Математическое моделирование как инструмент оптимизации управленческих процессов в спортивных организациях: комплексный анализ и перспективы

В динамичном и высококонкурентном мире современного спорта, где на кону стоят не только спортивные достижения, но и многомиллионные контракты, репутация и будущее целых организаций, полагаться исключительно на интуицию становится непозволительной роскошью. Успех все чаще зависит от способности принимать быстрые, точные и научно обоснованные решения, и именно здесь на авансцену выходит математическое моделирование – мощный аналитический инструмент, способный трансформировать хаотичные потоки данных в ценные управленческие инсайты.

Настоящая курсовая работа призвана дать студенту-исследователю глубокое понимание сущности, задач и функций математического моделирования в контексте оптимизации процессов управления в спортивных организациях. Мы последовательно пройдем путь от фундаментальных определений и исторического осмысления до конкретных примеров применения и анализа вызовов, стоящих перед этой передовой методологией. Структура работы выстроена таким образом, чтобы каждый раздел раскрывал определенный аспект темы, формируя целостную и всестороннюю картину.

Актуальность и значимость математического моделирования в спорте

Современный спорт переживает настоящую цифровую революцию. Биометрические датчики, носимые устройства, системы GPS-трекинга, инерциальные измерительные устройства (ИИУ) и оптические системы неустанно собирают сотни параметров о каждом спортсмене: от частоты сердечных сокращений и уровня кислорода в крови до скорости, ускорения, дистанции, биомеханики движений и даже данных о сне. Эти огромные массивы информации, дополняемые видеоаналитикой и социально-медийными источниками, требуют принципиально новых подходов к обработке и интерпретации.

Именно в таких условиях математические методы становятся не просто желательным дополнением, а жизненно важным инструментом для повышения эффективности и снижения рисков. Они позволяют делать точные прогнозы на основе данных и моделей, что крайне важно для минимизации рисков перетренированности и травматизма спортсменов, а также для принятия стратегических решений в управлении всей спортивной организацией. Более того, использование искусственного интеллекта и расширенной аналитики позволяет повысить точность предсказания спортивных результатов до 38% по сравнению с традиционными, интуитивными методами, что напрямую влияет на качество управленческих решений. Таким образом, математическое моделирование выступает как незаменимый проводник в мире больших данных, превращая их в конкурентное преимущество, обеспечивая спортивным организациям возможность принимать более обоснованные и эффективные решения, которые напрямую влияют на их успех на всех уровнях.

Цели и задачи курсовой работы

Цель курсовой работы: Провести комплексный анализ сущности, задач и функций математического моделирования как ключевого инструмента оптимизации процессов управления в современных спортивных организациях, обосновав его фундаментальное значение и перспективы развития.

Задачи курсовой работы:

1. Определить ключевые термины и концепции, связанные с математическим моделированием, оптимизацией и управлением спортивными организациями.
2. Раскрыть исторический контекст и эволюцию математического моделирования как «третьего пути познания».
3. Систематизировать основные функции математического моделирования в управлении организациями, включая прогностическую, аналитическую и оптимизационную.
4. Детализировать итеративные этапы процесса математического моделирования применительно к социально-экономическим задачам спортивного менеджмента.
5. Идентифицировать и классифицировать специфические задачи управления в спортивных организациях, которые могут быть решены с помощью математического моделирования.
6. Представить обзор основных видов математических моделей, применимых в спортивном менеджменте, и проанализировать факторы, влияющие на их выбор.
7. Привести примеры успешного применения математического моделирования, демонстрирующие его эффективность в повышении конкурентоспособности спортивных организаций.
8. Выявить основные вызовы, барьеры и перспективы внедрения математического моделирования в управленческую практику современных спортивных организаций.

Сущность, исторический контекст и фундаментальное значение математического моделирования

Чтобы в полной мере оценить потенциал математического моделирования в спортивном менеджменте, необходимо сначала понять его глубокую сущность, исторические корни и фундаментальную роль в научном познании и управлении. Это не просто набор формул, а целостный методологический подход, который позволяет взглянуть на реальность сквозь призму количественных закономерностей.

Определение и основные принципы математического моделирования

В своей основе математическое моделирование — это процесс построения и изучения математических моделей, которые представляют реальность с помощью математических средств. Иными словами, это перевод сложной системы или явления на язык математики для последующего анализа, прогнозирования и оптимизации. Модель в данном контексте выступает как посредник между исследователем и изучаемым объектом, позволяя глубоко проникнуть в его суть.

Ключевые понятия, неотделимые от математического моделирования в контексте управления спортивной организацией:

• Оптимизация: Процесс выбора наилучшего варианта из множества возможных, который максимизирует или минимизирует определенную целевую функцию (например, прибыль, спортивный результат, минимизация затрат) при заданных ограничениях. В спорте это может быть оптимизация тренировочного плана, состава команды или расписания соревнований.
• Управление спортивной организацией: Комплекс целенаправленных действий, направленных на достижение целей спортивной организации (от клуба до федерации), включающий планирование, организацию, мотивацию, контроль и анализ ресурсов (человеческих, финансовых, материальных, информационных).
• Процесс управления: Последовательность взаимосвязанных действий, обеспечивающих функционирование и развитие организации. Математическое моделирование интегрируется в каждый этап этого процесса, делая его более обоснованным и эффективным.

Базовые принципы построения математических моделей включают:

1. Адекватность: Модель должна достаточно точно отражать существенные свойства и поведение реальной системы.
2. Простота: Модель должна быть максимально простой, но при этом сохранять адекватность. Излишняя сложность может затруднить анализ и интерпретацию.
3. Воспроизводимость: Модель должна давать стабильные результаты при повторном использовании одних и тех же входных данных.
4. Верифицируемость: Результаты моделирования должны быть сопоставимы с реальными данными или экспериментальными наблюдениями.
5. Гибкость: Модель должна допускать модификации и адаптацию к изменяющимся условиям.

Математическое моделирование как «третий путь познания»: исторический экскурс

Исторически человечество опиралось на два основных пути познания: теоретические рассуждения и эмпирические эксперименты. Однако в середине XX века, с появлением первых электронно-вычислительных машин, математическое моделирование пережило свое «второе рождение» и прочно утвердилось как «третий путь познания».

Этот революционный сдвиг произошел в конце 1940-х – начале 1950-х годов. Появление компьютеров открыло беспрецедентные возможности для проведения сложных расчетов и имитации процессов, которые были недоступны для аналитического решения или проведения реальных экспериментов. Примером такого «социального заказа» стало выполнение национальных программ по созданию ракетно-ядерного щита, требовавших колоссального объема моделирования.

