Методические особенности обучения младших школьников умножению и делению многозначных чисел: теоретические основы, психологические аспекты и коррекционные стратегии

В эпоху стремительного научно-технического прогресса и информатизации общества, когда каждый день генерируются триллионы байтов данных, умение эффективно оперировать числами становится не просто академическим навыком, а жизненно важным инструментом. Еще в начальной школе закладывается тот самый фундамент, без которого невозможно дальнейшее погружение в мир точных наук и успешное решение повседневных задач. В этом контексте обучение младших школьников умножению и делению многозначных чисел приобретает особую актуальность.

Эти арифметические действия не только открывают двери к более сложным математическим концепциям, но и формируют логическое мышление, развивают усидчивость и внимательность, критически важные для любого человека XXI века. Однако на пути освоения этих, казалось бы, базовых операций, дети сталкиваются с серьезными трудностями. Абстрактность математических понятий, необходимость работы с многозначными числами, требующая комплексного применения нескольких алгоритмов, а также индивидуальные психологические особенности каждого ребенка – все это создает педагогические вызовы.

От того, насколько качественно и методически грамотно будут построены уроки математики в начальной школе, зависит не только успеваемость учеников по предмету, но и их общая готовность к обучению, способность к самоорганизации и критическому мышлению. Следовательно, выбор и применение эффективных педагогических подходов определяет их будущие успехи в обучении.

Целью настоящей курсовой работы является проведение комплексного анализа теоретических, методических и психолого-педагогических аспектов обучения младших школьников умножению и делению многозначных чисел. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи: рассмотреть теоретические и нормативные основы данного процесса, изучить методические подходы и приемы, выявить влияние возрастных психологических особенностей, классифицировать типичные ошибки и предложить стратегии их коррекции, а также проанализировать роль современных учебно-методических комплексов (УМК) и образовательных программ, и, наконец, рассмотреть вопросы дифференцированного и коррекционного подхода к детям с особыми образовательными потребностями.

Структура работы выстроена таким образом, чтобы последовательно раскрыть каждую из поставленных задач, начиная с общих теоретических положений и заканчивая конкретными методическими рекомендациями и практическими примерами, обеспечивая всестороннее и глубокое погружение в исследуемую проблематику.

Теоретические и нормативные основы обучения умножению и делению в начальной школе

Мир математики, как и любой другой мир, начинается с языка, с четкого определения понятий. Прежде чем говорить о методиках, необходимо установить единое понимание ключевых терминов, которые будут сопровождать нас на протяжении всего исследования. Умножение — это арифметическое действие, представляющее собой сокращенную запись суммы одинаковых слагаемых. Например, 3 × 4 означает сумму четырех троек (3 + 3 + 3 + 3) или сумму трех четверок (4 + 4 + 4). Его компоненты имеют свои названия: число, которое умножают, называется множимым, число, на которое умножают — множителем, а результат действия — произведением. Вместе множимое и множитель часто называют сомножителями.

Деление, в свою очередь, является обратным умножению действием. Оно может быть двух видов: деление на равные части (например, 12 конфет разделить поровну между 3 детьми) и деление по содержанию (сколько раз по 3 конфеты можно взять из 12 конфет). Компоненты деления: делимое (число, которое делят), делитель (число, на которое делят) и частное (результат деления).

Многозначные числа — это числа, запись которых состоит из двух и более цифр, что подразумевает наличие нескольких разрядов (десятки, сотни, тысячи и так далее). И наконец, методические особенности — это совокупность специфических подходов, приемов, форм и средств обучения, наиболее эффективных для усвоения конкретного учебного материала в определенной возрастной группе.

Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования (ФГОС НОО)

Современная отечественная система образования, и в частности начальная школа, функционирует в рамках Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования (ФГОС НОО). Этот документ, принятый Министерством просвещения РФ, является основополагающим ориентиром, который определяет структуру, содержание и результаты освоения основной образовательной программы. Ключевая особенность ФГОС НОО — это его ориентация на развитие учащихся и формирование универсальных учебных действий (УУД), а не только на передачу готовых знаний, умений и навыков. Это означает, что цель обучения не сводится к тому, чтобы ребенок знал таблицу умножения, а к тому, чтобы он умел находить ответ, понимать логику действия, применять знание в новых ситуациях и контролировать свой процесс обучения.

Методологической основой ФГОС НОО является системно-деятельностный подход. Этот подход кардинально меняет парадигму обучения, смещая акцент с пассивного восприятия информации на активное "открытие" знаний самими учащимися в процессе исследовательской деятельности. Роль учителя при этом трансформируется из простого транслятора знаний в организатора и модератора этой деятельности. Учащиеся не просто заучивают правила, а через практические действия, эксперименты, решение проблемных ситуаций приходят к пониманию математических закономерностей.

Принципы системно-деятельностного подхода, как фундаментальные столпы современной педагогики, включают:

• Принцип деятельности: Учащиеся не просто пассивно воспринимают информацию, но активно участвуют в процессе познания, ища ответы, применяя теорию на практике, что способствует более глубокому и осмысленному усвоению материала.
• Принцип системности: Знания должны быть представлены не как набор разрозненных фактов, а как взаимосвязанная система, дающая целостное представление о мире и его закономерностях. В математике это проявляется в понимании взаимосвязи между арифметическими действиями, их свойствами.
• Принцип минимакса: Образовательная программа должна предлагать освоение материала на максимально возможном уровне, одновременно гарантируя усвоение необходимого минимума, что позволяет учитывать индивидуальные способности и темп обучения каждого ребенка.

Таким образом, системно-деятельностный подход направлен не только на развитие интеллектуальных способностей, но и на формирование целостной личности ребенка, его универсальных способов действий и способности к самоорганизации, что особенно важно при освоении сложных многоэтапных алгоритмов умножения и деления многозначных чисел.

Цели изучения математики по ФГОС НОО

Изучение математики в начальной школе имеет многогранные цели, выходящие за рамки простого счета:

• Математическое развитие младшего школьника: Это не только освоение арифметических операций, но и развитие логического мышления, пространственного воображения, способности к анализу и синтезу.
• Освоение начальных математических знаний: Включает в себя понимание чисел, величин, геометрических фигур и базовых арифметических действий.
• Формирование умения решать учебные и практические задачи средствами математики: Это предполагает не только поиск готового решения, но и умение интерпретировать задачу, выбирать подходящие арифметические способы, работать с алгоритмами.
• Воспитание критичности мышления и интереса к умственному труду: Математика учит сомневаться, проверять, аргументировать, что является основой критического мышления. Успех в решении задач, "открытие" закономерностей стимулирует интерес к познанию.

Особое внимание ФГОС уделяет работе с алгоритмами. Это критически важно для умножения и деления, особенно многозначных чисел, где каждый шаг строго регламентирован. Усвоение алгоритмов выполнения арифметических действий, решения задач и проведения простейших построений является одним из ключевых аспектов формирования математических навыков.

