теория вероятности и математическая статистика 7, Теория вероятностей

Пример готовой курсовой работы по предмету: Теория вероятностей

Содержание

1)На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает брака 0.4%, второй 0,2%, третий 0.6%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если поступило с 1-го автомата

50. деталей, со 2-го 1000 и с 3-го 1250? Если деталь оказалась бракованной, то какой из трех автоматов ее вероятнее всего изготовил?

Решение:

Рассмотрим гипотезы:

Н_1- деталь первого автомата.

Н_2- деталь второго автомата.

Н_3- деталь третьего автомата.

А- на сборку попала бракованная деталь.

P(Н_1)=500/(500+1000+1250)=500/2750=50/275=2/11

P(Н_2)=1000/2750=4/11

P(Н_3)=1250/2750=5/11

По условию:

P(A/H_1 )= 0,004

P(A/H_2 )= 0,002

P(A/H_3 )= 0,006

По формуле полной вероятности:

Р(А)=∑_(i>1)^3▒〖P(H_(i)) )*P(〗 A/H_i )=2/11*0,004+7/11*0,002+5/11*0,006=0,046/11≈0,00418

Найдем какой из трех автоматов вероятнее изготовил бракованную деталь, по формуле Байеса.

P(H_1/A)=(P(H_1 )*P(A/H_1 ))/(P(A))=(2/11*0,004)/(0,046/11)=0,008/0,046=4/23

P(H_2/A)=(P(H_2 )*P(A/H_2 ))/(P(A))=(4/11*0,002)/(0,046/11)=0,008/0,046=4/23

P(H_3/A)=(P(H_3 )*P(A/H_3 ))/(P(A))=(5/11*0,006)/(0,046/11)=0,03/0,046=15/23

Вероятнее всего бракованная деталь поступила от третьего автомата.

2)а) Сколько нужно проверить деталей, чтобы с вероятностью 0,9; 0,99; 0,999 можно ожидать, что абсолютная величина отклонения частоты годных деталей от вероятности 0,9 того, что делать окажется годной, не привысит 0,01( по абсолютной величине)?\

Решение:

P=0,9; 0,99;0,999.

Частота m/n; n- общее число деталей.

Р=0,9- вероятность того, что деталь годная по следствию из интегральной теоремы Муавра-Лапласа, получим

1)P(|m/n-0,9|≤ 0,01)≈Ф((0,01*√n)/√pq)=0,9

Ф((0,01*√n)/√(0,9*0,1))= Ф(1,64)

(0,01*√n)/0,3=1,64=>√n=(1,64*0,3)/0,01=49,2

или n=2420,64; n=2420-деталей .

2) P(|m/n-0,9|≤ 0,01)≈Ф((0,01*√n)/0,3)=0,99

Ф((0,01*√n)/0,3)= Ф(2,58)

(0,01*√n)/0,3=2,58 =>√n=(2,58*0,3)/0,01=77,4

В этом случае n=5990,76; n=5990-деталей .

3) P(|m/n-0,9|≤ 0,01)≈Ф((0,01*√n)/0,3)=0,999

Ф((0,01*√n)/0,3)= Ф(3,8)

(0,01*√n)/0,3=3,8 =>√n=(3,8*0,3)/0,01=114

В этом случае n=12996- деталей.

б) На факультете 730 студентов. Вероятность того, что студент не придет на занятия, равна 0,1. Найдите наивероятнейшее число студентов, не явившихся на занятия, и вероятность этого события:

Решение:

n=730

p=0,1 ( не придет)

q=1-p=0,9 (придет)

m_0-наивероятнейшее число студентов не явившихся на занятия.

np-q≤m_0≤np+q

np=730*0,1=73 тогда,

73-0,9≤m_0≤ 73+0,1

72,1≤m_0≤ 73,1

m_0=73

А=73 человека из

73. не придут на занятия

P(A)≈1/√npq φ((k-np)/√npq) ; k=73; np=73; √npq=√ 65,7≈8,1;

P(A)=1/8,1 φ(0)=0,3989/8,1=0,04924

в) Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, найдите вероятность того, что среди 6 новорожденных 2 окажутся мальчиками;

Решение:

P=q=1/2 ; n=6 ; k=2.

