Электричество и Магнетизм: Всеобъемлющий Академический Справочник для Подготовки к Экзаменам

Добро пожаловать в захватывающий мир электродинамики — дисциплины, которая не просто описывает явления электричества и магнетизма, но объединяет их в единую, гармоничную теорию электромагнитного поля. На протяжении веков эти, казалось бы, разрозненные феномены завораживали ученых, пока гений Джеймса Клерка Максвелла не выявил их глубокую взаимосвязь, предсказав существование электромагнитных волн и показав, что свет — всего лишь частный случай этих волн. Сегодня электродинамика остается краеугольным камнем современной физики, лежа в основе всех электрических, электронных и оптических технологий, от микрочипов до систем глобальной связи.

Цель этого руководства — предоставить студентам высших учебных заведений и аспирантам исчерпывающий, глубокий и системно изложенный материал, необходимый для успешной подготовки к академическим экзаменам. Мы стремимся не просто перечислить формулы, но и раскрыть их физический смысл, показать методы вывода и логические связи между различными разделами. Данное пособие построено как комплексный справочник, где каждый тематический блок представляет собой полноценную главу, углубляющуюся в фундаментальные принципы и их практические применения. Мы пройдем путь от статических зарядов и токов до динамических полей и уравнений Максвелла, предоставляя полную картину электромагнитного мира.

Фундаментальные Законы Электростатики и Магнитостатики

Понимание электричества и магнетизма начинается с изучения их статических проявлений. В этой главе мы погрузимся в мир неподвижных электрических зарядов (электростатика) и постоянных электрических токов (магнитостатика), выявляя фундаментальные законы, управляющие их взаимодействиями и характеристиками создаваемых ими полей.

Электростатические взаимодействия и поле

История электричества уходит корнями в глубокую древность, когда было замечено, что натертый янтарь притягивает легкие предметы. Однако количественное описание электрических сил появилось лишь в XVIII веке благодаря французскому физику Шарлю Кулону.

Закон Кулона

Закон Кулона, опубликованный в 1785 году, стал первым количественным законом электростатики, заложившим основу всей теории электрических явлений. Он описывает силу взаимодействия между двумя точечными электрическими зарядами.

Формулировка: Сила взаимодействия (F) двух точечных зарядов q₁ и q₂ в вакууме направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды, прямо пропорциональна их величинам и обратно пропорциональна квадрату расстояния (r) между ними. Одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются.

Математическая форма:

Модуль силы F определяется выражением:

F = k ⋅ (|q₁| ⋅ |q₂|) / (ε ⋅ r²)

Где:

• F — сила Кулона, измеряемая в Ньютонах (Н).
• q₁ и q₂ — величины точечных зарядов, измеряемые в Кулонах (Кл).
• r — расстояние между зарядами, измеряемое в метрах (м).
• ε — безразмерная диэлектрическая проницаемость среды, в которой находятся заряды. Для вакуума ε = 1.
• k — коэффициент пропорциональности, известный как кулоновская постоянная.

Кулоновская постоянная (k):

В Международной системе единиц (СИ) значение k приблизительно равно 8,9875517923 × 10⁹ Н·м²/Кл². Часто k выражают через электрическую постоянную ε₀:

k = 1 / (4π ε₀)

Электрическая постоянная (ε₀):

Это фундаментальная физическая константа, характеризующая электрические свойства вакуума. Её значение в СИ приблизительно равно 8,854187817 × 10⁻¹² Ф/м (Фарад на метр) или Кл²/(Н·м²). Таким образом, закон Кулона в вакууме можно записать как:

F = (1 / (4π ε₀)) ⋅ (|q₁| ⋅ |q₂|) / r²

Закон Кулона является основой электростатики, подобно тому как закон всемирного тяготения Ньютона служит фундаментом классической механики. Это значит, что без понимания этого закона невозможно адекватно описывать взаимодействие заряженных частиц, что критично для всей современной электроники.

Напряженность электрического поля (E)

Электрическое поле — это особая форма материи, через которую осуществляется взаимодействие электрических зарядов. Для количественного описания этого поля вводится векторная характеристика — напряженность электрического поля.

Определение: Напряженность электрического поля (E) — это векторная физическая величина, характеризующая электрическое поле в данной точке пространства и численно равная отношению силы (F), действующей на неподвижный положительный пробный заряд (q₀), помещенный в эту точку поля, к величине этого заряда.

E = F / q₀

Направление: Вектор напряженности E совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд. Следовательно, для поля, создаваемого положительным зарядом, E направлен от заряда; для отрицательного заряда — к заряду.

Единицы измерения: В СИ напряженность электрического поля измеряется в Ньютонах на Кулон (Н/Кл) или Вольтах на метр (В/м).

Напряженность поля точечного заряда: Используя закон Кулона, можно вывести формулу для напряженности поля, создаваемого точечным зарядом q в вакууме на расстоянии r:

E = k ⋅ |q| / (ε ⋅ r²) или E = (1 / (4π ε₀ε)) ⋅ |q| / r²

Графическое представление (силовые линии): Электрическое поле наглядно изображают с помощью силовых линий напряженности. Эти линии начинаются на положительных зарядах (или в бесконечности) и заканчиваются на отрицательных зарядах (или в бесконечности), не пересекаются и их густота пропорциональна величине напряженности поля.

Принцип суперпозиции электростатических полей

Мир редко состоит из одного точечного заряда. Обычно мы имеем дело с системами зарядов. Принцип суперпозиции позволяет рассчитывать поля, создаваемые такими системами.

Формулировка: Если в данной точке пространства электростатическое поле создано системой точечных зарядов, то напряженность результирующего поля в этой точке равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из точечных зарядов системы в отдельности.

E = E₁ + E₂ + ... + Eₙ = Σᵢ Eᵢ (векторная сумма)

Это означает, что электрическое поле, создаваемое одним зарядом, не зависит от присутствия других зарядов. Принцип суперпозиции является фундаментальным для всех линейных систем, к которым относится и электростатика.

Электрический потенциал (φ)

Напряженность E является силовой характеристикой поля. Однако, для удобства описания энергетических аспектов поля, вводится скалярная величина — электрический потенциал.

Определение: Электрический потенциал (φ) — это скалярная энергетическая характеристика электростатического поля, характеризующая потенциальную энергию поля, которой обладает единичный положительный пробный заряд (q₀), помещенный в данную точку поля.

φ = Wₚ / q₀

Где Wₚ — потенциальная энергия пробного заряда q₀ в электрическом поле.

Единицы измерения: В СИ потенциал измеряется в Вольтах (В), что эквивалентно Джоулям на Кулон (Дж/Кл).

Потенциал поля точечного заряда: Потенциал, создаваемый точечным зарядом q на расстоянии r от него:

φ = k ⋅ q / (ε ⋅ r) или φ = (1 / (4π ε₀ε)) ⋅ q / r

Важно отметить, что потенциал, в отличие от напряженности, является скалярной величиной, что существенно упрощает его расчет для систем зарядов.

Связь между напряженностью и потенциалом: E = -grad φ

Напряженность электрического поля и потенциал — это две разные характеристики одного и того же электростатического поля, тесно связанные между собой.

Формулировка: Напряженность электрического поля (E) в какой-либо точке равна градиенту потенциала (φ) в этой точке, взятому с обратным знаком.

E = -grad φ = -∇φ

Где ∇ — оператор набла (градиент).

Физический смысл знака «минус»: Знак «минус» указывает, что вектор напряженности E всегда направлен в сторону убывания потенциала. Иными словами, электрическое поле стремится переместить положительный заряд из области с более высоким потенциалом в область с более низким потенциалом.

Эквипотенциальные поверхности: Это поверхности, во всех точках которых потенциал имеет одинаковое значение (φ = const). Линии напряженности электрического поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям и направлены в сторону убывания потенциала.

Принцип суперпозиции потенциалов

Поскольку потенциал является скалярной величиной, его расчет для системы зарядов значительно проще, чем расчет напряженности.

Формулировка: Потенциал электрического поля, создаваемого произвольной системой зарядов в данной точке, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом в отдельности в этой же точке.

φ = φ₁ + φ₂ + φ₃ + ... = Σᵢ φᵢ

Этот принцип позволяет легко находить потенциал сложных конфигураций зарядов, просто суммируя скалярные значения потенциалов от каждого источника.

Магнитостатические взаимодействия и поле

Параллельно с развитием электростатики формировалось понимание магнетизма. Долгое время электричество и магнетизм считались независимыми явлениями, пока Эрстед не обнаружил связь между ними, продемонстрировав, что электрический ток создает магнитное поле.

Магнитная индукция (B)

Магнитное поле — это силовое поле, действующее на движущиеся электрические заряды и на тела, обладающие магнитным моментом. Для количественного описания магнитного поля вводится векторная характеристика — магнитная индукция.

Определение: Магнитная индукция (B) — это векторная физическая величина, являющаяся силовой характеристикой магнитного поля. Модуль магнитной индукции B определяется как отношение максимальной силы Fmax, с которой магнитное поле действует на проводник единичной длины (L = 1 м) с током (I = 1 А), к силе тока в проводнике и его длине:

B = Fmax / (I ⋅ L)

Единицы измерения: В СИ магнитная индукция измеряется в Теслах (Тл). Также часто используются Ньютоны на Ампер-метр (Н/(А·м)).

Направление: Направление вектора магнитной индукции B принимается по направлению, в котором устанавливается северный полюс (N) свободно вращающейся магнитной стрелки, помещенной в данную точку поля. Для определения направления вектора B, создаваемого проводником с током, применяют правило буравчика (или правой руки): если вращать буравчик по направлению тока, то направление его поступательного движения покажет направление линий магнитной индукции.

