Методика и практический пример расчета фильтра нижних частот и резонансного усилителя для курсового проекта

Курсовой проект по радиотехнике или теории цепей — одна из первых серьезных инженерных задач, с которой сталкивается студент. Ее основная сложность заключается не столько в математических вычислениях, сколько в необходимости объединить разрозненные знания в единую систему. Часто теоретические основы, методики расчета и практические примеры приходится собирать из десятков источников, что затрудняет понимание общей логики проектирования. Ключевая проблема — отсутствие комплексного руководства, которое бы провело от постановки задачи до анализа финальных результатов на сквозном примере.

Эта статья призвана решить именно эту проблему. Она представляет собой единый методический центр, где собрана вся необходимая информация: от базовых понятий до пошагового расчета двух ключевых узлов любой радиотехнической системы — фильтра нижних частот (ФНЧ) и резонансного усилителя (РУ). Мы не просто дадим формулы, а объясним логику каждого шага, чтобы вы могли не только сдать работу, но и уверенно защитить ее, понимая физический смысл полученных графиков и цифр.

Теоретические основы и ключевые понятия для расчета

Прежде чем приступать к вычислениям, необходимо создать прочный теоретический фундамент и договориться о терминах. Основой для анализа любой линейной радиотехнической цепи служат ее характеристики, которые описывают, как цепь преобразует входной сигнал.

Ключевыми понятиями, которые мы будем использовать, являются:

• Передаточная функция K(p): Это отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала. Говоря проще, это математическое описание цепи в «частотной области», которое полностью характеризует ее свойства и не зависит от вида входного сигнала.
• Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ): Показывает, как изменяется амплитуда выходного сигнала в зависимости от частоты входного. Именно АЧХ определяет, какие частоты цепь пропускает, а какие — ослабляет.
• Фазочастотная характеристика (ФЧХ): Показывает, какой фазовый сдвиг вносит цепь в сигнал на разных частотах. Это важно для понимания искажений формы сигнала.
• Переходная характеристика h(t): Это реакция (напряжение на выходе) цепи на поданный на вход единичный скачок напряжения. Она описывает поведение цепи во временной, а не в частотной области.

Электрические фильтры, в свою очередь, классифицируются по виду их АЧХ. Наиболее распространены:

• Фильтры Баттерворта: Обладают максимально гладкой АЧХ в полосе пропускания без каких-либо пульсаций.
• Фильтры Чебышева: Обеспечивают более крутой спад АЧХ по сравнению с фильтрами Баттерворта, но ценой появления пульсаций в полосе пропускания.

В большинстве случаев расчеты фильтров верхних частот (ФВЧ), полосовых и режекторных фильтров сводятся к расчету ФНЧ-прототипа с последующим частотным преобразованием. Именно поэтому мы начнем с него. Для его описания нам понадобятся такие параметры, как частота среза (f_g) — частота, на которой усиление падает на 3 дБ (в √2 раз), и порядок фильтра (N), который определяет крутизну спада его АЧХ. Для усилителя же ключевыми параметрами будут коэффициент усиления (K) и добротность (Q), характеризующая избирательность.

Часть 1. Расчет фильтра нижних частот как первый этап проекта

Фильтр нижних частот (ФНЧ) является фундаментальным элементом в радиотехнике. Его главная задача — пропускать сигналы с частотой ниже определенного порога (частоты среза) и ослаблять все, что выше. Как уже упоминалось, расчет множества других, более сложных типов фильтров часто сводится к проектированию ФНЧ-прототипа, что делает эту задачу универсальной и крайне важной для понимания.

Исходные данные для курсового проекта обычно включают параметры пассивных элементов (сопротивление резисторов R и емкость конденсаторов C) или требования к характеристикам фильтра (частота среза, необходимое ослабление). Наша цель — на основе этих данных получить исчерпывающее описание работы схемы.

Для этого мы выполним следующие шаги:

1. Определение переходной характеристики h(t) для анализа реакции схемы на скачок напряжения.
2. Расчет и построение Амплитудно-частотной (АЧХ) и Фазочастотной (ФЧХ) характеристик для понимания поведения фильтра в частотной области.
3. Определение граничной частоты (частоты среза) f_g, ключевого параметра ФНЧ.

Эта последовательность действий позволяет получить полную картину работы фильтра как во временной, так и в частотной области. Теперь перейдем от плана к его пошаговой реализации на конкретном примере.

Пошаговая методика вычисления характеристик ФНЧ

Рассмотрим практическую задачу: рассчитать характеристики простейшего ФНЧ первого порядка (интегрирующей RC-цепи). Это классический пример, который отлично иллюстрирует базовую методику.

