Построение конечных автоматов и регулярных выражений: методология и примеры задач

Что такое конечные автоматы и зачем мы их изучаем

Представьте себе обычный турникет в метро. У него есть всего два состояния: «закрыто» и «открыто». Чтобы изменить его состояние, нужен определенный сигнал — опущенный жетон. Это и есть простейший пример конечного автомата — математической модели, которая может находиться в одном из конечного числа состояний и переключаться между ними в ответ на входные данные.

В теории формальных языков автоматы выступают как распознаватели. Они читают цепочку символов (строку) и в конце выносят вердикт: принадлежит ли эта строка заданному языку или нет. Любой автомат состоит из нескольких ключевых компонентов:

• Состояния (Q): Набор всех возможных «режимов» работы автомата.
• Алфавит (Σ): Множество всех символов, которые автомат может прочитать.
• Переходы (δ): Правила, описывающие, в какое состояние перейдет автомат из текущего состояния при чтении определенного символа.
• Начальное состояние (q0): Состояние, в котором автомат находится в самом начале.
• Конечные состояния (F): Множество «принимающих» состояний. Если автомат останавливается в одном из них, строка считается принятой.

Автоматы делятся на два больших класса: детерминированные (ДКА) и недетерминированные (НКА). Главное отличие в том, что ДКА для каждого символа гарантирует ровно один возможный переход, его поведение абсолютно предсказуемо. НКА же более гибок: он может иметь несколько возможных переходов по одному символу или даже переходить в новое состояние, не читая символ вовсе (эпсилон-переход). Эта гибкость удобна для описания языков, но для практической реализации в коде или «железе» нам нужна строгая определенность ДКА.

В чем фундаментальное отличие НКА от ДКА

Фундаментальное отличие, как следует из названия, заключается в концепции недетерминизма. Если ДКА в любой момент времени находится ровно в одном состоянии, то НКА после чтения символа может оказаться сразу в нескольких состояниях одновременно. Это похоже на разветвление сюжета в книге-игре: в зависимости от выбора вы попадаете на разные страницы. НКА как бы исследует все возможные пути параллельно.

Представьте НКА, который из состояния q0 по символу ‘a’ может перейти и в q1, и в q2. Если на вход пришла строка «a», в каком состоянии окажется автомат? Ответ: в подмножестве состояний {q1, q2}. Для теоретической модели это допустимо, но для реального вычислительного устройства — нет. Компьютерная программа не может «гадать» или находиться в двух ветках кода одновременно. Ей нужен четкий, однозначный алгоритм: если мы в состоянии X и пришел символ Y, мы обязательно переходим в состояние Z.

Детерминизация — это процесс устранения неоднозначности. Это мост между гибкой и абстрактной моделью НКА и строгим, исполнимым алгоритмом, который может быть реализован в виде программы — ДКА. Мы берем идею и превращаем ее в четкую инструкцию.

Именно поэтому преобразование НКА в ДКА является одной из ключевых задач в теории автоматов. Оно позволяет нам сначала спроектировать удобную и компактную модель языка (НКА), а затем преобразовать ее в практически применимый эквивалент (ДКА).

Алгоритм построения подмножеств как ключ к детерминизации

Процесс превращения НКА в ДКА основан на мощной идее: каждое состояние в новом ДКА будет соответствовать некоторому подмножеству состояний из исходного НКА. Ключевым инструментом для этого является алгоритм построения подмножеств, который также учитывает так называемые эпсилон-переходы — мгновенные перемещения между состояниями без чтения символов. Для этого используется операция эпсилон-замыкания, то есть нахождения всех состояний, достижимых из данного с помощью одних лишь эпсилон-переходов.

Сам алгоритм можно представить в виде строгой последовательности шагов:

1. Создание начального состояния ДКА. Первое состояние нового ДКА — это эпсилон-замыкание начального состояния исходного НКА.
2. Итеративный процесс построения. Мы берем каждое уже созданное, но еще не обработанное состояние ДКА (которое является подмножеством состояний НКА) и для каждого символа из алфавита выполняем следующие действия:
   • Находим все состояния в НКА, в которые можно перейти из нашего подмножества по данному символу.
   • Вычисляем эпсилон-замыкание для полученного множества состояний. Это и будет новое состояние ДКА.
3. Повторение до стабилизации. Шаг 2 повторяется до тех пор, пока мы не перестанем получать новые, ранее не встречавшиеся состояния ДКА.
4. Определение конечных состояний. Конечными (принимающими) состояниями в новом ДКА будут все те подмножества, которые содержат в себе хотя бы одно конечное состояние из исходного НКА.