Теоретические основы действий умножения и деления

Изучение умножения и деления в начальной школе строится на четких теоретических основах:

1. Введение понятия умножения как суммы одинаковых слагаемых: Это первый и самый важный шаг. Дети должны понять, что 3 × 4 — это не просто "три умножить на четыре", а "три взять четыре раза" или "четыре взять три раза". Для этого используются наглядные иллюстрации и действия с предметами (например, "возьмите 3 яблока 4 раза"). Это помогает установить связь умножения со сложением и выяснить терминологию: множимое, множитель, произведение, сомножители.
2. Табличное умножение: Это основа основ. Табличным умножением считается умножение однозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа (например, 7 × 8), результаты которых дети должны запомнить. Прочное усвоение таблицы умножения является условием успешного овладения как устными, так и письменными приемами умножения и деления многозначных чисел.
3. Понятие деления: Оно вводится в двух аспектах:
   • Деление на равные части: когда известен делитель, а нужно найти размер одной части.
   • Деление по содержанию: когда известно, сколько раз содержится одна часть в целом, а нужно найти количество таких частей.
4. Сопоставление умножения и деления как взаимообратных действий: Понимание этой связи критически важно. Если 3 × 4 = 12, то 12 : 3 = 4 и 12 : 4 = 3. Это помогает детям проверять свои вычисления и глубже понимать сущность операций.
5. Изучение умножения и деления на 1 и 0: Эти особые случаи требуют отдельного рассмотрения и запоминания правил (например, умножение любого числа на 1 дает это же число; умножение на 0 дает 0; деление 0 на любое число, отличное от 0, дает 0; деление на 0 невозможно).

К концу начальной школы учащиеся должны не просто выполнять действия, но и усвоить понятия о действиях умножения и деления, понимать связь между компонентами и результатом, уметь прикидывать результат и использовать способы проверки умножения и деления. Это формирует полноценные математические компетенции, а не просто исполнительские навыки.

Методические подходы и приемы обучения умножению и делению многозначных чисел

Обучение умножению и делению многозначных чисел — это сложный, многоэтапный процесс, требующий последовательного и систематического подхода, в основе которого лежат как устные, так и письменные приемы, каждый со своими методическими особенностями и алгоритмами.

Общие принципы изучения многозначных чисел

Прежде чем приступить к изучению письменных алгоритмов, крайне важно провести тщательную актуализацию ранее изученного материала. Это позволяет учащимся сосредоточиться непосредственно на новом вычислительном процессе, не отвлекаясь на повторение базовых знаний, что значительно снижает когнитивную нагрузку и повышает эффективность усвоения.

Фундаментом для всех письменных вычислений являются:

• Запись числа в десятичной системе счисления: Понимание разрядного состава числа (единицы, десятки, сотни, тысячи) абсолютно необходимо для правильной записи и выполнения операций.
• Таблица умножения однозначных чисел: Прочное знание таблицы умножения является базовым условием успешного овладения как устными, так и письменными приемами умножения и деления многозначных чисел.
• Законы сложения и умножения: Переместительный, сочетательный, распределительный законы позволяют упрощать вычисления и проверять их.
• Таблица сложения однозначных чисел: Необходима для выполнения сложения при получении неполных произведений или при работе с остатками.

Методика изучения устных приемов умножения и деления

Устные вычисления играют огромную роль в развитии математического мышления и формировании вычислительной культуры. Они не только являются подготовительным этапом к письменным алгоритмам, но и развивают гибкость мышления, умение быстро анализировать и синтезировать информацию.

Устные приемы умножения и деления основываются на:

• Знании нумерации чисел в пределах 100: Это позволяет оперировать разрядными единицами.
• Табличных случаях сложения, вычитания, умножения и деления: Автоматизированное знание базовых операций.
• Взаимосвязи деления с умножением: Например, чтобы разделить 48 на 6, ребенок должен вспомнить, какое число при умножении на 6 дает 48.
• Переместительном, сочетательном и распределительном свойствах умножения:
  • Переместительное свойство: от перестановки множителей произведение не меняется ($a \times b = b \times a$).
  • Сочетательное свойство: произведение не зависит от порядка группировки множителей ($ (a \times b) \times c = a \times (b \times c) $).
  • Распределительное свойство умножения относительно сложения: умножение двузначного числа на однозначное путем представления двузначного числа в виде суммы разрядных слагаемых. Например, 12 × 3 = (10 + 2) × 3 = 10 × 3 + 2 × 3 = 30 + 6 = 36.

Примеры устных вычислений:

• Умножение на 10, 100, 1000: 32 × 10 = 320. Объяснение строится на принципе десятичной системы счисления: 325 единиц на 10 дает 325 десятков или 3250.
• Умножение двузначного на однозначное: 24 × 3. Представляем 24 как 20 + 4. (20 × 3) + (4 × 3) = 60 + 12 = 72.
• Деление двузначного на однозначное: 48 : 4. Представляем 48 как 40 + 8. (40 : 4) + (8 : 4) = 10 + 2 = 12.

Устные упражнения на разных этапах урока делают его продуктивным, насыщают разными видами деятельности, тренируют логические операции мышления, развивают память и активизируют познавательную деятельность.

Алгоритмы письменного умножения многозначных чисел

Изучение алгоритма письменного умножения в начальной школе является одним из центральных моментов, требующих строгой последовательности и тщательной отработки. Оно начинается с простых случаев и постепенно усложняется:

1. Умножение числа на однозначное: Обычно изучается в 3 классе после алгоритмов письменного сложения и вычитания многозначных чисел.
   • Детальный алгоритм умножения трехзначного числа на однозначное (например, 325 × 3):
     1. Запись: Написать множимое (325) сверху, множитель (3) снизу, располагая единицы под единицами.

          325
        x   3
        -----
        

     2. Умножение единиц: 5 × 3 = 15. 5 единиц записываем под единицами, 1 десяток запоминаем (или переносим).

          325
        x   3
        -----
            5 (1 в уме)
        

     3. Умножение десятков: 2 × 3 = 6. Прибавляем запомненный 1 десяток: 6 + 1 = 7. Записываем 7 под десятками.

          325
        x   3
        -----
           75
        

     4. Умножение сотен: 3 × 3 = 9. Записываем 9 под сотнями.

          325
        x   3
        -----
          975
        

     5. Чтение ответа: 975.
2. Умножение на числа, оканчивающиеся нулями (10, 100, 1000): Это логически объясняется на основе принципа десятичной системы счисления. Умножение одной единицы на 10 дает один десяток. Следовательно, чтобы умножить число на 10, достаточно приписать к нему справа один нуль; на 100 – два нуля и так далее (325 × 10 = 3250).
3. Алгоритм умножения на двузначное и трехзначное числа:
   • Умножение на двузначное число (например, 857 × 39):
     1. Умножаем множимое на единицы множителя (857 × 9). Получаем первое неполное произведение.
     2. Умножаем множимое на десятки множителя (857 × 30). Записываем второе неполное произведение, начиная под десятками (сдвиг влево на один разряд).
     3. Складываем неполные произведения.

          857
        x  39
        -----
         7713  (857 x 9)
        25710  (857 x 30, 0 не пишем, начинаем под десятками)
        -----
        33423
        

   • Умножение на трехзначное число (например, 857 × 396):

     Аналогично, но появляются три неполных произведения:

     1. На единицы (857 × 6).
     2. На десятки (857 × 90), сдвиг на 1 разряд влево.
     3. На сотни (857 × 300), сдвиг на 2 разряда влево.

          857
        x 396
        -----
         5142  (857 x 6)
        7713   (857 x 9, сдвиг)
        2571   (857 x 3, сдвиг)
        -----
        339372
        

4. Особенности умножения чисел с нулями во множимом и множителе:
   • Нули в середине множимого (например, 2008 × 47): Важно показать, что умножение нуля на число дает нуль.

