Экономико-математическое моделирование в животноводстве: Анализ и решение оптимизационных задач (Рацион и Структура стада) на основе ЛП с применением актуальных нормативов

В условиях современного агропромышленного комплекса, характеризующегося высокой конкуренцией и необходимостью эффективного использования ограниченных ресурсов, животноводство сталкивается с задачами, решение которых требует применения передовых аналитических инструментов. Одной из ключевых сфер, где математические методы демонстрируют свою исключительную эффективность, является экономико-математическое моделирование (ЭММ). В частности, аппарат линейного программирования (ЛП) позволяет находить оптимальные решения для широкого круга управленческих проблем – от составления сбалансированных рационов кормления до формирования оптимальной половозрастной структуры стада.

Целью настоящей работы является всестороннее теоретическое и практическое раскрытие двух фундаментальных оптимизационных задач в животноводстве. Мы рассмотрим методологию построения ЭММ на основе линейного программирования, детально сформулируем математические модели для оптимизации рациона кормления и структуры стада, а также представим их экономическую интерпретацию. Особое внимание будет уделено применению актуальных, детализированных зоотехнических и экономических нормативов, что является критически важным для получения практически применимых и эффективных решений в условиях высокопродуктивного животноводства, ведь от этого напрямую зависит не только себестоимость, но и потенциал роста предприятия. Представленный материал послужит основой для студентов и аспирантов, стремящихся к глубокому пониманию прикладного математического моделирования в аграрном секторе.

Концептуальные основы линейного программирования и методология построения ЭММ

В основе любой оптимизационной задачи лежит стремление к наилучшему результату при существующих ограничениях. Для экономиста или зоотехника это может быть минимизация затрат при обеспечении заданных норм или максимизация прибыли при ограниченных ресурсах. В этом контексте линейное программирование выступает как мощный аналитический инструмент, позволяющий формализовать такие задачи и найти их оптимальное решение.

Математическая сущность ЛП и его элементы

Линейное программирование (ЛП) представляет собой раздел математического программирования, ориентированный на решение экстремальных задач, где целевая функция и все ограничения являются линейными. Его основная задача заключается в нахождении оптимального распределения ограниченных ресурсов для достижения заданной цели.

Рассмотрим ключевые элементы любой модели ЛП:

• Переменные решения (x_j): Это те величины, значения которых мы хотим определить в процессе оптимизации. В контексте животноводства это может быть количество каждого вида корма в рационе, поголовье животных определенной половозрастной группы или объем произведенной продукции. На эти переменные всегда накладывается условие неотрицательности: x_j ≥ 0, поскольку физически невозможно использовать отрицательное количество ресурса или иметь отрицательное поголовье.
• Целевая функция (Z): Это линейная функция, которая выражает критерий оптимальности и подлежит максимизации или минимизации. Её общая форма: Z = $\sum_{j=1}^{n}$ c_jx_j. Здесь c_j – это коэффициенты, отражающие вклад каждой переменной в целевую функцию (например, цена корма, доход от реализации продукции). Если мы минимизируем затраты, Z будет представлять собой суммарную себестоимость; если максимизируем прибыль, Z будет суммарным чистым доходом.
• Система ограничений: Это набор линейных равенств и/или неравенств, которые отражают существующие лимиты ресурсов, технологические требования, зоотехнические нормы, производственные мощности и другие факторы, влияющие на процесс. Ограничения могут быть представлены в виде:
  • $\sum_{j=1}^{n}$ a_ijx_j ≤ b_i (ограничение сверху, например, по наличию кормов или площадей).
  • $\sum_{j=1}^{n}$ a_ijx_j ≥ b_i (ограничение снизу, например, по минимальной потребности в питательных веществах или минимальному поголовью).
  • $\sum_{j=1}^{n}$ a_ijx_j = b_i (точное равенство, например, для баланса ресурсов).

  Здесь a_ij – коэффициенты, показывающие, сколько i-го ресурса расходуется на единицу j-й переменной, а b_i – это правая часть ограничения, или общий объем i-го ресурса/потребности.

