Задача об оптимальном портфеле ценных бумаг и ее обобщения: теоретические основы, прикладные аспекты и вызовы российского рынка

В постоянно меняющемся мире финансов, где рыночные колебания и экономические вызовы стали нормой, задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг приобретает критическое значение. Эта задача не просто теоретическое упражнение для академических кругов; она является краеугольным камнем успешного инвестиционного менеджмента, стремящегося достичь баланса между доходностью и риском. В условиях нарастающей сложности финансовых инструментов, глобальной взаимосвязанности рынков и появления новых технологий, инвесторы и управляющие активами сталкиваются с необходимостью постоянно адаптировать и совершенствовать свои стратегии. Иными словами, речь идет о поиске той самой «золотой середины», которая позволит не только сохранить, но и приумножить капитал в условиях неопределенности.

Настоящее исследование ставит своей целью глубокий академический анализ теоретических основ, модификаций, методов формирования и управления портфелем. Мы последовательно рассмотрим эволюцию портфельной теории, начиная с классических концепций Марковица и CAPM, углубимся в их обобщения, учитывающие такие факторы, как ликвидность и поведенческие аспекты, а также проанализируем современные методы и стратегии управления. Особое внимание будет уделено специфике и вызовам, с которыми сталкивается российский финансовый рынок, а также растущей роли искусственного интеллекта и машинного обучения в задачах оптимизации портфеля. Структура работы призвана обеспечить всестороннее понимание предмета, от фундаментальных принципов до передовых практик и будущих направлений развития.

Классические модели портфельного инвестирования: от Марковица до CAPM

Инвестиционный мир, каким мы его знаем сегодня, во многом обязан своим фундаментом именно классическим моделям портфельного инвестирования. Они стали отправной точкой для понимания того, как инвесторы могут рационально управлять своими активами, стремясь к максимальной доходности при приемлемом уровне риска. Эти модели, несмотря на свои допущения, продолжают служить основой для более сложных и адаптированных к современным реалиям теорий. Но что делает их столь значимыми и почему они выдержали испытание временем?

Теория Марковица: основы оптимальной диверсификации

Появление теории Марковица в 1952 году, разработанной Гарри Марковицем, стало настоящей революцией в мире финансов. До него инвесторы часто рассматривали каждый актив изолированно, фокусируясь на его индивидуальной доходности и риске. Марковиц же предложил принципиально новый подход, утверждая, что инвестор должен смотреть на портфель в целом, а не на отдельные его компоненты. Его методология анализа позволяет формировать портфель из оптимально выбранных активов, где главным критерием является соотношение «доходность/риск».

В своей знаковой работе «Foundations of Portfolio Theory» Марковиц описал принципы выбора активов, которые минимизируют риск портфеля при заданном уровне доходности. Он показал, что добавление в портфель активов с низкой или отрицательной корреляцией может значительно снизить общий риск портфеля без существенного сокращения ожидаемой доходности. Мерой риска инвестиционного портфеля в теории Марковица выступает его дисперсия, а ожидаемая доходность портфеля рассчитывается как средневзвешенная сумма доходностей входящих в него ценных бумаг:

Rпортфеля = Σ (wi ⋅ ri)

где wi — это доля i-го инструмента в портфеле, а ri — ожидаемая доходность i-го инструмента.

С математической точки зрения, задача формирования оптимального портфеля по Марковицу представляет собой задачу квадратической оптимизации при линейных ограничениях. Обычно решаются две основные задачи:

1. Максимизация доходности при заданном уровне риска.
2. Минимизация риска при минимально допустимом значении доходности.

Однако, несмотря на свою фундаментальность, теория Марковица не лишена ограничений. Она наиболее эффективно работает на стабильном рынке, где исторические результаты приближены к усредненным. Оптимизация состава инвестиционного портфеля по Марковицу очень чувствительна к исходным данным, в частности, к историческим данным о доходности и риске активов, что подразумевает, что прошлые тренды будут продолжаться в будущем. Это делает модель уязвимой перед так называемыми «черными лебедями» — крайне редкими и непредсказуемыми событиями, а также перед форс-мажорными обстоятельствами, которые она не способна учесть. Это значит, что инвесторам требуется не только применять модель, но и постоянно мониторить рыночную среду, чтобы своевременно реагировать на изменения, не поддающиеся формализации.

Модель оценки капитальных активов (CAPM): взаимосвязь риска и доходности

Следующим шагом в развитии портфельной теории стала модель оценки капитальных активов (Capital Asset Pricing Model, CAPM), независимо выведенная Уильямом Шарпом (1964 год), Джоном Линтнером и Яном Моссином. CAPM является ключевым инструментом для определения ожидаемой доходности актива или портфеля, основываясь на идее, что доходность актива зависит от его подверженности систематическому риску, который измеряется коэффициентом бета (β).

Систематический риск, в отличие от несистематического (специфического для компании), невозможно устранить диверсификацией. Он связан с общими рыночными движениями. Формула CAPM выражает эту зависимость:

E(Ri) = Rf + βi(E(Rm) - Rf)

где:

• E(Ri) — ожидаемая доходность актива i;
• Rf — безрисковая норма доходности (например, доходность государственных долговых инструментов);
• βi — бета-коэффициент актива i, измеряющий его чувствительность к рыночным колебаниям;
• E(Rm) — ожидаемая рыночная доходность.

Преимущество CAPM заключается в том, что она учитывает только систематический риск, отражая реальность, в которой большинство инвесторов владеют диверсифицированными портфелями, из которых несистематический риск большей частью устранен. Модель в явном виде учитывает уровень систематического риска компании по отношению ко всему фондовому рынку. CAPM пользуется популярностью более 40 лет благодаря своей простой, но логически обоснованной структуре и считается само собой разумеющейся в современной финансовой теории при управлении инвестициями, несмотря на дебаты о ее допущениях.

Однако модель основывается на ряде нереалистичных допущений, таких как совершенный рынок капитала, отсутствие налогов и комиссий, возможность беспрепятственного заимствования по безрисковой ставке и одинаковые ожидания инвесторов. Значения переменных в модели (безрисковая норма доходности, рыночная норма доходность, бета-коэффициент) не являются фиксированными и постоянно изменяются при изменении экономических условий, что требует использования, например, краткосрочного среднего значения для сглаживания волатильности безрисковой нормы доходности. Кроме того, оценки в CAPM чувствительны к используемому методу оценки и охватываемому историческому периоду, а также существуют трудности в поиске подходящих бета-коэффициентов для компаний-аналогов или отдельных инвестиционных проектов, поскольку компании-аналоги редко осуществляют только одно направление деятельности.