Исходные данные:

• Сопротивление: R = 9,1 кОм
• Емкость: C = 9,1 мкФ

Шаг 1. Схема и переходная характеристика h(t)

Схема фильтра представляет собой последовательное соединение резистора и конденсатора. Выходное напряжение снимается с конденсатора. Переходная характеристика h(t) — это напряжение на выходе при подаче на вход единичного скачка напряжения U_вх = 1 В. Для данной схемы она описывается формулой:

h(t) = U_вых(t) = 1 — e^-t/RC

Эта формула показывает, что напряжение на конденсаторе экспоненциально нарастает от 0 до 1 В. Физический смысл этого процесса — зарядка конденсатора через резистор. Важным параметром является время фронта t_фр, которое определяется как время нарастания от уровня 0.1 до 0.9. Решив соответствующие уравнения, получаем, что t_фр ≈ 2.2 * RC.

Шаг 2. Комплексная передаточная характеристика K(jω)

Чтобы найти АЧХ и ФЧХ, нам нужна комплексная передаточная характеристика. Она выводится из операторного метода и для нашей RC-цепи имеет вид:

K(jω) = 1 / (1 + jωRC)

Шаг 3. Расчет и построение АЧХ и ФЧХ

Амплитудно-частотная характеристика — это модуль комплексной передаточной функции |K(jω)|:

A(ω) = |K(jω)| = 1 / √(1 + (ωRC)²)

График этой функции показывает, что на низких частотах (ω → 0) коэффициент передачи близок к 1, а с ростом частоты он плавно уменьшается. Фазочастотная характеристика — это ее аргумент (фаза):

φ(ω) = -arctan(ωRC)

График ФЧХ показывает, что фазовый сдвиг между выходным и входным сигналами увеличивается с ростом частоты от 0 до -90°.

Шаг 4. Определение граничной частоты f_g

Граничная частота (частота среза) — это частота, на которой амплитуда выходного сигнала падает до уровня 0,707 от максимальной (или мощность падает на 3 дБ). Это условие выполняется, когда A(ω) = 1/√2. Подставив это значение в формулу АЧХ, получим:

ω_g * RC = 1 => f_g = 1 / (2πRC)

Подставим наши исходные данные:

f_g = 1 / (2 * 3.14159 * 9100 Ом * 0.0000091 Ф) ≈ 1.92 Гц

Таким образом, мы полностью рассчитали основные характеристики фильтра и определили его ключевой параметр — граничную частоту.

Часть 2. Проектирование резонансного усилителя для заданной частоты

Переходим ко второму ключевому элементу — резонансному усилителю (РУ). Его главная задача — усилить сигнал в узкой полосе частот вокруг определенной, резонансной, частоты и подавить сигналы на других частотах. Это свойство, называемое избирательностью, делает РУ незаменимым в радиоприемниках и передатчиках.

В качестве типовой схемы для курсового проекта часто используется усилитель на транзисторе, нагрузкой для которого служит параллельный LC-колебательный контур. Именно параметры этого контура (индуктивность L и емкость C) определяют резонансную частоту, а его добротность Q — избирательность усилителя.

Исходными данными для расчета обычно служат:

• Требуемая резонансная частота (f_p).
• Параметры колебательного контура (добротность Q, емкость C).
• Параметры активного элемента, например, крутизна транзистора (S).

Процесс расчета будет состоять из следующих этапов:

1. Расчет индуктивности L контура для получения нужной резонансной частоты.
2. Определение эквивалентного сопротивления контура на резонансной частоте.
3. Расчет коэффициента усиления K на резонансной частоте.
4. Определение АЧХ, ФЧХ и ключевого параметра — полосы пропускания.

Эта стратегия позволит нам полностью спроектировать усилитель под заданные требования.

Практический расчет ключевых характеристик резонансного усилителя

Проведем расчет на конкретном примере, чтобы закрепить методику. Спроектируем линейный резонансный усилитель (ЛРУ) на транзисторе с параллельным LC-контуром в качестве нагрузки.

Исходные данные:

• Резонансная частота: f_p = 0.22 МГц
• Емкость контура: C = 820 пФ
• Добротность контура: Q = 94
• Крутизна транзистора: S = 9 мА/В

Шаг 1. Расчет индуктивности контура (L)

Резонансная частота параллельного LC-контура определяется знаменитой формулой Томсона. Выразим из нее индуктивность L:

f_p = 1 / (2π√(LC)) => L = 1 / ((2πf_p)²C)

Подставим значения:

L = 1 / ((2 * 3.14159 * 0.22 * 10⁶ Гц)² * 820 * 10^-12 Ф) ≈ 635 мкГн

Шаг 2. Расчет эквивалентного сопротивления (R_э) и коэффициента усиления (K)

