Временная стоимость денег и шесть функций сложного процента: Математические основы и методология финансового анализа

Глава 1. Теоретические основы концепции временной стоимости денег

В основе современной теории финансов лежит фундаментальный принцип, который часто формулируется как аксиома: деньги, доступные сегодня, стоят дороже той же суммы денег, доступной в будущем. Этот принцип, известный как Концепция временной стоимости денег (Time Value of Money, TVM), определяет методологию принятия всех ключевых финансовых и инвестиционных решений — от оценки эффективности капитальных вложений до расчета справедливой стоимости долговых обязательств.

В контексте академического финансового анализа актуальность TVM обусловлена необходимостью приведения всех будущих денежных потоков к единому базису, что позволяет обеспечить их строгую сопоставимость. Финансовый менеджмент, оперирующий временными денежными потоками, не может существовать без аппарата наращения и дисконтирования, которые, в свою очередь, базируются на шести функциях сложного процента.

Экономическая сущность и ключевые факторы временной стоимости денег

Экономическая сущность концепции TVM проистекает из возможности сегодняшнего потребления или инвестирования. Если инвестор владеет денежной суммой сегодня, он может вложить ее, например, в банковский депозит или в прибыльный проект, чтобы получить доход (проценты) в будущем. Таким образом, будущая сумма должна быть больше текущей, чтобы компенсировать отказ от немедленного потребления и учесть возможность получения прибыли.

Экономисты выделяют три ключевых фактора, которые формируют временной лаг и влияют на разницу в ценности денег в разные моменты времени:

1. Инфляция (Inflation): Инфляция представляет собой снижение покупательной способности денежной единицы. Если уровень цен в экономике растет, то одна и та же сумма денег в будущем позволит приобрести меньшее количество товаров и услуг, чем сегодня. Следовательно, ставка процента (ставка дисконтирования) должна, как минимум, компенсировать этот инфляционный риск, сохраняя реальную покупательную способность капитала.
2. Риск (Risk/Uncertainty): Будущее получение денежных средств всегда сопряжено с риском. Существует вероятность, что контрагент (заемщик, эмитент) не выполнит свои обязательства, или проект окажется убыточным. Чем выше неопределенность, тем выше должна быть требуемая инвестором норма доходности (премия за риск), чтобы стимулировать его к инвестированию, ведь никто не хочет рисковать бесплатно.
3. Предпочтение ликвидности (Liquidity Preference): Данный фактор отражает психологическую склонность экономических агентов предпочитать текущее потребление будущему. Люди ценят возможность немедленного использования денег больше, чем отложенного, что требует дополнительной компенсации за ожидание.

Таким образом, ставка дисконтирования, используемая для приведения будущих потоков к текущей стоимости, представляет собой совокупную меру этих трех факторов.

Глава 2. Математический инструментарий для оценки денежных потоков

Ключевой задачей финансовой математики является разработка инструментов для количественной оценки временной стоимости денег. Эти инструменты основаны на методах наращения (определение будущей стоимости — FV) и дисконтирования (определение текущей стоимости — PV).

Начисление простого и сложного процента: Формулы и сравнительный анализ

Различие между простым и сложным процентом имеет принципиальное значение для оценки инвестиций.

Простой процент

При начислении простого процента процентный доход рассчитывается только от первоначальной суммы инвестиций (PV) в течение всего срока. Проценты не капитализируются. Этот метод чаще применяется для краткосрочных финансовых операций (менее одного года).

Формула наращенной (будущей) стоимости:

FVпр = PV ⋅ (1 + i ⋅ n)

Где:

• FV_пр — будущая стоимость при простом проценте;
• PV — текущая стоимость (основная сумма);
• i — периодическая ставка процента;
• n — число периодов.

Сложный процент (Компаундинг)

Сложный процент, или компаундинг, является основой финансовой математики. Его особенность заключается в том, что проценты, начисленные в предыдущем периоде, добавляются к основной сумме, и в следующем периоде они сами начинают приносить доход. Это обеспечивает экспоненциальный рост стоимости инвестиций, и именно он является ключевым источником богатства в долгосрочном инвестировании.

Формула наращенной (будущей) стоимости единовременного платежа:

FVсл = PV ⋅ (1 + i)n

При прочих равных условиях, сложный процент всегда дает более высокую будущую стоимость по сравнению с простым процентом, особенно при больших значениях n.

