Общая Физика: Комплексный Академический Справочник (Механика, МКТ, Термодинамика, СТО)

Подготовка к экзамену по общей физике – это не просто запоминание формул, а глубокое погружение в фундаментальные законы, управляющие нашим миром, и овладение математическим аппаратом, позволяющим эти законы описывать и применять. Этот справочник призван стать вашим надежным проводником в этом путешествии, ведь его задача — не просто дать вам «готовые ответы», а помочь систематизировать знания, понять логику построения физических теорий и приобрести уверенность в оперировании сложными концепциями.

Материал структурирован по ключевым разделам курса: от классической механики, заложившей основы понимания движения, до молекулярно-кинетической теории, объясняющей макроскопические свойства вещества через поведение микрочастиц, и термодинамики, описывающей энергетические превращения. Мы также уделим внимание явлениям переноса и основам Специальной Теории Относительности, которая расширила наши представления о пространстве, времени, массе и энергии. Каждый раздел включает в себя строгие формулировки законов, математические выводы и примеры, необходимые для глубокого освоения предмета. Готовьтесь не только читать, но и активно мыслить, ведь физика – это язык Вселенной, который можно по-настоящему понять, лишь научившись на нем говорить.

Раздел I. Классическая Механика: Фундамент и Законы Сохранения

Классическая механика, краеугольный камень физики, утверждает, что при скоростях, значительно меньших скорости света, и размерах тел, многократно превышающих атомные, движение объектов подчиняется строгим и предсказуемым законам. Именно в этом разделе закладывается фундамент для понимания большинства физических явлений, что позволяет нам точно моделировать движение от брошенного камня до планет на орбите.

Законы Ньютона и Инерциальные Системы Отсчета

В XVII веке Исаак Ньютон сформулировал три фундаментальных закона, которые легли в основу всего классического естествознания. Эти законы не просто описывают движение, но и вводят понятие силы как причины изменения этого движения.

Первый закон Ньютона, или Закон Инерции, гласит: существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, относительно которых материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на неё не действуют никакие силы или действие других сил скомпенсировано. Этот закон постулирует существование особого класса систем отсчета – инерциальных, где тела «по умолчанию» движутся равномерно и прямолинейно. Если вы едете в поезде, который движется с постоянной скоростью по прямому пути, то вы находитесь в инерциальной системе отсчета. Брошенный вами мяч будет двигаться по прямой, пока на него не подействует сила тяжести или сопротивление воздуха.

Второй закон Ньютона, Основной закон динамики, устанавливает количественную связь между силой и ускорением. Он утверждает, что ускорение ($\vec{a}$) материальной точки прямо пропорционально равнодействующей силе ($\vec{F}$), приложенной к ней, и обратно пропорционально её массе ($m$). Математически это выражается формулой:

$\vec{F} = m\vec{a}$

Здесь $\vec{F}$ — векторная сумма всех сил, действующих на тело. Этот закон позволяет предсказывать, как изменится движение тела под действием известных сил. Например, если на тело массой 2 кг действует сила 10 Н, то его ускорение составит 5 м/с² в направлении действия силы.

Третий закон Ньютона, или Закон действия и противодействия, описывает взаимодействие двух тел. Он гласит, что силы, с которыми два тела действуют друг на друга, всегда равны по модулю и противоположны по направлению. Математически это выглядит так:

$\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$

Где $\vec{F}_{12}$ — сила, действующая на первое тело со стороны второго, а $\vec{F}_{21}$ — сила, действующая на второе тело со стороны первого. Важно понимать, что эти силы приложены к разным телам и поэтому не компенсируют друг друга. Например, когда вы толкаете стену, стена толкает вас с такой же силой.

Границы применимости классической механики определяются двумя ключевыми условиями:

1. Скоростной предел: Скорости движения тел должны быть значительно меньше скорости света ($v \ll c$). При скоростях, сравнимых со скоростью света, вступают в силу законы Специальной Теории Относительности.
2. Масштабный предел: Размеры и массы тел должны быть достаточно велики, чтобы можно было пренебречь квантовыми эффектами. На атомном и субатомном уровнях доминируют законы квантовой механики.

Работа, Энергия и Потенциальные Силы

Понятия работы и энергии имеют фундаментальное значение в физике, позволяя описывать не только движение, но и его причины, а также энергетические превращения.

Работа ($A$) силы определяется как мера изменения энергии системы. Для постоянной силы, действующей на тело, перемещающееся на расстояние $s$ под углом $\alpha$ к направлению силы, работа равна:

$A = Fs \cos\alpha$

В общем случае, когда сила переменна, а траектория криволинейна, работа вычисляется как интеграл по траектории:

$A = \int_{L} \vec{F} \cdot d\vec{r}$

Единицей работы в СИ является Джоуль (Дж).

Мощность ($P$) – это скорость совершения работы:

$P = \frac{dA}{dt}$

или для постоянной силы и скорости:

$P = \vec{F} \cdot \vec{v}$

Единицей мощности является Ватт (Вт).

Закон сохранения механической энергии — один из ключевых принципов механики. Он утверждает, что полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остаётся постоянной. Полная механическая энергия ($E$) представляет собой сумму кинетической энергии ($E_{к}$) и потенциальной энергии ($E_{п}$):

$E = E_{к} + E_{п} = \text{const}$

Кинетическая энергия — это энергия движения:

$E_{к} = \frac{1}{2}mv^2$

Потенциальная энергия — это энергия взаимодействия, зависящая от взаимного расположения тел или частей одного тела. Она существует только в полях консервативных сил.

Физический смысл консервативных сил: Силы называются консервативными (или потенциальными), если работа, совершаемая ими при перемещении тела из одной точки в другую, не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положениями тела. Эквивалентное определение: работа консервативной силы по замкнутому контуру равна нулю. Это свойство позволяет ввести понятие потенциальной энергии. Если работа силы зависит только от начальной и конечной координат, то эту работу можно представить как изменение потенциальной энергии со знаком минус:

$A_{12} = E_{\text{п}1} - E_{\text{п}2} = -\Delta E_{\text{п}}$

где $E_{\text{п}1}$ и $E_{\text{п}2}$ — потенциальные энергии в начальной и конечной точках соответственно.

