Ответы на билеты по предмету: Высшая математика (Пример)
Содержание
Дифференциальные уравнения
7. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешимые в явном виде.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
8. Теорема о существовании и единственности решения начальной задачи для дифференциального уравнения.
Доказательство теоремы о единственности и существования решения начальной задачи Коши для уравнения методом сжимающих отображений. Выводы и следствия из теоремы.
9. Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) второго порядка.
Теорема о структуре общего решения ЛОДУ. ЛОДУ с постоянными коэффициентами: характеристическое уравнение; нахождение общего решения ЛОДУ в зависимости от корней характеристического уравнения.
10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНОДУ) второго порядка.
Теорема о структуре общего решения ЛНОДУ. Построение частных решений ЛНОДУ с постоянными коэффициентами по виду правой части уравнения методом неопределенных коэффициентов. Нахождение общего решения ЛНОДУ методом вариации произвольных постоянных.
Теория вероятностей и математическая статистика
11. Основные понятия теории вероятностей. Случайное событие. Вероятность.
Случайное, невозможное, достоверное события. Вероятность. Статистическая и геометрическая вероятности. Формулы комбинаторики. Теоремы сложения и умножения вероятностей (доказательство одной из теорем).
Независимые события. Формула полной вероятности (вывод формулы).
12. Повторение испытаний. Схема Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Теорема Пуассона.
Обоснование формулы Бернулли. Формулировки интегральной и локальной теоремы Лапласа. Теорема Пуассона (доказательство).
Примеры использования теорем.
13. Случайные величины. Закон распределения случайной величины.
Непрерывная и дискретная случайная величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Плотность вероятностей и ее свойства. Прикладные законы распределения: биномиальный, геометрический, гипергеометрический, равномерный, показательный и др.
14. Числовые характеристики случайной величины.
Математическое ожидание. Свойства математического ожидания. Дисперсия. Свойства дисперсии. Среднее квадратическое отклонение. Моменты. Асимметрия. Эксцесс. Примеры.
Выдержка из текста
Математический анализ
1. Функция. Предел функции в точке. Непрерывность функции.
Функция: определение, график, способы задания. Элементарные глобальные свойства функций (ограниченность, неограниченность, монотонность, периодичность, четность, нечетность).
Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне, их эквивалентность. Единственность предела функции. Непрерывность функции в точке: различные определения, локальные свойства непрерывной в точке функции (ограниченность, сохранение функцией знака).
Непрерывность суммы, произведения, частного двух непрерывных функций, сложной функции. Теоремы Больцано –Коши и Вейерштрасса о непрерывных на сегменте функциях.
2. Производная и дифференцируемость функции. Правила дифференцирования.
Понятие производной функции в точке. Геометрический и механический смысл производной функции в точке. Уравнение касательной и нормали к графику функции в точке. Дифференцируемость функции в точке. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций. Дифференцирование сложной и обратной функции. Производные основных элементарных функций (тригонометрических, логарифмической, показательной и степенной функций).
3. Условия монотонности функции на промежутке. Выпуклость функции на промежутке. Точки перегиба функции.
Необходимые и достаточные условия постоянства и монотонности функции на промежутке. Экстремумы функции и условия существования точек экстремума функции. Определения выпуклости (вогнутости) функции на промежутке и точки перегиба. Достаточное условие выпуклости дважды дифференцируемой функции. Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба функции.
4. Первообразная и неопределенный интеграл функции. Методы интегрирования функций.
Задачи, приводящие к восстановлению функции по её производной (задача о вычислении пройденной пути по мгновенной скорости, задача о вычислении мгновенной скорости по ускорению, задача о вычислении переменной массы по известной плотности).
Понятие первообразной функции. Свойства первообразных функций. Понятие неопределенного интеграла и его свойства. Таблица интегралов основных элементарных функций. Методы интегрирования функций: непосредственного интегрирования, подстановки и по частям.
5. Определенный интеграл. Приложения определенного интеграла.
Задача о площади криволинейной трапеции. Понятие определенного интеграла. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Интегрируемость непрерывной функции. Основные свойства определенного интеграла. Приложения определенного интеграла: площадь криволинейной трапеции, площадь криволинейного сектора, вычисление длины кривой.
6. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его
свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
Определение функции − определенного интеграла с переменным верхним пределом. Свойства функции : непрерывность и дифференцируемость. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница и её значение для интегрального исчисления. Связь между определенным и неопределенным интегралами функции
Список использованной литературы
Методы оптимизации
15. Линейное программирование и теория двойственности.
Постановка задачи линейного программирования. Различные формы задачи линейного программирования: классическая, каноническая. Построение двойственных задач. Теоремы двойственности.
16. Задачи нелинейного программирования.
Постановка задачи нелинейного программирования. Одномерный случай. Определение локального и глобального экстремума. Многомерный случай. Необходимые и достаточные условия локального экстремума I и II порядков. Критерий Сильвестра.
Численные методы
17. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
Постановка задачи. Классификация методов. Точные методы. Мультипликативное разложение матриц. Теорема об LU-разложении. Метод LU-разложений. Метод простых итераций. Критерий сходимости, достаточные условия сходимости.
18. Численные методы решения задач на собственные значения и собственные векторы матриц.
Основные определения и спектральные свойства матриц. Преобразование подобия. Характеристический многочлен. Классификация численных методов решения полной и частичной проблемы. Метод Данилевского. Форма Фробениуса.
19. Аппроксимация и интерполяция функций одной переменной.
Постановка задачи аппроксимации и численного интерполирования. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа. Погрешность интерполирования. Разделенные разности. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона (1-я и 2-я формулы).
Сходимость интерполяционных процессов.
20. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Постановка задачи Коши. Теорема Пикара Классификация численных методов решения задачи Коши. Одношаговые методы: явный и неявный метод Эйлера. Методы Рунге-Кутта.
21. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Постановка линейной краевой задачи для ОДУ второго порядка. Классификация численных методов решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы сведения к задаче Коши: метод редукции, метод стрельбы.
Геометрия
22. Взаимное расположение линии второго порядка и прямой на плоскости.
Суть метода координат на плоскости. Понятие алгебраической линии. Линии второго порядка. Примеры. Исследование взаимного расположения линии второго порядка и прямой на плоскости. Асимптоты. Касательные. Диаметры линий второго порядка.
23. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости и двух прямых в трехмерном пространстве.
Суть метода координат в пространстве. Выяснение взаимного расположения двух плоскостей, прямой и плоскости – как пример использования метода координат. Примеры. Исследование взаимного расположения двух прямых в трехмерном пространстве – как пример использования векторов к решению задач. Примеры.
Алгебра
24. Векторные пространства.
Определение векторного пространства, примеры конечномерных и бесконечномерных пространств. Базис и размерность конечномерного пространства (теоремы о связи понятий базиса и размерности).
Ортогональный базис. Координаты векторов и их свойства.
25. Методы решений систем линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений.
Решение, эквивалентность систем линейных уравнений (СЛУ).
Критерий Кронекера-Капелли о совместности СЛУ. Методы решений СЛУ (метод последовательного исключения переменных (метод Гаусса), метод Крамера (с помощью определителей), матричный метод (с помощью обратной матрицы)).