Суть «третьего пути» заключается в том, что оно дополняет традиционные методы, позволяя исследовать системы, эксперименты с которыми затруднены, экономически невыгодны или физически невозможны. В спорте это означает возможность:

• Изучать адаптацию организма к предельным физическим нагрузкам без риска для здоровья спортсмена.
• Планировать и оптимизировать тренировочные нагрузки, предсказывая их влияние на динамику спортивной формы.
• Исследовать сложные физиологические и биохимические процессы, такие как активация транскрипционного коактиватора PGC1α, пролиферация мышечных волокон типа I, митохондриальный биогенез, улучшение механизмов окисления жиров и прирост запасов гликогена, на абстрактном уровне.

Таким образом, математическое моделирование стало мощным когнитивным инструментом, углубляющим наши знания об изучаемых процессах, выявляющим широкий спектр откликов системы при изменении параметров и позволяющим формулировать количественные гипотезы и предсказывать новые явления.

Функции математического моделирования в современном управлении организациями

В современном управлении организациями, и спортивными в частности, математическое моделирование выполняет ряд критически важных функций:

1. Прогностическая функция: Позволяет делать точные прогнозы на основе данных и моделей. Например, предсказывать финансовые потоки, спрос на билеты, вероятность победы команды или динамику спортивной формы спортсмена. Это способствует существенному снижению рисков при принятии управленческих решений. Применение прогностических математических моделей в спортивной медицине, например, позволяет минимизировать риски перетренированности и травматизма спортсменов, что является прямой выгодой для спортивной организации, инвестирующей в человеческий капитал.
2. Аналитическая функция: Служит инструментом анализа плановых расчетов, опираясь на количественную определенность характеристик и оценок. Моделирование помогает выявить скрытые закономерности в данных, понять взаимосвязи между различными факторами и оценить влияние изменений в одних параметрах на другие. В спорте это может быть анализ эффективности тренировочных программ, корреляция между физиологическими показателями и соревновательными результатами, или даже влияние логистики на утомляемость команды.
3. Оптимизационная функция: Позволяет находить наилучшие решения для управленческих задач. Моделирование позволяет исследовать различные сценарии и выбрать тот, который максимизирует целевую функцию при заданных ограничениях. Это может быть оптимизация состава команды, распределение бюджета, составление расписания соревнований или разработка индивидуальных тренировочных планов, выводящих спортсмена на пик спортивной формы к определенному дню. Например, можно рассчитать оптимальный тренировочный импульс (TRIMPS), который отражает совокупный метаболический стресс для организма и учитывает индивидуальный лактатный профиль, мощность нагрузки, время тренировки и резерв частоты сердечных сокращений, тем самым минимизируя «физиологическую цену» спортивного результата.

Эти функции в совокупности делают математическое моделирование незаменимым инструментом для любого современного менеджера, стремящегося к повышению эффективности, обоснованности и конкурентоспособности своей организации.

Этапы процесса математического моделирования в спортивном менеджменте

Математическое моделирование – это не одноразовый акт, а последовательный, итеративный процесс, требующий внимательного подхода на каждом этапе. Особенно это касается сложных систем, таких как спортивные организации, где переплетаются экономические, социальные, физиологические и психологические факторы. Понимание этого процесса критически важно для успешного применения моделей в управленческой практике.

Общая схема итеративного процесса моделирования

Процесс построения математической модели для социально-экономических процессов, включая управление спортивной организацией, можно представить в виде следующих ключевых этапов:

1. Формулировка цели моделирования: На этом начальном этапе необходимо четко определить, что именно мы хотим исследовать, прогнозировать или оптимизировать. Например, «оптимизация финансовых потоков спортивного клуба на следующий сезон» или «прогнозирование спортивных результатов для отбора в сборную». Цель должна быть конкретной, измеримой, достижимой, релевантной и ограниченной во времени (SMART).
2. Выбор инструментария: Определение, какие математические методы и инструменты будут использоваться (например, регрессионный анализ, линейное программирование, имитационное моделирование, алгоритмы машинного обучения). Выбор зависит от характера задачи и доступных данных.
3. Определение индикаторов-показателей: Выбор конкретных измеримых величин, которые будут использоваться в модели. Это могут быть финансовые показатели (доходы, расходы), спортивные метрики (скорость, дистанция, количество очков), физиологические параметры (ЧСС, уровень лактата) или социально-экономические индикаторы (количество абонементов, посещаемость матчей).
4. Определение горизонта прогнозирования: Установление временных рамок, на которые будет осуществляться прогноз или оптимизация (например, на ближайший месяц, сезон, олимпийский цикл или 5 лет).
5. Построение списка существенно влияющих факторов: Идентификация всех переменных, которые могут оказывать значительное воздействие на исследуемый процесс. Важно различать управляемые факторы (значения которых могут варьироваться для достижения наилучшего результата, например, объем и интенсивность тренировок, бюджет на маркетинг) и неуправляемые факторы (внешние условия, которые нельзя контролировать, например, погода, решения конкурентов, экономическая ситуация).
6. Определение показателей для каждого фактора и их числовых значений: Сбор и подготовка данных для каждого выявленного фактора. Это может включать исторические данные, результаты измерений, экспертные оценки.
7. Определение связей между показателями: Формулировка математических соотношений (уравнений, неравенств, логических правил), связывающих входные данные (факторы) с выходными данными (индикаторами-показателями). Это ядро модели.
8. Верификация модели: Проверка адекватности и точности построенной модели. На этом этапе сравниваются расчетные данные модели с реальными экспериментальными или историческими данными. Этот процесс является итеративным: если модель показывает недостаточную точность, происходит ее уточнение, корректировка предположений, связей и даже индикаторов. Построение и формулировка окончательной математической модели – это длительный процесс постоянного совершенствования, направленный на достижение максимального количественного соответствия между расчетными и экспериментальными данными.
9. Построение сценариев управленческих воздействий: Использование верифицированной модели для анализа различных «что, если» сценариев. Например, как изменится спортивный результат, если увеличить интенсивность тренировок на 10%, или как повлияет изменение ценовой политики на доходы клуба.
10. Использование модели для прогнозирования и регистрации результатов: Применение модели для генерации прогнозов и получения оптимальных решений, а также документирование полученных результатов для последующего анализа и принятия решений.