Детализированный вывод закона сохранения механической энергии:

Рассмотрим тело массой $m$, движущееся под действием консервативной силы $\vec{F}$. Согласно второму закону Ньютона:

$\vec{F} = m\frac{d\vec{v}}{dt}$

Работа, совершаемая силой на элементарном перемещении $d\vec{r}$:

$dA = \vec{F} \cdot d\vec{r} = m\frac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r}$

Поскольку $d\vec{r} = \vec{v} dt$, подставим это в выражение для работы:

$dA = m\frac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v} dt = m(\vec{v} \cdot d\vec{v})$

Известно, что $d(\vec{v}^2) = d(\vec{v} \cdot \vec{v}) = 2(\vec{v} \cdot d\vec{v})$. Следовательно, $\vec{v} \cdot d\vec{v} = \frac{1}{2} d(\vec{v}^2)$.

Подставляя это в выражение для работы:

$dA = m \frac{1}{2} d(\vec{v}^2) = d\left(\frac{1}{2}mv^2\right) = dE_{к}$

Таким образом, элементарная работа консервативной силы равна изменению кинетической энергии. С другой стороны, для консервативной силы работа может быть выражена через изменение потенциальной энергии:

$dA = -dE_{п}$

Приравнивая два выражения для $dA$:

$dE_{к} = -dE_{п}$

$dE_{к} + dE_{п} = 0$

$d(E_{к} + E_{п}) = 0$

Интегрируя это выражение, получаем:

$E_{к} + E_{п} = \text{const}$

Это и есть закон сохранения полной механической энергии.

Примеры потенциальной энергии:

1. Гравитационная потенциальная энергия: Вблизи поверхности Земли, где ускорение свободного падения $g$ можно считать постоянным, потенциальная энергия тела массой $m$ на высоте $h$ относительно некоторого нулевого уровня определяется как:

$E_{\text{п}} = mgh$

Нулевой уровень может быть выбран произвольно, так как физический смысл имеет только изменение потенциальной энергии, а не её абсолютное значение.

2. Потенциальная энергия упруго деформированной пружины: Для пружины, подчиняющейся закону Гука ($F = -kx$), потенциальная энергия деформации $x$ равна:

$E_{\text{п}} = \frac{1}{2}kx^2$

Где $k$ — жесткость пружины. Эта энергия аккумулируется в пружине при её растяжении или сжатии.

Импульс и Момент Импульса

Помимо энергии, в механике существуют другие фундаментальные величины, сохраняющиеся при определённых условиях – это импульс и момент импульса.

Импульс (количество движения) тела ($\vec{p}$) — это векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость:

$\vec{p} = m\vec{v}$

Единицей импульса в СИ является кг·м/с.

Закон сохранения импульса: Если сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю (система замкнута), то полный импульс этой системы остаётся постоянным.

$\sum \vec{p}_i = \text{const}$

Или, в отсутствие внешних сил, изменение полного импульса системы равно нулю:

$\frac{d}{dt}\left(\sum_i \vec{p}_i\right) = \vec{0}$

Этот закон является прямым следствием второго и третьего законов Ньютона. Примером его применения является реактивное движение, например, движение ракеты: при выбрасывании продуктов сгорания в одну сторону ракета движется в противоположную, сохраняя полный импульс системы «ракета + топливо».

Момент импульса (угловой момент) тела ($\vec{L}$) относительно некоторой точки (центра) — это векторная величина, характеризующая вращательное движение тела. Для материальной точки он определяется как векторное произведение радиус-вектора $\vec{r}$ на импульс $\vec{p}$:

$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$

Единицей момента импульса в СИ является кг·м²/с.

Закон сохранения момента импульса: Если сумма моментов внешних сил, действующих на систему тел относительно некоторой точки, равна нулю, то полный момент импульса этой системы относительно той же точки остаётся постоянным.

$\sum \vec{L}_i = \text{const}$

Этот закон объясняет множество явлений, от вращения планет до поведения фигуриста, который, прижимая руки к телу, увеличивает скорость своего вращения (уменьшение момента инерции при сохранении момента импульса приводит к увеличению угловой скорости).

Раздел II. Колебания и Волны: Математический Аппарат

Мир полон колебательных и волновых процессов — от биения сердца до распространения света. Понимание их природы требует не только качественного описания, но и владения строгим математическим аппаратом, позволяющим предсказывать и анализировать их поведение.

Гармонические Колебания: Дифференциальное Уравнение

Гармонические колебания являются самым простым и в то же время фундаментальным типом колебательного движения. Они описываются синусоидальными или косинусоидальными функциями времени, что делает их математически удобными для анализа.

Уравнение гармонических колебаний:

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

где:

• $x(t)$ — смещение (или другая физическая величина, например, напряжение, ток) от положения равновесия в момент времени $t$.
• $A$ — амплитуда, максимальное отклонение от положения равновесия.
• $\omega$ — циклическая (круговая) частота, показывает, сколько радиан фазы приходится на единицу времени. Измеряется в рад/с.
• $\phi_0$ — начальная фаза, определяет состояние колебательной системы в начальный момент времени ($t=0$).

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях также изменяются по гармоническому закону:

Скорость: $v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0) = A\omega \cos(\omega t + \phi_0 + \frac{\pi}{2})$

Ускорение: $a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi_0) = -A\omega^2 x(t)$

Из последнего соотношения видно, что ускорение пропорционально смещению и направлено в противоположную сторону. Это ключевая характеристика гармонических колебаний.

Вывод дифференциального уравнения свободных незатухающих колебаний:

Рассмотрим простейшую колебательную систему — пружинный маятник. Материальная точка массой $m$ прикреплена к пружине жесткостью $k$. При отклонении от положения равновесия на расстояние $x$, пружина действует на тело возвращающей силой, описываемой законом Гука:

$F = -kx$

Знак минус указывает на то, что сила всегда направлена в сторону, противоположную смещению, т.е. к положению равновесия.