A-Среди 6 новорожденных окажется 2 мальчика.

По формуле Бернулли:

P(A)=P_6 (2)=C_6^2*(1/2)^2*(1/2)^(6-2)=6!/(2!*4!)*1/4*1/16=15/64

г)Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,001.Найдите вероятность того, что среди из 5000 изделий более чем одно не выдержит испытания.

Решение:

P=0,001; n=5000; λ =np=5.

A-более чем одно изделие не выдержит испытания.

Ā-ноль или одно изделие не выдержат испытания.

По формуле Пуассона:

P(Ā)=P_0(5)+P_1(5)=(5^0*e^(-5))/0!+(5^1*e^(-5))/1!=e^(-5)+5e^(-5)=6/e^5 ≈0,0404

тогда;

P(A)=1-P(Ā)=0,9596

3)Составьте закон распределения дискретной случайной величины ε, вычислите ее математическое ожидание, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты асимметрии и эксцесса, все моменты, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции распределения. Сделайте выводы по результатам расчетов.

Из урны содержащей 4 белых и 4 черных шара, наугад извлекают 3 шара, ε- число вынутых черных шаров.

Решение:

ε- число черных шаров среди трех вынутых.

ε_i 0 1 2 3

p_i (C_4^3)/(C_8^3 )=4/56 (C_4^1*C_4^2)/(C_8^3 )=24/56 (C_4^2*C_4^1)/(C_8^3 )=24/56 (C_4^3)/(C_8^3 )=4/56

C_4^3=4; C_8^3=8!/(3!*5!)=(6*7*8)/6=56

C_4^1=4; C_4^2=4!/(2!*2!)=24/4=6

ε_i 0 1 2 3

p_i 1/14 6/14 6/14 1/14

Математическое ожидание:

M(x)=0+6/14+12/14+13/14=21/14=3/2

Дисперсия:

D(x)=0+6/14+2^2*6/14+3^2*1/14-(3/2)^2=6/14+24/14+9/14-9/4=39/14-9/4=15/28

Среднее квадратическое отклонение:

δ(x)=√(D(x))=√(15/28)≈0,73

Многоугольник распределения:

Начальные моменты:

ϑ_k=∑_(i=0)^3▒〖ε_i^k*P_i 〗

ϑ_1=M(x)=3/2

Центральные моменты:

μ_k=∑_(i=0)^3▒〖(ε_i-3/2)^k 〖*P〗_i 〗.

μ_1=0

μ_2=S^2=15/28

μ_3=-27/8*1/14+(-1/8)*6/14+1/8*6/14+27/8*1/14=(-27-48+6+27)/92=(-42)/92=(-21)/46

Коэффициент асимметрии:

Ā= M_3/S^3 =(-21/46)/(15/28*√(15/28))≈-1,16

Эксцесс:

Ē=M_4/S^4 -3=0,77/(15/28)^2 -3≈-0,316

μ_4=81/16*1/14+1/16*6/14+1/16*6/14+81/16*1/14=174/(16*14)=0,77

4)Случайная величина ε задана функцией плотности распределения f(x).

Найдите: 1) функцию распределения F(x) и необходимые константы;

2. математическое ожидание, медиану, дисперсию, среднее квадратичное отклонение, коэффициенты асимметрии и эксцесса, все моменты;

3. вероятность попадания случайной величины ε в интервал (α,β).

Постройте графики функций распределения F(x) и плотности распределения f(x).

Сделайте выводы.

F(x)={█(0,при x≤-3π/[email protected]α cos⁡〖x/3〗,при -3π/2<x≤ 3π/2,α=π/[email protected],при x>3π/2)┤ ; β=3π/4

1)α-найдем из условия.