Особенности построения моделей для социально-экономических процессов

При моделировании социально-экономических процессов, к которым относится управление спортивной организацией, возникают специфические сложности, требующие особого внимания:

• Субъективность и нелинейность: Человеческий фактор, поведенческие аспекты, рыночные тенденции часто не поддаются простым линейным зависимостям и могут вносить существенную неопределенность.
• Множество влияющих факторов: На экономическую деятельность спортивной организации влияет огромное количество переменных – от спортивных результатов и популярности игроков до макроэкономических показателей и маркетинговых кампаний.
• Проблема мультиколлинеарности: В эконометрическом моделировании это явление, когда между факторными признаками существует сильная линейная взаимосвязь. Например, если инвестиции в инфраструктуру всегда коррелируют с ростом посещаемости, становится сложно отделить влияние каждого фактора в отдельности. Для выявления мультиколлинеарности на этапе подготовки к моделированию часто проводится анализ коэффициентов парной корреляции. При обнаружении сильной корреляции (например, коэффициент корреляции Пирсона r ≥ 0.7-0.8) между двумя независимыми переменными, одну из них могут исключить из модели или применить методы регуляризации (например, гребневую регрессию), чтобы избежать нестабильности оценок коэффициентов и некорректной интерпретации результатов.
• Выбор адекватных индикаторов: Важно выбрать те показатели, которые действительно отражают суть исследуемого процесса и при этом доступны для измерения.
• Определение горизонта прогнозирования: В социально-экономических системах долгосрочные прогнозы часто менее точны из-за высокой динамики внешней среды и большого количества неконтролируемых факторов.

Для решения этих проблем в эконометрическом моделировании часто используются специализированные подходы, такие как различные виды регрессионного анализа, методы временных рядов, панельные данные, а также качественные методы для учета неформализуемых факторов.

Роль междисциплинарного сотрудничества и верификация модели

Успешное математическое моделирование в спорте практически невозможно без междисциплинарного сотрудничества. Физиологи-экспериментаторы, тренеры, спортивные врачи, экономисты и математики-разработчики должны работать в тесной связке.

• Физиологи и тренеры предоставляют эмпирические данные о физиологических процессах в организме спортсмена, динамике спортивной формы, влиянии тренировочных нагрузок и биомеханике движений. Они формулируют задачи, исходя из реальных потребностей спортивной практики.
• Математики переводят эти задачи и данные на язык математики, строят модели, разрабатывают алгоритмы и проводят вычислительные эксперименты.
• Экономисты и менеджеры предоставляют данные о финансовых, организационных и маркетинговых аспектах деятельности спортивной организации, а также формулируют задачи оптимизации управленческих процессов.

Такое сотрудничество позволяет:

1. Создавать более адекватные модели: Объединение экспертных знаний из разных областей обеспечивает более полное и точное представление о моделируемой системе.
2. Экономить ресурсы: Междисциплинарный подход позволяет заменить дорогостоящие и трудоемкие реальные физиологические эксперименты вычислительными экспериментами. Например, вместо того чтобы проводить длительные и рискованные испытания на спортсменах, можно смоделировать влияние различных стрессорных нагрузок, собрать обширный статистический материал и определить оптимальные режимы тренировок и восстановления на компьютере.
3. Обеспечивать эффективную верификацию: Постоянное сопоставление результатов моделирования с реальными наблюдениями и экспертными оценками позволяет итеративно уточнять и совершенствовать модель, добиваясь максимального количественного соответствия между расчетными и экспериментальными данными. Этот итерационный цикл «построение – верификация – уточнение» является краеугольным камнем успешного математического моделирования.

Задачи и функции математического моделирования в оптимизации управленческих процессов в спорте

Математическое моделирование – это не просто теоретическая концепция, а мощный практический инструмент, способный решать широкий круг задач в спортивном менеджменте, от микроуровня индивидуальной подготовки спортсмена до макроуровня стратегического управления всей организацией.

Оптимизация тренировочного процесса и оценки спортсменов

Одной из наиболее активно развивающихся областей применения математического моделирования в спорте является оптимизация тренировочного процесса и объективная оценка способностей спортсменов. Традиционные, зачастую интуитивные подходы тренеров уступают место научно обоснованным методам, позволяющим максимально раскрыть потенциал спортсмена и минимизировать риски.

• Составление и корректировка тренировочных планов, вывод на пик формы: Математические модели помогают построить оптимальный тренировочный цикл, который выводит спортсмена на пик спортивной формы к главным соревнованиям сезона. Они учитывают динамику тренированности, утомления, эффекты адаптации и пороговые факторы. Например, моделирование позволяет исследовать, как изменения в объеме и интенсивности нагрузок влияют на физиологические показатели и спортивный результат. Использование специализированных программных продуктов для моделирования тренировочных программ помогает избегать перегрузок и снижать риск травм.
• Минимизация «физиологической цены» спортивного результата: Это один из ключевых аспектов оптимизации. Математические модели позволяют рассчитать оптимальный тренировочный импульс (TRIMPS) для каждого спортсмена. TRIMPS отражает совокупный метаболический стресс для организма и учитывает индивидуальный лактатный профиль, мощность нагрузки, время тренировки и резерв частоты сердечных сокращений (ЧСС). Формула для расчета тренировочного импульса (TRIMPS) может выглядеть следующим образом:
  TRIMPS = Тренировочная нагрузка × Продолжительность

  При этом «Тренировочная нагрузка» часто рассчитывается как функция от зоны ЧСС. Например:

  TRIMPS = T × B × (HRрезерв / HRмакс)

  где:

  • T — время тренировки в минутах,
  • B — коэффициент, зависящий от интенсивности нагрузки (например, 1 для низкой, 2 для умеренной, 3 для высокой),
  • HR_резерв — резерв частоты сердечных сокращений = HR_{тренировка} — HR_покой,
  • HR_макс — максимальная частота сердечных сокращений.

  Оптимизация TRIMPS позволяет достичь максимального результата при минимальном вреде для организма спортсмена.

• Точная оценка способностей спортсмена и прогнозирование результатов: Математические методы позволяют объективно оценить способности спортсмена, а также спрогнозировать его результаты на основе комплексных данных. Например, с использованием метода линейной регрессии на основе клинических данных углубленного медицинского обследования 6222 спортсменов высокого класса были разработаны прогностические модели параметров физической работоспособности, обеспечивающие комплексную оценку функционального состояния спортсменов с учетом более 40 клинических диагнозов (p < 0,001). Это позволяет принимать обоснованные решения о включении спортсменов в команду или корректировке их индивидуальных программ. Ученые «Сириуса» разработали систему, которая объективно оценивает эффективность спортсменов в командных видах спорта (хоккей, футбол, баскетбол) путем объединения когнитивных, антропометрических и физиологических параметров в единый цифровой профиль, что является значительным шагом вперед по сравнению с субъективными оценками.
• Сокращение метода проб и ошибок: Математическое моделирование позволяет проводить «виртуальные эксперименты» на математической модели спортсмена, что значительно сокращает количество реальных проб и ошибок в тренерской практике, минимизируя риски для здоровья и времени спортсмена.
• Исследование «подводки» к соревнованиям: Моделирование помогает рассчитать различные варианты заключительной части подготовки к соревнованиям, чтобы спортсмен подошел к старту в наилучшей форме.