       2008
     x   47
     ------
      14056  (2008 x 7)
     8032    (2008 x 4, сдвиг)
     -------
     94376
     

   • Нули в середине множителя (например, 564 × 308): При умножении на нуль в середине множителя, соответствующее неполное произведение будет состоять из нулей. Часто его пропускают, но важно объяснить, почему так делается, и сохранить правильный сдвиг.

       564
     x 308
     ------
      4512  (564 x 8)
       000  (564 x 0 - можно пропустить,
                но сохранить сдвиг следующего)
     1692   (564 x 3, сдвиг на 2 разряда)
     -------
     173712
     

   • Умножение чисел, оканчивающихся нулями (например, 280 × 540): Умножаем значащие цифры, затем приписываем справа общее количество нулей.

       280
     x 540
     -----
        112  (28 x 4)
      140    (28 x 5)
     -----
      1512 (и добавляем 2 нуля) = 151200
     

Алгоритмы письменного деления многозначных чисел

Письменное деление многозначных чисел — одна из наиболее трудных тем начальной школы. Успешное освоение этого алгоритма требует прочного знания таблицы умножения, нумерации чисел и умения выполнять вычитание.

1. Последовательность изучения:
   • Сначала изучается деление на однозначное число, которое опирается на таблицу умножения. Хорошее усвоение этого алгоритма является необходимым условием понимания алгоритма деления на многозначное число.
   • Затем переходят к делению на многозначное число, где основной упор делается на прикидку частного.
2. Детальный алгоритм письменного деления (например, 975 : 3):
   1. Образование первого неполного делимого: Смотрим на делимое (975). Берем столько цифр слева, чтобы образовавшееся число было больше или равно делителю (3). В данном случае, это 9 сотен. Первое неполное делимое — 9.
   2. Определение числа цифр частного: Сколько цифр останется в делимом после первого неполного делимого? Две (7 и 5). Значит, в частном будет 1 цифра от первого неполного делимого (сотни) + 2 цифры = 3 цифры.
   3. Нахождение первой цифры частного: Делим 9 на 3, получаем 3. Записываем 3 в частное.
   4. Проверка: Умножаем найденную цифру частного на делитель: 3 × 3 = 9.
   5. Вычитание: Вычитаем произведение из неполного делимого: 9 — 9 = 0.
   6. Проверка остатка: Остаток (0) должен быть меньше делителя (3).
   7. Формирование следующего неполного делимого: Сносим следующую цифру делимого (7). Получаем 7.
   8. Повторение процесса: Делим 7 на 3. Получаем 2 (с остатком). Записываем 2 в частное. 2 × 3 = 6. 7 — 6 = 1. Остаток 1 меньше 3.
   9. Сносим следующую цифру (5). Получаем 15. Делим 15 на 3. Получаем 5. Записываем 5 в частное. 5 × 3 = 15. 15 — 15 = 0.

        325
      3 | 975
        -9
        ---
         07
         -6
         ---
          15
         -15
         ----
           0
      

3. Отработка деления:
   • Случаи с нулями в частном (например, 4680 : 3):

       1560
     3 | 4680
       -3
       ---
        16
       -15
       ----
         18
        -18
        ----
          00 (0 делим на 3, получаем 0, записываем в частное)
          -0
          ---
           0
     

   • Деление с остатком: Учащиеся должны понимать, что остаток всегда меньше делителя.
   • Деление чисел, оканчивающихся нулями (например, 5130 : 90): Можно сначала отбросить одинаковое количество нулей в делимом и делителе, а затем выполнить деление (513 : 9).
     • 5130 : 90 = 513 : 9 = 57.
     • 2580 : 30 = 258 : 3 = 86.
     • 46800 : 600 = 468 : 6 = 78.
4. Методы подбора цифры частного при делении на двузначные/трехзначные числа:
   • Прием округления: Делитель округляют до ближайшего круглого десятка (или сотни). Например, при делении на 28, округляем до 30. Пробную цифру частного ищут делением неполного делимого на округленный делитель. Затем проверяют ее умножением на настоящий делитель.
   • Подбор с числа 5: В некоторых случаях, если округление не дает точного результата, можно начать подбор с числа 5, а затем корректировать в большую или меньшую сторону.
   • При делении двузначного числа на двузначное (например, 72 : 12) используется метод подбора частного и проверка предполагаемого ответа с помощью умножения (какое число при умножении на 12 даст 72).
5. Подготовительная работа к делению:
   • Повторение взаимосвязи умножения и деления.
   • Умножение двузначного числа на однозначное (как основа для подбора).
   • Сравнение чисел.
6. Конкретный смысл умножения и деления:

   Для раскрытия конкретного смысла умножения полезно использовать иллюстрации и действия с предметами (например, группировка палочек), чтобы учащиеся осознали, что умножение — это сложение одинаковых слагаемых. Конкретный смысл действия умножения лежит в основе приема замены произведения суммой одинаковых слагаемых. Аналогично, для деления используются задачи на равное разделение предметов или определение количества групп. Для закрепления знания конкретного смысла действий и вычислительных приемов включается решение простых задач на деление по содержанию и на равные части.

Все эти методические приемы, от устных вычислений до сложных письменных алгоритмов, строятся на одних и тех же свойствах арифметических действий, что обеспечивает системность и логичность обучения.

Психологические аспекты усвоения умножения и деления младшими школьниками

Обучение математике в начальной школе – это не просто передача знаний, но и сложный психолого-педагогический процесс, тесно связанный с особенностями развития ребенка. Каждый младший школьник – это уникальная личность со своим набором когнитивных функций, эмоциональным состоянием и жизненным опытом. Успешность усвоения таких абстрактных операций, как умножение и деление многозначных чисел, во многом зависит от того, насколько глубоко учитель понимает и учитывает эти психологические нюансы.

Влияние психологического развития ребенка на обучение математике

Младший школьный возраст (6-10 лет) – это период активного формирования высших психических функций. В это время происходит интенсивное развитие:

• Внимания: От непроизвольного к произвольному, но его объем и устойчивость еще ограничены. Детям трудно долго удерживать внимание на одном виде деятельности или сложной инструкции.
• Восприятия: Становится более целенаправленным и аналитическим, но все еще требует опоры на наглядность.
• Памяти: Механическое запоминание постепенно уступает место осмысленному, но для сложных алгоритмов часто требуется многократное повторение.
• Мышления: От наглядно-образного к словесно-логическому. Именно в этот период закладываются основы для абстрактного мышления, но переход от конкретики к абстракции дается с трудом.
• Воображения: Активно развивается, что может быть использовано в дидактических играх и при создании проблемных ситуаций.
• Речи: Развивается математическая речь, умение формулировать свои мысли, объяснять действия.

Затруднения младших школьников при обучении математике могут иметь разнообразный характер:

• Биогенные: Связаны с индивидуальными физиологическими особенностями, например, повышенной утомляемостью, низкой работоспособностью.
• Социогенные: Обусловлены внешними факторами – недостаточной подготовкой к школе, отсутствием поддержки дома, неблагоприятной учебной средой.
• Психогенные: Вызваны особенностями психического развития, ослаблением познавательных способностей. Например, низкий уровень развития внимания затрудняет сосредоточение на длинных алгоритмах умножения и деления, слабое восприятие может привести к ошибкам в записи чисел, а недостаточная память – к забыванию табличных случаев или последовательности действий.

