Теория ценообразования опционов: комплексный анализ моделей, практическое применение и российская специфика

На современных финансовых рынках, где неопределенность и динамичность являются константами, производные финансовые инструменты играют ключевую роль в управлении рисками и реализации сложных инвестиционных стратегий. Среди них опционы занимают особое место, предоставляя инвесторам уникальные возможности для хеджирования, спекуляций и арбитража. По данным на август 2023 года, объем торгов на срочном рынке Московской биржи, одной из ведущих площадок для торговли опционами в России, превысил 9,1 трлн рублей, а количество клиентов, совершавших сделки с фьючерсами и опционами, достигло рекордных 149 тыс., из которых 68% составили физические лица. Эти цифры убедительно свидетельствуют о возрастающей актуальности и значимости опционов как для институциональных, так и для частных инвесторов, что, несомненно, требует глубокого изучения их природы.

Однако сложность опционных контрактов и многообразие факторов, влияющих на их стоимость, требуют глубокого понимания теории ценообразования. Разработка адекватных моделей оценки стоимости опционов стала одной из центральных задач в области математических финансов и прикладной экономики. От первых интуитивных попыток до строгих стохастических моделей, эволюция теории ценообразования опционов отражает прогресс в понимании рыночных механизмов и развитии вычислительных методов.

Целью данной курсовой работы является проведение комплексного анализа теории ценообразования опционов, включающего обзор их сущности, классификации, ключевых моделей оценки и практического применения, а также выявление исследовательских пробелов и особенностей российского рынка. Работа призвана систематизировать академические знания и продемонстрировать их практическую значимость для студентов экономических и финансовых вузов, аспирантов и специалистов, интересующихся производными финансовыми инструментами.

Структура работы последовательно раскрывает обозначенные цели. В первой главе будут рассмотрены теоретические основы и терминология опционов, их сущность и классификация. Вторая глава посвящена анализу классических и современных моделей ценообразования, включая биномиальную модель, модель Блэка-Шоулза-Мертона и численные методы. Третья глава сосредоточится на практическом применении моделей, в частности метода реальных опционов, а также на выявлении исследовательских пробелов и аномалий. Наконец, четвертая глава предложит детальный обзор специфики российского рынка опционов, его регулирования и применения теорий ценообразования в отечественной практике.

Теоретические основы и терминология опционов

Фундамент любой серьезной аналитической работы закладывается через ясное определение базовых понятий. В мире финансов, где терминология порой кажется запутанной, особенно важно начать с истоков, чтобы построить прочное понимание сложных производных инструментов, таких как опционы.

Определение, сущность и функции опционов

В своей основе опцион — это больше, чем просто контракт; это соглашение, которое предоставляет его покупателю уникальное право, но не накладывает на него жесткой обязанности, совершить сделку с определенным базовым активом по заранее фиксированной цене (страйк-цене) в обозначенный период времени или в конкретную дату. С другой стороны, продавец (или эмитент) опциона принимает на себя встречную обязанность выполнить условия контракта, если покупатель решит воспользоваться своим правом. Это принципиальное отличие от фьючерсного контракта, где обязательства по покупке или продаже базового актива возникают у обеих сторон сделки. Опцион, будучи производным финансовым инструментом, черпает свою ценность из стоимости базового актива, на который он заключен, будь то акции, валюты, индексы, товары или процентные ставки.

Сущность опциона можно сравнить с приобретением «страховки» или «возможности». Заплатив относительно небольшую премию, покупатель опциона получает доступ к потенциально неограниченной прибыли (в случае колл-опциона) или защите от падения цен (в случае пут-опциона), при этом его максимальные убытки ограничены лишь размером уплаченной премии. Продавец же, получая эту премию, берет на себя риск неограниченных убытков, надеясь, что опцион не будет исполнен.

Опционы используются в различных целях, выполняя множество функций на финансовых рынках:

• Спекуляция. Инвесторы, прогнозирующие направление движения цен базового актива, могут использовать опционы для получения значительной прибыли при относительно небольших первоначальных инвестициях. Высокий эффект плеча опционов позволяет значительно увеличить доходность при правильном прогнозе. Например, инвестор, ожидающий роста акций, может купить колл-опцион, который при росте цены базового актива может принести гораздо больший процентный доход, чем прямая покупка акций.
• Хеджирование. Опционы являются мощным инструментом для защиты от неблагоприятных ценовых колебаний. Компании и инвесторы используют их для страхования своих портфелей или будущих денежных потоков. Например, экспортная компания может купить пут-опцион на валюту для защиты от падения ее курса, обеспечивая фиксированный доход от будущих поставок.
• Арбитраж. Опытные трейдеры используют опционы для извлечения прибыли из ценовых расхождений между связанными активами или опционами, торгующимися на разных площадках. Арбитражные стратегии, как правило, безрисковы, но требуют высокой скорости исполнения и глубокого понимания взаимосвязей между ценами.

Многообразие целей породило и множество опционных стратегий, которые являются комбинациями различных опционов и/или базовых активов. Вот некоторые из них, демонстрирующие их многофункциональность:

• Покрытый колл (Covered Call). Это стратегия, при которой инвестор продает колл-опцион на акции, которыми он уже владеет. Цель — получение дополнительного дохода от премии, но с ограничением потенциальной прибыли, если акции значительно вырастут.
• Защитный пут (Protective Put). Инвестор покупает пут-опцион на акции, которыми он владеет. Эта стратегия действует как страховка: она защищает от значительного падения стоимости портфеля, при этом сохраняя возможность получать прибыль от роста акций.
• Стрэддл (Straddle). Одновременная покупка колл- и пут-опционов с одинаковой ценой исполнения и датой экспирации. Эта стратегия приносит прибыль, если цена базового актива значительно изменится в любом направлении, что делает ее идеальной для периодов высокой неопределенности (например, перед выходом важных новостей).
• Бычий колл-спред (Bull Call Spread) и Медвежий пут-спред (Bear Put Spread). Эти стратегии используются для извлечения прибыли от умеренного роста или падения рынка соответственно. Они предполагают одновременную покупку и продажу опционов одного типа с разными страйк-ценами, что позволяет ограничить как потенциальную прибыль, так и потенциальные убытки.

Таким образом, опционы — это не просто финансовые инструменты, а гибкие конструкторы, позволяющие инвесторам тонко настраивать свои риски и потенциальную доходность в соответствии с их рыночными ожиданиями и целями.

Основные характеристики и терминология опционов

Для эффективной работы с опционами необходимо овладеть их специфическим языком. Каждый опционный контракт характеризуется рядом ключевых параметров, понимание которых критически важно для ценообразования и управления рисками.

• Базовый актив. Это сердце любого опционного контракта. Именно на его цену ориентирована сделка. Базовым активом могут выступать:
  • Акции: Наиболее распространенный вид, позволяющий спекулировать на изменении стоимости акций или хеджировать инвестиции в них.
  • Валюта: Опционы на валюту используются для хеджирования валютных рисков или спекуляций на изменении курсов.
  • Фьючерсные контракты: Опционы на фьючерсы дают право на покупку или продажу фьючерса, а не самого базового актива.
  • Товары: Золото, нефть, зерно и другие сырьевые товары.
  • Индексы: Опционы на фондовые индексы (например, S&P 500, Индекс МосБиржи) позволяют играть на изменении всего рынка.
  • Процентные ставки: Менее распространены, но используются для хеджирования процентных рисков.
• Страйк (цена исполнения). Это заранее установленная цена, по которой покупатель опциона имеет право купить (для колл-опциона) или продать (для пут-опциона) базовый актив. Страйк является одним из важнейших параметров, определяющих внутреннюю стоимость опциона.
• Премия опциона. Это цена, которую покупатель уплачивает продавцу за предоставленное право. Премия — это максимальные убытки покупателя и максимальная прибыль продавца по опционному контракту. Ее размер формируется под воздействием множества факторов, включая цену базового актива, страйк, время до экспирации, волатильность и процентные ставки.
• Дата экспирации (дата исполнения, дата погашения). Это последний день, до которого или в который может быть исполнен опционный контракт. По истечении этой даты опцион становится недействительным, если он не был исполнен или закрыт ранее.
• Внутренняя стоимость опциона. Представляет собой немедленный доход, который покупатель получил бы, если бы исполнил опцион прямо сейчас. Она не может быть отрицательной.
  • Для колл-опциона внутренняя стоимость = max(S₀ − K, 0), где S₀ — текущая цена базового актива, K — страйк.
  • Для пут-опциона внутренняя стоимость = max(K − S₀, 0).

  Опцион называется «в деньгах» (in the money), если его внутренняя стоимость положительна. «На деньгах» (at the money), если S₀ ≈ K. «Вне денег» (out of the money), если внутренняя стоимость равна нулю.

• Временная стоимость опциона. Это разница между общей премией опциона и его внутренней стоимостью. Временная стоимость отражает рыночную наценку за возможность движения цены базового актива в благоприятном для покупателя направлении до даты экспирации. Она чувствительна к таким факторам, как:
  • Время до экспирации: чем больше времени, тем выше временная стоимость, так как больше шансов на значительное изменение цены базового актива.
  • Волатильность базового актива: чем выше ожидаемая волатильность, тем выше временная стоимость, поскольку возрастает вероятность того, что опцион окажется «в деньгах».
  • Процентные ставки: влияют на дисконтирование будущих выплат.

«Греки»: метрики для управления рисками

Управление опционными позициями было бы немыслимо без так называемых «Греков» — набора метрик, измеряющих чувствительность цены опциона к различным рыночным факторам. Они являются незаменимым инструментом для трейдеров и управляющих портфелями, позволяя не только оценить риски, но и эффективно хеджировать их.