Стратегическое планирование и принятие решений в спортивных организациях

На макроуровне математическое моделирование становится незаменимым инструментом для стратегического планирования и принятия ключевых управленческих решений, охватывающих широкий спектр деятельности спортивных организаций.

• Прогнозирование деятельности спортивных организаций: Эконометрические модели используются для прогнозирования финансовых показателей, посещаемости мероприятий, динамики членства и других ключевых индикаторов. Это позволяет руководству заранее планировать ресурсы и корректировать стратегии.
• Разработка финансовых стратегий: Моделирование помогает выявлять взаимосвязи между различными факторами (например, спортивные результаты, маркетинговые расходы, ценовая политика) и доходами спортивных клубов. Это позволяет измерять отдачу от затрат на новые спортивные продукты и услуги, оптимизировать распределение бюджета и формировать устойчивые финансовые потоки.
• Привлечение и удержание клиентов: Моделирование потребительского поведения позволяет прогнозировать спрос на абонементы, билеты, сувениры и разрабатывать эффективные маркетинговые кампании, направленные на привлечение новых болельщиков и удержание существующих.
• Мониторинг спортивного оборудования и сооружений: Модели могут быть использованы для планирования технического обслуживания, прогнозирования износа оборудования, оптимизации использования спортивных объектов и снижения эксплуатационных расходов.
• Нахождение оптимального состава игроков в команде: Это одна из самых сложных и стратегически важных задач. Модели могут учитывать индивидуальные характеристики игроков (физические, технические, тактические, психологические), их совместимость, текущую форму, а также стратегию соперника, чтобы определить наилучший состав для конкретного матча или сезона. Например, теория линейного программирования может быть применена для распределения обязанностей в баскетбольной команде с целью максимизации командной эффективности.
• Управление потоками зрителей: В дни проведения массовых мероприятий математические модели могут оптимизировать логистику перемещения зрителей, распределение персонала, работу точек питания и входа/выхода, что повышает безопасность и комфорт.

Моделирование адаптации и биомеханики

Математический аппарат находит широкое применение в глубоком изучении физиологических и биохимических процессов в организме спортсмена, что имеет прямое отношение к управлению его подготовкой.

• Изучение адаптации к предельным физическим нагрузкам: Моделирование позволяет исследовать, как организм спортсмена реагирует на различные виды нагрузок, как происходит адаптация и восстановление. Это критически важно для предотвращения перетренированности и травм. Изучаемые физиологические и биохимические процессы включают динамику спортивной формы, утомление, восстановление, а также активацию транскрипционного коактиватора PGC1α, пролиферацию мышечных волокон типа I, митохондриальный биогенез, улучшение механизмов окисления жиров, активацию транспортера глюкозы GLUT4 и прирост запасов гликогена.
• Анализ биомеханики движений и спортивной техники: Многозвенные модели тела человека (например, пятизвенная модель для изучения прыжковых движений) используются для анализа эффективности техники, выявления ошибок и оптимизации движений. Это позволяет тренерам давать более точные и обоснованные рекомендации спортсменам для улучшения их техники и предотвращения травм, связанных с неправильным выполнением упражнений.

Таким образом, математическое моделирование предоставляет спортивным организациям всесторонний инструментарий для перехода от интуитивного к научно обоснованному менеджменту, что является залогом успеха в современном спорте. Зачем продолжать полагаться на догадки, когда точность и предсказуемость могут стать вашим главным конкурентным преимуществом?

Классификация математических моделей и факторы их выбора в спортивном менеджменте

Многообразие задач в спортивном менеджменте требует широкого спектра математических моделей, каждая из которых имеет свои особенности и оптимальные области применения. Выбор конкретной модели – это ключевой шаг, определяющий успех всего аналитического исследования.

Детерминированные, стохастические и неопределенные модели

В зависимости от характера связей между переменными и наличия случайных факторов, математические модели можно классифицировать следующим образом:

1. Детерминированные модели: В этих моделях все связи между переменными строго определены, и отсутствуют какие-либо случайные или неизвестные внешние факторы. При одних и тех же входных данных детерминированная модель всегда выдает один и тот же результат.
   • Пример в спорте: Модель расчета калорийности рациона питания, основанная на точном знании расхода энергии при определенных нагрузках и составе продуктов. Или, например, простой расчет необходимого времени на восстановление, исходя из фиксированных параметров нагрузки.
   • Сфера применения: Задачи, где известны все параметры и их взаимосвязи, и требуется точный расчет без учета случайных колебаний.
2. Стохастические (вероятностные) модели: В этих моделях действуют случайные факторы, и связи между переменными описываются с помощью вероятностных распределений. Результат стохастической модели при одних и тех же входных данных может варьироваться в определенных пределах.
   • Пример в спорте: Модель прогнозирования исхода спортивного матча, учитывающая вероятность травм игроков, случайные ошибки судей, изменение погодных условий. Или, например, цепи Маркова, используемые для описания вероятностной модели игры, например, в теннисе, где переход из одного состояния игры в другое (например, от подачи к розыгрышу очка) описывается определенными вероятностями.
   • Сфера применения: Задачи, где присутствует значительная неопределенность и случайность, и требуется оценка вероятности различных исходов.
3. Неопределенные модели: В этих моделях детерминированные факторы неизвестны или их невозможно точно измерить, но при этом отсутствует информация о вероятностном распределении.
   • Пример в спорте: Модели принятия решений в условиях полной неопределенности, например, при выборе стратегии развития клуба на долгий срок, когда экономическая и политическая ситуация непредсказуема, а исторических данных для построения вероятностных моделей недостаточно.
   • Сфера применения: Стратегические задачи, где нет достаточной информации для детерминированного или стохастического подхода, и требуется принятие решений на основе экспертных оценок или анализа наихудшего/наилучшего сценария.

