Подробный разбор задач для контрольной работы по общей физике.

Контрольная по физике может показаться сложной, а вереница задач — непреодолимой. Но что, если взглянуть на нее не как на испытание, а как на возможность отточить логику? Этот материал — не просто сборник готовых ответов. Это ваш личный репетитор, который проведет вас по каждому шагу решения, объясняя логику выбора формул и последовательность вычислений. Наша цель — не просто дать вам правильный результат, а вооружить вас методом, с помощью которого вы сможете решать подобные задачи самостоятельно. Поняв однажды алгоритм, вы обретете уверенность, которая так необходима для успешной сдачи контрольной.

Каким образом следует подходить к решению любой задачи по физике

Чтобы не утонуть в формулах и данных, профессионалы используют четкий алгоритм. Этот пошаговый подход превращает хаос в управляемый процесс и значительно снижает вероятность ошибки. Освоив его, вы сможете структурировать свои мысли и уверенно находить правильный путь к ответу. Вот универсальная последовательность действий, которая поможет справиться с любой задачей.

1. Внимательно прочитать и осмыслить условие. Первый и самый важный шаг — понять, какой физический процесс описан и какие величины даны, а какие нужно найти.
2. Записать «Дано» и «Найти». Структурируйте информацию. При решении задач рекомендуется начинать с записи известных данных и искомых величин. Сразу переводите все единицы в систему СИ (метры, килограммы, секунды, Кельвины), чтобы избежать путаницы в расчетах.
3. Сделать рисунок или схему. Визуализация помогает лучше понять физическую модель. Нанесите на схему векторы сил, скоростей или другие ключевые параметры.
4. Выбрать релевантные физические законы и формулы. Основываясь на анализе условия, определите, какие законы управляют описанным процессом, и запишите соответствующие формулы.
5. Выполнить математические преобразования и расчеты. Сначала выведите конечную формулу в общем виде, выразив искомую величину, и только потом подставляйте числовые значения.
6. Проверить размерность и реалистичность ответа. Убедитесь, что полученная единица измерения соответствует искомой величине. Оцените, является ли результат правдоподобным с точки зрения здравого смысла.

Теперь, вооружившись этим методом, давайте перейдем к разбору конкретных задач из вашей контрольной.

Задача 201. Как найти изменение давления при утечке газа из колбы

В колбе вместимостью V=100 см³ содержится некоторый газ при температуре T=300 К. На сколько понизится давление р газа в колбе, если вследствие утечки из колбы выйдет N= 10²⁰ молекул?

1. Анализ условия. Нам даны объем (V), температура (T) и количество утекших молекул (N). Температура и объем колбы остаются неизменными. Найти нужно изменение давления (Δp).

2. Выбор модели. Состояние газа в замкнутом объеме прекрасно описывается уравнением Менделеева-Клапейрона: PV = νRT, где ν — количество вещества. Количество вещества, в свою очередь, связано с числом молекул N через постоянную Авогадро N_A (ν = N/N_A), а универсальная газовая постоянная R связана с постоянной Больцмана k (R = kN_A). Подставив это в исходное уравнение, получаем более удобную для нас форму: PV = NkT.

3. Пошаговое решение.
Давление в колбе прямо пропорционально числу молекул в ней. Изменение давления (Δp) будет вызвано изменением числа молекул (ΔN).

• Запишем уравнение для изменения параметров: Δp * V = ΔN * k * T.
• В нашем случае, ΔN — это число утекших молекул, которое нам дано (N из условия).
• Выражаем искомое изменение давления: Δp = (N * k * T) / V.

Перед расчетом не забудем перевести объем в систему СИ: 100 см³ = 100 * (10^-2 м)³ = 10^-4 м³. Подставляем значения (k ≈ 1.38 * 10^-23 Дж/К):

Δp = (1020 * 1.38 * 10-23 * 300) / 10-4 ≈ 4140 Па или 4.14 кПа.

Таким образом, давление в колбе понизится примерно на 4.14 кПа.

Задача 211. На какой высоте атмосферное давление уменьшится вдвое

На какой высоте h над поверхностью Земли атмосферное давление вдвое меньше, чем на ее поверхности? Температуру Т воздуха, равную 290 К, и ускорение g свободного падения считать независящими от высоты.

1. Анализ условия. Ключевые данные: отношение давлений p(h)/p(0) = 0.5. Температура T и ускорение g считаются постоянными. Наша цель — найти высоту h.