Сравнительный анализ:
Если проценты начисляются m раз в год (например, ежемесячно, m=12), то эффективная периодическая ставка становится i/m, а число периодов — n ⋅ m. Формула для частичной капитализации выглядит так:

FVm = PV ⋅ (1 + i/m)n ⋅ m

Именно эта формула является базовой для определения первой из шести функций сложного процента при условии единичной (годовой) капитализации (m=1).

Модель непрерывного начисления процентов

В академическом финансовом анализе и моделировании производных финансовых инструментов часто используется теоретическая модель, в которой капитализация происходит бесконечное число раз в течение периода. Эта модель называется непрерывным начислением процентов.

Математически непрерывное начисление процентов является предельным случаем формулы компаундинга, когда частота начисления m стремится к бесконечности:

FVнепр = limm→∞ PV ⋅ (1 + i/m)n ⋅ m

Согласно математическому пределу, данное выражение преобразуется с использованием константы Эйлера (e ≈ 2.71828):

FVнепр = PV ⋅ ei ⋅ n

Где:

• e — основание натурального логарифма;
• i — номинальная ставка процента (сила роста);
• n — число лет.

Модель непрерывного начисления позволяет получить максимально возможную будущую стоимость при заданной номинальной ставке и широко применяется в таких областях, как опционное ценообразование (модель Блэка-Шоулза) и продвинутая финансовая инженерия. Не стоит ли задаться вопросом, насколько велика разница между ежедневной и непрерывной капитализацией при типовых ставках?

Глава 3. Детальное исследование шести функций сложного процента

Шесть функций сложного процента представляют собой набор финансовых коэффициентов, которые позволяют быстро и эффективно решать основные задачи оценки временных денежных потоков. Эти функции систематизированы в три пары: функции единовременного платежа (наращение/дисконтирование) и две пары функций аннуитета (накопление/возмещение и текущая стоимость/амортизация).

Функции единовременного платежа (Наращение и Дисконтирование)

1. Будущая стоимость единицы (Фактор наращения, K₁)

Эта функция показывает, во что превратится одна денежная единица, инвестированная сегодня, через n периодов по ставке i.

K1 = (1 + i)n

Экономическая интерпретация: Коэффициент K₁ используется для определения будущей стоимости любого единовременного платежа (FV = PV ⋅ K1). Он отвечает на вопрос: «Сколько я получу в будущем?», позволяя оценить эффект компаундинга для разовой инвестиции.

2. Текущая стоимость единицы (Фактор дисконтирования, K₄)

Эта функция является обратной к K₁ и показывает, сколько стоит сегодня одна денежная единица, которая будет получена через n периодов.

K4 = 1 / (1 + i)n = (1 + i)-n

Экономическая интерпретация: Коэффициент K₄ используется для определения текущей стоимости любого будущего единовременного платежа (PV = FV ⋅ K4). Он является основой для расчета чистой приведенной стоимости (NPV) и отвечает на вопрос: «Сколько это стоит сегодня, с учетом риска и инфляции?». Это ключевой инструмент для сравнения инвестиций с разным сроком окупаемости.

Функции аннуитета (Накопление и Текущая стоимость)

Аннуитет — это серия равных платежей, производимых через равные промежутки времени. Различают обычный аннуитет (платежи в конце периода) и аннуитет авансом (платежи в начале периода).

3. Будущая стоимость аннуитета (Фактор накопления аннуитета, K₂)

Этот фактор показывает, какая сумма будет накоплена к концу n периодов, если в конце каждого периода вносится единичный платеж. Математически это сумма факторов наращения единицы (K₁) для всех n периодов.

Формула выводится как сумма геометрической прогрессии:

K2 = Σt=0n-1 (1 + i)t = ((1 + i)n - 1) / i

Экономическая интерпретация: K₂ используется для расчета общей суммы накоплений по пенсионным или сберегательным программам (FVann = A ⋅ K2), где A — размер периодического платежа. Этот фактор позволяет инвестору быстро оценить потенциал своих регулярных взносов.

4. Текущая стоимость аннуитета (Фактор дисконтирования аннуитета, K₅)

Этот фактор показывает текущую стоимость серии будущих равных платежей. Математически это сумма факторов дисконтирования единицы (K₄) для всех n периодов.

K5 = Σt=1n (1 + i)-t = (1 - (1 + i)-n) / i

Экономическая интерпретация: K₅ является ключевым коэффициентом в оценке облигаций, страховании и, главное, в расчете максимальной суммы кредита, которую можно получить, исходя из фиксированного периодического платежа. Общая текущая стоимость аннуитета: PVann = A ⋅ K5.