На резонансной частоте сопротивление идеального параллельного контура стремится к бесконечности. У реального контура оно конечно и определяется его добротностью. Это и есть эквивалентное сопротивление R_э:

R_э = Q / (2πf_p * C)

R_э = 94 / (2 * 3.14159 * 0.22 * 10⁶ Гц * 820 * 10^-12 Ф) ≈ 82.8 кОм

Коэффициент усиления каскада на резонансной частоте равен произведению крутизны транзистора на сопротивление нагрузки (наше R_э):

K = S * R_э = 0.009 А/В * 82800 Ом ≈ 745.2

Шаг 3. Расчет АЧХ и ФЧХ

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики для резонансного усилителя описываются более сложными выражениями, зависящими от обобщенной расстройки. Однако их вид стандартен: АЧХ имеет форму «колокола» с пиком на резонансной частоте, а ФЧХ показывает, что на резонансной частоте фазовый сдвиг равен нулю, изменяясь в окрестности от +90° до -90°.

Шаг 4. Расчет полосы пропускания (Δf)

Полоса пропускания — это диапазон частот, в котором усиление падает не более чем на 3 дБ от максимального. Она обратно пропорциональна добротности и вычисляется очень просто:

Δf = f_p / Q

Δf = 0.22 * 10⁶ Гц / 94 ≈ 2340 Гц или 2.34 кГц

С этим связан и еще один параметр — постоянная времени τ:

τ = Q / (π * f_p) ≈ 136 мкс

Расчет завершен. Мы определили все ключевые параметры усилителя: номинал индуктивности, усиление и полосу пропускания.

Анализ полученных результатов и графическая интерпретация

Получение расчетных значений — это только половина дела. В курсовом проекте не менее важен анализ, который связывает сухие цифры с физическими свойствами спроектированных устройств. Давайте сведем вместе наши результаты и посмотрим, что они означают.

Мы спроектировали два устройства с противоположными задачами:

• ФНЧ первого порядка с граничной частотой f_g ≈ 1.92 Гц. Его АЧХ плавно спадает после этой частоты. Крутизна этого спада определяется порядком фильтра. Для нашего фильтра первого порядка она составляет -20 дБ на декаду. Это означает, что при увеличении частоты в 10 раз (например, с 20 до 200 Гц) сигнал ослабнет в 10 раз. Для получения более резкого спада потребовался бы фильтр более высокого порядка.
• Резонансный усилитель с пиком усиления K ≈ 745 на частоте f_p = 220 кГц и узкой полосой пропускания Δf ≈ 2.34 кГц. Его АЧХ имеет характерную колоколообразную форму.

Ключевой вывод, который нужно сделать при анализе — это связь между добротностью и избирательностью. Наш усилитель имеет высокую добротность Q=94. Именно это обеспечивает ему узкую полосу пропускания. Чем выше добротность, тем «острее» пик АЧХ и тем лучше усилитель выделяет нужную частоту, отфильтровывая соседние. Если бы нам понадобился усилитель с более широкой полосой, пришлось бы использовать контур с меньшей добротностью.

Анализ ФЧХ также важен. У фильтра фазовый сдвиг плавно меняется от 0° до -90°, внося задержку во все частотные компоненты сигнала. У усилителя же резкое изменение фазы от +90° до -90° происходит в узкой полосе пропускания, что является характерным признаком резонансных систем.

При оформлении этого раздела в курсовой работе крайне важно не просто показать графики, а сопроводить каждый из них выводом: что именно он демонстрирует и как его форма связана с параметрами схемы (порядком фильтра, добротностью контура).

Проведя полный цикл расчетов от постановки задачи до анализа результатов, мы получили два полноценных радиотехнических узла, готовых к использованию в более сложной системе. Мы изучили необходимую теорию, на практических примерах рассчитали ключевые параметры ФНЧ и резонансного усилителя.

Главные результаты нашей работы:

• Для ФНЧ определена граничная частота f_g ≈ 1.92 Гц.
• Для резонансного усилителя рассчитан коэффициент усиления K ≈ 745 и полоса пропускания Δf ≈ 2.34 кГц на резонансной частоте 220 кГц.

Эта работа наглядно демонстрирует, что проектирование даже, на первый взгляд, простых цепей требует комплексного подхода. Необходимо не только владеть математическим аппаратом, но и четко понимать физический смысл таких понятий, как передаточная функция, добротность и частота среза. Успешное завершение подобного расчета доказывает, что спроектированные элементы соответствуют типовым инженерным требованиям и могут стать частью радиотехнического тракта. Это и есть главная цель курсового проекта — научить объединять теорию и практику для решения конкретных задач.