Экономико-математические методы оптимизации транспортной логистики в цепях поставок: от Транспортной Задачи до Маршрутизации

Введение: Транспортировка как критический элемент SCM

В современной экономике, где конкурентное преимущество все чаще определяется скоростью и точностью доставки, транспортировка перестала быть просто перемещением груза. Она трансформировалась в ключевой фактор, влияющий на конечную стоимость продукции и уровень удовлетворенности потребителей. Доля автотранспортных издержек в стоимости продукции может достигать 10–20% от розничной цены и до 50% всех логистических затрат. Эта статистика недвусмысленно указывает на критическую важность оптимизации перевозочного процесса, поскольку каждая сэкономленная копейка на логистике прямо пропорционально увеличивает маржинальность бизнеса.

Настоящая работа посвящена поиску и применению теоретических основ и практических экономико-математических методов, направленных на минимизацию этих колоссальных затрат. Мы последовательно перейдем от фундаментальных основ оптимизации поставок (Транспортная Задача) к сложным алгоритмам построения оптимальных маршрутов (Задача Маршрутизации), а также представим детальную методику расчета эксплуатационных показателей, необходимую для практического анализа эффективности транспортной системы.

Место и роль транспортировки в структуре SCM

Транспортировка занимает центральное место в концепции Управления цепями поставок (Supply Chain Management, SCM). SCM — это не просто логистика, это комплексный подход к интеграции всех процессов, охватывающих движение продукции и информации от момента возникновения сырья до конечного потребителя.

Концепция SCM выделяет шесть ключевых областей внедрения, каждая из которых требует оптимизации для достижения общей эффективности:

• Производство (Manufacturing): Планирование мощностей и производственных графиков.
• Запасы (Inventory): Определение оптимальных уровней хранения и стратегий пополнения.
• Перевозки (Транспортировка): Выбор видов транспорта, маршрутизация и управление парком.
• Информационные потоки (Information Flow): Синхронизация данных между всеми участниками цепи.
• Поставки (Sourcing): Выбор поставщиков и управление закупочной деятельностью.
• Местоположение (Location): Определение оптимального расположения складов и производственных мощностей.

На операционном уровне управления цепями поставок (Supply Chain Execution, SCE) транспортировка является ключевым ежедневным процессом, определяющим скорость реакции на спрос. Процесс транспортирования представляет собой перемещение груза по определенному маршруту от места погрузки до места разгрузки. Оптимизация этого процесса напрямую влияет на сокращение цикла заказа и повышение конкурентоспособности всей цепи поставок, что в свою очередь, является прямым путем к увеличению лояльности клиентов.

Теоретические основы экономико-математического моделирования

Основой для принятия решений в логистике служит экономико-математическое моделирование (ЭММ). ЭММ позволяет формализовать сложный экономический процесс, представив его в виде системы уравнений и неравенств, что дает возможность найти оптимальное решение с помощью стандартных алгоритмов. Фундаментом для этого является Транспортная Задача (ТЗ).

Формализация классической Транспортной Задачи (ТЗ)

Транспортная Задача (ТЗ) является классической и наиболее изученной задачей линейного программирования. Ее цель — разработать оптимальный план перевозок груза от поставщиков (пунктов отправления) к потребителям (пунктам назначения) таким образом, чтобы общая стоимость этих перевозок была минимальной.

Пусть у нас имеется $m$ поставщиков с запасами $a_i$ ($i = 1, \dots, m$) и $n$ потребителей с потребностями $b_j$ ($j = 1, \dots, n$). Известна также стоимость перевозки единицы груза $c_{ij}$ из $i$-го пункта в $j$-й. Переменной $x_{ij}$ обозначается объем груза, который необходимо перевезти.

Целевая функция (F) стремится к минимуму и формулируется как общая сумма транспортных расходов:

min F = ∑i=1m ∑j=1n (cij ⋅ xij)

Нахождение оптимального плана перевозок ($x_{ij}$) должно удовлетворять трем основным системам ограничений:

1. Ограничения по запасам (предложению): Общий объем перевозок, отправляемых от каждого поставщика ($i$), не должен превышать его имеющегося запаса ($a_i$).