Эконометрические модели и регрессионный анализ

Эконометрические модели – это класс моделей, использующих статистические методы для количественного анализа экономических явлений и прогнозирования деятельности организаций. В спортивном менеджменте они незаменимы для:

• Прогнозирования доходов спортивных клубов: Эконометрические модели выявляют взаимосвязи между доходом и такими ключевыми факторами, как спортивные результаты, посещаемость матчей, стоимость прав на трансляции, маркетинговые инвестиции и экономическая конъюнктура. Например, с помощью множественной регрессии можно смоделировать зависимость дохода Y от 5 ключевых факторов (X₁, …, X₅), а затем провести анализ их влияния. Формула может быть представлена в виде:
  Y = β0 + β1X1 + β2X2 + β3X3 + β4X4 + β5X5 + ε

  где Y — прогнозируемый доход, X_i — факторные признаки, β_i — коэффициенты регрессии, ε — случайная ошибка.

• Измерения отдачи от затрат на новые спортивные продукты и услуги: Оценка ROI (Return On Investment) для маркетинговых кампаний, инвестиций в инфраструктуру или новые программы тренировок.
• Модели регрессии (линейная, нелинейная, логистическая и т.д.) являются основой эконометрического анализа. Они применяются на основе числовой информации о поведении анализируемых признаков.
  • Линейные регрессионные модели позволяют создавать прогностические модели физической работоспособности спортсменов, учитывающие клинические диагнозы и физиологические показатели нагрузочного тестирования. Например, можно построить модель для оценки выносливости спортсмена, где зависимая переменная — это VO₂max, а независимые переменные — возраст, пол, индекс массы тела, уровень гемоглобина и результаты определенных тестов.

Искусственный интеллект и машинное обучение для управленческих инсайтов

В эпоху «больших данных» искусственный интеллект (ИИ) и машинное обучение (МО) становятся ведущими инструментами для извлечения ценных управленческих инсайтов в спорте. МО, как основной класс ИИ, позволяет строить более сложные и адаптивные прогностические и оптимизационные модели.

• Обработка огромных объемов данных: Алгоритмы машинного обучения обрабатывают сотни параметров, поступающих от биометрических датчиков (ЧСС, уровень кислорода в крови, температура тела), систем трекинга (GPS, ИИУ — перемещение, скорость, ускорение, дистанция, спринты, удары), а также данные о биомеханике движений, сне и даже когнитивных показателях.
• Выявление скрытых закономерностей: ИИ позволяет выявлять неочевидные связи и паттерны, которые невозможно обнаружить традиционными статистическими методами. Это могут быть индикаторы микротравм до их клинического проявления, прогнозирование логистической усталости команды из-за частых перелетов или скрытые факторы, влияющие на командную химию.
• Повышение точности прогнозов: В спортивном прогнозировании использование машинного обучения может повысить точность предсказаний результатов на 20-38% по сравнению с традиционными методами. Это достигается за счет способности МО адаптироваться к изменяющимся данным и выявлять сложные нелинейные зависимости.
• Примеры алгоритмов: К основным алгоритмам МО, применимым в спорте, относятся нейронные сети, деревья решений, случайный лес, метод опорных векторов, а также более продвинутые методы глубокого обучения.

Оптимизационные модели: линейное, динамическое программирование и теория игр

Оптимизационные модели направлены на поиск наилучшего решения в условиях заданных ограничений и не предназначены для прогнозирования, но основываются на объективных оценках и действиях с известным результатом.

• Линейное программирование: Метод для оптимизации линейной целевой функции при линейных ограничениях.
  • Пример в спорте: Распределение обязанностей в баскетбольной команде. Цель: максимизировать эффективность команды. Ограничения: количество игроков на позиции, индивидуальные навыки каждого игрока, тактические схемы. Например, если X_i — время, которое игрок i проводит на поле, а C_i — его эффективность, то мы хотим максимизировать Σ C_iX_i при условии, что Σ X_i ≤ общее время матча, а также при других ограничениях, связанных с игровыми позициями и усталостью.
• Динамическое программирование: Метод решения сложных задач путем разбиения их на более простые подзадачи. Он применяется, когда решение задачи на текущем шаге зависит от решения на предыдущем шаге (принцип Беллмана).
  • Пример в спорте: Оптимизация тренировочных программ, в том числе для подготовки к марафону. Каждый этап тренировки рассматривается как шаг, и принимается решение, какая нагрузка будет оптимальной, учитывая текущее состояние спортсмена и целевой результат. Принцип Беллмана гласит, что оптимальная стратегия для всей задачи состоит из оптимальных стратегий для каждой подзадачи.
• Теория игр: Математический метод изучения стратегического взаимодействия между рациональными игроками.
  • Пример в спорте: Биматричные игры могут использоваться для анализа стратегии взаимодействия «спортсмен – тренер» или для стратегического принятия решений на уровне клуба (например, выбор трансферной политики с учетом действий конкурентов). Каждый игрок (спортсмен, тренер, клуб-соперник) выбирает стратегию, и исход зависит от совместных решений.

Имитационное моделирование и цепи Маркова

Эти модели предоставляют уникальные возможности для анализа динамических и вероятностных процессов.

• Имитационное моделирование: Создание компьютерной модели, которая имитирует поведение реальной системы во времени. Это позволяет проводить эксперименты с системой без воздействия на реальный объект.
  • Пример в спорте: Имитационное моделирование применяется для изучения и планирования соревновательной деятельности, например, в спортивном ориентировании. Можно моделировать прохождение дистанции спортсменом с различными стратегиями выбора маршрута, учитывая рельеф местности, физическую форму и вероятность ошибок.
• Цепи Маркова (теория графов): Используются для описания последовательности событий, где вероятность каждого последующего события зависит только от состояния системы в текущий момент (отсутствие «памяти»).
  • Пример в спорте: Описание вероятностной модели игры в теннисе, где исход каждого очка зависит от текущего счета и вероятностей выигрыша подачи. Также могут применяться для моделирования травматизма, где вероятность получения травмы на следующем этапе зависит от текущего состояния здоровья спортсмена.

Факторы, влияющие на выбор конкретной модели

Выбор подходящей математической модели – это многофакторный процесс, определяемый следующими критериями:

1. Цель моделирования: Самый важный фактор. Что именно мы хотим получить: прогноз, оптимизацию, анализ взаимосвязей?
2. Инструментарий: Доступные математические методы, программное обеспечение и вычислительные ресурсы.
3. Индикаторы: Какие данные доступны для измерения и какие метрики должны быть получены в результате.
4. Горизонт прогнозирования: На какой период делается прогноз или оптимизация (краткосрочный, среднесрочный, долгосрочный).
5. Существенно влияющие факторы: Какие переменные оказывают наибольшее влияние на систему и могут быть включены в модель.
6. Адекватность модели: Насколько точно модель отражает реальный процесс. Это требует итерационной проверки и верификации.
7. Необходимость учета управленческих воздействий: Если модель должна помочь в принятии управленческих решений, она должна включать управляемые параметры.
8. Наличие и качество данных: Достаточность, актуальность и точность исходных данных являются основой для любой модели.

