Методологическое Руководство по Расчету Электрических Цепей (ТОЭ/ТОЭЭ): Алгоритмы, Самоконтроль и Комплексный Анализ

В мире, где электричество питает всё – от микроскопических чипов до гигантских промышленных комплексов, – фундаментальное понимание принципов электрических цепей становится не просто академической необходимостью, а краеугольным камнем инженерного мышления. Ежегодно миллионы студентов технических вузов сталкиваются с задачами по общей электротехнике и электронике, которые требуют не только знания формул, но и глубокого понимания физических процессов. Данное руководство призвано стать надёжным компасом в этом путешествии, предлагая структурированный, методологически выверенный подход к анализу электрических цепей постоянного и переменного тока.

Цель этого документа – предоставить исчерпывающую академическую инструкцию, которая станет незаменимым помощником при подготовке к экзаменам, зачётам и выполнении курсовых работ. Мы не просто перечислим законы, а углубимся в их физическую интерпретацию, предложим пошаговые алгоритмы решения типовых задач и, что крайне важно, акцентируем внимание на механизмах самоконтроля, таких как баланс мощностей.

Прежде чем погрузиться в тонкости расчетов, необходимо утвердиться в терминологии. В электротехнике каждая деталь имеет свое строгое определение, и понимание этих основ критично для дальнейшего анализа:

• Ветвь — это не просто проводник, а полноценный участок электрической цепи, который заключен между двумя узлами. Его особенность в том, что по всей его длине протекает один и тот же ток, а сам он может содержать один или несколько последовательно соединенных элементов – будь то резисторы, источники электродвижущей силы (ЭДС) или источники тока.
• Узел — ключевая топологическая точка цепи, где сходятся три или более электрические ветви. Это место «разветвления» или «соединения» токов.
• Контур — любой замкнутый путь, который можно проследить по ветвям и узлам цепи, возвращаясь при этом в исходную точку. Контуры формируют «петли» в цепи, по которым циркулирует энергия.
• ЭДС (Электродвижущая сила) — фундаментальная физическая величина, которая характеризует работу, выполняемую сторонними силами (неэлектрического происхождения) по перемещению электрического заряда внутри источника. Именно ЭДС «движет» заряды, создавая потенциал для возникновения тока, что делает ее центральным понятием при анализе источников энергии в цепи.

Расчет Разветвленных Цепей Постоянного Тока: Базовые Законы

Анализ электрических цепей постоянного тока начинается с двух краеугольных камней электротехники: закона Ома и законов Кирхгофа. Эти законы являются фундаментом, на котором строятся все более сложные методы расчета, они позволяют перевести физические принципы взаимодействия зарядов и полей в математические уравнения, описывающие поведение токов и напряжений в цепи, таким образом обеспечивая основу для всех дальнейших инженерных расчетов.

Первый Закон Кирхгофа (Закон Токов)

Первый закон Кирхгофа, также известный как Закон Токов, является прямым следствием фундаментального принципа сохранения электрического заряда. Он гласит, что в любой точке разветвления, или узле, электрической цепи постоянного тока заряды не могут ни накапливаться, ни исчезать. Это означает, что сумма всех токов, входящих в узел, должна быть равна сумме всех токов, выходящих из него.

Математически это выражается как:

∑ I = 0

где ∑ I представляет собой алгебраическую сумму токов, сходящихся в узле. При составлении уравнения необходимо принять соглашение о знаках: токи, входящие в узел, обычно принимаются со знаком «+», а выходящие — со знаком «–» (или наоборот, главное – строго соблюдать выбранное правило).

Физическая интерпретация: Этот закон гарантирует, что в узле не происходит накопления или утечки зарядов. Если бы в узел втекало больше заряда, чем вытекало, потенциал узла непрерывно бы изменялся, что противоречит условиям постоянного тока. Следовательно, сколько электронов пришло в узел, столько же должно из него уйти. Для цепи, содержащей n узлов, можно составить n-1 независимых уравнений по первому закону Кирхгофа. Выбор одного узла в качестве «базисного» (или опорного) позволяет избежать избыточности и получить систему уравнений с минимально необходимым количеством неизвестных.

Второй Закон Кирхгофа (Закон Напряжений)

Второй закон Кирхгофа, или Закон Напряжений, тесно связан с законом сохранения энергии. Он утверждает, что при обходе любого замкнутого контура в электрической цепи алгебраическая сумма падений напряжений на всех элементах этого контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил (ЭДС), действующих в этом же контуре.