   ∑j=1n xij ≤ ai для $i = 1, 2, \dots, m

2. Ограничения по потребностям (спросу): Общий объем перевозок, поступающих к каждому потребителю ($j$), должен полностью удовлетворять его потребности ($b_j$).

   ∑i=1m xij ≥ bj для $j = 1, 2, \dots, n

3. Ограничения на неотрицательность: Плановые объемы перевозок не могут быть отрицательными.

   xij ≥ 0

ТЗ может быть закрытой (сбалансированной), если общий объем запасов равен общему объему потребностей (∑ $a_i = $ ∑ $b_j$). Если это равенство нарушено, задача называется открытой, и для ее решения требуется введение фиктивного поставщика или потребителя с нулевыми тарифами для балансировки системы. Но какой важный нюанс здесь упускается? Если задача открытая, то фактически мы признаем, что на рынке либо есть избыток предложения, либо неудовлетворенный спрос, что требует немедленного управленческого решения, выходящего за рамки чистой математики.

Пошаговый алгоритм решения Транспортной Задачи

Решение ТЗ обычно состоит из двух этапов: построение начального опорного плана и его последующая оптимизация. Наиболее эффективным методом для построения начального плана, максимально приближенного к оптимальному, является Метод аппроксимации Фогеля.

Метод аппроксимации Фогеля (VAM) для построения опорного плана

Метод Фогеля (Vogel’s Approximation Method, VAM) отличается от более простых методов («Северо-Западного угла» или «Минимального элемента») тем, что учитывает потенциальные потери при выборе того или иного маршрута.

Сущность метода: Метод основан на расчете так называемого «штрафа» (или оценки неэффективности) для каждой строки и столбца. Штраф определяется как разность между двумя минимальными тарифами ($c_{ij}$) в данной строке или столбце. Этот штраф показывает, насколько увеличатся затраты, если мы проигнорируем самый дешевый маршрут в пользу второго по дешевизне.

Алгоритм VAM:

1. Расчет штрафов: Для каждой строки и каждого столбца транспортной таблицы определяется «штраф» — разность между минимальным тарифом и следующим за ним минимальным тарифом.
2. Выбор направления: Выбирается строка или столбец с максимальным штрафом. Это гарантирует, что мы устраняем направление, где потенциальное увеличение затрат будет самым большим.
3. Распределение груза: В выбранной строке/столбце (с максимальным штрафом) находят клетку с минимальным тарифом ($c_{ij}$). В эту клетку записывают максимально возможный объем груза $x_{ij}$, исходя из ограничений по запасу $a_i$ и потребности $b_j$ (выбирается $\text{min}(a_i, b_j)$).
4. Исключение: После заполнения, если запас $a_i$ или потребность $b_j$ исчерпаны, соответствующая строка или столбец исключается из дальнейшего рассмотрения.
5. Повторение: Процесс повторяется до тех пор, пока все запасы не будут распределены, а все потребности не будут удовлетворены.

Пример заполнения (Гипотетический): Пусть в строке I минимальные тарифы равны 3 и 5. Штраф равен $5-3=2$. В строке II тарифы 2 и 7. Штраф $7-2=5$. Мы выбираем строку II (штраф 5), поскольку отказ от тарифа 2 приведет к большим потерям. В строке II выбираем клетку с тарифом 2 и заполняем ее максимальным объемом груза.

Проверка и оптимизация плана методом потенциалов

После получения начального опорного плана с помощью VAM необходимо убедиться, что он является оптимальным, то есть не существует другого плана с меньшими общими затратами. Для этой проверки используется Метод потенциалов (или метод распределительного камня).

Метод потенциалов основан на построении системы искусственных чисел — потенциалов $u_i$ (для поставщиков) и $v_j$ (для потребителей).