Теория арбитражного ценообразования (APT): многофакторный подход к оценке активов

Теория арбитражного ценообразования (Arbitrage Pricing Theory, APT) была предложена экономистом Стивеном Россом в 1976 году как альтернатива CAPM, стремящаяся преодолеть некоторые из ее жестких допущений. APT является более общей теорией ценообразования активов, которая утверждает, что ожидаемая доходность финансовых активов может быть смоделирована в виде линейной функции различных макроэкономических факторов и рыночных индикаторов.

В отличие от CAPM, где цена актива определяется на основе одного фактора (рыночного риска, измеряемого бета-коэффициентом), APT предполагает, что на доходность влияют несколько систематических факторов. Уровень чувствительности к изменению каждого фактора выражается своим собственным бета-коэффициентом. Если цена актива расходится с уровнем доходности, рассчитанным по модели APT, то механизмы арбитража должны устранить эти отклонения. Типичные факторы, используемые в APT, включают влияние валового национального продукта (ВНП) или валового внутреннего продукта (ВВП), инфляции, изменения кривой доходности, спредов по корпоративным облигациям, сомнений инвесторов, цен на сырьевые товары, рыночных индексов и обменных курсов.

Сравнительный анализ APT и CAPM

Критерий сравнения	CAPM	APT
Количество факторов	Один фактор: систематический рыночный риск (бета).	Множество макроэкономических факторов и рыночных индикаторов.
Допущения рынка	Строгие допущения (эффективный рынок, отсутствие налогов/комиссий и т.д.).	Менее строгие допущения, допускает временные занижения стоимости ценных бумаг.
Безрисковый актив	Требует существования безрискового актива.	Не требует обязательного существования безрискового актива.
Фокус модели	Определение всей системы равновесных цен на рынке ценных бумаг.	Объяснение формирования равновесной цены на отдельную, вновь появляющуюся акцию.
Определение факторов	Фактор (рыночный риск) четко определен.	Конкретное число и природа факторов не определены заранее, что является ограничением.
Применимость	Широко используется для оценки стоимости капитала, портфельного анализа.	Используется для выявления арбитражных возможностей и более тонкой оценки активов.

Одним из главных ограничений APT является отсутствие четкого определения конкретного числа факторов, влияющих на доходность. Хотя их число варьировалось от трех до пяти в различных исследованиях, их точный набор и измерение остаются предметом дебатов, что делает практическое применение модели более сложным, чем CAPM. На практике инвесторам приходится самостоятельно определять релевантные факторы, что требует глубокой экспертизы и постоянного анализа.

Обобщения и модификации модели оптимального портфеля: расширение горизонтов классических подходов

Классические модели, такие как теория Марковица и CAPM, заложили основу для понимания инвестиционного процесса, но реальность финансовых рынков часто выходит за рамки их упрощенных допущений. Именно поэтому возникла необходимость в обобщениях и модификациях, которые бы учитывали дополнительные факторы и нюансы, игнорируемые традиционными подходами.

Учет неклассических факторов: ликвидность, транзакционные издержки и валютный риск

При формировании оптимального портфеля необходимо учитывать не только показатели ожидаемой доходности активов и риски вложений, но и ряд других, не менее важных факторов. Одним из таких факторов является уровень ликвидности портфеля в целом и отдельных активов в нем. Ликвидность активов критически важна, поскольку некоторые активы, такие как недвижимость или частные акции, могут быть менее ликвидными, что затрудняет их продажу в случае необходимости и может привести к дополнительным рискам или убыткам при срочной реализации. Инвестор, которому может понадобиться быстрый доступ к средствам, должен формировать портфель с достаточной долей высоколиквидных активов, даже если это немного снизит потенциальную доходность.

Транзакционные издержки — комиссии брокеров, биржевые сборы, налоги — также оказывают существенное влияние на итоговую доходность портфеля, особенно при активном управлении или частой ребалансировке. Модели Марковица и CAPM изначально не учитывают эти издержки, что может приводить к неоптимальным решениям в реальных условиях. Модификации моделей могут включать штрафы за транзакции или ограничения на количество сделок, чтобы сделать оптимизацию более практичной.

Валютный риск становится актуальным, когда портфель включает активы, номинированные в различных валютах. Изменения обменных курсов могут значительно повлиять на доходность инвестиций в базовой валюте инвестора, даже если активы сами по себе показывают хорошие результаты. Включение валютного риска в модель оптимизации портфеля требует анализа корреляций между валютами и доходностями активов, а также использования стратегий хеджирования.

Ключевым принципом оптимизации портфеля является учет корреляции между активами. Как показал Марковиц, добавление в портфель активов с низкой или отрицательной корреляцией способно значительно снизить общий риск. Многофакторные модели могут включать факторы других источников риска, помимо чисто рыночного портфеля, в том числе макроэкономические факторы (например, ВВП, скорость промышленного роста, собираемость налогов, процентная ставка, уровень инфляции) и факторы, специфичные для компании или отрасли (отраслевые факторы, волатильность рынка). Существуют подходы к оптимизации портфеля, которые учитывают риск ликвидности, валютный риск, а также политический и нормативный риск, что особенно актуально для развивающихся рынков.

Поведенческая портфельная теория: влияние иррациональности инвесторов

В то время как классические теории предполагают, что инвесторы являются абсолютно рациональными субъектами, стремящимися максимизировать ожидаемую полезность, поведенческая экономика, а затем и поведенческая портфельная теория, бросили вызов этому допущению. Разработанная такими учеными, как Даниэль Канеман и Ричард Талер, поведенческая портфельная теория (Behavioral Portfolio Theory, BPT) акцентирует внимание на поведенческом факторе и возможной нерациональности инвестора.

BPT признает, что люди часто принимают инвестиционные решения, основываясь не только на логике и математике, но и на эмоциях, когнитивных искажениях и предубеждениях. Например, инвесторы могут проявлять склонность к самонадеянности, излишнему оптимизму, эффекту привязки (когда решения принимаются на основе ранее полученной информации) или эффекту диспозиции (склонность слишком долго держать убыточные активы и слишком рано продавать прибыльные). Понимание этих поведенческих особенностей становится критически важным для формирования более устойчивых и эффективных стратегий, которые учитывают не только рыночные, но и психологические аспекты.

BPT также учитывает сложный состав портфелей с различными группами активов, которые инвесторы могут мысленно категоризировать, создавая «ментальные счета». Например, инвестор может иметь «портфель для пенсии», «портфель для образования детей» и «спекулятивный портфель», каждый со своим уровнем риска и целевой доходности, хотя с точки зрения классической теории это один большой портфель. Такой подход приводит к тому, что инвестор может формировать субоптимальные портфели, которые по отдельности неэффективны, но в совокупности удовлетворяют его психологическим потребностям.