Грек	Описание	Экономический смысл	Практическое применение
Дельта (Δ)	Отражает ценовую чувствительность опциона относительно цены базового актива. Это первая производная цены опциона по цене базового актива.	Показывает, на сколько изменится цена опциона при изменении цены базового актива на один пункт. Значения Дельты находятся в диапазоне от 0 до 1 для колл-опционов и от -1 до 0 для пут-опционов. Опцион «в деньгах» имеет Дельту, близкую к 1 (или -1), «вне денег» — к 0, «на деньгах» — к 0,5 (или -0,5).	Хеджирование: Дельта-хеджирование позволяет нейтрализовать риски от небольших движений цены базового актива. Например, для хеджирования короткой позиции по колл-опциону с Дельтой 0,5, трейдеру нужно купить 0,5 единицы базового актива. Управление направлением: Помогает оценить, насколько опцион будет двигаться в одном направлении с базовым активом.
Вега (ν)	Показывает чувствительность стоимости опциона к изменению подразумеваемой волатильности базового актива. Это первая производная цены опциона по волатильности.	Отражает, на сколько изменится цена опциона при изменении подразумеваемой волатильности на один процентный пункт. Вега всегда положительна для покупателей опционов и отрицательна для продавцов. Чем дольше срок до экспирации, тем выше Вега.	Управление волатильностью: Ключевой параметр для управления рисками, связанными с изменением ожидаемой волатильности рынка. Трейдеры используют Вегу для хеджирования от неблагоприятных изменений подразумеваемой волатильности, покупая или продавая опционы с нужной Вегой.
Тэта (Θ)	Отражает скорость снижения временной стоимости опциона по мере приближения даты экспирации. Это первая производная цены опциона по времени до экспирации.	Показывает, на сколько уменьшится цена опциона каждый день. Тэта обычно отрицательна для покупателей опционов (поскольку временная стоимость сгорает) и положительна для продавцов (которые зарабатывают на этом «сгорании»). Убыстряется по мере приближения к дате экспирации.	Управление временем: Помогает оценить «стоимость времени», которую ежедневно теряет покупатель опциона, и, наоборот, зарабатывает продавец. Используется при выборе опционов с нужным сроком экспирации и для формирования стратегий, извлекающих выгоду из распада временной стоимости.
Гамма (Γ)	Отражает чувствительность Дельты к изменению цены базового актива. Это вторая производная цены опциона по цене базового актива.	Показывает, на сколько изменится Дельта опциона при изменении цены базового актива на один пункт. Гамма максимальна для опционов «на деньгах» и снижается по мере удаления страйка от текущей цены базового актива. Положительная Гамма выгодна для покупателей опционов.	Управление Дельтой: Используется для управления риском изменения Дельты. Позволяет оценить, как быстро будет меняться Дельта позиции, что важно для динамического хеджирования. Высокая Гамма означает, что Дельта будет быстро меняться, требуя более частых корректировок хеджа.

Понимание и применение «Греков» — это основа профессиональной торговли опционами, позволяющая не только оценивать, но и активно управлять сложными рисками, присущими этим инструментам, поскольку они дают глубокое представление о чувствительности опциона к различным рыночным факторам.

Классификация опционов по различным признакам

Мир опционов богат и разнообразен, и их классификация помогает систематизировать это многообразие, раскрывая широкий спектр возможностей для инвесторов. Опционы можно классифицировать по нескольким ключевым признакам.

По праву, которое они предоставляют:

• Колл-опцион (Call option). Предоставляет покупателю право купить базовый актив по заранее установленной страйк-цене. Покупатель колл-опциона рассчитывает на рост цены базового актива. Его прибыль потенциально неограничена, а убытки ограничены уплаченной премией.
• Пут-опцион (Put option). Предоставляет покупателю право продать базовый актив по заранее установленной страйк-цене. Покупатель пут-опциона рассчитывает на падение цены базового актива. Его прибыль потенциально неограничена (до нуля цены актива), а убытки ограничены уплаченной премией.

По стилю исполнения контракта:

• Американский опцион. Наиболее гибкий тип, который может быть исполнен в любой рабочий день до или в дату экспирации включительно. Эта гибкость придает ему дополнительную ценность по сравнению с европейским опционом, так как держатель может воспользоваться своим правом в наиболее выгодный момент.
• Европейский опцион. Может быть исполнен только в строго определенную дату экспирации. Несмотря на меньшую гибкость, аналитические модели ценообразования для европейских опционов часто проще.
• Азиатский опцион. Отличается тем, что цена исполнения (или цена актива при расчете выплаты) определяется не одномоментным значением на дату экспирации, а средней ценой базового актива за определенный период его действия. Это уменьшает волатильность выплат и делает их менее подверженными манипуляциям.
• Квазиамериканский опцион (бермудский). Компромисс между американским и европейским опционами, допускающий исполнение только в несколько конкретных, заранее оговоренных дат (например, каждую третью пятницу месяца).

По типу расчетов (способу оплаты):

• Поставочные опционы. Предполагают фактическую физическую поставку базового актива при исполнении контракта. Например, при исполнении колл-опциона на акции покупатель фактически получает акции, а продавец их передает.
• Расчетные опционы (cash-settled options). Не предусматривают физической поставки базового актива. Вместо этого при исполнении контракта происходит выплата денежной разницы между страйк-ценой и ценой базового актива. Это упрощает расчеты и снижает операционные издержки, особенно для опционов на индексы или товары с неудобной физической поставкой.
• Премиальные опционы. Характеризуются единоразовой уплатой премии покупателем при заключении контракта. В дальнейшем нет ежедневной переоценки позиции и начисления/списания вариационной маржи. Убытки покупателя ограничены пр��мией, а прибыль продавца — этой же премией.
• Маржируемые опционы. Требуют блокировки гарантийного обеспечения (маржи) как у покупателя, так и у продавца. Ежедневно производится расчет и начисление/списание вариационной маржи, отражающей изменение стоимости опциона. Это характерно для опционов на фьючерсы, где маржинальная система обеспечивает финансовую устойчивость расчетов.

Эта многомерная классификация позволяет инвесторам выбирать опционы, наилучшим образом соответствующие их целям, рыночным ожиданиям и толерантности к риску.

История развития и функционирование мирового рынка опционов

История опционов гораздо древнее, чем можно было бы предположить, глядя на их современную, высокотехнологичную форму. Их корни уходят глубоко в торговую практику прошлых веков, демонстрируя стремление человека управлять рисками и использовать возможности спекуляции.

Ранние формы опционов можно обнаружить еще в 1630-х годах в Нидерландах во время знаменитой «тюльпаномании». Тогда опционы представляли собой неформальные соглашения о покупке или продаже луковиц тюльпанов в будущем по заранее оговоренной цене. Эти контракты, хотя и не имели строгой юридической базы, сыграли значительную роль в раздувании спекулятивного пузыря, иллюстрируя способность опционов усиливать рыночные движения. Позже, в 1820-х годах, на Лондонской фондовой бирже также использовались ранние формы опционов, преимущественно пут-опционы, которые трейдеры приобретали для спекуляций на падении цен акций или для защиты своих существующих инвестиций. Эти операции были, однако, децентрализованными и нерегулируемыми.

Ключевой поворотный момент в истории опционов произошел 26 апреля 1973 года с основанием Чикагской опционной биржи (CBOE). Это событие стало настоящей революцией, поскольку CBOE первой предложила стандартизированные опционные контракты на американские акции. Стандартизация, клиринг через Option Clearing Corporation (OCC) и гарантирование исполнения сделок значительно повысили ликвидность, прозрачность и доступность опционов для широкого круга инвесторов. С этого момента начался экспоненциальный рост опционного рынка, сопровождавшийся разработкой продвинутых моделей ценообразования.

Современный рынок опционов делится на два основных сегмента:

1. Биржевой рынок (Exchange-Traded Options). Это регулируемая и централизованная площадка, где торгуются стандартизированные опционные контракты.
   • Преимущества: Высокая ликвидность, прозрачность ценообразования, низкий контрагентский риск благодаря клиринговым палатам, которые выступают гарантом исполнения сделок. Стандартизация облегчает торговлю и формирование стратегий.
   • Недостатки: Меньшая гибкость в настройке параметров контракта (страйк, дата экспирации), чем на внебиржевом рынке.
   • Примеры: CBOE, Eurex, NYSE Arca, а также Срочный рынок Московской биржи в России.
2. Внебиржевой рынок (Over-the-Counter, OTC Options). Это децентрализованный рынок, где опционные контракты заключаются напрямую между двумя сторонами (например, банком и корпорацией).
   • Преимущества: Высокая гибкость в настройке всех параметров контракта, что позволяет точно адаптировать его под индивидуальные потребности клиента.
   • Недостатки: Низкая ликвидность, высокий контрагентский риск (риск неисполнения обязательств одной из сторон), меньшая прозрачность ценообразования.
   • Примеры: Валютные опционы между крупными банками и их корпоративными клиентами.

В России ведущей площадкой для торговли опционами является Срочный рынок Московской биржи. Он предлагает широкий спектр опционных контрактов на различные базовые активы. По данным на август 2023 года, на этой площадке торговались:

• 27 опционов на акции крупнейших российских эмитентов.
• 3 опциона на валюты.
• 55 опционов на фьючерсные контракты, базовыми активами которых выступали фондовые индексы, валютные пары, драгоценные и промышленные металлы, нефть, газ и другие товары, а также процентные ставки.

Объемы торгов на срочном рынке Московской биржи впечатляют: в августе 2023 года они превысили 9,1 трлн рублей. Что особенно примечательно, количество активных клиентов достигло рекордных 149 тыс., при этом 68% из них — физические лица. Это свидетельствует о растущем интересе и вовлеченности индивидуальных инвесторов в торговлю производными инструментами.

