Типовые тестовые задания по курсу «Линейная алгебра» с разбором решений

Предстоящий тест по линейной алгебре вызывает тревогу? Это знакомое чувство. Кажется, что нужно запомнить бесконечное количество формул, правил и теорем. Но есть хорошая новость: успех в этом предмете — это не зубрежка, а понимание логики и структуры. Линейная алгебра — это не хаотичный набор правил, а удивительно стройная система, где каждый элемент связан с другими. Более того, она служит фундаментом для множества прикладных задач в экономике, инженерии, физике и программировании, что делает ее изучение не просто обязательным, но и полезным.

Этот материал построен не как сухой конспект, а как пошаговый гид от простого к сложному. Мы начнем с основ, разберем типовые тестовые задания и постепенно дойдем до комплексных задач. Наша цель — не просто подготовить вас к тесту, а дать уверенность, основанную на реальном понимании предмета. После того как мы настроились на продуктивную работу, давайте заложим фундамент и разберемся с главным строительным элементом этой науки — матрицами.

С чего начинается линейная алгебра, или всё о матрицах

Если отбросить строгие формулировки, матрица — это просто прямоугольная таблица, заполненная числами. Это невероятно удобный способ компактно организовывать данные. У каждой матрицы есть размерность, которая записывается как m × n, где m — количество строк, а n — количество столбцов.

Любой элемент в матрице можно найти по его «координатам» или индексам — aij, где i — номер строки, а j — номер столбца. Например, в матрице ниже элемент a32 — это число, стоящее в третьей строке и втором столбце, то есть 1.

A =
9 3 0
4 5 2
9 1 -7

У квадратных матриц (где число строк равно числу столбцов) есть несколько важных характеристик:

• Главная диагональ: Элементы, идущие из левого верхнего угла в правый нижний (a11, a22, …). В примере выше это 9, 5, -7.
• Побочная диагональ: Элементы, идущие из правого верхнего угла в левый нижний. В примере это 0, 5, 9.
• След матрицы (tr(A)): Это просто сумма элементов на главной диагонали. Понимание этой простой операции часто проверяется в тестах.

Давайте посмотрим, как это выглядит в тестовых заданиях.

Пример (задание №7): Найти след матрицы A = [,, [9, 1, -7]].
Решение: След — это сумма элементов главной диагонали: tr(A) = 9 + 5 + (-7) = 7.

Пример (задание №9): Для той же матрицы найти сумму элементов a₁₁ + a₃₂.
Решение: Находим элементы по их индексам. a₁₁ (первая строка, первый столбец) = 9. a₃₂ (третья строка, второй столбец) = 1. Сумма: 9 + 1 = 10.

Теперь, когда мы «узнаем матрицы в лицо», пора научиться с ними работать. Перейдем к базовым операциям.

Как работать с матрицами, не допуская ошибок

Операции с матрицами интуитивно понятны, но требуют внимательности. Главное — помнить несколько ключевых правил.

1. Сложение и вычитание: Эти операции возможны только для матриц одинакового размера. Мы просто складываем или вычитаем элементы, стоящие на одних и тех же позициях.

   Пример (задание №11): Найти сумму матриц А = [[2, -1],] и В = [[-3, 1],].
   Решение: Складываем соответствующие элементы:
   A + B = [[2+(-3), -1+1], [3+0, 0+4]] = [[-1, 0],].

2. Умножение на число: Здесь все просто — каждый элемент матрицы умножается на это число.
3. Умножение матриц: Это самая сложная операция, где чаще всего допускают ошибки.

   Чтобы умножить матрицу A на матрицу B (в таком порядке), нужно, чтобы число столбцов в матрице A было равно числу строк в матрице B.

   Элемент результирующей матрицы на позиции ij получается путем попарного перемножения элементов i-й строки первой матрицы на элементы j-го столбца второй матрицы и суммирования этих произведений. И помните, в общем случае AB ≠ BA!

   Пример (задание №14): Найти произведение матриц А = [,] и В = [[-1],].
   Решение: Размер А — 2×2, размер В — 2×1. Умножение возможно (столбцов в А = 2, строк в В = 2). Результатом будет матрица размера 2×1.

   • Элемент c₁₁ = (2 * -1) + (1 * 2) = -2 + 2 = 0.
   • Элемент c₂₁ = (0 * -1) + (3 * 2) = 0 + 6 = 6.