Математически это записывается как:

∑ (I ⋅ R) = ∑ E

где ∑ (I ⋅ R) — сумма падений напряжений на резистивных элементах (активных сопротивлениях ветвей) контура, а ∑ E — сумма ЭДС, действующих в контуре. При составлении уравнения необходимо тщательно следить за знаками. При выбранном направлении обхода контура:

• Падение напряжения (I ⋅ R) считается положительным, если направление тока I в ветви совпадает с направлением обхода контура. В противном случае оно отрицательно.
• ЭДС (E) считается положительной, если ее направление совпадает с направлением обхода контура. Если ЭДС направлена против обхода, она отрицательна.

Физическая интерпретация: Этот закон означает, что если мы начинаем движение по замкнутому контуру с некоторой точки, проходя через различные элементы цепи и возвращаясь в ту же точку, суммарное изменение потенциала должно быть равно нулю. ЭДС являются «источниками» потенциальной энергии, а падения напряжения на сопротивлениях — «потребителями», которые преобразуют эту энергию в тепло. Для цепи с b ветвями и n узлами можно составить k = b — (n — 1) независимых уравнений по второму закону Кирхгофа. Это количество соответствует числу независимых контуров в цепи.

Прикладные Методы Расчета Цепей Постоянного Тока: Алгоритмы

Применение законов Ома и Кирхгофа напрямую к сложным разветвленным цепям может привести к громоздким системам уравнений. Поэтому были разработаны более эффективные и систематизированные методы, такие как метод контурных токов (МКТ) и метод узловых потенциалов (МУП). Эти методы позволяют существенно сократить количество неизвестных и упростить процесс решения, предоставляя инженерам мощные инструменты для анализа сложных электрических схем.

Метод Контурных Токов (МКТ)

Метод контурных токов (МКТ) — это мощный инструмент для анализа сложных разветвленных цепей, который базируется на втором законе Кирхгофа. Его ключевая идея заключается во введении условных контурных токов, которые циркулируют по выбранным независимым контурам. Количество таких контурных токов равно числу независимых контуров в цепи, что часто значительно меньше числа действительных токов в ветвях.

Пошаговый алгоритм составления системы уравнений:

1. Определение независимых контуров: Определите количество независимых контуров (k = b — n + 1, где b — число ветвей, n — число узлов).
2. Выбор направлений контурных токов: Присвойте каждому независимому контуру условный контурный ток (I_к1, I_к2, …, I_кk) и произвольно выберите для них направление (например, по часовой стрелке).
3. Составление системы уравнений: Для каждого k-го контура составляется уравнение по второму закону Кирхгофа. Общий вид системы для k контуров:

R11 Iк1 ± R12 Iк2 ± ... ± R1k Iкk = ∑ Eк1
R21 Iк1 ± R22 Iк2 ± ... ± R2k Iкk = ∑ Eк2
...
Rk1 Iк1 ± Rk2 Iк2 ± ... ± Rkk Iкk = ∑ Eкk

• Собственное сопротивление контура (R_ii): Это сумма всех сопротивлений ветвей, входящих в i-й контур. Оно всегда положительно.
• Взаимное сопротивление (R_ij): Это сопротивление ветви (или нескольких ветвей), которая является общей для контуров i и j.
  • Знак R_ij определяется совпадением или несовпадением направлений контурных токов I_кi и I_кj в общей ветви. Если направления совпадают, R_ij берется со знаком «+». Если направления противоположны, R_ij берется со знаком «–». (Важно: в матричной форме R_ij = R_ji).
• Контурная ЭДС (∑ E_кi): Алгебраическая сумма ЭДС, находящихся в i-м контуре. ЭДС считается положительной, если ее направление совпадает с направлением контурного тока I_кi, и отрицательной в противном случае.

4. Решение системы: Решите полученную систему линейных алгебраических уравнений (например, методом Крамера, методом Гаусса или с помощью матричных методов) для нахождения значений контурных токов.
5. Определение действительных токов: Действительный ток в любой ветви цепи равен алгебраической сумме контурных токов, проходящих через эту ветвь. Направление действительного тока определяется знаком: если ток получился положительным, его направление совпадает с выбранным направлением контурного тока; если отрицательным, то противоположно.

Метод Узловых Потенциалов (МУП)

Метод узловых потенциалов (МУП) также является эффективным способом анализа разветвленных цепей, но он основывается на первом законе Кирхгофа и обобщенном законе Ома. В качестве неизвестных здесь выступают не токи, а потенциалы узлов цепи.

