Содержание
Вариант № 1
1. Из 100 изделий, среди которых имеется 6 нестандартных, вы¬браны случайным образом 6 изделий для проверки их качества. Опреде¬лить вероятность того, что среди выбранных 6 изделий окажется ровно 1 нестандартное изделие, используя классическое определение вероят¬ности, формулу Бернулли, формулу Пуассона и локальную теорему Ла¬пласа.
2. Система Sсостоит из четырех независимых подсистем Sa, Sb, Scи Sd.Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Подсистемы Saи Sbсостоят из двух независимых дублирующих блоков akи bk(к = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах).
Найти надежность системы — вероятность того, что система будет исправна в течение некоторого времени, если известны надежности блоков Р(ак) = 0.8, P(bk) = 0.9, P(c) = 0.99, P(d) = 0.95.
3. Дана система из двух блоков а и b, соединенных последова¬тельно в смысле надежности. Каждый из двух блоков может работать независимо от другого в трех разных режимах. Вероятность наступле¬ния первого режима 0.2, второго 0.5, третьего 0.3. Надежность работы первого блока в 1 — м, 2 — м, 3 — м режимах равна соответственно 0.9; 0.8; 0.7. Надежность работы второго блока в 1 — м, 2 — м, 3 — м режимах равна соответственно 0.9; 0.9; 0.8. Найти надежность системы, если блоки независимы.4. Передается 6 сообщений по каналу связи. Каждое сообщение с вероятностью p= 0.2 независимо от других искажается. Случайная ве¬личина Х — число искаженных сообщений. Построить ее законы распре¬деления, их графики, найти ее числовые характеристики. Найти вероят¬ность того, что будет искажено не менее двух сообщений.
Задана плотность распределения f(x)случайной величины Х:
f(x)={■(2A cos2x,&если |x|≤π/[email protected],&если |x|≥π/4)┤
Требуется найти коэффициент А, построить график плотности рас¬пределения f(x),найти функцию распределения F(x)и построить ее гра¬фик, найти вероятность попадания величины Х на участок от 0 до 0.5. Найти числовые характеристики случайной величины Х.
6. По выборке объема n = 100 построен рядраспределения:
Xi 1 3 5 7 9 11 13
Pi 0.07 0.09 0.14 0.21 0.25 0.18 0.06
Построить гистограмму, полигон и эмпирическую функцию рас-пределения. Найти точечные оценки математического ожидания, дис¬персии, среднеквадратичного отклонения, асимметрии и эксцесса.
Какова вероятность того, что среднеарифметическое из n= 16 измерений для выборки из нормального распределения отличается от истинного значения не более, чем на ε = 2, если 1) σ = 4, 2) s= 4.
8. По результатам эксперимента получена таблица наблюденийсистемы случайных величин (X,Y):
Y X
1 2 3 4 5 6
-1 0.02 0.025 0.03 0.02 0.0 0.0
-2 0.0 0.10 0.06 0.12 0.02 0.0
-3 0.0 0.0 0.05 0.09 0.13 0.03
-4 0.0 0.0 0.01 0.05 0.065 0.09
-5 0.0 0.0 0.0 0.02 0.04 0.03
Оценить данную матрицу распределения (X, Y)на регрессию видовf(x) = А0 + A1xи f(x)=А0 + A1x + A2x2.
По двум независимым выборкам объемов nx=12 и ny=8нор¬мальных распределений найдены выборочные значениями математиче¬ских ожиданий x ̅=15.3 и y ̅=16.5и исправленные выборочные дисперсии s_x^2=0.47 и s_y^2=0.54. При уровне значимости проверить нулевую гипотезу H_0:m_X=m_y при конкурирующей гипотезе H_1:m_X<m_y.
По критерию Пирсона при уровне значимости α= 0.025 прове¬рить гипотезу о распределении случайной величины Х по показатель¬ному закону, если задано nk попаданий выборочных значений случайной величины Х в подинтервалQk = (ak, bk ):
Qk 0 — 2 2 — 4 4 — 6 6 — 8 8 — 10 10 — 12
nk 60 25 7 5 2 1
Выдержка из текста
Вариант № 1
1. Из 100 изделий, среди которых имеется 6 нестандартных, вы¬браны случайным образом 6 изделий для проверки их качества. Опреде¬лить вероятность того, что среди выбранных 6 изделий окажется ровно 1 нестандартное изделие, используя классическое определение вероят¬ности, формулу Бернулли, формулу Пуассона и локальную теорему Ла¬пласа.