   Итоговая матрица: [,].

Мы научились складывать и умножать матрицы, но у квадратных матриц есть особая числовая характеристика, которая является ключом к решению многих задач. Это определитель.

Что такое определитель и в чем его практический смысл

Определитель (или детерминант) — это число, которое можно вычислить для любой квадратной матрицы. Его можно воспринимать как уникальный «паспорт» матрицы, который несет в себе важную информацию о ее свойствах.

Главный практический смысл: если определитель матрицы равен нулю, такая матрица называется вырожденной или особенной. Это сигнал о «проблемах»: у такой матрицы нет обратной, а строки (и столбцы) линейно зависимы, то есть одна из них является комбинацией других. Это ключевое условие, которое постоянно встречается в тестах.

Как считать определитель?

• Для матрицы 2×2: Это очень просто. Для матрицы `[[a, b], [c, d]]` определитель равен `ad — bc` (произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной).

  Пример (задание №4): Найти значение определителя `А = [[a, b], [3, 2]]`.
  Решение: `det(A) = a*2 — b*3 = 2a — 3b`.

• Для матрицы 3×3: Чаще всего используется правило треугольников (метод Саррюса).

  Пример (задание №5): Найти значение определителя `A = [[1, 2, 1], [1, 2, 3], [0, 1, 0]]`.
  Решение:
  1. Суммируем произведения элементов на главной диагонали и в «треугольниках»:
  `(1 * 2 * 0) + (2 * 3 * 0) + (1 * 1 * 1) = 0 + 0 + 1 = 1`.
  2. Суммируем произведения на побочной диагонали и в «треугольниках»:
  `(1 * 2 * 0) + (2 * 1 * 0) + (1 * 3 * 1) = 0 + 0 + 3 = 3`.
  3. Вычитаем из первого результата второй:
  `det(A) = 1 — 3 = -2`.

Теперь применим главное правило. Задачи, где нужно найти параметр, при котором матрица вырождена (или ее определитель равен нулю), очень популярны.

Пример (задание №15): При каком значении параметра λ матрица `A = [[λ, -1], [6, 3]]` является вырожденной?
Решение: Условие вырожденности — `det(A) = 0`.
Считаем определитель: `det(A) = λ*3 — (-1)*6 = 3λ + 6`.
Приравниваем к нулю: `3λ + 6 = 0`, откуда `3λ = -6` и `λ = -2`.

Знание об определителе напрямую подводит нас к двум важным понятиям: возможности найти обратную матрицу и рангу матрицы.

Что скрывается за понятиями ранга и обратной матрицы

Эти два понятия тесно связаны с определителем и играют ключевую роль в решении систем уравнений.

Ранг матрицы — это, говоря простым языком, количество «независимой информации» в матрице. Более строго, это максимальное число линейно независимых строк (или столбцов). Если одна строка является суммой двух других, она не добавляет новой информации, и ранг матрицы будет меньше ее размера. Простой способ найти ранг — привести матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований и посчитать количество ненулевых строк.

Пример (задание №17): Найти ранг матрицы `A = [[1, 2, 3], [3, 6, 9], [-4, -8, -12]]`.
Решение: Видно, что вторая строка — это первая, умноженная на 3. А третья — это первая, умноженная на -4. Все строки линейно зависимы. Следовательно, в матрице есть только одна независимая строка, и ее ранг равен 1.

Обратная матрица (A⁻¹) — это такая матрица, при умножении на которую исходная матрица A дает единичную матрицу E (с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах). То есть, AA⁻¹ = A⁻¹A = E.

Самое важное правило, связывающее обратную матрицу и определитель: обратная матрица существует только тогда, когда определитель исходной матрицы не равен нулю.

Это означает, что задачи «при каком λ матрица вырожденная?», «при каком λ det(A)=0?» и «при каком λ матрица не имеет обратной?» — это одна и та же задача.

Пример (задание №19): При каком значении параметра λ матрица `А = [[λ, 3], [2, -1]]` не имеет обратной?
Решение: Матрица не имеет обратной, если ее определитель равен нулю.
`det(A) = λ*(-1) — 3*2 = -λ — 6`.
Приравниваем к нулю: `-λ — 6 = 0`, откуда `λ = -6`.