∫_(-3π/2)^(3π/2)▒〖α cos⁡〖x/3 dx=〗〗 1

3α sin⁡〖x/3〗 ∫_(-3π/2)^(3π/2)▒〖=3a(sin⁡〖π/2-sin⁡〖(-π/2〗〗〗))= 3α(1+1)= 6α=1 => α=1/6

f(x)= {█(0, x≤-3π/[email protected]/6 cos⁡〖x/3〗,-3π/2<x≤ 3π/[email protected], x>3π/2)┤

Найдем F(x)

x≤-3π/2 F(x)=∫_(-∞)^(-3π/2)▒〖 0*dt=0〗

3π/2<x≤ 3π/2

F(x)=∫_(-∞)^x▒〖f(x)dt=∫_(-∞)^(-3π/2)▒〖 0*dt+∫_(-3π/2)^x▒〖 1/6 cos⁡〖t/3 dt=1/2 sin⁡〖t/3 ∫_(-3π/2)^x▒〖=1/2(sin⁡〖x/3+sin⁡〖π/2)=1/2 sin⁡〖x/3〗〗〗〗〗〗〗〗〗+1/2

x>3π/2

F(x)=∫_(-∞)^(-3π/2)▒〖 0*dt+〗 ∫_(-3π/2)^(3π/2)▒〖 1/6 cos⁡〖t/3〗〗 dt+∫_(3π/2)^(+∞)▒〖 0*dt=〗 1/2 sin⁡〖t/3 ∫_(-3π/2)^(3π/2)▒〖=1/2(sin⁡〖π/2+sin⁡〖π/2)=1/2*2=1〗〗〗〗

f(x)= {█(0, x≤-3π/[email protected]/2 cos⁡〖x/3+1/2〗,-3π/2<x≤ 3π/[email protected], x>3π/2)┤

3) P(π/2<ε<3π/4)=P(3π/4)-P(π/2)=1/2 sin⁡〖π/4+1/2-(1/2 sin⁡〖 3π/2+1/2〗 )〗=1/2*√ 2/2+1/2-(1/2*(-1)+1/2)=√ 2/4+1/2=(2+√ 2)/4

2)M(x)=∫_(-3π/2)^(3π/2)▒x/6 cos⁡〖x/3〗 dx= ((u=x/6 v=3 sin⁡〖x/3〗)¦(du=dx/6))=x/6*3 sin⁡〖x/3〗 |(3π/2)¦(-3π/2)┤-∫_(-3π/2)^(3π/2)▒ 3/6 sin⁡〖x/3〗 dx=1/2 (3π/2*sin⁡〖π/2-(-3π/2)*sin⁡(π/2) 〗 )+1/2*3cos⁡〖x/3〗 |(3π/2)¦(-3π/2)┤=1/2 (3π/2-3π/2)+3/2 (cos⁡〖π/2〗-cos⁡(-π/2) )=0

Дисперсия 3π/2

D(x)=∫_(-3π/2)^(3π/2)▒x^6/6 cos⁡〖x/3〗dx=((u=x/6 v=3 sin⁡〖x/3〗)¦(du=dx/6))=x^2/2 sin⁡〖x/3〗 |(3π/2)¦(-3π/2)┤-∫_(3π/2)^(3π/2)▒〖x*sin⁡〖x/3〗〗dx= |■([email protected][email protected]=-3 cos⁡〖x/3〗 )|=1/2 ((9π^2)/4*1-(9π^2)/4*(-1))-(-3 cos⁡〖x/3 |(3π/2)¦(-3π/2)┤〗+∫_(-3π/2)^(3π/2)▒〖 3 cos⁡〖x/3〗〗 dx)=(18π^2)/8+3(3π/2 cos⁡〖π/2〗- 3π/2 cos⁡(-π/2) )-9sin⁡〖x/3〗 |(3π/2)¦(-3π/2)┤ =(9π^2)/4 -9(sin⁡〖π/2〗-sin⁡(-π/2) )=(9π^2)/4-9*2=(9π^2)/4 -18 ≈2,25

