Пример готовой курсовой работы по предмету: Высшая математика
Содержание
Задание № 1
z 1 = 5 — 12 • i
z 2 = 1 + i
Операции:
1) Сложение комплексных чисел ( z 1 + z 2 )
z 1 + z 2 = ( 5 + 1 ) + ( -12 + 1 ) • i = 6 — 11 • i
2) Вычитание комплексных чисел ( z 1 — z 2 )
z 1 — z 2 = ( 5 — 1 ) + ( -12 — 1 ) • i = 4 — 13 • i
3) Умножение комплексных чисел ( z 1 • z 2 )
z 1 • z 2 = ( x 1 + y 1 • i ) • ( x 2 + y 2 • i ) = x 1x 2 — y 1y 2 + (x 1y 2 + y 1x 2) • i
z 1 • z 2 = ( 5 — 12 • i ) • ( 1 + i ) = 17 — 7 • i
4) Деление комплексных чисел ( z 1 / z 2 )
z 1 = 5 — 12 • i = (5 — 12 • i) • (1 — i) = -7 — 17 • i = -7 — 17 • i
z 2 1 + i (1 + i) • (1 — i) (1)2 + (1)2 2
z 1 = -7 — 17 • i = -3.5 — 8.5 • i
z 2 2
5) Возведение комплексных числа в степень ( z 23 )
z = 1 + i
n = 3
Решение:
z 23 = (1+i)3 = 1 + 3i + 3i 2 + i 3 = 1 + 3i – 3 – 1 = -2 + 2i
6) Извлечь корень из комплексного числа
1 =
Тригонометрическая форма числа
По формуле корня n-ой степени из комплексного числа
, где k = 0, 1, … , n-1
При n=2получаем:
, где k = 0, 1
Тогда
Задание № 2
Метод Гаусса
Решение:
Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом Гаусса
1 3 5 -3
2 -4 1 2
3 -1 1 5
от 2; 3 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 2; 3
1 3 5 -3
0 -10 -9 8
0 -10 -14 14
2-ую строку делим на -10
1 3 5 -3
0 1 0.9 -0.8
0 -10 -14 14
от 1; 3 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 3;
- 10
1 0 2.3 -0.6
0 1 0.9 -0.8
0 0 -5 6
3-ую строку делим на -5
1 0 2.3 -0.6
0 1 0.9 -0.8
0 0 1 -1.2
от 1; 2 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на 2.3; 0.9
1 0 0 2.16
0 1 0 0.28
0 0 1 -1.2
Ответ:
x 1 = 2.16
x 2 = 0.28
x 3 = -1.2
Метод Крамера
Решение:
∆ = 1 3 5
2 -4 1
3 -1 1
= 50
∆1 = -3 3 5
2 -4 1
5 -1 1
= 108
∆2 = 1 -3 5
2 2 1
3 5 1
= 14
∆3 = 1 3 -3
2 -4 2
3 -1 5
= -60
x
1 = ∆1 = 108 = 54
25
∆ 50
x
2 = ∆2 = 14 = 7
25
∆ 50
x
3 = ∆3 = -60 = — 6
5
∆ 50
метод обратной матрицы
Решение:
A= 1 3 5
2 -4 1
3 -1 1
B= -3
2
5
X= x
1
x
2
x
3
A • X = B
значит
X = A-1 х B
Найдем детерминант матрицы А
det A = 50
Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы А
M1,1 = (-1)1+1 -4 1
-1 1
= -3
M1,2 = (-1)1+2 2 1
3 1
= 1
M1,3 = (-1)1+3 2 -4
3 -1
= 10
M2,1 = (-1)2+1 3 5
-1 1
= -8
M2,2 = (-1)2+2 1 5
3 1
= -14
M2,3 = (-1)2+3 1 3
3 -1
= 10
M3,1 = (-1)3+1 3 5
-4 1
= 23
M3,2 = (-1)3+2 1 5
2 1
= 9
M3,3 = (-1)3+3 1 3
2 -4
= -10
C* = -3 1 10
-8 -14 10
23 9 -10
C*T = -3 -8 23
1 -14 9
10 10 -10
Найдем обратную матрицу
A-1 = C*T =
det A
-3/50 -4/25 23/50
1/50 -7/25 9/50
1/5 1/5 -1/5
Найдем решение
X = A-1 • B = -3/50 -4/25 23/50
1/50 -7/25 9/50
1/5 1/5 -1/5
• -3
2
5
= 2.16
0.28
-1.2
Ответ: x 1 = 2.16 , x 2 = 0.28 , x 3 = -1.2 .
Задание № 3
Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли. Выпишем расширенную и основную матрицы:
Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Умножим 2-ую строку на
2. Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на
5. Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Умножим 1-ую строку на (-3).
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля, причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) =
2. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x,y, значит, неизвестные x,y – зависимые (базисные), а z – свободнoе.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
Методом исключения неизвестных находим общее решение:
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения.