Особенности магнитного поля: В отличие от электростатического поля, которое имеет источники (заряды), магнитное поле является вихревым. Это означает, что линии магнитной индукции всегда непрерывны и замкнуты, они охватывают проводники с током и не имеют ни начала, ни конца. Это является прямым следствием отсутствия магнитных монополей в природе.

Закон Био-Савара-Лапласа

Этот закон, разработанный в начале XIX века, позволяет рассчитать магнитное поле, создаваемое элементом электрического тока. Он является аналогом закона Кулона для магнитостатики.

Формулировка: Закон Био-Савара-Лапласа — это физический закон для определения вектора индукции магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током.

Математическая форма (для элемента тока dl): Элементарный вектор магнитной индукции dB, созданный элементом тока I dl в точке, характеризуемой радиус-вектором r от элемента тока до этой точки, определяется выражением:

dB = (μ₀μ / 4π) ⋅ ([I dl, r] / r³)

Где:

• dB — элементарный вектор магнитной индукции.
• I dl — вектор элемента тока (I — сила тока, dl — вектор элемента длины проводника, направленный по току).
• r — радиус-вектор, проведенный от элемента тока до точки наблюдения.
• r — модуль радиус-вектора.
• μ₀ — магнитная постоянная.
• μ — безразмерная относительная магнитная проницаемость среды.
• [dl, r] — векторное произведение.

Магнитная постоянная (μ₀):

В СИ магнитная постоянная имеет точное значение 4π × 10⁻⁷ Гн/м (Генри на метр) или Н/А² (Ньютон на Ампер в квадрате), что приблизительно равно 1,25663706 × 10⁻⁶ Гн/м.

Модуль элементарного вектора dB:

dB = (μ₀μ / 4π) ⋅ (I dl sin α / r²)

Где α — угол между вектором dl и радиус-вектором r.

Принцип суперпозиции магнитных полей: Подобно электростатическим полям, магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами, равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым током в отдельности.

B = Σᵢ Bᵢ (векторная сумма)

Закон Ампера (сила Ампера)

Закон Ампера описывает силовое воздействие магнитного поля на проводник с током, подобно тому как закон Кулона описывает взаимодействие зарядов.

Формулировка: Закон Ампера определяет силу, с которой магнитное поле действует на малый отрезок проводника с током.

Векторная форма: Сила dF, действующая на элемент длины dl проводника, по которому течет ток I, помещенный в магнитное поле с индукцией B:

dF = I [dl, B]

Модуль силы Ампера:

F = I B l sin α

Где:

• F — сила Ампера, Н.
• I — сила тока в проводнике, А.
• B — модуль вектора магнитной индукции, Тл.
• l — длина участка проводника, м.
• α — угол между направлением тока в проводнике (вектором dl) и вектором магнитной индукции B.

Направление силы Ампера: Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки: если расположить левую руку так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, а вытянутые четыре пальца указывали направление тока, то отогнутый на 90 градусов большой палец покажет направление силы Ампера.

Взаимодействие параллельных токов: Одним из важных следствий закона Ампера является взаимодействие между двумя параллельными проводниками с током. Если токи текут в одном направлении, проводники притягиваются; если в противоположных — отталкиваются. Это явление используется для определения единицы силы тока — Ампера.

Закон Ампера для циркуляции вектора B

Этот закон является одной из интегральных форм уравнений Максвелла для магнитостатики и играет ключевую роль в расчете магнитных полей, обладающих высокой степенью симметрии.

Формулировка: Циркуляция вектора магнитной индукции B по произвольному замкнутому контуру, мысленно выделенному в магнитном поле, равна произведению магнитной постоянной μ₀ на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром.

Математическая форма (в вакууме):

∮L B ⋅ dl = μ₀ Σ Iᵢ

Где:

• L — произвольный замкнутый контур интегрирования.
• dl — элемент длины контура.
• Σ Iᵢ — алгебраическая сумма токов, пронизывающих поверхность, ограниченную контуром L. Токи, направление которых совпадает с направлением, определяемым правилом буравчика для выбранного направления обхода контура, считаются положительными.

Для среды: Если в контуре присутствует среда с относительной магнитной проницаемостью μ, то удобнее использовать вектор напряженности магнитного поля H (который определяется как H = B / (μ₀μ)):

∮L H ⋅ dl = Σ Iᵢ

Физический смысл: Этот закон подчеркивает вихревой характер магнитного поля: магнитные силовые линии всегда замкнуты, и их циркуляция вдоль замкнутого контура пропорциональна току, пронизывающему этот контур. Это также подтверждает отсутствие магнитных монополей, поскольку циркуляция B не зависит от «источников» поля, а только от «вихрей» тока.

Применение Интегральных Теорем для Расчета Полей в Симметричных Случаях

Расчет электрических и магнитных полей для сложных конфигураций зарядов и токов может быть чрезвычайно трудоемким, если использовать только законы Кулона и Био-Савара-Лапласа. Однако, если система обладает высокой степенью симметрии, на помощь приходят мощные интегральные теоремы — теорема Гаусса для электрического поля и закон Ампера для циркуляции магнитного поля. Эти теоремы позволяют значительно упростить вычисления, превращая сложные интегралы в простые алгебраические выражения.

Расчет электростатических полей с использованием теоремы Гаусса

Теорема Гаусса является одним из четырех фундаментальных уравнений Максвелла и ключевым инструментом для расчета электростатических полей в симметричных случаях.

Теорема Гаусса для E

Формулировка (интегральная форма): Поток вектора напряженности электрического поля (E) через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность (Гауссова поверхность) пропорционален алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности электрических зарядов.

Математическая форма:

В вакууме:

ΦE = ∫S E ⋅ dS = Σqᵢ / ε₀

В диэлектрической среде с проницаемостью ε:

ΦE = ∫S E ⋅ dS = Σqᵢ / (ε₀ε)

Где:

• ΦE — поток вектора E через замкнутую поверхность S.
• ∫S — интеграл по замкнутой поверхности S.
• dS — вектор элемента площади поверхности, направленный по внешней нормали.
• Σqᵢ — алгебраическая сумма всех свободных зарядов, находящихся внутри поверхности S.
• ε₀ — электрическая постоянная.
• ε — относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Физический смысл: Основной физический смысл теоремы Гаусса заключается в том, что источниками электрического поля являются электрические заряды. Линии напряженности (или электрического смещения D) начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Если внутри замкнутой поверхности есть чистый положительный заряд, из нее «выходят» линии поля; если отрицательный — «входят». Если чистый заряд равен нулю, то сколько линий вошло, столько и вышло, и поток равен нулю.

Выбор Гауссовой поверхности

Ключ к эффективному применению теоремы Гаусса — это правильный выбор так называемой «Гауссовой поверхности». Эта поверхность должна обладать той же симметрией, что и распределение заряда, чтобы вектор напряженности E (или его модуль) был либо постоянным и перпендикулярным поверхности, либо параллельным ей (и тогда вклад в поток равен нулю).

Принципы оптимального выбора:

1. Симметрия: Гауссова поверхность должна быть концентрична или параллельна распределению заряда.
2. Постоянство E: На выбранных участках поверхности модуль вектора E должен быть постоянным.
3. Направление E: Вектор E должен быть либо перпендикулярен поверхности (и его направление должно совпадать с dS), либо параллелен поверхности (dS ⊥ E).

Примеры расчетов электрических полей с помощью теоремы Гаусса

Давайте рассмотрим несколько классических примеров применения теоремы Гаусса.

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости:

   • Распределение заряда: Бесконечная плоскость с равномерной поверхностной плотностью заряда σ.
   • Выбор Гауссовой поверхности: Цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости, а основания (площадью S) расположены симметрично по обе стороны от плоскости.
   • Расчет: Из-за симметрии, вектор E направлен перпендикулярно плоскости. Поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю, так как E параллелен ей. Поток через основания: ΦE = 2ES (так как E перпендикулярен основаниям и имеет одинаковый модуль). Заряд внутри цилиндра: Σqᵢ = σS.
   • Результат: Приравнивая поток к Σqᵢ / (ε₀ε): 2ES = σS / (ε₀ε).
     E = σ / (2ε₀ε)
   • Вывод: Поле однородно (не зависит от расстояния до плоскости) и направлено перпендикулярно плоскости.

2. Поле равномерно заряженной бесконечной нити (цилиндра):

   • Распределение заряда: Бесконечная нить (или очень длинный цилиндр) с равномерной линейной плотностью заряда λ.
   • Выбор Гауссовой поверхности: Цилиндр радиусом r и длиной L, соосный с нитью.
   • Расчет: Вектор E направлен радиально (перпендикулярно оси нити). Поток через основания цилиндра равен нулю. Поток через боковую поверхность: ΦE = E ⋅ (2πrL) (так как E перпендикулярен боковой поверхности и постоянен по модулю). Заряд внутри цилиндра: Σqᵢ = λL.
   • Результат: E ⋅ (2πrL) = λL / (ε₀ε).
     E = λ / (2πε₀εr)
   • Вывод: Напряженность поля убывает обратно пропорционально расстоянию r от нити.

