Пример готовой курсовой работы по предмету: Высшая математика
Содержание
Контрольная работа № 1
Операции над матрицами.
Найти линейные комбинации заданных матриц.
8А-2В, А= , В= .
Решение:
8А-2В =(■(8× 2&8×(-1)&8×(-4)@8× 3&8× 0&8×(-2)@8×(-3)&8× 1&8× 7))-(■(2× 1&2×(-2)&2×[email protected]× 2&2× 1&2×(-4)@2× 0&2× 2&2× 5))= + =
Определители 2-го, 3-го порядка.
Вычислить определители второго и третьего порядка.
а) ; б) .
а) = (-1)×(-3)-1× 0 = 3
б) .= 1× 1×(-1)+8× 3× 3+(-3)× 7× 1-(1× 1× 3+8×(-3)×(-1)+3× 7× 1) = 2
Ответ: а) 3; б) 2.
3. Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера.
Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.
Решение методом Крамера:
∆ = =2× 2× 5+(-3)×(-3)×(-1)+1×(-1)× 1-(1× 2×(-1)+(-3)× 1× 5+(-3)×(-1)× 2) = 21
∆_1= =(-7)× 2× 5+(-3)×(-3)×(-18)+14×(-1)× 1-(1× 2×(-18)+(-3)× 14× 5+(-3)×(-1)×
×(-7) =21
∆_2= = 2× 14× 5+(-7)×(-3)×(-1)+1×(-18)× 1-(1× 14×(-1)+(-7)× 1× 5+(-3)×(-18)× 2) = 42
∆_3= =2× 2×(-18)+(-3)× 14×(-1)+1×(-1)×(-7)-((-7)× 2×(-1)+(-3)× 1×(-18)+14×(-1)× 2) = -63
x_1 = ∆_1/∆ = 21/21 = 1
x_2 = ∆_2/∆ = 42/21 = 2
x_3 = ∆_3/∆ = (-63)/21 = -3
Ответ: x_1 = 1; x_2 = 2; x_3 = -3.
4. Аналитическая геометрия.
Стороны прямоугольника заданы уравнениями 3х+4у+1=0 (АВ); 2х-у-3=0 (ВС); х+5у-7=0 (АС).
Составьте уравнение высоты АД. Сделайте чертёж.
Решение:
Найдём координаты точки А – точки пересечения прямых АВ y=-3/4 x-1/4 и AC.
y=-1/5 x-7/5; — 3/4 x-1/4=-1/5 x-7/5; -15x-5=-4x+28; 11x=-33;
x=-3, y=-3/4×(-3)-1/4=9/4-1/4=2; Точка А имеет координаты (-3;2).
Уравнение прямой, проходящей через точку А(x_A,y_A)и перпендикулярной к прямой ВС с уравнением y=ax+b, имеет вид: y-y_A=-1/a(x-x_A)
В нашем случае x_A=-3,y_A=2,a=2. Тогда уравнение высоты имеет вид:
y-2=- 1/2(x+3); y=-1/2 x-1/2; Строим чертёж:
5. Аналитическая геометрия.
Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку и А(1;2;0).
Решение:
Плоскость проходящая через точку m_0 (x_0,y_0,z_0) и через прямую L
(x-x_1)/l=(y-y_1)/m=(z-z_1)/n, представляются уравнением: [■(x-x_0&y-y_0&[email protected]_1-x_0&y_1-y_0&[email protected]&m&n)]=0;
В нашем случае x_0=1, y_0=2,z_0=0, l=3, m=-2, n=2,x_1=2,y_1=-2,
z_1=-1.
Подставляем:[■(x-1&y-2&[email protected]&
- 2-2&[email protected]&
- 2&2)]= [■(x-1&y-2&[email protected]&
- 4&[email protected]&
- 2&2)]=(x-1)(-4× 2—(-1)×(-2) )+(y-2)(3×(-1)-2× 1)+z×(1×(-2)-(-4)× 3)=-10(x-1)-5(y-2)+10z=-10x-5y+10z+20=0.
От сюда уравнение плоскости: 2x+y-2z=4
Контрольная работа № 2
1. Пределы.
Вычислить предел .
lim┬(x→∞)〖((7x^2-2x+5)/(3x-4x^2 ))=lim┬(x→∞) ((7-2/5+5/x^2 )/(3/x-4))=7/(-4)=-1,75 〗.
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Найти дифференциал функции y=
dy/dx=〖y_x〗^'=1/2×(5x-1)^(1/2-1)×(5x-1)^'=1/(2√(5x-1))× 5=5/(2√(5x-1)).
3. Исследование функций.
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=x 3-3x 2+3x+2 на отрезке .
Найдём экстремумы функций:
y^'=3×x^2+3× 2×x^1+3× 1+0=3x^2-6x+3
y^'=0 при x^2-2x+1=0или 〖(x-1)〗^2=0
x=0 – эта точка не входит в данный интервал x∈[2;5]
Найдём значения функции на концах заданного отрезка:
y(2)=2^3-3× 2^2+3× 2+2=8-12+6+2=4
y(5)=5^3-3× 5^2+3× 5+2=125-75+15+2=67
Итак, на данном отрезке максимум функции находится в точке (5;67),
минимум – в точке (2;4).
4. Построение графиков функций.
Исследуйте функцию и постройте её график: y=2x 3-3x 2.
Решение:1) область определения: x ∈ R;
2)чётность/нечётность:
y(-x)=2〖(-x)〗^3-3(-x)^2=-2x^3-3x^2≠y(x)≠-y(x)функция не является ни чётной, ни нечётной.
3) Точки пересечения с осями координат:
y=0 при 〖 2x〗^3-3x^2=0; x^2 (2x-3)=0; x=0,x=3/2
4) Экстремумы, интервалы возрастания и убывания:
y^'=2× 3x^2-3× 2x=6x^2-6x
y^'=0 при x^2-x=0
x(x-1)=0
x = 0, x — 1 =0, x=0
В точке (0;
0. находится локальный максимум, в точке (1;1) – локальный минимум графика функции.
5) Точки перегиба, интервалы выпуклости вверх и вниз:
y"=6× 2x-6=12x-6
y” = 0 при 12x-6=0; x=1/2
В точке (1/2;
- 1/2)находится точка перегиба.
6) Асимптоты.
Вертикальный асимптот нет, найдём наклонные вида y=kx+b
k=lim┬(x→±∞)〖(f(x))/x=lim┬(x→±∞) (〖 2x〗^2-3x)〗=∞
Наклонных асимптот нет.
7) График функции.
x -5 -4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5
y -325 243 176 -122,5 -81 -50 -28 -13,5 5 -1
x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
y 0 -0,5 0 0 4 12,5 27 49 80 121,5 175
Список использованной литературы
.