Этапы формализации и моделирования

Процесс построения экономико-математической модели — это не просто запись формул, а системный подход, требующий глубокого понимания экономической сущности задачи. Он включает следующие ключевые этапы:

1. Выяснение экономической сущности задачи и определение переменных: На этом этапе происходит глубокий анализ предметной области. Необходимо четко сформулировать проблему, определить, что именно мы оптимизируем, и какие факторы влияют на это. Затем выбираются переменные решения (x_j), которые будут представлять собой управляющие воздействия. Например, в задаче кормления это будут объемы различных видов кормов, а в задаче структуры стада — количество животных в каждой половозрастной группе.
2. Анализ и формализация всех ограничений: Этот этап является одним из наиболее трудоемких и ответственных. Необходимо выявить все факторы, которые лимитируют или определяют процесс. Ограничения могут быть:
   • Ресурсными: Доступность кормов, земли, рабочей силы, капитальных вложений.
   • Технологическими: Пропускная способность оборудования, вместимость помещений.
   • Зоотехническими: Нормы содержания питательных веществ в рационе, требования к условиям содержания животных, нормы воспроизводства.
   • Экономическими: Бюджетные ограничения, минимальные и максимальные объемы производства.

   Каждое выявленное ограничение должно быть математически выражено в виде линейного равенства или неравенства, учитывающего взаимодействие переменных.

3. Нахождение целевой функции и критерия оптимальности: На этом этапе формулируется основной показатель, который будет оптимизироваться. Выбор целевой функции (например, минимизация себестоимости, максимизация прибыли, максимизация продуктивности) зависит от стратегических целей предприятия. Коэффициенты c_j должны быть точно определены на основе экономических данных (цены, затраты, доходы).
4. Математическая формализация исходных данных и поиск решения: После того как модель полностью сформулирована, все коэффициенты (a_ij, b_i, c_j) должны быть заполнены конкретными числовыми значениями. Эти данные должны быть актуальными и достоверными. Затем модель решается с помощью специализированных алгоритмов (например, симплекс-метод) или программного обеспечения (например, MS Excel Solver, GAMS, CPLEX). Результатом будет набор оптимальных значений переменных x_j и соответствующее оптимальное значение целевой функции Z.

Соблюдение этих этапов позволяет создать корректную и эффективную ЭММ, которая станет надежным инструментом для принятия обоснованных управленческих решений.

Кейс-стади 1: Оптимизация суточного рациона кормления КРС (Задача минимизации затрат)

Эффективность животноводства во многом определяется качеством и стоимостью рациона кормления. Перекармливание или недокорм, несбалансированность по питательным веществам ведут к снижению продуктивности и росту затрат. Задача оптимизации рациона, решаемая методами линейного программирования, позволяет найти наиболее экономически выгодную комбинацию кормов, полностью удовлетворяющую физиологические потребности животного. Однако что следует из этого? Правильное составление рациона непосредственно влияет на рентабельность производства, здоровье стада и, в конечном итоге, на устойчивость всего животноводческого бизнеса.

Полная математическая формулировка прямой задачи

Цель задачи: Минимизация общих затрат на корма при условии полного удовлетворения физиологических и продуктивных потребностей животного в питательных веществах.

Переменные решения:
Пусть x_j — количество (в кг) j-го вида корма, включаемого в суточный рацион животного (где j = 1, 2, …, n, n – общее количество доступных видов кормов).
Условие неотрицательности: x_j ≥ 0 для всех j.

Целевая функция:
Минимизировать общую стоимость рациона:
Z = $\sum_{j=1}^{n}$ c_jx_j → min
где c_j — стоимость 1 кг j-го вида корма (руб./кг).