1. Расчет потенциалов: Для всех базисных (заполненных) клеток ($x_{ij} > 0$) должно выполняться равенство: $c_{ij} = u_i + v_j$. Присвоив одному из потенциалов (например, $u_1$) значение 0, мы последовательно находим все остальные потенциалы.
2. Расчет оценок (незаполненные клетки): Для всех свободных (незаполненных) клеток ($x_{ij} = 0$) рассчитывается оценка $\delta_{ij}$, которая показывает, насколько изменится целевая функция при включении этого маршрута в план.

   δij = cij - (ui + vj)

3. Проверка оптимальности:
   • Если все оценки $\delta_{ij} \ge 0$, план является оптимальным, и общие затраты минимальны.
   • Если существуют отрицательные оценки ($\delta_{ij} < 0$), это указывает на наличие более выгодного маршрута. Выбирается клетка с наибольшей отрицательной оценкой, и через нее строится замкнутый цикл пересчета, что позволяет улучшить план и уменьшить общие затраты.

Передовые методы оптимизации: Задача Маршрутизации Транспорта (VRP) и ее алгоритмы (Закрытие «Слепой Зоны»)

Транспортная Задача (ТЗ) решает вопрос откуда и куда везти и сколько везти. Но она не отвечает на вопрос как это делать, то есть не строит конкретные маршруты. Для решения этой более сложной проблемы применяется Задача Маршрутизации Транспорта (Vehicle Routing Problem, VRP).

VRP, впервые сформулированная в 1959 году, является обобщенным случаем классической Задачи Коммивояжера (TSP). Если TSP ищет кратчайший замкнутый маршрут для одного агента, то VRP ищет набор минимальных по стоимости маршрутов для целого парка транспортных средств, базирующихся в центральном депо, с учетом вместимости, временных окон и других ограничений. VRP относится к классу NP-трудных задач, что означает, что для больших транспортных сетей (сотни клиентов) точное решение требует экспоненциально возрастающих вычислительных ресурсов. В связи с этим, на практике, используются как точные (для небольших задач), так и эвристические (для промышленных масштабов) методы.

Точные методы для VRP (Метод Ветвей и Границ)

Точные методы гарантируют нахождение глобального оптимума, но ограничены по размерности решаемых задач.

Метод Ветвей и Границ (Branch and Bound)

Этот метод является развитием полного перебора и широко используется в дискретной оптимизации. Он работает по принципу разделяй и властвуй:

1. Ветвление (Branch): Общая задача маршрутизации последовательно разбивается на подзадачи (ветви). Например, если есть 10 клиентов, мы можем создать ветви, принудительно включая или исключая определенные ребра (маршруты) между точками.
2. Ограничение (Bound): Для каждой подзадачи рассчитывается нижняя граница стоимости решения (оценка). Нижняя граница позволяет заранее отсечь те ветви, которые заведомо ведут к более дорогостоящему решению, чем уже найденное промежуточное (верхняя) граница.
3. Оптимум: Процесс продолжается до тех пор, пока не будет найдено решение, стоимость которого совпадет с нижней границей, или пока все неэффективные ветви не будут отсечены.

Эвристические методы и оптимизация маятниковых маршрутов

Поскольку VRP часто решается в реальном времени для тысяч заказов, эвристические методы, дающие хорошее, хотя и не гарантированно оптимальное, решение за приемлемое время, являются предпочтительными. Одним из классических объектов оптимизации является маятниковый маршрут — движение автомобиля между двумя грузопунктами (погрузки и разгрузки), которое многократно повторяется. Оптимизация таких маршрутов часто сводится к их объединению в кольцевые схемы для минимизации холостого пробега. Но не следует ли нам сосредоточиться на том, как эти методы напрямую влияют на коэффициент использования пробега?

1. Метод Свира (Sweep Algorithm)

Метод Свира (или «метод дворника-стеклоочистителя») является эвристикой, основанной на географическом принципе. Он эффективен, когда клиенты распределены неравномерно.