Среднее квадратическое отклонение

δ(x)=√(D(x))=√((9π^2)/4-18)

Коэффициент асимметрии

A_s=μ_3/δ^3 ; тогда A_s=0

μ_3=∫_(-3π/2)^(3π/2)▒〖x^3*1/6〗 cos⁡〖x/3〗dx=1/6 (3x^3*sin⁡〖x/3+27x^2*cos⁡〖x/3-162x sin⁡〖x/3-486 cos⁡〖x/3〗〗〗〗 )=1/6 (3(3π/2)^3*sin⁡〖π/2〗-(-3π/2)^3*sin⁡(-π/2) )-162(3π/2*sin⁡〖π/2〗-(-3π/2)*sin⁡(-π/2) )=0

Коэффициент эксцесса

E=μ_4/δ^4 -3= 40,25/(2,25)^2 -3=4,95

μ_4=∫_(-3π/2)^(3π/2)▒〖x^4*1/6 cos⁡〖x/3 dx〗=1/6 (3x^4*sin⁡〖x/3+36x^3*cos⁡〖x/3-324x^2*sin⁡〖x/3-(944x cos⁡〖x/3+5832 sin⁡〖x/3〗〗 )〗〗〗 )|(3π/2)¦(-3π/2)┤ 〗=1/6 (3((3π/2)^4+(3π/2)^2 )-324((3π/2)^2+(3π/2)^2 )+5832*(1+1))≈40,25

Исходные данные.

15,39 12,19 14,05 1,56 -1,05 -1,03 5,93

3,13 -18,40 22,76 17,91 11,43 -0,06 0,73

1,22 12,78 5,98 23,02 -3,78 13,80 14,38

27,60 3,53 15,51 25,46 -8,22 23,08 -0,49

14,59 -0,52 -2,42 14,24 -9,17 8,76 14,13

24,66 -2,29 6,15 14,76 11,86

1.Эмпирическое паспределение случайной величины

1)Построить эмпирическую функцию распределения, гистограмму и полигон частот;

2)Высказать предложения о виде закона распределения.

2.Оценки числовых характеристик случайной величины.

1)Найти смещенные и несмещенные оценки начальных и центральных моментов 1,2,3 и 4-го порядков случайной величины.

2)Найти оценки математического ожидания и медианы (указать их на гистограмме), дисперсии и СКО, коэффициентов асимметрии и эксцесса. Сделать выводы.

3)Найти относительную ошибку между смещенными и несмещенными оценками. Результаты расчетов занести в таблицу. Сделать выводы.

3.Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины.

1)Выдвинуть гипотезу о нормальном распределении случайной величины и оценить параметры равномерного распределения.

2)Проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины по критериям Пирсона и Колмогорова.

3)Записать выражения для f(x) и F(x) и построить их графики на гистограмме и ЭФР соответственно.

4.Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии.

1)Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии (α=0,01; 0,05; 0,1) по исходным данным.

2)Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии (α=0,01; 0,05; 0,1) по выборке малого объема (взять вторую строку исходных данных).

3)Сравнить доверительные интервалы (по уровням значимости и объему выборки) и сделать выводы.

5.Теоретические числовые характеристики распределения.

1)Зная закон распределения, найти теоретические числовые характеристики случайной величины; начальные и центральные моменты 1,2,3 и 4-го порядков; математическое ожидание и медиану; дисперсию и СКО; коэффициенты асимметрии и эксцесса.

2) Сравнить теоретические числовые характеристики распределения с их оценками. Сделать выводы.

Построим дискретный вариационный ряд. Для этого отсортируем ряд по возрастанию и подсчитаем количество повторения для каждого элемента ряда.