2. Теоретическая база. Для решения этой задачи используется барометрическая формула, которая описывает зависимость давления от высоты в изотермической атмосфере: p(h) = p(0) * e-(μgh/RT). Здесь p(h) — давление на высоте h, p(0) — давление на нулевой высоте, μ — молярная масса воздуха (≈ 0.029 кг/моль), g — ускорение свободного падения (≈ 9.81 м/с²), R — универсальная газовая постоянная (≈ 8.31 Дж/(моль·К)), T — температура.

3. Математические преобразования. Нам нужно выразить из этой формулы высоту h.

1. Разделим обе части на p(0): p(h)/p(0) = e-(μgh/RT).
2. Подставим наше условие p(h)/p(0) = 0.5: 0.5 = e-(μgh/RT).
3. Чтобы избавиться от экспоненты, прологарифмируем обе части по натуральному основанию: ln(0.5) = -(μgh/RT).
4. Используя свойство логарифма ln(0.5) = -ln(2), получаем: -ln(2) = -(μgh/RT), или ln(2) = μgh/RT.
5. Выражаем искомую высоту h: h = (RT * ln(2)) / (μg).

4. Расчет и ответ. Подставляем числовые значения:

h = (8.31 * 290 * ln(2)) / (0.029 * 9.81) ≈ (2409.9 * 0.693) / 0.2845 ≈ 5870 м.

Ответ: атмосферное давление уменьшится вдвое на высоте примерно 5.9 км.

Задача 221. Как рассчитать среднюю продолжительность свободного пробега молекул

Найти среднюю продолжительность свободного пробега молекул кислорода при температуре Т = 250 К и давлении р =100 Па.

1. Разбор понятий. Средняя продолжительность свободного пробега (τ) — это среднее время, которое молекула проводит в движении между двумя последовательными столкновениями.

2. Формульный аппарат. Эта величина связана со средней арифметической скоростью молекул ⟨v⟩ и средней длиной свободного пробега λ простой формулой: τ = λ / ⟨v⟩. Нам нужно последовательно найти обе эти величины.

• Средняя длина свободного пробега (λ) для идеального газа вычисляется как: λ = kT / (√2 * π * d2 * p), где d — эффективный диаметр молекулы (для кислорода O₂ ≈ 3.6 * 10^-10 м).
• Средняя арифметическая скорость молекул ⟨v⟩ зависит от температуры и молярной массы (M) газа: ⟨v⟩ = √(8RT / (πM)). Молярная масса кислорода O₂ равна 0.032 кг/моль.

3. Расчет. Проведем вычисления, подставляя все величины в системе СИ.

Сначала найдем среднюю скорость:

⟨v⟩ = √(8 * 8.31 * 250 / (3.14 * 0.032)) ≈ √165424 ≈ 406.7 м/с.

Теперь найдем среднюю длину свободного пробега:

λ = (1.38 * 10-23 * 250) / (√2 * 3.14 * (3.6 * 10-10)2 * 100) ≈ 3.45 * 10-21 / (5.74 * 10-18) ≈ 6 * 10-4 м.

Наконец, находим искомую продолжительность:

τ = (6 * 10-4) / 406.7 ≈ 1.48 * 10-6 с, или 1.48 мкс.

Таким образом, среднее время между столкновениями молекул кислорода в данных условиях составляет около 1.48 микросекунды.

Задача 231. Определяем удельную теплоемкость газовой смеси

Газовая смесь состоит из азота массой m₁ = 3 кг и водяного пара массой m₂ = 1 кг. Определить удельные теплоемкости c_v и c_p газовой смеси.

1. Основной принцип. Внутренняя энергия и теплоемкость смеси газов являются аддитивными величинами. Это значит, что теплоемкость смеси — это средневзвешенное значение теплоемкостей ее компонентов, где в качестве «веса» выступают их массовые доли.

2. План решения.

1. Найти молярные массы азота (N₂) и водяного пара (H₂O). M(N₂) = 0.028 кг/моль, M(H₂O) = 0.018 кг/моль.
2. Найти молярные теплоемкости C_v и C_p для каждого газа. Они зависят от числа степеней свободы молекул (i): C_v = (i/2)R, C_p = C_v + R.
   • Азот (N₂) — двухатомная молекула, i = 5.
   • Водяной пар (H₂O) — трехатомная молекула, i = 6.
3. Перейти от молярных теплоемкостей (Дж/моль·К) к удельным (Дж/кг·К) по формуле c = C/M.
4. Рассчитать удельную теплоемкость смеси по формуле: cсмеси = (m₁c₁ + m₂c₂)/(m₁ + m₂).

3. Детальные вычисления.