Модификации модели Марковица включают учет мнения инвестора об ожидаемой доходности (например, модель Блэка-Литтермана), что позволяет интегрировать субъективные ожидания в строгие математические рамки. Поведенческая портфельная теория не стремится заменить классические модели, но дополняет их, предлагая более реалистичное понимание процесса принятия инвестиционных решений, что в свою очередь позволяет разрабатывать более гибкие и адаптированные к психологии инвестора стратегии.

Методы и стратегии формирования и управления инвестиционным портфелем

Оптимизация инвестиционного портфеля – это не одноразовый акт, а непрерывный процесс выбора наилучшего сочетания финансовых активов для достижения максимальной доходности при заданном уровне риска. Этот процесс включает в себя не только формирование портфеля, но и его последующее управление, которое может быть как активным, так и пассивным, а также использование современных методов оптимизации.

Активное и пассивное управление: сравнительный анализ

Выбор между активным и пассивным управлением портфелем является одним из фундаментальных решений для любого инвестора. Эти два подхода существенно различаются по своей философии, затратам, ожидаемым результатам и требованиям к инвестору.

Активное управление портфелем:
Этот подход предполагает постоянное и деятельное участие в управлении капиталом. Активный инвестор постоянно изучает рыночную ситуацию, находится в поиске лучших инструментов и совершает значительно больше сделок. Цель активного управления — «обыграть рынок» или бенчмарк (например, индекс S&P 500 или Индекс МосБиржи) за счет предсказания рыночных движений, выбора недооцененных активов или своевременной фиксации прибыли.

• Преимущества: Потенциально более высокая доходность в сравнении с рынком, возможность зарабатывать даже на нестабильном рынке и в условиях высокой волатильности за счет стратегий диверсификации портфеля, изучения финансовых показателей компаний, оценки их долгосрочных перспектив, отслеживания новостей и событий, регулярной ребалансировки портфеля и использования стоп-лимитов.
• Недостатки: Требует большого опыта, глубокого понимания того, как работают финансовые рынки, и значительных временных затрат. Высокие транзакционные издержки (комиссии, налоги) могут существенно снизить чистую доходность. Подходит для инвесторов, готовых рисковать для быстрого увеличения капитала.

Пассивное управление портфелем:
Пассивное управление инвестиционным портфелем предполагает, что инвестор собирает и держит диверсифицированный портфель ценных бумаг в течение долгого времени, придерживаясь стратегии «купить и держать». Типичным примером являются инвестиции в индексные фонды (ETF), которые стремятся повторить структуру определенного рыночного индекса. Управляющий пассивного фонда редко вносит изменения в состав ценных бумаг, и эти изменения происходят только в случае изменения структуры самого индекса.

• Преимущества: Простота, низкие издержки (меньше комиссий и налогов за сделки), минимизация временных затрат. Подходит для инвесторов, предпочитающих стабильность, минимальные риски и невысокий, но устойчивый доход. Эта стратегия также идеальна для людей, не имеющих достаточно знаний и опыта, не склонных к повышенному риску, или инвесторов с большими капиталами, для которых приоритет — защита уже накопленного, а не агрессивное наращивание портфеля.
• Недостатки: Пассивные фонды не могут обеспечить сверхдоходность и полностью зависят от общего состояния рынка, что может приводить к низкой или отрицательной доходности в периоды падения рынка.

Выбор между этими стратегиями зависит от инвестиционных целей, горизонта планирования, толерантности к риску и наличия времени и знаний у инвестора. Очевидно, что активное управление может принести больший доход, но и требует значительно больших усилий и глубокого понимания рынка.

Современные методы оптимизации портфеля

Помимо общих стратегий, существуют и конкретные методы, позволяющие достигать оптимального распределения активов. Модель Марковица, как уже упоминалось, является основой для определения оптимального сочетания активов, которое минимизирует риск при заданной доходности, используя методы квадратичного программирования. Однако с развитием вычислительных мощностей и математического аппарата появились и другие, более сложные и гибкие методы.

К методам оптимизации инвестиционного портфеля относятся:

• Детерминистический контроль: Подход, при котором параметры модели считаются известными с определенностью, а оптимизация направлена на нахождение наилучшего решения в заданных условиях.
• Алгоритм Нелдера-Мида (Nelder-Mead simplex algorithm): Это неградиентный метод численной оптимизации, который не требует вычисления производных функции. Он эффективен для поиска минимума или максимума функции в многомерном пространстве, что полезно при оптимизации портфеля, когда функция риска или доходности может быть сложной.
• Алгоритм Бройдена-Флетчера-Гольдфарба-Шанно (BFGS): Один из наиболее популярных квазиньютоновских методов оптимизации, который использует приближения производных для ускорения сходимости. Он широко применяется для решения задач нелинейной оптимизации в финансах.

Особого внимания заслуживает Иерархическое распределение риска (Hierarchical Risk Parity, HRP). Это относительно новый метод оптимизации портфеля, который использует элементы теории графов и алгоритмы машинного обучения для группировки схожих активов. В отличие от традиционной теории Марковица, HRP не требует инверсии ковариационной матрицы, что делает его более устойчивым к шумам в данных и менее чувствительным к ошибкам оценки ковариации, особенно при большом количестве активов.

Принцип HRP заключается в следующем:

1. Построение дерева кластеров: Активы группируются на основе их корреляций, формируя иерархическую структуру.
2. Оптимизация внутри кластеров: Внутри каждого кластера активы взвешиваются таким образом, чтобы равномерно распределить риск.
3. Объединение кластеров: Затем риски распределяются между кластерами, чтобы создать диверсифицированный портфель, менее чувствительный к рыночной волатильности.

HRP представляет собой мощный инструмент для построения более устойчивых и хорошо диверсифицированных портфелей, особенно в условиях, когда традиционные методы Марковица могут давать нестабильные результаты из-за высокой размерности или шумов в данных. С его помощью можно значительно повысить надёжность инвестиций, что особенно актуально на волатильных рынках.

Оценка эффективности инвестиций и ребалансировка портфеля: метрики и стратегии

После того как портфель сформирован и находится в управлении, критически важным становится вопрос: насколько эффективно он выполняет свои функции? Оценка эффективности инвестиционного портфеля — это не просто подсчет доходности, это периодический анализ функционирования портфеля в терминах доходности и риска. Этот процесс позволяет инвестору понять, достигаются ли поставленные цели, и при необходимости скорректировать стратегию. Безрисковая процентная ставка традиционно является бенчмарком для оценки эффективности любого типа инвестиционных стратегий.

Метрики оценки эффективности портфеля

Для оценки эффективности портфеля разработано множество финансовых метрик, каждая из которых фокусируется на различных аспектах соотношения риска и доходности.

1. Коэффициент Шарпа (Sharpe Ratio):
Разработан Уильямом Шарпом в 1966 году, этот коэффициент позволяет оценить эффективность и результативность управления инвестиционным портфелем или паевым инвестиционным фондом (ПИФом). Он измеряет избыточную доходность (премию за риск), которую инвестор получает на каждую единицу принимаемого общего риска.