Согласно второму закону Ньютона, сила $F$ равна произведению массы на ускорение:

$F = ma = m\frac{d^2x}{dt^2}$

Приравнивая эти два выражения для силы:

$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$

Перенесем все члены в одну сторону:

$m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$

Разделим уравнение на массу $m$:

$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0$

Обозначим $\omega_0^2 = \frac{k}{m}$. Тогда уравнение принимает стандартный вид:

$\frac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2x = 0$

Это и есть дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний. $\omega_0$ называется собственной круговой частотой системы. Для пружинного маятника $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$. Решением этого уравнения является функция $x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi_0)$.

Вынужденные Колебания и Резонанс

В реальных системах колебания обычно затухают из-за сил трения. Однако, если на систему действует периодическая внешняя сила, возникают вынужденные колебания.

Резонанс — это поразительное явление, при котором амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает, когда частота внешней вынуждающей силы ($\omega$) приближается к собственной частоте ($\omega_0$) колебательной системы. Это происходит потому, что внешняя сила «подталкивает» систему в такт её собственным колебаниям, эффективно передавая энергию.

Анализ резонансной кривой:

В системе с затуханием (например, с сопротивлением воздуха или внутренним трением) дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид:

$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\beta\frac{dx}{dt} + \omega_0^2x = f(t)$

где $2\beta$ — коэффициент затухания, а $f(t)$ — вынуждающая сила.

Резонансная кривая представляет собой график зависимости амплитуды $A$ установившихся вынужденных колебаний от частоты $\omega$ вынуждающей силы. Для систем с затуханием максимальная амплитуда $A_{\text{max}}$ достигается на резонансной частоте $\omega_{\text{рез}}$, которая, как правило, немного меньше собственной частоты $\omega_0$:

$\omega_{\text{рез}} = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}$ (для слабозатухающих систем, т.е. $\beta < \omega_0$)

Максимальная амплитуда $A_{\text{max}}$ при резонансе обратно пропорциональна коэффициенту затухания $\beta$:

$A_{\text{max}} \sim \frac{1}{\beta}$

Это означает, что чем меньше затухание, тем выше и острее пик резонансной кривой, а значит, система становится более чувствительной к внешней силе. Идеальная система без затухания ($\beta = 0$) имела бы бесконечную амплитуду при резонансе, что, конечно, не реализуется в природе. И наоборот, чем больше затухание, тем ниже и шире пик, и тем менее выраженным становится резонанс.

Характеристика	Низкое Затухание	Высокое Затухание
Высота пика резонансной кривой	Высокая	Низкая
Острота пика резонансной кривой	Острая, узкая	Пологая, широкая
Выраженность резонанса	Ярко выражен	Сглажен, малозаметен
Резонансная частота ($\omega_{\text{рез}}$)	Близка к собственной частоте ($\omega_0$)	Существенно меньше собственной частоты ($\omega_0$)

Резонанс играет важную роль во многих областях физики и инженерии: от настройки радиоприемников до разрушения мостов при неправильном выборе частоты воздействия (например, резонансное разрушение Такомского моста).

Раздел III. Молекулярно-Кинетическая Теория и Статистические Законы

Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) — это элегантный мост, соединяющий микроскопический мир молекул с макроскопическими свойствами газа, такими как давление, температура и объем. Она объясняет, как хаотическое движение бесчисленного множества частиц приводит к наблюдаемым явлениям.

Основное Уравнение МКТ и Уравнение Состояния Идеального Газа

В основе МКТ лежит модель идеального газа:

1. Газ состоит из огромного числа одинаковых молекул, которые непрерывно и хаотично движутся.
2. Размеры молекул пренебрежимо малы по сравнению со средним расстоянием между ними.
3. Молекулы не взаимодействуют друг с другом на расстоянии (силы притяжения и отталкивания отсутствуют).
4. Столкновения молекул друг с другом и со стенками сосуда являются абсолютно упругими.

Полный вывод Основного уравнения МКТ:

Рассмотрим кубический сосуд с ребром $L$ и объемом $V = L^3$, содержащий $N$ молекул идеального газа. Предположим, что все молекулы имеют одинаковую массу $m$ и движутся перпендикулярно стенкам сосуда со скоростью $v$.

1. Изменение импульса при столкновении: Когда молекула массы $m$ со скоростью $v$ ударяется о стенку, перпендикулярную оси $X$, её $X$-компонента скорости меняет знак: $v_x \to -v_x$. Изменение импульса молекулы:

$\Delta p_x = (-mv_x) - (mv_x) = -2mv_x$

По третьему закону Ньютона, стенка получает импульс, равный по модулю и противоположный по направлению: $\Delta p_{\text{стенки}} = 2mv_x$.

2. Время между столкновениями: Молекула, движущаяся вдоль оси $X$, пройдет расстояние $2L$ (туда и обратно) до следующего столкновения с той же стенкой. Время между двумя последовательными ударами о данную стенку:

$\Delta t = \frac{2L}{v_x}$

3. Сила удара одной молекулы: Средняя сила, действующая на стенку со стороны одной молекулы, равна изменению импульса за время $\Delta t$:

$F_x = \frac{\Delta p_{\text{стенки}}}{\Delta t} = \frac{2mv_x}{2L/v_x} = \frac{mv_x^2}{L}$

4. Суммарная сила и давление: В реальном газе молекулы движутся во всех направлениях с разными скоростями. Усредним по всем молекулам. Давление $P$ на стенку — это суммарная сила, деленная на площадь стенки $S = L^2$.

$P = \frac{\sum F_x}{L^2} = \frac{\sum (mv_{xi}^2/L)}{L^2} = \frac{m}{L^3}\sum v_{xi}^2$

Поскольку $L^3 = V$, то $P = \frac{m}{V}\sum v_{xi}^2$.