Важно понимать, что этот процесс гарантированно конечен, но в худшем случае количество состояний в результирующем ДКА может вырасти экспоненциально и достигать 2ⁿ, где n — число состояний в исходном НКА.

Практический пример, или как превратить НКА в эквивалентный ДКА

Рассмотрим, как работает алгоритм на практике. Допустим, нам дана задача: «Детерминизация НКА M для получения эквивалентного ДКА». Пусть наш НКА M имеет начальное состояние q0, алфавит {a, b} и некую структуру переходов.

Шаг 1: Начальное состояние.
Мы начинаем с начального состояния НКА, q0. Вычисляем его эпсилон-замыкание. Допустим, из q0 есть эпсилон-переход в q1. Тогда наше первое состояние в ДКА, назовем его A, будет A = ε-closure({q0}) = {q0, q1}. Это стартовое состояние нашего ДКА.

Шаг 2: Итерации.
Теперь мы должны обработать состояние A для каждого символа алфавита.

• Переход из A по символу ‘a’:
  1. Смотрим, куда можно попасть из состояний q0 и q1 по символу ‘a’ в исходном НКА. Допустим, из q0 по ‘a’ мы попадаем в q2, а из q1 никуда. Получаем множество {q2}.
  2. Вычисляем эпсилон-замыкание для {q2}. Предположим, эпсилон-переходов из q2 нет. Тогда мы получили новое состояние ДКА, назовем его B = {q2}.
• Переход из A по символу ‘b’:
  1. Смотрим переходы из {q0, q1} по ‘b’. Пусть из q1 есть переход в q1. Получаем множество {q1}.
  2. Вычисляем эпсилон-замыкание для {q1}. Оно равно {q1}. Получаем новое состояние C = {q1}.

Мы получили два новых состояния для обработки: B = {q2} и C = {q1}. Теперь мы повторяем для них тот же процесс, пока не перестанут появляться новые уникальные подмножества. В итоге мы построим полную таблицу переходов для ДКА.

Шаг 3: Конечные состояния.
После завершения итераций мы просматриваем все полученные состояния ДКА (A, B, C и так далее). Если исходный НКА M имел, например, единственное конечное состояние q2, то в нашем ДКА конечным состоянием станет B = {q2} и любые другие состояния, которые включают в себя q2.

Что такое регулярные выражения и где они применяются

Если конечные автоматы — это «машины» для распознавания языков, то регулярные выражения — это компактный и элегантный способ их описания. По сути, это шаблон, которому должна соответствовать строка. С регулярными выражениями мы сталкиваемся постоянно, даже не задумываясь об этом:

• Поиск файлов в командной строке, например, *.txt (любое имя файла, заканчивающееся на .txt).
• Проверка корректности email-адреса или номера телефона на веб-сайтах.
• Функция «Найти и заменить» в текстовых редакторах вроде VS Code или Sublime Text.

В теории формальных языков регулярные выражения имеют строгое определение и состоят из символов алфавита и специальных операторов (конкатенация, дизъюнкция, итерация). Например, выражение (0|1)* описывает язык любых двоичных строк, а a.*b — язык строк, начинающихся на ‘a’ и заканчивающихся на ‘b’.

Самое важное — это их прямая связь с автоматами. Для любого регулярного выражения можно построить эквивалентный ему конечный автомат (и наоборот). Существует даже специальный алгоритм Томпсона для преобразования регулярного выражения в НКА. Это означает, что автоматы и регулярные выражения — это просто два разных языка для описания одного и того же класса формальных языков — регулярных языков.

Мышление конструктора, как составить регулярное выражение для языка

Создание регулярного выражения — это не магия, а скорее инженерная задача, требующая декомпозиции. Вместо того чтобы пытаться решить всю проблему целиком, ее нужно разбить на простые, управляемые части. Этот процесс можно представить в виде четкой методологии.