3. Поле сферически симметричного распределения заряда (сфера и сферическая оболочка):

   • Распределение заряда: Сфера радиусом R с равномерно распределенным объемным зарядом Q, или сферическая оболочка с поверхностным зарядом Q.
   • Выбор Гауссовой поверхности: Концентрическая сфера радиусом r.
   • Расчет: Вектор E направлен радиально. Поток через Гауссову сферу: ΦE = E ⋅ (4πr²).
   • Случай 1: Равномерно заряженная сфера (объёмный заряд Q) радиусом R:
     • Вне сферы (r > R): Заряд внутри Гауссовой поверхности = Q.
       E ⋅ (4πr²) = Q / (ε₀ε) ⇒ E = (1 / (4πε₀ε)) ⋅ Q / r² (как у точечного заряда).
     • Внутри сферы (r < R): Заряд внутри Гауссовой поверхности = Q ⋅ (r³/R³).
       E ⋅ (4πr²) = (Q r³ / R³) / (ε₀ε) ⇒ E = (1 / (4πε₀ε)) ⋅ (Q r / R³)
   • Случай 2: Равномерно заряженная сферическая оболочка (поверхностный заряд Q) радиусом R:
     • Вне оболочки (r > R): Заряд внутри Гауссовой поверхности = Q.
       E = (1 / (4πε₀ε)) ⋅ Q / r²
     • Внутри оболочки (r < R): Заряд внутри Гауссовой поверхности = 0.
       E = 0
   • Вывод: Внутри равномерно заряженной сферической оболочки электрическое поле отсутствует.

Расчет магнитных полей с использованием закона Ампера для циркуляции

Подобно теореме Гаусса для электростатики, закон Ампера для циркуляции вектора B (или H) является мощным инструментом для расчета магнитных полей, создаваемых токами, обладающими высокой степенью симметрии.

Теорема Гаусса для B

Прежде чем перейти к закону Ампера, важно упомянуть еще одну интегральную теорему для магнитного поля:

Формулировка: Поток вектора магнитной индукции B через любую замкнутую поверхность равен нулю.

ΦB = ∫S B ⋅ dS = 0

Физический смысл: Эта теорема является прямым следствием отсутствия магнитных зарядов (магнитных монополей) в природе. Магнитные силовые линии всегда замкнуты, они не имеют ни начала, ни конца. Поэтому сколько линий входит в замкнутую поверхность, столько же из нее и выходит, что приводит к нулевому результирующему потоку.

Закон Ампера для циркуляции B

Мы уже обсуждали этот закон в предыдущем разделе, но сейчас акцентируем внимание на его применении для расчетов.

Формулировка (интегральная форма): Циркуляция вектора магнитной индукции B по произвольному замкнутому контуру L равна произведению магнитной постоянной μ₀ на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром.

∮L B ⋅ dl = μ₀ Σ Iᵢ (в вакууме)

Или, для среды с относительной магнитной проницаемостью μ, используя вектор напряженности магнитного поля H:

∮L H ⋅ dl = Σ Iᵢ

Применение: Как и в случае теоремы Гаусса, для эффективного применения закона Ампера необходимо выбрать контур интегрирования (амперов контур) таким образом, чтобы на его участках вектор B (или H) был либо параллелен элементу dl и постоянен по модулю, либо перпендикулярен ему.

Примеры расчетов магнитных полей с помощью закона Ампера для циркуляции

1. Магнитное поле прямолинейного тока:

   • Распределение тока: Бесконечно длинный прямолинейный проводник с током I.
   • Выбор Амперова контура: Окружность радиусом r, центр которой лежит на проводнике, а плоскость перпендикулярна ему.
   • Расчет: Линии магнитной индукции представляют собой концентрические окружности вокруг проводника. Вектор B везде параллелен элементу dl на выбранном контуре и постоянен по модулю. Циркуляция: ∮L B ⋅ dl = B ⋅ (2πr). Ток, охватываемый контуром = I.
   • Результат: B ⋅ (2πr) = μ₀μ I.
     B = (μ₀μ I) / (2πr)
   • Вывод: Магнитная индукция убывает обратно пропорционально расстоянию r от проводника.

2. Магнитное поле бесконечно длинного соленоида:

   • Распределение тока: Бесконечно длинный соленоид с n витками на единицу длины, по которому течет ток I.
   • Выбор Амперова контура: Прямоугольник, две стороны которого (длиной L) параллельны оси соленоида (одна внутри, другая снаружи), а две другие перпендикулярны ей.
   • Расчет: Магнитное поле внутри длинного соленоида однородно и направлено параллельно оси, а вне соленоида поле практически отсутствует.
     • Циркуляция по внутреннему участку: Bвнутри ⋅ L.
     • Циркуляция по внешнему участку: ≈ 0.
     • Циркуляция по перпендикулярным участкам: = 0 (так как B ⊥ dl).
     • Ток, охватываемый контуром: nLI (n витков на единицу длины, ток I в каждом витке).
   • Результат: Bвнутри ⋅ L = μ₀μ (nLI).
     Bвнутри = μ₀μ n I
   • Вывод: Магнитное поле внутри длинного соленоида однородно и прямо пропорционально числу витков на единицу длины и силе тока.

3. Магнитное поле тороида:

   • Распределение тока: Тороид (соленоид, замкнутый в кольцо) с N витками, по которым течет ток I.
   • Выбор Амперова контура: Окружность радиусом Rср, проходящая внутри тороида по его средней линии.
   • Расчет: Магнитное поле сосредоточено внутри витков тороида, вне его оно отсутствует. Внутри тороида поле приблизительно однородно.
     • Циркуляция по контуру: B ⋅ (2πRср).
     • Ток, охватываемый контуром: N I (все N витков пронизывают контур).
   • Результат: B ⋅ (2πRср) = μ₀μ N I.
     B = (μ₀μ N I) / (2πRср)
   • Вывод: Магнитное поле внутри тороида обратно пропорционально его среднему радиусу.

Эти примеры ярко демонстрируют, как интегральные теоремы, примененные к симметричным задачам, превращают сложный анализ в элегантные и эффективные вычисления, делая их незаменимым инструментом в арсенале физика.

Взаимодействие Электрических и Магнитных Полей с Веществом

Физический мир, который нас окружает, состоит из вещества. Поля не существуют изолированно; они взаимодействуют с атомами и молекулами, изменяя их внутреннюю структуру и, в свою очередь, модифицируясь сами. Понимание этого взаимодействия критически важно для полного описания электромагнитных явлений и их инженерных приложений. В этой главе мы рассмотрим, как электрические и магнитные поля влияют на различные типы веществ — диэлектрики, проводники и магнетики, а также углубимся в микроскопические механизмы этих взаимодействий.

Диэлектрики в электрическом поле

Диэлектрики, или изоляторы, — это вещества, которые, в отличие от проводников, практически не проводят электрический ток. Это объясняется тем, что все заряды в диэлектриках являются связанными, то есть прочно удерживаются внутри атомов или молекул и не могут свободно перемещаться по объему вещества. Однако, даже связанные заряды способны смещаться под действием внешнего электрического поля, приводя к явлению, называемому поляризацией.

Поляризация диэлектриков

Явление поляризации: Это процесс, при котором под воздействием внешнего электрического поля в диэлектрике происходит ограниченное смещение связанных зарядов (электронов относительно ядер, ионов относительно друг друга) или поворот электрических диполей (полярных молекул). В результате диэлектрик приобретает электрический дипольный момент.

Вектор поляризации (поляризованность) P: Количественно поляризация характеризуется вектором поляризации P, который представляет собой суммарный электрический дипольный момент единицы объема диэлектрика.

Единица измерения P в СИ: Кулон на квадратный метр (Кл/м²).

Последствия поляризации: Поляризация сопровождается появлением на поверхности диэлектрика так называемых связанных электрических зарядов (не путать со свободными зарядами в проводниках). Эти связанные заряды создают внутри диэлектрика дополнительное электрическое поле E₁, которое всегда направлено против внешнего электрического поля E₀. Таким образом, результирующая напряженность поля E внутри диэлектрика уменьшается по сравнению с внешним полем:

E = E₀ - E₁

Типы поляризации

Механизмы поляризации зависят от природы диэлектрика и могут быть различных типов:

1. Электронная (деформационная) поляризация:

   • Механизм: Возникает у всех диэлектриков. Под действием внешнего электрического поля электронные оболочки атомов или молекул смещаются относительно ядер, что приводит к появлению наведенных электрических дипольных моментов.
   • Характеристики: Это упругий и очень быстрый процесс (порядка 10⁻¹⁵-10⁻¹⁶ с). Энергия при этом практически не рассеивается, поскольку смещение носит упругий характер.

2. Ионная поляризация:

   • Механизм: Характерна для ионных кристаллов (например, NaCl). Под действием внешнего поля происходит упругое смещение подрешеток из положительных и отрицательных ионов относительно друг друга.
   • Характеристики: Процесс также упругий и достаточно быстрый (10⁻¹²-10⁻¹³ с), также без значительных потерь энергии.

3. Дипольная (ориентационная) поляризация:

   • Механизм: Наблюдается в диэлектриках, состоящих из полярных молекул (молекул, которые в отсутствие внешнего поля уже обладают собственным постоянным электрическим дипольным моментом, например, вода). В отсутствие внешнего поля эти диполи ориентированы хаотически из-за теплового движения. Под действием внешнего электрического поля происходит частичная ориентация диполей вдоль направления поля.
   • Характеристики: Этот процесс происходит значительно медленнее (10⁻¹-10⁻⁸ с) и сопровождается рассеянием энергии (в виде тепла) из-за преодоления сопротивления теплового движения молекул.

Диэлектрическая проницаемость (ε)

Определение: Диэлектрическая проницаемость (ε) — это безразмерная физическая величина, характеризующая электрические свойства изолирующей среды. Она показывает, во сколько раз напряженность электрического поля в однородной диэлектрической среде меньше, чем в вакууме при тех же зарядах-источниках. Или, эквивалентно, во сколько раз сила взаимодействия между зарядами в среде меньше, чем в вакууме.