Необходимо переменную принять в качестве свободной переменной и через нее выразить базисные.
Приравняем переменную к
0. Тогда
Задание № 4
Даны координаты вершин треугольника ABC: A(-1,1), B(1,5), C(2,1).
Пользуясь аппаратом аналитической геометрии, найдите:
1) длины сторон треугольника,
Расстояние d между точками M1(x 1; y 1) и M2(x 2; y
2. определяется по формуле:
2) величину угла BAC треугольника,
Угол между векторами (X1;Y1), (X2;Y2) можно найти по формуле:
где = X1X2 + Y1Y2
Найдем угол между векторами (2;4) и (3;0)
Тогда γ = arccos(0.45) = 63.440
3) длину медианы AM,
Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
,
M(3/2;3)
Найдем длину медианы.
4) площадь треугольника,
Пусть точки A1(x 1; y 1), A2(x 2; y 2), A3(x 3; y 3) — вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:
По формуле получаем:
кв. ед
5) объем пирамиды, построенной на векторах AB, AC и ABхAC,
6) уравнение стороны AB,
Прямая, проходящая через точки A1(x 1; y 1) и A2(x 2; y 2), представляется уравнениями:
Каноническое уравнение прямой AB:
или y = 2x + 3 или y -2x — 3 = 0
7) уравнение высоты CH,
Прямая, проходящая через точку N0(x 0;y 0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Найдем уравнение высоты через вершину C :
у = -1/2x + 2 или 2y +x -4 = 0
8) длину высоты CH
Расстояние d от точки M1(x 1;y
1. до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:
Найдем расстояние между точкой C(2;1) и прямой AB (y -2x — 3 = 0)
Задание № 5
Даны 3 вектора
Для какого значения х они будут линейно зависимыми?
Если три вектора линейно зависимы, то они компланарны, т.е.
1+x = 0
x= -1
Задание № 6
Найти собственные значения и собственные векторы оператора А, заданного в некотором базисе матрицей
Составляем характеристическое уравнение и находим его решение:
Собственные значения:
Найдем собственные вектора:
Собственные вектора:
Задание № 7
Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.
Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при
Решив это уравнение, получим 1 = 1, 2 = 11.
Найдем координаты собственных векторов:
полагая m 1 =
1. получим n 1 =
полагая m 2 =
1. получим n 2 =
Собственные векторы:
Находим координаты единичных векторов нового базиса.
Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:
Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:
Выдержка из текста
Задание № 1
z 1 = 5 — 12 • i
z 2 = 1 + i
Операции:
1) Сложение комплексных чисел ( z 1 + z 2 )
z 1 + z 2 = ( 5 + 1 ) + ( -12 + 1 ) • i = 6 — 11 • i
2) Вычитание комплексных чисел ( z 1 — z 2 )
z 1 — z 2 = ( 5 — 1 ) + ( -12 — 1 ) • i = 4 — 13 • i
3) Умножение комплексных чисел ( z 1 • z 2 )
z 1 • z 2 = ( x 1 + y 1 • i ) • ( x 2 + y 2 • i ) = x 1x 2 — y 1y 2 + (x 1y 2 + y 1x 2) • i
z 1 • z 2 = ( 5 — 12 • i ) • ( 1 + i ) = 17 — 7 • i
4) Деление комплексных чисел ( z 1 / z 2 )
z 1 = 5 — 12 • i = (5 — 12 • i) • (1 — i) = -7 — 17 • i = -7 — 17 • i
z 2 1 + i (1 + i) • (1 — i) (1)2 + (1)2 2
z 1 = -7 — 17 • i = -3.5 — 8.5 • i
z 2 2
5) Возведение комплексных числа в степень ( z 23 )
z = 1 + i
n = 3
Решение:
z 23 = (1+i)3 = 1 + 3i + 3i 2 + i 3 = 1 + 3i – 3 – 1 = -2 + 2i
6) Извлечь корень из комплексного числа
1 =
Тригонометрическая форма числа
По формуле корня n-ой степени из комплексного числа
, где k = 0, 1, … , n-1
При n=2получаем:
, где k = 0, 1
Тогда
Задание № 2
Метод Гаусса
Решение:
Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом Гаусса
1 3 5 -3
2 -4 1 2
3 -1 1 5
от 2; 3 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 2; 3
1 3 5 -3
0 -10 -9 8
0 -10 -14 14
2-ую строку делим на -10
1 3 5 -3
0 1 0.9 -0.8
0 -10 -14 14
от 1; 3 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 3;
- 10
1 0 2.3 -0.6
0 1 0.9 -0.8
0 0 -5 6
3-ую строку делим на -5
1 0 2.3 -0.6
0 1 0.9 -0.8
0 0 1 -1.2
от 1; 2 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на 2.3; 0.9
1 0 0 2.16
0 1 0 0.28
0 0 1 -1.2
Ответ:
x 1 = 2.16
x 2 = 0.28
x 3 = -1.2
Метод Крамера
Решение:
∆ = 1 3 5
2 -4 1
3 -1 1
= 50
∆1 = -3 3 5
2 -4 1
5 -1 1
= 108
∆2 = 1 -3 5
2 2 1
3 5 1