Обратные функции (Фонд возмещения и Амортизация)

Обратные функции используются для определения размера периодического платежа, необходимого для достижения заданной цели (накопления будущей суммы или погашения текущего долга).

5. Фактор фонда возмещения (Sinking Fund Factor, K₃)

Этот коэффициент является обратным к фактору будущей стоимости аннуитета (K₂):

K3 = 1 / K2 = i / ((1 + i)n - 1)

Экономическая интерпретация: K₃ показывает размер ежегодного (или периодического) взноса (A), который необходимо вносить для накопления требуемой будущей суммы (FV) к концу срока (A = FV ⋅ K3). Это используется при планировании фондов для замены оборудования или погашения крупного долга в будущем (например, при расчете резервного фонда).

6. Взнос на амортизацию единицы (Loan Amortization Factor, K₆)

Этот коэффициент является обратным к фактору текущей стоимости аннуитета (K₅):

K6 = 1 / K5 = (i ⋅ (1 + i)n) / ((1 + i)n - 1)

Экономическая интерпретация: K₆ показывает размер равновеликого периодического платежа (A), который необходим для полной амортизации текущего долга (PV) в размере единицы (A = PV ⋅ K6). Этот коэффициент лежит в основе расчета аннуитетного платежа по ипотечным и потребительским кредитам, позволяя банку точно определить график погашения.

Функция	Обозначение	Формула	Назначение
1. Будущая стоимость единицы	K1	(1 + i)n	Наращение единовременного платежа
2. Будущая стоимость аннуитета	K2	((1 + i)n — 1) / i	Накопление серии равных платежей
3. Фактор фонда возмещения	K3	i / ((1 + i)n — 1)	Расчет периодического взноса для накопления FV
4. Текущая стоимость единицы	K4	(1 + i)-n	Дисконтирование единовременного платежа
5. Текущая стоимость аннуитета	K5	(1 — (1 + i)-n) / i	Расчет PV серии равных платежей
6. Взнос на амортизацию единицы	K6	(i ⋅ (1 + i)n) / ((1 + i)n — 1)	Расчет аннуитетного платежа для погашения PV

Глава 4. Методологические аспекты учета риска и инфляции

Точность финансового анализа напрямую зависит от корректности ставки дисконтирования. В реальной экономике ставка, используемая для дисконтирования, должна отражать не только безрисковую доходность, но и инфляционные ожидания, а также премию за риск.

Учет инфляции: Номинальная и реальная ставка (Формула Фишера)

При анализе инвестиционных проектов важно различать денежные потоки, выраженные в номинальных (текущих) ценах, и денежные потоки в реальных (постоянных) ценах.

Номинальная ставка процента (i_ном) — это ставка, которую мы наблюдаем на рынке; она включает компенсацию за инфляцию.
Реальная ставка процента (i_реал) — это ставка, которая отражает истинный прирост покупательной способности капитала.

Взаимосвязь между этими показателями, а также уровнем инфляции (p), описывается известным уравнением Ирвинга Фишера:

(1 + iном) = (1 + iреал) ⋅ (1 + p)

Отсюда можно вывести формулу для расчета реальной ставки:

iреал = ((1 + iном) / (1 + p)) - 1

Правило дисконтирования:

• Если аналитик использует номинальные денежные потоки (включающие прогноз инфляции), он обязан дисконтировать их по номинальной ставке.
• Если используются реальные денежные потоки (очищенные от инфляции), они должны дисконтироваться по реальной ставке.

Применение моделей CAPM и WACC для определения ставки дисконтирования

Учет риска является критически важным элементом при определении ставки дисконтирования (R). Для крупных инвестиционных проектов или оценки активов ставку дисконтирования часто определяют, используя методологические подходы, основанные на структуре капитала компании.

Модель оценки капитальных активов (CAPM)

Модель CAPM используется для расчета требуемой нормы доходности собственного капитала (R_e), которая является частью общей ставки дисконтирования. Эта модель исходит из того, что инвестору должна быть выплачена компенсация за временную стоимость денег (безрисковая ставка) и за принятие систематического (недиверсифицируемого) риска.