.4 -2.29 -0.06 6.15 13.8 14.76 23.08
9.17 -1.56 0.73 8.76 14.05 15.39 24.66
.22 -1.05 1.22 11.43 14.13 15.51 25.46
3.78 -1.03 3.53 11.86 14.24 17.91 27.6
3.13 -0.52 5.93 12.19 14.38 22.76
.42 -0.49 5.98 12.78 14.59 23.02

Гистограмма

График функции распределения

Таблица для расчета показателей.

xi Кол-во, fi xi * fi Накопленная частота, S |x- xср|*f (x — xср)2*f Частота, fi/n

.4 1 -18.4 1 26.49 701.96 0.025
9.17 1 -9.17 2 17.26 298.06 0.025
.22 1 -8.22 3 16.31 266.16 0.025
3.78 1 -3.78 4 11.87 141 0.025
3.13 1 -3.13 5 11.22 125.99 0.025
.42 1 -2.42 6 10.51 110.55 0.025
.29 1 -2.29 7 10.38 107.84 0.025
.56 1 -1.56 8 9.65 93.21 0.025
.05 1 -1.05 9 9.14 83.62 0.025
.03 1 -1.03 10 9.12 83.26 0.025
0.52 1 -0.52 11 8.61 74.21 0.025
0.49 1 -0.49 12 8.58 73.69 0.025
0.06 1 -0.06 13 8.15 66.5 0.025

0.73 1 0.73 14 7.36 54.24 0.025

1.22 1 1.22 15 6.87 47.26 0.025

3.53 1 3.53 16 4.56 20.83 0.025

5.93 1 5.93 17 2.16 4.69 0.025

5.98 1 5.98 18 2.11 4.47 0.025

6.15 1 6.15 19 1.94 3.78 0.025

8.76 1 8.76 20 0.67 0.44 0.025

11.43 1 11.43 21 3.34 11.13 0.025

11.86 1 11.86 22 3.77 14.18 0.025

12.19 1 12.19 23 4.1 16.77 0.025

12.78 1 12.78 24 4.69 21.95 0.025

13.8 1 13.8 25 5.71 32.55 0.025

14.05 1 14.05 26 5.96 35.47 0.025

14.13 1 14.13 27 6.04 36.43 0.025

14.24 1 14.24 28 6.15 37.77 0.025

14.38 1 14.38 29 6.29 39.51 0.025

14.59 1 14.59 30 6.5 42.19 0.025

14.76 1 14.76 31 6.67 44.43 0.025

15.39 1 15.39 32 7.3 53.22 0.025

15.51 1 15.51 33 7.42 54.99 0.025

17.91 1 17.91 34 9.82 96.34 0.025

22.76 1 22.76 35 14.67 215.08 0.025

23.02 1 23.02 36 14.93 222.77 0.025

23.08 1 23.08 37 14.99 224.57 0.025

24.66 1 24.66 38 16.57 274.42 0.025

25.46 1 25.46 39 17.37 301.56 0.025

27.6 1 27.6 40 19.51 380.46 0.025

40 323.78 364.75 4517.55 1

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

Показатели центра распределения.

Средняя взвешенная

x = ∑x • f∑f

x = 323.7840 = 8.09

Мода

Мода — наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Максимальное значение повторений при x = -18.4 (f = 1).

Следовательно, мода равна -18.4

Медиана

Медианой (Me) называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Находим xi, при котором накопленная частота S будет больше ∑f/2 =

21. Это значение xi = 11.86. Таким образом, медиана равна 11.86

Показатели вариации.

Абсолютные показатели вариации.

Размах вариации — разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = Xmax — Xmin

R = 27.6 — -18.4 = 46

Среднее линейное отклонение — вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

d = 364.7540 = 9.12

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 9.12

Дисперсия — характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

D = ∑(xi — x)2 f∑f

D = 4517.5540 = 112.94

Несмещенная оценка дисперсии — состоятельная оценка дисперсии.