Система ограничений:

1. Ограничения по питательности: Суммарное содержание каждого питательного вещества (энергия, протеин, кальций, фосфор, каротин и т.д.) в рационе должно быть не меньше (или не больше) установленной нормы.
   $\sum_{j=1}^{n}$ a_ijx_j ≥ b_i (для минимально необходимых веществ, например, ЭКЕ, протеин)
   $\sum_{j=1}^{n}$ a_ijx_j ≤ b_i (для максимально допустимых веществ, например, клетчатка, определенные микроэлементы)
   где a_ij — содержание i-го питательного вещества в 1 кг j-го корма;
   b_i — суточная норма потребности животного в i-м питательном веществе.
2. Зоотехнические ограничения (качественные): Эти ограничения могут устанавливать предельные нормы скармливания отдельных видов кормов или требования к структуре рациона, чтобы обеспечить физиологически нормальное пищеварение и здоровье животного.
   • По максимальному количеству определенного корма: x_j ≤ d_j (например, концентратов).
   • По минимальному количеству определенного корма: x_j ≥ e_j.
   • По доле корма в рационе: L_j ≤ x_j / $\sum_{k=1}^{n}$ x_k ≤ U_j (где L_j, U_j – нижний и верхний пределы доли j-го корма).
   • По общему сухому веществу: $\sum_{j=1}^{n}$ x_j ⋅ k_j = S (где k_j – доля сухого вещества в j-м корме, S – требуемое количество сухого вещества в рационе).

Применение современных зоотехнических нормативов (Критический блок)

Для высокопродуктивного животноводства, особенно молочного скота, критически важно использовать не общие, а детализированные и актуальные нормативы, которые позволяют реализовать генетический потенциал животных. Рассмотрим некоторые из них:

1. Энергетическая кормовая единица (ЭКЕ): В соответствии с современными детализированными нормами кормления, за 1 ЭКЕ принято 10 МДж обменной энергии. Ранее часто использовалось значение 1 ЭКЕ ≈ 10,473 МДж (или 2500 ккал обменной энергии). Новая стандартизация в 10 МДж позволяет более точно рассчитывать энергетическую ценность рационов. Норма ЭКЕ для животного зависит от его живой массы, уровня продуктивности (например, удоя) и физиологического состояния.
2. Переваримый протеин (ПП): Это ключевой показатель, влияющий на продуктивность и здоровье. Для высокопродуктивных коров (с удоем 7000–8000 кг молока в год) нормой считается содержание 100–105 г переваримого протеина на 1 ЭКЕ. Это значительно выше, чем для животных со средней продуктивностью (где нормой может быть 70-90 г на 1 ЭКЕ), и требует тщательного подбора высокопротеиновых кормов или добавок. Недостаток или избыток протеина негативно сказывается на синтезе молока, воспроизводстве и общем состоянии здоровья.
3. Специфические зоотехнические ограничения по структуре рациона (на основе сухого вещества, СВ): Эти ограничения предотвращают нарушения пищеварения и метаболизма у высокопродуктивных животных:
   • Крахмал: Содержание крахмала в сухом веществе рациона высокопродуктивных коров не должно превышать 22–25%. Избыток крахмала (особенно быстропереваримого) может привести к ацидозу рубца, снижению жирности молока и другим метаболическим расстройствам.
   • Жиры: Общее содержание жиров в рационе не должно превышать 5,0–5,5% СВ. Превышение этого предела может нарушить микрофлору рубца, ухудшить переваримость клетчатки и привести к снижению продуктивности.
   • Клетчатка (НДК, КДК): Также должны быть установлены оптимальные уровни нейтрально-детергентной клетчатки (НДК) и кислотно-детергентной клетчатки (КДК) для поддержания здоровья рубца и нормальной жвачки. Эти показатели обычно выражаются в процентах от сухого вещества рациона.

Таблица 1: Пример нормативов для высокопродуктивной коровы (удой 30 кг/день, живая масса 600 кг)

Показатель	Единица измерения	Норма (min/max)
Энергетические кормовые единицы (ЭКЕ)	шт./день	20-22
Переваримый протеин (ПП) на 1 ЭКЕ	г	100-105
Сухое вещество (СВ)	кг/день	19-21
Крахмал (от СВ)	%	22-25 (max)
Жиры (от СВ)	%	5.0-5.5 (max)
Сырая клетчатка (от СВ)	%	18-20 (min)
Кальций	г/день	120-130
Фосфор	г/день	80-90

Использование этих детализированных нормативов позволяет создавать оптимальные рационы, которые не только минимизируют затраты, но и обеспечивают максимальную реализацию генетического потенциала животных, сохраняя их здоровье и продуктивное долголетие. Это критически важно, поскольку неоптимальный рацион напрямую ведет к снижению удоев, проблемам с воспроизводством и увеличению ветеринарных расходов, что в итоге уменьшает общую рентабельность фермы.