Тщательный анализ этих факторов позволяет выбрать наиболее подходящую модель, которая обеспечит максимальную эффективность в решении поставленных задач спортивного менеджмента.

Успешные кейсы и доказанная эффективность математического моделирования в спорте

История и современность спортивного менеджмента богаты примерами того, как математическое моделирование превратилось из академической абстракции в мощный инструмент, меняющий подходы к тренировкам, стратегическому планированию и управлению спортивными организациями.

Оптимизация тренировочных программ и достижение пика формы

Одним из наиболее ярких и доказанных направлений применения математического моделирования является оптимизация тренировочного процесса, особенно для спортсменов, ориентированных на выносливость.

• Моделирование динамики спортивной формы: Математические модели связывают тренировочную нагрузку с достигаемыми результатами, позволяя оптимизировать тренировочные программы для стайеров и других спортсменов на выносливость. Моделирование динамики спортивной формы учитывает тренированность, утомление, эффекты адаптации и пороговый фактор, а также эффект насыщения. Например, разработанные модели позволили успешно проверить динамику спортивной формы в ходе реализации различных альтернативных тренировочных программ, что позволило подвести спортсменов к пику формы к главным соревнованиям сезона. Это не просто интуитивное «чувство» тренера, а научно обоснованный расчет, позволяющий минимизировать риски перетренированности и обеспечить оптимальное физиологическое состояние.
• Оптимизация тренировочного импульса (TRIMPS): Как уже упоминалось, расчет и оптимизация TRIMPS позволяет максимизировать спортивный результат при минимизации «физиологической цены». Это позволяет создавать персонализированные программы, учитывающие индивидуальный лактатный профиль, частоту сердечных сокращений и другие биометрические показатели каждого спортсмена.

Исторический опыт СССР: от интуиции к расчетам

Примечательный исторический пример успешного внедрения математических методов в спорт относится к СССР 1960–70-х годов. В этот период произошел значительный переход от интуитивного планирования тренировок к точным расчетам тренировочных нагрузок и прогнозу спортивных результатов.

• Пионерские работы Н.Н. Энгвера: Одним из пионеров в этой области был доктор экономических наук Николай Николаевич Энгвер. Он разработал математическую модель взаимосвязи тренировочных нагрузок и спортивных результатов, которая позволяла прогнозировать рост лучших результатов на основе управляемых параметров интенсивности и объема тренировок. Это был прорыв, изменивший представление о спортивной подготовке.
• Первые конференции по кибернетике в спорте: Значимость этого направления подтверждается фактом проведения первой конференции по кибернетике в спорте 1-2 ноября 1965 года в ГЦОЛИФК, которая собрала около 700 специалистов и представила около 120 докладов. Это свидетельствует о широком признании потенциала математических методов в советской спортивной науке.
• Результат: Такой подход позволил значительно повысить эффективность спортивной тренировки и способствовал высоким достижениям советских спортсменов на международной арене.

Повышение эффективности подготовки спортивного резерва и управления активами

Математическое моделирование также эффективно применяется для повышения общей эффективности спортивных организаций, особенно в работе с резервом и управлении человеческим капиталом.

• Дифференцированные стратегии управления спортсменами: На основе кластерного анализа и анализа медицинских данных, а также нагрузочного тестирования спортсменов высокого класса, математические модели помогают разрабатывать дифференцированные стратегии управления тренировочными программами для различных групп спортсменов. Это позволяет создавать персонализированные рекомендации по тренировкам, учитывая индивидуальные особенности и риски, тем самым повышая отдачу от инвестиций в человеческий капитал и минимизируя риски.
• Научно обоснованный менеджмент спортивных активов: Применение математических методов позволяет перейти от интуитивного управления к научно обоснованному менеджменту спортивных активов, повышая общую эффективность деятельности спортивных организаций. Это включает оптимизацию состава команды, управление талантами, планирование карьерного роста спортсменов.
• Математические модели формирования спортивных групп: Представленные задачами Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, эти модели позволяют исследовать устойчивость стационарных состояний и поведение решений при различных значениях параметров, что крайне важно для эффективного формирования и развития спортивных коллективов.

Финансовое и операционное прогнозирование

В управленческом и экономическом аспектах спортивной деятельности математическое моделирование также демонстрирует высокую эффективность.

• Анализ доходов спортивных клубов: Эконометрические модели универсальны для спортивных организаций с разными финансовыми и экономическими характеристиками. Они успешно применяются для анализа доходов спортивных клубов, выявления факторов, влияющих на них, и разработки финансовых стратегий. Например, можно выявить, как победы в чемпионате влияют на продажи билетов или спонсорские контракты.
• Прогнозирование спортивной успешности: Для описания спортивной карьеры и прогнозирования относительной спортивной успешности в зимних видах спорта могут использоваться полиномы второй и третьей степени. Моделирование с полиномом третьей степени демонстрирует точность прогноза до 66,67%, что является значительным показателем для принятия решений о развитии спортсмена и его потенциале.
• Формирование системы линейных уравнений: В спортивном прогнозировании математический функционал используется для формирования системы линейных уравнений на основе результатов выступлений команд в соревновании, что позволяет более точно оценивать текущую силу команд и прогнозировать будущие исходы.

Эти примеры подтверждают, что математическое моделирование — это не просто теоретическая концепция, а проверенный временем и практикой инструмент, способный значительно улучшить эффективность и конкурентоспособность спортивных организаций на всех уровнях. Почему же некоторые организации до сих пор не используют этот потенциал?

Вызовы и перспективы внедрения математического моделирования в спортивных организациях

Несмотря на очевидные преимущества и доказанную эффективность, внедрение и полноценное использование математического моделирования в спортивных организациях сопряжено с рядом серьезных вызовов. Однако преодоление этих барьеров открывает впечатляющие перспективы для будущего спортивного менеджмента.

Проблемы внедрения: недостаток исследований и цифровые навыки

Одной из основных проблем является недостаточная развитость прикладных математических исследований непосредственно в теории и практике спорта. Хотя существуют отдельные успешные кейсы, системное и широкое использование продвинутых методов, таких как математическое моделирование, интеллектуальный анализ данных и экспертные системы, все еще остается редкостью.