Важным шагом в развитии российского рынка стало законодательное закрепление понятий «опцион на заключение договора» и «опционный договор» в Гражданском кодексе РФ с 1 июня 2015 года. Эти понятия регулируются статьями 429.2 и 429.3 ГК РФ, введенными Федеральным законом № 42-ФЗ от 08.03.2015.

• Статья 429.2 ГК РФ «Опцион на заключение договора» определяет соглашение, по которому одна сторона предоставляет другой право акцептовать безотзывную оферту на заключение будущего договора в течение определенного срока на определенных условиях. Это, по сути, право на заключение сделки.
• Статья 429.3 ГК РФ «Опционный договор» регулирует контракт, по которому одна сторона вправе требовать от другой совершения определенных действий (например, уплаты денег, передачи имущества) в срок или при наступлении условия, предусмотренного этим договором. В обмен на это право другая сторона получает единовременную или периодическую плату. Именно эта статья ближе всего к финансовым опционам в их биржевом понимании.

Таким образом, рынок опционов прошел долгий путь от неформальных соглашений до высокоорганизованных и законодательно регулируемых площадок, став неотъемлемой частью современной финансовой инфраструктуры.

Классические и современные модели ценообразования опционов

Понимание сущности и функционирования опционов — это лишь первый шаг. Истинная сложность и красота этих инструментов раскрываются в подходах к их ценообразованию. За годы своего развития финансовая наука создала ряд моделей, от упрощенных дискретных до сложных непрерывных и численных, каждая из которых имеет свои теоретические основы, допущения и области применения.

Ранние подходы к ценообразованию опционов (Луи Башелье)

История теоретического ценообразования опционов началась задолго до биржевой торговли в ее современном виде. Пионером в этой области стал французский математик Луи Башелье (Louis Bachelier), чья докторская диссертация «Теория спекуляции» (Théorie de la spéculation), опубликованная в 1900 году, стала революционным трудом.

В своих работах Башелье впервые применил аппарат теории вероятностей для анализа динамики рыночных цен. Он предположил, что изменения цен финансовых активов, таких как акции или облигации, непредсказуемы и следуют случайному блужданию, моделируемому нормальным распределением. Это было смелым утверждением для того времени, поскольку подразумевало, что рынок эффективен, и будущие цены невозможно предсказать на основе прошлых.

Ключевой вклад Башелье в теорию ценообразования опционов заключался в следующем:

1. Случайное блуждание цен. Он первым предложил, что цены активов подчиняются процессу, который можно описать как арифметическое броуновское движение, где изменения цен распределены нормально.
2. Математический аппарат. Башелье разработал математический аппарат для оценки опционов, используя идеи диффузионных процессов. Его формула для стоимости опциона основывалась на ожидаемой стоимости выплат при нормальном распределении цен.

Несмотря на гениальность Башелье, его модель имела существенные ограничения:

• Отрицательные цены. Модель Башелье позволяла ценам базового актива принимать отрицательные значения, что нереалистично для большинства финансовых инструментов.
• Постоянная волатильность. Как и многие последующие модели, она предполагала постоянство волатильности, что не всегда соответствует рыночной реальности.

Тем не менее, работы Луи Башелье заложили краеугольный камень в фундамент современной финансовой теории и стали отправной точкой для дальнейших исследований, ведущих к разработке более совершенных моделей, таких как модель Блэка-Шоулза-Мертона. Его идеи о случайном блуждании и применении теории вероятностей остаются центральными в количественных финансах и по сей день.

Биномиальная модель ценообразования опционов

Начало эры дискретных моделей ценообразования опционов ознаменовала биномиальная модель, известная также как модель Кокса-Рубинштейна-Росса (CRR), разработанная в 1979 году. Это интуитивно понятная и гибкая модель, которая предполагает, что цена базового актива на каждом шаге времени может измениться только в двух направлениях: вверх (u — up) или вниз (d — down).

Основные допущения биномиальной модели:

1. Дискретное время. Жизненный цикл опциона разбивается на конечное число дискретных временных шагов.
2. Биномиальное движение цены. На каждом шаге цена базового актива либо увеличивается в u раз, либо уменьшается в d раз.
3. Отсутствие арбитража. На рынке не существует безрисковых возможностей получения прибыли.
4. Безрисковая процентная ставка (r). Постоянна в течение всего срока действия опциона.
5. Отсутствие транзакционных издержек и налогов.
6. Ликвидность рынка. Возможность покупать и продавать любые объемы активов.
7. Возможность создания безрискового портфеля. Ключевое допущение, позволяющее ценить опцион.

Математический аппарат и алгоритм расчета:
Биномиальная модель строится на идее создания безрискового портфеля, состоящего из опциона и определенного количества базового актива. Стоимость такого портфеля должна быть одинакова независимо от движения цены базового актива.

Рассмотрим одношаговую биномиальную модель для колл-опциона.
Пусть S₀ — текущая цена базового актива. Через один шаг времени цена может стать S_u = S₀ · u или S_d = S₀ · d.
Выплаты по колл-опциону в этих состояниях будут C_u = max(S_u − K, 0) и C_d = max(S_d − K, 0), где K — страйк.

Создадим безрисковый портфель, состоящий из:

• Δ единиц базового актива (купленных).
• Одного проданного колл-опциона.

Стоимость портфеля в состоянии «вверх»: V_u = Δ · S_u − C_u
Стоимость портфеля в состоянии «вниз»: V_d = Δ · S_d − C_d

Для того чтобы портфель был безрисковым, его стоимость должна быть одинаковой в обоих состояниях: V_u = V_d.
Δ · S_u − C_u = Δ · S_d − C_d
Отсюда находим Дельту хеджирования:

Δ = (Cu - Cd) / (Su - Sd)

Теперь, зная Дельту, мы можем найти текущую стоимость портфеля V₀ = Δ · S₀ − C₀, где C₀ — искомая цена опциона. Поскольку портфель безрисковый, его будущая стоимость должна быть равна дисконтированной текущей стоимости по безрисковой ставке:

V0 · erT = Δ · Su − Cu (или Δ · Sd − Cd)

Отсюда:

C0 = ΔS0 - e-rT (ΔSu - Cu)

Подставив Δ, получаем формулу для цены колл-опциона в одношаговой модели:

C0 = e-rT [p · Cu + (1-p) · Cd]

где p = (erT - d) / (u - d) — это риск-нейтральная вероятность движения цены вверх. Важно отметить, что p — это не реальная вероятность, а вероятность в риск-нейтральном мире, используемая для ценообразования.

Модель легко расширяется на многошаговую структуру, где строится «биномиальное дерево» цен базового актива и опциона. Для каждого узла дерева рассчитываются выплаты опциона на последнем шаге, а затем стоимость опциона «прогоняется» назад по дереву до текущего момента, используя риск-нейтральные вероятности.

Пример применения для европейских и американских опционов:

Рассмотрим европейский колл-опцион со страйком K=105, сроком 1 год, безрисковая ставка r=5%. Текущая цена акции S₀=100. Предположим, что через год акция может либо вырасти до 120 (u=1.2), либо упасть до 90 (d=0.9).

1. Определяем выплаты на экспирации:
   • Если S=120, C_u = max(120 − 105, 0) = 15
   • Если S=90, C_d = max(90 − 105, 0) = 0
2. Рассчитываем риск-нейтральную вероятность p:
   p = (e0.05 · 1 - 0.9) / (1.2 - 0.9) = (1.05127 - 0.9) / 0.3 = 0.15127 / 0.3 ≈ 0.5042
1-p ≈ 0.4958
3. Рассчитываем цену опциона C₀:
   C0 = e-0.05 · 1 [0.5042 · 15 + 0.4958 · 0] = 0.9512 · (7.563) ≈ 7.19

Для американских опционов алгоритм схож, но на каждом шаге обратного прохода по дереву необходимо сравнивать внутреннюю стоимость опциона (при немедленном исполнении) с его стоимостью, если он остается неисполненным. Если внутренняя стоимость выше, то принимается решение о досрочном исполнении, и это значение используется для дальнейших расчетов.

Преимущества и ограничения модели:

• Преимущества:
  • Гибкость: Модель легко адаптируется для оценки европейских и американских опционов, опционов с дивидендными выплатами, а также опционов с более сложными условиями (например, барьерных опционов).
  • Наглядность: Построение биномиального дерева делает процесс ценообразования интуитивно понятным.
  • Возможность учета досрочного исполнения: Для американских опционов это критически важное преимущество.
• Ограничения:
  • Дискретный характер: В реальности цены активов изменяются непрерывно. Чем меньше временных шагов, тем грубее аппроксимация. Для достижения высокой точности требуется большое количество шагов, что увеличивает вычислительную сложность.
  • Постоянство параметров: Допущение о постоянных u, d, r и σ (волатильность) не всегда соответствует рыночной практике.

Несмотря на свои ограничения, биномиальная модель остается важным инструментом для понимания принципов ценообразования опционов и широко используется как в учебных целях, так и для оценки определенных видов опционов на практике.

Модель Блэка-Шоулза-Мертона

1973 год стал переломным в истории финансовых рынков и количественных финансов. В этот год американский экономист Фишер Блэк и математик Майрон Шоулз опубликовали свою статью «The Pricing of Options and Corporate Liabilities» в журнале Journal of Political Economy, представив миру революционную формулу ценообразования европейских опционов. Впоследствии Роберт Мертон внес значительный вклад в развитие теоретической базы, расширив модель и сделав ее более строгой. За свой вклад в разработку этой модели Майрон Шоулз и Роберт Мертон были удостоены Нобелевской премии по экономическим наукам в 1997 году (Фишер Блэк, к сожалению, скончался в 1995 году).