В идеальном газе движение молекул хаотично и изотропно, поэтому средние значения квадратов компонент скорости равны: $\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2}$.

Также $\overline{v^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2} = 3\overline{v_x^2}$.

Отсюда $\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}$.

Сумма $\sum v_{xi}^2$ для всех $N$ молекул может быть записана как $N \overline{v_x^2}$.

Тогда $P = \frac{m}{V} N \overline{v_x^2} = \frac{m}{V} N \frac{1}{3}\overline{v^2}$.

Перегруппировав члены, получаем Основное уравнение МКТ:

$P = \frac{1}{3}\frac{N}{V}m\overline{v^2}$

Где $N/V = n_0$ — концентрация молекул. Окончательно:

$P = \frac{1}{3}mn_0\overline{v^2}$

Это уравнение связывает макроскопический параметр (давление $P$) с микроскопическими свойствами молекул (массой $m$, концентрацией $n_0$) и средней квадратичной скоростью их движения $\overline{v^2}$.

Перепишем уравнение, выразив его через среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул $E_{\text{к}} = \frac{1}{2}m\overline{v^2}$:

$P = \frac{1}{3}n_0(2 \cdot \frac{1}{2}m\overline{v^2}) = \frac{2}{3}n_0E_{\text{к}}$

Это показывает, что давление газа пропорционально средней кинетической энергии поступательного движения молекул и их концентрации.

Связь температуры и энергии:

Абсолютная температура $T$ является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул. Это одно из центральных положений МКТ:

$E_{\text{к}} = \frac{3}{2}kT$

где $k$ — постоянная Больцмана ($k \approx 1.38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К).

Подставив это выражение в Основное уравнение МКТ:

$P = \frac{2}{3}n_0\left(\frac{3}{2}kT\right) = n_0kT$

Это уравнение иногда называют уравнением состояния идеального газа в форме МКТ.

Уравнение состояния идеального газа (Менделеева-Клапейрона):

Для $\nu$ молей газа, где $\nu = N/N_{\text{А}}$ ($N_{\text{А}}$ — число Авогадро), и $n_0 = N/V = \nu N_{\text{А}}/V$, подставим это в $P = n_0kT$:

$P = \frac{\nu N_{\text{А}}}{V}kT$

Обозначим $R = N_{\text{А}}k$ — универсальная газовая постоянная ($R \approx 8.314$ Дж/(моль·К)). Тогда получаем:

$PV = \nu RT$

Это уравнение Менделеева-Клапейрона, которое связывает макроскопические параметры идеального газа: давление $P$, объем $V$, количество вещества $\nu$ и абсолютную температуру $T$.

Распределение Энергии и Скоростей

Молекулы газа не движутся с одной и той же скоростью; их скорости распределены по некоторому закону. Более того, энергия, которую они несут, распределяется между различными типами их движения.

Теорема Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы:

Эта теорема является одним из столпов статистической физики и утверждает: для системы, находящейся в термодинамическом равновесии, на каждую поступательную и вращательную степень свободы молекулы приходится средняя кинетическая энергия, равная $\frac{1}{2}kT$. На каждую колебательную степень свободы приходится энергия $kT$ (так как колебательное движение связано как с кинетической, так и с потенциальной энергией).

Степени свободы ($i$) — это минимальное число независимых координат, необходимых для полного описания положения тела в пространстве.

• Поступательные степени свободы ($i_{\text{пост}}$): Молекула может двигаться вдоль трех взаимно перпендикулярных осей ($x, y, z$). Таким образом, $i_{\text{пост}} = 3$.
• Вращательные степени свободы ($i_{\text{вращ}}$):
  • Одноатомные молекулы (He, Ne, Ar) не имеют вращательных степеней свободы ($i_{\text{вращ}} = 0$), так как их можно рассматривать как материальные точки.
  • Двухатомные молекулы (O₂, N₂, CO) могут вращаться вокруг двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс перпендикулярно линии, соединяющей атомы. $i_{\text{вращ}} = 2$.
  • Многоатомные молекулы (H₂O, CH₄) могут вращаться вокруг трех взаимно перпендикулярных осей. $i_{\text{вращ}} = 3$.
• Колебательные степени свободы ($i_{\text{кол}}$): Возникают при колебаниях атомов внутри молекулы друг относительно друга. Они активируются при высоких температурах и учитываются в два раза, так как связаны как с кинетической, так и с потенциальной энергией.

Полное число степеней свободы $i = i_{\text{пост}} + i_{\text{вращ}} + 2i_{\text{кол}}$.

Внутренняя энергия идеального газа (для $\nu$ молей):

Исходя из теоремы Больцмана, полная средняя энергия одной молекулы:

$\overline{E} = \frac{i}{2}kT$

Тогда внутренняя энергия $U$ для $N$ молекул (или $\nu$ молей) идеального газа:

$U = N\overline{E} = N\frac{i}{2}kT = \nu N_{\text{А}}\frac{i}{2}kT = \nu \frac{i}{2}RT$

Таким образом, внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры и числа степеней свободы молекул.

Распределение Максвелла:

Максвелл впервые получил функцию распределения молекул идеального газа по модулям скоростей. Эта функция $f(v)$ описывает, какая доля молекул имеет скорости в заданном интервале от $v$ до $v+dv$:

$f(v) = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 e^{-\frac{mv^2}{2kT}}$

График этой функции — колоколообразная кривая, асимметричная относительно максимума.

Характеристика	Описание	Формула
Физический смысл характерных скоростей
Наиболее вероятная скорость ($v_{\text{пр}}$)	Скорость, соответствующая максимуму функции распределения Максвелла. Большинство молекул имеют скорость, близкую к этой.	$v_{\text{пр}} = \sqrt{\frac{2kT}{m}} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
Средняя арифметическая скорость ($\bar{v}$)	Среднее значение модуля скорости всех молекул.	$\bar{v} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
Среднеквадратичная скорость ($v_{\text{кв}}$)	Корень квадратный из среднего квадрата скорости. Используется в основном уравнении МКТ.	$v_{\text{кв}} = \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

Здесь $M = mN_{\text{А}}$ — молярная масса газа.