Формула CAPM:

Re = Rf + β ⋅ (Rm - Rf)

Где:

• R_e — требуемая доходность собственного капитала;
• R_f — безрисковая ставка (например, доходность государственных облигаций);
• R_m — ожидаемая доходность рыночного портфеля;
• (R_m — R_f) — премия за рыночный риск;
• β (бета-коэффициент) — мера систематического риска актива, отражающая его чувствительность к колебаниям рынка.

Метод средневзвешенной стоимости капитала (WACC)

WACC (Weighted Average Cost of Capital) представляет собой минимальную норму доходности, которую должен приносить инвестиционный проект, чтобы покрыть расходы на привлечение капитала (собственного и заемного). WACC часто используется в качестве ставки дисконтирования для оценки новых проектов, если их риск соответствует среднему риску компании.

Формула WACC:

WACC = Re ⋅ (E / V) + Rd ⋅ (1 - tc) ⋅ (D / V)

Где:

• R_e — стоимость собственного капитала (часто определяется через CAPM);
• R_d — стоимость заемного капитала (процентная ставка по кредиту);
• E и D — рыночные стоимости собственного и заемного капитала;
• V — общая стоимость капитала (E + D);
• t_c — ставка налога на прибыль (учитывает налоговый щит по процентным расходам).

Применение WACC позволяет получить комплексную, научно обоснованную ставку дисконтирования, отражающую как структуру финансирования, так и рыночные риски. Это единственный способ обеспечить объективное сравнение проектов с разной структурой финансирования.

Глава 5. Практическое применение функций сложного процента

Шесть функций сложного процента составляют основу для расчета главных критериев оценки эффективности инвестиционных проектов и анализа кредитных операций.

Применение в оценке инвестиционных проектов: NPV и IRR

Наиболее важные критерии, используемые в оценке эффективности инвестиций, — Чистая приведенная стоимость (NPV) и Внутренняя норма доходности (IRR) — напрямую зависят от функций дисконтирования.

Чистая приведенная стоимость (NPV)

NPV — это разница между текущей стоимостью всех будущих чистых денежных потоков (CF_t) и первоначальными инвестиционными затратами (IC). Расчет NPV базируется на функции текущей стоимости единицы (K₄).

Формула NPV:

NPV = Σt=1n (CFt / (1 + R)t) - IC

Где:

• CF_t — чистый денежный поток периода t;
• R — ставка дисконтирования (обычно WACC);
• IC — первоначальные инвестиции.

Если денежные потоки проекта представляют собой аннуитет (равные платежи), формула упрощается с помощью фактора текущей стоимости аннуитета (K₅):

NPV = CF ⋅ K5 - IC

Критерий принятия решения: Проект принимается, если NPV > 0.

Внутренняя норма доходности (IRR)

IRR — это ставка дисконтирования, при которой NPV проекта равна нулю. Этот показатель отражает фактическую доходность проекта, выраженную в процентах.

Уравнение для нахождения IRR:

Σt=1n (CFt / (1 + IRR)t) - IC = 0

IRR находится итерационным методом или с помощью финансового калькулятора/программного обеспечения.

Критерий принятия решения: Проект принимается, если IRR > R (где R — требуемая норма доходности или WACC).

Детализированный кредитный анализ: Расчет и структура аннуитетного платежа

В кредитном анализе функция взноса на амортизацию единицы (K₆) является незаменимой для расчета размера равновеликого (аннуитетного) платежа, используемого для погашения кредита.

Пусть S — сумма займа (основной долг), i — периодическая процентная ставка (например, месячная), n — общее число платежей.

Расчет аннуитетного платежа (A):

A = S ⋅ K6 = S ⋅ (i ⋅ (1 + i)n) / ((1 + i)n - 1)

Пример расчета:
Предположим, компания берет кредит на сумму S = 1 000 000 рублей на 5 лет (60 месяцев) под 12% годовых.

1. Периодическая ставка: i = 0.12 / 12 = 0.01 (1% в месяц).
2. Число периодов: n = 60.
3. Расчет фактора амортизации (K₆):

K6 = (0.01 ⋅ (1 + 0.01)60) / ((1 + 0.01)60 - 1) ≈ (0.01 ⋅ 1.8167) / (1.8167 - 1) ≈ 0.02224

4. Расчет аннуитетного платежа (A):

A = 1 000 000 ⋅ 0.02224 = 22 240 рублей

Механизм погашения долга: Структура аннуитетного платежа

Критически важным аспектом является понимание того, как аннуитетный платеж A распределяется между погашением процентов (I_t) и основного долга (P_t).