Пошаговый алгоритм:

1. Выбор базисного узла: Выберите один из узлов цепи в качестве базисного (опорного) и примите его потенциал равным нулю (φ_баз=0). Это служит точкой отсчета для всех остальных потенциалов.
2. Определение числа неизвестных: Количество неизвестных потенциалов будет равно числу узлов минус один (n-1).
3. Составление уравнений для узловых потенциалов: Для каждого небазисного узла составляется уравнение по первому закону Кирхгофа, используя обобщенный закон Ома. Обобщенный закон Ома для ветви, соединяющей узлы k и m, с сопротивлением R_km, проводимостью G_km = 1/R_km и ЭДС E_km, гласит, что ток I_km равен:

Ikm = ((φk - φm) + Ekm) ⋅ Gkm

Где E_km положительна, если направлена от узла m к узлу k, и отрицательна, если наоборот.

Уравнение для узла k будет выглядеть как сумма токов, выходящих из него (или входящих в него, в зависимости от принятого правила знаков), равная нулю.

В общем виде для узла k:

∑m (φk - φm - Ekm) Gkm = 0

(где суммирование ведется по всем ветвям, примыкающим к узлу k, а E_km — ЭДС, направленная от узла m к узлу k).

4. Решение системы: Решите полученную систему линейных алгебраических уравнений для нахождения потенциалов всех небазисных узлов.
5. Определение действительных токов: После нахождения всех узловых потенциалов действительные токи в каждой ветви можно найти, используя обобщенный закон Ома для этой ветви:

Ikm = ((φk - φm) + Ekm) ⋅ Gkm

Сравнительный Анализ и Критерий Оптимальности (Методологический Выбор)

Выбор между МКТ и МУП часто является первым шагом к эффективному решению задачи. Не существует универсально «лучшего» метода; оптимальность определяется топологией конкретной цепи. Почему же этот выбор так важен? Правильный подход позволяет существенно сократить время на расчеты и минимизировать вероятность ошибок, что особенно критично при выполнении курсовых проектов и экзаменационных заданий.

Критерии выбора:

• Количество уравнений:
  • МКТ требует k = b — n + 1 уравнений.
  • МУП требует n — 1 уравнений.
• Рекомендация:
  • Если число узлов (n) в цепи значительно меньше, чем число независимых контуров (k), то МУП будет более эффективным, так как он приведет к меньшей системе уравнений. Это часто случается в цепях с большим количеством параллельных ветвей, но относительно небольшим количеством узлов.
  • Если число независимых контуров (k) меньше, чем число узлов минус один (n-1), то МКТ будет предпочтительнее. Это характерно для цепей с большим количеством последовательных соединений и меньшим числом параллельных ветвей.

Таблица 1: Сравнительный Анализ МКТ и МУП

Критерий	Метод Контурных Токов (МКТ)	Метод Узловых Потенциалов (МУП)
Базовый закон	Второй закон Кирхгофа	Первый закон Кирхгофа, обобщенный закон Ома
Неизвестные	Условные контурные токи (Iк)	Потенциалы узлов (φ)
Число уравнений	k = b — n + 1 (где b — ветви, n — узлы)	n — 1 (где n — узлы)
Преимущества	Удобен для цепей с меньшим числом независимых контуров.	Удобен для цепей с меньшим числом узлов.
Недостатки	Требует дополнительного шага для расчета действительных токов.	Требует выбора базисного узла и корректной интерпретации ЭДС в ветвях.

Обязательный Механизм Самоконтроля: Уравнение Баланса Мощностей

После выполнения всех расчетов и нахождения токов в ветвях, крайне важно провести проверку. Самым надёжным и фундаментальным механизмом самоконтроля в цепях постоянного тока является уравнение баланса мощностей. Это не просто формальная процедура, а глубокое подтверждение принципа сохранения энергии, который должен строго соблюдаться в любой электрической цепи. Если баланс мощностей не сошёлся (даже с учётом допустимых погрешностей округления), это однозначно указывает на ошибку в расчетах токов или напряжений, требуя немедленной ревизии всех предшествующих шагов.

Расчет Генерируемой Мощности (∑ E ⋅ I) и Правило Знаков

Генерируемая мощность — это общая мощность, которую источники ЭДС «впрыскивают» в электрическую цепь. Она представляет собой алгебраическую сумму мощностей всех источников ЭДС.