Вывод наиболее вероятной скорости ($v_{\text{пр}}$):

Для нахождения наиболее вероятной скорости необходимо взять производную от функции распределения $f(v)$ по $v$ и приравнять её к нулю:

$\frac{df(v)}{dv} = 0$

Пренебрегая постоянными множителями, рассмотрим только зависимость от $v$:

$g(v) = v^2 e^{-\frac{mv^2}{2kT}}$

$\frac{dg(v)}{dv} = 2v e^{-\frac{mv^2}{2kT}} + v^2 \left(-\frac{2mv}{2kT}\right) e^{-\frac{mv^2}{2kT}} = 0$

$2v e^{-\frac{mv^2}{2kT}} - \frac{mv^3}{kT} e^{-\frac{mv^2}{2kT}} = 0$

Поскольку $e^{-\frac{mv^2}{2kT}} \ne 0$ и $v \ne 0$ (мы ищем ненулевые скорости), можно разделить на $v e^{-\frac{mv^2}{2kT}}$:

$2 - \frac{mv^2}{kT} = 0$

$\frac{mv^2}{kT} = 2$

$v^2 = \frac{2kT}{m}$

$v_{\text{пр}} = \sqrt{\frac{2kT}{m}}$

Физический смысл этих скоростей:

• $v_{\text{пр}}$ показывает, какая скорость встречается чаще всего.
• $\bar{v}$ является простым средним арифметическим всех скоростей.
• $v_{\text{кв}}$ имеет прямое отношение к кинетической энергии и температуре газа.

Все три скорости пропорциональны $\sqrt{T}$ и обратно пропорциональны $\sqrt{m}$ (или $\sqrt{M}$).

Раздел IV. Термодинамика: Энергия, Теплота и Энтропия

Термодинамика изучает самые общие законы превращения энергии и определяет направление самопроизвольных процессов. В отличие от МКТ, она оперирует макроскопическими параметрами, не вдаваясь в детали микроскопического строения вещества.

Первый Закон Термодинамики и Работа

Первый закон термодинамики — это формулировка закона сохранения энергии для тепловых процессов. Он утверждает, что изменение внутренней энергии ($\Delta U$) термодинамической системы равно сумме работы ($A$) внешних сил, совершенной над системой, и подведенного количества теплоты ($Q$):

$\Delta U = Q + A$

Здесь:

• $\Delta U$ — изменение внутренней энергии системы. Для идеального газа, как мы помним, $U = \nu \frac{i}{2}RT$, то есть внутренняя энергия зависит только от температуры.
• $Q$ — количество теплоты, переданное системе. Если $Q > 0$, теплота подводится к системе; если $Q < 0$, теплота отводится от системы.
• $A$ — работа внешних сил над системой. Если $A > 0$, внешние силы совершают работу над системой (например, сжимают газ); если $A < 0$, система сама совершает работу против внешних сил (например, расширяется).

Часто Первый закон записывают через работу, совершаемую самой системой ($A’$). Так как работа системы равна работе внешних сил с противоположным знаком ($A’ = -A$), то:

$\Delta U = Q - A'$

Математический вывод работы газа при изменении объема:

Рассмотрим газ, находящийся в цилиндре под поршнем. Если газ расширяется, поршень перемещается на расстояние $dx$, а газ совершает работу против внешней силы.

Пусть давление газа $P$ постоянно на протяжении перемещения поршня. Площадь поршня $S$. Сила, с которой газ действует на поршень, $F = PS$.

Элементарная работа $\delta A’$, совершаемая газом при перемещении поршня на $dx$:

$\delta A' = F dx = PS dx$

Произведение $S dx$ есть элементарное изменение объема газа $dV$. Таким образом:

$\delta A' = P dV$

Если газ расширяется, $dV > 0$, и газ совершает положительную работу. Если газ сжимается, $dV < 0$, и газ совершает отрицательную работу (то есть над газом совершается положительная работа).

Для конечного изменения объема от $V_1$ до $V_2$, общая работа газа:

$A' = \int_{V_1}^{V_2} P dV$

Эта работа графически представляет собой площадь под кривой $P(V)$ на диаграмме $P-V$.

Описание изопроцессов:

Изопроцессы — это термодинамические процессы, протекающие при постоянстве одного из макроскопических параметров состояния.

1. Изотермический процесс ($T = \text{const}$):
   • Уравнение: $PV = \text{const}$ (закон Бойля-Мариотта).
   • $\Delta U = 0$ (для идеального газа).
   • Первый закон: $Q = A’$. Вся подведенная теплота превращается в работу газа.
   • Работа: $A’ = \nu RT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$.
2. Изобарный процесс ($P = \text{const}$):
   • Уравнение: $V/T = \text{const}$ (закон Гей-Люссака).
   • Работа: $A’ = P(V_2 — V_1)$.
   • Первый закон: $\Delta U = Q — P(V_2 — V_1)$.
3. Изохорный процесс ($V = \text{const}$):
   • Уравнение: $P/T = \text{const}$ (закон Шарля).
   • Работа: $A’ = 0$ (объем не меняется, газ не совершает работу).
   • Первый закон: $\Delta U = Q$. Вся подведенная теплота идет на изменение внутренней энергии.
4. Адиабатный процесс ($Q = 0$):
   • Процесс без теплообмена с окружающей средой.
   • Уравнение: $PV^{\gamma} = \text{const}$ (уравнение Пуассона), где $\gamma = C_P/C_V$ — показатель адиабаты.
   • Первый закон: $\Delta U = -A’$. Работа совершается за счет изменения внутренней энергии.

Второй Закон, Цикл Карно и Энтропия

Если Первый закон термодинамики говорит о количестве энергии, то Второй закон термодинамики — о её качестве и направлении самопроизвольных процессов. Он устанавливает фундаментальное ограничение на эффективность превращения тепловой энергии в механическую работу.