Расчет долей в период t:

1. Проценты (I_t): Рассчитываются от остатка основного долга на начало периода (S_t-1):
   It = St-1 ⋅ i
2. Погашение основного долга (P_t): Разница между полным платежом и процентами:
   Pt = A - It
3. Остаток долга на конец периода (S_t):
   St = St-1 - Pt

Месяц (t)	Остаток долга на начало (St-1)	Проценты (It) (St-1 ⋅ 0.01)	Основной долг (Pt) (A — It)	Аннуитетный платеж (A)	Остаток долга на конец (St)
1	1 000 000.00	10 000.00	12 240.00	22 240.00	987 760.00
2	987 760.00	9 877.60	12 362.40	22 240.00	975 397.60
…
60	22 019.00	220.19	22 019.81	22 240.00	0.00

Как видно из детализации, в начальных периодах (например, месяц 1) основная часть аннуитетного платежа направляется на погашение процентов, и лишь малая доля — на погашение тела долга. По мере сокращения основного долга доля процентов уменьшается, а доля погашения основного долга растет. Этот механизм полностью объясняется математическим аппаратом функции взноса на амортизацию единицы (K₆), обеспечивая прозрачность кредитных операций.

Заключение

Концепция временной стоимости денег (TVM) является краеугольным камнем финансового менеджмента и инвестиционного анализа. Она обосновывает необходимость учета фактора времени при оценке денежных потоков, что критически важно для принятия рациональных финансовых решений.

Центральным методологическим элементом реализации концепции TVM служат шесть функций сложного процента. Они представляют собой систематизированный и взаимосвязанный набор финансовых коэффициентов, позволяющих с помощью строгих математических формул производить операции наращения и дисконтирования как единовременных платежей (K₁, K₄), так и серий равновеликих платежей — аннуитетов (K₂, K₅, K₃, K₆).

В ходе исследования было доказано, что эти функции являются не просто набором формул, а логически вытекающими математическими конструкциями: функции аннуитета выводятся из суммирования соответствующих функций единичных платежей, а обратные функции (K₃, K₆) служат для определения размера периодических взносов, необходимых для достижения финансовых целей.

Наконец, практическое значение шести функций сложного процента было продемонстрировано в ключевых областях финансового анализа:

1. Инвестиционный анализ: Факторы дисконтирования (K₄, K₅) лежат в основе расчета чистой приведенной стоимости (NPV) и определения внутренней нормы доходности (IRR), что является основным критерием оценки эффективности инвестиционных проектов.
2. Кредитный анализ: Фактор взноса на амортизацию единицы (K₆) обеспечивает методологическую базу для точного расчета аннуитетного платежа и детализированного анализа структуры погашения долга, позволяя разделять проценты и основную сумму в каждом периоде.

Таким образом, комплексное владение теоретическим аппаратом TVM и практическим инструментарием шести функций сложного процента, с учетом современных моделей определения ставки дисконтирования (CAPM, WACC) и инфляционных корректировок (Формула Фишера), является обязательным условием для осуществления профессионального финансового анализа и эффективного управления временными денежными потоками предприятия.

