Оглавление
Введение 3
1 Формула трапеций 5
1.1 Вывод основной формулы 5
1.2 Геометрический смысл формулы трапеций 6
1.3 Оценка погрешностей 7
2 Применение формулы трапеций для вычисления определенных интегралов 10
Заключение 15
Список используемой литературы 17
Содержание
Выдержка из текста
К таким проблемным интегралам можно отнести интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Часто бывает, что первообразные подынтегральных функций существуют, но сами интегралы трудно вычислимы.
В большинстве случаев встречаются определённые интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции, т. Кроме то-го, в приложениях приходится иметь дело с определёнными интегралами, сами подынтегральные функции которых не являются элементарными. В этих случаях вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница затруднительно и применяются различные методы приближенного вычисления определенных интегралов, которые основаны на том, что интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и по-зволяют определить эту сумму с приемлемой точностью
В работе требуется описать процесс вычисления определенного интеграла. Написать программную реализацию для нахождения определенного интеграла. Сравнить результаты, полученные путем вычисления определенного интеграла по разным методам, сделать выводы.
Даже если первообразная функция известна, но имеет весьма сложный и неудобный для вычисления вид, то и в этом случае применение формулы Ньютона – Лейбница крайне затруднительно. В этих случаях прибегают к приближенным методам вычисления определенного интеграла.
Точное решение интеграла должно быть найдено по формуле Ньютона — Лейбница. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов.
Соответственно с этим различают неопределенные и определённые интегралы, вычисление которых является задачей интегрального исчисления.
1) разработать схему алгоритма вычисления определенного интеграла по формуле прямоугольников (средних); 2) составить программу вычисления определенного интеграла указанным методом с погрешностью e (с автоматическим выбором шага интегрирования для обеспечения заданной точности), с учетом подсчета числа итераций n; 3) отладить и выполнить программы; 4) снять зависимости значения интеграла, n от e = 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 5) сравнить и объяснить результаты.
Цель данной курсовой работы – раскрыть понятие кратного интеграла и изучить методы его решения, а именно: метод повторного интегрирования, метод Люстерника — Диткина и вероятностный метод, — метод Монте-Карло. Изучить понятия численного интегрирования, на которых базируются понятие кратного интеграла и численные методы его решения. Исследовать простейшие квадратурные формулы интерполяционного типа — прямоугольников, трапеций, Симпсона.
Воспользуемся формулой «трех восьмых», выражающей данный интеграл через суммы значений подынтегральной функцииВычисления запишем в таблице:Составим аналогичную таблицу вычислений:
Найти интегралы:Б) по формуле трапеций S 1,356 ; по формуле Симпсона Вычислить интеграл
Вычисления производить с округлением до четвертого десятичного знака.вычислим теперь интеграл приближенно по формуле Симпсона:
В этом случае мы не можем точно вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница. Однако есть методы численного интегрирования, позволяющие получить значение определенного интеграла с требуемой степенью точности.Сначала выясним смысл метода парабол, дадим графическую иллюстрацию и выведем формулу для вычисления приближенного значения интеграла.
Вычислить приближённое значение определенного интеграла с заданной погрешностью методами Симпсона, трапеции и прямоугольников
На практике применяют апостериорные оценки погрешности интегрирования по правилу Рунге. Для этого априорные оценки погрешностей квадратурных формул записывают, выделив явно главную часть погрешности, в виде
обращайтесь, торг уместен
Список используемой литературы
1. Бахвалов Н.С. Численные методы. — М.: Наука, 1973.
2. Березин И. С, Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. — М.: Наука,
1966; Т. 2. — М.: Физматгиз, 1962.
3. Бохан К. А., Егорова И. А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. Т. 1. — М.: Просвещение, 1972.
4. Бохан К. А., Егорова И. А., Лащенов К. В. Курс математического анализа. Т. 2. — М.: Просвещение, 1972.
5. Вычислительная математика / Н.И.Данилина, Н.С.Дубровская,
О. П. Квант, ГЛ. Смирнов. — М.: Высшая школа, 1985.
6. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. —
М.: Наука, 1970.
7. В.А. Зорич. Математический анализ. Том 1. – М.: Фазис, 1997
8. Исаков, В.Б. Элементы численных методов: Учебное пособие для студентов, обучающихся по специальности Математика группы Педагогические специал. — М.: Академия, 2003
список литературы