2. Система Sсостоит из четырех независимых подсистем Sa, Sb, Scи Sd.Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Подсистемы Saи Sbсостоят из двух независимых дублирующих блоков akи bk(к = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах).
Найти надежность системы — вероятность того, что система будет исправна в течение некоторого времени, если известны надежности блоков Р(ак) = 0.8, P(bk) = 0.9, P(c) = 0.99, P(d) = 0.95.
3. Дана система из двух блоков а и b, соединенных последова¬тельно в смысле надежности. Каждый из двух блоков может работать независимо от другого в трех разных режимах. Вероятность наступле¬ния первого режима 0.2, второго 0.5, третьего 0.3. Надежность работы первого блока в 1 — м, 2 — м, 3 — м режимах равна соответственно 0.9; 0.8; 0.7. Надежность работы второго блока в 1 — м, 2 — м, 3 — м режимах равна соответственно 0.9; 0.9; 0.8. Найти надежность системы, если блоки независимы.4. Передается 6 сообщений по каналу связи. Каждое сообщение с вероятностью p= 0.2 независимо от других искажается. Случайная ве¬личина Х — число искаженных сообщений. Построить ее законы распре¬деления, их графики, найти ее числовые характеристики. Найти вероят¬ность того, что будет искажено не менее двух сообщений.
Задана плотность распределения f(x)случайной величины Х:
f(x)={■(2A cos2x,&если |x|≤π/[email protected],&если |x|≥π/4)┤
Требуется найти коэффициент А, построить график плотности рас¬пределения f(x),найти функцию распределения F(x)и построить ее гра¬фик, найти вероятность попадания величины Х на участок от 0 до 0.5. Найти числовые характеристики случайной величины Х.
6. По выборке объема n = 100 построен рядраспределения:
Xi 1 3 5 7 9 11 13
Pi 0.07 0.09 0.14 0.21 0.25 0.18 0.06
Построить гистограмму, полигон и эмпирическую функцию рас-пределения. Найти точечные оценки математического ожидания, дис¬персии, среднеквадратичного отклонения, асимметрии и эксцесса.
Какова вероятность того, что среднеарифметическое из n= 16 измерений для выборки из нормального распределения отличается от истинного значения не более, чем на ε = 2, если 1) σ = 4, 2) s= 4.
8. По результатам эксперимента получена таблица наблюденийсистемы случайных величин (X,Y):
Y X
1 2 3 4 5 6
-1 0.02 0.025 0.03 0.02 0.0 0.0
-2 0.0 0.10 0.06 0.12 0.02 0.0
-3 0.0 0.0 0.05 0.09 0.13 0.03
-4 0.0 0.0 0.01 0.05 0.065 0.09
-5 0.0 0.0 0.0 0.02 0.04 0.03
Оценить данную матрицу распределения (X, Y)на регрессию видовf(x) = А0 + A1xи f(x)=А0 + A1x + A2x2.
По двум независимым выборкам объемов nx=12 и ny=8нор¬мальных распределений найдены выборочные значениями математиче¬ских ожиданий x ̅=15.3 и y ̅=16.5и исправленные выборочные дисперсии s_x^2=0.47 и s_y^2=0.54. При уровне значимости проверить нулевую гипотезу H_0:m_X=m_y при конкурирующей гипотезе H_1:m_X<m_y.
По критерию Пирсона при уровне значимости α= 0.025 прове¬рить гипотезу о распределении случайной величины Х по показатель¬ному закону, если задано nk попаданий выборочных значений случайной величины Х в подинтервалQk = (ak, bk ):
Qk 0 — 2 2 — 4 4 — 6 6 — 8 8 — 10 10 — 12
nk 60 25 7 5 2 1
Список использованной литературы
—