Для младшего школьника, особенно при изучении математики, крайне важно обеспечить адекватную поддержку. Математика является одной из самых сложных школьных дисциплин и может вызывать трудности у многих школьников, особенно у детей с недостаточной математической подготовкой, низкой мотивацией, а также у детей с задержкой психического развития (ЗПР) и умственной отсталостью.

Психологические барьеры и стратегии их преодоления

Для младшего школьника первостепенной задачей при организации мотивации является преодоление страха перед абстрактной математической информацией. Математика часто воспринимается как сложный, сухой предмет. Важно пробудить уверенность в возможности ее усвоения и интерес к обучению. Страх ошибки или неудачи может блокировать познавательную активность.

Стратегии преодоления барьеров:

• Постепенное введение абстракций: Начинать с конкретных примеров, наглядных пособий, действий с предметами, постепенно переходя к символической записи.
• Создание ситуации успеха: Предлагать посильные задания, поддерживать любую попытку ребенка, поощрять даже небольшие достижения.
• Игровая деятельность: Использование дидактических игр, соревновательных элементов для создания положительного эмоционального фона и повышения мотивации.
• Личностно-ориентированный подход: Учителю необходимо учитывать индивидуальные особенности психической деятельности ребенка, его темп работы, тип восприятия (визуал, аудиал, кинестетик). Создание личностно-ориентированной образовательной среды позволяет выявлять и реализовывать творческий потенциал каждого ученика.

Значение моделирования и активной деятельности учащихся

Осознание учащимися сущности абстрактных математических понятий облегчается, когда эти понятия представлены в виде моделей, отражающих их основные особенности. Моделирование (предметное, графическое, знаковое) позволяет "опредметить" абстракцию, сделать ее доступной для понимания. Например, умножение можно моделировать с помощью группировки предметов, а деление — с помощью распределения. Через моделирование формируется понимание числа как отношения и дается его понятийная характеристика.

Активная деятельность учащихся является основой понимания предмета и формирования интереса. Когда ребенок самостоятельно "открывает" математические закономерности, решает проблемные задачи, применяет знания на практике, у него возникает глубокий, осознанный интерес. Деятельностный подход способствует не только сознательному усвоению новых знаний, но и развитию творческих способностей, формированию универсальных учебных действий.

Развитие умственных операций через математику

Начальное обучение математике закладывает основы для формирования таких важнейших приемов умственной деятельности, как:

• Анализ: Умение выделять отдельные элементы из целого (например, разряды в многозначном числе, компоненты задачи).
• Сравнение: Установление сходств и различий (например, между умножением и делением, между разными способами решения).
• Классификация: Группировка объектов по общим признакам (например, деление задач на типы).
• Установление причинно-следственных связей: Понимание, почему то или иное действие приводит к определенному результату.
• Закономерности: Выявление повторяющихся структур и правил.
• Выстраивание логических цепочек рассуждений: Аргументация своих действий, построение доказательств.

Эти универсальные математические способы познания способствуют целостному восприятию мира, позволяют выстраивать модели его отдельных процессов и явлений, а также являются основой формирования УУД. Именно поэтому методика обучения математике тесно связана с философией, психофизиологией, педагогикой, а также общей, педагогической, дифференциальной и возрастной психологией. Для эффективного преподавания основ математики в начальных классах учитель должен опираться на глубокие знания психологических аспектов и закономерностей детского развития.

Типичные трудности, ошибки и эффективные стратегии их коррекции при освоении умножения и деления многозначных чисел

Процесс освоения умножения и деления многозначных чисел в начальной школе неизбежно сопряжен с трудностями и ошибками. Понимание их природы, причин возникновения и знание эффективных стратегий коррекции — ключ к успешной работе учителя.

Основные затруднения младших школьников в математике

Младшие школьники порой демонстрируют целый спектр затруднений, которые мешают им полноценно осваивать математические концепции и операции. Среди наиболее распространенных можно выделить:

• Отсутствие устойчивых навыков счета: Это фундаментальная проблема. Если ребенок слабо считает в уме, то выполнение многоступенчатых алгоритмов умножения и деления, требующих постоянного обращения к таблице умножения и сложения, становится крайне затруднительным.
• Незнание отношений между смежными числами: Непонимание, что 5 больше 4 на единицу, или что 10 в десять раз больше 1, мешает осмысленному восприятию числового ряда и разрядного состава.
• Неспособность перехода из конкретного плана в абстрактный: Это одна из ключевых проблем в начальной школе. Учащиеся легко оперируют предметами (3 яблока + 2 яблока), но испытывают трудности при работе с абстрактными числами и символами. Особенно это проявляется при умножении и делении многозначных чисел, где приходится работать с числами, которые нельзя "пощупать".
• Нестабильность графических форм (зеркальное написание цифр): Эта проблема часто указывает на особенности пространственного восприятия и может затруднять правильную запись чисел в столбик, что неизбежно ведет к ошибкам.
• Неумение решать арифметические задачи: Часто связано с плохим пониманием условия, неумением выделять главное, выбирать правильные арифметические действия или строить логическую цепочку рассуждений.
• "Интеллектуальная пассивность": Отсутствие инициативы в поиске решений, нежелание думать, анализировать, а стремление получить готовый ответ. Это может быть следствием страха ошибки, низкой мотивации или неуверенности в своих силах.

Типичные ошибки при умножении и делении многозначных чисел

При работе именно с многозначными числами возникают специфические ошибки:

• Ошибки, связанные с незнанием таблицы умножения: Самая распространенная и базового уровня ошибка. Если ребенок путает 7 × 8, он не сможет правильно выполнить умножение 347 × 8 и тем более деление.
• Ошибки в записи неполных произведений/делимых: Неправильное смещение неполных произведений при умножении на многозначное число (например, не сдвинул второе неполное произведение на один разряд влево) или некорректное образование неполного делимого.
• Ошибки при переносе через разряд: Забывание прибавить перенесенный десяток (сотню) или, наоборот, прибавление лишнего при сложении неполных произведений.
• Ошибки, связанные с нулями в середине или конце чисел:
  • При умножении: неправильное обращение с нулем как множителем (например, 208 × 3, вместо 200 × 3 + 8 × 3 просто игнорируется 0).
  • При делении: неправильное определение нуля в частном, если следующее неполное делимое меньше делителя, или некорректная работа с нулями, оканчивающими делимое и делитель.
• Неправильный подбор цифры частного: Особенно актуально при делении на двузначные и трехзначные числа, когда дети не могут эффективно использовать методы прикидки (округления) и пробуют неверные варианты.
• Невнимательное чтение условия задачи и вычислительные ошибки: Эти ошибки встречаются во всех типах задач, но при работе с многозначными числами они усугубляются сложностью вычислений.

Стратегии предупреждения ошибок

Предупреждение ошибок имеет ключевое значение. Оно не должно сводиться к систематическому предугадыванию трудностей, скорее, затруднения следует использовать для активизации мыслительной деятельности и развития интереса.

• Систематическое изучение индивидуальных и типичных ошибок: Учитель должен вести постоянный учет ошибок, анализировать их причины, выявлять "пробелы" в знаниях каждого ученика. Знание типичных ошибок позволяет предвидеть их появление.
• Подбор специальных упражнений: Необходимо включать в работу упражнения, препятствующие образованию односторонних ассоциаций и неправильных обобщений. Например, чередовать примеры с нулями и без нулей, с разным количеством разрядов, чтобы дети не привыкали к одному шаблону.
• Развитие самоконтроля: Учить детей проверять свои действия, использовать обратные операции (умножение для проверки деления, и наоборот).