Формула коэффициента Шарпа:

(Rп - Rб) / σп

где:

• Rп — средняя доходность инвестиционного портфеля;
• Rб — средняя доходность безрискового актива;
• σп — стандартное отклонение доходностей активов портфеля (риск).

Если коэффициент Шарпа превышает единицу, стратегия управления считается эффективной, так как доходность портфеля превышает доходность безрискового актива и превышает уровень риска. Чем выше значение коэффициента Шарпа, тем лучше скорректированная на риск доходность портфеля.

2. Коэффициент Трейнора (Treynor Ratio):
Является составной мерой эффективности портфеля, которая учитывает только систематический риск, игнорируя несистематический (диверсифицируемый). Коэффициент Трейнора показывает доходность, которая превышает доходность, полученную по безрисковым инвестициям, на каждую единицу систематического риска. Предполагается существование двух компонентов риска: риск, порожденный флуктуациями на рынке, и риск, возникающий вследствие колебаний конкретного актива. Расчет коэффициента Трейнора производится с помощью модели CAPM.

Формула коэффициента Трейнора:

KТ = (E[Rп] - Rб) / βп

где:

• E[Rп] — математическое ожидание доходности портфеля;
• Rб — безрисковая ставка;
• βп — систематический риск портфеля (бета-коэффициент портфеля).

3. Коэффициент Йенсена (Jensen’s Alpha):
Коэффициент Йенсена, или альфа, подсчитывает избыточную доходность, которую портфель приносит с превышением ожидаемой доходности, предсказанной моделью CAPM. Он измеряет, насколько доходность портфеля связана со способностью управляющего портфелем генерировать результаты выше среднего по рынку. Положительная альфа указывает на то, что управляющий превзошел ожидания, а отрицательная — что он отстал.

Формула коэффициента Йенсена:

αп = Rп - [Rб + βп(Rр - Rб)]

где:

• αп — альфа портфеля;
• Rп — фактическая доходность портфеля;
• Rб — безрисковая ставка;
• βп — бета портфеля;
• Rр — ожидаемая рыночная доходность (показатель бенчмарка).

4. Другие метрики:
К другим важным метрикам оценки эффективности относятся:

• Коэффициент Сортино (Sortino Ratio): Аналогичен коэффициенту Шарпа, но учитывает только риск снижения (отрицательные отклонения от целевой доходности), что более соответствует представлению инвесторов о «плохом» риске.
• Коэффициент Омега (Omega Ratio): Более полная мера, которая учитывает все моменты распределения доходностей (не только среднее и дисперсию), давая инвестору более полное представление о потенциальных выгодах и потерях.
• VaR (Value at Risk): Мера риска, оценивающая потенциальные максимальные убытки портфеля за определенный период времени с заданной вероятностью (например, 95% VaR в 1 млн рублей означает, что в 95% случаев убытки не превысят 1 млн рублей).
• CVaR (Conditional Value at Risk): Также известный как Expected Shortfall, представляет собой ожидаемые потери в «хвосте» распределения, то есть средние потери, которые произойдут, если убытки превысят VaR. CVaR является более консервативной мерой риска, чем VaR, поскольку она учитывает величину потерь за порогом.

Ребалансировка портфеля: цели, принципы и стратегии

Независимо от того, насколько хорошо портфель был оптимизирован изначально, рыночные изменения неизбежно приводят к отклонениям от желаемой структуры. Ребалансировка — это корректировка содержимого портфеля для приведения его к изначально заданным параметрам доходности и риска, а также для снижения рисков владения активами. Цель ребалансировки — не только сохранение, но и активное управление профилем риска и доходности.

Основная цель ребалансировки — вернуть портфель к желаемому распределению активов, оптимальному с точки зрения риска и доходности. Например, если инвестиционная стратегия предполагает соотношение 45% акций и 55% облигаций, а из-за роста акций их доля увеличилась до 50%, то для восстановления первоначального баланса необходимо продать часть акций и приобрести облигации.

Принципы ребалансировки:

• Снижение риска: Если один актив или класс активов слишком вырос, он начинает доминировать в портфеле, увеличивая его общую волатильность и концентрационный риск. Ребалансировка помогает снизить этот риск.
• Поддержание дисциплины «покупай дешево, продавай дорого»: Ребалансировка автоматически стимулирует фиксацию прибыли в переоцененных активах и докупку недооцененных, что является классическим принципом успешного инвестирования.
• Сохранение изначально выбранной инвестиционной стратегии: Ребалансировка гарантирует, что профиль риска и доходности портфеля остается в рамках, заданных изначально инвестиционной стратегией инвестора.

Основные стратегии ребалансировки:

1. Периодическая ребалансировка: Проводится в конкретные даты (например, раз в год, раз в 6 месяцев или поквартально), независимо от текущей ситуации на рынке.
   • Преимущество: Простота и автоматизм.
   • Недостаток: Риск пропустить серьезные колебания рынка между датами ребалансировки, а также совершать сделки в неоптимальное время.
2. Ребалансировка по отклонению от целевой структуры (пороговая): Проводится, когда вес какого-либо конкретного актива или класса активов превышает определенное заранее установленное значение (например, ±5% от целевой доли).
   • Преимущество: Более гибкий подход, реагирующий на значимые рыночные изменения.
   • Недостаток: Требует постоянного мониторинга портфеля.
3. Гибридная стратегия ребалансировки: Сочетает элементы периодической и пороговой стратегий, например, проводя ребалансировку раз в год, но также при достижении пороговых значений в течение года.

Ребалансировка может включать продажу выросших активов, доля которых стала чрезмерной, и на прибыль от них докупку подешевевших активов, доля которых стала низкой. Альтернативный метод — покупка просевших активов без продажи тех, которые выросли в цене, что требует дополнительных вливаний капитала.

Исследование Vanguard, проведенное в ноябре 2015 года под названием “Best practices for portfolio rebalancing” на исторических данных с 1926 по 2014 годы, показало, что регулярная ребалансировка позволяет поддерживать желаемое соотношение активов в портфеле, что может привести к снижению риска и увеличению доходности по сравнению с портфелем без ребалансировки. При этом исследование отметило, что доходность, скорректированная с учетом риска, не имеет значимых различий при ежемесячной, ежеквартальной или ежегодной ребалансировке, однако с увеличением количества ребалансировок значительно возрастают связанные с этим издержки (налоги, время и трудозатраты). Для большинства инвесторов мониторинг раз в год или раз в полгода с ребалансировкой при пороговом значении 5% может обеспечить разумный баланс между контролем рисков и минимизацией затрат.