• Недостаточный уровень цифровых навыков: Серьезным барьером является недостаточный уровень цифровых навыков у тренеров, спортивных менеджеров и другого персонала. Понимание данных, способность интерпретировать результаты моделей и владение специализированными цифровыми платформами для анализа – это не просто желательные, а необходимые компетенции в современном спорте. Без этих навыков даже самые совершенные модели останутся невостребованными.
• Сопротивление изменениям: Любое внедрение инноваций сталкивается с сопротивлением традиционным подходам, основанным на интуиции и многолетнем опыте. Переход к научно обоснованному менеджменту требует изменения менталитета и инвестиций в обучение.
• Высокая стоимость и сложность внедрения: Разработка и внедрение сложных математических моделей, а также сопутствующей IT-инфраструктуры, могут быть дорогостоящими и требовать значительных временных и кадровых ресурсов.

Управление «большими данными»: от хаоса к инсайтам

Широкое внедрение цифровых технологий в спорте приводит к экспоненциальному увеличению объемов разнородной и слабоструктурированной информации. Традиционные подходы к ее обработке становятся малоэффективными, а зачастую и вовсе непригодными.

• Объемы и разнообразие данных: Современный спорт генерирует огромные объемы данных от множества источников:
  • Носимые сенсоры: GPS-жилеты, акселерометры, пульсометры, пластырные датчики, встраиваемые в форму устройства, фиксирующие частоту сердечных сокращений, уровень кислорода в крови, температуру тела.
  • Системы трекинга: GPS, инерциальные измерительные устройства (ИИУ), оптические системы, отслеживающие перемещение, скорость, ускорение, дистанцию, количество спринтов, ударов.
  • Медицинские данные: Результаты обследований, анализов, данные о сне.
  • Биомеханические данные: Анализ движений, нагрузок на суставы и мышцы.
  • Видеоаналитика: Детальный разбор игровых ситуаций.

  В командных видах спорта такие данные могут измеряться сотнями параметров на одного спортсмена.

• Потребность в мультипараметрических подходах: В таких условиях возникает острая потребность в разработке и применении новых мультипараметрических подходов к анализу и интерпретации данных. Это означает необходимость интеграции различных типов данных, их совместной обработки и выявления сложных взаимосвязей, которые не могут быть обнаружены при анализе каждого параметра в отдельности.

Перспективы развития: вычислительный эксперимент и автоматизированные системы

Несмотря на вызовы, будущее математического моделирования в спорте выглядит чрезвычайно многообещающим. Оно рассматривается как ключевое направление развития.

• Вычислительный эксперимент как будущее физиологии и биомедицины: Благодаря универсальному характеру для моделирования любых физиологических процессов, математическое моделирование и вычислительный эксперимент рассматриваются как будущее физиологии и биомедицины, включая спортивную медицину. Это позволит проводить более глубокие исследования адаптации организма к тренировочным нагрузкам и восстановлению спортсменов без необходимости дорогостоящих и рискованных реальных экспериментов.
• Автоматизированные системы управления физическим состоянием спортсменов: Важным разделом специальной теории спорта будет разработка математических моделей развития адаптации в процессе спортивной тренировки и создание полностью автоматизированных систем управления физическим состоянием спортсменов. Эти системы будут в реальном времени собирать данные, анализировать их, корректировать тренировочные планы и выдавать рекомендации.
• Методы дистанционного контроля и управления: В перспективе ожидается разработка и внедрение методов дистанционного контроля и управления ключевыми биологическими функциями, определяющими спортивные достижения. Для дистанционного контроля уже используются и разрабатываются носимые технологии, такие как датчики, фиксирующие пульс, ЭМГ сигналы, скорость и позиционные данные, что позволяет в реальном времени оценивать состояние спортсмена и оперативно вмешиваться в тренировочный процесс или процесс восстановления.
• ИИ-ассистенты для тренеров и менеджеров: Развитие ИИ позволит создавать интеллектуальные системы, которые будут не только анализировать данные, но и предлагать оптимальные управленческие решения, выступая в роли высококвалифицированных ассистентов для тренеров, спортивных врачей и менеджеров.

Математическое моделирование как основа принятия решений в условиях неопределенности

В условиях постоянно меняющейся внешней среды и множества альтернатив, потребность в принятии обоснованных решений только возрастает. Математические методы становятся незаменимыми для выбора наилучшего варианта, максимизирующего прибыль, спортивные результаты или полезность в целом.

• Оптимизация в условиях риска: Моделирование позволяет количественно оценить риски различных решений и выбрать стратегию, которая наилучшим образом соответствует профилю риска организации.
• Сценарное планирование: Создание различных сценариев развития событий и оценка их влияния на деятельность организации с помощью моделей помогает подготовиться к возможным изменениям.

Таким образом, несмотря на существующие барьеры, потенциал математического моделирования в спортивном менеджменте огромен. Его дальнейшее развитие и широкое внедрение станут ключом к повышению эффективности, устойчивости и конкурентоспособности спортивных организаций в XXI веке.

Заключение

Математическое моделирование, эволюционировавшее от абстрактного научного метода до «третьего пути познания», стало незаменимым инструментом в современном управлении, особенно в динамичной и высококонкурентной сфере спортивных организаций. Проведенный анализ продемонстрировал его фундаментальное значение, многофункциональность и широкий спектр прикладных возможностей, простирающихся от персонализированной оптимизации тренировочных программ до стратегического финансового планирования и управления человеческими активами.

Мы увидели, как математические модели позволяют трансформировать огромные объемы данных, генерируемых современными спортивными технологиями, в ценные управленческие инсайты, обеспечивая точные прогнозы, минимизируя риски и повышая общую эффективность. От исторических примеров советской спортивной науки, перешедшей от интуиции к расчетам, до современных кейсов использования искусственного интеллекта и машинного обучения для выявления скрытых закономерностей и повышения точности прогнозов до 38% – доказательства эффективности налицо.

Однако путь к повсеместному внедрению математического моделирования не лишен вызовов. Недостаточная развитость прикладных исследований, дефицит цифровых навыков у персонала и сложность управления «большими данными» требуют систематического решения. Тем не менее, перспективы развития, связанные с вычислительным экспериментом как будущим спортивной физиологии и созданием автоматизированных систем управления, указывают на необратимость этого трансформационного процесса.