Физический смысл: Диэлектрическая проницаемость является прямым следствием электрической поляризации материалов. Чем сильнее поляризуется диэлектрик, тем больше связанных зарядов в нем возникает, тем сильнее они ослабляют внешнее поле, и тем больше значение ε. Для вакуума ε = 1 (по определению, так как в вакууме нет вещества, которое могло бы поляризоваться). Для большинства газов ε близко к 1. Для воды ε ≈ 81.

Проводники в электрическом поле

Проводники — это вещества, способные хорошо проводить электрический ток. Главное их отличие от диэлектриков заключается в наличии свободных электрических зарядов.

Свободные заряды и условия равновесия

Свободные заряды: В металлах, являющихся типичными проводниками, носителями свободных зарядов являются электроны, которые легко отрываются от атомов и могут свободно перемещаться по всему объему материала, образуя так называемый "электронный газ".

Условия электростатического равновесия зарядов в проводнике: Когда проводник находится в электростатическом поле и токов в нем нет, устанавливается состояние равновесия, характеризующееся следующими условиями:

1. Напряженность электрического поля (E) всюду внутри проводника равна нулю. Если бы внутри проводника существовало электрическое поле, оно бы приводило в движение свободные заряды, создавая ток, что противоречило бы условию равновесия.
2. Избыточные электрические заряды располагаются исключительно на поверхности проводника. Внутри проводника свободные заряды отталкиваются друг от друга и стремятся максимально удалиться, скапливаясь на внешней поверхности.
3. Напряженность поля на поверхности проводника направлена по нормали к поверхности. Если бы E имело тангенциальную составляющую, она бы двигала заряды по поверхности, опять же нарушая равновесие.

Экранирование электрического поля

Явление экранирования электрического поля проводниками является прямым следствием условий равновесия.

Механизм: Когда проводник помещается во внешнее электрическое поле, свободные электроны внутри него начинают перемещаться под действием этого поля. Это движение приводит к перераспределению зарядов: на одной стороне проводника накапливаются отрицательные индуцированные заряды, на другой — положительные. Эти индуцированные заряды создают собственное электрическое поле, которое внутри проводника полностью компенсирует внешнее поле.

Практическое применение: Металлические корпуса приборов, экранирующие сетки, клетки Фарадея — все это примеры использования эффекта экранирования для защиты чувствительной электроники от внешних электрических полей.

��лассическая электронная теория проводимости металлов (теория Друде-Лоренца)

Эта теория, разработанная Паулем Друде и Хендриком Лоренцем в начале XX века, стала первым успешным подходом к объяснению электрической проводимости металлов на микроскопическом уровне.

Основные положения:

1. Носители тока: Металлы содержат свободные электроны, которые движутся хаотически подобно молекулам идеального газа, образуя "электронный газ".
2. Столкновения: Электроны сталкиваются с неподвижными ионами кристаллической решетки, меняя направление и величину своей скорости. Среднее время между двумя последовательными столкновениями называется средним временем свободного пробега (τ).
3. Движение в поле: В отсутствие внешнего электрического поля движение электронов хаотично, и средняя скорость их упорядоченного движения (дрейфовая скорость) равна нулю. При приложении внешнего электрического поля к хаотическому движению электронов добавляется направленное движение (дрейф) со средней дрейфовой скоростью.
4. Описание: Теория Друде-Лоренца успешно объяснила законы Ома и Джоуля-Ленца, а также явления теплопроводности и эффект Холла в металлах.

Недостатки теории: Несмотря на успехи, теория Друде-Лоренца имела ряд существенных недостатков, в частности, она не смогла правильно объяснить температурную зависимость удельного сопротивления металлов и их электронную теплоемкость. Эти проблемы были решены лишь с появлением квантовой механики и квантовой теории проводимости.

Магнетики в магнитном поле

Магнетики — это все вещества, которые под действием магнитного поля приобретают собственный магнитный момент, то есть намагничиваются. В отличие от электрических зарядов, которые могут быть изолированы, магнитных монополей не существует, и элементарными источниками магнитного поля являются микроскопические токи (движение электронов по орбитам, спиновые моменты электронов) или магнитные диполи.

Намагничивание

Явление намагничивания: Это процесс, при котором во внешнем магнитном поле внутренние микроскопические магнитные моменты атомов (или молекул) вещества приобретают преимущественную ориентацию, создавая результирующее макроскопическое магнитное поле внутри вещества.

Вектор намагниченности (J или M): Количественная характеристика намагничивания магнетиков. Он определяется как суммарный магнитный момент единицы объема магнетика.

J = Σᵢ mᵢ / V

Где Σ mᵢ — векторная сумма магнитных моментов mᵢ в объеме V.

Единица измерения J в СИ: Ампер на метр (А/м).

Магнитная проницаемость (μ)

Определение: Магнитная проницаемость (μ) — это безразмерная физическая величина, характеризующая магнитные свойства вещества. Она показывает, во сколько раз индукция магнитного поля B в веществе больше (или меньше) индукции в вакууме при той же напряженности магнитного поля H.

B = μ₀μ H

Где μ₀ — магнитная постоянная, H — напряженность магнитного поля.

Для вакуума μ = 1.

Типы магнетиков (микроскопические механизмы)

Все вещества классифицируются по их поведению в магнитном поле на три основных типа:

1. Диамагнетики (μ < 1, χ < 0):

   • Механизм: В атомах диамагнетиков собственные магнитные моменты электронов полностью скомпенсированы (например, из-за спаривания электронов). Под действием внешнего магнитного поля в электронных оболочках атомов возникают индуцированные токи, которые создают слабый индуцированный магнитный момент, направленный против внешнего поля. Это явление присуще всем веществам, но в большинстве случаев маскируется более сильными эффектами.
   • Поведение: Диамагнетики слабо выталкиваются из области сильного магнитного поля. Примеры: медь, золото, серебро, вода, большинство органических соединений.

2. Парамагнетики (μ > 1, χ > 0):

   • Механизм: Атомы парамагнетиков имеют нескомпенсированные спиновые или орбитальные магнитные моменты. В отсутствие внешнего поля эти микроскопические магнитные моменты ориентированы хаотически из-за теплового движения, и результирующий магнитный момент вещества равен нулю. Под действием внешнего магнитного поля происходит частичная ориентация этих моментов по направлению поля.
   • Поведение: Парамагнетики слабо втягиваются в область сильного магнитного поля. Намагниченность парамагнетиков зависит от температуры (уменьшается с ростом температуры, так как тепловое движение нарушает ориентацию моментов). Примеры: алюминий, платина, кислород.

3. Ферромагнетики (μ >> 1):

   • Механизм: Ферромагнетики (железо, никель, кобальт и их сплавы) обладают уникальным свойством — спонтанной намагниченностью. Это означает, что даже в отсутствие внешнего поля они разделены на микроскопические области, называемые доменами, внутри которых магнитные моменты атомов параллельно ориентированы благодаря сильному обменному взаимодействию (квантово-механический эффект).
   • Поведение: При помещении ферромагнетика во внешнее магнитное поле происходит:
     • Рост доменов, ориентированных по направлению внешнего поля, за счет "невыгодно" ориентированных доменов.
     • Поворот векторов намагниченности доменов вдоль внешнего поля.
   • Особенности: Ферромагнетики сильно втягиваются в магнитное поле. Для них характерно явление гистерезиса (намагниченность зависит не только от текущего значения поля, но и от его предыстории), что используется в постоянных магнитах и магнитной записи.
   • Точка Кюри: Выше определенной температуры, называемой точкой Кюри, тепловое движение разрушает обменное взаимодействие, и ферромагнетик теряет свои ферромагнитные свойства, становясь парамагнетиком. Для железа точка Кюри составляет около 770 °C.

Изучение взаимодействия полей с веществом позволяет не только глубже понять природу электромагнитных явлений, но и разрабатывать новые материалы и устройства с заданными электрическими и магнитными свойствами, что открывает широкие перспективы для технологического прогресса.

Законы Электрического Тока

Электрический ток — это упорядоченное движение заряженных частиц. В отличие от электростатики, где заряды неподвижны, электрический ток связан с динамическими процессами и преобразованием энергии. В этом разделе мы рассмотрим фундаментальные законы, описывающие стационарные электрические токи, их математические формулировки и связь с микроскопическими моделями проводимости.

Закон Ома

Закон Ома — один из самых известных и широко используемых законов электродинамики, описывающий связь между током, напряжением и сопротивлением в электрических цепях.

Интегральная форма для участка цепи

Формулировка: Сила тока (I), текущего по однородному участку проводника (без источников ЭДС), прямо пропорциональна падению напряжения (U) на этом проводнике и обратно пропорциональна его электрическому сопротивлению (R).

I = U / R

Где:

• I — сила тока, измеряемая в Амперах (А).
• U — напряжение (разность потенциалов) на участке проводника, измеряемое в Вольтах (В).
• R — электрическое сопротивление проводника, измеряемое в Омах (Ω).

Электрическое сопротивление (R): Это свойство проводника препятствовать прохождению электрического тока. Для цилиндрического проводника сопротивление зависит от его геометрии и свойств материала:

R = ρ ⋅ (l / S)

Где:

• ρ — удельное электрическое сопротивление материала проводника, измеряемое в Ом·м.
• l — длина проводника, м.
• S — площадь поперечного сечения проводника, м².

Дифференциальная форма закона Ома

Для описания электрического тока внутри вещества, в каждой точке, используется дифференциальная форма закона Ома.

Формулировка: Плотность тока (j) в проводнике прямо пропорциональна напряженности электрического поля (E) в нем.

j = σ E

Где:

• j — вектор плотности электрического тока. Модуль j равен силе тока, проходящей через единицу площади, перпендикулярной направлению тока. Единица измерения в СИ: А/м².
• E — вектор напряженности электрического поля, В/м.
• σ — удельная электрическая проводимость материала, измеряемая в Сименсах на метр (См/м). Удельная проводимость является величиной, обратной удельному сопротивлению: σ = 1 / ρ.