Исторический контекст и значение:
До модели Блэка-Шоулза-Мертона ценообразование опционов было скорее искусством, чем наукой, основанным на эмпирических правилах и интуиции. Введение аналитической формулы, которая позволяла точно оценить стоимость европейского опциона, стало прорывом. Модель дала мощный импульс развитию рынка деривативов, стандартизировав процесс оценки и предоставив инвесторам надежный инструмент для хеджирования и спекуляций. Ее широкое применение привело к революции в управлении рисками и финансовой инженерии, стимулировало рост современных рынков деривативов и оказало влияние на разработку новых финансовых продуктов и стратегий. Сегодня, более 70% крупных финансовых институтов используют эту модель или ее модификации.

Основные допущения модели:
Строгость аналитического решения формулы Блэка-Шоулза достигается за счет ряда идеализированных допущений:

1. Цена базового актива следует геометрическому броуновскому движению. Это означает, что логарифм цены базового актива распределен нормально, а сама цена не может быть отрицательной.
2. Безрисковая процентная ставка (r) постоянна и известна в течение всего срока действия опциона.
3. Волатильность базового актива (σ) постоянна и известна в течение всего срока действия опциона.
4. Отсутствие дивидендов по базовому активу до экспирации опциона.
5. Отсутствие транзакционных издержек и налогов.
6. Возможность коротких продаж (продажи актива, которым не владеешь) без ограничений и издержек.
7. Рынок ликвидный, и инвесторы могут свободно покупать и продавать любые объемы активов.
8. Европейский стиль исполнения опциона. Опцион может быть исполнен только в дату экспирации.

Математические формулы и их вывод:
Модель Блэка-Шоулза-Мертона выводится из идеи создания самофинансируемого безрискового портфеля. Если такой портфель не приносит безрисковой доходности, возникает арбитражная возможность. Это приводит к частному дифференциальному уравнению, которое с соответствующими граничными условиями дает формулу для цены опциона.

Для колл-опциона формула имеет вид:

C = S0 · N(d1) - K · e-rT · N(d2)

где:

d1 = (ln(S0/K) + (r + σ2/2) · T) / (σ · √T)

d2 = d1 - σ · √T

Для пут-опциона формула имеет вид (на основе паритета пут-колл):

P = K · e-rT · N(-d2) - S0 · N(-d1)

Обозначения:

• C — цена европейского колл-опциона
• P — цена европейского пут-опциона
• S₀ — текущая цена базового актива
• K — цена исполнения (страйк)
• r — безрисковая процентная ставка (годовая, непрерывное начисление)
• T — врем�� до экспирации (в годах)
• σ — волатильность базового актива (годовое стандартное отклонение логарифмических доходностей)
• N(.) — кумулятивная функция стандартного нормального распределения (вероятность того, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному закону, будет меньше или равна аргументу).

Критический анализ ограничений модели:
Несмотря на свою элегантность и значимость, модель Блэка-Шоулза-Мертона имеет ряд существенных ограничений, которые могут приводить к неточностям в ценообразовании на реальных рынках:

1. Постоянная волатильность. Это одно из наиболее спорных допущений. В действительности волатильность активов меняется со временем, и она не является постоянной для опционов с разными страйками и сроками экспирации. Наблюдаемый на рынке феномен «улыбки волатильности» (volatility smile) или «перекоса волатильности» (volatility skew) является прямым опровержением этого допущения.
   • «Улыбка волатильности» — это графическое отображение зависимости подразумеваемой волатильности опционов с одной датой экспирации от цены исполнения, имеющее форму улыбки или перекоса. Это означает, что опционы со страйками, значительно отклоняющимися от текущей рыночной цены базового актива (далеко «в деньгах» или далеко «вне денег»), имеют более высокую подразумеваемую волатильность, чем опционы «на деньгах». Этот феномен указывает на то, что рынок придает большую вероятность экстремальным движениям цены базового актива, чем предполагает модель Блэка-Шоулза с постоянной волатильностью.
   • Практические последствия: Из-за «улыбки волатильности» трейдеры вынуждены использовать различные значения волатильности для опционов с разными страйками, что усложняет ценообразование и хеджирование. Модель Блэка-Шоулза, несмотря на свою базовую форму, часто используется с «подразумеваемой волатильностью», которую получают из рыночных цен опционов, чтобы «обратно» получить адекватную рыночную цену.
2. Геометрическое броуновское движение и отсутствие «скачков». Модель предполагает плавное движение цен, исключая внезапные «скачки» (jumps), вызванные, например, корпоративными новостями или макроэкономическими событиями. На практике такие скачки нередки и могут существенно влиять на стоимость опционов.
3. Постоянная безрисковая процентная ставка. В реальности процентные ставки меняются.
4. Отсутствие дивидендов. Для акций, выплачивающих дивиденды, модель требует модификаций.
5. Европейский стиль исполнения. Модель Блэка-Шоулза неприменима для американских опционов, поскольку не учитывает возможность досрочного исполнения.

Несмотря на эти ограничения, модель Блэка-Шоулза-Мертона остается краеугольным камнем современной финансовой теории и практики. Ее простота, аналитическая трактуемость и способность предоставить хорошее приближение для европейских опционов делают ее незаменимой, а выявленные ограничения стимулировали развитие более сложных моделей и численных методов.

Современные численные методы ценообразования опционов

Сложность некоторых опционных контрактов (например, американских или экзотических) и неспособность аналитических моделей, таких как Блэка-Шоулза, учитывать все рыночные реалии (например, «улыбку волатильности», дивиденды, возможность досрочного исполнения) привели к развитию численных методов ценообразования опционов. Эти методы не дают точного аналитического решения, но позволяют получить очень точное приближение к истинной стоимости опциона.

Метод Монте-Карло

Метод Монте-Карло — это мощный стохастический подход, который особенно хорошо подходит для оценки стоимости сложных, так называемых экзотических опционов, для которых отсутствуют аналитические формулы. Его суть заключается в имитации тысяч или даже миллионов возможных траекторий цены базового актива.

Принципы работы:

1. Моделирование траекторий цены. Используя стохастические процессы (например, геометрическое броуновское движение или более сложные модели с учетом скачков и изменяющейся волатильности), генерируется большое количество (N) случайных траекторий цены базового актива от текущего момента до даты экспирации. Каждая траектория представляет собой один из возможных сценариев развития цены. Для обеспечения статистической точности оценки стоимости опциона обычно требуется генерация десятков тысяч или даже миллионов таких траекторий.
2. Расчет выплат. Для каждой сгенерированной траектории цены базового актива рассчитывается выплата по опциону на дату экспирации.
3. Дисконтирование и усреднение. Все полученные выплаты дисконтируются к текущему моменту по безрисковой процентной ставке. Затем эти дисконтированные выплаты усредняются. Полученное среднее значение является оценкой стоимости опциона.

Формула для оценки опциона методом Монте-Карло:

C ≈ e-rT · (1/N) · ΣNi=1 Payoff(ST,i)

где:

• C — оценка стоимости опциона
• r — безрисковая процентная ставка
• T — время до экспирации
• N — количество сгенерированных траекторий
• Payoff(S_T,i) — выплата по опциону на дату экспирации для i-й траектории цены базового актива S_T,i

Преимущества метода Монте-Карло:

• Гибкость: Метод чрезвычайно гибок и позволяет моделировать практически любые функции выплат и стохастические процессы цены базового актива, включая сложные (например, опционы с несколькими базовыми активами, опционы с барьерными условиями).
• Интуитивность: Концепция имитации будущего понятна, что облегчает понимание модели.
• Учет различных факторов: Возможность учета изменяющейся волатильности, скачков, дивидендов и других рыночных особенностей.

Ограничения метода Монте-Карло:

• Высокая вычислительная сложность: Для достижения высокой точности требуется большое количество симуляций, что может быть очень ресурсоемким и занимать значительное время, особенно для сложных моделей.
• Неэффективность для американских опционов: Основное ограничение — метод Монте-Карло изначально неэффективен для опционов, допускающих досрочное исполнение (американских), поскольку невозможно «оглянуться назад» и определить оптимальное время исполнения в каждом узле дерева. Для решения этой проблемы разработаны специальные техники, такие как метод наименьших квадратов Монте-Карло (Longstaff-Schwartz). Этот метод использует регрессию для оценки условного математического ожидания продолжения опциона (ценности сохранения опциона дольше) в каждой точке, сравнивая его с внутренней стоимостью немедленного исполнения.

Численные методы конечных разностей и конечных элементов

Эти методы представляют собой мощный инструментарий для решения дифференциальных уравнений, лежащих в основе моделей ценообразования опционов (например, уравнения Блэка-Шоулза-Мертона). Они преобразуют непрерывное пространство времени и цены актива в дискретную сетку (или «сетку»).

Метод конечных разностей (Finite Difference Method, FDM):

• Принцип работы: Пространство-время (цена базового актива и время) дискретизируется в виде сетки. Частные производные в дифференциальном уравнении аппроксимируются конечными разностями. Это приводит к системе алгебраических уравнений, которую можно решить численно.
• Применимость: FDM может быть использован для оценки европейских, но особенно ценен для американских опционов, поскольку позволяет учитывать условие досрочного исполнения в каждом узле сетки. В отличие от Монте-Карло, FDM «прогоняет» расчеты назад во времени, что позволяет на каждом шаге определить оптимальное решение: исполнить опцион или держать его дальше.
• Преимущества: Высокая точность, возможность работы с американскими опционами и опционами с более сложными граничными условиями.
• Ограничения: Вычислительная сложность может быть высокой для многомерных опционов (с несколькими базовыми активами), а также требует тщательной настройки параметров сетки.

Метод конечных элементов (Finite Element Method, FEM):

• Принцип работы: Похож на FDM, но более гибок в отношении формы области, на которой решается уравнение. Область разбивается на «конечные элементы» (треугольники, квадраты), и решение аппроксимируется на каждом элементе.
• Применимость: Также используется для ценообразования опционов, особенно для тех, что имеют нерегулярные области определения или сложные граничные условия.
• Преимущества: Высокая гибкость в работе со сложной геометрией или нелинейными задачами.
• Ограничения: Более сложен в реализации по сравнению с FDM.