S2 = ∑(xi — x)2 f∑f-1

S2 = 4517.5539 = 115.83

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

σ = D = 112.939 = 10.63

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 8.09 в среднем на 10.63

Оценка среднеквадратического отклонения.

s = S2 = 115.83 = 10.76

Относительные показатели вариации.

К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.

Коэффициент вариации — мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

v = σx = 10.638.09100% = 131.29%

Поскольку v>70%, то совокупность приближается к грани неоднородности, а вариация сильная.

Коэффициент вариации значительно больше 33%. Следовательно, рассмотренная совокупность неоднородна и средняя для нее недостаточна типична. В таком случае при практических исследованиях различными статистическими приемами приводят совокупность к однородному виду.

Линейный коэффициент вариации или Относительное линейное отклонение — характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.

Kd = dx = 9.128.09100% = 112.67%

Показатели формы распределения.

Коэффициент осцилляции — отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Kr = Rx = 468.09100% = 568.29%

Степень асимметрии

Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой.

Наиболее точным и распространенным показателем асимметрии является моментный коэффициент асимметрии.

As = M3/s 3

где M3 — центральный момент третьего порядка.

s — среднеквадратическое отклонение.

M3 = -7822.13/40 = -195.55

As = -195.5510.633 = -0.16

Отрицательный знак свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии

Оценка существенности показателя асимметрии дается с помощью средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии:

sAs = 6(n-2)(n+1)(n+3)

Если выполняется соотношение |As|/sAs < 3, то асимметрия несущественная, ее наличие объясняется влиянием различных случайных обстоятельств. Если имеет место соотношение |As|/sAs > 3, то асимметрия существенная и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным.

Расчет центральных моментов проводим в аналитической таблице:

xi (x — xср)3*f (x — xср)4*f

.4 -18598.04 492745.78
9.17 -5145.91 88841.53
.22 -4342.31 70842.69
3.78 -1674.35 19882.06
3.13 -1414.17 15873.33
.42 -1162.43 12222.34
.29 -1119.84 11629
.56 -899.89 8687.99
.05 -764.68 6992.62
.03 -759.67 6931.64
0.52 -639.28 5507.07
0.49 -632.62 5430.75
0.06 -542.24 4421.7

0.73 -399.42 2941.53

1.22 -324.88 2233.39

3.53 -95.1 434.08

5.93 -10.14 21.95

5.98 -9.45 19.99

6.15 -7.35 14.3

8.76 0.29 0.2

11.43 37.11 123.78

11.86 53.39 201.04

12.19 68.69 281.34

12.78 102.87 481.97

13.8 185.73 1059.68

14.05 211.23 1257.98

14.13 219.86 1326.95

14.24 232.1 1426.36

14.38 248.32 1560.84

14.59 274.06 1780.12

14.76 296.14 1973.93

15.39 388.3 2832.83

15.51 407.78 3023.86

17.91 945.66 9282.17

22.76 3154.21 46258.07

23.02 3324.96 49626.72

23.08 3365.22 50429.53

24.66 4545.83 75304.03

25.46 5236.75 90938.79

27.6 7421.15 144753.26

-7822.13 1239597.18

sAs = 6(40-2)(40+1)(40+3) = 0.36

В анализируемом ряду распределения наблюдается существенная левосторонняя асимметрия (-0.16/0.44 = 0.36<3)

Применяются также структурные показатели (коэффициенты) асимметрии, характеризующие асимметрию только в центральной части распределения, т.е. основной массы единиц, и независящие от крайних значений признака. Рассчитаем структурный коэффициент асимметрии Пирсона:

Asp = x — Moσ = 8.09—18.410.63 = 2.49

Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности).

Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения.

Чаще всего эксцесс оценивается с помощью показателя:

Ex = M4s 4 — 3

Для распределений более островершинных (вытянутых), чем нормальное, показатель эксцесса положительный (Ex > 0), для более плосковершинных (сплюснутых) — отрицательный (Ex < 0), т.к. для нормального распределения M4/s 4 = 3.