Кейс-стади 2: Оптимизация половозрастной структуры стада (Задача максимизации чистого дохода)

Формирование оптимальной половозрастной структуры стада является стратегической задачей для любого животноводческого предприятия. От того, сколько животных какой группы (коровы, нетели, телята разного возраста) содержится в хозяйстве, напрямую зависят объемы производства продукции (молока, мяса, приплода) и, как следствие, финансовые результаты. Модель оптимизации структуры стада позволяет найти такое соотношение групп животных, которое обеспечит максимальный чистый доход при заданных ограничениях.

Полная математическая формулировка прямой задачи

Цель задачи: Максимизация чистого дохода от реализации продукции всех половозрастных групп скота, учитывая затраты на их содержание и воспроизводство.

Переменные решения:
Пусть x_j — поголовье (или доля от общего стада, выраженная в процентах) скота j-й половозрастной группы (где j = 1, 2, …, n, n – общее количество половозрастных групп). Например: x₁ – коровы, x₂ – нетели, x₃ – телки 12-18 мес., x₄ – бычки на откорме и т.д.
Условие неотрицательности: x_j ≥ 0 для всех j.

Целевая функция:
Максимизировать чистый доход:
Z = $\sum_{j=1}^{n}$ P_jx_j — $\sum_{j=1}^{n}$ C_jx_j → max
где P_j — доход от реализации продукции (молока, мяса, приплода) или от прироста живой массы, приходящийся на одну голову j-й группы за расчетный период;
C_j — затраты на содержание одной головы j-й группы за расчетный период.

Система ограничений:

1. Ограничение по общему поголовью: Если переменные выражены в долях, то сумма долей должна быть равна 1 или 100%. Если в головах, то может быть ограничение по общей вместимости фермы:
   $\sum_{j=1}^{n}$ x_j ≤ N_max (где N_max – максимально возможное поголовье).
2. Ограничения по воспроизводству (Выход приплода): Поголовье маточного стада (коров, нетелей) должно обеспечивать заданный выход приплода для поддержания или расширения стада.
   • x_{(тели до 6 мес.)} ≤ k₁ ⋅ x_{(коровы)} + k₂ ⋅ x_{(нетели)}
     где k₁, k₂ – коэффициенты выхода приплода от коров и нетелей соответственно. Например, 0.95 телят на 1 корову.
3. Ограничения по замещению и расширению (Ремонтное поголовье): Поголовье ремонтного молодняка (телок, нетелей) должно обеспечивать замещение выбракованного поголовья коров и запланированный темп расширения стада.
   x_{(нетели)} ≥ (α ⋅ x_{(коровы)}) + ΔN
   где α — норма выбраковки коров;
   ΔN — прирост поголовья коров для расширения стада (или доля от текущего поголовья).
4. Ограничения по нормам выбраковки: Поголовье, которое поступает на выбытие или откорм из одной группы, должно соответствовать нормам выбраковки.
   x_{(выбракованные коровы)} = α ⋅ x_{(коровы)}
5. Ограничения по ресурсам: Доступность кормовых ресурсов, площадей для содержания, трудовых ресурсов.
   $\sum_{j=1}^{n}$ r_mjx_j ≤ R_m
   где r_mj — потребность j-й группы в m-м ресурсе (например, корма, площади);
   R_m — общий объем m-го ресурса.

Анализ норм замещения и воспроизводства (Критический блок)

Управление ��труктурой стада требует глубокого понимания динамики воспроизводства и выбытия животных. Использование устаревших или усредненных нормативов может привести к неоптимальным решениям, снижающим продуктивность и экономическую эффективность. Разве не стоит стремиться к максимальной отдаче от каждого животного, минимизируя при этом риски?