Формула для генерируемой мощности:

Pген = ∑k=1b Ek Ik

Здесь критически важно соблюдать правило знаков:

• Слагаемое E_k I_k берется со знаком «+», если направление ЭДС E_k совпадает с направлением тока I_k, протекающего через эту ветвь. В этом случае источник работает в режиме генератора, отдавая энергию в цепь.
• Слагаемое E_k I_k берется со знаком «–», если направление ЭДС E_k противоположно направлению тока I_k. Это крайне важная деталь, которая часто упускается. В таком случае источник ЭДС работает в режиме потребителя (или в режиме потребления электроэнергии), то есть он заряжается от других источников цепи, поглощая энергию, а не генерируя её. Это явление не редкость в сложных схемах с несколькими источниками.

Пример: Представьте аккумулятор, который обычно питает цепь. Если в цепи есть более мощный генератор, он может «продавливать» ток через аккумулятор в обратном направлении, заставляя его заряжаться. В этом случае, несмотря на то что аккумулятор является источником ЭДС, он будет потреблять мощность, и его вклад в ∑ E_k I_k будет отрицательным.

Расчет Потребляемой Мощности (∑ R ⋅ I²) и Условие Сходимости

Потребляемая (или рассеиваемая) мощность — это сумма всех мощностей, которые преобразуются в тепло на резистивных элементах цепи. Сюда относятся как внешние сопротивления, так и внутренние сопротивления источников ЭДС.

Формула для потребляемой мощности:

Pпотр = ∑k=1b Rk Ik2

Здесь:

• R_k — сопротивление k-й ветви (включая внутренние сопротивления источников, если они есть).
• I_k — действительный ток, протекающий через k-ю ветвь.
• Важно: Мощность, рассеиваемая на резисторах, всегда положительна, поскольку она выделяется независимо от направления тока (I² всегда ≥ 0).

Условие сходимости баланса мощностей:
Для верификации решения необходимо, чтобы:

Pген = Pпотр

Или, в развернутом виде:

∑k=1b Ek Ik = ∑k=1b Rk Ik2

Физический смысл: Это уравнение выражает закон сохранения энергии. Вся энергия, генерируемая источниками ЭДС в цепи, должна быть полностью преобразована в другие виды энергии (в данном случае — в тепло на резисторах). Если это равенство не соблюдается, значит, в расчетах токов или в применении правил знаков была допущена ошибка. Корректное выполнение баланса мощностей является финальным подтверждением правильности всех предыдущих этапов расчета.

Основы Анализа Неразветвленных Цепей Переменного Тока: Комплексный Метод

Постоянный ток, с его неизменными во времени параметрами, является лишь частью электротехники. Гораздо более распространенным и сложным для анализа является переменный ток, который изменяется во времени по синусоидальному закону. Для эффективного анализа таких цепей был разработан комплексный метод, который позволяет представлять синусоидальные величины (токи, напряжения, ЭДС) в виде комплексных чисел, значительно упрощая расчеты и ��озволяя применять алгебраические методы, аналогичные расчетам цепей постоянного тока.

Ключевые понятия цепей переменного тока:

• Синусоидальный ток/напряжение — это электрическая величина, которая меняется во времени по закону синуса или косинуса. Например, i(t) = I_m sin(ωt + α) или u(t) = U_m sin(ωt + β).
• Действующее (эффективное) значение — это такое значение постоянного тока или напряжения, которое за период переменного тока выделяет в резисторе такое же количество теплоты, как и сам переменный ток. Оно является наиболее часто используемой характеристикой синусоидальных величин.
  • Связь действующего и амплитудного (максимального) значения: Действующее значение (I или U) синусоидального тока или напряжения меньше своего амплитудного (I_m или U_m) в √2 раз.
  • Формула: I = Im / √2; U = Um / √2.

Комплексное Представление и Оператор j (Мнимая Единица)

Комплексные числа являются математическим аппаратом для представления синусоидальных величин в виде векторов на комплексной плоскости. Это позволяет заменить дифференциальные уравнения алгебраическими.