Оба метода являются столпами в арсенале количественных аналитиков, позволяя преодолевать ограничения аналитических решений и оценивать стоимость широкого спектра опционов на реальных рынках.

Метод реальных опционов

Помимо оценки стоимости биржевых деривативов, концепция опционов нашла свое применение и в стратегическом менеджменте. Метод реальных опционов (Real Options Analysis, ROA) — это подход к оценке инвестиционных проектов, который признает и количественно измеряет ценность управленческой гибкости в условиях неопределенности.

Концепция и роль:
Традиционные методы оценки инвестиций, такие как чистая приведенная стоимость (NPV), часто недооценивают проекты, поскольку они предполагают жесткий, заранее определенный план действий. В реальности менеджеры обладают гибкостью: они могут отложить проект, расширить его, сократить, отказаться от него, изменить масштаб или технологию в зависимости от развития рыночной ситуации. Каждое такое управленческое решение можно рассматривать как опцион.

• Опцион на отсрочку: Право отложить инвестиции до получения дополнительной информации.
• Опцион на расширение: Право увеличить масштабы проекта, если он окажется успешным.
• Опцион на сокращение/отказ: Право уменьшить масштаб или вовсе остановить проект, если он окажется убыточным.
• Опцион на изменение: Право на изменение технологии или рынка сбыта.

Применение и кейс-стади:
Метод реальных опционов особенно ценен в отраслях с высокой степенью неопределенности, значительными капитальными затратами и быстрым технологическим развитием, таких как:

• Нефтегазовая промышленность: Компания может владеть лицензией на разработку месторождения, но откладывать бурение до тех пор, пока цены на нефть не достигнут определенного уровня или будут получены более точные данные геологоразведки. Это опцион на отсрочку.
• Фармацевтика: Инвестиции в исследования и разработки новых лекарств — это серия реальных опционов. На каждом этапе клинических испытаний менеджмент принимает решение о продолжении финансирования (исполнение опциона) или прекращении проекта (отказ от опциона).
• Высокотехнологичные отрасли (IT): Стартап может инвестировать в разработку прототипа (маленький начальный опцион) с возможностью масштабирования до полноценного продукта, если рынок примет идею (опцион на расширение).
• Горнодобывающая промышленность: Компания может приобрести права на разработку месторождения, но отложить его освоение до тех пор, пока цены на добываемый металл не станут более выгодными.

Методы оценки реальных опционов:
Поскольку реальные опционы не торгуются на бирже, их стоимость нельзя просто взять с рынка. Для их оценки часто используются модифицированные версии моделей ценообразования финансовых опционов:

• Модифицированные биномиальные модели: Строятся биномиальные деревья, где вместо цены базового актива моделируется стоимость проекта или ключевой неопределенный фактор (например, цена на продукт). На каждом шаге учитывается возможность принятия управленческих решений.
• Имитационные модели (Монте-Карло): Генерируются тысячи возможных сценариев развития проекта, и для каждого сценария определяется оптимальный путь управленческих решений.

Метод реальных опционов позволяет менеджменту принимать более обоснованные и гибкие решения, учитывая ценность ожидания и адаптации к меняющимся условиям, что повышает общую стоимость и эффективность инвестиционных проектов.

Практическое применение моделей и анализ исследовательских пробелов на рынке опционов

После изучения теоретических основ и классических моделей, настало время взглянуть на практическую сторону применения опционов и выявить те области, где современная финансовая наука все еще ищет ответы. Рынок опционов, несмотря на свою развитость, полон нюансов и аномалий, которые бросают вызов устоявшимся теориям.

Метод реальных опционов в оценке инвестиционных проектов

Как уже упоминалось, метод реальных опционов (Real Options Analysis, ROA) — это не просто теоретическая концепция, а мощный практический инструмент для стратегического планирования и оценки инвестиционных проектов, особенно в условиях высокой неопределенности. Он позволяет менеджерам количественно оценить ценность управленческой гибкости, которая часто игнорируется традиционными методами оценки, такими как NPV (чистая приведенная стоимость).

Концепция реальных опционов: ключ к управленческой гибкости
Традиционный подход к оценке проекта часто предполагает, что компания принимает решение «да» или «нет» на старте, а затем следует заранее определенному плану. Однако в реальном мире менеджеры обладают способностью адаптироваться к изменяющимся условиям:

• Опцион на отсрочку (Option to Defer): Это право, но не обязанность, отложить начало проекта. Например, компания-застройщик может приобрести земельный участок и получить разрешение на строительство, но отложить начало работ до улучшения рыночной конъюнктуры или снижения процентных ставок. Ценность этого опциона возрастает с ростом неопределенности и срока отсрочки.
• Опцион на расширение (Option to Expand): Возможность увеличить масштаб проекта, если первоначальные результаты окажутся успешными. Например, фармацевтическая компания начинает с небольшой фазы клинических испытаний нового препарата, а затем, в случае успеха, инвестирует в более крупные исследования и расширение производства.
• Опцион на сокращение/отказ (Option to Contract/Abandon): Право уменьшить масштаб или полностью прекратить проект, если он не приносит ожидаемой прибыли или рыночные условия ухудшаются. Например, горнодобывающая компания может закрыть неэффективную шахту или снизить объем добычи при падении цен на сырье.
• Опцион на изменение (Option to Switch): Возможность переключиться на другой рынок, технологию или вид сырья. Например, энергетическая компания может построить электростанцию, способную работать как на газе, так и на угле, что дает гибкость в выборе топлива в зависимости от его текущей стоимости.

Примеры и кейс-стади применения в различных отраслях:

1. Нефтегазовая отрасль:
   • Кейс: Компания «Газпром нефть» рассматривает инвестиции в разработку нового нефтяного месторождения в условиях волатильных цен на нефть. Традиционный NPV может показать отрицательное значение при текущих низких ценах.
   • Решение с ROA: Компания оценивает свою лицензию на разработку как реальный опцион на начало добычи. Она может отложить полномасштабные инвестиции (исполнение колл-опциона) до момента, когда цены на нефть превысят определенный порог, или будут получены более точные данные о запасах. Ценность этого опциона может сделать весь проект привлекательным, даже если текущий NPV отрицателен. Использование биномиальной модели или симуляции Монте-Карло позволяет оценить эту гибкость.
2. Фармацевтика:
   • Кейс: Фармацевтическая компания «БиоТек» инвестирует миллиарды долларов в разработку нового лекарства. Этот процесс включает несколько стадий исследований и клинических испытаний, каждая из которых сопряжена с высокой неопределенностью успеха.
   • Решение с ROA: Каждая стадия разработки рассматривается как опцион на продолжение проекта. После успешного завершения одной фазы (например, доклинических испытаний), компания получает опцион на инвестирование в следующую (например, Фазу I клинических испытаний). Если результаты неудовлетворительны, компания может отказаться от дальнейших инвестиций, не неся полных затрат на весь проект. Это серия последовательных опционов, где каждое решение зависит от успеха предыдущего.
3. Высокотехнологичные отрасли (IT):
   • Кейс: Стартап «Инновация» разрабатывает новую программную платформу. На ранних этапах неясно, какая из нескольких функций станет наиболее востребованной рынком.
   • Решение с ROA: Стартап может выпустить минимально жизнеспособный продукт (MVP) с базовым функционалом (небольшая инвестиция), тем самым приобретая опцион на расширение и развитие наиболее популярных функций на основе обратной связи от пользователей. Если рынок плохо воспримет продукт, стартап может отказаться от дальнейших инвестиций, минимизировав потери.

Метод реальных опционов позволяет глубже взглянуть на инвестиционные решения, признавая и количественно оценивая скрытую ценность управленческой свободы. Это особенно актуально в условиях быстро меняющегося мира, где возможность адаптации становится ключевым фактором успеха.

Исследовательские пробелы и аномалии в ценообразовании опционов

Несмотря на значительные достижения в теории ценообразования опционов, реальные рынки продолжают преподносить сюрпризы, выявляя исследовательские пробелы и аномалии, которые требуют более глубокого изучения. Эти отклонения от идеализированных моделей указывают на влияние неучтенных факторов, таких как психология инвесторов и специфика различных рынков.

Влияние поведенческих финансов на формирование премии опционов

Классические модели, такие как Блэка-Шоулза, основаны на предположении о рациональности инвесторов. Однако поведенческие финансы (Behavioral Finance) показывают, что человеческая психология и иррациональные решения могут существенно влиять на рыночные цены, включая премии опционов.

Ключевые поведенческие эффекты:

1. Предвзятость оптимизма и пессимизма (Optimism/Pessimism Bias): Инвесторы могут быть чрезмерно оптимистичны относительно роста цен (повышая премии колл-опционов) или чрезмерно пессимистичны относительно падения (повышая премии пут-опционов), что приводит к отклонениям от равновесной стоимости.
2. Эффект диспозиции (Disposition Effect): Склонность инвесторов слишком рано продавать прибыльные активы и слишком долго держать убыточные. Это может приводить к искажениям в ценообразовании опционов, особенно тех, которые находятся «в деньгах» или «вне денег».
3. Поиск асимметричной прибыли (Skewness Preference): Инвесторы могут предпочитать активы, предлагающие малую вероятность большой прибыли (правый «хвост» распределения), и переплачивать за опционы, которые предоставляют такую возможность. Это может быть одной из причин «улыбки волатильности», где опционы с низким страйком (далеко «вне денег» пут-опционы) или высоким страйком (далеко «вне денег» колл-опционы) торгуются по более высокой подразумеваемой волатильности.
4. Чрезмерная самоуверенность (Overconfidence): Инвесторы могут переоценивать свои способности к прогнозированию рынка, что ведет к излишней торговле и неправильной оценке рисков.