Принцип работы:

1. Все точки доставки (клиенты) и центральное депо помещаются на координатную плоскость.
2. Точки клиентов преобразуются в полярные координаты (угол и расстояние от депо).
3. Начиная с произвольной точки, совершается «вращение» полярной оси (имитация движения стеклоочистителя) вокруг депо.
4. Клиенты последовательно включаются в один маршрут в порядке их углового расположения до тех пор, пока не будет достигнуто ограничение вместимости транспортного средства.
5. Когда вместимость исчерпана, формируется новый маршрут, и процесс продолжается.

2. Алгоритм Кларка-Райта (Clarke-Wright Savings Algorithm)

Это один из самых популярных и эффективных алгоритмов, который строит маршруты путем последовательного объединения исходных маятниковых маршрутов (от депо до клиента и обратно).

Алгоритм основан на расчете экономии пробега ($S_{ij}$), которая достигается при объединении двух отдельных маятниковых маршрутов ($0-i-0$ и $0-j-0$) в один кольцевой маршрут ($0-i-j-0$).

Формула расчета экономии:

Sij = L0i + L0j - Lij

Где:

• $L_{0i}$ и $L_{0j}$ — расстояния от депо (0) до пунктов $i$ и $j$ соответственно.
• $L_{ij}$ — расстояние между пунктами $i$ и $j$.

Пошаговая логика:

1. Рассчитывается экономия $S_{ij}$ для всех возможных пар клиентов.
2. Пары сортируются по убыванию экономии.
3. Последовательно объединяются маршруты, начиная с пары с максимальной экономией, при условии, что новое объединение не нарушает ограничения по вместимости и временным окнам.

Методика расчета эксплуатационных показателей и факторов затрат (Обязательная Практика)

Для выполнения практической части работы и для оценки фактической эффективности транспортной системы необходимо рассчитать ключевые технико-эксплуатационные показатели.

Расчет пробегов и коэффициента эффективности

Пробег является основой для расчета расхода топлива, амортизации и, следовательно, себестоимости перевозки. Важно различать три ключевых вида пробега:

1. Нулевой пробег ($L_{\text{0}}$): Пробег от места стоянки до места первой погрузки и от места последней разгрузки до места стоянки (базы).
2. Груженый пробег ($L_{\text{гр}}$): Пробег автомобиля, когда он фактически везет груз. Это производительный пробег.
3. Холостой пробег ($L_{\text{х}}$): Пробег автомобиля без груза между грузопунктами (исключая нулевой). Это непроизводительный пробег.

Общий пробег ($L_{\text{общ}}$) за смену или период:

Lобщ = L0 + Lгр + Lх

Ключевым показателем эффективности использования подвижного состава является Коэффициент использования пробега ($\beta$). Он показывает долю производительного пробега в общем объеме движения.

β = Lгр / Lобщ

Чем ближе значение $\beta$ к единице, тем эффективнее используются транспортные средства (идеальный случай: нет холостого и нулевого пробега). Из этого следует, что задача оптимизации маршрутов всегда должна быть нацелена на максимальное сокращение $L_{\text{х}}$ и $L_{\text{0}}$ для достижения максимальной экономической отдачи.

Расчет транспортной работы и времени ездки

Транспортная работа (P) — основной показатель результата работы подвижного состава, измеряется в тонно-километрах ($\text{т} \cdot \text{км}$).

Транспортная работа определяется как произведение объема перевезенного груза на расстояние его перевозки:

P = ∑ (Qi ⋅ Li)

где $Q_i$ — объем груза, перевезенный на расстояние $L_i$.

Альтернативная формула, используемая для упрощенного расчета на маршруте:

P = Lгр ⋅ q ⋅ γ

Где $q$ — номинальная грузоподъемность автомобиля; $\gamma$ — коэффициент использования грузоподъемности.

Коэффициент статистического использования грузоподъемности ($\gamma_{\text{ст}}$) характеризует степень загрузки автомобиля по отношению к его номинальной вместимости:

γст = qф / q

где $q_{\phi}$ — фактический объем груза, перевозимый за ездку.