Физический смысл: Дифференциальная форма закона Ома показывает, что электрическое поле является движущей силой для упорядоченного движения зарядов, и чем сильнее поле, тем больше плотность тока (при прочих равных условиях).

Вывод закона Ома из классической электронной теории проводимости металлов (теория Друде-Лоренца)

Давайте детально рассмотрим, как закон Ома выводится из микроскопических представлений о движении электронов в металле.

Предпосылки теории Друде-Лоренца:

1. Металл состоит из неподвижных положительных ионов кристаллической решетки и свободных электронов, движущихся хаотически, как идеальный газ.
2. Электроны сталкиваются с ионами решетки, теряя энергию и изменяя направление движения. Среднее время между столкновениями (время релаксации) — τ.
3. При наличии внешнего электрического поля E на каждый свободный электрон действует сила F = eE (где e — элементарный заряд электрона). Эта сила придает электронам ускорение.

Вывод:

• Под действием поля E, помимо хаотического движения, электроны приобретают среднюю упорядоченную (дрейфовую) скорость vср.
• В промежутке между столкновениями электрон движется с ускорением a = F / m = (eE) / m, где m — масса электрона.
• Из-за столкновений средняя скорость, приобретенная электроном под действием поля, равна:
  vср = aτ = (eEτ) / m
• Плотность электрического тока j определяется как произведение концентрации свободных электронов (n), заряда электрона (e) и их средней дрейфовой скорости:
  j = n e vср
• Подставляя выражение для vср в формулу для j:
  j = n e ⋅ (eEτ / m) = (n e² τ / m) E
• Сравнивая полученное выражение с дифференциальной формой закона Ома (j = σ E), мы получаем формулу для удельной электрической проводимости:
  σ = n e² τ / m

Таким образом, классическая электронная теория успешно объясняет природу удельной проводимости и, как следствие, выводит дифференциальную форму закона Ома. Какой важный нюанс здесь упускается? Эта модель не учитывает квантовые эффекты, которые становятся критически важными при низких температурах и для сверхпроводников, где поведение электронов значительно сложнее.

Закон Джоуля-Ленца

Когда электрический ток проходит по проводнику, энергия электрического поля преобразуется в тепловую энергию. Это явление описывается законом Джоуля-Ленца.

Интегральная форма

Формулировка: Количество теплоты (Q), выделяемое проводником с током, прямо пропорционально квадрату силы тока (I), электрическому сопротивлению проводника (R) и времени (t) прохождения тока.

Q = I² R t

Другие формы записи, используя закон Ома (U = IR):

Q = U I t

Q = (U² / R) t

Единицы измерения: Количество теплоты Q измеряется в Джоулях (Дж).

Физический смысл: Выделение теплоты обусловлено столкновениями упорядоченно движущихся свободных электронов с ионами кристаллической решетки проводника. При каждом столкновении электрон передает часть своей кинетической энергии ионам решетки, увеличивая их колебательную энергию, что проявляется как повышение температуры проводника. Это процесс преобразования электрической энергии в тепловую внутреннюю энергию.

Дифференциальная форма

Для описания тепловыделения в каждой точке объема проводника используется дифференциальная форма закона Джоуля-Ленца.

Формулировка: Объемная плотность тепловой мощности (w), выделяемой током в проводнике, равна произведению плотности тока (j) на напряженность электрического поля (E).

w = j ⋅ E

Используя дифференциальную форму закона Ома (j = σ E или j = E / ρ), можно получить другие выражения:

w = σ E²

w = j² ρ

Где:

• w — объемная плотность тепловой мощности, измеряемая в Вт/м³.
• j — плотность тока, А/м².
• E — напряженность электрического поля, В/м.
• σ — удельная проводимость, См/м.
• ρ — удельное сопротивление, Ом·м.

Физический смысл: Дифференциальная форма показывает, сколько теплоты выделяется в единице объема проводника за единицу времени.

Правила Кирхгофа

Для анализа сложных разветвленных электрических цепей постоянного тока используются правила Кирхгофа, которые являются прямым следствием законов сохранения заряда и энергии.

Определения

• Узел: Точка электрической цепи, в которой сходятся не менее трех проводников.
• Ветвь: Участок электрической цепи, содержащий один или несколько элементов (резисторы, источники ЭДС) и через который течет один и тот же ток.
• Контур: Любой замкнутый путь, который можно проследить по ветвям электрической цепи.

Первое правило Кирхгофа (правило токов)

Формулировка: Алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в любом узле разветвленной электрической цепи, равна нулю.

Σ Iᵢ = 0 (в узле)

При этом токи, входящие в узел, обычно считаются положительными, а выходящие — отрицательными (или наоборот, главное — соблюдать единообразие).

Физический смысл: Первое правило Кирхгофа является прямым следствием закона сохранения электрического заряда. Оно утверждает, что в узле цепи не происходит накопления или утечки зарядов. Сколько зарядов втекает в узел за единицу времени, столько же должно вытечь из него. Это справедливо для стационарных токов.

Второе правило Кирхгофа (правило напряжений)

Формулировка: В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма падений напряжений (произведений токов на сопротивления) на всех участках контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил (ЭДС), действующих в этом контуре.

Σ Ik Rk = Σ εk (для выбранного направления обхода контура)

Пояснения к применению:

• Для каждого участка контура падение напряжения IkRk берется со знаком "плюс", если ток Ik совпадает с выбранным направлением обхода контура, и со знаком "минус", если он направлен противоположно.
• ЭДС εk берется со знаком "плюс", если при обходе контура мы переходим от отрицательного полюса источника к положительному, и со знаком "минус" в противном случае.

Физический смысл: Второе правило Кирхгофа является следствием обобщенного закона Ома для замкнутого контура и принципа потенциальности электростатического поля (в случае постоянного тока). Оно отражает закон сохранения энергии: сумма работ, совершаемых электрическими силами и сторонними силами (источниками ЭДС) при перемещении единичного заряда по замкнутому контуру, равна нулю.

Правила Кирхгофа являются мощным математическим аппаратом для расчета токов и напряжений в сложных электрических цепях, позволяя составлять системы линейных уравнений для их определения.

Электромагнитная Индукция и Ее Применения

В то время как электростатика и магнитостатика описывают статичные поля, электромагнитная индукция открывает двери в динамический мир электромагнетизма, где изменяющиеся поля порождают друг друга. Это явление, открытое Майклом Фарадеем, стало одним из самых значимых открытий в физике и основой для большинства электротехнических устройств.

Магнитный поток (Φ)

Прежде чем углубиться в индукцию, необходимо четко определить понятие магнитного потока, которое является ключевым для понимания этого явления.

Определение: Магнитный поток (Φ) — это скалярная физическая величина, являющаяся мерой общего магнитного поля, проходящего через заданную поверхность. Количественно он определяется как поток вектора магнитной индукции B через эту поверхность.

Математическая формулировка:

Для однородного магнитного поля, пронизывающего плоскую поверхность площадью S:

Φ = B S cos α

Где:

• B — модуль вектора магнитной индукции.
• S — площадь поверхности.
• α — угол между вектором B и вектором нормали к поверхности (dS).

В общем случае (неоднородное поле, неплоская поверхность) магнитный поток определяется интегралом по поверхности:

Φ = ∫S B ⋅ dS

Единицы измерения: В СИ магнитный поток измеряется в Веберах (Вб). 1 Вб = 1 Тл ⋅ м².

Физический смысл: Магнитный поток можно интерпретировать как "количество магнитных силовых линий", пронизывающих данную поверхность. Изменение этого "количества" и приводит к явлению электромагнитной индукции.

Электромагнитная индукция (Закон Фарадея-Максвелла)

Открытие Майкла Фарадея в 1831 году, что изменяющийся магнитный поток может порождать электрический ток, полностью изменило представление о взаимосвязи электричества и магнетизма.

Явление электромагнитной индукции

Сущность явления: Возникновение электрического тока (индукционного тока) в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную этим контуром. Изменение магнитного потока может быть вызвано:

• Движением контура в постоянном магнитном поле.
• Изменением самого магнитного поля (например, изменением тока в соседней катушке).
• Изменением ориентации контура относительно магнитного поля.

Закон Фарадея для ЭДС индукции

Формулировка: Электродвижущая сила (ЭДС) индукции (εинд), возникающая в замкнутом проводящем контуре, численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, натянутую на этот контур.

εинд = -dΦ/dt

Где:

• εинд — ЭДС индукции, измеряемая в Вольтах (В).
• dΦ/dt — скорость изменения магнитного потока во времени, Вб/с.

Физический смысл: Закон Фарадея показывает, что не сам магнитный поток, а его изменение является причиной возникновения ЭДС. Знак "минус" в формуле указывает на правило Ленца, которое мы рассмотрим далее.

Обобщение Максвелла

Джеймс Клерк Максвелл обобщил закон Фарадея, придав ему более фундаментальный характер:

Формулировка: Всякое изменяющееся во времени магнитное поле порождает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле.

Это означает, что электрическое поле может существовать не только как потенциальное поле, создаваемое зарядами (электростатика), но и как вихревое поле, создаваемое изменяющимся магнитным полем. Это открытие стало одним из столпов теории электромагнетизма.

Правило Ленца

Правило Ленца, сформулированное Эмилем Ленцем в 1833 году, уточняет направление индукционного тока и ЭДС индукции, являясь проявлением закона сохранения энергии.

