib.gup.ru/viewer/book/ELIB149/index.html#/browse/doc/ELIB149/page/1 (дата обращения: 04.11.2025).