Время одной ездки ($t_{е}$) является критическим фактором для расчета пропускной способности маршрута и числа возможных рейсов. Оно складывается из времени движения и времени простоя:

tе = (Lгр + Lх) / Vэ + tп/р

Где:

• $V_э$ — эксплуатационная скорость автомобиля на маршруте (с учетом задержек и пробок).
• $t_{\text{п/р}}$ — время простоя под погрузочно-разгрузочными операциями (зависит от вида груза и механизации).

Зная время ездки, можно рассчитать число ездок за смену ($n_{с}$):

nс = Tм / tе

Где $T_{м}$ — время работы автомобиля на маршруте.

Критические факторы, влияющие на транспортные затраты

Оптимизация маршрутов и повышение эксплуатационных показателей — это математическая часть задачи. Однако на общую стоимость транспортировки влияют и немоделируемые напрямую экономические и технические факторы:

Фактор	Влияние на затраты	Примеры влияния
Расстояние и маршрут	Прямое влияние на топливо, амортизацию, зарплату.	Увеличение расстояния на 10% увеличивает топливные расходы почти пропорционально. Сложные дороги повышают амортизацию и риск ДТП.
Вид транспорта	Определяет капитальные и операционные расходы.	Авиаперевозки — самые дорогие из-за высоких тарифов. Железнодорожный транспорт — самый дешевый для массовых и дальних перевозок.
Характеристики груза	Влияет на коэффициент использования грузоподъемности и необходимость спецтехники.	Низкая плотность груза (например, пенопласт) вынуждает перевозить «воздух», снижая $\gamma_{\text{ст}}$. Опасные грузы требуют специальных разрешений и более дорогих ТС.
Временные ограничения	Прямое влияние на выбор маршрута и вида транспорта.	Требование доставки «точно в срок» (Just-in-Time) может заставить выбрать более дорогой, но быстрый вид транспорта (авиа или экспресс-авто).
Рыночные факторы	Непрямое, но существенное влияние.	Сезонные колебания спроса на перевозки, государственные нормативы (например, ограничения на движение большегрузов в городах), уровень конкуренции на рынке логистических посредников.

Заключение: Перспективы и современные IT-решения

Минимизация транспортных затрат является непрерывным процессом, требующим сочетания фундаментальных экономико-математических методов и современных информационных технологий. Наше исследование показало, что, начав с решения классической Транспортной Задачи (методом Фогеля и Потенциалов) для определения оптимального распределения грузопотоков, необходимо переходить к более сложной Задаче Маршрутизации (VRP). Алгоритмы, такие как Кларка-Райта и Метод Свира, позволяют объединить маятниковые маршруты в эффективные кольцевые схемы, существенно сокращая холостой пробег и, как следствие, снижая общие эксплуатационные затраты. Практическое применение этих методов невозможно без точного расчета технико-эксплуатационных показателей — пробегов, коэффициентов использования и транспортной работы, которые служат метриками эффективности в курсовой работе. В конечном счете, зачем изучать сложные алгоритмы, если их результаты нельзя измерить и использовать для принятия управленческих решений?

Обзор современных TMS-систем

Сегодня практическая реализация сложных алгоритмов VRP, особенно с учетом динамических ограничений (пробки, временные окна, меняющиеся заказы), осуществляется с помощью специализированных информационных систем. TMS-системы (Transport Management Systems) — это программные комплексы, предназначенные для планирования, выполнения и оптимизации физического перемещения товаров. Современные TMS-системы обладают встроенными модулями, которые используют сложные эвристические и точные алгоритмы для автоматического построения оптимальных маршрутов (аналоги Метода Ветвей и Границ и Метода Свира).

Ключевые функции современных TMS:

• Динамическая маршрутизация: Автоматическое перестроение маршрутов в реальном времени с учетом GPS-данных о трафике.
• Мультимодальное планирование: Оптимизация перевозок с использованием нескольких видов транспорта.
• Мониторинг KРI: Отслеживание эксплуатационных показателей (общего пробега, коэффициента $\beta$, времени простоя) и автоматическое формирование отчетов, необходимых для оценки эффективности, что полностью соответствует целям настоящей работы.