Формулировка: Индукционный ток всегда имеет такое направление, что он своим магнитным полем ослабляет действие причины, возбуждающей этот ток.

Физический смысл:

• Если магнитный поток через контур увеличивается, индукционный ток создает магнитное поле, направленное против внешнего поля, пытаясь "затормозить" рост потока.
• Если магнитный поток уменьшается, индукционный ток создает магнитное поле, направленное в ту же сторону, что и внешнее поле, пытаясь "поддержать" убывающий поток.

Правило Ленца является непосредственным следствием закона сохранения энергии: если бы индукционный ток усиливал изменение потока, то это привело бы к самопроизвольному возрастанию энергии, что невозможно.

Явления самоиндукции и взаимной индукции

Электромагнитная индукция проявляется не только при изменении внешнего магнитного поля, но и при изменении токов в самих проводниках или в соседних цепях.

Самоиндукция

Явление: Возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении силы тока, протекающего через этот же контур. Изменение тока в контуре приводит к изменению создаваемого им собственного магнитного поля, а следовательно, и собственного магнитного потока через этот контур.

ЭДС самоиндукции (εL):

εL = -L (dI/dt)

Где:

• L — индуктивность контура (или коэффициент самоиндукции).
• dI/dt — скорость изменения тока в контуре.

Направление: Согласно правилу Ленца, ЭДС самоиндукции всегда препятствует изменению тока в контуре: если ток увеличивается, ЭДС самоиндукции направлена против тока; если ток уменьшается, ЭДС самоиндукции направлена по току.

Индуктивность (L): Это коэффициент пропорциональности между собственным магнитным потоком (Φ), пронизывающим контур, и силой тока (I), протекающего по этому контуру:

Φ = L I

Индуктивность является характеристикой контура, зависящей от его геометрии и магнитных свойств среды, в которой он находится.

Единица измерения в СИ: Генри (Гн). 1 Гн = 1 Вб/А.

Взаимная индукция

Явление: Возникновение ЭДС индукции в одном проводящем контуре (например, во вторичной обмотке) при изменении тока в другом, магнитно связанном с ним контуре (например, в первичной обмотке).

ЭДС взаимной индукции (ε₂):

ε₂ = -M₁₂ (dI₁/dt)

Где:

• M₁₂ — коэффициент взаимной индукции (или взаимная индуктивность) между двумя контурами.
• dI₁/dt — скорость изменения тока в первом контуре.

Коэффициент взаимной индукции (M): Это скалярная величина, характеризующая магнитную связь двух или более электрических цепей. Подобно индуктивности, зависит от геометрии контуров и их взаимного расположения, а также от магнитных свойств среды.

Единица измерения в СИ: Генри (Гн).

Практические применения электромагнитной индукции

Открытие и изучение электромагнитной индукции привели к созданию бесчисленного множества устройств, которые лежат в основе современной цивилизации.

• Генераторы электрического тока: Основной принцип работы заключается в преобразовании механической энергии (вращения ротора) в электрическую за счет возникновения ЭДС индукции в проводниках, движущихся в магнитном поле.
• Трансформаторы: Устройства для преобразования напряжения и тока переменного тока. Их действие основано на явлении взаимной индукции между двумя или более обмотками, намотанными на общий сердечник.
• Электродвигатели: Хотя их прямое действие основано на силе Ампера (взаимодействие тока и магнитного поля), ЭДС самоиндукции (противо-ЭДС) играет важную роль в их работе и регулировании.
• Индукционные плиты, индукционные печи: Нагрев происходит за счет вихревых токов (токов Фуко), индуцируемых в металлической посуде или заготовке высокочастотным магнитным полем.
• Электроизмерительные приборы: Многие приборы (амперметры, вольтметры) используют взаимодействие рамки с током и магнитного поля для измерения электрических величин.
• Микрофоны и громкоговорители: В микрофонах звуковые волны преобразуются в электрические сигналы за счет индукции, а в громкоговорителях электрические сигналы обратно преобразуются в звуковые.

Электромагнитная индукция является фундаментальным принципом, который лежит в основе производства, передачи и использования электрической энергии, обеспечивая функционирование современного технологического мира.

Энергетика Электрических и Магнитных Полей

Подобно тому, как механические поля (например, гравитационное) хранят энергию, электрические и магнитные поля также обладают способностью накапливать и передавать энергию. Понимание этих энергетических аспектов полей крайне важно для анализа работы электрических цепей, распространения электромагнитных волн и проектирования различных устройств. В этой главе мы рассмотрим концепции работы, потенциальной энергии и плотности энергии, связанные с электрическими и магнитными полями.

Работа и энергия электрического поля

Электрическое поле может совершать работу над зарядами, перемещая их. Это свойство тесно связано с понятием потенциальной энергии.

Консервативность электростатического поля

Определение: Электростатическое поле является консервативным. Это означает, что работа сил электростатического поля по перемещению заряда из одной точки в другую не зависит от формы траектории, по которой движется заряд, а определяется только начальным и конечным положением заряда.

Следствие: Работа по перемещению заряда по любому замкнутому пути в электростатическом поле всегда равна нулю. Это свойство является одной из фундаментальных характеристик потенциальных полей.

Работа по перемещению заряда

Формула работы: Работа (A₁→₂), совершаемая электрическим полем при перемещении заряда q из точки 1 с потенциалом φ₁ в точку 2 с потенциалом φ₂, определяется как:

A₁→₂ = q (φ₁ - φ₂) = q U

Где U = φ₁ - φ₂ — разность потенциалов (напряжение) между точками 1 и 2.

В однородном поле: Для частного случая однородного электрического поля (E = const), работа по перемещению заряда q на расстояние d вдоль линий поля:

A₁→₂ = q E d

Потенциальная энергия системы зарядов

Определение: Потенциальная энергия системы электрических зарядов — это энергия, которой обладает система зарядов благодаря их взаимному расположению в электрическом поле.

Для двух точечных зарядов: Потенциальная энергия (Wₚ) взаимодействия двух точечных зарядов q₁ и q₂, находящихся на расстоянии r друг от друга в вакууме:

Wₚ = k ⋅ (q₁ q₂) / r

Где k — кулоновская постоянная.

Физический смысл:

• Потенциальная энергия положительна, если заряды одноимённые (отталкиваются). Для их сближения нужно совершить работу против сил поля.
• Потенциальная энергия отрицательна, если заряды разноимённые (притягиваются). Поле само совершает работу при их сближении.

Энергия заряженного конденсатора

Конденсатор — это устройство для накопления электрической энергии. Энергия, накопленная в заряженном конденсаторе, фактически сосредоточена в электрическом поле между его обкладками.

Формула энергии (WC): Энергия заряженного конденсатора может быть выражена тремя эквивалентными способами:

WC = (q U) / 2

WC = q² / (2C)

WC = (C U²) / 2

Где:

• q — заряд на обкладке конденсатора.
• U — напряжение (разность потенциалов) между обкладками.
• C — электроемкость конденсатора.

Физический смысл: Электрическая энергия конденсатора локализована в пространстве между его обкладками, то есть в электрическом поле, которое там создается.

Плотность энергии электрического поля

Чтобы описать распределение энергии в пространстве, вводится понятие плотности энергии.

Определение: Плотность энергии электрического поля (wэ) — это количество энергии электрического поля, приходящееся на единицу объема пространства.

wэ = Wэ / V

Формула: Для изотропной диэлектрической среды:

wэ = (ε₀ ε E²) / 2

Или, используя вектор электрического смещения D = ε₀εE:

wэ = (E ⋅ D) / 2

Где:

• ε₀ — электрическая постоянная.
• ε — относительная диэлектрическая проницаемость среды.
• E — модуль напряженности электрического поля.
• D — модуль вектора электрического смещения.

Работа и энергия магнитного поля

Магнитное поле также обладает энергией, которая проявляется, например, в работе, совершаемой при изменении магнитного потока или при перемещении контура с током.

Работа магнитного поля по перемещению контура с током

Формула: Если контур с током I перемещается в магнитном поле таким образом, что магнитный поток, пронизывающий контур, изменяется на ΔΦ, то работа, совершаемая магнитным полем, равна:

A = I ΔΦ

Физический смысл: Эта работа связана с силами, действующими на проводники с током в магнитном поле (силы Ампера), которые перемещают контур.

Энергия катушки индуктивности (контура с током)

Катушка индуктивности (индуктор) — это элемент, способный накапливать энергию в магнитном поле, создаваемом протекающим по ней током.

Формула энергии (WL):

WL = (L I²) / 2

Где:

• L — индуктивность катушки.
• I — сила тока, протекающего через катушку.

Физический смысл: Эта энергия сосредоточена в магнитном поле, которое существует как внутри катушки, так и в окружающем ее пространстве. При включении тока в цепи с индуктивностью, поле накапливает энергию, а при выключении — отдает ее, поддерживая ток (явление самоиндукции).

Плотность энергии магнитного поля

Подобно электрическому полю, магнитное поле также характеризуется плотностью энергии.

Определение: Плотность энергии магнитного поля (wм) — это количество энергии магнитного поля, приходящееся на единицу объема пространства.

Формула: Для изотропной магнитной среды:

wм = B² / (2 μ₀ μ)

Или, используя вектор напряженности магнитного поля H (B = μ₀μH):

wм = (B ⋅ H) / 2

Где:

• B — модуль вектора магнитной индукции.
• H — модуль вектора напряженности магнитного поля.
• μ₀ — магнитная постоянная.
• μ — относительная магнитная проницаемость среды.

Энергия электромагнитного поля

В рамках классической электродинамики, электрическое и магнитное поля являются двумя компонентами единого электромагнитного поля. Соответственно, полная энергия, заключенная в электромагнитном поле, является суммой энергий его электрической и магнитной составляющих.