• Общий вид комплексного числа: A = A_действ + j A_мним (алгебраическая форма) или A = A ⋅ e^jα = A (cos α + j sin α) (показательная или экспоненциальная форма), где A — модуль комплексного числа (соответствует действующему значению синусоидальной величины), а α — аргумент (начальная фаза).
• Оператор j (Мнимая единица): В электротехнике традиционно используется символ «j» вместо математического «i», чтобы избежать путаницы с обозначением тока. Оператор j представляет собой мнимую единицу, равную √(-1).
  • Физическая интерпретация оператора j: Умножение на оператор j геометрически соответствует повороту вектора на комплексной плоскости на угол +90° (против часовой стрелки). Это фундаментально для понимания поведения реактивных элементов:
    • В индуктивности напряжение опережает ток на 90°, что математически выражается умножением тока на jX_L.
    • В ёмкости ток опережает напряжение на 90° (или напряжение отстает от тока на 90°), что математически выражается делением напряжения на jX_C или умножением на -j/X_C.

Комплексное Сопротивление (Импеданс) RLC-цепи

В цепях переменного тока появляется понятие комплексного сопротивления, или импеданса (Z), которое является обобщением обычного сопротивления и учитывает не только активное, но и реактивное сопротивление элементов.

• Математическое описание для последовательной RLC-цепи:

Z = R + j X

где R — активное сопротивление, а X — реактивное сопротивление.

• Реактивные сопротивления:
  • Индуктивное сопротивление (X_L): Возникает в катушках индуктивности и зависит от индуктивности L и угловой частоты ω (ω = 2πf, где f — частота). XL = ωL.
  • Емкостное сопротивление (X_C): Возникает в конденсаторах и зависит от емкости C и угловой частоты ω. XC = 1 / (ωC).
• Полное реактивное сопротивление цепи: X = XL - XC.
• Полное сопротивление (модуль комплексного сопротивления): Это абсолютное значение импеданса, которое определяет отношение действующего напряжения к действующему току.

Z = √(R2 + X2)

Закон Ома, Расчет Тока и Сдвиг Фаз

Применение закона Ома в комплексной форме существенно упрощает анализ цепей переменного тока, сводя его к алгебраическим операциям с комплексными числами.

• Закон Ома для участка цепи в комплексной форме:

U = I ⋅ Z или I = U / Z

Где U, I, Z — комплексные напряжения, токи и сопротивления соответственно.

• Угол сдвига фаз (φ) между током и напряжением является одной из ключевых характеристик цепи переменного тока. Он определяется аргументом комплексного сопротивления:

φ = arctan(X / R)

• Если X > 0 (то есть X_L > X_C), цепь имеет индуктивный характер. Угол φ > 0, что означает, что напряжение опережает ток по фазе.
• Если X < 0 (то есть X_C > X_L), цепь имеет емкостной характер. Угол φ < 0, что означает, что ток опережает напряжение по фазе.
• Если X = 0 (то есть X_L = X_C), наступает резонанс напряжений. Угол φ = 0, что означает, что ток и напряжение совпадают по фазе (цепь ведет себя как чисто активное сопротивление).

Алгоритм расчета неразветвленной цепи (комплексный метод):

1. Представление исходных данных в комплексной форме: Все заданные синусоидальные ЭДС или напряжения (u(t), e(t)) преобразуются в комплексную форму (U, E) с использованием действующих значений и начальных фаз.
2. Нахождение комплексных сопротивлений: Рассчитайте X_L и X_C для индуктивностей и емкостей, затем определите комплексные сопротивления Z каждого элемента цепи (R, jX_L, -jX_C).
3. Определение общего комплексного сопротивления: Для неразветвленной цепи сложите комплексные сопротивления всех последовательно соединенных элементов: Zобщ = ∑ Zk.
4. Расчет комплексного тока: Примените закон Ома в комплексной форме для нахождения комплексного тока I в цепи: I = U / Zобщ (или E / Zобщ, если задан источник ЭДС).
5. Нахождение комплексных напряжений на элементах: Рассчитайте комплексные напряжения на каждом элементе (U_R, U_L, U_C) по закону Ома для каждого элемента: UR = I ⋅ R; UL = I ⋅ jXL; UC = I ⋅ (-jXC).
6. Построение векторной диаграммы: Для наглядности и самоконтроля постройте векторную диаграмму токов и напряжений. На ней можно визуально убедиться в соблюдении закона Кирхгофа для напряжений (векторная сумма напряжений на элементах должна быть равна вектору напряжения источника) и правильности фазовых соотношений.

Заключение

Изучение общей электротехники и электроники – это не просто освоение набора формул, а формирование системного, методологического мышления, необходимого каждому инженеру. Представленное руководство стало попыткой синтезировать теоретические основы и практические алгоритмы, восполняя те пробелы, которые часто встречаются в стандартных учебных материалах.