Формулировка Клаузиуса: Невозможен процесс, единственным результатом которого был бы переход теплоты от более холодного тела к более горячему. (Это означает, что для переноса тепла от холодного к горячему телу требуется совершение работы, как в холодильнике).

Формулировка Кельвина (Планка): Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого было бы получение работы за счёт охлаждения теплового резервуара. (Это означает невозможность создания вечного двигателя второго рода, который полностью преобразовывал бы теплоту в работу без отвода теплоты к холодильнику).

Эти формулировки не противоречат друг другу, а лишь по-разному выражают одну и ту же суть: существуют ограничения на направление энергетических превращений.

Цикл Карно:

Идеальный тепловой цикл, предложенный Сади Карно, является теоретическим пределом эффективности тепловых машин. Он состоит из двух изотермических и двух адиабатных процессов, осуществляемых между нагревателем с температурой $T_1$ и холодильником с температурой $T_2$ ($T_1 > T_2$).

Вывод формулы КПД цикла Карно:

Коэффициент полезного действия ($\eta$) тепловой машины определяется как отношение совершенной работы $A’$ к подведенной теплоте $Q_1$:

$\eta = \frac{A'}{Q_1}$

По Первому закону термодинамики для кругового процесса $\Delta U = 0$, поэтому $A’ = Q_1 — Q_2$, где $Q_2$ — количество теплоты, отданное холодильнику.

$\eta = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$

Для цикла Карно можно показать, что отношение отданной и полученной теплоты прямо пропорционально отношению абсолютных температур холодильника и нагревателя:

$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_2}{T_1}$

Подставляя это в формулу КПД, получаем:

$\eta_{\text{ид}} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$

Это максимальный КПД, который может быть достигнут любой тепловой машиной, работающей между данными температурами. Реальные машины всегда имеют меньший КПД из-за необратимых процессов (трение, теплопотери).

Энтропия (S):

Энтропия — это одна из важнейших функций состояния в термодинамике. Её изменение в обратимом процессе определяется как отношение элементарного количества теплоты, переданного системе, к её абсолютной температуре:

$dS = \frac{\delta Q_{\text{обр}}}{T}$

Для конечного обратимого процесса изменение энтропии:

$\Delta S = \int_1^2 \frac{\delta Q_{\text{обр}}}{T}$

Единицей энтропии в СИ является Дж/К.

Принцип возрастания энтропии:

Этот принцип является другой формулировкой Второго закона термодинамики. Он гласит, что в изолированной системе энтропия может только возрастать (при необратимых процессах) или оставаться постоянной (при обратимых процессах):

$\Delta S \ge 0$

Если процесс необратим, $\Delta S > 0$. Если процесс обратим, $\Delta S = 0$. Самопроизвольные процессы в природе всегда ведут к увеличению энтропии изолированных систем.

Физический смысл энтропии как меры беспорядка:

На молекулярном уровне энтропия тесно связана с понятием термодинамической вероятности ($W$) — числом способов, которыми может быть реализовано данное макросостояние системы. В соответствии с формулой Больцмана:

$S = k \ln W$

где $k$ — постоянная Больцмана.

Из этой формулы следует, что:

• Чем больше способов реализации макросостояния (чем больше беспорядка или хаоса), тем выше энтропия.
• Системы стремятся перейти из менее вероятных (упорядоченных) состояний в более вероятные (беспорядочные) состояния, что проявляется в возрастании энтропии.

Примерами увеличения энтропии являются смешивание газов, таяние льда, распространение запаха в комнате — все эти процессы увеличивают беспорядок и термодинамическую вероятность системы.

Раздел V. Явления Переноса: Кинетические Процессы в Газах

Явления переноса – это макроскопические процессы, в основе которых лежит хаотическое тепловое движение молекул, приводящее к самопроизвольному выравниванию неоднородностей в газе. Эти процессы включают диффузию (перенос массы), теплопроводность (перенос энергии) и внутреннее трение, или вязкость (перенос импульса).

Средняя Длина Свободного Пробега и Концентрация

Все явления переноса тесно связаны со средней длиной свободного пробега молекул ($\bar{\lambda}$). Это среднее расстояние, которое молекула пролетает между двумя последовательными столкновениями с другими молекулами. Именно на этом расстоянии молекула сохраняет свою индивидуальную скорость, прежде чем изменить её направление и, возможно, величину при столкновении.

Формула средней длины свободного пробега:

В молекулярно-кинетической теории газа средняя длина свободного пробега приближенно определяется как:

$\bar{\lambda} \approx \frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2 n_0}$

Где:

• $d$ — эффективный диаметр молекулы (представляющий её размер).
• $n_0$ — концентрация молекул (число молекул в единице объема).

Из формулы видно, что:

• $\bar{\lambda}$ обратно пропорциональна концентрации молекул $n_0$. Чем больше молекул в единице объема, тем чаще они сталкиваются, и тем короче расстояние между столкновениями.
• $\bar{\lambda}$ обратно пропорциональна квадрату диаметра молекулы $d$. Чем крупнее молекулы, тем больше площадь их сечения, тем выше вероятность столкновения, и тем короче средний свободный пробег.

Вязкость, Теплопроводность и Их Зависимость от Параметров

Вязкость (внутреннее трение) газа возникает, когда слои газа движутся друг относительно друга с разными скоростями. Она обусловлена переносом импульса молекул поперек направления упорядоченного движения слоев. Молекулы из более быстрого слоя, попадая в более медленный, передают ему часть своего импульса, ускоряя его; наоборот, молекулы из медленного слоя, попадая в быстрый, замедляют его. Это приводит к возникновению сил внутреннего трения, стремящихся выровнять скорости слоев.

Коэффициент динамической вязкости ($\eta$) идеального газа (приближенная формула МКТ):

$\eta \approx \frac{1}{3}\rho\bar{u}\bar{\lambda}$

Где:

• $\rho$ — плотно��ть газа.
• $\bar{u}$ — средняя скорость теплового движения молекул (пропорциональна $\sqrt{T}$).
• $\bar{\lambda}$ — средняя длина свободного пробега.