Общая концепция: Энергия электромагнитного поля — это энергия, которая распределена в пространстве, где существует электромагнитное поле. Плотность полной энергии электромагнитного поля (w) в любой точке пространства равна сумме плотностей электрической и магнитной энергии:

w = wэ + wм = (ε₀ ε E²) / 2 + B² / (2 μ₀ μ)

Эта концепция является фундаментальной для понимания распространения электромагнитных волн, которые переносят энергию через пространство со скоростью света. Таким образом, поля не просто описывают взаимодействия, но и являются носителями энергии, что делает их активными участниками энергетических процессов во Вселенной.

Уравнения Максвелла: Полное Описание Электромагнитного Поля

Если законы Кулона, Ампера и Фарадея можно сравнить с разрозненными фрагментами величественной мозаики, то уравнения Максвелла — это тот самый всеобъемлющий узор, который объединил эти фрагменты в единую, удивительно гармоничную картину. Эти уравнения не просто систематизировали известные на тот момент факты; они предсказали новые явления, изменили наше понимание природы света и заложили основы всей современной электродинамики.

Сущность и роль уравнений Максвелла

Джеймс Клерк Максвелл в 1860-х годах совершил одну из величайших интеллектуальных революций в истории науки, объединив все известные тогда законы электричества и магнетизма в единую, логически непротиворечивую систему из четырех уравнений.

Исторический контекст и вклад Максвелла: До Максвелла электрические и магнитные явления изучались отдельно, и существовали законы, описывающие каждое из них (например, закон Кулона, закон Ампера, закон Фарадея). Максвелл не только систематизировал эти законы, но и внес критически важное дополнение — концепцию тока смещения, которая позволила связать изменяющиеся электрические поля с магнитными. Это стало решающим шагом, позволившим построить полную теорию электромагнитного поля.

Фундаментальность уравнений: Уравнения Максвелла являются фундаментальными постулатами (аксиомами) классической электродинамики. Они играют такую же роль в этой области, как законы Ньютона в механике или законы термодинамики. Их справедливость подтверждена бесчисленными экспериментами.

Предсказание электромагнитных волн: Одним из самых поразительных следствий уравнений Максвелла стало предсказание существования электромагнитных волн, распространяющихся в вакууме со скоростью света. Это предсказание было экспериментально подтверждено Генрихом Герцем в 1887 году, что ознаменовало начало эры радиосвязи и полностью изменило представление о природе света, показав, что свет — это электромагнитная волна.

Связь с источниками: Уравнения Максвелла связывают характеристики электромагнитного поля (напряженность электрического поля E, магнитная индукция B, вектор электрического смещения D, напряженность магнитного поля H) с его источниками — распределенными электрическими зарядами (ρ) и токами (j).

Полная система уравнений: В сочетании с законом силы Лоренца (который описывает силу, действующую на заряд в электромагнитном поле), уравнения Максвелла образуют полную систему уравнений классической электродинамики, позволяющую описывать практически все электромагнитные явления.

Отправная точка для теории относительности: Уравнения Максвелла обладают инвариантностью относительно преобразований Лоренца, что стало одним из ключевых стимулов для Альберта Эйнштейна при создании специальной теории относительности.

Векторы, входящие в уравнения

Для полного описания электромагнитного поля Максвелл использовал четыре основных векторных поля, а также плотности зарядов и токов:

• E (Напряженность электрического поля): Характеризует силовое воздействие электрического поля на пробный заряд. Единицы измерения: В/м.
• B (Магнитная индукция): Характеризует силовое воздействие магнитного поля на движущийся заряд или проводник с током. Единицы измерения: Тл.
• D (Вектор электрического смещения или электрическая индукция): Учитывает влияние поляризации диэлектрической среды. Он определяется как D = ε₀E + P, где P — вектор поляризации. Для изотропной среды D = ε₀εE. Единицы измерения: Кл/м².
• H (Напряженность магнитного поля): Учитывает влияние намагничивания магнитной среды. Он определяется как H = B / μ₀ - J, где J — вектор намагниченности. Для изотропной среды H = B / (μ₀μ). Единицы измерения: А/м.
• j (Плотность электрического тока): Вектор, модуль которого равен силе тока через единицу площади, перпендикулярной току. Единицы измерения: А/м².
• ρ (Плотность электрического заряда): Скаляр, количество заряда в единице объема. Единицы измерения: Кл/м³.

Материальные уравнения

Уравнения Максвелла описывают общую динамику полей. Однако для конкретной среды необходимо учитывать ее электрические и магнитные свойства. Для этого используются материальные уравнения, которые связывают векторы D с E, B с H, а также плотность тока j с E:

• D = ε₀εE (для изотропной диэлектрической среды)
• B = μ₀μH (для изотропной магнитной среды)
• j = σE (закон Ома в дифференциальной форме для проводящей среды, где σ — удельная проводимость)

Эти уравнения дополняют систему Максвелла, позволяя применять ее к реальным веществам.

Четыре уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Каждое из четырех уравнений Максвелла имеет свою физическую интерпретацию и может быть записано как в интегральной, так и в дифференциальной форме. Дифференциальная форма более фундаментальна, так как она описывает поведение поля в каждой точке пространства.

Первое уравнение Максвелла (Закон Гаусса для электрического поля)

Физический смысл: Источниками электрического поля являются электрические заряды. Линии вектора электрической индукции D начинаются на свободных положительных зарядах и заканчиваются на свободных отрицательных зарядах. Этот закон количественно выражает идею о том, что электрические заряды являются "монополями" электрического поля.

Интегральная форма: Поток вектора электрического смещения D через любую замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме свободных зарядов Σqᵢ, заключенных внутри этой поверхности.

∮S D ⋅ dS = Σqᵢ

Дифференциальная форма: Дивергенция вектора электрического смещения D равна объемной плотности свободных электрических зарядов ρ.

∇ ⋅ D = ρ

Второе уравнение Максвелла (Закон Гаусса для магнитного поля)

Физический смысл: В природе не существует магнитных зарядов (магнитных монополей). Магнитные силовые линии всегда замкнуты, они не имеют ни начала, ни конца. Сколько магнитных линий входит в замкнутую поверхность, столько же из нее и выходит.

Интегральная форма: Поток вектора магнитной индукции B через любую замкнутую поверхность S равен нулю.

∮S B ⋅ dS = 0

Дифференциальная форма: Дивергенция вектора магнитной индукции B равна нулю.

∇ ⋅ B = 0

Третье уравнение Максвелла (Закон Фарадея об электромагнитной индукции)

Физический смысл: Всякое изменяющееся во времени магнитное поле вызывает появление вихревого электрического поля. Это тот самый фундаментальный принцип электромагнитной индукции, открытый Фарадеем и обобщенный Максвеллом. Вихревое электрическое поле не связано с электрическими зарядами и не является потенциальным.

Интегральная форма: Циркуляция вектора напряженности электрического поля E по любому замкнутому контуру L равна скорости изменения магнитного потока ΦB через поверхность S, ограниченную этим контуром, взятой с обратным знаком.

∮L E ⋅ dl = -dΦB/dt = -∫S (∂B/∂t) ⋅ dS

Дифференциальная форма: Ротор вектора напряженности электрического поля E равен скорости изменения вектора магнитной индукции B во времени, взятой с обратным знаком.

∇ × E = -∂B/∂t

Четвертое уравнение Максвелла (Закон Ампера-Максвелла)

Физический смысл: Источником вихревого магнитного поля являются не только токи проводимости (движение свободных зарядов), но и изменяющееся со временем электрическое поле. Максвелл ввел концепцию тока смещения, без которого система уравнений была бы неполной и не смогла бы описывать распространение электромагнитных волн.

Ток смещения (jсм): Это вектор, равный производной вектора электрического смещения D по времени:

jсм = ∂D/∂t

Ток смещения не является направленным движением заряженных частиц. Он может существовать даже в вакууме и играет такую же роль в порождении магнитного поля, как и обычный ток проводимости.

Интегральная форма: Циркуляция вектора напряженности магнитного поля H по любому замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов проводимости и токов смещения, пронизывающих поверхность S, ограниченную этим контуром.

∮L H ⋅ dl = ∫S (j + ∂D/∂t) ⋅ dS

Дифференциальная форма: Ротор вектора напряженности магнитного поля H равен сумме плотности тока проводимости j и плотности тока смещения ∂D/∂t.

∇ × H = j + ∂D/∂t

Для вакуума: В вакууме, где нет зарядов и токов проводимости (j=0, ρ=0), и D = ε₀E, H = B/μ₀, четвертое уравнение принимает вид:

∇ × B = μ₀ ε₀ ∂E/∂t

Эта система из четырех уравнений Максвелла является вершиной классической электродинамики, предоставляя полное и элегантное описание всех электромагнитных явлений, от статических полей до электромагнитных волн, и остается одним из самых красивых и мощных достижений человеческого разума. Разве не удивительно, что всего четыре уравнения могут так полно описывать столь обширную область физики?

Заключение

Мы завершаем наше путешествие по фундаментальным законам и концепциям электричества и магнетизма. За эти главы мы прошли путь от элементарных взаимодействий неподвижных зарядов и постоянных токов до динамических полей, порождающих друг друга, и кульминационной системы уравнений Максвелла, которая объединила весь этот сложный мир в единое целое.

Мы увидели, что электричество и магнетизм — это не просто два отдельных явления, а две стороны одной медали, проявляющиеся как единое электромагнитное поле. Закон Кулона и Закон Био-Савара-Лапласа заложили основы статики, описывая силы и поля, создаваемые зарядами и токами. Интегральные теоремы Гаусса и Ампера продемонстрировали элегантность симметрии в расчетах полей, а изучение взаимодействия полей с веществом раскрыло микроскопические механизмы, лежащие в основе макроскопических явлений поляризации и намагничивания.