Методика работы над ошибками

Работа над ошибками должна быть не наказанием, а инструментом развития. Процесс отыскания и исправления ошибок самими учащимися под руководством учителя может стать эффективным средством развития познавательного интереса к математике.

• Для задач:
  1. Прочтение условия: Внимательно, вдумчиво прочитать задачу.
  2. Краткая запись/схема: Составить краткую запись или нарисовать схему, чтобы визуализировать условие и вопрос.
  3. Анализ: Понять, что известно, что нужно найти, какие данные лишние/недостающие.
  4. Решение по действиям с пояснениями: Записать каждое действие с объяснением, что находим этим действием.
  5. Ответ: Четко сформулировать ответ на вопрос задачи.
• Для уравнений:
  1. Запись уравнения: Аккуратно переписать уравнение.
  2. Называние компонентов: Определить, где множимое, множитель, произведение или делимое, делитель, частное.
  3. Вспоминание правила: Вспомнить правило нахождения неизвестного компонента.
  4. Верное решение: Выполнить вычисления.
  5. Придумывание аналогичного: Для закрепления, предложить ребенку составить похожее уравнение.
• Для примеров на умножение/деление многозначных чисел:
  1. Проверка табличных знаний: Если ошибка в табличном умножении/делении, повторить этот фрагмент таблицы.
  2. Пошаговый разбор алгоритма: Вместе с учителем или по памятке пройти каждый шаг алгоритма, указывая на место ошибки.
  3. Пересчет: Выполнить пример заново, уделяя внимание проблемному шагу.
  4. Использование алгоритмических карточек: Карточки с пошаговым алгоритмом могут служить опорой.

Целенаправленная коррекция трудных случаев: А.В. Белошистая отмечает, что особенно трудными для запоминания являются произведения и частные чисел, больших пяти (например, 7 × 8, 9 × 6), произведения и частны�� с равными значениями (например, 6 × 6 = 36), а также произведения и частные, значения которых близки в натуральном ряду (например, 7 × 8 = 56, 6 × 9 = 54). Для таких случаев она предлагает включать их в устные упражнения и письменные работы, создавая занимательные ситуации, игры, которые помогут закрепить эти факты в памяти.

Системная и целенаправленная работа над ошибками, в сочетании с предупредительными мерами, позволяет не только исправить текущие недочеты, но и сформировать у младших школьников устойчивые вычислительные навыки, развить самоконтроль и познавательный интерес к математике.

Роль УМК и образовательных программ в формировании навыков умножения и деления

В современной начальной школе выбор учебно-методического комплекта (УМК) и образовательной программы играет решающую роль в определении стратегий и подходов к обучению, в том числе и к формированию навыков умножения и деления многозначных чисел. Модернизация и обновление содержания образования в России привели к развитию вариативности программ, что, с одной стороны, дает учителям свободу выбора, а с другой — требует глубокого понимания методических особенностей каждого УМК.

Курс МДК.01.04 "Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания" для студентов педагогических специальностей специально включает анализ образовательных программ и УМК по математике для начальной школы по ФГОС, подчеркивая важность этого аспекта для будущих педагогов.

Сравнительный анализ подходов различных УМК к обучению умножению и делению многозначных чисел

Рассмотрим особенности некоторых популярных УМК, которые используются в начальной школе России, и их подходы к изучаемой теме.

Программа М.И. Моро ("Школа России")

УМК под редакцией М.И. Моро является одним из наиболее распространенных и традиционных. Его цель включает математическое развитие младших школьников, формирование системы начальных математических знаний и воспитание интереса к математике.

• Особенности формирования навыков умножения и деления многозначных чисел:
  • Последовательность: Программа Моро традиционно следует принципу "от простого к сложному". Сначала детально отрабатываются табличные случаи, затем устные приемы, и лишь потом — письменные алгоритмы умножения и деления на однозначное, а затем на многозначное число.
  • Наглядность и конкретика: На начальных этапах введения умножения и деления активно используются наглядные пособия, предметные действия, что помогает детям осознать конкретный смысл операций.
  • Алгоритмизация: Большое внимание уделяется пошаговому изучению и запоминанию алгоритмов письменных вычислений. Каждый шаг алгоритма четко прописан и многократно отрабатывается.
  • Упражнения: Предлагается большое количество однотипных упражнений для закрепления вычислительных навыков, что обеспечивает прочность усвоения, но иногда может приводить к механическому выполнению без глубокого понимания.
  • Деление многозначных чисел: Учебник М.И. Моро подробно рассматривает возможности формирования алгоритма деления многозначных чисел, акцентируя внимание на поэтапном образовании неполных делимых и проверке остатка.

Программа Н.Б. Истоминой ("Гармония")

УМК "Гармония" под редакцией Н.Б. Истоминой представляет собой сочетание традиционной методики и новых подходов в обучении, реализующее основные направления модернизации образования. Цель программы заключается в обеспечении предметной подготовки учащихся для продолжения математического образования в основной школе и создании дидактических условий для овладения УУД.

• Акцент на формирование приемов умственной деятельности: В основе обучения математике по программе Н.Б. Истоминой лежит методическая концепция, выражающая необходимость целенаправленного формирования таких приемов умственной деятельности, как анализ, синтез, сравнение, классификация, аналогия и обобщение.
• Проблемное обучение: УМК активно использует проблемные ситуации, побуждая детей к самостоятельному поиску решения, "открытию" новых знаний. Это способствует развитию мышления и творческого потенциала.
• Развитие математической речи: Большое внимание уделяется формулированию правил, объяснению своих действий, что способствует развитию логического мышления и коммуникативных УУД.
• Особенности умножения и деления многозначных чисел: В отличие от "Школы России", где акцент делается на отработке готовых алгоритмов, "Гармония" стремится к тому, чтобы дети сами выводили алгоритмы, понимая их логику. Приемы устного счета и использование свойств арифметических действий являются основой для изучения письменных вычислений. Меньше однотипных примеров, больше задач на рассуждение.

Другие УМК

Существуют и другие УМК, например, "Начальная школа XXI века" под редакцией Н.Ф. Виноградовой, "Перспектива" и другие. Каждый из них имеет свои особенности:

• Некоторые УМК более ориентированы на развитие творческого мышления, меньше уделяя внимания механической отработке навыков.
• Другие могут предлагать более раннее или более позднее введение определенных тем, а также использовать специфические подходы к объяснению новых понятий.

Оценка преимуществ и недостатков различных УМК в контексте темы

Критерий	УМК М.И. Моро ("Школа России")	УМК Н.Б. Истоминой ("Гармония")
Преимущества	Четкая последовательность, большое количество упражнений для отработки навыков, хорошая база для формирования вычислительных умений.	Акцент на развитие мышления, проблемные ситуации, формирование УУД, глубина понимания логики действий.
Недостатки	Может приводить к механическому заучиванию, недостаточное развитие творческого мышления, меньший акцент на самостоятельное "открытие" знаний.	Может быть сложен для детей с низким уровнем готовности, требует высокого уровня методической подготовки учителя, меньше механической отработки.
Обучение умножению и делению многозначных чисел	Строгая алгоритмизация, пошаговое введение, обилие тренировочных заданий.	Акцент на понимание свойств действий, использование устных приемов как основы для письменных, меньше шаблонов.