1. Целевая норма выбраковки коров: В современных высокопродуктивных молочных стадах, где целью является достижение 4-5 лактаций за продуктивную жизнь коровы, годовая целевая норма выбраковки (замены) составляет 25-30% от основного стада. Это значительно выше традиционных 15-20%, поскольку высокопродуктивные животные интенсивнее эксплуатируются и быстрее выбывают по физиологическим причинам (снижение продуктивности, проблемы с воспроизводством, маститы). Если же цикл продуктивного использования коров ограничен 3 лактациями, норма выбраковки может достигать 33%.
2. Требуемый ввод ремонтного молодняка: Для обеспечения простого воспроизводства (то есть замещения выбывших животных без изменения общего поголовья) при норме выбраковки в 25-30%, ежегодный ввод первотелок должен составлять 29-35% от среднегодового поголовья коров. Дополнительные 4-5% вводятся для планового расширения стада. Этот показатель учитывает не только прямую выбраковку, но и потери молодняка на разных этапах выращивания.

Таблица 2: Актуальные нормативы для оптимизации структуры стада высокопродуктивного молочного направления

Показатель	Значение / Диапазон	Примечание
Целевая норма выбраковки коров	25-30%	Для 4-5 лактаций
(при 3 лактациях)	До 33%
Выход приплода (телят на 100 коров)	90-95	С учетом потерь
Требуемый ввод первотелок	29-35%	От среднегодового поголовья коров, для замещения и расширения на 4-5%
Потери молодняка (до 6 мес.)	5-7%	На этапе выращивания
Потери ремонтного молодняка	2-3%	От 6 мес. до отела

Включение этих детализированных и актуальных нормативов в модель оптимизации структуры стада позволяет не только максимизировать чистый доход, но и обеспечить устойчивое развитие предприятия, поддерживая высокую генетическую ценность стада и его продуктивный потенциал. Модель становится не просто математическим упражнением, а мощным инструментом стратегического планирования.

Экономическая интерпретация результатов и анализ применимости моделей

Математическое решение экономико-математической модели — это лишь первый шаг. Истинная ценность ЛП раскрывается в способности интерпретировать полученные результаты и использовать их для принятия обоснованных управленческих решений. Особое место здесь занимают двойственные оценки, или теневые цены.

Двойственные оценки (Теневые цены) как управленческий инструмент

Двойственная оценка (или теневая цена, альтернативная оценка) y_i — это ключевой экономический показатель, получаемый в результате решения двойственной задачи линейного программирования. Он показывает, насколько изменится оптимальное значение целевой функции (прибыль, себестоимость) при изменении правой части i-го ограничения (b_i, то есть объема i-го ресурса или нормы) на единицу.

• Если ограничение прямой задачи выполняется как равенство (ресурс полностью использован или норма достигнута точно), это означает, что соответствующий ресурс является дефицитным, и его двойственная оценка (y_i) будет больше нуля. Величина y_i в этом случае отражает ценность этого дефицитного ресурса для предприятия. Например, если y_i = 5 руб./кг для корма, это значит, что при увеличении доступности этого корма на 1 кг, целевая функция (например, минимальная себестоимость рациона) уменьшится на 5 рублей.
• Если ограничение прямой задачи выполняется как строгое неравенство (ресурс не полностью использован, есть избыток, или норма перевыполнена), то соответствующий ресурс не является дефицитным, и его двойственная оценка будет равна нулю.

Экономический смысл двойственной оценки в животноводстве для принятия управленческих решений:

• Для Задачи 1 (Оптимизация рациона): Если двойственная оценка по протеину составляет, например, 0.5 руб./грамм, это означает, что увеличение доступности протеина на 1 грамм (например, за счет закупки более качественного корма или добавки) позволит снизить минимальную себестоимость рациона на 0.5 рубля. Это прямой сигнал для руководителя: стоит рассмотреть инвестиции в источники протеина, если их стоимость за 1 грамм не превышает 0.5 рубля. Таким образом, двойственная оценка дает обоснование для принятия решений об изменении структуры закупок кормов или вложений в улучшение их качества.
• Для Задачи 2 (Оптимизация структуры стада): Если двойственная оценка ограничения по пастбищным площадям составляет 1000 руб./га, это указывает на то, что увеличение пастбищных площадей на 1 гектар может увеличить максимальный чистый доход хозяйства на 1000 рублей. Это служит экономическим обоснованием для аренды дополнительных пастбищ, покупки земли или интенсификации использования существующих угодий, если затраты на такие меры ниже, чем потенциальный прирост дохода. Аналогично, высокая двойственная оценка по лимиту на поголовье коров может сигнализировать о целесообразности расширения коровника.