Подходы к учету психологических факторов:

• Модели с предпочтениями: Разработка моделей, которые включают функции полезности, учитывающие асимметрию риска и неприятие потерь.
• Эмпирический анализ: Изучение фактического поведения инвесторов на опционном рынке для выявления систематических ошибок и их влияния на ценообразование.
• Использование подразумеваемой волатильности: Хотя это не прямое включение поведенческих факторов, анализ подразумеваемой волатильности (извлекаемой из рыночных цен опционов) может отражать коллективные ожидания и страхи инвесторов, которые не учитываются исторической волатильностью.

Исследование особенностей ценообразования валютных, товарных опционов и опционов, торгуемых на неамериканских биржах

Валютные опционы:
Ценообразование валютных опционов имеет свои особенности, прежде всего из-за участия двух валют и необходимости учета двух разных безрисковых процентных ставок (отечественной и иностранной). Модель Гармана-Кольхагена является модификацией Блэка-Шоулза для валютных опционов, учитывающей эффект Carry Trade.

• Исследовательские пробелы:
  • Корреляция процентных ставок и волатильности: Динамика валютных курсов часто зависит от нелинейных связей между процентными ставками и валютной волатильностью, что не всегда адекватно учитывается в стандартных моделях.
  • Влияние интервенций центральных банков: Неожиданные интервенции могут вызывать резкие скачки волатильности, которые сложно моделировать.
  • Ликвидность отдельных валютных пар: На менее ликвидных рынках могут наблюдаться большие спреды и отклонения цен от теоретических.

Товарные опционы:
Опционы на сырьевые товары (нефть, золото, газ, сельскохозяйственная продукция) также имеют уникальные характеристики:

• Стоимость хранения (Cost of Carry): Затраты на хранение товара (складские расходы, страховка) и удобство владения (convenience yield) — преимущества владения физическим товаром, которые влияют на его форвардную цену и, следовательно, на цену опциона.
• Сезонность и погодные факторы: Для сельскохозяйственных товаров и энергоносителей ценообразование сильно зависит от сезонных циклов, погодных условий и геополитических рисков.
• Исследовательские пробелы:
  • Моделирование стохастической волатильности и скачков: Цены на товары часто демонстрируют резкие скачки, вызванные нарушением поставок или геополитическими событиями, что требует более сложных стохастических моделей, чем в классических подходах.
  • Нелинейность связи между спот-ценой и форвардной кривой: Взаимосвязь между текущей ценой и фьючерсными ценами может быть сложной, особенно при наличии дефицита или избытка товара.

Опционы, торгуемые на неамериканских биржах:
Рынки опционов за пределами США, такие как европейские (Eurex) или азиатские (например, японские биржи), имеют свои особенности:

• Культурные и правовые различия: Влияют на торговые обычаи и регулирование.
• Различные стили исполнения: Наличие азиатских или бермудских опционов требует адаптации моделей.
• Ликвидность и объем торгов: Некоторые неамериканские рынки могут быть менее ликвидными, что приводит к большим спредам и более частым отклонениям от теоретических цен.
• «Улыбка волатильности» и ее региональные особенности: Проявление «улыбки волатильности» может отличаться в зависимости от регионального спроса/предложения и специфики базовых активов.

Выявление и глубокий анализ этих исследовательских пробелов и аномалий является ключевым для развития более точных и робастных моделей ценообразования, а также для создания эффективных торговых и хеджирующих стратегий на глобальных финансовых рынках.

Специфика российского рынка опционов

Российский рынок опционов, будучи относительно молодым по сравнению с западными аналогами, обладает рядом уникальных черт, обусловленных историческим развитием, регуляторной средой и структурой участников. Понимание этой специфики критически важно для эффективного применения теоретических моделей ценообразования и формирования инвестиционных стратегий.

Обзор российского рынка опционов и его инструменты

Ключевой и фактически единственной организованной площадкой для торговли опционами в России является Срочный рынок Московской биржи (MOEX Derivatives Market). Эта платформа предлагает широкий спектр производных финансовых инструментов, включая как фьючерсы, так и опционы.

Типы опционов, доступных на Московской бирже:

1. Фьючерсные опционы: Это опционы, базовым активом которых выступают фьючерсные контракты. При исполнении такого опциона покупатель получает не сам базовый актив (например, акции), а фьючерсный контракт на него.
   • На Московской бирже торгуются фьючерсные опционы на такие базовые активы, как:
     • Фондовые индексы: Например, фьючерсы на Индекс МосБиржи (IMOEX) и Индекс РТС.
     • Валютные пары: Фьючерсы на USD/RUB, EUR/RUB, CNY/RUB.
     • Товары: Фьючерсы на нефть Brent, золото, серебро, природный газ.
     • Акции: Фьючерсы на акции ведущих российских эмитентов (Газпром, Сбербанк, Лукойл и т.д.).
   • Особенности: Маржируемые опционы. Предполагают блокировку гарантийного обеспечения и ежедневный перерасчет вариационной маржи, что может приводить к дополнительным требованиям по марже при неблагоприятном движении рынка.
2. Премиальные опционы на акции: Это относительно новый для российского рынка тип опционов, запущенный Московской биржей с ноября 2022 года. Их ключевое отличие заключается в том, что базовым активом является непосредственно акция, а не фьючерс на нее.
   • На Московской бирже торгуются премиальные опционы на акции 32 ведущих российских эмитентов, включая «Газпром», «Сбербанк», «ЛУКОЙЛ», «Яндекс» и другие. Также доступны премиальные опционы на Индекс МосБиржи, золото и основные валютные пары (USD/RUB, EUR/RUB, CNY/RUB).
   • Особенности премиальных опционов:
     • Единоразовая уплата премии: Покупатель уплачивает премию в момент покупки опциона, и это его максимальный убыток.
     • Отсутствие вариационной маржи: В отличие от маржируемых опционов, здесь нет ежедневной переоценки и начисления/списания вариационной маржи. Это упрощает управление позицией для начинающих инвесторов.
     • Европейский стиль исполнения: Премиальные опционы на Московской бирже исполняются только в дату экспирации.
     • Расчетный характер: При исполнении происходит выплата денежной разницы, а не физическая поставка базового актива.

Актуальные данные по объемам торгов и структуре участников:

• Объем торгов: В августе 2023 года объем торгов на срочном рынке Московской биржи превысил 9,1 трлн рублей, что свидетельствует о высокой активности на рынке производных инструментов.
• Количество клиентов: В том же месяце количество клиентов, совершавших сделки с фьючерсами и опционами, достигло рекордных 149 тыс.
• Структура участников: Доминирующую долю среди активных клиентов составляют физические лица — 68%. Это подчеркивает растущий интерес розничных инвесторов к опционам как инструменту для спекуляций и хеджирования. Около 5% всех активных инвесторов в России торгуют на срочном рынке.

Эти данные демонстрируют динамичное развитие российского рынка опционов и его потенциал для дальнейшего роста, особенно с учетом появления новых инструментов, таких как премиальные опционы, которые делают торговлю более доступной и понятной для широкого круга инвесторов.

Правовое регулирование опционов в Российской Федерации

Развитие любого финансового рынка невозможно без адекватной правовой базы. В Российской Федерации законодательное регулирование опционов прошло путь от отсутствия четких норм до их закрепления в Гражданском кодексе РФ, что значительно повысило прозрачность и надежность этих инструментов.

До 2015 года опционные контракты регулировались преимущественно нормами о договорах купли-продажи или предоставления услуг, что создавало правовую неопределенность. Значимым шагом стало вступление в силу Федерального закона № 42-ФЗ от 08.03.2015, который внес существенные изменения в Гражданский кодекс РФ (ГК РФ), дополнив его новыми статьями: 429.2 «Опцион на заключение договора» и 429.3 «Опционный договор». Эти нововведения стали ключевыми для легализации и развития опционных механизмов в российском правовом поле.

1. Статья 429.2 ГК РФ: «Опцион на заключение договора»
   • Сущность: Эта статья регулирует соглашение, по которому одна сторона предоставляет другой стороне безотзывную оферту на заключение одного или нескольких договоров. Получатель оферты (держатель опциона) вправе в течение установленного срока или при наступлении определенного условия акцептовать эту оферту.
   • Пример применения: Компания «А» хочет купить акции компании «Б» в течение года, но не уверена в рыночной конъюнктуре. Она заключает опцион на заключение договора купли-продажи акций с владельцем «Б», уплачивая небольшую премию. В течение года «А» имеет право (опцион) принять оферту на покупку акций по заранее оговоренной цене. Если цена акций вырастет, «А» воспользуется опционом; если упадет, «А» откажется, потеряв только премию.
   • Отличие от опционного договора: Опцион на заключение договора по сути является правом на заключение будущего договора. Он не является самостоятельным обязательством по совершению действий, а лишь дает право на акцепт оферты.
2. Статья 429.3 ГК РФ: «Опционный договор»
   • Сущность: Эта статья ближе всего к традиционному пониманию финансовых опционов. По опционному договору одна сторона вправе требовать от другой стороны совершения определенных действий (в частности, уплатить денежные средства, передать или принять имущество) в предусмотренный договором срок или при наступлении предусмотренного договором условия. Взамен этого права другая сторона получает единовременную или периодическую плату.
   • Пример применения: На Московской бирже торгуются именно опционные договоры в соответствии с этой статьей. Покупатель колл-опциона приобретает право требовать покупки базового актива, а продавец пут-опциона — право требовать продажи базового актива. За это право покупатель уплачивает премию.
   • Значение: Введение этой статьи устранило правовой вакуум и дало четкое юридическое определение для биржевых и внебиржевых финансовых опционов, обеспечив их законность и возможность защиты прав сторон.