Таким образом, экономико-математическое моделирование закладывает теоретическую базу для минимизации затрат, а современные TMS-системы служат инструментом для воплощения этих моделей в ежедневной логистической практике.

Список использованной литературы

1. Гаджинский, А. М. Логистика : учебник для высших и средних специальных учебных заведений. – 5-е изд., перераб. и доп. – Москва : Издательско-книготорговый центр «Маркетинг», 2002. – 408 с.
2. Краткий автомобильный справочник / Понизовкин А. Н. [и др.]. – Москва : ОА «Трансконсалтинг», НИИАТ, 1994. – 779 с.
3. Маликов, О. Б. Деловая логистика. – Санкт-Петербург : Политехника, 2003. – 223 с.
4. Модели и методы теории логистики : учебное пособие / под ред. В. С. Лукинского. – Санкт-Петербург : Питер, 2003. – 176 с.
5. Транспортная логистика : учебник для транспортных вузов / под общ. ред. Л. Б. Миротина. – Москва : Экзамен, 2002. – 512 с.
6. Транспортировка в логистике : учебное пособие / В. С. Лукинский, В. В. Лукинский, И. А. Пластуняк, Н. Г. Плетнева. – Санкт-Петербург : СПбГИЭУ, 2005. – 139 с.
7. ОСНОВНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ РАБОТЫ ТРАНСПОРТНОЙ ЛОГИСТИКИ. – URL: lobanov-logist.ru (дата обращения: 23.10.2025).
8. Транспортная задача: метод аппроксимации Фогеля. – URL: galyautdinov.ru (дата обращения: 23.10.2025).
9. Что означает SCM — преимущества систем управления поставками. – URL: norbit-srm.ru (дата обращения: 23.10.2025).
10. 5 факторов, влияющих на транспортные расходы и ценообразование. – URL: keeprise.ru (дата обращения: 23.10.2025).
11. Факторы влияния на стоимость перевозок. – URL: railcontinent.ru (дата обращения: 23.10.2025).
12. Факторы, влияющие на стоимость грузоперевозок. – URL: railtrans.pro (дата обращения: 23.10.2025).
13. 10 ключевых факторов, влияющих на стоимость доставки. – URL: fulfillment-box.com (дата обращения: 23.10.2025).
14. Задача маршрутизации транспорта. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА: АЛГОРИТМЫ. – URL: lobanov-logist.ru (дата обращения: 23.10.2025).
15. SMART ROUTES: СИСТЕМА ДЛЯ РАЗРАБОТКИ И СРАВНЕНИЯ АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ. – URL: mtas.ru (дата обращения: 23.10.2025).
16. Оптимизация маятниковых маршрутов с обратным холостым пробегом: к практическим занятиям по дисциплине «Логистика». – URL: bsu.by (дата обращения: 23.10.2025).
17. Оптимизация автотранспортных маршрутов: эвристические алгоритмы и практика логистического менеджмента. – URL: cyberleninka.ru (дата обращения: 23.10.2025).
18. Разработка маршрутов доставки грузов автомобильным транспортом, Разработка маршрутов методом Свира. – URL: studfile.net (дата обращения: 23.10.2025).
19. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ МАРШРУТНЫХ СХЕМ РАЗВОЗКИ ГРУЗОВ АВТОМОБИЛЬНЫМ ТР. – URL: pguas.ru (дата обращения: 23.10.2025).
20. Управление цепями поставок (SCM): что это, виды, преимущества и инструменты. – URL: korusconsulting.ru (дата обращения: 23.10.2025).
21. Что такое цепи поставок: концепция, виды, преимущества. – URL: lamacon.ru (дата обращения: 23.10.2025).
22. Пробег автобуса: холостой, нулевой, суточный – нормы и расчет. – URL: yarkamp.ru (дата обращения: 23.10.2025).
23. Задача по определению общего пробега автомобиля и коэффициента использования пробега (0258-010) + калькулятор. – URL: logistics-gr.com (дата обращения: 23.10.2025).
24. Задача коммивояжера — метод ветвей и границ. – URL: galyautdinov.ru (дата обращения: 23.10.2025).