Как решить транспортную задачу – пошаговое руководство для курсовой работы от теории до практики

В мире современной логистики, где каждая минута и каждый рубль на счету, оптимизация расходов на перевозку становится не просто конкурентным преимуществом, а условием выживания бизнеса. Компании постоянно ищут способы доставить товары из точек производства в точки продаж с минимальными издержками. Именно эту фундаментальную проблему решает транспортная задача — классическая, но не теряющая актуальности область линейного программирования. Для студента, выполняющего курсовую работу, освоение этой темы означает получение мощного аналитического инструмента, применимого в реальной экономике. Цель данной работы — не просто описать теорию, а научиться на практике находить оптимальный план перевозок, который минимизирует совокупные затраты.

Что представляет собой транспортная задача как объект исследования

С формальной точки зрения, транспортная задача — это задача поиска наиболее дешевого плана перевозки некоторого однородного продукта от группы поставщиков к группе потребителей. Несмотря на кажущуюся простоту, она обладает строгой и элегантной математической структурой. Давайте разберем ее ключевые компоненты:

• Поставщики (пункты отправления): Источники, где находится продукт. Каждый поставщик располагает определенным запасом продукции.
• Потребители (пункты назначения): Пункты, куда необходимо доставить продукт. Каждый потребитель имеет определенную потребность в продукте.
• Тарифы (стоимость перевозок): Затраты на перевозку единицы продукта от каждого конкретного поставщика к каждому конкретному потребителю. Эти данные обычно представляются в виде матрицы стоимостей.

Цель решения сводится к минимизации суммарных затрат на перевозку всего груза. Математически это выражается через целевую функцию, которая представляет собой сумму произведений объемов перевозок на соответствующие им тарифы. При этом должны соблюдаться два типа ограничений:

1. Весь запас каждого поставщика должен быть вывезен.
2. Вся потребность каждого потребителя должна быть удовлетворена.

Важным аспектом является тип модели. Задача называется сбалансированной (закрытой), если суммарный запас всех поставщиков в точности равен суммарной потребности всех потребителей. Если это равенство не соблюдается, модель считается несбалансированной (открытой). В этом случае для решения ее приводят к сбалансированному виду путем введения фиктивного поставщика (если спрос превышает предложение) или фиктивного потребителя (если предложение превышает спрос) с нулевыми тарифами на перевозку.

Как найти первоначальное решение, или методы построения опорного плана

Любое решение транспортной задачи начинается с построения так называемого опорного плана. Это первоначальный, допустимый вариант распределения перевозок, который полностью удовлетворяет спрос потребителей за счет запасов поставщиков. Он не обязательно является оптимальным, но служит отправной точкой для дальнейших вычислений. В невырожденном опорном плане количество заполненных (занятых) клеток в таблице перевозок должно строго соответствовать правилу: m + n — 1, где m — число поставщиков, а n — число потребителей.

Существует несколько методов построения такого плана, но в академической практике чаще всего используются два основных:

• Метод северо-западного угла
• Метод минимального элемента (наименьшей стоимости)

Они принципиально различаются по своей логике. Метод северо-западного угла — это сугубо механический алгоритм, который предельно прост в исполнении, но полностью игнорирует стоимость перевозок, из-за чего его результат часто бывает далек от оптимального. Метод минимальной стоимости, напротив, на каждом шаге учитывает тарифы, что делает его чуть более трудоемким, но позволяет почти всегда получить гораздо более качественный первоначальный план и, как следствие, сократить количество последующих шагов по его оптимизации.

Метод северо-западного угла как самый простой, но не всегда эффективный старт

Этот метод получил свое название из-за предельно простого алгоритма: заполнение таблицы перевозок всегда начинается с верхней левой («северо-западной») клетки. Разберем его на конкретном примере. Пусть у нас есть 3 поставщика (A1, A2, A3) и 4 потребителя (B1, B2, B3, B4), а также матрица тарифов.

Алгоритм действий следующий:

1. Начинаем с клетки (A1, B1). В нее записываем максимально возможный объем перевозки, который ограничен либо запасом поставщика A1, либо потребностью потребителя B1.
2. Если полностью исчерпан запас поставщика, вычеркиваем его строку и переходим к клетке ниже, в том же столбце.
3. Если полностью удовлетворена потребность потребителя, вычеркиваем его столбец и переходим к клетке правее, в той же строке.
4. Повторяем этот процесс, двигаясь по таблице вправо и вниз, пока все запасы и потребности не будут распределены.

Главный и критический недостаток этого подхода в том, что он совершенно не обращает внимания на тарифы. Даже если стоимость перевозки в северо-западной клетке будет максимальной во всей таблице, метод все равно начнет с нее. В результате итоговая стоимость перевозок по такому плану, как правило, оказывается завышенной. Этот метод ценен не за результат, а за демонстрацию базовой механики построения опорного плана.

Метод минимальной стоимости как способ получить более качественный первый результат

Теперь применим к той же самой задаче более «умный» подход. Метод минимального элемента (или наименьшей стоимости) стремится на каждом шаге минимизировать затраты, что логически приближает нас к оптимальному решению.

Алгоритм здесь иной:

1. Просматриваем всю матрицу тарифов и находим клетку с самой низкой стоимостью перевозки.
2. В эту клетку записываем максимально возможный объем перевозки, ограниченный запасом соответствующего поставщика и потребностью потребителя.
3. Из рассмотрения исключается строка поставщика, чей запас исчерпан, либо столбец потребителя, чья потребность удовлетворена.
4. Процесс повторяется: из всех оставшихся доступных клеток снова ищется клетка с минимальным тарифом, и так до полного распределения грузов.