Для азота (N₂):

C_v1 = (5/2) * 8.31 = 20.775 Дж/моль·К

c_v1 = 20.775 / 0.028 ≈ 742 Дж/кг·К

c_p1 = c_v1 + R/M₁ = 742 + 8.31/0.028 ≈ 742 + 297 = 1039 Дж/кг·К

Для водяного пара (H₂O):

C_v2 = (6/2) * 8.31 = 24.93 Дж/моль·К

c_v2 = 24.93 / 0.018 ≈ 1385 Дж/кг·К

c_p2 = c_v2 + R/M₂ = 1385 + 8.31/0.018 ≈ 1385 + 462 = 1847 Дж/кг·К

Для смеси:

cv смеси = (3 * 742 + 1 * 1385) / (3 + 1) = (2226 + 1385) / 4 ≈ 903 Дж/кг·К

cp смеси = (3 * 1039 + 1 * 1847) / (3 + 1) = (3117 + 1847) / 4 ≈ 1241 Дж/кг·К

Ответ: удельная теплоемкость смеси при постоянном объеме c_v ≈ 903 Дж/кг·К, а при постоянном давлении c_p ≈ 1241 Дж/кг·К.

Задача 241. Анализ изохорного процесса нагревания водорода

Водород занимает объем V= 10 м³ при давлении p₁ = 100 кПа. Газ нагрели при постоянном объеме до давления p₂ = 300 кПа. Определить: 1) изменение ΔU внутренней энергии газа; 2) работу А, совершенную газом; 3) количество теплоты Q, сообщенное газу.

1. Идентификация процесса. Ключевая фраза в условии — «при постоянном объеме». Это означает, что мы имеем дело с изохорным процессом (V = const).

2. Работа газа (А). В термодинамике работа газа определяется как A = pΔV. Поскольку в изохорном процессе изменение объема ΔV равно нулю, то и работа газа равна нулю (А = 0). Это важнейший вывод, который сразу отвечает на второй вопрос задачи.

3. Изменение энергии и теплота (ΔU и Q). Применим первое начало термодинамики: Q = ΔU + A. Так как работа A = 0, то всё сообщенное газу количество теплоты идет на изменение его внутренней энергии: Q = ΔU.

Изменение внутренней энергии для идеального газа рассчитывается по формуле: ΔU = ν * Cv * ΔT, где C_v — молярная теплоемкость при постоянном объеме. Для двухатомного газа, как водород (H₂), число степеней свободы i=5, поэтому C_v = (5/2)R.
Из уравнения состояния газа (PV=νRT) следует, что при V=const, Δp * V = νRΔT. Отсюда νRΔT = (p₂ — p₁)V.

Тогда изменение внутренней энергии можно выразить через давление:

ΔU = (5/2) * νRΔT = (5/2) * (p₂ - p₁) * V

Расчет:

Переведем давление в Па: p₁ = 100 кПа = 10⁵ Па, p₂ = 300 кПа = 3 * 10⁵ Па.

ΔU = (5/2) * (3 * 105 - 105) * 10 = 2.5 * (2 * 105) * 10 = 5 * 106 Дж, или 5 МДж.

Ответ:

1. Изменение внутренней энергии ΔU = 5 МДж.
2. Работа газа А = 0.
3. Количество теплоты Q = ΔU = 5 МДж.

Задача 251. Вычисляем КПД идеального цикла Карно

Идеальный газ, совершающий цикл Карно, получив от нагревателя количество теплоты Q₁ = 4,2 кДж, совершил работу А =590 Дж. Найти термический КПД η этого цикла. Во сколько раз температура Т₁ нагревателя больше температуры Т₂ охладителя?

1. Суть цикла Карно. Цикл Карно — это идеальный термодинамический цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат. Он важен тем, что определяет максимально возможный КПД для тепловой машины, работающей в заданном интервале температур.

2. Расчет КПД (η). Термический КПД любой тепловой машины по определению — это отношение совершенной полезной работы (A) к количеству теплоты, полученной от нагревателя (Q₁):

η = A / Q₁

Подставим значения из условия, предварительно переведя Q₁ в Джоули (4.2 кДж = 4200 Дж):

η = 590 / 4200 ≈ 0.14 или 14%.

3. Связь с температурами. Для идеального цикла Карно КПД также можно выразить через абсолютные температуры нагревателя (T₁) и холодильника (T₂):

η = 1 - (T₂ / T₁)

Поскольку мы уже нашли КПД, мы можем использовать это уравнение, чтобы найти соотношение температур. Приравняем правые части:

A / Q₁ = 1 - (T₂ / T₁)

Выразим отсюда искомое отношение T₁/T₂:

T₂ / T₁ = 1 - (A / Q₁)

T₁ / T₂ = 1 / (1 - (A / Q₁))

Подставляем наши значения:

T₁ / T₂ = 1 / (1 - 0.14) = 1 / 0.86 ≈ 1.16.