M3 = 1239597.18/40 = 30989.93

Ex = 30989.9310.634 — 3 = 2.4296 — 3 = -0.57

Число 3 вычитается из отношения μ 4/ σ4 потому, что для нормального закона распределения μ 4/ σ4 =

3. Таким образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю. Островершинные кривые обладают положительным эксцессом, кривые более плосковершинные — отрицательным эксцессом.

Ex < 0 — плосковершинное распределение

Чтобы оценить существенность эксцесса рассчитывают статистику Ex/sEx

где sEx — средняя квадратическая ошибка коэффициента эксцесса.

sEx = 24n(n-2)(n-3)(n+1)2(n+3)(n+5)

Если отношение Ex/sEx > 3, то отклонение от нормального распределения считается существенным.

sEx = 24 * 40(40-2)(40-3)(40+1)2(40+3)(40+5) = 0.64

Поскольку sEx < 3, то отклонение от нормального распределения считается не существенным.

Интервальное оценивание центра генеральной совокупности.

Доверительный интервал для генерального среднего.

(x — tkp sn ; x + tkp sn)

Определяем значение tkp

По таблице Стьюдента находим:

Tтабл (n-1;α/2) = (39;0.025) = 2.021

ε = tkp sn = 2.021 10.7640 = 3.44

(8.09 — 3.44;8.09 + 3.44) = (4.65;11.53)

С вероятностью 0.95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

Доверительный интервал для дисперсии.

Вероятность выхода за нижнюю границу равна P(χ2n-1 < hH) = (1-γ)/2 = (1-0.954)/2 = 0.023. Для количества степеней свободы k =

3. по таблице распределения χ2 находим:

χ2(39;0.023) = 59.34171.

Случайная ошибка дисперсии:

tH = (n-1)S2hH

tH = 39 • 10.76259.34171 = 76.13

Вероятность выхода за верхнюю границу равна P(χ2n-1 ≥ hB) = 1 — P(χ2n-1 < hH) = 1 — 0.023 = 0.977. Для количества степеней свободы k =

39. по таблице распределения χ2 находим:

χ2(39;0.977) = 59.34171.

Случайная ошибка дисперсии:

tB = (n-1)S2hH

tB = 39 • 10.76259.34171 = 76.13

(115.83 — 76.13; 115.83 + 76.13)

(39.7; 191.96)

Найдем верхнюю границу доверительного интервала для дисперсии с надежностью γ = 0.954.

0 ≤ σ2 ≤ (n-1)S2hγ

P(χ2n-1 > hγ) = 0.954. Для количества степеней свободы k =

39. по таблице распределения χ2 находим:

χ2(39;0.954) = 59.34171.

Случайная ошибка дисперсии:

tγ = (n-1)S2hγ

tγ = 39 • 10.76259.34171 = 76.13

0 ≤ σ2 ≤ 76.13

Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения.

Найдем доверительный интервал для среднеквадратического отклонения с надежностью γ = 0.954.

Нижняя ошибка среднеквадратического отклонения:

tH = S • n-1hH = 76.13 = 8.73

Верхняя ошибка среднеквадратического отклонения:

tB = S • n-1hB = 76.13 = 8.73

(10.76 — 8.73; 10.76 + 8.73)

(2.03; 19.49)

Найдем верхнюю границу доверительного интервала для среднеквадратического отклонения:

S • n-1hγ = 76.13 = 8.73

0 ≤ σ ≤ 8.73

Интервальное оценивание генеральной доли (вероятности события).

Доверительный интервал для генеральной доли.

(p* — ε ; p* + ε)

ε = tkp p*(1- p*)n

В этом случае 2Ф(tkp) = γ

Ф(tkp) = γ/2 = 0.954/2 = 0.477

По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.477

tkp(γ) = (0.477) = 2

Доля i-ой группы fi / ∑f Средняя ошибка выборки для генеральной доли, ε Нижняя граница доли, p* — ε Верхняя граница доли, p* + ε