Список использованной литературы

1. Бреславцева Н. А. Система балансовых отчетов и концепция балансового управления экономическими процессами. Ростов-на-Дону: СКНЦ ВШ, 2007. 165 с.
2. Григорьев В. В., Островкин И. М. Оценка предприятий. Имущественный подход : Учебно-практическое пособие. М.: Дело, 2005. 224 с.
3. Григорьев В. В., Федотова М. А. Оценка предприятий: теория и практика / Под ред. В. В. Григорьева. М.: ИНФРА-М, 2006. 345 с.
4. Ковалев А. П. Рыночная стоимость имущества предприятия. М.: Финсатинформ, 2006. 80 с.
5. Коростелев С. П. Основы теории и практики оценки недвижимости : Учебное пособие. М.: Русская деловая литература, 2005. 224 с.
6. Кочович Е. Финансовая математика: теория и практика финансово-банковских расчетов : Пер. с сербск. / Предисловие Е.М. Четыркина. М: Финансы и статистика, 2004. 268 с.
7. Оценка бизнеса : Учебник / Под ред. А. Г. Грязновой, М. А. Федотовой. М.: Финансы и статистика, 2007. 512 с.
8. Оценка рыночной стоимости недвижимости. Серия «Оценочная деятельность» : Учебное и практическое пособие. М.: Дело, 2006. 384 с.
9. Попов Г. В. Основы оценки недвижимости. М.: РОО, 2005. 109 с.
10. Риполь-Сарагоси Ф. Б., Моргунов Р. В. Коментарий к составу затрат. Анализ и оценка финансового результата : Учебно-практическое пособие. М.: Экспертное бюро, 2000. 224 с.
11. Риполь-Сарагоси Ф. Б. Основы финансового и управленческого анализа. М.: Экспертное бюро, 2003. 224 с.
12. Тарасевич Е. И. Методы оценки недвижимости. СПб.: ТОО «Технобал», 2005. 264 с.
13. Фридман Дж., Ордуэй Ник. Анализ и оценка, приносящие доход недвижимости / Пер. с англ. М.: Дело Лтд, 2005. 480 с.
14. Харрисон Генри С. Оценка недвижимости : Учебное пособие / Пер. с англ. М.: РИО Мособлуприолитрафиздата, 2004. 231 с.
15. Четыркин Е. М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело Лтд, 2005. 141 с.
16. Шеннон П., Пратт. Оценка бизнеса / Под ред. В. Н. Лаврентьева. М., 2005. 203 с.
17. Шеремет А. Д., Сайфулин Р. С. Финансы предприятия. М.: Инфра-М, 2008. 343 с.
18. Основы финансовой математики в технологиях оценки Шесть функций сложного процента // Studfile.net: [сайт]. URL: https://studfile.net/ (дата обращения: 22.10.2025).
19. Модифицированные формулы шести функций сложного процента в оценочной деятельности // Moluch.ru: [сайт]. URL: https://moluch.ru/ (дата обращения: 22.10.2025).
20. Приложение 2. Таблицы шести функций сложного процента // I-bteu.by: [сайт]. URL: https://i-bteu.by/ (дата обращения: 22.10.2025).
21. Учет влияния инфляции в проектном анализе // Cfin.ru: [сайт]. URL: https://cfin.ru/ (дата обращения: 22.10.2025).
22. Дисконтирование денежных потоков DCF // Finacademy.net: [сайт]. URL: https://finacademy.net/ (дата обращения: 22.10.2025).
23. Что такое ставка дисконтирования // T-j.ru: [сайт]. URL: https://t-j.ru/ (дата обращения: 22.10.2025).
24. Как рассчитать аннуитетный платеж и стоит ли гасить кредит досрочно // GazPromBank.ru: [сайт]. URL: https://gazprombank.ru/ (дата обращения: 22.10.2025).
25. Временная ценность денег. Финансовый менеджмент: теория и практика. Ковалев // Финансовый менеджмент: [сайт]. URL: https://xn--24-6kct3an.xn--p1ai/ (дата обращения: 22.10.2025).
26. Концепция временной стоимости денег // E-xecutive.ru: [сайт]. URL: https://e-xecutive.ru/ (дата обращения: 22.10.2025).
27. Концепция временной стоимости денег и её применение в экономике // Tsu.ru: [сайт]. URL: https://tsu.ru/ (дата обращения: 22.10.2025).
28. Особенности применения простого и сложного процента при обеспечении сопоставимости денежных средств // Mi.university: [сайт]. URL: https://mi.university/ (дата обращения: 22.10.2025).
29. Инвестиционные показатели NPV и IRR в Excel // Finalytics.pro: [сайт]. URL: https://finalytics.pro/ (дата обращения: 22.10.2025).
30. Как рассчитать NPV и IRR: финанализ для бизнес-аналитика // Babok-school.ru: [сайт]. URL: https://babok-school.ru/ (дата обращения: 22.10.2025).
31. Финансовые метрики PV, NPV, IRR, XIRR, способы расчета // Infostart.ru: [сайт]. URL: https://infostart.ru/ (дата обращения: 22.10.2025).
32. Как рассчитать аннуитетный платеж по кредиту // Raiffeisen.ru: [сайт]. URL: https://raiffeisen.ru/ (дата обращения: 22.10.2025).
33. Дисконтирование денежных потоков: метод оценки и формула расчёта // Sberbank.ru: [сайт]. URL: https://sberbank.ru/ (дата обращения: 22.10.2025).
34. Аннуитетные и дифференцированные платежи // Finuslugi.ru: [сайт]. URL: https://finuslugi.ru/ (дата обращения: 22.10.2025).