Все, что мы изучили до этого — матрицы, определители, ранг — является мощным аппаратом для решения главной задачи курса: систем линейных уравнений.

Системы линейных уравнений как центральная тема курса

Большинство задач линейной алгебры в итоге сводятся к решению систем линейных уравнений (СЛУ). Прежде чем решать систему, нужно ее проанализировать и понять, какие решения она вообще может иметь.

Существует три варианта:

1. Одно-единственное решение (система называется совместной и определенной).
2. Бесконечно много решений (система называется совместной и неопределенной).
3. Нет решений (система называется несовместной).

Как предсказать, какой из вариантов нас ждет? Для этого существует главный инструмент анализа СЛУ — теорема Кронекера-Капелли. Не пугайтесь названия, ее суть очень проста:

Система совместна (т.е. имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Простыми словами: если после добавления столбца свободных членов «количество независимой информации» в матрице не увеличилось, значит, решения есть. Если ранг увеличился — система противоречива и решений нет.

Теперь, когда мы умеем анализировать систему и предсказывать тип ее решения, рассмотрим самые популярные методы нахождения этих решений.

Практикум по решению систем линейных уравнений

Существует несколько методов решения СЛУ, но в тестах чаще всего встречаются два: метод Крамера и метод Гаусса.

Метод Крамера:

Этот метод элегантен, но применим только тогда, когда основная матрица системы квадратная, а ее определитель не равен нулю. Алгоритм прост: каждый неизвестный xi находится как частное двух определителей `Δ<sub>i</sub> / Δ`, где:

• `Δ` — это главный определитель системы.
• `Δ<sub>i</sub>` — это определитель, полученный заменой i-го столбца в основной матрице на столбец свободных членов.

Пример (задание №22): Решить систему уравнений:
`5x₁ — x₂ + 3x₃ = -2`
`4x₁ + 3x₂ + 2x₃ = 16`
`-2x₁ + 3x₂ + x₃ = 17`

Решение (идея): Сначала вычисляется главный определитель `Δ` из коэффициентов при неизвестных. Затем вычисляется `Δ₁` (заменив первый столбец на `[-2, 16, 17]`), `Δ₂` (заменив второй столбец) и `Δ₃` (заменив третий). Наконец, находятся переменные: `x₁ = Δ₁/Δ`, `x₂ = Δ₂/Δ`, `x₃ = Δ₃/Δ`. После вычислений правильным ответом будет (3; -2; 5).

Метод Гаусса:

Это универсальный метод, который работает всегда. Его суть — с помощью элементарных преобразований (умножение строки на число, сложение строк) привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду, а затем «обратным ходом» найти все переменные, начиная с последней.

Особый интерес представляют текстовые задачи, где сначала нужно составить саму систему.

Пример (задание №23): Фирма выделила 236 тыс. у.е. на покупку 29 предметов: компьютеров (x) по 20 тыс., столов (y) по 8.5 тыс. и стульев (z) по 1.5 тыс.

Решение:
1. Составление математической модели. Первое уравнение — по количеству предметов: `x + y + z = 29`. Второе — по стоимости: `20x + 8.5y + 1.5z = 236`. Третье уравнение составляется из дополнительного условия задачи.
2. Решение системы. Полученная система решается любым удобным методом (например, Гаусса).
3. Интерпретация результата. Найденные x, y, z и есть искомое количество оборудования.

Матрицы и системы уравнений тесно связаны с другим важным разделом — векторной алгеброй, где многие из этих идей получают наглядное геометрическое воплощение.

Как векторы и геометрия помогают понять алгебру

Вектор можно рассматривать как частный случай матрицы — это матрица, состоящая из одной строки или одного столбца. Векторы позволяют перевести алгебраические операции на язык геометрии, делая их более наглядными.

Две ключевые операции с векторами, которые часто встречаются в тестах, — это скалярное и векторное произведения.

• Скалярное произведение: Результатом является число. Алгебраически это сумма попарных произведений координат векторов `a(a₁, a₂, a₃)` и `b(b₁, b₂, b₃)`: `a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃`. Геометрический смысл — произведение длин векторов на косинус угла между ними. Это удобно для нахождения углов или, как в примере ниже, общей стоимости.