Мы детально рассмотрели фундаментальные законы Ома и Кирхгофа, которые являются альфой и омегой анализа электрических цепей постоянного тока. Затем мы погрузились в прикладные методы – метод контурных токов и метод узловых потенциалов, предоставив не только пошаговые алгоритмы, но и критически важный критерий выбора оптимального метода, основанный на топологии цепи.

Особое внимание было уделено механизму самоконтроля – уравнению баланса мощностей. Подробное разъяснение правила знаков для генерируемой мощности, включая физическую интерпретацию режима потребления источника ЭДС, является жизненно важной деталью, которая гарантирует корректность всех выполненных расчетов и подтверждает принцип сохранения энергии.

Наконец, мы перешли к анализу цепей переменного тока, представив мощный комплексный метод. От введения синусоидальных величин и действующих значений до глубокого понимания оператора j как геометрического поворота вектора и применения комплексного сопротивления (импеданса) – каждый аспект был разработан с целью сделать сложные концепции максимально понятными и применимыми.

В конечном итоге, успех в решении электротехнических задач кроется не только в знании формул, но и в способности последовательно применять алгоритмы, понимать физический смысл каждого шага и, что наиболее важно, использовать надёжные механизмы самоконтроля. Это руководство призвано стать вашим надёжным союзником на пути к глубокому пониманию и мастерскому владению расчетом электрических цепей. Применяйте его принципы вдумчиво и систематически, и вы сможете уверенно решать самые сложные задачи, гарантируя точность и полноту своих решений.

Список использованной литературы

1. Касаткин, А.С. Электротехника / А.С. Касаткин, М.В. Немцов. – М.: Высшая школа, 2005.
2. Сатаров, А.А. Электротехника и электроника. Линейные электрические цепи постоянного тока: Учебное пособие / А.А. Сатаров. – М.: 2005.
3. Частоедов, Л.А. Теоретические основы электротехники. Чаcть I: Учебное пособие / Л.А. Частоедов, Е.С. Гирина. – М.: РГОТУПС, 2004.
4. Электротехника и электроника. Том 1 / Под ред. В.Г. Герасимова. – М.: Высшая школа, 1996.
5. Законы Ома и Кирхгофа: описание, формулы в символической форме. – URL: https://profazu.ru/zakony-oma-i-kirhgofa-opisanie-formuly-v-simvolicheskoj-forme (дата обращения: 07.10.2025).
6. Баланс мощностей в цепях постоянного тока. Пример расчета. – URL: https://studfile.net/preview/4488827/page:10/ (дата обращения: 07.10.2025).
7. Лекция 2. Законы Ома и Кирхгофа. – URL: https://tpu.ru/ (дата обращения: 07.10.2025).
8. Лекция 4. Расчет цепей. – URL: https://tpu.ru/ (дата обращения: 07.10.2025).
9. Метод контурных токов. Решение задач. – URL: https://electroandi.ru/metod-konturnyh-tokov-reshenie-zadach (дата обращения: 07.10.2025).
10. Метод узловых потенциалов. – URL: https://electroandi.ru/metod-uzlovyh-potencialov (дата обращения: 07.10.2025).
11. Расчет цепей переменного тока. – URL: https://shkola-dlya-elektrika.ru/raschet-cepey-peremennogo-toka/ (дата обращения: 07.10.2025).
12. Расчёт разветвлённой электрической цепи постоянного тока. – URL: https://www.sibadi.org/ (дата обращения: 07.10.2025).
13. Расчет электрических цепей по методу узловых потенциалов: вывод метода. – URL: https://faultan.ru/articles/raschet-elektricheskih-tsepey-po-metodu-uzlovyh-potentsialov-vyvod-metoda (дата обращения: 07.10.2025).
14. Расчет цепей постоянного тока путем непосредственного применения законов Кирхгофа. – URL: https://studfile.net/preview/5745136/page:6/ (дата обращения: 07.10.2025).
15. Сдвиг фаз в цепи переменного тока. – URL: https://mipt1.ru/ (дата обращения: 07.10.2025).
16. 1.6. Метод контурных токов. – URL: https://mrsu.ru/ (дата обращения: 07.10.2025).
17. Импенданс, активное и реактивное сопротивления. – URL: https://nsu.ru/ (дата обращения: 07.10.2025).
18. Сопротивления. Цепи переменного тока. – URL: https://websor.ru/ (дата обращения: 07.10.2025).
19. Законы постоянного тока. – URL: https://tpu.ru/ (дата обращения: 07.10.2025).