Углубленный анализ зависимости вязкости от параметров:

Давайте проанализируем, как $\eta$ зависит от давления $P$ и температуры $T$.

Плотность газа $\rho = mn_0 = m \frac{N}{V}$. Из уравнения состояния идеального газа $P = n_0kT$, откуда $n_0 = P/(kT)$.

Таким образом, $\rho = m \frac{P}{kT}$.

Средняя скорость $\bar{u} \sim \sqrt{T}$.

Средняя длина свободного пробега $\bar{\lambda} \sim 1/n_0 = kT/P$.

Подставим эти зависимости в формулу для $\eta$:

$\eta \sim \rho \bar{u} \bar{\lambda} \sim \left(m \frac{P}{kT}\right) \cdot (\sqrt{T}) \cdot \left(\frac{kT}{P}\right)$

При внимательном рассмотрении видно, что множители $P$ и $1/P$ сокращаются, а $kT$ и $\sqrt{T}$ дают $\sqrt{T}$:

$\eta \sim m \sqrt{T}$

Это приводит к двум важным выводам, которые отличают газы от жидкостей:

1. Зависимость вязкости от давления: Вязкость газов практически не зависит от давления (при не слишком малых давлениях). Это парадоксально на первый взгляд, но объясняется компенсацией: с ростом давления увеличивается плотность ($\rho \sim P$), что должно было бы увеличивать вязкость, но одновременно уменьшается средняя длина свободного пробега ($\bar{\lambda} \sim 1/P$), что должно было бы её уменьшать. Эти два эффекта компенсируют друг друга.
2. Зависимость вязкости от температуры: Вязкость газов увеличивается с ростом температуры. Это объясняется увеличением средней скорости теплового движения молекул ($\bar{u} \sim \sqrt{T}$). При более высокой температуре молекулы движутся быстрее, чаще пересекают условные границы слоев и эффективнее переносят импульс, усиливая внутреннее трение.

Теплопроводность ($\kappa$):

Теплопроводность — это процесс направленной передачи кинетической энергии при соударениях молекул из более нагретых слоев в менее нагретые. В горячей области молекулы имеют более высокую среднюю кинетическую энергию. При столкновении с молекулами из холодной области они передают им часть своей энергии, тем самым выравнивая температуру.

Связь коэффициентов переноса:

Существует тесная взаимосвязь между коэффициентами переноса, что отражает общность их молекулярных механизмов. Для идеального газа коэффициент теплопроводности ($\kappa$) пропорционален произведению коэффициента вязкости ($\eta$) и удельной теплоемкости при постоянном объеме ($c_v$):

$\kappa \sim \eta c_v$

Эта связь показывает, что чем эффективнее молекулы переносят импульс (вязкость), тем эффективнее они переносят и энергию (теплопроводность), поскольку оба процесса зависят от средней скорости молекул и средней длины свободного пробега. Отсюда следует, что коэффициент теплопроводности газов также:

• Практически не зависит от давления.
• Увеличивается с ростом температуры.

Раздел VI. Основы Специальной Теории Относительности (СТО)

В начале XX века Альберт Эйнштейн произвел революцию в физике, предложив Специальную Теорию Относительности (СТО). Она описывает законы движения, механики и пространственно-временные отношения при скоростях, сравнимых со скоростью света ($v \approx c$), и показала, что классическая механика является лишь частным случаем более общей теории.

Постулаты СТО и Преобразования Лоренца

СТО базируется на двух фундаментальных постулатах:

1. Первый постулат СТО (Принцип относительности Эйнштейна): Законы природы (в том числе законы механики и электродинамики) одинаковы во всех инерциальных системах отсчета (ИСО). Это обобщение принципа относительности Галилея, распространяющее его не только на механические, но и на электромагнитные явления. Он означает, что невозможно определить абсолютное движение ИСО.
2. Второй постулат СТО (Принцип постоянства скорости света): Скорость света в вакууме ($c$) одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит ни от скорости источника, ни от скорости приемника. Этот постулат, который кажется контринтуитивным с точки зрения классической физики (где скорости складываются), но он подтвержден многочисленными экспериментами (например, опыт Майкельсона-Морли).

Преобразования Лоренца — это математический базис СТО, который заменяет преобразования Галилея при переходе между ИСО, движущимися относительно друг друга с произвольными скоростями. Именно из преобразований Лоренца (а не из самих постулатов напрямую) выводятся все релятивистские эффекты.

Рассмотрим две ИСО: $K$ и $K’$. Система $K’$ движется относительно $K$ со скоростью $v$ вдоль оси $x$. Тогда координаты события $(x, y, z, t)$ в $K$ и $(x’, y’, z’, t’)$ в $K’$ связаны следующими соотношениями:

$x' = \gamma(x - vt)$

$y' = y$

$z' = z$

$t' = \gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right)$

Где $\gamma$ — Лоренц-фактор:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

При $v \ll c$, $\gamma \approx 1$, и преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.

Релятивистские Эффекты

Следствия преобразований Лоренца кардинально меняют наши представления о пространстве и времени.

1. Лоренцево сокращение длины (пространственное сокращение):

Длина тела ($L$), измеренная наблюдателем в системе отсчета, относительно которой тело движется, всегда меньше его собственной длины ($L_0$), измеренной наблюдателем в системе отсчета, покоящейся относительно этого тела. Сокращение происходит только в направлении движения.

$L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{L_0}{\gamma}$

Например, если космический корабль длиной 100 м движется со скоростью 0.8c, то для земного наблюдателя его длина будет: $L = 100 \cdot \sqrt{1 — (0.8c)^2/c^2} = 100 \cdot \sqrt{1 — 0.64} = 100 \cdot \sqrt{0.36} = 100 \cdot 0.6 = 60$ м.