Двойственные оценки позволяют менеджменту предприятия не только узнать «что» является оптимальным, но и «почему» именно это решение является таковым, а также оценить экономическую целесообразность изменения ресурсной базы.

Границы применимости статических моделей и методы решения

Несмотря на свою мощь, статические модели линейного программирования имеют определенные ограничения, которые необходимо учитывать при их применении, особенно в долгосрочном планировании:

1. Статичность: Статические ЭММ не учитывают изменение эффективности использования ресурсов во времени, а также не предполагают изменений в ценах, технологиях или нормативах. Прогнозные показатели рассчитываются при средних или фиксированных на определенный момент времени условиях. Это означает, что модель дает «снимок» оптимального состояния на текущий момент, но не отражает динамику развития.
2. Неучет масштаба: При изменении размеров отраслей или объемов производства могут изменяться удельные затраты и доходы (например, эффект масштаба). Статические модели ЛП не всегда корректно отражают эти нелинейные зависимости.
3. Отсутствие временного фактора: Для долгосрочного планирования (например, структуры стада на несколько лет вперед, инвестиционных проектов) статические модели ЛП становятся недостаточными. Здесь необходим учет изменений поголовья, амортизации, капитальных вложений и других факторов во времени. В таких случаях статические модели заменяются или дополняются линейно-динамическими моделями или методами параметрического программирования. Линейно-динамические модели позволяют учитывать последовательность решений в разные периоды времени, связывая их через переменные состояния (например, поголовье на начало следующего периода). Параметрическое программирование исследует, как оптимальное решение изменяется при изменении одного или нескольких параметров модели.

Современные методы решения:

Для решения задач линейного программирования, особенно большой размерности, традиционно используется симплекс-метод, разработанный Джорджем Данцигом. Он является алгебраическим методом последовательного улучшения опорного решения. В настоящее время его реализация в специализированном программном обеспечении является стандартом.

Применение специализированного ПО (например, MS Excel Solver, GAMS, CPLEX, LINGO) является предпочтительным. Это обусловлено несколькими причинами:

• Сокращение времени на поиск решения: Для больших задач ручной расчет симплекс-методом практически невозможен.
• Обеспечение точности: Программное обеспечение минимизирует вероятность ошибок в расчетах.
• Наглядность информации: Современные решатели предоставляют не только оптимальные значения переменных и целевой функции, но и двойственные оценки, анализ чувствительности и другие полезные отчеты, что упрощает интерпретацию и принятие решений.
• Пользовательский интерфейс: Интуитивно понятные интерфейсы позволяют быстро строить и изменять модели, проводить сценарный анализ.

Таким образом, хотя статические модели ЛП имеют свои границы применимости, особенно в долгосрочной перспективе, они остаются мощным инструментом для решения оперативных и тактических задач оптимизации. А их решение с помощью современного ПО значительно упрощает и ускоряет процесс, делая ЭММ доступной для широкого круга специалистов.

Заключение

Проведенный анализ убедительно демонстрирует, что экономико-математическое моделирование на основе линейного программирования является незаменимым инструментом для повышения эффективности животноводческого комплекса. Рассмотренные кейс-стади — оптимизация суточного рациона кормления и формирование половозрастной структуры стада — наглядно показывают, как математический аппарат позволяет находить наиболее выгодные решения в условиях ограниченных ресурсов и множества взаимосвязанных факторов.

Критически важным аспектом, подчеркнутым в данной работе, стало применение актуальных и детализированных зоотехнических и экономических нормативов. Именно учет современных показателей (таких как 10 МДж на 1 ЭКЕ, 100-105 г переваримого протеина на ЭКЕ, специфические ограничения по крахмалу и жирам в сухом веществе рациона, а также целевые нормы выбраковки 25-30% и ввод ремонтного молодняка 29-35%) позволяет построить модели, которые не просто дают теоретически оптимальное решение, но и обеспечивают практическую реализуемость, направленную на максимальное раскрытие генетического потенциала животных и устойчивое развитие предприятия.