В заключение следует подчеркнуть, что математическое моделирование – это не просто набор инструментов, а философия управления, основанная на объективности, точности и рациональном принятии решений. Для студентов, специализирующихся в менеджменте и прикладной математике, освоение этой области является ключом к формированию компетенций, необходимых для успешной работы в спортивной индустрии будущего. Преодоление существующих вызовов и активное использование перспективных направлений станут фундаментом для дальнейшего развития спортивного менеджмента на подлинно научной основе.

Список использованной литературы

1. Алиев Э.Г., Мутко В.Л., Андреев С. Н., Чистяков В.А. Организация процессного управления спортивной федерацией // Ученые записки университета имени П.Ф. Лесгафта. 2008. Вып. 3(37).
2. Антонян Л.В. Экономико-математическое моделирование в управлении производством // Портал «Управление производством». 2013. URL: http://www.up-pro.ru/library/production_management/optimization/modelirovanie.html (дата обращения: 30.10.2025).
3. Афанасьев В. В., Смирнов Е. А. Математическая модель стратегии взаимодействия «спортсмен – тренер» // Современные проблемы науки и образования. 2016. № 2. URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=24155 (дата обращения: 30.10.2025).
4. Большаков А.С. Моделирование в менеджменте: учебное пособие. Москва, 2000.
5. Виноградов М.А., Акимов Е.Б., Тимме Е.А. Математическое моделирование динамики спортивного результата в видах спорта на выносливость // Спортивная медицина: наука и практика. 2015. № 3. С. 77-79.
6. Демьяненко Т. С., Комов Е. А., Семененко Л. М. Экономико-математическое моделирование и инструментальные методы для повышения эффективности подготовки спортивного резерва // Теория и практика физической культуры. 2020. № 7. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/ekonomiko-matematicheskoe-modelirovanie-i-instrumentalnye-metody-dlya-povysheniya-effektivnosti-podgotovki-sportivnogo-rezerva (дата обращения: 30.10.2025).
7. Кальмыков С. В., Сагалеев А. С., Цыбиков А. С. Математические методы в управлении подготовкой спортсменов // Вестник Бурятского государственного университета. Образование. Личностное развитие. Мировая художественная культура. 2016. № 4. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/matematicheskie-metody-v-upravlenii-podgotovkoy-sportsmenov (дата обращения: 30.10.2025).
8. Королев А. В. Экономико-математические методы и моделирование: учебник и практикум для бакалавриата и магистратуры. Москва: Издательство Юрайт, 2016. URL: https://urait.ru/book/ekonomiko-matematicheskie-metody-i-modelirovanie-497745 (дата обращения: 30.10.2025).
9. Крылова В. А., Колпак Е. П., Сыромолотова К. И., Воротова Т. А. Математические модели формирования спортивных групп // Молодой ученый. 2015. № 8 (88). С. 10-19. URL: https://moluch.ru/archive/88/17497/ (дата обращения: 30.10.2025).
10. Кундышева Е.С. Экономико-математическое моделирование: учебник для студентов высших учебных заведений. Москва: Дашков и К°, 2007. 422 с. URL: https://rusneb.ru/catalog/000199_000009_003119852/ (дата обращения: 30.10.2025).
11. Мадера А.Г. Математические модели и принятие решений в управлении: руководство для топ-менеджеров. 2-е изд. Москва: URSS, 2022. URL: https://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&bl=1&list=search&page=1&id=162601 (дата обращения: 30.10.2025).
12. Математическое моделирование в спорте. URL: https://sportmedicine.ru/mathematical-modeling-in-sport.php (дата обращения: 30.10.2025).
13. Миронова Е.Н. Моделирование учебно-тренировочного процесса как средство повышения эффективности спортивной тренировки // Наука-2020. 2016. № 6 (12). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/modelirovanie-uchebno-trenirovochnogo-protsessa-kak-sredstvo-povysheniya-effektivnosti-sportivnoy-trenirovki (дата обращения: 30.10.2025).
14. Наука и спорт: современные тенденции. URL: https://sciencesport.ru/ (дата обращения: 30.10.2025).
15. Новосельцев В.Н. Математическое моделирование и теория управления // Математическое моделирование и теория управления. 2009. URL: http://emm.infomed.su/articles/5-2009-04-08-07-21-10.html (дата обращения: 30.10.2025).
16. Орлов А.И. Менеджмент: учебник. Москва: Изумруд, 2003.
17. Русаков А. А., Богатова И. И. Программное моделирование подготовки легкоатлетов на этапе спортивного совершенствования // Ученые записки университета им. П.Ф. Лесгафта. 2023. № 5. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/programmnoe-modelirovanie-podgotovki-legkoatletov-na-etape-sportivnogo-sovershenstvovaniya (дата обращения: 30.10.2025).
18. Русаков А. А., Кузекевич В. Р. Моделирование тренировочного процесса в учреждениях дополнительного образования: учебное пособие. Иркутск: Аспринт, 2016. 110 с. URL: https://stud.ru/rusakov-aa-kuzekevich-vr-modelirovanie-trenirovochnogo-processa-v-uchrezhdeniyah-dopolnitelnogo-obrazovaniya (дата обращения: 30.10.2025).
19. Степанов В.И., Терпугов А.Ф. Экономико-математическое моделирование: учебное пособие. Москва: Академия, 2009. 112 с. URL: https://www.academia-moscow.ru/catalogue/3796/447334/ (дата обращения: 30.10.2025).
20. Тимме Е. А. На пути к математической теории спортивной тренировки. Часть 1. Математическая модель тренировочного процесса и уравнение спортивного результата Николая Николаевича Энгвера // Вестник спортивной науки. 2016. № 4. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/na-puti-k-matematicheskoy-teorii-sportivnoy-trenirovki-chast-1-matematicheskaya-model-trenirovochnogo-protsessa-i-uravnenie-sportivnogo (дата обращения: 30.10.2025).
21. Федотов И. И., Меркулов Ю. А. Основы математического моделирования социально-экономических процессов: учебное пособие. Рязань: Рязанский государственный радиотехнический университет, 2018. URL: https://www.iprbookshop.ru/121453.html (дата обращения: 30.10.2025).
22. Федотов О. В., Осипов Д. О. Математические методы и модели в области спорта // Естественные и математические науки в современном мире. 2016. № 1 (36). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/matematicheskie-metody-i-modeli-v-oblasti-sporta (дата обращения: 30.10.2025).
23. Юшкин В. Н. Проблемы спортивного прогнозирования // Компьютерные и информационные науки. 2021. № 1. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/problemy-sportivnogo-prognozirovaniya (дата обращения: 30.10.2025).