2. Релятивистское замедление времени (эффект замедления времени):

Промежуток времени ($\Delta t$), измеренный наблюдателем в движущейся системе отсчета, всегда больше, чем собственный промежуток времени ($\Delta t_0$), измеренный наблюдателем, покоящимся относительно события. Проще говоря, движущиеся часы идут медленнее.

$\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \gamma \Delta t_0$

Этот эффект подтверждается, например, увеличением времени жизни нестабильных элементарных частиц (мюонов), рождающихся в верхних слоях атмосферы и достигающих Земли.

3. Эквивалентность массы и энергии:

Одним из самых знаменитых и глубоких следствий СТО является принцип эквивалентности массы и энергии, выраженный формулой Эйнштейна:

$E = mc^2$

Где $E$ — полная энергия тела, $m$ — его релятивистская масса, $c$ — скорость света в вакууме.
Эта формула означает, что масса и энергия — это две формы одной и той же сущности. Любое изменение энергии системы сопровождается изменением её массы, и наоборот. Даже покоящееся тело обладает энергией покоя ($E_0 = m_0c^2$), где $m_0$ — масса покоя.

Для движущегося тела полная энергия включает энергию покоя и кинетическую энергию:

$E = \gamma m_0 c^2 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Отсюда релятивистская кинетическая энергия:

$E_{\text{к}} = E - E_0 = (\gamma - 1)m_0c^2$

При $v \ll c$ эта формула переходит в классическую $E_{\text{к}} = \frac{1}{2}m_0v^2$.

Эти релятивистские эффекты, хотя и кажутся необычными в повседневной жизни (поскольку наши скорости значительно меньше $c$), играют решающую роль в астрофизике, физике элементарных частиц, а также используются в таких технологиях, как GPS (где необходимо учитывать релятивистские поправки для точности).

Заключение и Стратегия Подготовки

Мы совершили масштабное путешествие по фундаментальным областям общей физики: от классической механики, заложившей основы понимания движения и взаимодействия, через статистический мир молекулярно-кинетической теории, объясняющей макроскопические свойства через микроскопическое поведение, до термодинамики, управляющей энергетическими превращениями и направлением процессов. Завершили мы наш обзор погружением в Специальную Теорию Относительности, которая перевернула наши представления о пространстве, времени, массе и энергии. Ведь, как теперь очевидно, даже самые привычные концепции могут оказаться лишь приближением к более глубокой реальности, проявляющейся на экстремальных скоростях и масштабах.

Этот справочник был разработан как ваш надежный компаньон в подготовке к экзамену. Он охватывает все ключевые темы, предоставляя не только определения и формулы, но и детальные выводы, которые являются краеугольным камнем академического понимания физики. Ваша стратегия подготовки должна быть многоуровневой:

1. Понимание, а не запоминание: Всегда старайтесь понять физический смысл формул и законов, а не просто заучивать их. Спрашивайте себя «почему?» и «как это работает?».
2. Математический аппарат: Активно работайте с выводами формул. Умение самостоятельно воспроизвести вывод (например, основного уравнения МКТ или КПД цикла Карно) демонстрирует глубокое понимание материала и является обязательным для студента технического или естественнонаучного университета.
3. Решение задач: Теоретический материал без практики мертв. Решайте задачи по каждой теме, чтобы закрепить понимание и научиться применять законы в различных ситуациях.
4. Визуализация: Используйте графики и диаграммы (например, $P-V$ диаграммы для изопроцессов, резонансные кривые, распределение Максвелла), чтобы лучше представлять физические процессы.
5. Связи между разделами: Обращайте внимание на взаимосвязи между различными разделами физики. Например, как МКТ объясняет макроскопические законы термодинамики, или как законы Ньютона являются предельным случаем СТО.

Помните, что экзамен по физике — это не только проверка знаний, но и демонстрация вашего логического мышления и способности анализировать сложные явления. Последовательное изучение и глубокое осмысление материала, представленного в этом справочнике, несомненно приведет вас к успеху. Удачи в подготовке!

Список использованной литературы

1. Сборник задач В.С. Волькенштейн, 1990.
2. Классическая механика: Википедия.
3. Специальная теория относительности: Википедия.
4. Законы Ньютона: Википедия.
5. Гармонические колебания: Википедия.
6. Вязкость: Википедия.
7. Уравнение состояния идеального газа. MathUs.ru.
8. Постулаты теории относительности. Физика-light.
9. Первый и второй законы термодинамики. Каменский агротехнический техникум.
10. Специальная теория относительности Эйнштейна: основы. Skysmart.
11. Молекулярно-кинетическая теория. Газовые законы. Школково.
12. Классическая механика — энциклопедия. Российское общество Знание.
13. Уравнение состояния идеального газа. ЕГЭ по физике, подготовка от Экзамера.
14. § 25. Постулаты специальной теории относительности. adu.by.
15. Постулаты специальной теории относительности. Объединение учителей Санкт-Петербурга.
16. Глава 3. Основные законы термодинамики. BookOnLime.
17. Явления переноса • Диффузия • Вязкость • Теплопроводность. msu.ru.
18. 7-Явления переноса. vogu35.ru.
19. Явления переноса. tiiame.uz.
20. Лекция №23 ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ И ЖИДКОСТЯХ. tpu.ru.
21. Термодинамика: основные законы и формулы. Блог Феникс — Fenix.Help.
22. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Фоксфорд.
23. Тема 1. Механические колебания. Дифференциальные уравнения колебательного движения. astgmu.ru.
24. Распределение Максвелла. Число степеней свободы молекулы. Распределение энергии по степеням свободы. Внутренняя энергия газа. Лекция 1. nstu.ru.
25. Понятие о степенях свободы. Принцип Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Полная энергия молекул. StudFiles.
26. Гармонические колебания. tpu.ru.
27. Лекция 10 — Колебания. Резонанс 2 Файл. msu.ru.
28. Коэффициент динамической и кинематической вязкости: формула, таблицы. inner.su.
29. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы (закон Больцмана). tpu.ru.