  Пример (задание №25): Объемы продукции заданы вектором `a(1500; 1100; 800)`, цены — вектором `b(2100; 870; 1700)`. Найти общую стоимость.
  Решение: Общая стоимость — это скалярное произведение вектора количества на вектор цен.
  `Стоимость = 1500*2100 + 1100*870 + 800*1700 = 3150000 + 957000 + 1360000 = 5 467 000` руб.

• Векторное произведение: Результатом является вектор, перпендикулярный исходным. Его длина (модуль) численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Это его главный геометрический смысл.

  Пример (задание №26): Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах `a(5; -4; 7)` и `b(-2; 0; 1)`.
  Решение: Сначала нужно найти векторное произведение `a × b` (удобно считать через определитель). Затем найти длину (модуль) полученного вектора. Эта длина и будет искомой площадью.

От векторов логично перейти к объектам, которые они определяют в пространстве — прямым и фигурам.

Прикладные задачи аналитической геометрии в тестах

Этот раздел объединяет алгебру и геометрию. Здесь формулы и уравнения описывают положение и свойства геометрических объектов. Вот несколько типовых задач.

Уравнение прямой: Прямую можно задать точкой, через которую она проходит, и направляющим вектором. Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку `M₀(x₀, y₀, z₀)` параллельно вектору `s(l, m, n)`, выглядит так: `(x-x₀)/l = (y-y₀)/m = (z-z₀)/n`.

Пример (задание №27): Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M₀(-1, 2, 4), перпендикулярно вектору `a(3, 5, 0)`… Вероятно, в условии опечатка, и вектор `a` должен быть направляющим, а не перпендикулярным. Если он направляющий, то уравнение: `(x — (-1))/3 = (y — 2)/5`, а так как z-координата вектора равна 0, прямая лежит в плоскости `z=4`.

Уравнение медианы: Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Алгоритм нахождения ее уравнения:

1. Найти координаты середины стороны (как среднее арифметическое координат ее концов).
2. Имея две точки (вершину и середину стороны), составить уравнение прямой, проходящей через них.

Пример (задание №28): В треугольнике ABC A(-2;0), B(2;6), C(4;2) найти уравнение медианы BE.
Решение: Сначала находим точку E как середину AC: `E = ((-2+4)/2; (0+2)/2) = (1; 1)`. Теперь составляем уравнение прямой по двум точкам B(2;6) и E(1;1). Результатом будет `5x — y — 4 = 0`.

Эллипс и гипербола: В задачах на эти кривые второго порядка обычно нужно знать связь между их ключевыми параметрами: полуосями (a, b), фокусным расстоянием (c) и эксцентриситетом (e).

• Для эллипса: `a² = b² + c²`.
• Для гиперболы: `c² = a² + b²`.
• Эксцентриситет: `e = c/a`.

Пример (задание №29): Написать уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось b = 3.
Решение: Расстояние между фокусами это `2c = 8`, значит `c = 4`. Малая полуось `b=3`. Для эллипса `a² = b² + c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25`. Каноническое уравнение эллипса `x²/a² + y²/b² = 1`. Подставляем: `x²/25 + y²/9 = 1`.

Мы прошли весь путь от базовых понятий до решения конкретных задач. Теперь осталось собрать все знания воедино и сформулировать финальные советы для успешной сдачи теста.

[Смысловой блок: Заключение и напутствие]

Мы убедились, что линейная алгебра — это не набор разрозненных тем, а единая система, где матрицы помогают решать системы уравнений, определители указывают на существование решений, а векторы дают геометрическую интерпретацию. Все элементы взаимосвязаны.

Напоследок, несколько практических советов для самого теста:

• Начните с проверки размерностей. Прежде чем складывать или умножать матрицы, убедитесь, что операция возможна. Это отсеет множество ошибок.
• Помните про знак определителя. Не забудьте вычесть произведения элементов побочной диагонали. Ошибка в знаке — одна из самых частых.
• Внимательно читайте условие. Убедитесь, что вы правильно поняли, что требуется найти: параметр, при котором матрица вырожденная или невырожденная, совместна система или несовместна.

Вы проделали большую работу, разобрав ключевые темы и примеры. Теперь вы вооружены не просто формулами, а пониманием логики, которая за ними стоит. Вы готовы к испытанию. Удачи на тесте!

Список использованной литературы

1. Электронная Библиотека РФЭИ