Содержание
по алгебре и теории чисел
1. Основы аксиоматической теории натуральных чисел. Свойства сложения и умножения натуральных чисел. Отношение порядка. Теоремы о «наибольшем» и «наименьшем» натуральном числе. Методы математической индукции
2. Свойства кольца целых чисел. Упорядоченность целых чисел. Теоремы о «наибольшем» и «наименьшем» целом числе. Методы математической индукции для целых чисел
3. Теорема об определителе произведения квадратных матриц. Обратимые матрицы. Признак обратимости матрицы. Нахождение матрицы, обратной к данной.
4. Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. Группа корней n-ой степени из единицы.
5. Критерий совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли).
6. Линейное (векторное) пространство над полем. Примеры. Подпространства, простейшие свойства. Линейная зависимость и независимость векторов.
7. Базис и размерность векторного пространства. Матрица координат системы векторов. Переход от одного базиса к другому. Изоморфизм векторных пространств.
8. Евклидовы линейные пространства. Свойства скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональный и ортонормированный базисы.
9. Кольцо. Типы колец (области целостности кольца главных идеалов, евклидовы кольца, поля). Примеры. Евклидовость кольца целых чисел и кольца многочленов над полем.
10. Основные свойства сравнений. Полная и приведенная системы вычетов. Кольцо классов вычетов по модулю. Теоремы Эйлера и Ферма.
11. Сравнения с неизвестными, число решений сравнения. Линейное сравнение с одним неизвестным (критерий разрешимости, способы решения).
12. Наибольший общий делитель двух многочленов, его свойства и способы нахождения. Многочлены над полем. Теорема о делении с остатком. Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов.
13. Поле разложение многочлена. Соотношение между корнями многочлена и коэффициентами (теорема Виета).
14. Многочлены над полем комплексных и действительных чисел. Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.
по геометрии
1. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их приложение к решению задач.
2. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве (в аналитическом изложении).
3. Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы.
4. Движения плоскости и их свойства. Формулы движений. Классификация движений плоскости.
5. Преобразования гомотетии и подобия плоскости, их свойства. Подобие как композиция гомотетии и движения
6. Проективная плоскость и ее модели. Проективные преобразования, их свойства. Формулы проективных преобразований
7. Гладкие линии в пространстве. Сопровождающий (основной) трехгранник кривой. Кривизна пространственной кривой.
8. Понятие параллельности в геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.
по математическому анализу
1.Отображение множеств (функции). Предел и непрерывность функции в точке.
1. Мощность множества. Счетные множества и их свойства. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел
2. Дифференцируемые функции одной или нескольких действительных переменных. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования.
4. Теорема Лагранжа. Условия постоянства и монотонности функции на промежутке.
5. Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование подстановкой и по частям. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
6. Числовые ряды. Признаки сравнения, Даламбера и Коши для положительных рядов. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
7.Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения.
8.Производная функции комплексной переменной. Условия дифференцируемости. Понятие аналитической функции.
Выдержка из текста
Наряду с понятиями множества и элемента множества в математике первичным понятием является понятие соответствия. Это понятие присутствует неявным образом при описании понятия множества: каждому из элементов поставлено в соответствие некоторое свойство, позволяющее судить о том, является ли этот элемент элементом данного множества или нет. Среди всевозможных соответствий важнейшими в математике являются функции, или отображения множеств
Список использованной литературы
учебники и интернет ресурсы