Содержание

Задание №1

z1 = 5 — 12 • i

z2 = 1 + i

Операции:

1) Сложение комплексных чисел ( z1 + z2 )

z1 + z2 = ( 5 + 1 ) + ( -12 + 1 ) • i = 6 — 11 • i

2) Вычитание комплексных чисел ( z1 — z2 )

z1 — z2 = ( 5 — 1 ) + ( -12 — 1 ) • i = 4 — 13 • i

3) Умножение комплексных чисел ( z1 • z2 )

z1 • z2 = ( x1 + y1 • i ) • ( x2 + y2 • i ) = x1x2 — y1y2 + (x1y2 + y1x2) • i

z1 • z2 = ( 5 — 12 • i ) • ( 1 + i ) = 17 — 7 • i

4) Деление комплексных чисел ( z1 / z2 )

z1 = 5 — 12 • i = (5 — 12 • i) • (1 — i) = -7 — 17 • i = -7 — 17 • i

z2 1 + i (1 + i) • (1 — i) (1)2 + (1)2 2

z1 = -7 — 17 • i = -3.5 — 8.5 • i

z2 2

5) Возведение комплексных числа в степень ( z23 )

z = 1 + i

n = 3

Решение:

z23 = (1+i)3 = 1 + 3i + 3i2 + i3 = 1 + 3i – 3 – 1 = -2 + 2i

6) Извлечь корень из комплексного числа

1 =

Тригонометрическая форма числа

По формуле корня n-ой степени из комплексного числа

, где k = 0, 1, … , n-1

При n=2получаем:

, где k = 0, 1

Тогда

Задание № 2

Метод Гаусса

Решение:

Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом Гаусса

1 3 5 -3

2 -4 1 2

3 -1 1 5

от 2; 3 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 2; 3

1 3 5 -3

0 -10 -9 8

0 -10 -14 14

2-ую строку делим на -10

1 3 5 -3

0 1 0.9 -0.8

0 -10 -14 14

от 1; 3 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 3; -10

1 0 2.3 -0.6

0 1 0.9 -0.8

0 0 -5 6

3-ую строку делим на -5

1 0 2.3 -0.6

0 1 0.9 -0.8

0 0 1 -1.2

от 1; 2 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на 2.3; 0.9

1 0 0 2.16

0 1 0 0.28

0 0 1 -1.2

Ответ:

x1 = 2.16

x2 = 0.28

x3 = -1.2

Метод Крамера

Решение:

∆ = 1 3 5

2 -4 1

3 -1 1

= 50

∆1 = -3 3 5

2 -4 1

5 -1 1

= 108

∆2 = 1 -3 5

2 2 1

3 5 1

= 14

∆3 = 1 3 -3

2 -4 2

3 -1 5

= -60

x

1 = ∆1 = 108 = 54

25

∆ 50

x

2 = ∆2 = 14 = 7

25

∆ 50

x

3 = ∆3 = -60 = — 6

5

∆ 50

метод обратной матрицы

Решение:

A= 1 3 5

2 -4 1

3 -1 1

B= -3

2

5

X= x

1

x

2

x

3

A • X = B

значит

X = A-1 х B

Найдем детерминант матрицы А

det A = 50

Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы А

M1,1 = (-1)1+1 -4 1

-1 1

= -3

M1,2 = (-1)1+2 2 1

3 1

= 1

M1,3 = (-1)1+3 2 -4

3 -1

= 10

M2,1 = (-1)2+1 3 5

-1 1

= -8

M2,2 = (-1)2+2 1 5

3 1

= -14

M2,3 = (-1)2+3 1 3

3 -1

= 10

M3,1 = (-1)3+1 3 5

-4 1

= 23

M3,2 = (-1)3+2 1 5

2 1

= 9

M3,3 = (-1)3+3 1 3

2 -4

= -10

C* = -3 1 10

-8 -14 10

23 9 -10

C*T = -3 -8 23

1 -14 9

10 10 -10

Найдем обратную матрицу

A-1 = C*T =

det A

-3/50 -4/25 23/50

1/50 -7/25 9/50

1/5 1/5 -1/5

Найдем решение

X = A-1 • B = -3/50 -4/25 23/50

1/50 -7/25 9/50

1/5 1/5 -1/5

• -3

2

5

= 2.16

0.28

-1.2

Ответ: x1 = 2.16 , x2 = 0.28 , x3 = -1.2 .

Задание № 3

Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли. Выпишем расширенную и основную матрицы:

Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.

Умножим 2-ую строку на 2. Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на 5. Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (-3). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля, причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 2. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.

Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x,y, значит, неизвестные x,y – зависимые (базисные), а z – свободнoе.

Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:

Методом исключения неизвестных находим общее решение:

Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения.

Необходимо переменную принять в качестве свободной переменной и через нее выразить базисные.

Приравняем переменную к 0. Тогда

Задание № 4

Даны координаты вершин треугольника ABC: A(-1,1), B(1,5), C(2,1).

Пользуясь аппаратом аналитической геометрии, найдите:

1) длины сторон треугольника,

Расстояние d между точками M1(x1; y1) и M2(x2; y2) определяется по формуле:

2) величину угла BAC треугольника,

Угол между векторами (X1;Y1), (X2;Y2) можно найти по формуле:

где = X1X2 + Y1Y2

Найдем угол между векторами (2;4) и (3;0)

Тогда γ = arccos(0.45) = 63.440

3) длину медианы AM,

Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.

,

M(3/2;3)

Найдем длину медианы.

4) площадь треугольника,

Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) — вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

По формуле получаем:

кв. ед

5) объем пирамиды, построенной на векторах AB, AC и ABхAC,

6) уравнение стороны AB,

Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:

Каноническое уравнение прямой AB:

или y = 2x + 3 или y -2x — 3 = 0

7) уравнение высоты CH,

Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Найдем уравнение высоты через вершину C :

у = -1/2x + 2 или 2y +x -4 = 0

8) длину высоты CH

Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:

Найдем расстояние между точкой C(2;1) и прямой AB (y -2x — 3 = 0)

Задание № 5

Даны 3 вектора

Для какого значения х они будут линейно зависимыми?

Если три вектора линейно зависимы, то они компланарны, т.е.

1+x = 0

x= -1

Задание № 6

Найти собственные значения и собственные векторы оператора А, заданного в некотором базисе матрицей

Составляем характеристическое уравнение и находим его решение:

Собственные значения:

Найдем собственные вектора:

Собственные вектора:

Задание № 7

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при

Решив это уравнение, получим 1 = 1, 2 = 11.

Найдем координаты собственных векторов:

полагая m1 = 1, получим n1 =

полагая m2 = 1, получим n2 =

Собственные векторы:

Находим координаты единичных векторов нового базиса.

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

Выдержка из текста

Задание №1

z1 = 5 — 12 • i

z2 = 1 + i

Операции:

1) Сложение комплексных чисел ( z1 + z2 )

z1 + z2 = ( 5 + 1 ) + ( -12 + 1 ) • i = 6 — 11 • i

2) Вычитание комплексных чисел ( z1 — z2 )

z1 — z2 = ( 5 — 1 ) + ( -12 — 1 ) • i = 4 — 13 • i

3) Умножение комплексных чисел ( z1 • z2 )

z1 • z2 = ( x1 + y1 • i ) • ( x2 + y2 • i ) = x1x2 — y1y2 + (x1y2 + y1x2) • i

z1 • z2 = ( 5 — 12 • i ) • ( 1 + i ) = 17 — 7 • i

4) Деление комплексных чисел ( z1 / z2 )

z1 = 5 — 12 • i = (5 — 12 • i) • (1 — i) = -7 — 17 • i = -7 — 17 • i

z2 1 + i (1 + i) • (1 — i) (1)2 + (1)2 2

z1 = -7 — 17 • i = -3.5 — 8.5 • i

z2 2

5) Возведение комплексных числа в степень ( z23 )

z = 1 + i

n = 3

Решение:

z23 = (1+i)3 = 1 + 3i + 3i2 + i3 = 1 + 3i – 3 – 1 = -2 + 2i

6) Извлечь корень из комплексного числа

1 =

Тригонометрическая форма числа

По формуле корня n-ой степени из комплексного числа

, где k = 0, 1, … , n-1

При n=2получаем:

, где k = 0, 1

Тогда

Задание № 2

Метод Гаусса

Решение:

Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом Гаусса

1 3 5 -3

2 -4 1 2

3 -1 1 5

от 2; 3 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 2; 3

1 3 5 -3

0 -10 -9 8

0 -10 -14 14

2-ую строку делим на -10

1 3 5 -3

0 1 0.9 -0.8

0 -10 -14 14

от 1; 3 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 3; -10

1 0 2.3 -0.6

0 1 0.9 -0.8

0 0 -5 6

3-ую строку делим на -5

1 0 2.3 -0.6

0 1 0.9 -0.8

0 0 1 -1.2

от 1; 2 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на 2.3; 0.9

1 0 0 2.16

0 1 0 0.28

0 0 1 -1.2

Ответ:

x1 = 2.16

x2 = 0.28

x3 = -1.2

Метод Крамера

Решение:

∆ = 1 3 5

2 -4 1

3 -1 1

= 50

∆1 = -3 3 5

2 -4 1

5 -1 1

= 108

∆2 = 1 -3 5

2 2 1

3 5 1

= 14

∆3 = 1 3 -3

2 -4 2

3 -1 5

= -60

x

1 = ∆1 = 108 = 54

25

∆ 50

x

2 = ∆2 = 14 = 7

25

∆ 50

x

3 = ∆3 = -60 = — 6

5

∆ 50

метод обратной матрицы

Решение:

A= 1 3 5

2 -4 1

3 -1 1

B= -3

2

5

X= x

1

x

2

x

3

A • X = B

значит

X = A-1 х B

Найдем детерминант матрицы А

det A = 50

Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы А

M1,1 = (-1)1+1 -4 1

-1 1

= -3

M1,2 = (-1)1+2 2 1

3 1

= 1

M1,3 = (-1)1+3 2 -4

3 -1

= 10

M2,1 = (-1)2+1 3 5

-1 1

= -8

M2,2 = (-1)2+2 1 5

3 1

= -14

M2,3 = (-1)2+3 1 3

3 -1

= 10

M3,1 = (-1)3+1 3 5

-4 1

= 23

M3,2 = (-1)3+2 1 5

2 1

= 9

M3,3 = (-1)3+3 1 3

2 -4

= -10

C* = -3 1 10

-8 -14 10

23 9 -10

C*T = -3 -8 23

1 -14 9

10 10 -10

Найдем обратную матрицу

A-1 = C*T =

det A

-3/50 -4/25 23/50

1/50 -7/25 9/50

1/5 1/5 -1/5

Найдем решение

X = A-1 • B = -3/50 -4/25 23/50

1/50 -7/25 9/50

1/5 1/5 -1/5

• -3

2

5

= 2.16

0.28

-1.2

Ответ: x1 = 2.16 , x2 = 0.28 , x3 = -1.2 .

Задание № 3

Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли. Выпишем расширенную и основную матрицы:

Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.

Умножим 2-ую строку на 2. Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на 5. Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (-3). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля, причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 2. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.

Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x,y, значит, неизвестные x,y – зависимые (базисные), а z – свободнoе.

Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:

Методом исключения неизвестных находим общее решение:

Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения.

Необходимо переменную принять в качестве свободной переменной и через нее выразить базисные.

Приравняем переменную к 0. Тогда

Задание № 4

Даны координаты вершин треугольника ABC: A(-1,1), B(1,5), C(2,1).

Пользуясь аппаратом аналитической геометрии, найдите:

1) длины сторон треугольника,

Расстояние d между точками M1(x1; y1) и M2(x2; y2) определяется по формуле:

2) величину угла BAC треугольника,

Угол между векторами (X1;Y1), (X2;Y2) можно найти по формуле:

где = X1X2 + Y1Y2

Найдем угол между векторами (2;4) и (3;0)

Тогда γ = arccos(0.45) = 63.440

3) длину медианы AM,

Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.

,

M(3/2;3)

Найдем длину медианы.

4) площадь треугольника,

Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) — вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

По формуле получаем:

кв. ед

5) объем пирамиды, построенной на векторах AB, AC и ABхAC,

6) уравнение стороны AB,

Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:

Каноническое уравнение прямой AB:

или y = 2x + 3 или y -2x — 3 = 0

7) уравнение высоты CH,

Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Найдем уравнение высоты через вершину C :

у = -1/2x + 2 или 2y +x -4 = 0

8) длину высоты CH

Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:

Найдем расстояние между точкой C(2;1) и прямой AB (y -2x — 3 = 0)

Задание № 5

Даны 3 вектора

Для какого значения х они будут линейно зависимыми?

Если три вектора линейно зависимы, то они компланарны, т.е.

1+x = 0

x= -1

Задание № 6

Найти собственные значения и собственные векторы оператора А, заданного в некотором базисе матрицей

Составляем характеристическое уравнение и находим его решение:

Собственные значения:

Найдем собственные вектора:

Собственные вектора:

Задание № 7

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при

Решив это уравнение, получим 1 = 1, 2 = 11.

Найдем координаты собственных векторов:

полагая m1 = 1, получим n1 =

полагая m2 = 1, получим n2 =

Собственные векторы:

Находим координаты единичных векторов нового базиса.

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

Список использованной литературы

Учебники по математике

Похожие записи