Выбор УМК во многом зависит от целей школы, уровня подготовленности учащихся и методических предпочтений учителя. Идеальным подходом является использование сильных сторон разных программ, адаптируя их к конкретным условиям класса. Важно, чтобы учитель, независимо от выбранного УМК, понимал стоящие за ним теоретические основы и методические принципы, поскольку именно учитель является ключевым звеном в процессе формирования прочных навыков умножения и деления многозначных чисел.

Дифференцированный и коррекционный подход в обучении умножению и делению детей с особыми образовательными потребностями (ОВЗ)

Обучение математике детей с особыми образовательными потребностями (ООП) является одной из приоритетных задач отечественного образования, поскольку каждый ребенок имеет право на качественное образование, адаптированное к его индивидуальным возможностям. Включение таких детей в общеобразовательный процесс, или инклюзия, требует от педагогов глубокого понимания специфики их развития и применения дифференцированных и коррекционных методик.

Понятие особых образовательных потребностей (ООП) и их влияние на процесс обучения

Особые образовательные потребности (ООП) — это актуальные и потенциальные возможности (энергетические, когнитивные, моторные и другие), проявляемые ребенком в процессе обучения. Они возникают у детей, имеющих различные отклонения в развитии (физические, психические), что затрудняет освоение ими общеобразовательных программ без создания специальных условий.

У детей с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ) эти потребности определяют вариативность специальных образовательных условий, включая материально-техническое, кадровое, информационное и программно-методическое обеспечение. Без такой адаптации содержание учебного материала, темп обучения и требования к результатам обучения могут быть для них непосильными.

Характеристика трудностей у детей с ОВЗ:

• Отсутствие минимального запаса математических знаний: Часто дети с ОВЗ приходят в школу с уже существующими пробелами в базовых математических представлениях, что затрудняет освоение новых тем, таких как умножение и деление.
• Несформированность учебной деятельности и операций мышления: У них могут быть значительные трудности с анализом, синтезом, сравнением, обобщением – ключевыми операциями, необходимыми для понимания логики арифметических действий.
• Негативное отношение к учебе: Постоянные неудачи, непонимание материала, отсутствие поддержки могут привести к низкой мотивации, апатии или даже агрессии по отношению к учебному процессу.
• Инертность мышления, рассеянность внимания, бедность представлений, нарушения речи: Эти особенности, особенно выраженные у детей с нарушениями интеллекта, крайне затрудняют усвоение математики. Например, инертность мышления мешает переключиться с одного этапа алгоритма на другой, а рассеянность внимания — удержать в памяти всю последовательность действий.
• Значительное нарушение пространственного восприятия и ориентировки: Это критически важно для письменных вычислений в столбик, где правильная запись чисел "разряд под разрядом" является залогом успеха.

Математика является одной из самых сложных школьных дисциплин и может вызывать трудности у многих школьников, особенно у детей с недостаточной математической подготовкой, низкой мотивацией, а также у детей с задержкой психического развития (ЗПР) и умственной отсталостью.

Значение знания педагогом механизмов психических процессов для диагностики и коррекции

Знание педагогом механизмов протекания основных психических процессов (восприятие, внимание, память, мышление) у школьника позволит не только диагностировать уровень их развития, но и целенаправленно корректировать траекторию обучения. Например, если у ребенка слабое зрительное восприятие, ему потребуется больше слуховых инструкций и тактильных ощущений. Если страдает память, необходимо чаще повторять материал и использовать мнемонические приемы.

Специально организованный подход к формированию математических знаний у детей с интеллектуальными нарушениями

Процесс формирования математических знаний, умений и навыков у детей с проблемами в интеллектуальном развитии требует специально организованного подхода:

• Раскрытие конкретного смысла арифметических действий на примерах: Для детей с умственной отсталостью абстрактные понятия недоступны. Обучение табличным случаям умножения и деления должно начинаться с предметных действий: "взять 3 раза по 2 конфеты", "разделить 6 яблок по 2".
• Логически обоснованная последовательность составления и запоминания таблиц умножения/деления: Процесс должен быть максимально разбит на мелкие шаги. Для детей с умственной отсталостью усвоение математики представляет большие трудности из-за интеллектуальной недостаточности. Они слабо ориентируются в содержании математического задания, не могут выполнить его самостоятельно и нуждаются в постоянной помощи.
• Необходимость постоянной помощи и индивидуального подхода: Детям с нарушениями интеллекта требуется многократное повторение, подробные инструкции, частая проверка и коррекция. На уроках математики необходим индивидуальный подход, часто через дифференцированную работу с группами учащихся.
• Задачи преподавания математики в коррекционной школе: Включают формирование доступных количественных, пространственных и временных представлений для будущей трудовой деятельности, а также повышение общего развития и коррекцию недостатков познавательной деятельности.

Особенности обучения школьников с ЗПР

Дети с ЗПР – это особая категория, обучение которых осуществляется по адаптированным образовательным программам, разработанным на основе программ коррекционных школ VII вида. Эти программы сохраняют основное содержание образования общеобразовательной школы, но отличаются коррекционной направленностью:

• Замедленный темп обучения: Материал изучается в более медленном темпе, с большим количеством повторений.
• Особые методы обучения: Акцент делается на наглядные и практические методы, а также индуктивные, репродуктивные, игровые методы и приемы развития мыслительной активности.
• Коррекционная помощь: Детям с ЗПР обязательно должна оказываться коррекционная помощь на индивидуальных и групповых занятиях общеразвивающей и предметной направленности.
• Роль специалистов сопровождения: Психолого-педагогические, медицинские, социальные и иные услуги предполагают наличие специалистов сопровождения (дефектолог, логопед, психолог, социальный педагог), которые работают в команде с учителем.

Конкретные методические приемы адаптации обучения умножению и делению многозначных чисел для детей с ОВЗ

Для эффективного обучения умножению и делению многозначных чисел детей с ОВЗ, особенно с ЗПР и интеллектуальными нарушениями, могут быть применены следующие приемы:

1. Максимальная визуализация: Использование числовых линеек, карточек с наглядными моделями умножения (группы предметов), таблицы Пифагора, цветных обозначений для разрядов в многозначных числах.
2. Пошаговые инструкции и алгоритмические карточки: Для каждого этапа алгоритма умножения и деления должна быть четкая, простая инструкция, лучше в виде карточки-памятки, которую ребенок может использовать как опору.
3. Многократное повторение и чередование видов деятельности: Длительная концентрация для детей с ОВЗ затруднительна. Необходимо чаще менять виды заданий, чередовать устные и письменные упражнения, использовать физкультминутки.
4. Индивидуальные карточки с дифференцированными заданиями: Для разных групп детей в классе готовятся карточки с заданиями разного уровня сложности. Например, для одних — только умножение на однозначное число, для других — с нулями, для третьих — на многозначное.
5. Использование игровых методов: Дидактические игры, математические лото, викторины помогают снять напряжение, повысить мотивацию и сделать процесс обучения более увлекательным.
6. Тактильные и кинестетические методы: Использование счетных палочек, кубиков, бусин для моделирования умножения и деления.
7. Развитие пространственной ориентировки: Специальные упражнения на ориентировку в тетради, правильную запись "столбиком", определение разрядов.
8. Вербализация действий: Проговаривание каждого шага алгоритма вслух помогает лучше его запомнить и контролировать выполнение.
9. Метод "малых шагов": Разбивка сложной задачи на минимальные, легкоусвояемые этапы. Например, сначала научить умножать единицы, потом десятки, потом сотни, а лишь затем соединить это в один алгоритм.