Особенности и вызовы управления оптимальным портфелем на российском финансовом рынке

Российский финансовый рынок, будучи развивающимся и подверженным значительным внешним и внутренним воздействиям, представляет собой уникальный полигон для применения и адаптации моделей оптимального портфеля. Исследование воздействия макроэкономических факторов на инвестиционные портфели особенно актуально в условиях экономической нестабильности в России, обусловленной геополитическими напряжениями и экономическими санкциями.

Макроэкономический контекст и его влияние (2020-2023 гг.)

Период с 2020 по 2023 год характеризовался значительными экономическими потрясениями как на глобальном, так и на российском уровне. Пандемия COVID-19, а затем геополитические события и связанные с ними санкции, оказали глубокое влияние на макроэкономические показатели России, что, в свою очередь, потребовало от инвесторов особого внимания к формированию инвестиционного портфеля.

Динамика ВВП России:

Год	Изменение ВВП
2020	-2,7%
2021	+5,9%
2022	-1,2%
2023	+3,6%

Как видно из таблицы, экономика России пережила спады в 2020 и 2022 годах, вызванные пандемией и санкционным давлением, но также демонстрировала восстановительный рост в 2021 и 2023 годах. Эти колебания ВВП напрямую влияют на корпоративные прибыли, потребительский спрос и, как следствие, на котировки акций и корпоративных облигаций.

Динамика инфляции в России:

Год	Уровень инфляции
2020	4,9%
2021	8,39%
2022	11,94%
2023	7,42%

Высокие темпы инфляции, особенно в 2021 и 2022 годах, представляют собой серьезный вызов для инвесторов, поскольку они обесценивают реальную доходность инвестиций. Для сохранения покупательной способности капитала в условиях высокой инфляции инвесторы вынуждены искать активы, способные генерировать доходность выше инфляции, что часто сопряжено с повышенным риском. Все эти макроэкономические условия требовали от инвесторов глубокого анализа и гибкой адаптации стратегий.

Факторы нестабильности российского фондового рынка

Нестабильность российского фондового рынка обусловлена комплексом взаимосвязанных факторов, которые отличают его от более развитых глобальных площадок:

1. Высокая доля частных инвесторов: В августе 2023 года максимальный вес частных инвесторов в обороте акций достиг 82,7%, а в среднем с 2022 года по настоящее время составляет 76% (74% с начала 2024 года). К концу 2024 года число частных инвесторов, имеющих брокерские счета на Московской бирже, превысило 35,1 млн человек, открыв более 64,3 млн счетов. Большая доля частных инвесторов, часто менее опытных и склонных к эмоциональным решениям, может усиливать волатильность рынка.
2. Отсутствие иностранного керри-трейда: После 2022 года уход иностранных инвесторов и, как следствие, прекращение керри-трейда устранило важный внешний стабилизатор, который балансировал рынок и поддерживал спрос на российские ценные бумаги.
3. Волатильность рубля: Значительные колебания курса национальной валюты оказывают прямое влияние на долларовые доходности активов, номинированных в рублях, и создают дополнительный валютный риск для международных инвесторов, а также для российских инвесторов, ориентированных на импорт или экспорт.
4. Зависимость от мировых рынков и цен на сырье: Российская экономика и фондовый рынок сильно зависят от цен на сырьевые товары (нефть, газ, металлы), что делает его чувствительным к глобальным экономическим циклам и геополитическим событиям.
5. Чрезмерное влияние политических событий: Геополитические риски и внутренние политические решения могут вызывать резкие и непредсказуемые реакции рынка, часто не связанные с фундаментальными экономическими показателями компаний.
6. Низкая активность маркетмейкеров: Недостаточное количество или активность маркетмейкеров на некоторых сегментах рынка может приводить к низкой ликвидности и широким спредам, что увеличивает транзакционные издержки.
7. Непостоянство фискальной и монетарной политики: Частые изменения в налоговом законодательстве, бюджетных правилах и процентной политике Центрального банка создают неопределенность и затрудняют долгосрочное планирование.

Адаптация моделей и методов для российского рынка

В условиях такой специфики, для инвестирования на российском фондовом рынке, традиционные модели требуют адаптации. Наиболее адекватной может быть модель Марковица, но с дополнительными критериями и ограничениями на доходность, предельные уровни риска и ликвидности включаемых в портфель активов. Учет ликвидности становится особенно важным в условиях, когда некоторые активы могут быть трудно реализуемы без существенной потери стоимости.

Также существует острая потребность в совершенствовании как различных математических методов и моделей формирования портфеля ценных бумаг и оценки его эффективности, так и различных автоматизированных систем, которые могли бы сформировать оптимальный инвестиционный портфель и оценить его эффективность с учетом уникальных характеристик российского рынка. Это включает разработку многофакторных моделей, адаптированных под российские реалии, с факторами, отражающими специфические риски и возможности. Современные технологии, такие как ИИ, способны существенно помочь в этом.

Современные инструменты и технологии в задачах оптимизации портфеля

Цифровая трансформация проникает во все сферы экономики, и финансовые рынки не являются исключением. Искусственный интеллект (ИИ) и машинное обучение (МО) стали не просто модными терминами, но мощными инструментами, способными существенно изменить подходы к оптимизации портфеля, управлению рисками и принятию инвестиционных решений. По данным аналитического доклада Национального центра развития искусственного интеллекта при Правительстве Российской Федерации за 2024 год, в России уровень использования технологий искусственного интеллекта финансовыми организациями достигает 66%.

Искусственный интеллект в финансовой сфере: тренды и применение

ИИ и нейросети уже активно используются в финансовой сфере для решения широкого круга задач:

• Анализ рынка и прогнозная аналитика: ИИ способен анализировать огромные объемы исторических рыночных данных, новости, отчетность компаний и выявлять сложные, нелинейные закономерности, которые могут предсказывать будущие тенденции цен активов, волатильность и другие рыночные индикаторы.
• Алгоритмическая торговля: С использованием ИИ алгоритмическая торговля позволяет совершать сделки на высокой скорости на основе заранее определенных критериев. Системы ИИ анализируют потоковые данные для принятия торговых решений быстрее и точнее, чем трейдеры-люди, что особенно важно для высокочастотного трейдинга.
• Управление рисками: Системы ИИ способны оценивать риски в инвестиционных портфелях в реальном времени, быстро определять потенциальные риски (рыночные, кредитные, операционные) и предлагать стратегии для их снижения. Это включает мониторинг профиля риска активов и портфелей с учетом меняющихся рыночных условий.
• Создание персонализированных предложений и стратегий: ИИ позволяет создавать персонализированные инвестиционные стратегии, соответствующие индивидуальным допустимым уровням риска, финансовым целям, горизонту инвестирования и даже поведенческим особенностям инвестора.
• Автоматизация ребалансировки: ИИ может выполнять автоматическую ребалансировку и расчет рисков с учетом долгосрочных инвестиционных целей, оптимизируя структуру портфеля без постоянного вмешательства человека.
• Аналитика настроений (Sentiment Analysis): Алгоритмы ИИ используются для оценки, как публикации в СМИ, социальных сетях и рекламные материалы влияют на общий настрой участников рынка, что может быть ценным индикатором для принятия решений.