Общее значение для рынка:
Легализация и детализация регулирования опционов в ГК РФ:

• Снизила правовые риски для участников рынка, обеспечив большую предсказуемость в исполнении контрактов.
• Стимулировала развитие рынка производных инструментов, привлекая новых инвесторов и позволяя создавать более сложные финансовые продукты.
• Укрепила доверие к российскому финансовому рынку со стороны как отечественных, так и иностранных инвесторов.

Таким образом, российское законодательство создало прочную основу для функционирования и развития рынка опционов, гармонизируя его с международными стандартами и обеспечивая юридическую защищенность участников.

Применение моделей ценообразования опционов на российском рынке

Применимость классических и современных моделей ценообразования опционов к российскому рынку является предметом постоянных исследований и адаптации. Хотя фундаментальные принципы универсальны, специфика отечественной финансовой системы создает как вызовы, так и уникальные возможности.

Вызовы и особенности применения:

1. Ликвидность рынка: Хотя Срочный рынок Московской биржи демонстрирует рост объемов, ликвидность по некоторым базовым активам или страйкам может быть ниже, чем на крупнейших мировых площадках. Низкая ликвидность может приводить к:
   • Расширению спредов: Разница между ценами покупки и продажи может быть значительной, что снижает точность моделей, предполагающих непрерывную торговлю по одной цене.
   • Ценовым аномалиям: При недостатке участников могут возникать отклонения рыночных цен от теоретических, что затрудняет применение арбитражных стратегий, основанных на моделях.
2. Волатильность: Российский рынок традиционно характеризуется более высокой волатильностью, чем развитые рынки, что обусловлено как внешними геополитическими факторами, так и внутренней экономической спецификой.
   • Нестабильность волатильности: Допущение о постоянной волатильности в модели Блэка-Шоулза становится еще более проблематичным. Феномен «улыбки волатильности» выражен ярко, требуя использования моделей со стохастической волатильностью или более сложных калибровок.
   • «Скачки» цен (Jumps): Российский рынок более подвержен резким, неожиданным изменениям цен, что требует моделей, способных учитывать «скачки» (например, модели на основе процессов Леви).
3. Структура процентных ставок: Динамика безрисковой ставки в России (ключевой ставки ЦБ РФ) может быть более непредсказуемой, чем в странах с развитыми финансовыми рынками, что влияет на дисконтирование будущих денежных потоков в опционных моделях.
4. Регулирование и инфраструктура: Хотя законодательство развивается, определенные аспекты регулирования и особенности торговой инфраструктуры могут влиять на эффективность применения моделей. Например, ограничения на короткие продажи или особенности маржинальных требований.
5. Психология инвесторов: С учетом высокой доли физических лиц на срочном рынке Московской биржи, влияние поведенческих факторов на ценообразование опционов может быть особенно заметным, что создает дополнительные вызовы для классических моделей.

Возможности для применения моделей:

1. Биномиальная модель: Благодаря своей гибкости, биномиальная модель хорошо подходит для оценки американских опционов, торгуемых на Московской бирже (фьючерсные опционы), а также для опционов с дивидендами. Она позволяет интуитивно строить дерево цен и учитывать возможность досрочного исполнения.
2. Модель Блэка-Шоулза-Мертона: Несмотря на ограничения, остается базовой моделью для оценки европейских премиальных опционов. Однако для достижения точности крайне важно использовать подразумеваемую волатильность, извлекаемую из рыночных цен опционов, а не историческую волатильность. Это позволяет модели «адаптироваться» к рыночным ожиданиям и учитывать эффект «улыбки волатильности».
3. Численные методы (Монте-Карло, конечные разности): Для более сложных опционов (например, на корзину активов, или с экзотическими условиями, если таковые появятся на рынке) и для глубокого анализа американских опционов, эти методы незаменимы. Метод конечных разностей особенно актуален для точной оценки американских фьючерсных опционов.
4. Метод реальных опционов: В условиях российской экономики, характеризующейся высокой неопределенностью и значительными инвестициями в капиталоемкие отрасли (нефтегаз, металлургия, инфраструктура), метод реальных опционов имеет огромный потенциал для повышения качества инвестиционных решений, позволяя учитывать гибкость управления проектами.

Заключение по применимости:
Применение моделей ценообразования опционов на российском рынке требует не только глубокого понимания самих моделей, но и критического анализа их допущений в контексте специфических рыночных условий. Адаптация моделей, использование подразумеваемой волатильности, учет поведенческих факторов и применение численных методов становятся ключевыми для получения адекватной и надежной оценки стоимости опционов в российской практике. Это открывает широкие возможности для количественных аналитиков и специалистов в области финансовых рисков.

Заключение

На протяжении данной курсовой работы мы совершили погружение в сложный, но увлекательный мир опционов, от их исторического возникновения до современных методов ценообразования и специфики применения на российском рынке. Мы увидели, что опционы — это не просто финансовые инструменты, а мощные конструкторы для управления рисками, спекуляций и стратегического планирования.

В первой главе было дано всестороннее определение опционов как производных финансовых инструментов, отличающихся от фьючерсов правом, а не обязанностью. Мы детально рассмотрели ключевую терминологию: базовый актив, страйк, премия, дата экспирации, а также понятия внутренней и временной стоимости. Особое внимание было уделено «Грекам» (Дельта, Вега, Тэта, Гамма), показав их незаменимую роль в управлении рисками и хеджировании опционных позиций. Разнообразие опционов было систематизировано через их классификацию по праву, стилю исполнения и типу расчетов, что подчеркнуло их адаптивность к различным рыночным потребностям. Исторический экскурс от «тюльпаномании» до основания CBOE в 1973 году продемонстрировал эволюцию этих инструментов и их неотъемлемую связь с развитием финансовых рынков.

Вторая глава углубилась в сердце теории ценообразования. Мы начали с пионерских работ Луи Башелье, заложившего математические основы, и перешли к детальному анализу биномиальной модели Кокса-Рубинштейна-Росса, ее математического аппарата и алгоритма, подчеркнув ее гибкость для американских опционов. Затем была рассмотрена революционная модель Блэка-Шоулза-Мертона, ее историческое значение, допущения и математические формулы. Критический анализ выявил ее ограничения, в частности, феномен «улыбки волатильности», который служит мостом к более современным подходам. В завершение главы мы изучили численные методы, такие как Монте-Карло и методы конечных разностей, демонстрируя их способность справляться со сложностью экзотических и американских опционов.

Третья глава была посвящена практическому применению моделей и выявлению исследовательских пробелов. Метод реальных опционов предстал как мощный инструмент для оценки инвестиционных проектов, способный учитывать управленческую гибкость в условиях неопределенности, что было проиллюстрировано кейс-стади из различных отраслей. Мы также подняли вопросы аномалий рынка, исследуя влияние поведенческих финансов на премии опционов и особенности ценообразования валютных и товарных опционов, а также опционов на неамериканских биржах, что открывает широкое поле для дальнейших исследований.

Наконец, четвертая глава сосредоточилась на российской специфике. Мы проанализировали функционирование Срочного рынка Московской биржи, рассмотрели типы доступных опционов (фьючерсные и премиальные) и их отличия, подкрепив анализ актуальными данными по объемам торгов и структуре участников. Особое внимание было уделено правовому регулированию, подчеркнув значение статей 429.2 и 429.3 Гражданского кодекса РФ для легализации и развития опционного рынка в стране. В завершение главы мы обсудили вызовы и возможности применения классических и современных моделей ценообразования на российском рынке, учитывая его ликвидность, волатильность и регуляторные особенности.

Подводя итог, можно констатировать, что теория ценообразования опционов является краеугольным камнем современных финансов, предоставляя инструментарий для глубокого анализа и эффективного управления рисками. Несмотря на высокую степень разработанности, рынок опционов продолжает эволюционировать, ставя перед исследователями новые задачи, особенно в части учета поведенческих факторов, аномалий и специфики развивающихся рынков. Для российского рынка особую значимость приобретает адаптация глобальных моделей к местным условиям, дальнейшее развитие правовой базы и повышение финансовой грамотности инвесторов.

Возможные направления для дальнейших исследований включают:

1. Разработка и тестирование гибридных моделей ценообразования опционов, объединяющих элементы стохастической волатильности и скачков для лучшего отражения динамики российского рынка.
2. Глубокий эмпирический анализ влияния поведенческих факторов (таких как эффект диспозиции или поиск асимметричной прибыли) на формирование подразумеваемой волатильности и премии опционов на Московской бирже.
3. Разработка моделей ценообразования для экзотических опционов, адаптированных к особенностям российского законодательства и рыночной инфраструктуры.
4. Исследование эффективности различных стратегий хеджирования («Греки») на российском рынке опционов в условиях его специфической ликвидности и волатильности.

Эти исследования позволят углубить понимание механизмов ценообразования, повысить эффективность управления рисками и раскрыть новые возможности для развития российского рынка производных финансовых инструментов.