После завершения этого алгоритма мы также получим опорный план, удовлетворяющий правилу m + n — 1. Если теперь подсчитать его общую стоимость и сравнить с результатом, полученным методом северо-западного угла, она почти наверняка окажется значительно ниже. Это наглядно демонстрирует преимущество метода: учет экономических показателей (тарифов) на самых ранних этапах позволяет сразу построить более эффективный план, требующий меньшей доработки.

Метод потенциалов как главный инструмент для проверки и оптимизации плана

Итак, у нас есть опорный план, скорее всего, построенный методом минимальной стоимости. Но является ли он оптимальным, то есть самым дешевым из всех возможных? Ответить на этот вопрос позволяет метод потенциалов — ключевой аппарат оптимизации в транспортной задаче.

Суть метода заключается в том, что с каждой строкой (поставщиком) сопоставляется потенциал u_i, а с каждым столбцом (потребителем) — потенциал v_j. Эти числа находятся из простого соотношения, которое должно выполняться для всех занятых (базисных) клеток плана:

u_i + v_j = c_ij (где c_ij — тариф в занятой клетке)

Чтобы решить эту систему уравнений, один из потенциалов (как правило, u₁) произвольно принимают равным нулю, после чего последовательно вычисляют все остальные. Когда все потенциалы найдены, наступает этап проверки плана на оптимальность. Для этого используется критерий оптимальности:

Для всех свободных (небазисных) клеток плана должно выполняться условие: u_i + v_j ≤ c_ij.

Если это условие выполняется для каждой свободной клетки, то наш план является оптимальным, и задача решена. Если же находится хотя бы одна свободная клетка, где u_i + v_j > c_ij, это признак неоптимальности плана. Такая клетка указывает на возможность сократить общие затраты. Для этого строится специальный цикл пересчета, который позволяет перераспределить поставки и получить новый, улучшенный план, после чего проверка методом потенциалов повторяется.

Сквозной пример решения задачи от начала до конца

Чтобы закрепить весь материал, проведем решение одной задачи от А до Я. Возьмем новую, более сложную матрицу (например, 4 поставщика и 4 потребителя).

Шаг 1: Построение опорного плана.
Используем метод минимальной стоимости. Последовательно находим ячейки с наименьшими тарифами и «загружаем» их по максимуму, пока не распределим все объемы. Проверяем план на невырожденность: число занятых клеток должно быть равно 4 + 4 — 1 = 7.

Шаг 2: Проверка плана на оптимальность.
Вводим потенциалы. Приняв u₁ = 0, рассчитываем остальные u_i и v_j по формуле u_i + v_j = c_ij для всех семи занятых клеток. Затем вычисляем суммы u_i + v_j для всех свободных клеток и сравниваем их с соответствующими тарифами c_ij. Предположим, мы нашли клетку, где условие оптимальности нарушено.

Шаг 3: Построение цикла пересчета.
Для клетки-нарушителя строим замкнутый цикл. Он начинается в этой клетке, проходит по ломаной линии исключительно через занятые клетки и возвращается в начало. Вершинам цикла поочередно присваиваются знаки «+» и «–».

Шаг 4: Улучшение плана.
Находим минимальный объем перевозки среди клеток цикла со знаком «–». Это значение вычитается из всех клеток со знаком «–» и прибавляется ко всем клеткам со знаком «+». В результате одна из клеток «обнуляется», а клетка-нарушитель становится занятой. Мы получаем новый опорный план. Подсчитываем его стоимость и убеждаемся, что она уменьшилась.

Шаг 5: Повторная проверка.
Для нового плана снова рассчитываем потенциалы и проверяем все свободные клетки. Если теперь условие u_i + v_j ≤ c_ij выполняется для всех, значит, план оптимален. Если нет — повторяем шаги 3-5. Стоит отметить, что для упрощения подобных расчетов в реальной практике часто используют инструменты вроде MS Excel.

В заключение можно с уверенностью сказать, что освоение транспортной задачи — это не просто формальное выполнение учебного задания. Это приобретение навыка системного мышления и оптимизации. Основной алгоритм решения, включающий построение опорного плана (методом минимальной стоимости), его проверку на оптимальность (методом потенциалов) и последовательное улучшение до достижения оптимума, является универсальным. Экономический эффект от применения этих методов в реальной логистике огромен, так как они позволяют напрямую сократить транспортные расходы. Понимание этого процесса открывает двери к изучению и более сложных вариаций, таких как задачи с ограничениями пропускной способности, многопродуктовые модели или транспортные задачи, решаемые по критерию времени, что демонстрирует глубокое владение темой.

Список использованной литературы

1. Горячев Л.В., Задачи линейного программирования транспортного типа [Текст] / Л.В. Горячев. – Владивосток, 2003 г. – 362 с.
2. Самаров К.Л., Транспортная задача [Текст] / К.Л. Самаров. – Москва: Издательство «СВАО», 2009 г. – 212с.
3. Красс М.С., Чупрынов Б.П., Основы математики и ее приложения в экономическом образовании [Текст] / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – Москва: Издательство «Дело», 2007 г. – 345с.
4. Кузнецов А.В., Высшая математика. Математическое программирование [Текст] /А.В. Кузнецов. – М: Высшая школа, 2007 г. – 287с.