1. Анализ и деконструкция условия. Внимательно прочитайте условие задачи. Разбейте его на элементарные логические блоки. Например, если условие «строка содержит подстроку ‘ab’ и заканчивается на ‘c'», то у вас два блока: «наличие ‘ab'» и «окончание на ‘c'».
2. Построение базовых блоков. Для каждого простого условия составьте элементарное регулярное выражение. «Любая строка» — это (a|b)* (если алфавит {a, b}). «Наличие ‘ab'» можно выразить как (a|b)*ab(a|b)*, то есть «что угодно, потом ‘ab’, потом что угодно».
3. Синтез и объединение. Соедините базовые блоки в одно целое, используя ключевые операторы:
   • Конкатенация (следование): Просто пишем выражения одно за другим (ab).
   • Дизъюнкция (ИЛИ): Используем оператор | (a|b означает «a или b»).
   • Итерация (повторение): Оператор * (ноль или более раз) или + (один или более раз).
4. Тестирование и отладка. Проверьте получившееся выражение на критических примерах. Подходит ли пустая строка? А самая короткая возможная строка, удовлетворяющая условию? Попробуйте придумать строку, которая не должна подходить, и убедитесь, что ваше выражение ее отвергает.

Такой подход превращает составление сложного выражения из пугающей задачи в последовательность логичных и понятных шагов.

Практикум, решаем задачи на составление регулярных выражений

Применим нашу методологию к нескольким типовым задачам. Пусть наш алфавит Σ = {0, 1}.

Задача 1: Наличие подстрок ‘001’ или ‘110’

1. Постановка: Язык L1 состоит из всех строк, содержащих подстроку «001» или «110».
2. Анализ: Условие уже разбито на два блока с оператором «ИЛИ». Нам нужно описать: (любая строка, содержащая «001») ИЛИ (любая строка, содержащая «110»).
3. Построение:
   • Часть «любая строка, содержащая ‘001’» описывается как (0|1)*001(0|1)*.
   • Часть «любая строка, содержащая ‘110’» описывается как (0|1)*110(0|1)*.
4. Итог: Объединяем эти две части оператором дизъюнкции |.
   
   Финальное выражение: (0|1)*001(0|1)* | (0|1)*110(0|1)*.
   
   Можно вынести общие части за скобки для краткости: (0|1)*(001|110)(0|1)*.

Задача 2: Наличие по крайней мере двух подряд идущих символов ‘0’

1. Постановка: Язык L2 состоит из всех строк, где есть подстрока «00».
2. Анализ: Это очень похоже на предыдущую задачу. Нам нужна подстрока «00», а до и после нее может быть любая последовательность символов.
3. Построение:
   • «Что угодно до» — это (0|1)*.
   • «Искомая подстрока» — это 00.
   • «Что угодно после» — это (0|1)*.
4. Итог: Собираем все вместе.
   
   Финальное выражение: (0|1)*00(0|1)*. Оно точно описывает все строки, в которых где-либо встречается пара нулей.

Задачи на исключение и итоговый синтез знаний

Более сложный класс задач — описание языков, где определенные подстроки, наоборот, отсутствуют. Например, язык, не содержащий подстрок ‘011’ и ‘010’. Здесь логика строится «от противного»: мы описываем все разрешенные переходы. Например, после ‘0’ может идти только ‘0’. Если же после ‘0’ идет ‘1’, то следующий символ не может быть ни ‘1’, ни ‘0’ (иначе образуются запрещенные ‘011’ или ‘010’), что делает такую конструкцию невозможной. Это более тонкая работа, требующая внимательного конструирования разрешенных блоков.

В конечном счете, и построение автоматов, и составление регулярных выражений — это две стороны одной медали. Они представляют собой эквивалентные, но по-разному устроенные инструменты для работы с формальными языками.

Автомат — это исполнитель. Он лучше подходит для практической реализации, проверки и симуляции. Регулярное выражение — это описание. Оно компактнее, нагляднее и идеально для формулирования шаблонов и правил.

Ключевой навык специалиста в этой области — это не просто умение работать с каждым инструментом по отдельности, а способность свободно переключаться между этими двумя моделями мышления, выбирая ту, что лучше всего подходит для решения конкретной задачи.