Машинное обучение для оптимизации портфеля: алгоритмы и перспективы

Машинное обучение (МО) — подмножество ИИ — предлагает еще более глубокие возможности для оптимизации портфеля. Методы МО позволяют анализировать большие объемы данных и строить нелинейные модели, что преодолевает ограничения традиционных подходов, основанных на линейных зависимостях и предположениях о нормальности распределения.

Классификация алгоритмов машинного обучения для оптимизации портфелей ценных бумаг включает:

• Надзорное обучение (Supervised Learning): Используется для предсказания доходности активов или вероятности дефолта компаний на основе исторических данных, где известны «правильные» ответы. Примеры: регрессионные модели, деревья решений, случайные леса.
• Безнадзорное обучение (Unsupervised Learning): Применяется для кластеризации активов по схожим характеристикам риска или поведения, выявления скрытых паттернов и аномалий в данных. Примеры: кластеризация K-Means, анализ главных компонент.
• Усиленное обучение (Reinforcement Learning): Позволяет системе учиться принимать оптимальные решения в динамической среде путем проб и ошибок, адаптируя портфель в реальном времени к меняющимся рыночным условиям с целью максимизации долгосрочного вознаграждения.

Перспективные разработки в области алгоритмов машинного обучения для оптимизации портфелей ценных бумаг включают:

• Глубокие нейронные сети (Deep Neural Networks): Способны обрабатывать очень сложные и объемные данные, выявлять высокоуровневые признаки. Исследования показывают использование прогнозов гибридных нейронных сетей LSTM-GRU (Long Short-Term Memory – Gated Recurrent Unit), которые особенно эффективны для работы с временными рядами, для прогнозирования цен акций и интеграцию этих прогнозов в рамках модели Блэка-Литтермана для построения оптимальных портфелей. Портфели, построенные с использованием такой гибридной модели, часто превосходят классические методы оптимизации и демонстрируют устойчивость в периоды рыночной волатильности.
• Графовые модели (Graph Neural Networks): Позволяют анализировать взаимосвязи между активами (например, корпоративные связи, отраслевые зависимости) для построения более устойчивых портфелей.
• Байесовская статистика: Предоставляет фреймворк для обновления вероятностных распределений ожиданий инвесторов по мере поступления новой информации, что позволяет создавать более адаптивные модели.

Ограничения применения ИИ и этические аспекты

Несмотря на впечатляющие возможности, важно осознавать ограничения применения ИИ в финансовой сфере.

• Проблемы с числовыми данными: Большинство популярных инструментов искусственного интеллекта, такие как генеративные модели текста, обрабатывают естественный язык и специализируются на тексте, а не на числах. Это создает фундаментальные проблемы для анализа рынков и решения сложных математических задач, необходимых для инвестиционной деятельности, где точность и интерпретируемость числовых данных критически важны.
• Вспомогательная роль, а не замена: ИИ является мощным инструментом, способным усилить инвестора и повысить эффективность его работы, но он не может полностью заменить эксперта или служить «роботом, который инвестирует за вас». Любая система ИИ лишь помогает поддерживать стратегию, но не заменяет опыта, интуиции и ценностного суждения инвестора, особенно в условиях беспрецедентных рыночных событий.
• «Черный ящик» и интерпретируемость: Некоторые сложные модели МО, особенно глубокие нейронные сети, могут действовать как «черный ящик», затрудняя объяснение того, почему они принимают те или иные решения. Это создает проблемы с доверием и регулированием, особенно когда речь идет о значительных финансовых активах.
• Этические аспекты и предвзятость: Если алгоритмы обучаются на исторических данных, которые содержат системные смещения или предвзятость, ИИ может воспроизводить и даже усиливать эти смещения в своих решениях, что может привести к несправедливым или дискриминационным исходам.

Прогнозирование рынков капитала с использованием ИИ сопряжено с фундаментальными проблемами, которые финансовая индустрия активно пытается интегрировать в свои инструменты, постоянно работая над повышением надежности, прозрачности и этичности применения этих технологий.

Практические примеры и кейс-стади формирования и управления оптимальным портфелем

Теоретические концепции оптимального портфеля обретают свою полную ценность, когда иллюстрируются практическими примерами и кейс-стади. Они помогают лучше понять, как абстрактные модели трансформируются в реальные инвестиционные решения и стратегии.

Пример 1: Ребалансировка портфеля для поддержания целевого распределения активов

Предположим, инвестор А, сторонник умеренно-консервативной стратегии, изначально сформировал портфель с целевым соотношением 45% акций и 55% облигаций. Через год, благодаря активному росту фондового рынка, доля акций в его портфеле увеличилась до 50%, а облигаций, соответственно, снизилась до 50%. Без ребалансировки портфель стал бы более агрессивным, чем планировалось, увеличивая риск.

Для восстановления первоначального баланса инвестору А необходимо продать часть акций (примерно на 5% от текущей стоимости портфеля) и приобрести облигации на ту же сумму. Этот процесс позволяет зафиксировать прибыль в выросших активах и докупить подешевевшие, возвращая портфель к желаемому профилю риска и доходности.

Исследование Vanguard, проведенное на исторических данных с 1926 по 2014 годы, показало, что регулярная ребалансировка действительно позволяет поддерживать желаемое соотношение активов в портфеле, что в итоге может привести к снижению риска и увеличению доходности по сравнению с портфелем без ребалансировки. Для большинства инвесторов мониторинг раз в год или раз в полгода с ребалансировкой при пороговом значении 5% (то есть, если доля актива отклоняется от целевой на 5 процентных пунктов) может обеспечить разумный баланс между контролем рисков и минимизацией затрат.

Пример 2: Формирование портфеля для различных инвестиционных целей

• Накопление пенсионного капитала: Инвестор Б, которому 30 лет, ставит целью накопление пенсионного капитала к 60 годам. С учетом его долгосрочного горизонта и потенциально высокой толерантности к риску, он может использовать стратегию, при которой доля акций значительно превышает долю облигаций, например, 70% акций и 30% облигаций. По мере приближения к пенсионному возрасту (например, каждые 5 лет), он будет постепенно снижать долю акций и увеличивать долю облигаций, чтобы уменьшить волатильность портфеля и защитить накопленный капитал. Такие рекомендации могут быть индивидуальными и зависят от личных обстоятельств и предпочтений инвестора.
• Краткосрочная цель (например, покупка автомобиля через 3 года): Инвестор В имеет краткосрочную цель и низкую толерантность к риску. Его портфель будет значительно смещен в сторону консервативных активов, таких как высококачественные облигации, денежные эквиваленты или краткосрочные вклады, чтобы минимизировать риск потерь капитала, даже если потенциальная доходность будет ниже.

