Содержание
397.
F=(yz+3x)i+(z^2 x+y)j+y^2k
(p) x+2y+z=2
Даны вектор и плоскость . Плоскость вместе с координатными плоскостями образует пирамиду. Требуется:
1. Найти поток вектора через плоскость треугольника, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями.
2. Найти поток вектора через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали с помощью формулы Остроградского-Гаусса. Сделать чертеж.
3. Найти циркуляцию вектора вдоль линии пересечения плоскости с координатными плоскостями.
407.
F=(5x+4yz)i+(5y+4xz)j+(5z+4xy)k
Проверить будет ли векторное поле потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал.
417.
w=2z^2-iz, z0=1-i
1. Представить заданную функцию w=f(z),где z=x+iy, в виде w=u(x,y)+iv(x,y).
2. Проверить, является ли она аналитической в точке z0.
3. Если функция w аналитическая в точке z0, то найти ее производную в этой точке.
427.
Используя вычеты, вычислить интеграл по замкнутому контуру L.
437.
y»+9y=cos3t, y(0)=1, y'(0)=0.
Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, с помощью преобразования Лапласа (операционным методом).
447.
Найти преобразование Фурье непосредственно и по связи с преобразованием Лапласа.
457. Студент знает k=30 вопросов из n=45 вопросов программы. Экзаменатор задает три произвольных вопроса из имеющихся. Найти вероятность того, что студент знает ответы а) на все три вопроса; б) только на два вопроса; в) только на один вопрос; г) не знает ответа ни на один из заданных вопросов.
467. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна р1=0,5 вторым — р2=0,7 третьим р3=0,8. Найти вероятность того, что: а) только два стрелка попали в цель; б) все три стрелка попали в цель
477. Куплено n=15 лотерейных билетов. Вероятность выигрыша на один лотерейный билет р=0,3. Найти а) вероятность того, что из n билетов k=3 билетов выиграют; б) наивероятнейшее число выигрышных билетов.
487. Дискретная случайная величина может принимать только два значения: х1 и х2 причем х1
497. Непрерывная случайная величина X задана своей плотностью распределения вероятностей f(х). Требуется:
1) определить коэффициент А;
2) найти функцию распределения F(х);
3) схематично построить графики функций f(x) и F(х);
4) вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X;
5) определить вероятность того, что X примет значения из интервала
(α, β).
507. Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, если известна выборочная средняя =60.24 , объем выборки n=100 и среднее квадратическое отклонение σ=7.
517. Данные наблюдений над двумерной случайной величиной (Х,У) представлены в корреляционной таблице. Найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X:
У X678910nУ
225—7
3-386-17
4-459-18
5—358
nх2121318550
527. Требуется при уровне значимости α = 0,05 проверить по кри¬терию согласия Пирсона гипотезу о нормальном распределении генераль¬ной совокупности. Если известны эмпирические частоты ni и теоретиче¬ские частоты ni
ni615162619126
ni517132521127
Выдержка из текста
397.
Даны вектор и плоскость . Плоскость вместе с координатными плоскостями образует пирамиду. Требуется:
1. Найти поток вектора через плоскость треугольника, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями.
2. Найти поток вектора через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали с помощью формулы Остроградского-Гаусса. Сделать чертеж.
3. Найти циркуляцию вектора вдоль линии пересечения плоскости с координатными плоскостями.
Решение:
1. Для решения этой задачи будем использовать формулу: поток векторного поля через поверхность S в сторону внешней нормали
, следовательно, ,
поверхность есть треугольник, вырезанный из плоскости координатными плоскостями, образованный точками (0;0;2), (2;0;0), (0;1;0), имеем , тогда для данного векторного поля получаем:
.
2. Найдем поток вектора через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали с помощью формулы Остроградского-Гаусса:
, найдем дивергенцию вектора : ,
, , , тогда , следовательно,
.
Сделаем чертеж:
407.
Проверить будет ли векторное поле потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал.
Решение:
Вычислим ротор векторного поля: , для этого находим частные производные:
, , , , , , следовательно, получим:
, данное поле безвихревое, а значит потенциальное. Найдем его потенциал:
,
где .
Векторное поле называется соленоидальным, если , проверим это:
, т.е. находим:
, , , тогда , следовательно, данное поле несоленоидальное.