Дифференцированный и коррекционный подход в обучении математике детей с ООП – это не просто изменение темпа, а глубокая адаптация всего учебного процесса, учитывающая уникальные особенности каждого ребенка и направленная на максимальное раскрытие его потенциала.

Заключение

Исследование методических особенностей обучения младших школьников умножению и делению, в частности многозначных чисел, позволило сделать ряд важных выводов, которые могут стать основой для повышения эффективности образовательного процесса в начальной школе.

Обобщение основных выводов:

1. Фундаментальная роль ФГОС НОО и системно-деятельностного подхода: Современное обучение математике не сводится к механическому усвоению знаний. Оно ориентировано на всестороннее развитие личности ребенка, формирование универсальных учебных действий и способности к самостоятельному "открытию" знаний. Системно-деятельностный подход, заложенный в ФГОС, требует от учителя не просто передачи информации, а организации активной познавательной деятельности учащихся.
2. Многогранность теоретических основ: Умножение и деление — это не просто арифметические операции, а сложные математические понятия, требующие глубокого понимания их конкретного смысла (как суммы одинаковых слагаемых, деления на части или по содержанию), взаимосвязи и свойств. Табличное умножение является краеугольным камнем, без прочного усвоения которого невозможно дальнейшее продвижение.
3. Сложность и поэтапность методических подходов: Обучение умножению и делению многозначных чисел требует строго последовательного и логически выстроенного процесса. От устных приемов, основанных на свойствах арифметических действий, до детального освоения многошаговых письменных алгоритмов. Особую сложность представляет деление многозначных чисел, требующее развитого навыка прикидки частного и умения работать с неполными делимыми.
4. Критическое значение психологических аспектов: Успешность усвоения материала напрямую зависит от учета возрастных и индивидуальных психологических особенностей младших школьников. Преодоление страха перед абстракцией, развитие внимания, памяти и мышления, создание личностно-ориентированной образовательной среды — все это является неотъемлемой частью эффективной методики. Моделирование и активная деятельность учащихся способствуют осознанию сущности математических понятий.
5. Типичные ошибки как индикаторы проблем: Распространенные ошибки (незнание таблицы, неверная запись неполных произведений, проблемы с нулями, неправильный подбор частного) сигнализируют о пробелах в знаниях или несформированности определенных навыков. Системная работа над ошибками, их анализ и целенаправленная коррекция, а не просто исправление, превращает их в мощный инструмент развития познавательного интереса.
6. Вариативность УМК и необходимость их критического анализа: Различные учебно-методические комплексы предлагают свои подходы к обучению, каждый со своими преимуществами и недостатками. УМК М.И. Моро делает акцент на строгой алгоритмизации и отработке навыков, тогда как УМК Н.Б. Истоминой — на развитии приемов умственной деятельности и проблемном обучении. Учитель должен осознанно выбирать и адаптировать УМК под потребности своих учеников.
7. Приоритетность дифференцированного и коррекционного подхода: Обучение детей с особыми образовательными потребностями требует значительной адаптации содержания, темпа и методов обучения. Знание особенностей развития детей с ЗПР и интеллектуальными нарушениями, применение визуализации, пошаговых инструкций, игровых и тактильных методов, а также командная работа со специалистами сопровождения, являются залогом их успешной интеграции и развития.

Практические рекомендации для учителей начальных классов:

1. Интегрируйте наглядность и практику: Всегда начинайте изучение новых понятий с конкретных примеров, манипуляций с предметами, постепенно переходя к символической записи. Используйте разнообразные модели (предметные, графические).
2. Акцентируйте внимание на взаимосвязях: Постоянно подчеркивайте связь умножения со сложением, а деления с умножением. Это помогает формировать целостное математическое представление.
3. Систематически отрабатывайте алгоритмы: Для письменных вычислений используйте четкие пошаговые алгоритмы, предлагайте памятки, но при этом поощряйте понимание логики каждого шага.
4. Развивайте устный счет и прикидку: Регулярно включайте устные упражнения, которые развивают гибкость мышления, умение использовать свойства арифметических действий и прикидывать результат.
5. Организуйте эффективную работу над ошибками: Не просто исправляйте ошибки, а анализируйте их причины вместе с учениками. Используйте ошибки как повод для активизации мыслительной деятельности и углубления понимания.
6. Применяйте дифференцированный подход: Учитывайте индивидуальные особенности каждого ребенка. Предлагайте задания разного уровня сложности, используйте индивидуальные карточки, работайте в малых группах.
7. Создавайте положительную мотивацию: Преодолевайте страх перед математикой через игровые формы, создание ситуаций успеха, поощрение любой инициативы и усилия.
8. Сотрудничайте со специалистами: Для детей с ОВЗ активно взаимодействуйте с психологами, дефектологами, логопедами, чтобы обеспечить комплексную поддержку.

Перспективы дальнейших исследований:

Дальнейшие исследования в данной области могут быть направлены на:

• Разработку и апробацию новых интерактивных и цифровых образовательных ресурсов для обучения умножению и делению многозначных чисел, особенно для детей с ОВЗ.
• Изучение влияния геймификации на мотивацию и успешность усвоения сложных математических алгоритмов у младших школьников.
• Проведение лонгитюдных исследований, отслеживающих долгосрочные эффекты различных методических подходов на математическое развитие учащихся.
• Детальный сравнительный анализ эффективности отечественных и зарубежных методик обучения многозначным вычислениям.

Обучение умножению и делению многозначных чисел — это краеугольный камень начального математического образования. Только комплексный, научно обоснованный и гуманный подход, учитывающий все теоретические, методические и психологические аспекты, позволит вырастить поколение, уверенно оперирующее числами и способное к критическому мышлению в постоянно меняющемся мире.