Законы электрического тока — Ома, Джоуля-Ленца, Кирхгофа — позволили нам анализировать работу электрических цепей и понять, как электрическая энергия преобразуется в тепло. Явление электромагнитной индукции, воплощенное в законе Фарадея-Максвелла и правиле Ленца, открыло эру генерации и трансформации электрической энергии, что привело к созданию всех современных электротехнических устройств. Наконец, мы рассмотрели энергетические аспекты полей, показав, что электрические и магнитные поля являются хранилищами энергии, которая распределена в пространстве и переносится электромагнитными волнами.

Уравнения Максвелла стоят особняком, являясь не просто суммой предыдущих законов, а их синтезом, который предсказал существование электромагнитных волн и показал, что свет есть лишь их частный случай. Эти уравнения стали фундаментом для всей современной физики и технологии, от радиосвязи до лазеров, от диагностики в медицине до исследования космоса.

Глубокое понимание электродинамики имеет первостепенное значение для любого студента, стремящегося освоить современную физику и инженерию. Это не просто набор формул, а логически стройная система представлений о взаимодействиях, которые формируют наш мир. Освоив эти принципы, вы получите мощный инструмент для анализа и создания технологий будущего, открывая для себя бесконечные перспективы дальнейшего изучения и применения.

Список использованной литературы

1. Уравнения Максвелла. URL: https://textarchive.ru/c-2977468-p4.html (дата обращения: 12.10.2025).
2. Потенциал электрического поля // Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/potentsial-elektricheskogo-polya (дата обращения: 12.10.2025).
3. Энергия катушки индуктивности // Школа для электрика. URL: https://electricalschool.info/main/electrotehnika/1647-yenergija-katushki-induktivnosti.html (дата обращения: 12.10.2025).
4. Электрический потенциал // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB (дата обращения: 12.10.2025).
5. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле. URL: https://kgeu.ru/Files/elmag/lect/razd9_files/page11.htm (дата обращения: 12.10.2025).
6. Работа силы электростатического поля при перемещении заряда. URL: https://fizika-class.ru/7-rabota-sily-elektrostaticheskogo-polya-pri-peremeshhenii-zaryada/ (дата обращения: 12.10.2025).
7. Потенциал. Разность потенциалов. Напряжение // ЯКласс. URL: https://www.yaklass.ru/p/fizika/10-klass/elektrodinamika-elektrostatika-14022/rabota-sil-elektrostaticheskogo-polia-raznost-potentsialov-34674/teoriia-k-uroku (дата обращения: 12.10.2025).
8. Объёмная плотность энергии магнитного поля // Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/obyemnaya-plotnost-energii-magnitnogo-polya (дата обращения: 12.10.2025).
9. Энергия магнитного поля // ЯКласс. URL: https://www.yaklass.ru/p/fizika/8-klass/magnitnoe-pole-vzaimodeistvie-tokov-i-magnitov-15332/energiia-magnitnogo-polia-15333/re-687a716c-e5ff-4328-8742-b883c518b60b (дата обращения: 12.10.2025).
10. Работа магнитного поля по перемещению контура с током. URL: http://fizika.snauka.ru/wp-content/uploads/2017/12/%D0%9A%D1%83%D1%80%D1%81-%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9_-1-%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C.doc (дата обращения: 12.10.2025).
11. Электростатический потенциал // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB (дата обращения: 12.10.2025).
12. Опыты Фарадея. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле // Электричество и магнетизм. URL: https://www.phys.spbu.ru/lectures/e-m/ch8/8_1.html (дата обращения: 12.10.2025).
13. Работа в электрическом поле. Потенциал. URL: https://physics.susu.ru/elec/1_4.html (дата обращения: 12.10.2025).
14. Как вычисляется энергия магнитного поля и что такое самоиндукция // Webmath.ru. URL: https://webmath.ru/poleznye_soveti/magnitnaja_jenergija_i_samoindukcija.php (дата обращения: 12.10.2025).
15. Конденсатор. Энергия электрического поля // Сдам ГИА. URL: https://ege.sdamgia.ru/handbook?id=128 (дата обращения: 12.10.2025).
16. Энергия электромагнитного поля. URL: https://elib.sut.ru/data/Phys_em_1_2.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
17. Работа электрического поля. Потенциал и напряжение (основной урок) // ИнтернетУрок. URL: https://interneturok.ru/lesson/physics/10-klass/elektrostatika/rabota-elektricheskogo-polya-potentsial-i-napryazhenie-osnovnoy-urok (дата обращения: 12.10.2025).
18. Работа по перемещению заряда в электростатическом поле. Потенциал. URL: https://studfile.net/preview/439247/page:14/ (дата обращения: 12.10.2025).
19. Энергия заряженного конденсатора // Рувики. URL: https://ru.ruwiki.ru/wiki/%D0%AD%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B3%D0%B8%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D1%80%D1%8F%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%81%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0 (дата обращения: 12.10.2025).
20. Объёмная плотность энергии электрического поля // Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/obyemnaya-plotnost-energii-elektricheskogo-polya (дата обращения: 12.10.2025).
21. Работа электростатического поля при перемещении заряда Потенциал. Разность потенциалов. URL: https://www.phys.nsu.ru/lectures/e-m/ch5/5_1.html (дата обращения: 12.10.2025).
22. Энергия заряженного конденсатора // Электричество и магнетизм. URL: https://www.phys.spbu.ru/lectures/e-m/ch2/2_9.html (дата обращения: 12.10.2025).
23. Облако знаний. Энергия магнитного поля. Физика. 11 класс. URL: https://cloud.knowledge.expert/blog/magnitnoe-pole-obladayet-energiyey-raschet-yeyo-plotnosti (дата обращения: 12.10.2025).
24. Энергия электростатического поля конденсатора // MultiRing.ru. URL: https://multiring.ru/physics/electro/elektrostaticheskoe-pole-kondensatora.html (дата обращения: 12.10.2025).
25. Плотность энергии электрического поля // Indigomath.ru. URL: https://indigomath.ru/physics/formul/plotnost-energii-elektricheskogo-polya (дата обращения: 12.10.2025).
26. Энергия заряженного конденсатора – формула // Образовака. URL: https://obrazovaka.ru/fizika/energiya-zaryazhennogo-kondensatora.html (дата обращения: 12.10.2025).
27. Конспект по теме "Работа по перемещению проводника с током" // Инфоурок. URL: https://infourok.ru/konspekt-po-teme-rabota-po-peremesheniyu-provodnika-s-tokom-3974424.html (дата обращения: 12.10.2025).
28. Работа, совершаемая силами магнитного поля при перемещении проводника и контура, по которым течёт электрический ток // Bstudy. URL: https://b-study.net/109033/fizika/rabota_sovershaemaya_silami_magnitnogo_polya_peremeschenii_provodnika_kontura_kotorym_techet_elektricheskiy (дата обращения: 12.10.2025).
29. Энергия и поток энергии электромагнитного поля. URL: https://elib.sut.ru/data/Phys_em_1_2.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
30. Энергия электрического поля // ЗФТШ, МФТИ. URL: https://zftsh.online/fizika/teoriya/elektrostatika/energiya-elektricheskogo-polya (дата обращения: 12.10.2025).
31. Энергия магнитного поля. URL: https://www.phys.nsu.ru/lectures/e-m/ch4/4_4.html (дата обращения: 12.10.2025).
32. Энергия электростатического поля. URL: https://studfile.net/preview/5799988/page:18/ (дата обращения: 12.10.2025).
33. Энергия магнитного поля // Электричество и магнетизм. URL: https://www.phys.spbu.ru/lectures/e-m/ch8/8_4.html (дата обращения: 12.10.2025).
34. Плотность энергии // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D1%8D%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B3%D0%B8%D0%B8 (дата обращения: 12.10.2025).
35. Явление самоиндукции. Индуктивность. Энергия магнитного поля катушки с током. URL: https://studfile.net/preview/439247/page:10/ (дата обращения: 12.10.2025).
36. Потенциальная энергия заряда в однородном поле. Потенциальная энергия системы точечных зарядов // ЯКласс. URL: https://www.yaklass.ru/p/fizika/10-klass/elektrodinamika-elektrostatika-14022/rabota-sil-elektrostaticheskogo-polia-raznost-potentsialov-34674/teoriia-k-uroku/1 (дата обращения: 12.10.2025).
37. Элементы физики - Энергия электромагнитных волн и импульс электромагнитного поля. URL: https://physics.susu.ru/em_wave/4_3_4.html (дата обращения: 12.10.2025).
38. Энергия электрического поля. URL: https://www.phys.nsu.ru/lectures/e-m/ch3/3_5.html (дата обращения: 12.10.2025).
39. Катушка индуктивности: особенности в теории и на практике // Eandc.ru. URL: https://eandc.ru/o-radiokomponentakh/katushka-induktivnosti-osobennosti-v-teorii-i-na-praktike.html (дата обращения: 12.10.2025).
40. Лекция 3. Потенциал. URL: https://fizika-class.ru/wp-content/uploads/2019/07/%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F-3.-%D0%9F%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB..pdf (дата обращения: 12.10.2025).
41. Работа силы однородного электростатического поля. Потенциал: Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле // ЯКласс. URL: https://www.yaklass.ru/p/fizika/10-klass/elektrodinamika-elektrostatika-14022/rabota-sil-elektrostaticheskogo-polia-raznost-potentsialov-34674/teoriia-k-uroku/2 (дата обращения: 12.10.2025).