Экономическая интерпретация двойственных оценок (теневых цен) показала их исключительную ценность как управленческого инструмента. Они позволяют не только выявить дефицитные ресурсы, но и количественно оценить их вклад в целевую функцию, давая руководителям четкие сигналы для инвестиционных решений или перераспределения ресурсов.

Признавая ограничения статических моделей ЛП для долгосрочного планирования, особенно в динамично меняющейся среде, мы обосновали необходимость перехода к линейно-динамическим моделям для решения стратегических задач. Тем не менее, для оперативного и тактического управления, симплекс-метод в сочетании со специализированным программным обеспечением (например, MS Excel Solver) остается эффективным и доступным инструментом, способным дать быстрые и точные результаты.

В заключение, можно утверждать, что экономико-математические модели, построенные на основе актуальных нормативов и подкрепленные глубокой экономической интерпретацией, являются мощным фундаментом для принятия обоснованных управленческих решений в животноводстве, способствуя как максимизации чистого дохода, так и обеспечению реализации генетического потенциала продуктивных животных.

Список использованной литературы

1. Полноценное кормление молочного скота – основа реализации генетического потенциала продуктивности. Приложение. URL: https://www.agrovesti.net/lib/zhivotnovodstvo/kormlenie-skota/polnotsennoe-kormlenie-molochnogo-skota-osnova-realizatsii-geneticheskogo-potentsiala-produktIvnosti-prilozhenie.html (дата обращения: 07.10.2025).
2. Методичка по кормлению сельскохозяйственных животных. URL: http://www.vavilovsar.ru/storage/pages/3277/Metodichka_po_kormleniyu_selhozjivotnyh.pdf (дата обращения: 07.10.2025).
3. Двойственная задача линейного программирования // Хабр. URL: https://habr.com/ru/articles/565742/ (дата обращения: 07.10.2025).
4. Математические методы в биологии ЗИ(М). URL: https://4portfolio.ru/user/elenagorelova22/uchebnoe-posobie-matematicheskie-metody-v-biologii-zim (дата обращения: 07.10.2025).
5. Составить экономико-математическую модель оптимизации структуры стада крупного рогатого скота. URL: https://author24referat.ru/referat/sostavit_ekonomikomatematicheskuyu_model_optim/ (дата обращения: 07.10.2025).
6. Модели линейного программирования. URL: https://studfile.net/preview/5799195/page/3/ (дата обращения: 07.10.2025).
7. Экономико-математическая модель оптимизации, Постановка задачи. URL: https://studbooks.net/1410492/ekonomika/ekonomiko_matematicheskaya_model_optimizatsii_postanovka_zadachi (дата обращения: 07.10.2025).
8. Линейное программирование // Systems analysis wiki. URL: https://systems-analysis.ru/wiki/Линейное_программирование (дата обращения: 07.10.2025).
9. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. URL: https://www.hse.ru/data/2013/10/31/1330368142/LP_text.pdf (дата обращения: 07.10.2025).
10. Математическая модель оптимизации рационов лактирующих коров. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/matematicheskaya-model-optimizatsii-ratsionov-laktiruyuschih-korov/viewer (дата обращения: 07.10.2025).
11. Основные понятия линейного программирования. URL: https://math.narod.ru/lrp/lrp2_1.html (дата обращения: 07.10.2025).
12. Экономико-математическая модель оптимизации производственного плана как составляющее звено производственного маркетинга. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/ekonomiko-matematicheskaya-model-optimizatsii-proizvodstvennogo-plana-kak-sostavlyayuschee-zveno-proizvodstvennogo-marketinga/viewer (дата обращения: 07.10.2025).
13. МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ В АГРОПРОМЫШЛЕННОМ КОМПЛЕКСЕ. ПРАКТИКУМ. URL: https://www.bsatu.by/sites/default/files/pages/475/modelirovanie_i_optimizaciya_v_apk_praktikum_2019.pdf (дата обращения: 07.10.2025).