Пример 3: Использование ИИ-сервисов для оптимизации портфеля

Современные технологии предлагают инвесторам новые инструменты для управления портфелем.

• Kavout (глобальный сервис): Этот ИИ-сервис предлагает модельные портфели для различных инвестиционных стратегий, используя машинное обучение для анализа рыночных данных, оценки активов и прогнозирования их динамики. Инвестор может выбрать портфель, соответствующий его риск-профилю, и получать автоматизированные рекомендации по его формированию и управлению.
• Т-Инвестиции (российский сервис): Активно применяет ИИ для анализа российского рынка и поиска инвестиционных идей. Сервис предоставляет персонализированные рекомендации, основанные на локальных данных, новостях и предпочтениях пользователя. Например, ИИ может подсказать, какие российские акции могут быть недооценены или какие облигации предлагают оптимальное соотношение доходности и риска с учетом текущей макроэкономической ситуации в РФ.

Эти примеры демонстрируют, как теоретические принципы оптимального портфеля, будь то классические или с учетом поведенческих факторов, находят свое практическое применение в реальном мире инвестиций, постоянно эволюируя под влиянием новых технологий.

Заключение

Исследование задачи об оптимальном портфеле ценных бумаг позволило глубоко погрузиться в мир инвестиционного менеджмента, начиная с его фундаментальных теоретических основ и заканчивая передовыми технологиями. Мы проследили эволюцию мысли от классических моделей Гарри Марковица, заложившего основу количественного подхода к диверсификации, и модели CAPM, связавшей риск и доходность через систематический фактор, до многофакторной теории APT. Каждая из этих моделей, несмотря на свои допущения и ограничения, внесла неоценимый вклад в понимание рационального инвестирования.

Были рассмотрены важнейшие обобщения и модификации, которые позволяют адаптировать классические подходы к реальным условиям, включая учет таких неклассических факторов, как ликвидность, транзакционные издержки и валютный риск. Особое внимание уделено поведенческой портфельной теории, которая бросает вызов предположению о полной рациональности инвесторов, предлагая более реалистичный взгляд на процесс принятия инвестиционных решений.

Мы систематизировали методы и стратегии формирования и управления портфелем, проведя сравнительный анализ активного и пассивного подходов, а также представили современные методы оптимизации, включая инновационный алгоритм иерархического распределения риска (HRP). Детально рассмотрены ключевые метрики оценки эффективности инвестиций — коэффициенты Шарпа, Трейнора и Йенсена (альфа), а также меры риска VaR и CVaR, которые позволяют объективно анализировать результаты инвестиционной деятельности. Принципы и стратегии ребалансировки портфеля, подкрепленные выводами ведущих исследований, подчеркнули необходимость динамичного управления активами для поддержания желаемого профиля риска и доходности.

Особый блок исследования был посвящен специфике российского финансового рынка, его макроэкономическому контексту в период 2020-2023 годов, а также уникальным факторам нестабильности, таким как высокая доля частных инвесторов и отсутствие иностранного керри-трейда. Была отмечена необходимость адаптации моделей и методов для этих условий, указывая на применимость модифицированной модели Марковица.

Наконец, мы изучили роль современных инструментов и технологий, таких как искусственный интеллект и машинное обучение, в задачах оптимизации портфеля. Было показано, как ИИ трансформирует прогнозную аналитику, алгоритмическую торговлю, управление рисками и персонализацию инвестиционных стратегий, с акцентом на применение глубоких нейронных сетей. Одновременно с этим, были подчеркнуты ограничения и этические аспекты применения ИИ, акцентирующие его вспомогательную роль для эксперта, а не полную замену.

В целом, задача об оптимальном портфеле ценных бумаг продолжает оставаться в центре внимания финансовой науки и практики. Перспективы развития связаны с дальнейшей разработкой гибридных моделей, интегрирующих классические подходы с методами машинного обучения и поведенческой экономикой, а также с созданием более совершенных автоматизированных систем, способных учитывать сложную динамику рынков и индивидуальные предпочтения инвесторов. Значимость адаптации этих моделей к условиям развивающихся рынков, таких как российский, остается критически важной для повышения эффективности инвестиционного процесса и устойчивости финансовой системы.