Список использованной литературы

1. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах / под ред. М.И. Моро, А.М. Пышкало. М., 2005.
2. Алексеева А.В., Бокуть Е.Л., Сиделева Т.Н. Преподавание в начальных классах: Психолого-педагогическая практика. Учебно-методическое пособие. М.: ЦГЛ, 2003. 208 с.
3. Андреева В.С., Бажан З.И., Полякова Н.И. Методические приемы изучения письменного умножения и деления в начальной школе с учетом индивидуальных особенностей школьников. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metodicheskie-priemy-izucheniya-pismennogo-umnozheniya-i-deleniya-v-nachalnoy-shkole-s-uchetom-individualnyh-osobennostey-shkolnikov (дата обращения: 29.10.2025).
4. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах: Учебное пособие для учащихся школьных отделений педагогических училищ. М.: Просвещение, 2008. 335 с.
5. Брунчукова Н.М. Б1.О.05.04 Методика обучения математике в начальной школе. URL: https://www.smolgu.ru/files/upload/faculties/pedfak/pps/brunchukova/metodika_obucheniya_matematike_v_nachal_noy_shkole.pdf (дата обращения: 29.10.2025).
6. Выготский Л.С. Воображение и творчество в детском возрасте. СПб.: Ювента, 2007. 512 с.
7. Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П. Математика. Учебник. 3 класс. В 3 ч. М.: БАЛАСС, 2013. 96 с.
8. Дружинин В.Н. Психология общих способностей. М., 2007. 256 с.
9. Дубровина И.В., Данилова Е.Е., Прихожан А.М. Психология: Учебник для студ. сред. пед. учеб. заведений. М.: Академия, 2002. 464 с.
10. Зимняя И.А. Педагогическая психология: Учебник для вузов. 2-е изд., доп., испр. и перераб. М.: Логос, 2009. 384 с.
11. Ковальчук Н.А. Реализация системно-деятельностного подхода на уроках математики в условиях реализации ФГОС. URL: https://wsdap.ru/publikatsii/realizatsiya-sistemno-deyatelnostnogo-podkhoda-na-urokakh-matematiki-v-usloviyakh-realizatsii-fgos (дата обращения: 29.10.2025).
12. Кретова А.В. Статья «Особенности обучения математике в начальной школе в рамках ФГОС». URL: https://infourok.ru/statya-osobennosti-obucheniya-matematike-v-nachalnoy-shkole-v-ramkah-fgos-6362534.html (дата обращения: 29.10.2025).
13. Крупина В.Н. Обучение математике детей с особыми образовательными потребностями. URL: https://infourok.ru/obuchenie-matematike-detey-s-osobimi-obrazovatelnimi-potrebnostyami-4131568.html (дата обращения: 29.10.2025).
14. Лагутина Е.В. Уроки математики. 3 класс (программа 1-4). М.: Издат-Школа, 2008. 160 с.
15. Лапшина О.А. Предупреждение ошибок учащихся. URL: https://zabedu.ru/prevoshishibokuchashhihsya/ (дата обращения: 29.10.2025).
16. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. М.: Лабиринт, 2010. 304 с.
17. Маклаков А.Г. Общая психология. СПб.: Питер, 2009. 583 с.
18. Максимова Т.В., Целоусова Т.Ю. Поурочные разработки по математике. 3 класс. К учебному комплекту Л.Г. Петерсон. М.: ВАКО, 2008.
19. Методика изучения устных и письменных приемов умножения и деления. URL: https://infourok.ru/metodika-izucheniya-ustnih-i-pismennih-priemov-umnozheniya-i-deleniya-5487729.html (дата обращения: 29.10.2025).
20. Моро М.И., Бантова М.А. Математика. Учебник для 2 класса в 2 ч. М.: Просвещение, 2012. 355 с.
21. Муравина О., Муравин Г. Типичные ошибки учителей при проведении уроков математики в начальной школе. URL: https://prosv.ru/content/tipichnye-oshibki-uchiteley-pri-provedenii-urokov-matematiki-v-nachalnoy-shkole/ (дата обращения: 29.10.2025).
22. Мухина В.С. Возрастная психология. М.: Академия, 2007.
23. Немов Р.С. Психология: Учеб. пособие. М.: ВЛАДОС, 2009. 466 с.
24. О работе над ошибками при обучении математике. URL: https://kopilkaurokov.ru/nachalniyeKlassi/presentacii/o-rabotiie-nad-oshibkami-pri-obuchienii-matiematikie (дата обращения: 29.10.2025).
25. Особые образовательные потребности детей с умственной отсталостью. URL: https://uchitelya.com/psihologiya/264169-statya-osobye-obrazovatelnye-potrebnosti-detey-s-umstvennoy-otstalostyu.html (дата обращения: 29.10.2025).
26. Памятка для работы над ошибками по математике в начальной школе. URL: https://multiurok.ru/files/pamjatka-dlia-raboty-nad-oshibkami-po-matematike-v-nachalnoi-shkole.html (дата обращения: 29.10.2025).
27. Петерсон Л.Г. Математика. Учебник для 3 класса начальной школы в 3 ч. М.: Ювента, 2008.
28. Практические аспекты деятельностного подхода на уроках математики. URL: https://interactive-education.ru/articles/123/10298/ (дата обращения: 29.10.2025).
29. Психолого-педагогические аспекты обучения математике младших школьников: методические материалы на Инфоурок. URL: https://infourok.ru/psihologo-pedagogicheskie-aspekti-obucheniya-matematike-mladshih-shkolnikov-3920703.html (дата обращения: 29.10.2025).
30. Рудницкая В.Н., Юдачева Т.В. Математика: 2 класс. М.: Вентана-Граф, 2010. 325 с.
31. Рузская А.Г. Некоторые особенности воображения младших школьников. М.: Гардарики, 2009. 426 с.
32. Рубинштейн С.Л. Общая психология. М.: Академическая книга, 2009. 443 с.
33. Системно-деятельностный подход на уроках математики в начальной школе: методические материалы на Инфоурок. URL: https://infourok.ru/sistemnodeyatelnostniy-podhod-na-urokah-matematiki-v-nachalnoy-shkole-6178875.html (дата обращения: 29.10.2025).
34. Способы обучения делению многозначных чисел на двузначное число. URL: https://infourok.ru/sposoby-obucheniya-deleniyu-mnogoznachnyh-chisel-na-dvuznachnoe-chislo-1755172.html (дата обращения: 29.10.2025).
35. Сопоставительный анализ программ обучения математике в начальной школе с позиций культурно-исторического и деятельностного подходов. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/sopostavitelnyy-analiz-programm-obucheniya-matematike-v-nachalnoy-shkole-s-pozitsiy-kulturno-istoricheskogo-i-deyatelnostnogo-podhodov (дата обращения: 29.10.2025).
36. Столяренко Л.Д. Основы психологии. 6-е изд., перераб. и доп. Ростов-на-Дону: Феникс, 2011. 672 с.
37. Умножение многозначных чисел в начальных классах. URL: https://osnova.pro/obuchenie-v-sovetskoj-shkole/umnozhenie-mnogoznachnyh-chisel-v-nachalnyh-klassah/ (дата обращения: 29.10.2025).
38. Фофонова А.В. Психолого-педагогические аспекты проблемы обучения математике младших школьников. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/psihologo-pedagogicheskie-aspekty-problemy-obucheniya-matematike-mladshih-shkolnikov (дата обращения: 29.10.2025).
39. Характеристика особых образовательных потребностей детей с ограниченными возможностями здоровья с учетом специфических особенностей психофизического развития. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/harakteristika-osobyh-obrazovatelnyh-potrebnostey-detey-s-ogranichennymi-vozmozhnostyami-zdorovya-s-uchetom-spetsificheskih (дата обращения: 29.10.2025).
40. Хромина Л.Ю. Анализ программ по математике для начальной школы. URL: https://infourok.ru/analiz-programm-po-matematike-dlya-nachalnoy-shkoli-698774.html (дата обращения: 29.10.2025).
41. Якушева М.С. Доклад на тему: Методы и приёмы обучения математике детей с ОВЗ в начальной школе. URL: https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2023/11/23/doklad-na-temu-metody-i-priyomy-obucheniya-matematike-detey-s (дата обращения: 29.10.2025).
42. Ячменникова Т.С. Деятельностный подход в формировании универсальных учебных действий на уроках математики в 1 классе. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/deyatelnostnyy-podhod-v-formirovanii-universalnyh-uchebnyh-deystviy-na-urokah-matematiki-v-1-klasse (дата обращения: 29.10.2025).