Список использованной литературы

1. Буренин А. Н. Рынки производных финансовых инструментов. – М.: ИНФРА-М, 2004.
2. Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. М.: Научно-техническое общество имени академика С. И. Вавилова, 2005.
3. Буренин А.Н. Форварды, фьючерсы, опционы. Экзотические и погодные производные. М.: Научно-техническое общество имени академика С. И. Вавилова, 2006.
4. Булатов В. В. Фондовый рынок в структурной перестройке экономики. – М.: Наука, 2005.
5. Вайн С. Опционы. Полный курс для профессионалов. – М.: Альпина Паблишер, 2003. – 416 с.
6. Галанов В.А. Производные инструменты срочного рынка: фьючерсы, опционы, свопы: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 464 с.
7. Галиц Л. Финансовая инженерия: инструменты и способы управления финансовым риском. – М.: ТПВ, 2005.
8. Дарушин И. Теоретические основы функционирования срочного рынка и его социально-экономическая роль // Рынок ценных бумаг. – 2005. – № 4. – с. 68-73.
9. Инглис-Тейлор Э. Производные финансовые инструменты: Словарь: Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 2003. – VIII, 224с.
10. Коннолли К. Покупка и продажа волатильности: Пер. с англ. М.: «ИК „Аналитика“» 2005. – 264 с.
11. Лофтон Т. Основы торговли фьючерсами: Пер. с англ. М.: «ИК „Аналитика“», 2006. – 280 с.
12. Майоров С. Мировой срочный рынок: некоторые тенденции развития // Индикатор. – №02. – 2006. – с. 5-8.
13. Макмиллан Л.Г. Опционы как стратегическое инвестирование / Пер. с англ. М.: Евро, 2005. – 1225 с.
14. Мэрфи Дж. Технический анализ фьючерсных рынков: теория и практика / Пер. с англ. О. Новицкой, В. Сидорова, М.: «Диаграмма» 2004. – 592 с.
15. Пензин К. О рынке производных инструментов в России // Деньги и кредит. – 2004. – № 1.
16. Пензин К. В. Современное состояние и тенденции развития мирового рынка биржевых опционных контрактов. Рынок ценных бумаг №15, 2005.
17. Рудько-Силиванов В., Афанасьев А. Определимся в понятиях: производные финансовые инструменты или срочные сделки? // Рынок ценных бумаг. – 2003. – № 10. – с. 33-35.
18. Соколов В. Рынок деривативов: взгляд специалиста // Вестник НАУФОР. – 2004. – № 11. – с. 23-27.
19. Соколов В. Управление рисками биржи при организации торгов фьючерсными и опционными контрактами – опыт СПВБ // Рынок ценных бумаг. – 2003. — № 17. – с. 80-82.
20. Соловьёв П.Ю. Биржевые вариационные опционы в России // Биржевое обозрение. – 2005. – № 6(20). – с. 12-16.
21. Томсетт М. Торговля опционами: Спекулятивные стратегии, хеджирование, управление рисками. Пер. с англ. Б. Зуева , М.: «АЛЬПИНА», 2005. – 360 с.
22. Фельдман А.Б. Производные финансовые и товарные инструменты: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 304с.: ил.
23. Финансовые рынки в переходной экономике: некоторые проблемы развития. – М.: ИЭПП, 2005. – 171 с.
24. Чекулаев М. Загадки и тайны опционной торговли: Механика биржевого успеха. М.: «ИК „Аналитика“», 2004. – 432 с.
25. Шарп У., Александер Г., Бейли Д. Инвестиции. М., 2004.
26. Clewlow, Les, and Chris Strickland. Implementing Derivatives Models. – John Wiley & Sons Ltd., 2006. – 309p.
27. Daigler, Robert T. Advanced Options Trading: The Analysis and Evaluation of Trading Strategies, Hedging Tactics & Pricing Models. – Irwin Professional Publishing, 2004. – xvi, 325 p.
28. Hull, John C. Options, Futures & Other Derivatives: Fourth Edition. – Prentice Hall Inc., 2005. – 698p.
29. Kolb, Robert W. Financial derivatives: 2nd ed. – Blackwell Publishers Ltd., 2006. – x, 261 p.
30. Lederman, Jess, Robert A. Klein, and Israel Nelken. The Handbook of Exotic Options: Instruments, Analysis, and Applications. – McGraw-Hill, 2006. – 362p.
31. Опцион — Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD (дата обращения: 20.10.2025).
32. Опционы на акции. Что такое опционы — Московская Биржа. URL: https://www.moex.com/s2762 (дата обращения: 20.10.2025).
33. Что такое опционы и как они работают — Т‑Банк. URL: https://www.tinkoff.ru/invest/razbor-akcii/chto-takoe-opciony-i-kak-oni-rabotayut/ (дата обращения: 20.10.2025).
34. Опционы: стартовый гайд для начинающих инвесторов — Skillbox. URL: https://skillbox.ru/media/finance/opciony_startovyy_gayd_dlya_nachinayushchikh_investorov/ (дата обращения: 20.10.2025).
35. Торговля опционами для чайников пошагово | Как торговать опционами на московской бирже для начинающих — Газпромбанк Инвестиции. URL: https://www.gazprombank.investments/blog/torgovlya-optsionami-dlya-chaynikov-poshagovo/ (дата обращения: 20.10.2025).
36. Что такое опционы (пут и колл), как они работают и как ими торговать на Мосбирже. URL: https://www.banki.ru/news/daytheme/?id=10926723 (дата обращения: 20.10.2025).
37. Опционы | что это такое, виды, как они работают, как на них зарабатывать. URL: https://journal.open-broker.ru/investments/chto-takoe-opcion/ (дата обращения: 20.10.2025).
38. Опцион: суть, типы и основные понятия. URL: https://journal.tinkoff.ru/option/ (дата обращения: 20.10.2025).
39. Опцион. Что это, и как применять? — Экспобанк. URL: https://expobank.ru/articles/opcion-chto-eto-i-kak-primenyat/ (дата обращения: 20.10.2025).
40. Что такое опцион: разбираемся — SendPulse. URL: https://sendpulse.com/ru/support/glossary/option (дата обращения: 20.10.2025).
41. Вильямс книга Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. URL: https://www.ozon.ru/product/optsiony-fyuchersy-i-drugie-proizvodnye-finansovye-instrumenty-6852445/ (дата обращения: 20.10.2025).
42. Что такое опцион простыми словами? — EXBASE. URL: https://exbase.io/ru/blog/chto-takoe-opcion-prostymi-slovami (дата обращения: 20.10.2025).
43. Правовое регулирование рынка производных финансовых инструментов. 2-е изд. URL: https://id.hse.ru/books/646271929.html (дата обращения: 20.10.2025).
44. Производные финансовые инструменты — Библиотека Банка России. URL: https://www.cbr.ru/publ/books/pfi/ (дата обращения: 20.10.2025).
45. Что такое опционы? Принципы торговли опционами — ATAS. URL: https://atas.net/ru/blog/optsiony-princip-torgovli/ (дата обращения: 20.10.2025).
46. Производные финансовые инструменты — Знаниум. URL: https://znanium.com/catalog/document?id=144300 (дата обращения: 20.10.2025).
47. Книга Производные Финансовые Инструменты купить на OZON по низкой цене. URL: https://www.ozon.ru/product/optsiony-fyuchersy-i-drugie-proizvodnye-finansovye-instrumenty-8-e-izd-hall-dzhon-k-172558661/ (дата обращения: 20.10.2025).
48. Что такое опцион простыми словами — Блог БКС Мир Инвестиций. URL: https://bcs.ru/blog/chto-takoe-opcion-prostymi-slovami (дата обращения: 20.10.2025).
49. Опцион: виды, как они работают, отличия от договора, как купить — Бизнес-секреты. URL: https://www.tinkoff.ru/business/secrets/articles/what-is-option/ (дата обращения: 20.10.2025).
50. Теория ценообразования опционов: от Блэка-Шоулза до современных моделей. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/teoriya-tsenoobrazovaniya-optsionov-ot-bleka-shoulza-do-sovremennyh-modeley (дата обращения: 20.10.2025).
51. Модель Блэка-Шоулза: как она изменила мир финансов. URL: https://journal.tinkoff.ru/black-scholes/ (дата обращения: 20.10.2025).
52. Биномиальная модель ценообразования опционов: теоретические основы и практическое применение. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/binominalnaya-model-tsenoobrazovaniya-optsionov-teoreticheskie-osnovy-i-prakticheskoe-primenenie (дата обращения: 20.10.2025).
53. Биномиальная модель ценообразования опционов. URL: https://www.cfin.ru/finanalysis/bin_model.shtml (дата обращения: 20.10.2025).
54. Применение биномиальной модели ценообразования опционов. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/primenenie-binominalnoy-modeli-tsenoobrazovaniya-optsionov (дата обращения: 20.10.2025).
55. Ценообразование опционов на основе модели Блэка-Шоулза. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/tsenoobrazovanie-optsionov-na-osnove-modeli-bleka-shoulza (дата обращения: 20.10.2025).
56. Модель Блэка-Шоулза — что это такое, формула, пример. URL: https://investicii.guru/slovar/model-bleka-shoulza.html (дата обращения: 20.10.2025).
57. Модели ценообразования опционов — Инвестиции.Ру. URL: https://investicii.ru/wiki/modeli-cenobrazovaniya-opcionov/ (дата обращения: 20.10.2025).
58. Метод Монте-Карло в ценообразовании опционов. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metod-monte-karlo-v-tsenoobrazovanii-optsionov (дата обращения: 20.10.2025).
59. Использование метода Монте-Карло для оценки стоимости финансовых опционов. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/ispolzovanie-metoda-monte-karlo-dlya-otsenki-stoimosti-finansovyh-optsionov (дата обращения: 20.10.2025).
60. Методы Монте-Карло в оценке опционов. URL: https://www.elib.bsu.by/bitstream/123456789/22081/1/22_24.pdf (дата обращения: 20.10.2025).
61. Численные методы ценообразования опционов. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/chislennye-metody-tsenoobrazovaniya-optsionov (дата обращения: 20.10.2025).
62. Численные методы оценки опционов. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/chislennye-metody-otsenki-optsionov (дата обращения: 20.10.2025).
63. Метод реальных опционов. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metod-realnyh-optsionov (дата обращения: 20.10.2025).
64. Оценка инвестиционных проектов с использованием метода реальных опционов. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/otsenka-investitsionnyh-proektov-s-ispolzovaniem-metoda-realnyh-optsionov (дата обращения: 20.10.2025).