= 14
∆3 = 1 3 -3
2 -4 2
3 -1 5
= -60
x
1 = ∆1 = 108 = 54
25
∆ 50
x
2 = ∆2 = 14 = 7
25
∆ 50
x
3 = ∆3 = -60 = — 6
5
∆ 50
метод обратной матрицы
Решение:
A= 1 3 5
2 -4 1
3 -1 1
B= -3
2
5
X= x
1
x
2
x
3
A • X = B
значит
X = A-1 х B
Найдем детерминант матрицы А
det A = 50
Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы А
M1,1 = (-1)1+1 -4 1
-1 1
= -3
M1,2 = (-1)1+2 2 1
3 1
= 1
M1,3 = (-1)1+3 2 -4
3 -1
= 10
M2,1 = (-1)2+1 3 5
-1 1
= -8
M2,2 = (-1)2+2 1 5
3 1
= -14
M2,3 = (-1)2+3 1 3
3 -1
= 10
M3,1 = (-1)3+1 3 5
-4 1
= 23
M3,2 = (-1)3+2 1 5
2 1
= 9
M3,3 = (-1)3+3 1 3
2 -4
= -10
C* = -3 1 10
-8 -14 10
23 9 -10
C*T = -3 -8 23
1 -14 9
10 10 -10
Найдем обратную матрицу
A-1 = C*T =
det A
-3/50 -4/25 23/50
1/50 -7/25 9/50
1/5 1/5 -1/5
Найдем решение
X = A-1 • B = -3/50 -4/25 23/50
1/50 -7/25 9/50
1/5 1/5 -1/5
• -3
2
5
= 2.16
0.28
-1.2
Ответ: x 1 = 2.16 , x 2 = 0.28 , x 3 = -1.2 .
Задание № 3
Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли. Выпишем расширенную и основную матрицы:
Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Умножим 2-ую строку на
2. Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на
5. Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Умножим 1-ую строку на (-3).
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля, причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) =
2. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x,y, значит, неизвестные x,y – зависимые (базисные), а z – свободнoе.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
Методом исключения неизвестных находим общее решение:
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения.
Необходимо переменную принять в качестве свободной переменной и через нее выразить базисные.
Приравняем переменную к
0. Тогда
Задание № 4
Даны координаты вершин треугольника ABC: A(-1,1), B(1,5), C(2,1).
Пользуясь аппаратом аналитической геометрии, найдите:
1) длины сторон треугольника,
Расстояние d между точками M1(x 1; y 1) и M2(x 2; y
2. определяется по формуле:
2) величину угла BAC треугольника,
Угол между векторами (X1;Y1), (X2;Y2) можно найти по формуле:
где = X1X2 + Y1Y2
Найдем угол между векторами (2;4) и (3;0)
Тогда γ = arccos(0.45) = 63.440
3) длину медианы AM,
Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
,
M(3/2;3)
Найдем длину медианы.
4) площадь треугольника,
Пусть точки A1(x 1; y 1), A2(x 2; y 2), A3(x 3; y 3) — вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:
По формуле получаем:
кв. ед
5) объем пирамиды, построенной на векторах AB, AC и ABхAC,
6) уравнение стороны AB,
Прямая, проходящая через точки A1(x 1; y 1) и A2(x 2; y 2), представляется уравнениями:
Каноническое уравнение прямой AB:
или y = 2x + 3 или y -2x — 3 = 0
7) уравнение высоты CH,
Прямая, проходящая через точку N0(x 0;y 0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Найдем уравнение высоты через вершину C :
у = -1/2x + 2 или 2y +x -4 = 0
8) длину высоты CH
Расстояние d от точки M1(x 1;y
1. до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:
Найдем расстояние между точкой C(2;1) и прямой AB (y -2x — 3 = 0)
Задание № 5
Даны 3 вектора
Для какого значения х они будут линейно зависимыми?
Если три вектора линейно зависимы, то они компланарны, т.е.
1+x = 0
x= -1
Задание № 6
Найти собственные значения и собственные векторы оператора А, заданного в некотором базисе матрицей
Составляем характеристическое уравнение и находим его решение:
Собственные значения:
Найдем собственные вектора:
Собственные вектора:
Задание № 7
Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.
Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при
Решив это уравнение, получим 1 = 1, 2 = 11.
Найдем координаты собственных векторов:
полагая m 1 =
1. получим n 1 =
полагая m 2 =
1. получим n 2 =
Собственные векторы:
Находим координаты единичных векторов нового базиса.
Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:
Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:
Список использованной литературы
Учебники по математике