Ответ: термический КПД цикла составляет 14%. Температура нагревателя больше температуры охладителя примерно в 1.16 раза.

Задача 261. Сколько работы требуется для выдувания мыльного пузыря

Какую работу А нужно совершить, чтобы, выдувая мыльный пузырь, увеличить его диаметр от d₁ = 1 см до d₂ =11 см? Процесс считать изотермическим.

1. Физика процесса. Работа при выдувании пузыря совершается против сил поверхностного натяжения. Эта работа идет на увеличение поверхностной энергии пленки, что эквивалентно увеличению ее площади. Ключевой момент: мыльная пленка пузыря имеет две поверхности — внутреннюю и внешнюю. Поэтому изменение площади нужно будет удвоить.

2. Формула работы. Работа, связанная с изменением площади поверхности жидкости, вычисляется по формуле:

A = σ * ΔSполн

где σ — коэффициент поверхностного натяжения (для мыльного раствора ≈ 0.04 Н/м), а ΔS_полн — полное изменение площади поверхности.

3. Расчет.

1. Переведем диаметры в метры: d₁ = 0.01 м, d₂ = 0.11 м. Найдем соответствующие радиусы: r₁ = 0.005 м, r₂ = 0.055 м.
2. Площадь поверхности сферы S = 4πr². Найдем начальную и конечную площади одной поверхности:
   S₁ = 4π(0.005)² ≈ 0.000314 м²
   S₂ = 4π(0.055)² ≈ 0.038 м²
3. Найдем изменение площади одной поверхности: ΔS = S₂ — S₁ ≈ 0.0377 м².
4. Найдем полное изменение площади двух поверхностей: ΔS_полн = 2 * ΔS ≈ 0.0754 м².
5. Рассчитаем итоговую работу: A = σ * ΔS_полн = 0.04 * 0.0754 ≈ 0.003 Дж.

Ответ: для увеличения диаметра мыльного пузыря потребуется совершить работу, равную примерно 3 мДж.

Задача 271. Находим постоянные в уравнении Ван-дер-Ваальса

Вычислить постоянные а и b в уравнении Ван-дер-Ваальса для ксенона. Критическую температуру Т_кр и критическое давление р_кр для ксенона считать известными.

1. Отличие реального газа от идеального. Уравнение Ван-дер-Ваальса является уточнением модели идеального газа. Оно вводит две поправки:

• Постоянная ‘b’ учитывает собственный объем молекул, который становится значимым при высоких давлениях.
• Постоянная ‘a’ учитывает силы межмолекулярного притяжения, которые уменьшают давление газа на стенки сосуда.

2. Ключевые формулы. Существует прямая связь между критическими параметрами вещества (температурой T_кр и давлением p_кр, при которых исчезает различие между жидкостью и газом) и постоянными Ван-дер-Ваальса:

Tкр = 8a / (27Rb)

pкр = a / (27b²)

3. Алгоритм решения. Наша задача — решить эту систему уравнений относительно ‘a’ и ‘b’.

1. Выразим ‘a’ из второго уравнения: a = 27b² * pкр.
2. Подставим это выражение для ‘a’ в первое уравнение: Tкр = 8 * (27b² * pкр) / (27Rb).
3. Сократим лишние члены: Tкр = 8bpкр / R.
4. Отсюда легко выразить постоянную ‘b’: b = RTкр / (8pкр).
5. Теперь, зная ‘b’, мы можем подставить ее в выражение для ‘a’ из первого шага и найти вторую постоянную: a = 27b² * pкр.

Этот алгоритм позволяет последовательно вычислить обе постоянные, используя экспериментально известные критические температуру и давление для конкретного газа, в данном случае — ксенона. Для проведения численного расчета достаточно найти в справочнике значения T_кр и p_кр для ксенона и подставить их в выведенные формулы.

Всё дело в методе

Мы детально разобрали задачи разного типа: от поведения газов до поверхностного натяжения. Главный вывод, который стоит сделать: за каждой из них стоит четкая логика и понятный алгоритм. Самое важное — не запомнить ответ, а понять метод решения. Теперь, когда вы видите, как сложные задачи разбиваются на простые шаги, вы готовы к любым вызовам. Уверенно применяйте этот подход, и контрольная работа станет для вас не преградой, а интересной головоломкой. Удачи!

Список использованной литературы

1. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. – М.: Интеграл-Пресс, 1997.
2. Трофимова Т.И. Физика. 500 основных законов и формул. – М.: Высшая школа, 1997.
3. Беликов Б.С. Решение задач по физике. – М.: Высшая школа, 1986.