Список использованной литературы

1. Борисова И., Замараев Б., Киюцевская А., Назарова А., Суханов Е. Растущая российская экономика на фоне растущей внешней напряженности // Вопросы экономики. 2013. № 6. С. 23.
2. Бродская Е. Производные кризиса или кризис производных // Национальный банковский журнал. 31.07.2013.
3. Буренин А.П. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов. Москва: 1-я Федеративная Книготорговая компания, 2013. 352 с.
4. Вектор. Оценки, прогнозы, приоритеты // Экспертно-аналитический журнал. 2013. № 14 (декабрь). С. 54.
5. Деривативы на финансовых рынках следует запретить. 16.07.2013. URL: http://www.warandpeace.ru/ru/commentaries/view/71309/
6. Докучаев А. Производные инструменты: торговать в России или за рубежом? URL: http://www.1-du.ru/news/analysis/486498/
7. Ермилина Д.А. Особенности финансирования инвестиций в основной капитал российской экономики // Проблемы экономики. 2013. № 5. С. 63–70.
8. Курятникова О., Митрофанов П. Расписки для ликвидности // Эксперт. 2012. № 39 (772). С. 168.
9. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. Неоклассические основы теории финансов. Санкт-Петербург: Питер, 2012.
10. Курятникова О., Митрофанов П. Капитализация: лекарство от спекулянтов // Эксперт. 2013. № 39 (821). С. 156.
11. Малыхин В.И. Финансовая математика. Москва: Юнити, 2012.
12. Российский фондовый рынок: первое полугодие 2014 года. URL: http://www.naufor.ru/download/pdf/factbook/ru/RFR2014_1.pdf
13. Семенкова Е. В. Операции с ценными бумагами. Москва, 2012. Гл. 6.
14. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. Москва: Инфра-М, 2013.
15. Уильям Ф. Шарп, Гордон Дж. Александер, Джеффри В. Бэйли. Инвестиции. Москва: Инфра-М, 2012.
16. Уотшем Т.У., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. Москва: Юнити, 2010.
17. Шаповал А.Б. Инвестиции: математические методы. Москва: Форум; Инфра-М, 2011.
18. Эксперт. 2013. № 40 (822). 8 октября. Источники: центральные банки и статистические ведомства соответствующих стран. Электронный ресурс: http://expert.ru/expert/2013/40/zamyisel-kapitala/media/163639/
19. Официальный сайт НРД. URL: http://www.nsd.ru/ru/press/pressrel/index.php?id22=99067
20. Росстат. URL: http://www.gks.ru/bgd/free/b04_03/IssWWW.exe/Stg/d01/106inv24.htm
21. Фондовый рынок России. URL: http://russfond.ru/fondovye-rynki/istoriya-fondovogo-rynka-rossii.html
22. Harrington C. Mutual fund strategy // Journal of Accountancy. 2004. № 6. Р. 32-51.
23. Linsmeier T. J., Pearson N. D. Risk measurement: an introduction to value at risk, Champaign, IL: University of Illinois, 1996.
24. Markowitz H. Portfolio Selection; Efficient Diversification of Investments. N.Y., 2012.
25. Modern portfolio theory and investment analysis / Elton E.J., Gruber M.J., Brown S.J., Goetzman W.N. 6th ed. N.Y.: John Wiley & Sons, Inc., 2003. 705 p.
26. Prather L., Bertin W.J., Henker T. Mutual funds characteristics, managerial attributes, and fund performance // Review of Financial Economics. 2004. Vol. 13, № 4. Р. 305-326.
27. Sharp W.F. Capital Asset Prices; A Theory of Market Equilibrium inder Conditions of Risk. Journal of Finance. 1952.
28. CAPM: теория, преимущества и недостатки. URL: https://www.accaglobal.com/ru/ru/member/discover/technical-articles/financial-management/capm-theory-advantages-and-disadvantages.html
29. Применение модели CAPM для оценки стоимости собственного капитала | программа CFA. URL: https://fin-accounting.ru/capm-cost-of-equity/
30. ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ МАШИННОГО ОБУЧЕНИЯ ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ ПОРТФ. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/primenenie-algoritmov-mashinnogo-obucheniya-dlya-optimizatsii-portf/viewer
31. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ И ОПТИМИЗАЦИИ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ. URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40243
32. ВЛИЯНИЕ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ НА ФОРМИРОВАНИЕ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ В УСЛОВИЯХ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ НЕСТАБИЛЬНОСТИ. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/vliyanie-makroekonomicheskih-faktorov-na-formirovanie-investitsionnogo-portfelya-v-usloviyah-ekonomicheskoy-nestabilnosti/viewer
33. Оценка эффективности управления инвестиционным портфелем. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/otsenka-effektivnosti-upravleniya-investitsionnym-portfelem/viewer
34. ОПТИМИЗАЦИЯ ПОРТФЕЛЬНОЙ ТЕОРИИ МАРКОВИЦА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОВЕДЕНЧЕСКИХ ФИНАНСОВ. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/optimizatsiya-portfelnoy-teorii-markovitsa-s-ispolzovaniem-povedencheskih-finansov/viewer
35. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ УМЕРЕННО-АГРЕССИВНОГО ИНВЕСТОРА С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ ЛИКВИДНОСТИ. URL: https://www.vaael.ru/ru/publication/view?id=439
36. Оптимизация портфеля с применением методов машинного обучения: еще один подход. URL: https://www.hse.ru/edu/vkr/738243884
37. Современные методы оценки эффективности портфеля ценных бумаг: сравнительный анализ, критерии выбора и автоматизация процесса принятия решений. URL: https://www.hse.ru/edu/vkr/370243467
38. Теория арбитражного ценообразования. URL: https://economicus.ru/glossary/teoriya-arbitrazhnogo-tsenoobrazovaniya
39. Портфельное инвестирование в условиях высоко нестабильных финансовых рынков. URL: https://www.dissercat.com/content/portfelnoe-investirovanie-v-usloviyakh-vysoko-nestabilnykh-finansovykh-rynkov
40. Модель ценообразования капитальных активов: модель ценообразования капитальных активов, ее применение и ограничения. URL: https://fastercapital.com/ru/content/model-tsenoobrazovaniya-kapital’nykh-aktivov—model’-tsenoobrazovaniya-kapital’nykh-aktivov—ee-primenenie-i-ogranicheniya.html
41. Оптимизация портфеля: как оптимизировать свой портфель с помощью методов оценки инвестиционного риска. URL: https://fastercapital.com/ru/content/optimizatsiya-portfelya—kak-optimizirovat’-svoy-portfel’-s-pomoshch’yu-metodov-otsenki-investitsionnogo-riska.html
42. ИНВЕСТИЦИИ В ПЕРИОД ТУРБУЛЕНТНОСТИ: КАК СФОРМИРОВАТЬ СВОЙ ПОРТФЕЛЬ ИНВЕСТИЦИЙ И ЗАЩИТИТЬ СВОИ СБЕРЕЖЕНИЯ ОТ ИНФЛЯЦИИ. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=49014197
43. ИИ для инвестиций: подводные камни и перспективы. 2023. URL: https://www.finam.ru/publications/item/ii-dlya-investicii-podvodnye-kamni-i-perspektivy-20230801-1310/
44. Активное и пассивное инвестирование: плюсы и минусы. 2022. URL: https://www.finam.ru/publications/item/aktivnoe-i-passivnoe-investirovanie-plyusy-i-minusy-20221124-1100/
45. Портфельная теория Марковица: оценка риска и доходности инвестиционного портфеля. URL: https://www.tbank.ru/invest/education/markowitz-portfolio-theory/
46. Модель CAPM: формулы и примеры расчета. URL: https://fd.ru/articles/106649-model-capm-formuly-i-primery-rascheta
47. Активное и пассивное инвестирование: чем отличаются. URL: https://www.sberbank.com/ru/person/invest/articles/active-and-passive-investing-what-is-the-difference
48. Когда и зачем корректировать инвестиционный портфель. URL: https://vinvestor.ru/posts/kogda-i-zachem-korrektirovat-investiczionnyj-portfel
49. Что такое ребалансировка портфеля и как ее делать. URL: https://magnuminvest.ru/article/chto-takoe-rebalansirovka-portfelya-i-kak-ee-delat
50. Инвестиции по теории Марковица – Суть и составление портфеля. URL: https://equity.today/investicii-po-teorii-markovica.html
51. 7 причин нестабильности российского фондового рынка. URL: https://journal.tinkoff.ru/instability/
52. Моделирование оптимального инвестиционного портфеля. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/modelirovanie-optimalnogo-investitsionnogo-portfelya-umerenno-agressivnogo-investora/viewer
53. Искусственный интеллект и фондовый рынок: как технологии влияют на инвестиции. URL: https://www.banki.ru/news/daytheme/?id=10996841
54. Оптимизация инвестиционного портфеля. URL: https://www.fincult.info/blog/optimizatsiya-investitsionnogo-portfelya/
55. Что такое ребалансировка инвестиционного портфеля и зачем она нужна. URL: https://journal.open-broker.ru/investments/chto-takoe-rebalansirovka-investicionnogo-portfelja/